Mikroökonomie 1 - Benutzerbeiträge [de-formal]

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2024-10-07T08:32:22Z

Leitzing:

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<div style="background-color:#F0F8FF; color:black"> Angebot und Nachfrage </div> 
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* [[Nachfrage]] 
* [[Angebot]] 
* [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb]] 
* [[Konsumentenrente und Produzentenrente]] 

 
* [[Eingriffe in das Marktgleichgewicht]]

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<div {{MainpageMidBox}}>
* [[Elastizitäten]] 
* [[Externalitäten und Internalisierung]] 
* [[Öffentliche Güter]]
* [[Zusammenfassung Marktversagen]] 
* [[Marktformen]] 
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Haushaltsentscheidungen I (Konsum)
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* [[Präferenzen und Indifferenzkurven]]
* [[Präferenzenarten]]
* [[Axiome der Nutzentheorie]]
* [[Budgetrestriktion und Budgetgerade]]
* [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie]]
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* [[Einkommens-Konsumkurve]]
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* [[Güter und Ungüter]]
* [[Güterarten]]
* [[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt]]
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Haushaltsentscheidungen II
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Unternehmenstheorie
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Spieltheorie
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Wohlfahrtsökonomie/ Tauschökonomie
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Asymmetrische Informationen
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* [[Moral Hazard und Anreize]]
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<h2 {{MainpageTopBox}}>
Allgemeine Prinzipien
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* [[Lagrange]]
* [[Karush-Kuhn-Tucker (KKT)]]
* [[Gradientenmethode]]
* [[Maximieren]]
* [[Mathematische Eigenschaften von Funktionen]]
* [[Cobb-Douglas-Funktionen]]
* [[Monotone Transformation]]
* [[Marginale Sichtweise]]
* [[Opportunitätskosten]]
* [[Effizienz]]
* [[Erwartungswert und Varianz]] 
</div>
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</blockquote>

Karush-Kuhn-Tucker (KKT)

2024-10-07T08:24:27Z

Leitzing:

Die Karush-Kuhn-Tucker Bedingungen sind ein notwendiges Optimalitätskriterium zur Bestimmung des Extremums einer Zielfunktion mit Nebenbedingungen. Das KKT Verfahren ist ein allgemeinerer Lösungsansatz verglichen mit dem [[Lagrange|Lagrange Verfahren]], da auch Randlösungen betrachtet werden.

__TOC__

==Randlösungen==
Das [[Lagrange|Lagrange Verfahren]] findet als Optimalitätsbedingung den Tangentialpunkt der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurve]] und der [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgeraden]]. In der Grafik unten wird das damit einhergehende Problem deutlich: Der Tangentialpunkt kann auch im negativen Bereich von einer der beiden Variablen sein. Dies liegt beispielweise an der Steigung der Budgetgeraden oder dem Verlauf der Indifferenzkurve. Im Falle der [[Maximieren|Nutzenmaximierung]] würde dies den Konsum einer negativen Menge bedeuten, was äußerst unrealistisch ist. Im grafischen Beispiel wäre das Ergebnis des Lagrange Verfahrens, dass der Konsument eine negative Menge von <math> x_1 </math> konsumieren sollte. Da dies nicht möglich ist, wäre es nutzenmaximal einen möglichen Punkt (<math> x_1 \geq 0 </math> und <math> x_2\geq 0 </math>) zu konsumieren, der auf einer möglichst hohen Indifferenzkurve liegt. In dem grafischen Fall liegt der Punkt aufgrund der [[Axiome der Nutzentheorie| Annahmen über die Präferenzen]] auf der Budgetgeraden. Die höchste Indifferenzkurve die erreicht wird führt zu einem Konsumniveau von <math> x_1=0</math> (zweite Abbildung). Dies ist eine Randlösung. Das KKT Verfahren findet den Punkt sofort, ohne dass die Lösung vom Lagrange Verfahren händisch korrigiert werden muss. 
[[Datei:KKT1.png|500px|rahmenlos]]
[[Datei:KKT2.png|500px|rahmenlos]]

==Nebenbedingungen==
Das KKT Verfahren betrachtet mehrere Nebenbedingungen, um eine Lösung für das Maximierungsproblem zu finden. Diese sind häufig die Budgetbedingung und die Nichtnegativitätsbedingung. Die Budgetbedingung ist identisch zum Lagrange Verfahren. Ein Konsument kann sein komplettes Budget oder weniger ausgaben. Neu sind die anderen Nichtnegativitätsbedingung, die im folgenden Beispiel sicherstellen, dass die konsumierten Mengen positiv sind: 
<math> p_1x_1+p_2x_2 \leq E </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> E-p_1x_1-p_2x_2 \geq 0 </math> 
<math> x_1 \geq 0 </math> 
<math> x_2 \geq 0 </math> 
Die Nebenbedingungen werden jeweils mit einem Lagrangemultiplikator zu der Zielfunktion addiert: 
<math> \mathcal{L} =U(x_1,x_2)+\lambda_1(E-p_1x_1-p_2x_2)+\lambda_2 x_1+\lambda_3x_2 </math>

==Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen==
Das KKT Verfahren nutzt mehrere Bedingungen, um die Lösung für das Problem zu finden: 
FOC für alle Variablen, von denen die Zielfunktion abhängt: 
<math> (i) \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1}\stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> (ii) \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2}\stackrel{!}{=}0 </math> 

Die Ungleichungen selbst mit der Nichtnegativitätsbedingung der Lagrangemultiplikatoren: 
<math> (iii) \quad E-p_1x_1-p_2x_2 \geq 0 </math>; <math> \lambda_1 \geq 0</math> 
<math> (iv) \quad x_1 \geq 0 </math>; <math> \lambda_2 \geq 0</math> 
<math> (v) \quad x_2 \geq 0 </math>; <math> \lambda_3 \geq 0</math> 

Die Komplementaritätsbedingungen 
<math> (vi) \quad \lambda_1(E-p_1x_1-p_2x_2)=0 </math> 
<math> (vii) \quad \lambda_2 x_1=0 </math> 
<math> (viii) \quad \lambda_3 x_2=0 </math> 

Die Lagrangemultiplikatoren müssen im Optimum schwach positiv, also null oder größer als null, sein. Durch die Komplementaritätsbedingungen wird deutlich, dass die Nebenbedingung größer gleich null ist, wenn der Lagrangemultiplikator null ist und gleich null, wenn der Multiplikator größer als null ist. Ist die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt (gleich null), ist sie "bindend", wenn sie mit strikter Ungleichheit erfüllt ist, ist sie "nicht-bindend". Im grafischen Beispiel von oben ist die Nebenbedingung <math> x_1 </math> mit Gleichheit erfüllt und der Multiplikator <math> \lambda_2 </math> größer als null. Nur wenn der Tangentialpunkt auch gleichzeitig die Randlösung ist, sind sowohl der Lagrangemultiplikator, als auch die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt. In allen anderen Fällen ist der Multiplikator beispielweise größer null und die Nebenbedingung gleich null. Dies gilt natürlich auch andersherum. Ist die Nebenbedingung größer als null, ist der Multiplikator gleich null. 
Als Beispiel soll <math> (vii) \quad \lambda_2 x_1=0 </math> gelten. Wenn <math> x_1>0 </math> gilt, muss der Multiplikator <math> \lambda_2 </math> gleich null sein. Die gleiche Logik gilt auch für die Gleichung <math> (viii) </math>. Soll das Problem auf eine innere Lösung untersucht werden, so muss in dem vorliegenden Fall <math> \lambda_2=0 </math> und <math> \lambda_3=0 </math> gelten, da <math> \lambda_2 </math> und <math> \lambda_3 </math> nur beide gleichzeitig größer als 0 sein können, wenn von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> jeweils nichts konsumiert würde. 
Um die jeweiligen Randlösungen zu untersuchen müssen die Multiplikatoren <math> \lambda_2 </math> und <math> \lambda_3 </math> jweils getrennt voneinander gleich null gesetzt werden. Es gilt zu beachten, dass diese Logik so nur für das grafische Beispiel gilt. Es gibt durchaus auch andere Beispiele, bei denen Möglichkeiten nicht von vornherein ausgeschlossen werden können. Bei einer anderen Zielfunktion und anderen Nebenbedingungen kann zum Beispiel, nicht direkt gesagt werden, dass <math> \lambda_1>0 </math> gelten und die Budgetungleichung damit mit Gleichheit erfüllt sein muss. 
 

Zur Lösung des Problems werden die KKT Bedingungen herangezogen und die verschiedenen Fälle werden untersucht. Jeder der Lagrangemultiplikatoren kann entweder gleich null oder größer als null sein. Bei drei Lagrangemultiplikatoren würde das <math> 2^3 </math> Fälle bedeuten.

==Beispiel==
Es soll die Funktion <math> U(x_1,x_2)=x^2+xy+4y </math> auf Maxima untersucht werden. Hierbei sollen <math> x+y \leq 2 </math>, <math> x \geq 0 </math> und <math> y \geq 0 </math> erfüllt sein. Es ergibt sich folgende Funktion: 
<math>
\mathcal{L}= x^2+xy+4y +\lambda_1(2-x-y)+\lambda_2x+\lambda_3y </math> 
Aufgrund der Übersichtlickeit kann das Beispiel hier [https://www.dropbox.com/scl/fi/fp55nhye6j1jff331c9nv/KKT.pdf?rlkey=jen6szl2sxg4ezl6hawylenye&dl=0] als pdf Dokument eingesehen werden.

==MC Fragen==
Für die folgenden Aufgaben sei immer folgende Lagrangefunktion gegeben: 
<math> \mathcal{L}=x+ln(y)+\lambda(E-x-y)+\alpha x+\beta y </math>
<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Was muss gelten, damit die Lösung des Maximierungsproblems eine Randlösung ist?
|type="()"}
- a) Die Steigung der Budgetgeraden muss strikt kleiner als die GRS für <math> x,y \geq0 </math> sein.
- b) Die Steigung der Budgetgeraden muss strikt größer als die GRS für <math> x,y \geq0 </math> sein.
- c) Die Steigung der Budgetgeraden muss gleich die der GRS für <math> x,y \geq0 </math> sein.
+ d) Antwortmöglichkeiten a) und b) sind beide korrekt
- e) Antwortmöglichkeiten a) und c) sind korrekt
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Werte muss <math> \beta </math> annehmen, damit alle KKT Bedingungen erfüllt sind?
|type="()"}
+ <math> \beta =0 </math>
- <math> \beta < 0 </math>
- <math> \beta > 0 </math>
- <math> \beta </math> kann alle Werte annehmen
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welcher der folgenden Bedingungen sorgt dafür, dass die Lösung eine innere Lösung ist?
|type="()"}
+ <math> \alpha x=0 </math>
- <math> \beta y=0 </math>
- <math> \lambda(E-x-y)=0 </math>
- Es gibt keine Innere Lösung
</quiz>

Erwartungswert und Varianz

2024-10-07T08:21:06Z

Leitzing:

Statistische Maßzahlen wie der Erwartungswert und die Varianz haben auch in der Mikroökonomie eine wichtige Bedeutung. Sie spielen zum Beispiel bei Entscheidungen unter Risiko eine Rolle.

__TOC__

==Erwartungswert (Durchschnitt/Mittelwert)==
Der Erwartungswert ist eine Maßzahl und beschreibt welche Beobachtung im Durchschnitt auftritt. Es gilt hierbei zwischen dem Mittelwert einer Beobachtung und dem Durchschnitt der "Population" zu unterscheiden. Um den Unterschied zu verdeutlichen sollen Münzwürfe dienen. Es ist möglich den Mittelwert von beispielsweise 10 Münzwürfen auszurechnen. Dann lautet die Berechnung des realisierten Mittelwertes: μ<math>= 1/10(x_1 + x_2 + \ldots + x_{10}) </math>. <math> x_1 </math> ist hier die Ausprägung des ersten Münzwurfs (Kopf oder Zahl). Der Durchschnitt der "Bevölkerung" lässt sich simulieren, in dem die Anzahl der Münzwürfe immer weiter vergrößert wird und letztlich gegen unendlich strebt. An dieser Stelle spielen Wahrscheinlichkeiten eine Rolle. In unserem Beispiel soll von einer fairen Münze ausgegangen werden, sodass beide Seiten gleich wahrscheinlich sind. Wird dementsprechend eine Münze geworfen fällt mit Wahrscheinlichkeit 0,5 Kopf und mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 Zahl. Wenn 10 Mal Münzen geworfen werden, so kann erwartet werden, dass bei 5 der Würfen Kopf und bei 5 der Würfen Zahl fällt. Ein weiteres Beispiel ist ein fairer Würfel, bei dem jede Seite mit der Wahrscheinlichkeit 1/6 fällt. Für den Erwartungswert eines Wurfes lässt sich die Augenzahl mit der Wahrscheinlichkeit multiplizieren: <math> E[X]=1/6*1+1/6*2+...1/6*6 </math>, wobei <math> X </math> die Augenzahl ist. Für einen allgemeinen Fall lässt sich die Formel wie folgt beschreiben: 
<math> E[X]=\sum_{i=1}^{n}x_i \cdot p_i </math>
<math> p_i </math> ist die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Ausprägung, <math> x_i </math> ist die Ausprägung selbst und <math> n </math> ist die Anzahl der möglichen Ausprägungen. Beispiel Augenzahl 2: <math> x_2=2 </math>, <math> p_2=1/6 </math> und <math> n=6 </math> 
''Beispiel:'' In einem Casino werden zwei Münzen geworfen. Beide Münzen sind identisch und auf einer Seite steht jeweils "1" und auf der anderen Seite "2". Besucher des Casinos können auf die Summer der Münzseiten wetten, die nach oben zeigen. Um eine bessere Wette platzieren zu können, berechnet Max den Erwartungswert aus. Die Summe der Münzen beträgt 2, wenn beide Münzen die 1 aufweisen. Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt <math> 1/2 \cdot 1/2=1/4 </math>. Analog verhält es sich für die Summe 4. Die Summe drei liegt, wenn einer der Münzen eine 1 und die andere eine 2 aufweist. Es gibt also zwei Events, bei der die Summe 3 eintritt. Beide Events treten mit der Wahrscheinlichkeit <math> 1/4 </math> auf. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit für 3 als Summe <math> 1/4+1/4=1/2 </math>. Die erwartete Summe baträgt somit <math> 1/4 \cdot 2+1/2 \cdot 3 + 1/4 \cdot 4=3 </math> 
In der Mikroökonomie wird vor allem der Durchschnitt der Population betrachtet. Im Fall der Entscheidung unter [[Risiko und Risikoeinstellung|Risiko]], werden Wahrscheinlichkeiten zur Berechnung eines Erwartungswertes herangezogen.

==Varianz==
Die Varianz (auch "Mittlere quadratische Streuung") ist eine Maßzahl die angibt, wie sehr Beobachtungen um den Mittelwert streuen. Um zu erklären was damit gemeint ist sollen die folgenden Grafiken als Beispiel dienen. Sowohl im roten, als auch im grünen Fall werden 150 Ausprägungen beobachtet. In beiden ist der Mittelwert die 4, was sich daran erkennen lässt, das der Balken bei 4 in beiden Balkendiagrammen am höchsten ist und die Werte alle nahe an der 4 liegen. Dies lässt sich jedoch auch an den Grafiken mit den Punkten erkenne: Die 4 scheint am nächsten an allen Punkten dran zu sein. Dennoch ist auch erkennbar, dass die Punkte im grünen Fall deutlich näher an der 4 liegen, als im roten Fall, bei dem die Punkte deutlich gestreuter erscheinen. Eben diese Streuung lässt sich in der Varianz berechnen. Hierfür wird über die Differenz zwischen dem Mittelwert und der einzelnen Ausprägung aufsummiert, nachdem sie quadriert wurde. Um die Varianz als Maßzahl besser mit anderen Varianzen zu vergleichen, werden die Summen durch die Anzahl der Beobachtungen geteilt. 
<math> d^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 </math>, wobei <math> \bar{x} </math> der Mittelwert ist
[[Datei:Verteilung1.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Verteilung2.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Dichte.png|500px|rahmenlos]] 
In dem grafischen Beispiel wird ersichtlich, dass die Werte alle nahe an der vier liegen und die vier auch am wahrscheinlichsten ist. Es kann aber auch unter anderem Fälle geben, bei denen alle Ausprägungen gleich wahrscheinlich sind, bei einer Verteilung jedoch weitaus extremere Beobachtungen auftreten. Auch hier kann der Erwartungswert in beiden Verteilungen identisch und die Varianz unterschiedlich sein. 
Angenommen die Dichtefunktionen sind die Wahrscheinlichkeiten von jeweils einer Lotterie. Wenn ein Konsument dazu aufgefordert wird für beide Lotterien eine Zahl zu nennen und abhängig von dem Ergebnis erhält er eine Auszahlung, dann sollte er in beiden Fällen die 4 auswählen. Wird er zusätzlich aufgefordert zwischen einer der beiden Lotterien zu wählen, dann sollte er die grüne Lotterie wählen, da dort die 4 wahrscheinlicher, bzw. die Varianz kleiner ist.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Wenn zwei Lotterien einen identischen Erwartungswert haben, sind die beiden Lotterien auch gleich risikoreich.
|type="()"}
- Wahr
+ Falsch
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Werden zu einer Auswertung immer mehr Beobachtungen hinzugefügt, so steigt der Erwartungswert immer an.
|type="()"}
- Wahr
+ Falsch
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Spieler wirft zwei Würfel, wie lautet die Wahrscheinlicheit, dass die Summe aus beiden Augenziffern 2 beträgt?
|type="()"}
+ <math> \frac{1}{36} </math>
- <math> \frac{2}{6} </math>
- <math> \frac{1}{6} </math>
- <math> \frac{2}{36} </math>
</quiz>

Moral Hazard und Anreize

2024-02-22T13:48:42Z

Leitzing:

==Definition==
Moral Hazard beschreibt eine Inforamtionsasymmetrie nach Vertragsabschluss und stellt eine Art des [[Zusammenfassung Marktversagen|Marktversagens]] dar. Sie entsteht, da das Verhalten nach Vertragsabschluss nicht beobachtbar ist. Dies wird als ''hidden action'' bezeichnet und kann dazu führen, dass sich die Verhaltensmuster nach Vertragsabschluss verändern. Die Partei, die einen oder mehreren Agenten beauftragt, ein Ziel zu verfolgen, wird Prinzipal genannt. Die Partei, die von einem Prinzipal beauftragt wird, dessen Ziele zu verfolgen, wird Agent genannt.

__TOC__

==Moral Hazard==
Moral Hazard beschreibt die Inforamtionsasymmetrie nach Vertragsabschluss. Unter der Annahme, dass vor Abschluss des Vertrages beide Seiten dieselben Informationen haben, ändert sich diese Prämisse häufig nach Vertragsabschluss. 
''Beispiel'': Ein Autofahrer ist sehr vorsichtig und ein Versicherer kann dieses Verhalten perfekt beobachten. Entsprechend seiner Unfallwahrscheinlichkeit bietet der Versicherer dem Autofahrer eine Autoversicherung an. Der Autofahrer schließt die Versicherung ab und zahlt monatlich eine Versicherungsprämie, die zuvor vertraglich festgehalten wurde. Da der Autofahrer eine Versicherung hat, trägt er ein geringeres Risiko als ohne Versicherung. Im Falle eines Unfalls zahlt die Versicherung den Schaden. Der Autofahrer hat durch die Versicherung keinen Grund mehr vorsichtig zu fahren, was sein Fahrverhalten verändert. Durch die Versicherung verändert sich das Verhalten des Autofahrers, der Versicherer würde die Versicherung so nicht nochmal anbieten und es kommt zu einem [[Zusammenfassung Marktversagen|Marktversagen]]. Der Versicherer ist der Prinzipal und der Autofahrer der Agent. 
''Ein weiteres Beispiel'': Auf dem Arbeitsmarkt werden Verträge nach Arbeitszeit geschlossen. Nach dem Abschluss des Vertrages bekommen Arbeitnehmer ihr Gehalt vom Arbeitgeber ungeachtet dessen, wie produktiv sie in der vorgegebenen Zeit arbeiten. Dies verleitet Arbeitnehmer dazu möglichst geringe Anstrengungskosten zu haben. Der Arbeitnehmer ist der Agent und der Arbeitgeber der Prinzipal. 
 
Andere Beispiele sind: 
-Mit '''gemieteten Wohnungen''' wird anders umgegangen als mit eigenen Wohnungen ("Don't be gentle it's a rental") 
-'''Finanzkrise''': Fehlanreize an Eigenkapitalgeber von Banken mit hohem Fremd- zu Eigenkapitalanteil (bei etlichen Banken 30:1) insbesondere bei staatlicher Absicherung des Fremdkapitals (Einlagensicherung); Anreiz zu hoher Risikowahl; Anreiz wird an Bankmanager weitergegeben. 
-'''Staatsschuldenkrise''': Bailout-Zusage für Staaten reduziert Sparanreize

==Theorie optimaler Verträge==
Optimal ausgestaltete Verträge sind der Versuch das veränderte Verhalten nach Vertragsabschluss zu verhindern. Ziel ist die Verträge derart auszugestalten, dass Anreize für Agenten entstehen die Verhaltensmuster für alle optimal anzupassen. Zur Erläuterung soll ein Beispiel aus dem Finanzwesen dienen: die Kreditrationierung, welche sowohl das Moral Hazard, als auch das [[Adverse Selektion und Signale|Adverse Selektion]]-Problem beinhaltet. 
 
'''Die Projekte''': 
In dem Beispiel stehen zwei Projekte zur Auswahl, die ein Unternehmer realisieren kann. Hierfür leiht er sich Geld von einer Bank in Höhe von I (I ist eine reelle Zahl). Beide Projekte (A und B) bringen mit einer jeweiligen Wahrscheinlichkeit einen unterschiedlichen Ertrag. Die Wahrscheinlichkeit, dass Projekt A erfolgreich ist wird <math> p_a </math> bezeichnet. Der Ertrag von Projekt A ist <math> X_a </math>, wobei X eine reelle Zahl ist (z.B. 10). Das gleiche gilt für Projekt B mit dem Index b. 
 
<math> \tilde{X}=\begin{cases}
X_a, & \text{mit Wahrscheinlichkeit } p_a; \\
0, & \text{mit Wahrscheinlichkeit } 1-p_a;
\end{cases}</math>

<math> \tilde{X}=\begin{cases}
X_b, & \text{mit Wahrscheinlichkeit } \, p_b; \\
0, & \text{mit Wahrscheinlichkeit } \, 1-p_b;
\end{cases}</math> 
 
Es soll gelten <math> X_b>X_a </math>. Der Ertrag des Projektes B soll größer sein als der von Unternehmen A. Außerdem soll <math> 1>p_a>p_b>0 </math> gelten. Projekt B hat also einen höheren Ertrag, der dafür aber unwahrscheinlicher als der von Projekt A ist. Insgesamt soll gelten <math> p_aX_a>p_bX_b>I </math>. Der erwartete Payoff von Projekt A ist größer als von Projekt B und beide sind größer als die Höhe des Kredits. Den Kredit muss der Unternehmer im Falle des Erfolgs samt Zinsen (<math> R=I(1+r)</math>) zurückzahlen. Stellt sich der Erfolg des Projektes nicht ein, kann er auch nichts zurückzahlen und der Gläubiger erhält kein Geld. 
Der Nutzen des Unternehmers sei daher beschrieben durch <math> U(R,i)=P_i(X_i-R) </math> 
: ''Beispiel: Projekt A hat eine Erfolgschance von 0,5 und bringt im Falle des Erfolgs einen Ertrag von 100. Der Kredit wurde in Höhe von 10 zu einem Zinssatz <math> r=10%</math> eingeräumt. <math> R </math> beträgt <math> R=10(1+0,1)=11 </math> Im Falle des Erfolgs muss der Unternehmer 11 zurückzahlen. Insgesamt bleibt ihm dementsprechend <math> X_a-R=100-11=89 </math>. Der Nutzen entspricht <math> U(R,p_a)=0,5(100-11)=44,5</math>'' 
Die Bank/der Gläubiger erhält im Erfolgsfall mit der Wahrscheinlichkeit <math> p_i</math> <math> R </math>, musste jedoch vorher I abgeben. Der erwartete Gewinn der Bank lautet <math> \pi(R,i)=p_i(R-I) </math> Die Summe I gibt die Bank auf jeden Fall ab, <math> R </math> erhält sie nur im Erfolgsfall. 
: ''Im Beispiel bietet das Projekt A einen erwarteten Gewinn der Bank von 0,5, der sich wie folgt berechnen lässt <math> \pi(R,i)=0,5*(11-10)=0,5</math>'' 
'''Der kritische Zinssatz''': 
Unter der Annahme der symmetrischen Informationen würde jedes Projekt entsprechend seinem Risiko einen spezifischen Zinssatz bekommen, sodass <math> R_a \neq R_b</math>. Liegen jedoch asymmetrische Informationen vor, kann die Bank nicht kontrollieren welcher Kredit für welches Projekt verwendet wird. Es hängt von der Größe von <math> R </math> ab, welches Projekt von dem Unternehmer präferiert wird. Ist <math> R </math> sehr klein, wird Projekt A bevorzugt, da dieser einen höheren Ertrag bietet und relativ niedrige Zinskosten entstehen. Ist <math> R </math> jedoch sehr groß, würde vom Ertrag von Projekt A immer weniger für den Unternehmer übrigbleiben. Daher steigt er bei einem kritischen Zinssatz <math> \hat{R} </math> auf Projekt B um, das zwar unwahrscheinlicher ist, jedoch einen höheren Ertrag liefert. 
Bei dem kritischen Zins <math> \hat{R} </math> ist der Unternehmer indifferent: 
<math> p_a(X_a-\hat{R})=p_b(X_b-\hat{R}) </math> 
<math> \hat{R}=\frac{p_aX_a-p_bX_b}{p_a-p_b} </math> 
Ist <math> R \leq \hat{R}</math> wird Projekt A gewählt und ist <math> R>\hat{R}</math> wird Projekt B gewählt. 
 
'''Die Gewinnfunktion der Bank''': 
Aus dem Ergebnis oben resultiert eine Gewinnfunktion für die Bank: 
 
<math> \pi^*(R)=\begin{cases}
P_aR-I, & \text{wenn } 0\leq R \leq \hat{R}; \\
P_bR-I, & \text{wenn } \hat{R} < R < X-b;
\end{cases}</math> 
 
Dies kann durch Umstellen auch grafisch dargestellt werden. Der Gewinn der Bank resultiert bis zu dem kritischen Zinssatz (Grenze in rot dargestellt) von den Zinserträgen bezahlt durch den Erfolg von Projekt A (in grün). Ab einem Zinssatz <math> \hat{R} </math> entscheidet sich der Unternehmer für Projekt B und der Gewinn wird durch die Gerade in lila beschrieben. Die Bank sollte einen Zinssatz <math> R=\hat{R} </math> (oder ganz leicht darunter) wählen, denn liegt der Zinssatz darüber ist der Gewinn geringer oder sogar negativ. Alle diejenige, die ein Kredit nachfragen, bekommen ihn nur noch zu <math> \hat{R} </math>, sodass der Payoff aller Kreditnachfrager <math> U(\hat{R},a)=p_a*(X_a-\hat{R})>0 </math> 
[[Datei:Kreditrationierung.png|400px|rahmenlos]] 
 
'''Die Rationierung''': 
Alle Kreditnehmer fragen einen Kredit zu den Konditionen <math> (I,\hat{R})</math> nach. Ist aber das Kreditangebot bei diesem Zinssatz geringer als die Nachfrage, kommt es zu einer nicht-preislichen Kreditrationierung. Die folgende Abbildung veranschaulicht die Situation, wobei <math> K_D </math> die Kreditnachfrage und <math> K_S </math> das Kreditangebot widerspiegeln: 
[[Datei:Kreditrationierung2.png|400px|rahmenlos]]

==MC Aufgaben==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Was ist '''kein''' Beispiel für Moral Hazard?
|type="()"}
+ Ein Student mit dem Spitznamen scaredy schließt eine Versicherung gegen alle möglichen Gründe ab, da er besonders ängstlich ist.
- Eine Autovermietung namens AmeriCar bietet eine Vollkasko mit 0€ Selbstbeteiligung, deshalb fahren die Mieterinnen und Mieter der Autos unvorsichtiger.
- Im Unternehmen Careless werden Manager direkt am Gewinn beteiligt und versuchen daher den Gewinn auf Kosten des zukünftigen Gewinns zu steigern
- Der Besitzer des Restaurants OnFire, der eine Feuerversicherung besitzt, zündet sein Restaurant an.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Eigenschaft zeichnet Moral Hazard '''nicht''' aus?
|type="()"}
+ Konsumenten und/oder Produzenten handeln irrational
- Es existiert eine Grundlage für einen erwerbsmäßigen Austausch
- Interessenkonflikt
- Nicht alles kann vertraglich festgehalten werden
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Langfristige Aktienoptionen für Führungskräfte in börsenorientierten Unternehmen:
|type="()"}
- 1) geben Managern mit geringem Privatvermögen die Möglichkeit einer größeren Beteiligung am Unternehmen.
- 2) bringen die Interessen von Managern und Aktionären in Einklang.
- 3) bilden einen Anreiz für Manager, sich nicht auf kurzfristige Erfolge zu konzentrieren
- Antworten 1 und 3 sind richtig
+ Antworten1, 2 und 3 sind richtig
</quiz>

Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel

2024-02-22T13:41:47Z

Leitzing: /* MC Fragen */

Der erste Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomie besagt, dass alle Konkurrenzmarktgleichgewichte pareto-effizient sind. Dies kann mittels [[Edgeworth-Box]] für den Handel auf der Konsumentenseite gezeigt werden. Im Weiteren soll gezeigt werden, dass der erste Hauptsatz auch für die Produktion im Wettbewerbsgleichgewicht, den Inputs in Wettbewerbsgleichgewichten, die Allokation der Güter und den Output in Wettbewerbsgleichgewichten gilt.

__TOC__

==Konsumeffizienz==
Die [[Edgeworth-Box]] hat gezeigt, dass Konsumenten effizient konsumieren, wenn ihre Grenzrate der Substitution der Grenzrate der Substitution des anderen Konsumenten entspricht. In diesem Punkt kann kein Konsument besser gestellt werden, ohne einen anderen Konsumenten schlechter zu stellen. Alle pareto-effizienten Konsumpunkte liegen auf der Kontraktkurve. Für eine ausführliche Erklärung der Edgeworth-Box, siehe [[Edgeworth-Box|hier]]. 
Es gilt: 
'''Konsumeffizienz''' 
<math> GRS^1_{x_1,x_2}=GRS^2_{x_1,x_2} </math> 
<math> GRS^1_{x_1,x_2}=\frac{p_1}{p_2}=GRS^2_{x_1,x_2} </math> 
[[Datei:Edgeworthbox4.png|400px|rahmenlos]]

==Effiziente Produktion-Inputeffizienz==
In einer Volkswirtschaft versuchen Unternehmen effizient zu produzieren. Sie produzieren mit möglichst geringen Kosten möglichst viel. Die Berechnung des [[Produktionsoptimum|Produktionsoptimums]] zeigt, dass die Steigung der Isoquante im Optimum dem Preisverhältnis der Inputfaktoren entspricht. Dies kann rechnerisch und auch grafisch, wie in der Abbildung unten links, gezeigt werden. In einer Volkswirtschaft sind die Inputfaktoren häufig begrenzt. Es existieren beispielsweise nicht unendlich viele Menschen in Deutschland, die in der deutschen Wirtschaft arbeiten können. Arbeiten Menschen in Vollzeit für ein Unternehmen 1, können diese nicht mehr Vollzeit für Unternehmen 2 arbeiten. Ähnlich zur [[Edgeworth-Box]] sind auch hier Güter, oder in diesem Fall die Inputfaktoren, begrenzt. In einem Modell mit zwei Unternehmen, die unterschiedliche Produkte herstellen, können sich die Unternehmen die Inputfaktoren in gewisser Weise zuteilen. Wenn es 30 Einheiten Arbeit (L) gibt und Unternehmen 1 20 einsetzt, kann Unternehmen 2 nur noch 10 einsetzen. Das gleiche gilt auch für den Kapitaleinsatz. Dies kann durch eine Ausstattungsbox grafisch dargestellt werden, die starke Ähnlichkeiten zu der [[Edgeworth-Box]] aufweist. Die Ausstattungsbox mitsamt Isoquanten ist in der rechten Abbildung zu sehen. Die Produktionsmenge der beiden Unternehmen steht in einem negativen Verhältnis zueinander. Produziert Unternehmen A viel von Gut <math> x_1 </math>, benötigt es eine große Menge der Inputfaktoren und Unternehmen B kann nur noch eine geringe Menge von Gut <math> x_2 </math> produzieren. Grafisch und rechnerisch zeigt sich, dass die [[Produktionsfunktion und Isoquante#Grenzrate der technischen Substitution|Grenzrate der technischen Substitution (GRTS)]] der beiden Unternehmen im effizienten Gleichgewicht identisch ist. 
Die Herleitung ist wie bei der [[Edgeworth-Box]]. 
'''Inputeffizienz''' 
<math> GRTS^A_{L,K}=GRTS^B_{L,K} </math> 
<math> GRTS^A_{L,K}=\frac{w}{r}=GRTS^B_{L,K} </math> 
[[Datei:Produktionsoptimum.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:Ausstattungsbox.png|400px|rahmenlos]]

==Effiziente Allokation der Güter-Outputregel==
[[Datei:Transformationskurve1.png|350px|links]]
Die Herleitungen der [[Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel#Effiziente Produktion-Inputeffizienz|effizienten Produktion/Inputeffizienz]] zeigt, dass eine Volkswirtschaft in diesem Modell vor dem Trade-off zwischen der Produktion von Gut <math> x_1 </math> und der Produktion von Gut <math> x_2 </math> steht. Soll viel von dem Gut <math> x_1 </math> produziert werden, kann weniger von Gut <math> x_2 </math> produziert werden. Die beiden Güter stehen in einem Austauschverhältnis zueinander, dass verschiedene Werte annehmen kann. Das Verhältnis kann beispielsweise linear sein. In diesem Fall kann für jedes Gut <math> x_1 </math> weniger immer eine konstant bleibende Menge <math> x_2 </math> mehr produziert werden. Es sind auch Austauschverhältnisse möglich, die nicht linear sind. In diesem Fall hängt die zusätzliche Menge, die von Gut <math> x_2 </math> produziert werden kann, immer mit der Menge von <math> x_2 </math> zusammen, die bereits produziert wird. Dieses Phänomen hat starke Bezüge zum abnehmenden [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]]. Hier stiftet eine zusätzliche Einheit einen immer kleiner werdenden Nutzen, je mehr von diesem Gut bereits konsumiert wird. Im Kontext der Produktion bedeutet dies, dass immer weniger von einem Gut <math> x_2 </math> durch ein eingespartes Gut <math> x_1 </math> produziert werden kann, je mehr von diesem Gut bereits produziert wird. Ein solcher Fall ist in der Abbildung links dargestellt. Die [[Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel#Effiziente Produktion|effizienten Produktion]] hat in dem Beispiel gezeigt, dass wenn von <math> x_1 </math> 40 Einheiten produziert werden, von <math> x_2 </math> effizient 75 Einheiten produziert werden können. Sollen von <math> x_1 </math> 20 Einheiten produziert werden, können von <math> x_2 </math> nur 70 Einheiten produziert werden. Das selbe Prinzip gilt für <math> x_1=50 </math> und <math> y_1=60 </math>. Die jeweiligen Kombinationen von <math> x_1-x_2 </math> können in ein entsprechendes Diagramm eingezeichnet werden. Dies wurde in dem Beispiel unter der Ausstattungsbox getan. Die Verbindungslinie aller effizienten Produktionsmengen ist die Transformationskurve. Die Transformationskurve hat eine negative Steigung und gibt in jedem einzelnen Punkt an, in welchen Verhältnis <math> x_1 </math> zu <math> x_2 </math> transformiert werden können. Gegeben einer Funktion kann die Grenzrate der Transformation (GRT), also die Rate der Transformation in der [[Marginale Sichtweise|Grenzbetrachtung]], durch die partielle Ableitung nach <math> x_1 </math> durch die partielle Ableitung nach <math> x_2 </math>. Es kann mathematisch gezeigt werden, dass die GRT dem Grenzkostenverhältnis entspricht. 
<math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{MC_1}{MC_2}=\frac{GK_1}{GK_2} </math>
 
An dieser Stelle sei nochmal erwähnt, dass die Transformationskurve aus den effizienten Produktionsniveaus besteht. Entlang der Transformationskurve existiert demnach immer die Inputeffizienz. 
Auf der Transformationskurve gilt überall: <math> GRTS^1_{L,K}=GRTS^2_{L,K} </math>
 

Die Ausführungen oben zeigen, wie zwischen der Produktion zweier Güter gewählt werden kann. Wie einfach der Wechsel von Produktion des Gutes <math> x_2 </math> zu Gut <math> x_1 </math> ist zeigt sich in der GRT. Jedoch stellt sich weiterhin die Frage, welche Aufteilung optimal ist. Recht intuitiv unter den Standardannahmen ist, dass die optimale Menge auf der Transformationskurve liegt. Ein Unternehmen wird so viele Güter wie möglich produzieren und damit verkaufen wollen. Dass es jedoch auch für die Konsumenten in einer gesellschaftlichen Sichtweise optimal ist, wenn das Unternehmen auf der Transformationskurve produziert, zeigt die weitere Ausführung. Hierfür sollen Indifferenzkurven aus gesellschaftlicher Sicht modelliert werden. Unter den [[Axiome der Nutzentheorie|Annahmen über Präferenzen]] ist eine hohe Konsummenge besser als eine leicht geringere. Die Gesellschaft versucht also als Ganzes auf eine möglichst hohe [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurve]] zu gelangen. Diese liegt im Tangentialpunkt der Indifferenzkurve mit der Transformationskurve, der in der Abbildung unten eingezeichnet ist. Es muss also gelten 
<math> GRT=GRS </math> 
Die vorherigen Ausführungen haben gezeigt, dass <math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{GK_1}{GK_2} </math> und <math> GRS_{x_1,x_2}=\frac{p_1}{p_2} </math> bei einem effizienten Output gilt also: 
'''Outputregel''' 
<math> GRT_{x_1,x_2}=GRS_{x_1,x_2} </math>
<math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{GK_1}{GK_2}=\frac{p_1}{p_2}=GRS_{x_1,x_2} </math> 
Das Preisverhältnis der beiden Güter muss gleich dem Grenzkostenverhältnis sein. Dies ergibt gerade im Kontext des [[Marktformen#Perfekter Wettbewerb|perfekten Wettbewerbs]] Sinn, in dem der Preis eines Gutes gleich seinen Grenzkosten ist.
[[Datei:Allokation.png|400px|rahmenlos]]

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Im Rahmen der allgemeinen Gleichgewichtstheorie bezeichnet die Kontraktkurve die Allokation von Gütern...
|type="()"}
+ ...bei welchen niemand besser gestellt werden kann ohne gleichzeitig jemand anderen schlechter zu stellen.
- ...welche stets mit der aktuellsten Produktionstechnologie hergestellt wurden.
- ...die ausschließlich im Rahmen einer Tauschökonomie erreicht werden können.
- ...welche bei einem bestimmten Produktionsprozess den maximal erreichbaren Output bei gegebenem Input abbilden.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welche der Effizienzaussagen ist verletzt, wenn der Output-Preis von Gut 1 gleich dessen Grenzkosten entspricht und der Output-Preis von Gut 2 doppelt so groß ist wie die Grenzkosten von Gut 2?
|type="()"}
- Inputeffizienz
- Konsumeffizienz
+ Outputregel
- Keine der Antworten ist richtig.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welche der fogenden Aussagen ist unter der Betrachtung der üblichen Annahmen über Nutzen- und Produktionsfunktionen '''falsch'''?
|type="()"}
- Die Allokation von Gütern im Tauschgleichgewicht ist nur dann effzient, wenn die Grenzrate der Substitution jedes Güterpaares für alle Verbraucher identisch ist.
- Inputeffzienz liegt dann vor, wenn die Grenzrate der technischen Substitution von Kapital und Arbeit bei allen Gütern gleich ist.
- Das Faktormarktgleichgewicht zweier mobiler Faktoren bei vollkommenem Wettbewerb ist effzient, da die Faktoren jeweils nach ihren Grenzprodukt entlohnt werden.
+ Für eine pareto-optimale Gütermischung muss die Grenzrate der Transformation der Grenzrate der technischen Substitution bei allen Gütern entsprechen.
- Keine der genannten Antworten ist korrekt.
</quiz>

Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel

2024-02-22T13:38:55Z

Leitzing: /* MC Fragen */

Der erste Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomie besagt, dass alle Konkurrenzmarktgleichgewichte pareto-effizient sind. Dies kann mittels [[Edgeworth-Box]] für den Handel auf der Konsumentenseite gezeigt werden. Im Weiteren soll gezeigt werden, dass der erste Hauptsatz auch für die Produktion im Wettbewerbsgleichgewicht, den Inputs in Wettbewerbsgleichgewichten, die Allokation der Güter und den Output in Wettbewerbsgleichgewichten gilt.

__TOC__

==Konsumeffizienz==
Die [[Edgeworth-Box]] hat gezeigt, dass Konsumenten effizient konsumieren, wenn ihre Grenzrate der Substitution der Grenzrate der Substitution des anderen Konsumenten entspricht. In diesem Punkt kann kein Konsument besser gestellt werden, ohne einen anderen Konsumenten schlechter zu stellen. Alle pareto-effizienten Konsumpunkte liegen auf der Kontraktkurve. Für eine ausführliche Erklärung der Edgeworth-Box, siehe [[Edgeworth-Box|hier]]. 
Es gilt: 
'''Konsumeffizienz''' 
<math> GRS^1_{x_1,x_2}=GRS^2_{x_1,x_2} </math> 
<math> GRS^1_{x_1,x_2}=\frac{p_1}{p_2}=GRS^2_{x_1,x_2} </math> 
[[Datei:Edgeworthbox4.png|400px|rahmenlos]]

==Effiziente Produktion-Inputeffizienz==
In einer Volkswirtschaft versuchen Unternehmen effizient zu produzieren. Sie produzieren mit möglichst geringen Kosten möglichst viel. Die Berechnung des [[Produktionsoptimum|Produktionsoptimums]] zeigt, dass die Steigung der Isoquante im Optimum dem Preisverhältnis der Inputfaktoren entspricht. Dies kann rechnerisch und auch grafisch, wie in der Abbildung unten links, gezeigt werden. In einer Volkswirtschaft sind die Inputfaktoren häufig begrenzt. Es existieren beispielsweise nicht unendlich viele Menschen in Deutschland, die in der deutschen Wirtschaft arbeiten können. Arbeiten Menschen in Vollzeit für ein Unternehmen 1, können diese nicht mehr Vollzeit für Unternehmen 2 arbeiten. Ähnlich zur [[Edgeworth-Box]] sind auch hier Güter, oder in diesem Fall die Inputfaktoren, begrenzt. In einem Modell mit zwei Unternehmen, die unterschiedliche Produkte herstellen, können sich die Unternehmen die Inputfaktoren in gewisser Weise zuteilen. Wenn es 30 Einheiten Arbeit (L) gibt und Unternehmen 1 20 einsetzt, kann Unternehmen 2 nur noch 10 einsetzen. Das gleiche gilt auch für den Kapitaleinsatz. Dies kann durch eine Ausstattungsbox grafisch dargestellt werden, die starke Ähnlichkeiten zu der [[Edgeworth-Box]] aufweist. Die Ausstattungsbox mitsamt Isoquanten ist in der rechten Abbildung zu sehen. Die Produktionsmenge der beiden Unternehmen steht in einem negativen Verhältnis zueinander. Produziert Unternehmen A viel von Gut <math> x_1 </math>, benötigt es eine große Menge der Inputfaktoren und Unternehmen B kann nur noch eine geringe Menge von Gut <math> x_2 </math> produzieren. Grafisch und rechnerisch zeigt sich, dass die [[Produktionsfunktion und Isoquante#Grenzrate der technischen Substitution|Grenzrate der technischen Substitution (GRTS)]] der beiden Unternehmen im effizienten Gleichgewicht identisch ist. 
Die Herleitung ist wie bei der [[Edgeworth-Box]]. 
'''Inputeffizienz''' 
<math> GRTS^A_{L,K}=GRTS^B_{L,K} </math> 
<math> GRTS^A_{L,K}=\frac{w}{r}=GRTS^B_{L,K} </math> 
[[Datei:Produktionsoptimum.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:Ausstattungsbox.png|400px|rahmenlos]]

==Effiziente Allokation der Güter-Outputregel==
[[Datei:Transformationskurve1.png|350px|links]]
Die Herleitungen der [[Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel#Effiziente Produktion-Inputeffizienz|effizienten Produktion/Inputeffizienz]] zeigt, dass eine Volkswirtschaft in diesem Modell vor dem Trade-off zwischen der Produktion von Gut <math> x_1 </math> und der Produktion von Gut <math> x_2 </math> steht. Soll viel von dem Gut <math> x_1 </math> produziert werden, kann weniger von Gut <math> x_2 </math> produziert werden. Die beiden Güter stehen in einem Austauschverhältnis zueinander, dass verschiedene Werte annehmen kann. Das Verhältnis kann beispielsweise linear sein. In diesem Fall kann für jedes Gut <math> x_1 </math> weniger immer eine konstant bleibende Menge <math> x_2 </math> mehr produziert werden. Es sind auch Austauschverhältnisse möglich, die nicht linear sind. In diesem Fall hängt die zusätzliche Menge, die von Gut <math> x_2 </math> produziert werden kann, immer mit der Menge von <math> x_2 </math> zusammen, die bereits produziert wird. Dieses Phänomen hat starke Bezüge zum abnehmenden [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]]. Hier stiftet eine zusätzliche Einheit einen immer kleiner werdenden Nutzen, je mehr von diesem Gut bereits konsumiert wird. Im Kontext der Produktion bedeutet dies, dass immer weniger von einem Gut <math> x_2 </math> durch ein eingespartes Gut <math> x_1 </math> produziert werden kann, je mehr von diesem Gut bereits produziert wird. Ein solcher Fall ist in der Abbildung links dargestellt. Die [[Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel#Effiziente Produktion|effizienten Produktion]] hat in dem Beispiel gezeigt, dass wenn von <math> x_1 </math> 40 Einheiten produziert werden, von <math> x_2 </math> effizient 75 Einheiten produziert werden können. Sollen von <math> x_1 </math> 20 Einheiten produziert werden, können von <math> x_2 </math> nur 70 Einheiten produziert werden. Das selbe Prinzip gilt für <math> x_1=50 </math> und <math> y_1=60 </math>. Die jeweiligen Kombinationen von <math> x_1-x_2 </math> können in ein entsprechendes Diagramm eingezeichnet werden. Dies wurde in dem Beispiel unter der Ausstattungsbox getan. Die Verbindungslinie aller effizienten Produktionsmengen ist die Transformationskurve. Die Transformationskurve hat eine negative Steigung und gibt in jedem einzelnen Punkt an, in welchen Verhältnis <math> x_1 </math> zu <math> x_2 </math> transformiert werden können. Gegeben einer Funktion kann die Grenzrate der Transformation (GRT), also die Rate der Transformation in der [[Marginale Sichtweise|Grenzbetrachtung]], durch die partielle Ableitung nach <math> x_1 </math> durch die partielle Ableitung nach <math> x_2 </math>. Es kann mathematisch gezeigt werden, dass die GRT dem Grenzkostenverhältnis entspricht. 
<math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{MC_1}{MC_2}=\frac{GK_1}{GK_2} </math>
 
An dieser Stelle sei nochmal erwähnt, dass die Transformationskurve aus den effizienten Produktionsniveaus besteht. Entlang der Transformationskurve existiert demnach immer die Inputeffizienz. 
Auf der Transformationskurve gilt überall: <math> GRTS^1_{L,K}=GRTS^2_{L,K} </math>
 

Die Ausführungen oben zeigen, wie zwischen der Produktion zweier Güter gewählt werden kann. Wie einfach der Wechsel von Produktion des Gutes <math> x_2 </math> zu Gut <math> x_1 </math> ist zeigt sich in der GRT. Jedoch stellt sich weiterhin die Frage, welche Aufteilung optimal ist. Recht intuitiv unter den Standardannahmen ist, dass die optimale Menge auf der Transformationskurve liegt. Ein Unternehmen wird so viele Güter wie möglich produzieren und damit verkaufen wollen. Dass es jedoch auch für die Konsumenten in einer gesellschaftlichen Sichtweise optimal ist, wenn das Unternehmen auf der Transformationskurve produziert, zeigt die weitere Ausführung. Hierfür sollen Indifferenzkurven aus gesellschaftlicher Sicht modelliert werden. Unter den [[Axiome der Nutzentheorie|Annahmen über Präferenzen]] ist eine hohe Konsummenge besser als eine leicht geringere. Die Gesellschaft versucht also als Ganzes auf eine möglichst hohe [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurve]] zu gelangen. Diese liegt im Tangentialpunkt der Indifferenzkurve mit der Transformationskurve, der in der Abbildung unten eingezeichnet ist. Es muss also gelten 
<math> GRT=GRS </math> 
Die vorherigen Ausführungen haben gezeigt, dass <math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{GK_1}{GK_2} </math> und <math> GRS_{x_1,x_2}=\frac{p_1}{p_2} </math> bei einem effizienten Output gilt also: 
'''Outputregel''' 
<math> GRT_{x_1,x_2}=GRS_{x_1,x_2} </math>
<math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{GK_1}{GK_2}=\frac{p_1}{p_2}=GRS_{x_1,x_2} </math> 
Das Preisverhältnis der beiden Güter muss gleich dem Grenzkostenverhältnis sein. Dies ergibt gerade im Kontext des [[Marktformen#Perfekter Wettbewerb|perfekten Wettbewerbs]] Sinn, in dem der Preis eines Gutes gleich seinen Grenzkosten ist.
[[Datei:Allokation.png|400px|rahmenlos]]

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Im Rahmen der allgemeinen Gleichgewichtstheorie bezeichnet die Kontraktkurve die Allokation von Gütern...
|type="()"}
+ ...bei welchen niemand besser gestellt werden kann ohne gleichzeitig jemand anderen schlechter zu stellen.
- ...welche stets mit der aktuellsten Produktionstechnologie hergestellt wurden.
- ...die ausschließlich im Rahmen einer Tauschökonomie erreicht werden können.
- ...welche bei einem bestimmten Produktionsprozess den maximal erreichbaren Output bei gegebenem Input abbilden.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welche der Effizienzaussagen ist verletzt, wenn der Preis von Gut 1 gleich dessen Grenzkosten entspricht und der Preis von Gut 2 doppelt so groß ist wie die Grenzkosten von Gut 2?
|type="()"}
- Inputeffizienz
- Konsumeffizienz
+ Outputregel
- Keine der Antworten ist richtig.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welche der fogenden Aussagen ist unter der Betrachtung der üblichen Annahmen über Nutzen- und Produktionsfunktionen '''falsch'''?
|type="()"}
- Die Allokation von Gütern im Tauschgleichgewicht ist nur dann effzient, wenn die Grenzrate der Substitution jedes Güterpaares für alle Verbraucher identisch ist.
- Inputeffzienz liegt dann vor, wenn die Grenzrate der technischen Substitution von Kapital und Arbeit bei allen Gütern gleich ist.
- Das Faktormarktgleichgewicht zweier mobiler Faktoren bei vollkommenem Wettbewerb ist effzient, da die Faktoren jeweils nach ihren Grenzprodukt entlohnt werden.
+ Für eine pareto-optimale Gütermischung muss die Grenzrate der Transformation der Grenzrate der technischen Substitution bei allen Gütern entsprechen.
- Keine der genannten Antworten ist korrekt.
</quiz>

Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel

2024-02-22T13:38:06Z

Leitzing: /* MC Fragen */

Der erste Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomie besagt, dass alle Konkurrenzmarktgleichgewichte pareto-effizient sind. Dies kann mittels [[Edgeworth-Box]] für den Handel auf der Konsumentenseite gezeigt werden. Im Weiteren soll gezeigt werden, dass der erste Hauptsatz auch für die Produktion im Wettbewerbsgleichgewicht, den Inputs in Wettbewerbsgleichgewichten, die Allokation der Güter und den Output in Wettbewerbsgleichgewichten gilt.

__TOC__

==Konsumeffizienz==
Die [[Edgeworth-Box]] hat gezeigt, dass Konsumenten effizient konsumieren, wenn ihre Grenzrate der Substitution der Grenzrate der Substitution des anderen Konsumenten entspricht. In diesem Punkt kann kein Konsument besser gestellt werden, ohne einen anderen Konsumenten schlechter zu stellen. Alle pareto-effizienten Konsumpunkte liegen auf der Kontraktkurve. Für eine ausführliche Erklärung der Edgeworth-Box, siehe [[Edgeworth-Box|hier]]. 
Es gilt: 
'''Konsumeffizienz''' 
<math> GRS^1_{x_1,x_2}=GRS^2_{x_1,x_2} </math> 
<math> GRS^1_{x_1,x_2}=\frac{p_1}{p_2}=GRS^2_{x_1,x_2} </math> 
[[Datei:Edgeworthbox4.png|400px|rahmenlos]]

==Effiziente Produktion-Inputeffizienz==
In einer Volkswirtschaft versuchen Unternehmen effizient zu produzieren. Sie produzieren mit möglichst geringen Kosten möglichst viel. Die Berechnung des [[Produktionsoptimum|Produktionsoptimums]] zeigt, dass die Steigung der Isoquante im Optimum dem Preisverhältnis der Inputfaktoren entspricht. Dies kann rechnerisch und auch grafisch, wie in der Abbildung unten links, gezeigt werden. In einer Volkswirtschaft sind die Inputfaktoren häufig begrenzt. Es existieren beispielsweise nicht unendlich viele Menschen in Deutschland, die in der deutschen Wirtschaft arbeiten können. Arbeiten Menschen in Vollzeit für ein Unternehmen 1, können diese nicht mehr Vollzeit für Unternehmen 2 arbeiten. Ähnlich zur [[Edgeworth-Box]] sind auch hier Güter, oder in diesem Fall die Inputfaktoren, begrenzt. In einem Modell mit zwei Unternehmen, die unterschiedliche Produkte herstellen, können sich die Unternehmen die Inputfaktoren in gewisser Weise zuteilen. Wenn es 30 Einheiten Arbeit (L) gibt und Unternehmen 1 20 einsetzt, kann Unternehmen 2 nur noch 10 einsetzen. Das gleiche gilt auch für den Kapitaleinsatz. Dies kann durch eine Ausstattungsbox grafisch dargestellt werden, die starke Ähnlichkeiten zu der [[Edgeworth-Box]] aufweist. Die Ausstattungsbox mitsamt Isoquanten ist in der rechten Abbildung zu sehen. Die Produktionsmenge der beiden Unternehmen steht in einem negativen Verhältnis zueinander. Produziert Unternehmen A viel von Gut <math> x_1 </math>, benötigt es eine große Menge der Inputfaktoren und Unternehmen B kann nur noch eine geringe Menge von Gut <math> x_2 </math> produzieren. Grafisch und rechnerisch zeigt sich, dass die [[Produktionsfunktion und Isoquante#Grenzrate der technischen Substitution|Grenzrate der technischen Substitution (GRTS)]] der beiden Unternehmen im effizienten Gleichgewicht identisch ist. 
Die Herleitung ist wie bei der [[Edgeworth-Box]]. 
'''Inputeffizienz''' 
<math> GRTS^A_{L,K}=GRTS^B_{L,K} </math> 
<math> GRTS^A_{L,K}=\frac{w}{r}=GRTS^B_{L,K} </math> 
[[Datei:Produktionsoptimum.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:Ausstattungsbox.png|400px|rahmenlos]]

==Effiziente Allokation der Güter-Outputregel==
[[Datei:Transformationskurve1.png|350px|links]]
Die Herleitungen der [[Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel#Effiziente Produktion-Inputeffizienz|effizienten Produktion/Inputeffizienz]] zeigt, dass eine Volkswirtschaft in diesem Modell vor dem Trade-off zwischen der Produktion von Gut <math> x_1 </math> und der Produktion von Gut <math> x_2 </math> steht. Soll viel von dem Gut <math> x_1 </math> produziert werden, kann weniger von Gut <math> x_2 </math> produziert werden. Die beiden Güter stehen in einem Austauschverhältnis zueinander, dass verschiedene Werte annehmen kann. Das Verhältnis kann beispielsweise linear sein. In diesem Fall kann für jedes Gut <math> x_1 </math> weniger immer eine konstant bleibende Menge <math> x_2 </math> mehr produziert werden. Es sind auch Austauschverhältnisse möglich, die nicht linear sind. In diesem Fall hängt die zusätzliche Menge, die von Gut <math> x_2 </math> produziert werden kann, immer mit der Menge von <math> x_2 </math> zusammen, die bereits produziert wird. Dieses Phänomen hat starke Bezüge zum abnehmenden [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]]. Hier stiftet eine zusätzliche Einheit einen immer kleiner werdenden Nutzen, je mehr von diesem Gut bereits konsumiert wird. Im Kontext der Produktion bedeutet dies, dass immer weniger von einem Gut <math> x_2 </math> durch ein eingespartes Gut <math> x_1 </math> produziert werden kann, je mehr von diesem Gut bereits produziert wird. Ein solcher Fall ist in der Abbildung links dargestellt. Die [[Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel#Effiziente Produktion|effizienten Produktion]] hat in dem Beispiel gezeigt, dass wenn von <math> x_1 </math> 40 Einheiten produziert werden, von <math> x_2 </math> effizient 75 Einheiten produziert werden können. Sollen von <math> x_1 </math> 20 Einheiten produziert werden, können von <math> x_2 </math> nur 70 Einheiten produziert werden. Das selbe Prinzip gilt für <math> x_1=50 </math> und <math> y_1=60 </math>. Die jeweiligen Kombinationen von <math> x_1-x_2 </math> können in ein entsprechendes Diagramm eingezeichnet werden. Dies wurde in dem Beispiel unter der Ausstattungsbox getan. Die Verbindungslinie aller effizienten Produktionsmengen ist die Transformationskurve. Die Transformationskurve hat eine negative Steigung und gibt in jedem einzelnen Punkt an, in welchen Verhältnis <math> x_1 </math> zu <math> x_2 </math> transformiert werden können. Gegeben einer Funktion kann die Grenzrate der Transformation (GRT), also die Rate der Transformation in der [[Marginale Sichtweise|Grenzbetrachtung]], durch die partielle Ableitung nach <math> x_1 </math> durch die partielle Ableitung nach <math> x_2 </math>. Es kann mathematisch gezeigt werden, dass die GRT dem Grenzkostenverhältnis entspricht. 
<math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{MC_1}{MC_2}=\frac{GK_1}{GK_2} </math>
 
An dieser Stelle sei nochmal erwähnt, dass die Transformationskurve aus den effizienten Produktionsniveaus besteht. Entlang der Transformationskurve existiert demnach immer die Inputeffizienz. 
Auf der Transformationskurve gilt überall: <math> GRTS^1_{L,K}=GRTS^2_{L,K} </math>
 

Die Ausführungen oben zeigen, wie zwischen der Produktion zweier Güter gewählt werden kann. Wie einfach der Wechsel von Produktion des Gutes <math> x_2 </math> zu Gut <math> x_1 </math> ist zeigt sich in der GRT. Jedoch stellt sich weiterhin die Frage, welche Aufteilung optimal ist. Recht intuitiv unter den Standardannahmen ist, dass die optimale Menge auf der Transformationskurve liegt. Ein Unternehmen wird so viele Güter wie möglich produzieren und damit verkaufen wollen. Dass es jedoch auch für die Konsumenten in einer gesellschaftlichen Sichtweise optimal ist, wenn das Unternehmen auf der Transformationskurve produziert, zeigt die weitere Ausführung. Hierfür sollen Indifferenzkurven aus gesellschaftlicher Sicht modelliert werden. Unter den [[Axiome der Nutzentheorie|Annahmen über Präferenzen]] ist eine hohe Konsummenge besser als eine leicht geringere. Die Gesellschaft versucht also als Ganzes auf eine möglichst hohe [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurve]] zu gelangen. Diese liegt im Tangentialpunkt der Indifferenzkurve mit der Transformationskurve, der in der Abbildung unten eingezeichnet ist. Es muss also gelten 
<math> GRT=GRS </math> 
Die vorherigen Ausführungen haben gezeigt, dass <math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{GK_1}{GK_2} </math> und <math> GRS_{x_1,x_2}=\frac{p_1}{p_2} </math> bei einem effizienten Output gilt also: 
'''Outputregel''' 
<math> GRT_{x_1,x_2}=GRS_{x_1,x_2} </math>
<math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{GK_1}{GK_2}=\frac{p_1}{p_2}=GRS_{x_1,x_2} </math> 
Das Preisverhältnis der beiden Güter muss gleich dem Grenzkostenverhältnis sein. Dies ergibt gerade im Kontext des [[Marktformen#Perfekter Wettbewerb|perfekten Wettbewerbs]] Sinn, in dem der Preis eines Gutes gleich seinen Grenzkosten ist.
[[Datei:Allokation.png|400px|rahmenlos]]

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Im Rahmen der allgemeinen Gleichgewichtstheorie bezeichnet die Kontraktkurve die Allokation von Gütern...
|type="()"}
+ ...bei welchen niemand besser gestellt werden kann ohne gleichzeitig jemand anderen schlechter zu stellen.
- ...welche stets mit der aktuellsten Produktionstechnologie hergestellt wurden.
- ...die ausschließlich im Rahmen einer Tauschökonomie erreicht werden können.
- ...welche bei einem bestimmten Produktionsprozess den maximal erreichbaren Output bei gegebenem Input abbilden.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welche der Effizienzaussagen ist verletzt, wenn der Preis von Gut 1 gleich seinen Grenzkosten ist und der Preis von Gut 2 doppelt so groß ist wie seine Grenzkosten?
|type="()"}
- Inputeffizienz
- Konsumeffizienz
+ Outputregel
- Keine der Antworten ist richtig.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welche der fogenden Aussagen ist unter der Betrachtung der üblichen Annahmen über Nutzen- und Produktionsfunktionen '''falsch'''?
|type="()"}
- Die Allokation von Gütern im Tauschgleichgewicht ist nur dann effzient, wenn die Grenzrate der Substitution jedes Güterpaares für alle Verbraucher identisch ist.
- Inputeffzienz liegt dann vor, wenn die Grenzrate der technischen Substitution von Kapital und Arbeit bei allen Gütern gleich ist.
- Das Faktormarktgleichgewicht zweier mobiler Faktoren bei vollkommenem Wettbewerb ist effzient, da die Faktoren jeweils nach ihren Grenzprodukt entlohnt werden.
+ Für eine pareto-optimale Gütermischung muss die Grenzrate der Transformation der Grenzrate der technischen Substitution bei allen Gütern entsprechen.
- Keine der genannten Antworten ist korrekt.
</quiz>

Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel

2024-02-22T13:37:55Z

Leitzing: /* MC Fragen */

Der erste Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomie besagt, dass alle Konkurrenzmarktgleichgewichte pareto-effizient sind. Dies kann mittels [[Edgeworth-Box]] für den Handel auf der Konsumentenseite gezeigt werden. Im Weiteren soll gezeigt werden, dass der erste Hauptsatz auch für die Produktion im Wettbewerbsgleichgewicht, den Inputs in Wettbewerbsgleichgewichten, die Allokation der Güter und den Output in Wettbewerbsgleichgewichten gilt.

__TOC__

==Konsumeffizienz==
Die [[Edgeworth-Box]] hat gezeigt, dass Konsumenten effizient konsumieren, wenn ihre Grenzrate der Substitution der Grenzrate der Substitution des anderen Konsumenten entspricht. In diesem Punkt kann kein Konsument besser gestellt werden, ohne einen anderen Konsumenten schlechter zu stellen. Alle pareto-effizienten Konsumpunkte liegen auf der Kontraktkurve. Für eine ausführliche Erklärung der Edgeworth-Box, siehe [[Edgeworth-Box|hier]]. 
Es gilt: 
'''Konsumeffizienz''' 
<math> GRS^1_{x_1,x_2}=GRS^2_{x_1,x_2} </math> 
<math> GRS^1_{x_1,x_2}=\frac{p_1}{p_2}=GRS^2_{x_1,x_2} </math> 
[[Datei:Edgeworthbox4.png|400px|rahmenlos]]

==Effiziente Produktion-Inputeffizienz==
In einer Volkswirtschaft versuchen Unternehmen effizient zu produzieren. Sie produzieren mit möglichst geringen Kosten möglichst viel. Die Berechnung des [[Produktionsoptimum|Produktionsoptimums]] zeigt, dass die Steigung der Isoquante im Optimum dem Preisverhältnis der Inputfaktoren entspricht. Dies kann rechnerisch und auch grafisch, wie in der Abbildung unten links, gezeigt werden. In einer Volkswirtschaft sind die Inputfaktoren häufig begrenzt. Es existieren beispielsweise nicht unendlich viele Menschen in Deutschland, die in der deutschen Wirtschaft arbeiten können. Arbeiten Menschen in Vollzeit für ein Unternehmen 1, können diese nicht mehr Vollzeit für Unternehmen 2 arbeiten. Ähnlich zur [[Edgeworth-Box]] sind auch hier Güter, oder in diesem Fall die Inputfaktoren, begrenzt. In einem Modell mit zwei Unternehmen, die unterschiedliche Produkte herstellen, können sich die Unternehmen die Inputfaktoren in gewisser Weise zuteilen. Wenn es 30 Einheiten Arbeit (L) gibt und Unternehmen 1 20 einsetzt, kann Unternehmen 2 nur noch 10 einsetzen. Das gleiche gilt auch für den Kapitaleinsatz. Dies kann durch eine Ausstattungsbox grafisch dargestellt werden, die starke Ähnlichkeiten zu der [[Edgeworth-Box]] aufweist. Die Ausstattungsbox mitsamt Isoquanten ist in der rechten Abbildung zu sehen. Die Produktionsmenge der beiden Unternehmen steht in einem negativen Verhältnis zueinander. Produziert Unternehmen A viel von Gut <math> x_1 </math>, benötigt es eine große Menge der Inputfaktoren und Unternehmen B kann nur noch eine geringe Menge von Gut <math> x_2 </math> produzieren. Grafisch und rechnerisch zeigt sich, dass die [[Produktionsfunktion und Isoquante#Grenzrate der technischen Substitution|Grenzrate der technischen Substitution (GRTS)]] der beiden Unternehmen im effizienten Gleichgewicht identisch ist. 
Die Herleitung ist wie bei der [[Edgeworth-Box]]. 
'''Inputeffizienz''' 
<math> GRTS^A_{L,K}=GRTS^B_{L,K} </math> 
<math> GRTS^A_{L,K}=\frac{w}{r}=GRTS^B_{L,K} </math> 
[[Datei:Produktionsoptimum.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:Ausstattungsbox.png|400px|rahmenlos]]

==Effiziente Allokation der Güter-Outputregel==
[[Datei:Transformationskurve1.png|350px|links]]
Die Herleitungen der [[Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel#Effiziente Produktion-Inputeffizienz|effizienten Produktion/Inputeffizienz]] zeigt, dass eine Volkswirtschaft in diesem Modell vor dem Trade-off zwischen der Produktion von Gut <math> x_1 </math> und der Produktion von Gut <math> x_2 </math> steht. Soll viel von dem Gut <math> x_1 </math> produziert werden, kann weniger von Gut <math> x_2 </math> produziert werden. Die beiden Güter stehen in einem Austauschverhältnis zueinander, dass verschiedene Werte annehmen kann. Das Verhältnis kann beispielsweise linear sein. In diesem Fall kann für jedes Gut <math> x_1 </math> weniger immer eine konstant bleibende Menge <math> x_2 </math> mehr produziert werden. Es sind auch Austauschverhältnisse möglich, die nicht linear sind. In diesem Fall hängt die zusätzliche Menge, die von Gut <math> x_2 </math> produziert werden kann, immer mit der Menge von <math> x_2 </math> zusammen, die bereits produziert wird. Dieses Phänomen hat starke Bezüge zum abnehmenden [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]]. Hier stiftet eine zusätzliche Einheit einen immer kleiner werdenden Nutzen, je mehr von diesem Gut bereits konsumiert wird. Im Kontext der Produktion bedeutet dies, dass immer weniger von einem Gut <math> x_2 </math> durch ein eingespartes Gut <math> x_1 </math> produziert werden kann, je mehr von diesem Gut bereits produziert wird. Ein solcher Fall ist in der Abbildung links dargestellt. Die [[Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel#Effiziente Produktion|effizienten Produktion]] hat in dem Beispiel gezeigt, dass wenn von <math> x_1 </math> 40 Einheiten produziert werden, von <math> x_2 </math> effizient 75 Einheiten produziert werden können. Sollen von <math> x_1 </math> 20 Einheiten produziert werden, können von <math> x_2 </math> nur 70 Einheiten produziert werden. Das selbe Prinzip gilt für <math> x_1=50 </math> und <math> y_1=60 </math>. Die jeweiligen Kombinationen von <math> x_1-x_2 </math> können in ein entsprechendes Diagramm eingezeichnet werden. Dies wurde in dem Beispiel unter der Ausstattungsbox getan. Die Verbindungslinie aller effizienten Produktionsmengen ist die Transformationskurve. Die Transformationskurve hat eine negative Steigung und gibt in jedem einzelnen Punkt an, in welchen Verhältnis <math> x_1 </math> zu <math> x_2 </math> transformiert werden können. Gegeben einer Funktion kann die Grenzrate der Transformation (GRT), also die Rate der Transformation in der [[Marginale Sichtweise|Grenzbetrachtung]], durch die partielle Ableitung nach <math> x_1 </math> durch die partielle Ableitung nach <math> x_2 </math>. Es kann mathematisch gezeigt werden, dass die GRT dem Grenzkostenverhältnis entspricht. 
<math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{MC_1}{MC_2}=\frac{GK_1}{GK_2} </math>
 
An dieser Stelle sei nochmal erwähnt, dass die Transformationskurve aus den effizienten Produktionsniveaus besteht. Entlang der Transformationskurve existiert demnach immer die Inputeffizienz. 
Auf der Transformationskurve gilt überall: <math> GRTS^1_{L,K}=GRTS^2_{L,K} </math>
 

Die Ausführungen oben zeigen, wie zwischen der Produktion zweier Güter gewählt werden kann. Wie einfach der Wechsel von Produktion des Gutes <math> x_2 </math> zu Gut <math> x_1 </math> ist zeigt sich in der GRT. Jedoch stellt sich weiterhin die Frage, welche Aufteilung optimal ist. Recht intuitiv unter den Standardannahmen ist, dass die optimale Menge auf der Transformationskurve liegt. Ein Unternehmen wird so viele Güter wie möglich produzieren und damit verkaufen wollen. Dass es jedoch auch für die Konsumenten in einer gesellschaftlichen Sichtweise optimal ist, wenn das Unternehmen auf der Transformationskurve produziert, zeigt die weitere Ausführung. Hierfür sollen Indifferenzkurven aus gesellschaftlicher Sicht modelliert werden. Unter den [[Axiome der Nutzentheorie|Annahmen über Präferenzen]] ist eine hohe Konsummenge besser als eine leicht geringere. Die Gesellschaft versucht also als Ganzes auf eine möglichst hohe [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurve]] zu gelangen. Diese liegt im Tangentialpunkt der Indifferenzkurve mit der Transformationskurve, der in der Abbildung unten eingezeichnet ist. Es muss also gelten 
<math> GRT=GRS </math> 
Die vorherigen Ausführungen haben gezeigt, dass <math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{GK_1}{GK_2} </math> und <math> GRS_{x_1,x_2}=\frac{p_1}{p_2} </math> bei einem effizienten Output gilt also: 
'''Outputregel''' 
<math> GRT_{x_1,x_2}=GRS_{x_1,x_2} </math>
<math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{GK_1}{GK_2}=\frac{p_1}{p_2}=GRS_{x_1,x_2} </math> 
Das Preisverhältnis der beiden Güter muss gleich dem Grenzkostenverhältnis sein. Dies ergibt gerade im Kontext des [[Marktformen#Perfekter Wettbewerb|perfekten Wettbewerbs]] Sinn, in dem der Preis eines Gutes gleich seinen Grenzkosten ist.
[[Datei:Allokation.png|400px|rahmenlos]]

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Im Rahmen der allgemeinen Gleichgewichtstheorie bezeichnet die Kontraktkurve die Allokation von Gütern...
|type="()"}
+ ...bei welchen niemand besser gestellt werden kann ohne gleichzeitig jemand anderen schlechter zu stellen.
- ...welche stets mit der aktuellsten Produktionstechnologie hergestellt wurden.
- ...die ausschließlich im Rahmen einer Tauschökonomie erreicht werden können.
- ...welche bei einem bestimmten Produktionsprozess den maximal erreichbaren Output bei gegebenem Input abbilden.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welche der Effizienzaussagen ist verletzt, wenn der Preis von Gut 1 gleich seinen Grenzkosten ist und der Preis von Gut 2 doppelt so groß ist wie seine Grenzkosten?
|type="()"}
- Inputeffizienz
- Konsumeffizienz
+ Outputregel
- Keine der Antworten ist richtig
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welche der fogenden Aussagen ist unter der Betrachtung der üblichen Annahmen über Nutzen- und Produktionsfunktionen '''falsch'''?
|type="()"}
- Die Allokation von Gütern im Tauschgleichgewicht ist nur dann effzient, wenn die Grenzrate der Substitution jedes Güterpaares für alle Verbraucher identisch ist.
- Inputeffzienz liegt dann vor, wenn die Grenzrate der technischen Substitution von Kapital und Arbeit bei allen Gütern gleich ist.
- Das Faktormarktgleichgewicht zweier mobiler Faktoren bei vollkommenem Wettbewerb ist effzient, da die Faktoren jeweils nach ihren Grenzprodukt entlohnt werden.
+ Für eine pareto-optimale Gütermischung muss die Grenzrate der Transformation der Grenzrate der technischen Substitution bei allen Gütern entsprechen.
- Keine der genannten Antworten ist korrekt.
</quiz>

Preisdiskriminierung

2024-02-22T13:30:28Z

Leitzing:

==Definition==
Preisdiskriminierung ist die unterschiedliche Behandlung von Konsumenten seitens der Produzenten durch eine unterschiedliche Bepreisung. Der Grad der Diskriminierung hängt mit der Möglichkeit zusammen, wie genau die Produzenten identifizieren können, wer mit welcher individuellen Zahlungsbereitschaft sein Gut nachfragt und ob unterschiedliche Preise für dasselbe Gut erlaubt sind. Außerdem muß von Seiten des Produzenten sichergestellt werden können, dass die Konsumenten nicht durch Handel untereinander die Preisdiskriminierung aushebeln können (Bedingung der Arbitragefreiheit). Preisdiskriminierung ist nur mit Marktmacht möglich.

__TOC__

==Preisdiskriminierung ersten Grades==
Die Preisdiskriminierung ersten Grades wird auch als '''perfekte Preisdiskriminierung''' bezeichnet und beschreibt die vollständige Abschöpfung der [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Die Konsumentenrente|Konsumentenrente]]. Jeder Konsument muss seine marginale Zahlungsbereitschaft, den '''Reservationspreis''', für das Gut zahlen. 
''Beispiel'': Angenommen ein Konsument ist bereit für ein Gut 10€ zu zahlen. Liegt der Marktpreis unterhalb des Reservationspreises, entsteht dem Konsumenten durch die Differenz eine Rente. Mit perfekter Preisdiskriminierung muss der Konsument für das Gut 10€ zahlen und die vorherige [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Die Konsumentenrente|Konsumentenrente]] wird Teil der [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Die Produzentenrente|Produzentenrente]]. Für diese Form der Diskriminierung muss der Produzent entsprechend genau wissen welcher Konsument das Gut nachfragt und was sein Reservationspreis ist. Außerdem muss Abitrage ausgeschlossen werden. Das heißt es darf nicht möglich sein das Gut günstig zu kaufen und an einen anderen Konsumenten mit einer höheren Zahlungsbereitschaft weiterzuverkaufen. 
Der gewinnmaximale Preis liegt dann für jede nachgefragte Menge genau auf der fallenden [[Nachfrage|Nachfragefunktion]]. 
[[Datei:PD1.Grades.png|300px|rahmenlos]] 
 
Ein Konsument muss beispielsweise genau <math> p_1 </math> bezahlen und die Fläche zwischen diesem Punkt auf der Nachfragefunktion und der [[Angebot|Angebotsfunktion]] entspricht der Produzentenrente dieser Transaktion. Die Möglichkeit die [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Die Produzentenrente|Produzentenrente]] selbst zu berechnen, bleibt unverändert: Die Fläche zwischen dem Preis und der Angebotsfunktion. Jedoch ist der Preis nicht mehr einheitlich, sondern von Konsument zu Konsument und von Menge zu Menge unterschiedlich. Diese Art der Preisdiskriminierung erzeugt keinen Wohlfahrtsverlust und stellt weiterhin ein [[Effizienz|effizientes]] [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewicht]] dar. 
Es ist recht offensichtlich, dass diese Form der Preisdiskriminierung schwer umzusetzen ist. Jedoch wird in der Realität durchaus versucht diesen Grad zu erreichen. Zum Beispiel: Unterscheiden sich die Preise beim online Bestellen abhängig davon wer wann auf welchem Gerät ein Gut kaufen möchte. Dabei versuchen Algorithmen auf Grund des Gerätes (PC,Laptop etc.) und anderer Informationen (Browserverlauf) den Reservationswert zu schätzen.

==Preisdiskriminierung zweiten Grades==
Die Preisdiskriminierung zweiten Grades ist eine unvollkommene Preisdiskriminierung und wird angewendet, wenn der Anbieter die Nachfrager nicht in Gruppen einordnen und auch nicht die marginale Zahlungsbereitschaft erkennen kann. Der Anbieter bildet mehrere Preistarife, in die sich die Nachfrager selbst hinein selektieren. Hierbei muss der Anbieter darauf achten, dass die Tarife so gebildet werden, dass kein Nachfrager einen Anreiz hat sich in einen anderes Tarif zu wählen der nicht ihm zugedacht ist. 
Beispiel sind Gasanbieter, die häufig einen Basispreis haben, der gezahlt werden muss, egal welche Leistung genutzt wird und ein Preis, der sich je nach genutzter Leistung verändert. Alle Nachfrager müssen den Basispreis bezahlen und zusätzlich pro Kilowattsunde einen Preis <math> p_1 </math>, sollte die Leistung in einer Spanne 1 liegen, einen Preis <math> p_2 </math> wenn in Spanne 2 und so weiter. 
Ein weiteres Beispiel sind Flugtickets mit unterschiedlicher Flexibilität: Konsumenten, die viel Flexibilität wünschen (z.B. Geschäftsreisende) werden Tickets mit hoher Flexibilität wählen (und höheren Preisen), andere mit viel Zeit billige Tickets mit wenig Flexibilität.

==Preisdiskriminierung dritten Grades==
Die Preisdiskriminierung dritten Grades ist eine unvollkommene Preisdiskriminierung und wird an Nachfragegruppen angewendet. Sie findet Anwendung, wenn die Produzenten die Nachfrager klar einer Gruppe zuordnen können, jedoch nicht den genauen Reservationspreis der Nachfrager kennen. Angenommen es gibt nur zwei Nachfragegruppen mit einer Nachfragegruppen-spezifischen [[Nachfrage|Nachfragefunktion]], dann maximiert der Anbieter (Monopolist) seinen Gewinn, indem er von beiden Nachfragergruppen einen unterschiedlichen Preis verlangt. 
<math> \Pi=(p_1*Q_1(P)-C_1(Q_1))+(p_2*Q_2(P)-C_2(Q_2)) </math> 
Das Maximieren des Gewinns nach <math> p_1 </math> und <math> p_2 </math> ergibt 
<math> MR_1=GK </math> und
<math> MR_2=GK </math> 
Dementsprechend muss gelten <math> MR_1=MR_2=GK </math> 
[[Datei:PD3.Grades.png|600px|rahmenlos]] 
 
Dass die [[Elastizitäten|elastischere Nachfragegruppe]] einen niedrigeren Preis zahlen muss, kann neben der grafischen Darstellung oben auch rechnerisch bewiesen werden. Nach den ersten Ableitungen und Erweiterungen ergibt sich 
<math> P=C'\biggl(\frac{1}{1-\frac{1}{\epsilon}}\biggr) </math> bei einer positiv definierten Elastizität und 
<math> P=C'\biggl(\frac{1}{1+\frac{1}{\epsilon}}\biggr) </math> bei einer negativ definierten Elastizität. In beiden Fällen ist der Preis größer, je unelastischer die Nachfrage ist (vorausgesetzt <math> C'>0 </math>). Diese Rechnung zeigt ebenfalls, dass ein [[Vergleich Gewinnmaximum bei unterschiedlichen Marktformen|Monopolist]] niemals im unelastischen Bereich produziert, denn dort ist die Elastizität betragsmäßig kleiner als eins und es käme ein Preis geringer als die Grenzkosten heraus. 
<math> \frac{p_1}{p_2}=\frac{1-\frac{1}{\epsilon_2}}{1-\frac{1}{\epsilon_1}} </math> beziehungsweise 
<math> \frac{p_1}{p_2}=\frac{1+\frac{1}{\epsilon_2}}{1+\frac{1}{\epsilon_1}} </math> 
zeigt, dass aus <math> |\epsilon_2|>|\epsilon_1| </math>, <math> p_1>p_2 </math> folgt. 
Die Preisdiskriminierung dritten Grades ist nur anwendbar, wenn Abitrage ausgeschlossen werden kann. 
''Beispiel'': Ein Kino kann Studentinnen und Studenten anhand der Ausweise ihrer Universität als solche identifizieren. Außerdem nimmt es an, dass diese Nachfragegruppe eine geringere Zahlungsbereitschaft hat, beziehungsweise elastischer ist. Daher verlangt es für jedes Ticket nach Vorlage eines Studierendenausweises einen geringeren Preis. Bei Popcorn kann das Kino nicht ausschließen, dass die Studierenden Popcorn vergünstigt kaufen und dann teurer weiterverkaufen. Daher vergibt es auf Popcorn keinen Studierendenrabatt, aber auf die Kinotickets selbst schon.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Bäcker setzt keinen festen Preis für seine Brötchen. Stattdessen entscheidet er wie viel jedem Käufer ein Brötchen Wert ist und berechnet dies als Preis. Es ist den Kundinnen und Kunden nicht möglich die Brötchen weiterzuverkaufen. Der Bäcker betreibt Preisdiskriminierung
|type="()"}
+ ersten Grades.
- zweiten Grades
- dritten Grades
- Keine Antwort ist richtig
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{In einem Monopol-Markt hat ein Produzent eine Kostenfunktion von <math> C(Q)=\frac{1}{4}Q^2-\frac{1}{2}Q </math>. Gleichzeitig existiert eine aggregierte Nachfragefunktion von <math> Q_D=10-P </math>. Wie groß ist die Produzentenrente, die der Produzent maximal erreichen kann, vorrausgesetzt er kennt den individuellen Reservationspreis eines jeden Nachfrager und Abitrage ist ausgeschlossen?
|type="()"}
+ 36,5
- 7
- 24,5
- 28,5
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Monopolist verkauft Pizza auf zwei verschiedenen Märkten mit unterschiedlichen Nachfragefunktionen. Die Nachfragefunktion lauten <math> P_1=200-Q_1 </math> und <math> P_2=190-3Q_2 </math>. Die Kostenfunktion für Pizzaproduktion lautet <math> C(Q)=500+40Q </math>, wobei <math> Q=Q_1+Q_2 </math>. Wie lauten die gewinnmaximierenden Preise und Mengen des Monopolisten, wenn er auf den beiden Märkten zu unterschiedlichen Preisen verkaufen kann?
|type="()"}
+ <math> P_1^*=120 </math> und <math> P_2^*=115 </math>
- <math> P_1^*=110 </math> und <math> P_2^*=110 </math>
- <math> P_1^*=100 </math> und <math> P_2^*=115 </math>
- <math> P_1^*=90 </math> und <math> P_2^*=70 </math>
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie lautet der gewinnmaximale Preis des Monopolisten aus der vorherigen Aufgabe, wenn er Pizza auf beiden Märkten nur zu einem Preis verkaufen darf?
|type="()"}
+ <math> P^*=118,75 </math>
- <math> P^*=115 </math>
- <math> P^*=120 </math>
- <math> P^*=90 </math>
</quiz>

Preisdiskriminierung

2024-02-22T13:26:41Z

Leitzing:

==Definition==
Preisdiskriminierung ist die unterschiedliche Behandlung von Konsumenten seitens der Produzenten durch eine unterschiedliche Bepreisung. Der Grad der Diskriminierung hängt mit der Möglichkeit zusammen, wie genau die Produzenten identifizieren können, wer mit welcher individuellen Zahlungsbereitschaft sein Gut nachfragt und ob unterschiedliche Preise für dasselbe Gut erlaubt sind. Außerdem muß von Seiten des Produzenten sichergestellt werden können, dass die Konsumenten nicht durch Handel untereinander die Preisdiskriminierung aushebeln können (Bedingung der Arbitragefreiheit). Preisdiskriminierung ist nur mit Marktmacht möglich.

__TOC__

==Preisdiskriminierung ersten Grades==
Die Preisdiskriminierung ersten Grades wird auch als '''perfekte Preisdiskriminierung''' bezeichnet und beschreibt die vollständige Abschöpfung der [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Die Konsumentenrente|Konsumentenrente]]. Jeder Konsument muss seine marginale Zahlungsbereitschaft, den '''Reservationspreis''', für das Gut zahlen. 
''Beispiel'': Angenommen ein Konsument ist bereit für ein Gut 10€ zu zahlen. Liegt der Marktpreis unterhalb des Reservationspreises, entsteht dem Konsumenten durch die Differenz eine Rente. Mit perfekter Preisdiskriminierung muss der Konsument für das Gut 10€ zahlen und die vorherige [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Die Konsumentenrente|Konsumentenrente]] wird Teil der [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Die Produzentenrente|Produzentenrente]]. Für diese Form der Diskriminierung muss der Produzent entsprechend genau wissen welcher Konsument das Gut nachfragt und was sein Reservationspreis ist. Außerdem muss Abitrage ausgeschlossen werden. Das heißt es darf nicht möglich sein das Gut günstig zu kaufen und an einen anderen Konsumenten mit einer höheren Zahlungsbereitschaft weiterzuverkaufen. 
Der gewinnmaximale Preis liegt dann für jede nachgefragte Menge genau auf der fallenden [[Nachfrage|Nachfragefunktion]]. 
[[Datei:PD1.Grades.png|300px|rahmenlos]] 
 
Ein Konsument muss beispielsweise genau <math> p_1 </math> bezahlen und die Fläche zwischen diesem Punkt auf der Nachfragefunktion und der [[Angebot|Angebotsfunktion]] entspricht der Produzentenrente dieser Transaktion. Die Möglichkeit die [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Die Produzentenrente|Produzentenrente]] selbst zu berechnen, bleibt unverändert: Die Fläche zwischen dem Preis und der Angebotsfunktion. Jedoch ist der Preis nicht mehr einheitlich, sondern von Konsument zu Konsument und von Menge zu Menge unterschiedlich. Diese Art der Preisdiskriminierung erzeugt keinen Wohlfahrtsverlust und stellt weiterhin ein [[Effizienz|effizientes]] [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewicht]] dar. 
Es ist recht offensichtlich, dass diese Form der Preisdiskriminierung schwer umzusetzen ist. Jedoch wird in der Realität durchaus versucht diesen Grad zu erreichen. Zum Beispiel: Unterscheiden sich die Preise beim online Bestellen abhängig davon wer wann auf welchem Gerät ein Gut kaufen möchte. Dabei versuchen Algorithmen auf Grund des Gerätes (PC,Laptop etc.) und anderer Informationen (Browserverlauf) den Reservationswert zu schätzen.

==Preisdiskriminierung zweiten Grades==
Die Preisdiskriminierung zweiten Grades ist eine unvollkommene Preisdiskriminierung und wird angewendet, wenn der Anbieter die Nachfrager nicht in Gruppen einordnen und auch nicht die marginale Zahlungsbereitschaft erkennen kann. Der Anbieter bildet mehrere Preistarife, in die sich die Nachfrager selbst hinein selektieren. Hierbei muss der Anbieter darauf achten, dass die Tarife so gebildet werden, dass kein Nachfrager einen Anreiz hat sich in einen anderes Tarif zu wählen der nicht ihm zugedacht ist. 
Beispiel sind Gasanbieter, die häufig einen Basispreis haben, der gezahlt werden muss, egal welche Leistung genutzt wird und ein Preis, der sich je nach genutzter Leistung verändert. Alle Nachfrager müssen den Basispreis bezahlen und zusätzlich pro Kilowattsunde einen Preis <math> p_1 </math>, sollte die Leistung in einer Spanne 1 liegen, einen Preis <math> p_2 </math> wenn in Spanne 2 und so weiter. 
Ein weiteres Beispiel sind Flugtickets mit unterschiedlicher Flexibilität: Konsumenten, die viel Flexibilität wünschen (z.B. Geschäftsreisende) werden Tickets mit hoher Flexibilität wählen (und höheren Preisen), andere mit viel Zeit billige Tickets mit wenig Flexibilität.

==Preisdiskriminierung dritten Grades==
Die Preisdiskriminierung dritten Grades ist eine unvollkommene Preisdiskriminierung und wird an Nachfragegruppen angewendet. Sie findet Anwendung, wenn die Produzenten die Nachfrager klar einer Gruppe zuordnen können, jedoch nicht den genauen Reservationspreis der Nachfrager kennen. Angenommen es gibt nur zwei Nachfragegruppen mit einer Nachfragegruppen-spezifischen [[Nachfrage|Nachfragefunktion]], dann maximiert der Anbieter (Monopolist) seinen Gewinn, indem er von beiden Nachfragergruppen einen unterschiedlichen Preis verlangt. 
<math> \Pi=(p_1*Q_1(P)-C_1(Q_1))+(p_2*Q_2(P)-C_2(Q_2)) </math> 
Das Maximieren des Gewinns nach <math> p_1 </math> und <math> p_2 </math> ergibt 
<math> MR_1=GK </math> und
<math> MR_2=GK </math> 
Dementsprechend muss gelten <math> MR_1=MR_2=GK </math> 
[[Datei:PD3.Grades.png|600px|rahmenlos]] 
 
Dass die [[Elastizitäten|elastischere Nachfragegruppe]] einen niedrigeren Preis zahlen muss, kann neben der grafischen Darstellung oben auch rechnerisch bewiesen werden. Nach den ersten Ableitungen und Erweiterungen ergibt sich 
<math> P=C'\biggl(\frac{1}{1-\frac{1}{\epsilon}}\biggr) </math> bei einer positiv definierten Elastizität und 
<math> P=C'\biggl(\frac{1}{1+\frac{1}{\epsilon}}\biggr) </math> bei einer negativ definierten Elastizität. In beiden Fällen ist der Preis größer, je unelastischer die Nachfrage ist (vorausgesetzt <math> C'>0 </math>). Diese Rechnung zeigt ebenfalls, dass ein [[Vergleich Gewinnmaximum bei unterschiedlichen Marktformen|Monopolist]] niemals im unelastischen Bereich produziert, denn dort ist die Elastizität betragsmäßig kleiner als eins und es käme ein Preis geringer als die Grenzkosten heraus. 
<math> \frac{p_1}{p_2}=\frac{1-\frac{1}{\epsilon_2}}{1-\frac{1}{\epsilon_1}} </math> beziehungsweise 
<math> \frac{p_1}{p_2}=\frac{1+\frac{1}{\epsilon_2}}{1+\frac{1}{\epsilon_1}} </math> 
zeigt, dass aus <math> |\epsilon_2|>|\epsilon_1| </math>, <math> p_1>p_2 </math> folgt. 
Die Preisdiskriminierung dritten Grades ist nur anwendbar, wenn Abitrage ausgeschlossen werden kann. 
''Beispiel'': Ein Kino kann Studentinnen und Studenten anhand der Ausweise ihrer Universität als solche identifizieren. Außerdem nimmt es an, dass diese Nachfragegruppe eine geringere Zahlungsbereitschaft hat, beziehungsweise elastischer ist. Daher verlangt es für jedes Ticket nach Vorlage eines Studierendenausweises einen geringeren Preis. Bei Popcorn kann das Kino nicht ausschließen, dass die Studierenden Popcorn vergünstigt kaufen und dann teurer weiterverkaufen. Daher vergibt es auf Popcorn keinen Studierendenrabatt, aber auf die Kinotickets selbst schon.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Bäcker setzt keinen festen Preis für seine Brötchen. Stattdessen entscheidet er wie viel jedem Käufer ein Brötchen Wert ist und berechnet dies als Preis. Es ist den Kundinnen und Kunden nicht möglich die Brötchen weiterzuverkaufen. Der Bäcker betreibt Preisdiskriminierung
|type="()"}
+ ersten Grades.
- zweiten Grades
- dritten Grades
- Keine Antwort ist richtig
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{In einem Monopol-Markt hat ein Produzent eine Kostenfunktion von <math> C(Q)=\frac{1}{4}Q^2-\frac{1}{2}Q </math>. Gleichzeitig existiert eine aggregierte Nachfragefunktion von <math> Q_D=10-P </math>. Wie groß ist die Produzentenrente, die der Produzent maximal erreichen kann, vorrausgesetzt er kennt den individuellen Reservationspreis eines jeden Nachfrager und Abitrage ist ausgeschlossen?
|type="()"}
+ 36,5
- 7
- 24,5
- 28,5
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Monopolist verkauft Pizza auf zwei verschiedenen Märkten mit unterschiedlichen Nachfragefunktionen. Die Nachfragefunktion lauten <math> P_1=200-Q_1 </math> und <math> P_2=190-3Q_2 </math>. Die Kostenfunktion für Pizzaproduktion lautet <math> C(Q)=500+40Q </math>, wobei <math> Q=Q_1+Q_2 </math>. Wie lauten die gewinnmaximierenden Preise und Mengen des Monopolisten, wenn er auf den beiden Märkten zu unterschiedlichen Preisen verkaufen kann?
|type="()"}
+ <math> P_1^*=120 </math> und <math> P_2^*=115 </math>
- <math> P_1^*=110 </math> und <math> P_2^*=110 </math>
- <math> P_1^*=100 </math> und <math> P_2^*=115 </math>
- <math> P_1^*=90 </math> und <math> P_2^*=70 </math>
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie lautet der Gewinnmaximale Preis des Monopolisten aus der vorherigen Aufgabe, wenn er Pizza auf beiden Märkten nur zu einem Preis verkaufen darf?
|type="()"}
+ <math> P^*=118,75 </math>
- <math> P^*=115 </math>
- <math> P^*=120 </math>
- <math> P^*=90 </math>
</quiz>

Preisdiskriminierung

2024-02-22T13:23:32Z

Leitzing:

==Definition==
Preisdiskriminierung ist die unterschiedliche Behandlung von Konsumenten seitens der Produzenten durch eine unterschiedliche Bepreisung. Der Grad der Diskriminierung hängt mit der Möglichkeit zusammen, wie genau die Produzenten identifizieren können, wer mit welcher individuellen Zahlungsbereitschaft sein Gut nachfragt und ob unterschiedliche Preise für dasselbe Gut erlaubt sind. Außerdem muß von Seiten des Produzenten sichergestellt werden können, dass die Konsumenten nicht durch Handel untereinander die Preisdiskriminierung aushebeln können (Bedingung der Arbitragefreiheit). Preisdiskriminierung ist nur mit Marktmacht möglich.

__TOC__

==Preisdiskriminierung ersten Grades==
Die Preisdiskriminierung ersten Grades wird auch als '''perfekte Preisdiskriminierung''' bezeichnet und beschreibt die vollständige Abschöpfung der [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Die Konsumentenrente|Konsumentenrente]]. Jeder Konsument muss seine marginale Zahlungsbereitschaft, den '''Reservationspreis''', für das Gut zahlen. 
''Beispiel'': Angenommen ein Konsument ist bereit für ein Gut 10€ zu zahlen. Liegt der Marktpreis unterhalb des Reservationspreises, entsteht dem Konsumenten durch die Differenz eine Rente. Mit perfekter Preisdiskriminierung muss der Konsument für das Gut 10€ zahlen und die vorherige [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Die Konsumentenrente|Konsumentenrente]] wird Teil der [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Die Produzentenrente|Produzentenrente]]. Für diese Form der Diskriminierung muss der Produzent entsprechend genau wissen welcher Konsument das Gut nachfragt und was sein Reservationspreis ist. Außerdem muss Abitrage ausgeschlossen werden. Das heißt es darf nicht möglich sein das Gut günstig zu kaufen und an einen anderen Konsumenten mit einer höheren Zahlungsbereitschaft weiterzuverkaufen. 
Der gewinnmaximale Preis liegt dann für jede nachgefragte Menge genau auf der fallenden [[Nachfrage|Nachfragefunktion]]. 
[[Datei:PD1.Grades.png|300px|rahmenlos]] 
 
Ein Konsument muss beispielsweise genau <math> p_1 </math> bezahlen und die Fläche zwischen diesem Punkt auf der Nachfragefunktion und der [[Angebot|Angebotsfunktion]] entspricht der Produzentenrente dieser Transaktion. Die Möglichkeit die [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Die Produzentenrente|Produzentenrente]] selbst zu berechnen, bleibt unverändert: Die Fläche zwischen dem Preis und der Angebotsfunktion. Jedoch ist der Preis nicht mehr einheitlich, sondern von Konsument zu Konsument und von Menge zu Menge unterschiedlich. Diese Art der Preisdiskriminierung erzeugt keinen Wohlfahrtsverlust und stellt weiterhin ein [[Effizienz|effizientes]] [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewicht]] dar. 
Es ist recht offensichtlich, dass diese Form der Preisdiskriminierung schwer umzusetzen ist. Jedoch wird in der Realität durchaus versucht diesen Grad zu erreichen. Zum Beispiel: Unterscheiden sich die Preise beim online Bestellen abhängig davon wer wann auf welchem Gerät ein Gut kaufen möchte. Dabei versuchen Algorithmen auf Grund des Gerätes (PC,Laptop etc.) und anderer Informationen (Browserverlauf) den Reservationswert zu schätzen.

==Preisdiskriminierung zweiten Grades==
Die Preisdiskriminierung zweiten Grades ist eine unvollkommene Preisdiskriminierung und wird angewendet, wenn der Anbieter die Nachfrager nicht in Gruppen einordnen und auch nicht die marginale Zahlungsbereitschaft erkennen kann. Der Anbieter bildet mehrere Preistarife, in die sich die Nachfrager selbst hinein selektieren. Hierbei muss der Anbieter darauf achten, dass die Tarife so gebildet werden, dass kein Nachfrager einen Anreiz hat sich in einen anderes Tarif zu wählen der nicht ihm zugedacht ist. 
Beispiel sind Gasanbieter, die häufig einen Basispreis haben, der gezahlt werden muss, egal welche Leistung genutzt wird und ein Preis, der sich je nach genutzter Leistung verändert. Alle Nachfrager müssen den Basispreis bezahlen und zusätzlich pro Kilowattsunde einen Preis <math> p_1 </math>, sollte die Leistung in einer Spanne 1 liegen, einen Preis <math> p_2 </math> wenn in Spanne 2 und so weiter. 
Ein weiteres Beispiel sind Flugtickets mit unterschiedlicher Flexibilität: Konsumenten, die viel Flexibilität wünschen (z.B. Geschäftsreisende) werden Tickets mit hoher Flexibilität wählen (und höheren Preisen), andere mit viel Zeit billige Tickets mit wenig Flexibilität.

==Preisdiskriminierung dritten Grades==
Die Preisdiskriminierung dritten Grades ist eine unvollkommene Preisdiskriminierung und wird an Nachfragegruppen angewendet. Sie findet Anwendung, wenn die Produzenten die Nachfrager klar einer Gruppe zuordnen können, jedoch nicht den genauen Reservationspreis der Nachfrager kennen. Angenommen es gibt nur zwei Nachfragegruppen mit einer Nachfragegruppen-spezifischen [[Nachfrage|Nachfragefunktion]], dann maximiert der Anbieter (Monopolist) seinen Gewinn, indem er von beiden Nachfragergruppen einen unterschiedlichen Preis verlangt. 
<math> \Pi=(p_1*Q_1(P)-C_1(Q_1))+(p_2*Q_2(P)-C_2(Q_2)) </math> 
Das Maximieren des Gewinns nach <math> p_1 </math> und <math> p_2 </math> ergibt 
<math> MR_1=GK </math> und
<math> MR_2=GK </math> 
Dementsprechend muss gelten <math> MR_1=MR_2=GK </math> 
[[Datei:PD3.Grades.png|600px|rahmenlos]] 
 
Dass die [[Elastizitäten|elastischere Nachfragegruppe]] einen niedrigeren Preis zahlen muss, kann neben der grafischen Darstellung oben auch rechnerisch bewiesen werden. Nach den ersten Ableitungen und Erweiterungen ergibt sich 
<math> P=C'\biggl(\frac{1}{1-\frac{1}{\epsilon}}\biggr) </math> bei einer positiv definierten Elastizität und 
<math> P=C'\biggl(\frac{1}{1+\frac{1}{\epsilon}}\biggr) </math> bei einer negativ definierten Elastizität. In beiden Fällen ist der Preis größer, je unelastischer die Nachfrage ist (vorausgesetzt <math> C'>0 </math>). Diese Rechnung zeigt ebenfalls, dass ein [[Vergleich Gewinnmaximum bei unterschiedlichen Marktformen|Monopolist]] niemals im unelastischen Bereich produziert, denn dort ist die Elastizität betragsmäßig kleiner als eins und es käme ein Preis geringer als die Grenzkosten heraus. 
<math> \frac{p_1}{p_2}=\frac{1-\frac{1}{\epsilon_2}}{1-\frac{1}{\epsilon_1}} </math> beziehungsweise 
<math> \frac{p_1}{p_2}=\frac{1+\frac{1}{\epsilon_2}}{1+\frac{1}{\epsilon_1}} </math> 
zeigt, dass aus <math> |\epsilon_2|>|\epsilon_1| </math>, <math> p_1>p_2 </math> folgt. 
Die Preisdiskriminierung dritten Grades ist nur anwendbar, wenn Abitrage ausgeschlossen werden kann. 
''Beispiel'': Ein Kino kann Studentinnen und Studenten anhand der Ausweise ihrer Universität als solche identifizieren. Außerdem nimmt es an, dass diese Nachfragegruppe eine geringere Zahlungsbereitschaft hat, beziehungsweise elastischer ist. Daher verlangt es für jedes Ticket nach Vorlage eines Studierendenausweises einen geringeren Preis. Bei Popcorn kann das Kino nicht ausschließen, dass die Studierenden Popcorn vergünstigt kaufen und dann teurer weiterverkaufen. Daher vergibt es auf Popcorn keinen Studierendenrabatt, aber auf die Kinotickets selbst schon.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Bäcker setzt keinen festen Preis für seine Brötchen. Stattdessen entscheidet er wie viel jedem Käufer ein Brötchen Wert ist und berechnet dies als Preis. Es ist den Kundinnen und Kunden nicht möglich die Brötchen weiterzuverkaufen. Der Bäcker betreibt Preisdiskriminierung
|type="()"}
+ ersten Grades.
- zweiten Grades
- dritten Grades
- Keine Antwort ist richtig
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{In einem Monopol-Markt hat ein Produzent eine Kostenfunktion von <math> C(Q)=\frac{1}{4}Q^2-\frac{1}{2}Q </math>. Gleichzeitig existiert eine aggregierte Nachfragefunktion von <math> Q_D=10-P </math>. Wie groß ist die Produzentenrente, die der Produzent maximal erreichen kann, vorrausgesetzt er kennt den individuellen Reservationspreis eines jeden Nachfrager und Abitrage ist ausgeschlossen?
|type="()"}
+ 36,5
- 7
- 24,5
- 28,5
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Monopolist verkauft Pizza auf zwei verschiedenen Märkten mit unterschiedlichen Nachfragefunktionen. Die Nachfragefunktion lauten <math> P_1=200-Q_1 </math> und <math> P_2=190-3Q_2 </math>. Die Kostenfunktion für Pizzaproduktion lautet <math> C(Q)=500+40Q </math>, wobei <math> Q=Q_1+Q_2 </math>. Wie lauten die gewinnmaximierenden Preise und Mengen des Monopolisten, wenn er auf den beiden Märkten zu unterschiedlichen Preisen verkaufen kann?
|type="()"}
+ <math> P_1^*=120 </math> und <math> P_2^*=115 </math>
- <math> P_1^*=110 </math> und <math> P_2^*=110 </math>
- <math> P_1^*=100 </math> und <math> P_2^*=115 </math>
- <math> P_1^*=90 </math> und <math> P_2^*=70 </math>
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie lautet der Gewinnmaximale Preis des Monopolisten, wenn er Pizza auf beiden Märkten nur zu einem Preis verkaufen darf?
|type="()"}
+ <math> P^*=118,75 </math>
- <math> P^*=115 </math>
- <math> P^*=120 </math>
- <math> P^*=90 </math>
</quiz>

Risiko und Risikoeinstellung

2024-02-22T13:05:03Z

Leitzing:

==Definition==
Risiko bezieht sich auf Situationen, in denen unterschiedlich mögliche Ergebnisse eintreten können. Im Standardfall sind hierbei die Wahrscheinlichkeit des Eintretens aller Ergebnisse bekannt. Demnach wird im Folgenden zwischen der subjektiven und der objektiven Wahrscheinlichkeit differenziert und die objektive Wahrscheinlichkeit als Kennziffer herangezogen.

__TOC__

==Risiko==
Eine Lotterie stellt eine Situation mit Risiko dar. Ein Beispiel einer Lotterie ist der Münzwurf mit Wetteinsatz. Die Wahrscheinlichkeiten für Kopf und Zahl sind mit jeweils 0.5 bekannt. Fällt die zuvor gewählte Seite wird der Einsatz gewonnen, fällt er auf die andere Seite ist der Einsatz verloren. 
''Beispiel:'' Daniel und Oskar wetten auf das Ergebnis eines Münzwurfs. Daniel tippt auf Kopf und Oskar auf Zahl. Derjenige dessen Seite oben liegt erhält von dem anderen den Wetteinsatz von 10€. Allgemein kann eine solche Lotterie X in folgender Form dargestellt werden: <math> X=(x_{1}, p_{1};x_{2}, p_{2};...x_{n}, p_{n}) </math>, wobei <math> n = 1,2,3,... </math> und <math> p_{i} > 0 </math> . <math> x_{i} </math> stellt die Auszahlung dar, die mit einer Wahrscheinlichkeit <math> p_{i} </math> eintritt. In dem Fall des Münzwurfs würde dies folgende Lotterie bedeuten X=(0, 0.5; 10, 0.5).

==Entscheidung unter Unsicherheit==
Situtationen, in denen Risiko existiert und in denen Individuen entscheidungen treffen müssen, sind geprägt von Unsicherheit. Um Entscheidungen unter Unsicherheit genauer zu verstehen, wird auf das Beispiel einer Anlageoption, die mit bekannten Wahrscheinlichkeiten unterschiedliche Werte auszahlt, zurück gegriffen. Nehmen wir an, der Entscheidungsträger hat die Alternative nichts zu tun (was eine Auszahlung von Null nach sich zieht) oder in eine Anlage die investieren, in der mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 ein Gewinn von 6 und mit der Gegenwahrscheinlichkeit ein Verlust von -5 auftritt. Wird der Entscheidungsträger die riskante Alternative wählen? Bei der Beantwortung dieser Frage ist Risikoeinstellung der Entscheidungsträger entscheidend.
Die grundsätzliche Idee ist es, die Entscheidungsträger als Erwartungsnutzenmaximierer aufzufassen.
Zentral für die Einschätzung von Entscheidungen unter Unsicherheit ist demzufolge nicht die erwartete Auszahlung, sondern der erwartete Nutzen. Mit dem Konzept des Erwartungsnutzens lässt sich die Risikoeinstellung des Individuums abbilden. Der '''Erwartungsnutzen''' betrachtet nicht die Überlegung welche erwartete Auszahlung, sondern welcher Nutzen von der gewählten Alternative erwartet wird. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 erfährt das Individuum einen Nutzen von der Auszahlung -5 [U(-5)] und mit einer Wahrscheinlichkeit 0.5 einen Nutzen von der Auszahlung 6 [U(6)]. Der erwartete Nutzen wird nunmehr über verschiedene Alternativen verglichen. Diese ist die grundlegende Logik der Erwartungsnutzentheorie. Zentral ist dabei die Gestalt der Nutzenfunktion, oder anders formuliert die Risikopräferenz des Entscheidungsträger, die wir uns im Folgenden ansehen werden.

==Risikofreude==
Risikofreude ist die Präferenz für ein risikoreiches Einkommen gegenüber einem sicheren Einkommen mit dem gleichen Erwartungswert. Ein solches rationales Individuum erfährt demnach aus der unsicheren Lotterie einen größeren Nutzen als aus der Auszahlung des Erwartungswertes. Der Erwartungsnutzen ist größer als der Nutzen des Erwartungswertes. 
 
E[U] > U[E] 
 
Grafisch ist dies durch eine konvexe Nutzenfunktion möglich. Mathematisch ist die zweite Ableitung der Nutzenfunktion größer 0: 
 
<big> <math display="inline"> \frac{\part^{2} U(x)}{\part^{2} x} </math> > 0 </big> 
 
[[Datei:Risikofreude.png|400px|rahmenlos]] 
 
In dem grafischen Beispiel wird eine Lotterie X, X=(0.5, 10; 0.5, 30), betrachtet. Der Erwartungswert der Lotterie lautet 20 und der Nutzen des Erwartungswert liegt auf der grünen [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Nutzenfunktion]]. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 erfährt das Individuum einen Nutzen von 10, U(10), und mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 einen Nutzen von 30, U(30). Der erwartete Nutzen der Lotterie liegt auf der gestrichelten Verbindungslinie von U(10) zu U(30) und ist größer als der Nutzen des Erwartungswertes. Ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der beiden Auszahlungen verändert, so liegt der Erwartungsnutzen weiterhin auf der gestrichelten Verbindungslinie und ist in die Richtung der größeren Wahrscheinlichkeit verschoben. Die Risikoeinstellung des Individuums ist davon nicht betroffen.
Risikofreudige Personen haben einen [[Marginale Sichtweise| zunehmenden Grenznutzen des Einkommens]]. Jede Einheit des Einkommens mehr erhöht das Nutzenniveau und dies stärker als die Einheit vorher. Die Chance auf ein deutlich größeres Einkommen wiegt schwerer als die Gefahr weniger Einkommen zu erhalten.

==Risikoneutralität==
Personen, die risikoneutral sind, sind indifferent zwischen dem unsicheren Einkommen und dem sicheren Einkommen mit demselben Erwartungswert. Der Erwartungsnutzen, also der Nutzen, der von der Lotterie erwartet werden kann, ist genauso groß wie der Nutzen des Erwartungswertes. 
 
E[U] = U[E] 
 
Mathematisch müssen die beiden Werte identisch sein und auf der Nutzenfunktion liegen. Dies kommt durch eine lineare Nutzenfunktion zustande. Die zweite Ableitung der Nutzenfunktion muss gleich null sein: 
 
<big> <math display="inline"> \frac{\part^{2} U(x)}{\part^{2} x} </math> = 0 </big> 
 
[[Datei:Risikoneutralität.png|400px|rahmenlos]] 
 
Dieselbe Lotterie X, die bereits bei der [[Risiko und Risikoeinstellung#Risikofreude|Risikofreude]] eine Rolle spielte, sieht mit der Nutzenfunktion einer risikoneutralen Person wie oben ersichtlich aus. Der Erwartungsnutzen ist genauso groß wie der Nutzen des Erwartungswertes (die Nutzenniveaus liegen aufeinander) und für die Person spielt es keine Rolle, ob sie den Erwartungswert der Lotterie ausgezahlt bekommt oder ob sie an der Lotterie teilnimmt.

==Risikoaversion==
Risikoaversion ist die Präferenz für ein sicheres Einkommen gegenüber einem risikobehafteten Einkommen mit demselben Erwartungswert. Eine risikoaverse Person erfährt demnach einen größeren Nutzen aus dem sicheren Einkommen als aus der Lotterie, die im Erwartungswert dasselbe Einkommen auszahlt. Der Nutzen des Erwartungswertes ist größer als der Erwartungsnutzen, die Nutzenfunktion ist somit konkav. 
 
E[U] < U[E] 
<big> <math display="inline"> \frac{\part^{2} U(x)}{\part^{2} x} </math> < 0 </big> 
 
[[Datei:Risikoaversion.png|400px|rahmenlos]] 
 
Der Erwartungsnutzen der Lotterie, der je nach Wahrscheinlichkeitsverteilung irgendwo auf der gestrichelten Verbindungslinie der beiden Nutzenniveaus liegt, liegt unter dem Nutzen, den der Erwartungswert der Lotterie bedeutet. Die Gefahr weniger zu erhalten, wiegt schwerer als die Chance mehr zu erhalten. Dies liegt am [[Marginale Sichtweise|abnehmenden Grenznutzen des Einkommens]]. Zusätzliches Einkommen erhöht das Nutzenniveau, dies jedoch weniger als die Einheit vorher.

==Sicherheitsäquivalent==
Das Sicherheitsäquivalent (SÄ) ist das (sichere) Einkommen, dessen Nutzen äquivalent zu dem erwarteten Nutzen der Lotterie ist. Dementsprechend gilt U(SÄ)=E(U). Um das Sicherheitsäquivalent mathematisch herauszufinden, gilt es die Nutzenfunktion mit dem erwarteten Nutzen des unsicheren Einkommens gleichzusetzen und nach der unabhängigen Variable umzustellen. Grafisch kann das Sicherheitsäquivalent wie folgt dargestellt werden: 
 
[[Datei:SÄ.png|400px|rahmenlos]] 
 
Aus den unterschiedlichen Nutzenfunktionen ergeben sich folgende Zusammenhänge: 
SÄ - E[X] < 0 risikoavers 
SÄ - E[X] = 0 risikoneutral 
SÄ - E[X] > 0 risikofreudig 
 
''Beispiel'': In einer Lohnverhandlung für einen Nebenjob wird dem Bewerber ein Gehaltsmodell vorgestellt. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 erhält er ein Jahresgehalt von 10 und mit der Wahrscheinlichkeit von 0.5 erhält er ein Jahresgehalt von 30. Alternativ wird er gefragt, ob er dieses Gehaltsmodell gegen ein Gehalt von sicheren 5 pro Jahr eintauschen möchte. Sehr wahrscheinlich lautet seine Antwort nein. Auch bei sicheren 10 lautet seine Antwort vermutlich nein. Das Sicherheitsäquivalent ist die erste Summe, bei der der Bewerber ja sagt, da er bei dieser Summe einen gleich großen Nutzen wie durch das unsichere Gehaltsmodell erfährt.

==Risikoprämie==
Die Risikoprämie (RP) ist die maximale Geldsumme, die eine risikoaverse Person zur Vermeidung eines Risikos zu zahlen bereit ist. Die maximale Geldsumme ist die Differenz des Erwartungswert der Auszahlung und dem [[Risiko und Risikoeinstellung#Sicherheitsäquivalenz|Sicherheitsäquivalent]] einer risikoaversen Person.
 
Im ''Beispiel'' von oben ist der Erwartungswert der beiden Gehaltsmöglichkeiten 20. Im Beispiel ist der Bewerber eine risikoaverse Person, weshalb die Differenz E[X] - SÄ größer null und daher positiv ist. Das Sicherheitsäquivalent ist das sichere Gehalt, das einen identisch großen Nutzen wie das unsichere Gehaltsmodell liefert (das sichere Äquivalent zur unsicheren Option). Der Bewerber ist bereit die Differenz zu zahlen, um der Unsicherheit zu entgehen und bleibt gleichzeitig auf demselben Nutzenniveau. Die Risikoprämie ist in der Abbildung unten als Differenz in rot eingezeichnet. 
[[Datei:RP.png|400px|rahmenlos]]

==Versicherungsprämie==
Die Versicherungsprämie ist eine Prämie, die gezahlt werden muss, um sich gegen die Unsicherheit zu versichern. Die maximale Zahlungsbereitschaft für eine solche Versicherung hängt von dem erwarteten Schaden und der Risikoeinstellung ab. Eine Person die risikoneutral ist, ist maximal bereit den erwarteten Schaden als Versicherungsprämie zu zahlen. Eine risikoaverse Person ist zum erwarteten Schaden zusätzlich bereit die Risikoprämie, also die Summe, um das Risiko zu vermeiden, zu zahlen. 
VP = RP + erwarteter Schaden 
Eine weitere Möglichkeit die maximale Zahlungsbereitschaft zu berechnen ist vom günstigsten Fall (das größte mögliche Einkommen) das Sicherheitsäquivalent abzuziehen. 
 
Ein ''Beispiel'' für die Berechnung der maximalen Zahlungsbereitschaft lautet: Ein Auto kostet 100. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.9 baut der Autofahrer keinen Unfall und das Auto verliert lediglich Wert aufgrund der täglichen Nutzung; der Wiederverkaufswert liegt dann bei 60. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.1 baut der Autofahrer ein Unfall und das Auto verliert vollständig seinen Wert. Angenommen das Sicherheitsäquivalent liegt bei 20, wie viel würde der Autofahrer maximal für eine Versicherung zahlen? 
Die erste Möglichkeit lautet VP = RP + erwarteter Schaden. Die RP berechnet sich aus der Differenz des erwarteten Vermögens und dem Sicherheitsäquivalents (54 - 20 = 34). Der erwartete Schaden berechnet sich aus 0.1 * 60 und lautet 6. Daher 34 + 6 = 40 
Bei der zweiten Möglichkeit muss vom günstigsten Fall (60) das SÄ (20) abgezogen werden. Die maximale Zahlungsbereitschaft lautet 40.

==MC Fragen==

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Nutzenfunktionen bilden risikoaverse Präferenzen ab?
|type="()"}
+ <math> U(x)=ln(x) </math>.
- <math> U(x)=16x+27 </math>.
- <math> U(x)=e^{2x^{2}} </math>.
- <math> U(x)=16x^{2} </math>.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Linda hat zwei Lotterien zur Auswahl. Lotterie A zahlt sicher 8 aus und und Lotterie B zahlt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.75 10 aus, beziehungsweise mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.25 6. Angenommen Linda entscheidet sich für Lotterie B und handelt dabei rational, welche Risikopräferenzen hat Linda?
|type="()"}
+ Lässt sich nicht eindeutig bestimmen.
- Linda ist risikoavers.
- Linda ist risikoneutral.
- Linda ist risikofreudig.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Risikopräferenzen hat eine Person mit folgender Nutzenfunktion für X Werte größer 1? <math> U(x)=\frac{x^{2}}{e^{x}} </math>
|type="()"}
- Die Person ist risikoavers.
- Die Person ist risikoneutral.
- Die Person ist risikofreudig.
+ Die Risikopräferenzen variieren in x, wobei x > 1.
</quiz>

Güterarten

2024-02-22T12:54:00Z

Leitzing:

Güter können sich in der Art und Weise unterscheiden, wie sich die optimale Nachfrage bei Preis- oder Einkommensänderungen verändern. Güter sind entweder Giffen Güter oder Gewöhnliche Güter in Bezug auf Preisänderungen und Güter sind entweder inferiore Güter oder normale Güter in Bezug auf Einkommensänderungen.

__TOC__

==Preisänderungen==
===Gewöhnliche Güter===
Die [[Nachfrage]] nach Gewöhnlichen Gütern steigt, wenn der Preis dieser Güter sinkt. Steigt der Preis, dann sinkt die Nachfrage nach dem Gewöhnlichen Gut. Die [[Elastizitäten#Preiselastizität der Nachfrage|Preiselastizität der Nachfrage]] betrachtet die prozentuale Änderung der Nachfrage, bei einer prozentualen Änderung des Preises. Wie verändert sich die nachgefragte Menge, wenn der Preis steigt? Bei Gewöhnlichen Gütern ist die Elastizität (ohne Betragsstriche und ohne negatives Vorzeichen) negativ. 
''Beispiel'': Der Student Sebastian geht bei einem Ticketpreis von 5€ 10-mal in das Kino. Sollte er bei einem Preis von 8€ seltener in das Kino gehen, ist der Kinobesuch für Sebastian ein Gewöhnliches Gut. 
Ob ein Gut ein Gewöhnliches Gut ist oder ein [[Güterarten#Preisänderungen#Giffen Güter|Giffen Gut]], lässt sich sehr gut in der [[Preiskonsumkurve]] identifizieren. Steigt der Preis von dem sich auf der x-Achse befindlichen Gut, dreht sich die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgerade]] nach Innen. Die Preiskonsumkurve verbindet alle optimalen Güternachfragen der jeweiligen Budgetgeraden miteinander und hat eine positive Steigung, wenn es sich um Gewöhnliche Güter handelt. 
[[Datei:Preiskonsumkurve.png|350px|rahmenlos]]

===Giffen Güter===
Die [[Nachfrage]] nach Giffen Gütern steigt, wenn auch der Preis dieser Güter steigt. Sinkt der Preis, sinkt auch die Nachfrage nach ihnen. Die [[Elastizitäten#Preiselastizität der Nachfrage|Preiselastizität der Nachfrage]] von Giffen Gütern (ohne Betragsstriche und ohne negatives Vorzeichen) ist positiv. Diese Eigenschaft wurde erstmals von Robert Giffen im 19. Jahrhundert entdeckt. Dass die Nachfrage nach einem Gut steigt, wenn der Preis steigt, mag im ersten Moment irritierend sein. Zum Verständnis soll ein Modell dienen, in dem ein Haushalt zwei Nahrungsmittel kaufen kann. Der Haushalt muss sich zwischen Reis und einem anderen Lebensmittel entscheiden. Steigt der Preis, kann sich der Haushalt aufgrund der Preiserhöhung von Reis bedeutend weniger vom anderen Lebensmittel leisten. Daher kauft der Haushalt mehr von Reis, um dennoch den Nutzen möglichst hoch zuhalten. Der Tangentialpunkt der Budgetgeraden mit der Indifferenzkurve liegt weiter rechts, je größer der dazugehörige Preis ist (wenn sich das Giffen Gut auf der x-Achse befindet). Die [[Preiskonsumkurve]] weist in diesem Fall eine negative Steigung auf. 
[[Datei:GiffenGut.png|350px|rahmenlos]]

==Einkommensänderungen==
Die Nachfrage nach einem Gut ist abhängig von den Güterpreisen und dem verfügbaren Einkommen. Verändert sich das Einkommen verändert sich auch die Menge, die von einem Gut nachgefragt wird. Im Folgenden soll untersucht werden, wie und in welchem Verhältnis sich die Nachfrage verändert, wenn sich das Einkommen ändert. Es gilt 
<math> \epsilon=\frac{\part x}{\part E}\frac{E}{x} </math> 
<math> \epsilon=1 </math> => Homothetische Präferenz 
<math> \epsilon>1 </math> => Luxusgut 
<math> \epsilon<1 </math> => Notwendiges Gut 
<math> \epsilon<0 </math> => Inferiores Gut 
 
===Normale Güter===
Die [[Nachfrage]] nach normalen Gütern steigt, wenn das Einkommen steigt und sinkt, wenn das Einkommen sinkt. Die [[Elastizitäten#Einkommenselastizität der Nachfrage|Einkommenselastizität der Nachfrage]] ist somit positiv. Bei den normalen Gütern wird zudem nochmal zwischen notwendigen Gütern, homothetischen Präferenzen und Luxusgütern unterschieden. 
Bei Normalen Gütern wird untersucht, ob die Preiselastizität des Einkommens, größer, gleich oder kleiner eins ist.

====Notwendige Güter====
Die Nachfrage nach '''notwendigen Gütern''' steigt unterproportional im Einkommen. Die Nachfrage immer zunimmt, wenn das Einkommen steigt, jedoch um einen immer kleiner werdenden Wert.
Beispiel: Zucker ist für Bettina ein notwendiges Gut. Verdoppelt sich das Einkommen von ihr, fragt sie auch mehr Zucker nach, jedoch weniger als doppelt so viel. Bei einem Einkommen von 10 fragt sie beispielsweise 20 Einheiten Zucker nach und bei einem Einkommen von 20 fragt sie nicht 40, sondern 30 Einheiten nach. 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> und
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part^2 E}<0 </math> 
Die Steigung der Engelkurve ist positiv und zunehmend, da es sich bei der Engelkurve um die inverse <math> x_1(E) </math> Funktion handelt. 
 

====Homothetische Präferenzen====
Die Nachfrage nach Gütern, die '''homothetische Präferenzen''' aufweisen, steigt proportional im Einkommen. Verdoppelt sich das Einkommen, dann verdoppelt sich auch die nutzenmaximale Menge dieses Gutes. 
Es muss gelten: 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> und
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part^2 E}=0 </math> 
Die Steigung der Engelkurve ist positiv und konstant. 
 

====Luxusgüter====
Die Nachfrage nach '''Luxusgütern''' steigt überproportional im Einkommen. Das heißt die Nachfrage nach Luxusgütern steigt bei wachsendem Einkommen stärker an als das Einkommen selbst. Verdoppelt sich das Einkommen, ist die nutzenmaximale Nachfrage nach diesem Gut mehr als doppelt so groß. 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> und
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part^2 E}>0 </math> 
''Beispiel'': Für Christian sind Champagnerflaschen Luxusgüter. Er kauft für gewöhnlich eine Champagnerflasche im Jahr. Nachdem sich sein Einkommen verdoppelt hat, kauft er sich drei Champagnerflaschen im Jahr, was größer als eine bloße Verdopplung ist. 
Die Steigung der Engelkurve ist positiv und abnehmend, da es sich bei der Engelkurve um die inverse <math> x_1(E) </math> Funktion handelt. 
 
Welcher der drei Fälle vorliegt lässt sich am Verlauf der [[Engelkurve]] identifizieren. 
[[Datei:Engelkurve3.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Engelkurve4.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Engelkurve2.png|350px|rahmenlos]]

===Inferiore Güter===
Die [[Nachfrage]] nach inferioren Gütern sinkt bei steigendem Einkommen und steigt, wenn das Einkommen kleiner wird. Die [[Elastizitäten#Einkommenselastizität der Nachfrage|Einkommenselastizität der Nachfrage]] ist somit negativ. 
''Beispiel'': Für Sabine ist Brot vom Discounter ein inferiores Gut. Bei ihrem jetzigen Einkommen kauft sie recht viel Brot beim Discounter, um ihren täglichen Hunger zu stillen. Nach einer Lohnerhöhung hat sie mehr Geld zur Verfügung aber ihr Hunger ändert sich nicht. Statt noch mehr Brot, das sie sowieso nicht essen würde, beim Discounter zu kaufen geht sie zu einem Bäcker, der täglich selbst backt und kauft dort ihr Brot. Obwohl sie mehr Geld zur Verfügung hat, kauft sie von einem Gut (Brot vom Discounter) weniger als vorher. Die [[Engelkurve#Inferiore Güter|Engelkurve]] eines Inferioren Guts hat eine negative Steigung. 
[[Datei:Engelkurve6.png|350px|rahmenlos]]

==Güterart und Gesamteffekt==
Der Gesamteffekt betrachtet das veränderte Verhalten, welches beobachtbar ist. Kauft ein Konsument beispielsweise nach einer Preiserhöhung von Chips weniger Chips, ist der Gesamteffekt negativ und beträgt die Menge, die weniger gekauft wird. Ob der Gesamteffekt positiv oder negativ ist, hängt auch mit der Art des Gutes zusammen. Im Folgenden sollen Preisänderungen betrachtet werden, welche einer Einkommensreduzierung gleichkommt. Erhöht sich ein Preis, kann von dem verfügbaren Einkommen real weniger gekauft werden. Der Gesamteffekt kann auf einen [[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt#Der Einkommenseffekt|Einkommenseffekt]] und einen [[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt#Der Substitutionseffekt|Substitutionseffekt]] aufgeschlüsselt werden. Für die untenstehende Tabelle soll ausreichend sein zu wissen, dass der Substitutionseffekt für das teurer gewordene Gut immer negativ und für das gleich teuer bleibende Gut positiv ist. 
Der Einkommenseffekt für '''normale Güter''' ist bei einer Preisänderung immer negativ, da bei einem reduzierten Einkommen weniger nachgefragt wird. Für inferiore Güter ist der Einkommenseffekt bei einer Preiserhöhung positiv. Steigt der Preis für ein normales Gut, ist der Gesamteffekt negativ, da der Substitutionseffekt und der Einkommenseffekt negativ sind. Steigt der Preis eines anderen Gutes, ist der Einkommenseffekt immer noch negativ und der Substitutionseffekt nun positiv. Die beiden Effekte laufen in entgegengesetzte Richtungen und der Gesamteffekt kann nicht eindeutig bestimmt werden. Um zu bestimmen, ob der Gesamteffekt in diesem Fall positiv oder negativ ist, braucht es ein explizites Zahlenbeispiel. 
Ist das Gut ein '''inferiores Gut''' und der Preis des anderen Gutes steigt, ist der Substitutionseffekt positiv und auch der Einkommenseffekt. Der Gesamteffekt ist in diesem Fall positiv. Steigt jedoch der Preis des eigenen Gutes, ist der Substitutionseffekt negativ und der Einkommenseffekt positiv. Im zweiten Fall ist der Gesamteffekt erneut nicht eindeutig. Ist der Einkommenseffekt betragsmäßig größer als der Substitutionseffekt, ist der Gesamteffekt positiv und es handelt sich um ein Inferiores Gut, das gleichzeitig ein '''Giffen Gut''' ist. 
In der untenstehenden Tabelle sind die Ausführungen oben in einer Matrix dargestellt. Ein Pfeil nach oben (↑) bedeutet, dass die Nachfrage steigt und ein Pfeil nach unten (↓) bedeutet, dass die Nachfrage sinkt. SE: ↓ bedeutet dann, dass aufgrund des Substitutionseffektes weniger von dem Gut nachgefragt wird und der Effekt daher negativ ist.

{| class="wikitable"
! scope="col"|
! scope="col"| X ist ein normales Gut
! scope="col"| X ist ein inferiores Gut
|-
! scope="row"| px↑
| SE: X↓, EE: X↓, GE: X↓
| SE: X↓, EE: X↑, GE: ?
|-
! scope="row"| py↑
| SE: X↑, EE: X↓, GE: ?
| SE: X↑, EE: X↑, GE: X↑
|}
 

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ist die Einkommenselastizität positiv, handelt es sich auf jeden Fall um ein...
|type="()"}
+ ... Normales Gut
- ... Giffen Gut
- ... Luxusgut
- ... Notwendiges Gut
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die inverse Nachfragefunktion ist positiv geneigt. Das bedeutet, dass ...
|type="()"}
+ ... das betrachtende Gut ein Giffen Gut ist.
- ... das Gut ein Luxusgut ist.
- ... das Gut ein Gewöhnliches Gut ist.
- (nicht möglich)
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Nachfrage nach <math> x_1 </math> sei in <math> x_1=\frac{E}{p_1+5} </math> geschrieben, wobei <math> E>0 </math> und <math> p_1=0,5 </math>. Bei <math> x_1 </math> handelt es sich um ein...
|type="()"}
- ... Gewöhnliches Gut und Notwendiges Gut.
- ... Gewöhnliches Gut und Luxusgust.
- ... Giffen Gut und Luxusgut.
+ ... Gewöhnliches Gut und einem Gut, das Homohthetische Präferenzen aufweist.
</quiz>

Güterarten

2024-02-22T12:53:30Z

Leitzing:

Güter können sich in der Art und Weise unterscheiden, wie sich die optimale Nachfrage bei Preis- oder Einkommensänderungen verändern. Güter sind entweder Giffen Güter oder Gewöhnliche Güter in Bezug auf Preisänderungen und Güter sind entweder inferiore Güter oder normale Güter in Bezug auf Einkommensänderungen.

__TOC__

==Preisänderungen==
===Gewöhnliche Güter===
Die [[Nachfrage]] nach Gewöhnlichen Gütern steigt, wenn der Preis dieser Güter sinkt. Steigt der Preis, dann sinkt die Nachfrage nach dem Gewöhnlichen Gut. Die [[Elastizitäten#Preiselastizität der Nachfrage|Preiselastizität der Nachfrage]] betrachtet die prozentuale Änderung der Nachfrage, bei einer prozentualen Änderung des Preises. Wie verändert sich die nachgefragte Menge, wenn der Preis steigt? Bei Gewöhnlichen Gütern ist die Elastizität (ohne Betragsstriche und ohne negatives Vorzeichen) negativ. 
''Beispiel'': Der Student Sebastian geht bei einem Ticketpreis von 5€ 10-mal in das Kino. Sollte er bei einem Preis von 8€ seltener in das Kino gehen, ist der Kinobesuch für Sebastian ein Gewöhnliches Gut. 
Ob ein Gut ein Gewöhnliches Gut ist oder ein [[Güterarten#Preisänderungen#Giffen Güter|Giffen Gut]], lässt sich sehr gut in der [[Preiskonsumkurve]] identifizieren. Steigt der Preis von dem sich auf der x-Achse befindlichen Gut, dreht sich die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgerade]] nach Innen. Die Preiskonsumkurve verbindet alle optimalen Güternachfragen der jeweiligen Budgetgeraden miteinander und hat eine positive Steigung, wenn es sich um Gewöhnliche Güter handelt. 
[[Datei:Preiskonsumkurve.png|350px|rahmenlos]]

===Giffen Güter===
Die [[Nachfrage]] nach Giffen Gütern steigt, wenn auch der Preis dieser Güter steigt. Sinkt der Preis, sinkt auch die Nachfrage nach ihnen. Die [[Elastizitäten#Preiselastizität der Nachfrage|Preiselastizität der Nachfrage]] von Giffen Gütern (ohne Betragsstriche und ohne negatives Vorzeichen) ist positiv. Diese Eigenschaft wurde erstmals von Robert Giffen im 19. Jahrhundert entdeckt. Dass die Nachfrage nach einem Gut steigt, wenn der Preis steigt, mag im ersten Moment irritierend sein. Zum Verständnis soll ein Modell dienen, in dem ein Haushalt zwei Nahrungsmittel kaufen kann. Der Haushalt muss sich zwischen Reis und einem anderen Lebensmittel entscheiden. Steigt der Preis, kann sich der Haushalt aufgrund der Preiserhöhung von Reis bedeutend weniger vom anderen Lebensmittel leisten. Daher kauft der Haushalt mehr von Reis, um dennoch den Nutzen möglichst hoch zuhalten. Der Tangentialpunkt der Budgetgeraden mit der Indifferenzkurve liegt weiter rechts, je größer der dazugehörige Preis ist (wenn sich das Giffen Gut auf der x-Achse befindet). Die [[Preiskonsumkurve]] weist in diesem Fall eine negative Steigung auf. 
[[Datei:GiffenGut.png|350px|rahmenlos]]

==Einkommensänderungen==
Die Nachfrage nach einem Gut ist abhängig von den Güterpreisen und dem verfügbaren Einkommen. Verändert sich das Einkommen verändert sich auch die Menge, die von einem Gut nachgefragt wird. Im Folgenden soll untersucht werden, wie und in welchem Verhältnis sich die Nachfrage verändert, wenn sich das Einkommen ändert. Es gilt 
<math> \epsilon=\frac{\part x}{\part E}\frac{E}{x} </math> 
<math> \epsilon=1 </math> => Homothetische Präferenz 
<math> \epsilon>1 </math> => Luxusgut 
<math> \epsilon<1 </math> => Notwendiges Gut 
<math> \epsilon<0 </math> => Inferiores Gut 
 
===Normale Güter===
Die [[Nachfrage]] nach normalen Gütern steigt, wenn das Einkommen steigt und sinkt, wenn das Einkommen sinkt. Die [[Elastizitäten#Einkommenselastizität der Nachfrage|Einkommenselastizität der Nachfrage]] ist somit positiv. Bei den normalen Gütern wird zudem nochmal zwischen notwendigen Gütern, homothetischen Präferenzen und Luxusgütern unterschieden. 
Bei Normalen Gütern wird untersucht, ob die Preiselastizität des Einkommens, größer, gleich oder kleiner eins ist.

====Notwendige Güter====
Die Nachfrage nach '''notwendigen Gütern''' steigt unterproportional im Einkommen. Die Nachfrage immer zunimmt, wenn das Einkommen steigt, jedoch um einen immer kleiner werdenden Wert.
Beispiel: Zucker ist für Bettina ein notwendiges Gut. Verdoppelt sich das Einkommen von ihr, fragt sie auch mehr Zucker nach, jedoch weniger als doppelt so viel. Bei einem Einkommen von 10 fragt sie beispielsweise 20 Einheiten Zucker nach und bei einem Einkommen von 20 fragt sie nicht 40, sondern 30 Einheiten nach. 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> und
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part^2 E}<0 </math> 
Die Steigung der Engelkurve ist positiv und zunehmend, da es sich bei der Engelkurve um die inverse <math> x_1(E) </math> Funktion handelt. 
 

====Homothetische Präferenzen====
Die Nachfrage nach Gütern, die '''homothetische Präferenzen''' aufweisen, steigt proportional im Einkommen. Verdoppelt sich das Einkommen, dann verdoppelt sich auch die nutzenmaximale Menge dieses Gutes. 
Es muss gelten: 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> und
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part^2 E}=0 </math> 
Die Steigung der Engelkurve ist positiv und konstant. 
 

====Luxusgüter====
Die Nachfrage nach '''Luxusgütern''' steigt überproportional im Einkommen. Das heißt die Nachfrage nach Luxusgütern steigt bei wachsendem Einkommen stärker an als das Einkommen selbst. Verdoppelt sich das Einkommen, ist die nutzenmaximale Nachfrage nach diesem Gut mehr als doppelt so groß. 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> und
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part^2 E}>0 </math> 
''Beispiel'': Für Christian sind Champagnerflaschen Luxusgüter. Er kauft für gewöhnlich eine Champagnerflasche im Jahr. Nachdem sich sein Einkommen verdoppelt hat, kauft er sich drei Champagnerflaschen im Jahr, was größer als eine bloße Verdopplung ist. 
Die Steigung der Engelkurve ist positiv und abnehmend, da es sich bei der Engelkurve um die inverse <math> x_1(E) </math> Funktion handelt. 
 
Welcher der drei Fälle vorliegt lässt sich am Verlauf der [[Engelkurve]] identifizieren. 
[[Datei:Engelkurve3.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Engelkurve4.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Engelkurve2.png|350px|rahmenlos]]

===Inferiore Güter===
Die [[Nachfrage]] nach inferioren Gütern sinkt bei steigendem Einkommen und steigt, wenn das Einkommen kleiner wird. Die [[Elastizitäten#Einkommenselastizität der Nachfrage|Einkommenselastizität der Nachfrage]] ist somit negativ. 
''Beispiel'': Für Sabine ist Brot vom Discounter ein inferiores Gut. Bei ihrem jetzigen Einkommen kauft sie recht viel Brot beim Discounter, um ihren täglichen Hunger zu stillen. Nach einer Lohnerhöhung hat sie mehr Geld zur Verfügung aber ihr Hunger ändert sich nicht. Statt noch mehr Brot, das sie sowieso nicht essen würde, beim Discounter zu kaufen geht sie zu einem Bäcker, der täglich selbst backt und kauft dort ihr Brot. Obwohl sie mehr Geld zur Verfügung hat, kauft sie von einem Gut (Brot vom Discounter) weniger als vorher. Die [[Engelkurve#Inferiore Güter|Engelkurve]] eines Inferioren Guts hat eine negative Steigung. 
[[Datei:Engelkurve6.png|350px|rahmenlos]]

==Güterart und Gesamteffekt==
Der Gesamteffekt betrachtet das veränderte Verhalten, welches beobachtbar ist. Kauft ein Konsument beispielsweise nach einer Preiserhöhung von Chips weniger Chips, ist der Gesamteffekt negativ und beträgt die Menge, die weniger gekauft wird. Ob der Gesamteffekt positiv oder negativ ist, hängt auch mit der Art des Gutes zusammen. Im Folgenden sollen Preisänderungen betrachtet werden, welche einer Einkommensreduzierung gleichkommt. Erhöht sich ein Preis, kann von dem verfügbaren Einkommen real weniger gekauft werden. Der Gesamteffekt kann auf einen [[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt#Der Einkommenseffekt|Einkommenseffekt]] und einen [[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt#Der Substitutionseffekt|Substitutionseffekt]] aufgeschlüsselt werden. Für die untenstehende Tabelle soll ausreichend sein zu wissen, dass der Substitutionseffekt für das teurer gewordene Gut immer negativ und für das gleich teuer bleibende Gut positiv ist. 
Der Einkommenseffekt für '''normale Güter''' ist bei einer Preisänderung immer negativ, da bei einem reduzierten Einkommen weniger nachgefragt wird. Für inferiore Güter ist der Einkommenseffekt bei einer Preiserhöhung positiv. Steigt der Preis für ein normales Gut, ist der Gesamteffekt negativ, da der Substitutionseffekt und der Einkommenseffekt negativ sind. Steigt der Preis eines anderen Gutes, ist der Einkommenseffekt immer noch negativ und der Substitutionseffekt nun positiv. Die beiden Effekte laufen in entgegengesetzte Richtungen und der Gesamteffekt kann nicht eindeutig bestimmt werden. Um zu bestimmen, ob der Gesamteffekt in diesem Fall positiv oder negativ ist, braucht es ein explizites Zahlenbeispiel. 
Ist das Gut ein '''inferiores Gut''' und der Preis des anderen Gutes steigt, ist der Substitutionseffekt positiv und auch der Einkommenseffekt. Der Gesamteffekt ist in diesem Fall positiv. Steigt jedoch der Preis des eigenen Gutes, ist der Substitutionseffekt negativ und der Einkommenseffekt positiv. Im zweiten Fall ist der Gesamteffekt erneut nicht eindeutig. Ist der Einkommenseffekt betragsmäßig größer als der Substitutionseffekt, ist der Gesamteffekt positiv und es handelt sich um ein Inferiores Gut, das gleichzeitig ein '''Giffen Gut''' ist. 
In der untenstehenden Tabelle sind die Ausführungen oben in einer Matrix dargestellt. Ein Pfeil nach oben (↑) bedeutet, dass die Nachfrage steigt und ein Pfeil nach unten (↓) bedeutet, dass die Nachfrage sinkt. SE: ↓ bedeutet dann, dass aufgrund des Substitutionseffektes weniger von dem Gut nachgefragt wird und der Effekt daher negativ ist.

{| class="wikitable"
! scope="col"|
! scope="col"| X ist ein normales Gut
! scope="col"| X ist ein inferiores Gut
|-
! scope="row"| px↑
| SE: X↓, EE: X↓, GE: X↓
| SE: X↓, EE: X↑, GE: ?
|-
! scope="row"| py↑
| SE: X↑, EE: X↓, GE: ?
| SE: X↑, EE: X↑, GE: X↑
|}
 

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ist die Einkommenselastizität positiv, handelt es sich auf jeden Fall um ein...
|type="()"}
+ ... Normales Gut
- ... Giffen Gut
- ... Luxusgut
- ... Notwendiges Gut
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die inverse Nachfragefunktion ist positiv geneigt. Das bedeutet, dass ...
|type="()"}
+ ... das betrachtende Gut ein Giffen Gut ist.
- ... das Gut ein Luxusgut ist.
- ... das Gut ein Gewöhnliches Gut ist.
- (nicht möglich)
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Nachfrage nach <math> x_1 </math> sei in <math> x_1=\frac{E}{p_1} </math> geschrieben, wobei <math> E>0 </math>, <math> p_2>0 </math> und <math> p_1=0,5 </math>. Bei <math> x_1 </math> handelt es sich um ein...
|type="()"}
- ... Gewöhnliches Gut und Notwendiges Gut.
- ... Gewöhnliches Gut und Luxusgust.
- ... Giffen Gut und Luxusgut.
+ ... Gewöhnliches Gut und einem Gut, das Homohthetische Präferenzen aufweist.
</quiz>

Edgeworth-Box

2024-01-10T13:41:56Z

Leitzing:

==Definition==
Die Edgeworth-Box ist die grafische Darstellung einer geschlossenen Tauschökonomie mit den Präferenzen zweier Haushalte und zwei unterschiedlichen Gütern. Die Güter sind in ihrer Anzahl begrenzt.

__TOC__

==Die (Edgeworth-)Box==
Die Box der Edgeworth-Box ist die grafische Darstellung, wie zwei begrenzte Güter zwischen zwei Haushalten aufgeteilt werden können. Beide Haushalte besitzen eine Anfangsausstattung der beiden Güter und diese können sie miteinander tauschen. Die konsumierte Menge des Haushaltes A ist hierbei abhängig von der konsumierten Menge von Haushalt B desselben Gutes. Angenommen von einem Gut <math> x_1 </math> existieren 10 Einheiten. Wenn Haushalt B von den 10 Haushalten 7 konsumiert, konsumiert Haushalt A 3 Einheiten. 
<math> x_1^{A}=x_1^{max}-x_1^{B}=10-7 </math> 
Beziehungsweise <math> x_1^{max}=x_1^{A}+x_1^{B} </math> 
Dasselbe gilt für das andere Gut <math> x_2 </math>. Die beschriebenen Relationen der Konsummenge kann in einem Viereck dargstellt werden. 
[[Datei:Edgeworthbox6.png|400px|rahmenlos]] 
Die horizontale Gerade beschreibt die Menge von <math> x_1 </math>. Je weiter rechts der Konsumpunkt liegt, desto mehr konsumiert A von diesem Gut und desto weniger B. Die vertikale Gerade beschreibt die Aufteilung des Gutes <math> x_2 </math>. Je weiter oben der Konsumpunkt liegt, desto mehr konsumiert A von <math> x_2 </math> und desto weniger B.

==Präferenzen in der Edgeworth-Box==
Haushalte weisen in ihrem Konsumverhalten [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Präferenzen]] auf. Die grafische Darstellung der Präferenzen erfolgt über [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurven]] entlang derer das Nutzenniveau konstant ist. 
[[Datei:Edgeworthbox1.png|300px|rahmenlos]] 
Im Weiteren sollen nicht nur die Präferenzen eines Haushalts, sondern auch die Präferenzen eines zweiten Haushalts betrachtet werden. Um die Präferenzen in der Edgeworthbox darzustellen, wird das Koordinatensystems eines Haushalts um 180 Grad gedreht. 
[[Datei:Edgeworthbox2.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Edgeworthbox5.png|300px|rahmenlos]] 
Werden die Koordinatensysteme des Haushalts A und des Haushalts B mit den jeweiligen Präferenzen übereinandergelegt, entsteht die Edgeworth-Box. Anhand dieser wird deutlich, in welchen Punkten es effizient ist zu konsumieren. In der Edgeworth-Box gibt es unendlich viele Indifferenzkurven, von denen einige unten eingezeichnet sind. Einige Indifferenzkurven des Haushalts A tangieren jeweils eine Indifferenzkurve des Haushalts B. Diese tangential Punkte beschreiben effiziente Allokationen. 
[[Datei:Edgeworthbox3.png|400px|rahmenlos]] 

==Effiziente Allokation mit Anfangsausstattung==
Die Edgeworthbox zeigt, dass es nutzenmaximierend und damit [[effizient]] ist, in einer geschlossenen Volkswirtschaft zu handeln, beziehungsweise zu tauschen. Um zu verstehen warum das so ist soll ein Szenario dienen, in dem beide Haushalte von Grund aus eine Anfangsausstattug haben, wie sie in dem Punkt A dargestellt ist. Haushalt A's Anfangsausstattung würde zu einem Nutzenniveau von <math> U_A{3} </math> führen und Haushalbt B zu einem Niveau von <math> U_B^{2} </math>. Es gibt viele Möglichkeiten, um die Effizienz zu steigern. Für den Anfang soll das Nutzenniveau von Haushalt A konstant gehalten werden. Sollte es zu einem Handel kommen, möchte der Haushalt A nach dem Handel nicht schlechter gestellt sein, als vor dem Handel. Solange sein altes Nutzenniveau erreicht wird, stimmt es jedem Tauschgeschäft zu. Bei einem Handel, der zum Punkt B führt, gibt Haushalt A von <math> x_1 </math> ab und erhält dafür mehr von <math> x_2 </math>. Haushalt A befindet sich durch den Handel weiterhin auf <math> U_A{3} </math>. Der Haushalt B befindet sich nun jedoch auf <math> U_B{3} </math> und damit auf einem höheren Nutzenniveau. Durch den Handel ist es gelungen eine Partei besser zu stellen, ohne die andere schlechter zu stellen. Ausgehend von dem Ausstattungspunkt A existieren jedoch viele [[pareto effiziente]] Konsumpunkte, die durch einen Tausch erreicht werden können. Diese liegen alle zwischen <math> U_A^{3} </math> und <math> U_B^2 </math>. 
Die effiziente Allokation innerhalb der Edgeworthbox zeigt, dass der [[Effizienz#Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik|Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik]] gilt. 
[[Datei:Edgeworthbox7.png|400px|rahmenlos]]

==Kontraktkurve==
Die Kontraktkurve ist die Verbindungslinie aller Tangentialpunkte der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurven]]. Alle Punkte, die auf der Kontraktkurve liegen sind [[pareto effizient]]. Gegeben unterschiedlicher Anfangsausstattungen werden Tauschgeschäfte im Modell immer in einen Punkt auf der Kontraktkurve resultieren. 
[[Datei:Edgeworthbox4.png|400px|rahmenlos]]

==Marktgleichgewicht==
Bisher ergab sich eine unendliche Menge von Gleichgewichtszuständen entlang der Kontraktkurve. Nun stellt sich die Frage, welcher davon tatsächlich realisiert wird. Wird von einem speziellen Tauschprozess, dem Konkurrenzmarktgleichgewicht ausgegangen, entspricht dies genau einem ganz bestimmten Gleichgewicht und somit einem einzigen Punkt auf der Kontraktkurve in der Edgeworth-Box. Grafisch ist das Marktgleichgewicht ausgehend von dem Ausstattungspunkt E (Für A: <math> \tilde{x_1}^{A} </math> und <math> \tilde{x_2}^{A} </math>) im Punkt B erkennbar. In diesem Punkt tangiert die Indifferenzkurve des Haushalts A die Indifferenzkurve des Haushalts B. Außerdem tangieren die beiden Indifferenzkurven eine Gerade, die durch das Preisverhältnis gekennzeichnet ist. 
Der Punkt E lässt sich auch rechnerisch ermitteln. Hierfür dient das [[Lagrangeverfahren]]. Ziel ist den Nutzen zu maximieren unter der Nebenbedingung, dass der Haushalt durch den Ausstattungspunkt im Budget limitiert ist. 
'''Die Budgetrestriktion''': Die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetrestriktion|Budgetrestriktion]] gestaltet sich in den Ausgaben, wie bereits bekannt. Die Preise werden mit den Mengen multipliziert. Das Budget gestaltet sich anders. Faktisch hat der Haushalt keinen Geldbetrag zur Verfügung, den er ausgeben kann. Stattdessen hat er seine Anfangsausstattung, das er eintauschen kann. Dies kann er zu den Preisen <math> p_1 </math> und <math> p_2 </math>. 
<math> p_1x_1+p_2x_2 \leq p_1 \tilde{x_1}^{A}+p_2 \tilde{x_2}^{A} </math> 
Die Langrange Funktion lautet nun 
<math> \mathcal{L}_A(x_1,x_2,\lambda)=U_A(x_1,x_2)+\lambda(p_1 \tilde{x_1}^{A}+p_2-p_1x_1-p_2x_2) </math>
Das Maximieren ergibt 
<math> \frac{\frac{\part U_A}{\part x_1}}{\frac{\part U_A}{\part x_2}}=GRS^{A}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Das gleiche für Haushalt B ergibt 
<math> \frac{\frac{\part U_B}{\part x_1}}{\frac{\part U_B}{\part x_2}}=GRS^{B}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Es muss also gelten 
<math> GRS^{A}=\frac{p_1}{p_2}=GRS^{B} </math>

==MC Fragen==
Die ersten beiden Fragen beziehen sich auf folgende Edgeworthbox: 
[[Datei:EdgeworthboxMC.png|400px|rahmenlos]] 
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Bei Punkt B wissen wir, dass es eine Möglichkeit gibt, die Ressourcenverteilung durch Austausch zu verbessern, denn...
|type="()"}
- ...Person B ist bereit, für etwas mehr Rotwein auf eine Menge Weißwein zu verzichten, während Person A für etwas mehr Weißwein eine Menge Rotwein aufgeben würde.
+ ...Person B ist bereit, für etwas mehr Weißwein auf eine Menge Rotwein zu verzichten, während Person A für etwas mehr Rotwein eine Menge Weißwein aufgeben würde.
- ...Person A hat mehr Weißwein als Person B.
- ...die derzeitige Allokation ist unfair.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Sprung von Punkt B zu Punkt A...
|type="()"}
+ ...würde von Person B befürwortet werden und von Person A nicht.
- ...wäre pareto effizient, da die Allokation auf der Kontraktkurve liegt.
- ...würde von Person A befürwortet werden und von Person B nicht.
- ...würde von beiden Personen abgelehnt werden, da beide etwas aufgeben müssten.
</quiz>

[[Datei:EdgeworthboxMC2.png|400px|rahmenlos]] 
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage trifft auf die oben abgebildete Edgeworthbox zu?
|type="()"}
+ Der Preis von <math> x_1 </math> ist relativ zum Preis von <math> x_2 </math> zu hoch.
- Der Preis von <math> x_2 </math> ist relativ zum Preis von <math> x_1 </math> zu hoch.
- Die Preis sind richtig, aber die Konsumenten haben noch nicht vorteilhaft gehandelt.
- Die Indifferenzkurven sind ungenau gezeichnet, so dass eine pareto-optimale Marktposition nicht darstellbar ist.
</quiz>

Edgeworth-Box

2024-01-10T13:41:22Z

Leitzing:

==Definition==
Die Edgeworth-Box ist die grafische Darstellung einer geschlossenen Tauschökonomie mit den Präferenzen zweier Haushalte und zwei unterschiedlichen Gütern. Die Güter sind in ihrer Anzahl begrenzt.

__TOC__

==Die (Edgeworth-)Box==
Die Box der Edgeworth-Box ist die grafische Darstellung, wie zwei begrenzte Güter zwischen zwei Haushalten aufgeteilt werden können. Beide Haushalte besitzen eine Anfangsausstattung der beiden Güter und diese können sie miteinander tauschen. Die konsumierte Menge des Haushaltes A ist hierbei abhängig von der konsumierten Menge von Haushalt B desselben Gutes. Angenommen von einem Gut <math> x_1 </math> existieren 10 Einheiten. Wenn Haushalt B von den 10 Haushalten 7 konsumiert, konsumiert Haushalt A 3 Einheiten . 
<math> x_1^{A}=x_1^{max}-x_1^{B}=10-7 </math> 
Beziehungsweise <math> x_1^{max}=x_1^{A}+x_1^{B} </math> 
Dasselbe gilt für das andere Gut <math> x_2 </math>. Die beschriebenen Relationen der Konsummenge kann in einem Viereck dargstellt werden. 
[[Datei:Edgeworthbox6.png|400px|rahmenlos]] 
Die horizontale Gerade beschreibt die Menge von <math> x_1 </math>. Je weiter rechts der Konsumpunkt liegt, desto mehr konsumiert A von diesem Gut und desto weniger B. Die vertikale Gerade beschreibt die Aufteilung des Gutes <math> x_2 </math>. Je weiter oben der Konsumpunkt liegt, desto mehr konsumiert A von <math> x_2 </math> und desto weniger B.

==Präferenzen in der Edgeworth-Box==
Haushalte weisen in ihrem Konsumverhalten [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Präferenzen]] auf. Die grafische Darstellung der Präferenzen erfolgt über [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurven]] entlang derer das Nutzenniveau konstant ist. 
[[Datei:Edgeworthbox1.png|300px|rahmenlos]] 
Im Weiteren sollen nicht nur die Präferenzen eines Haushalts, sondern auch die Präferenzen eines zweiten Haushalts betrachtet werden. Um die Präferenzen in der Edgeworthbox darzustellen, wird das Koordinatensystems eines Haushalts um 180 Grad gedreht. 
[[Datei:Edgeworthbox2.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Edgeworthbox5.png|300px|rahmenlos]] 
Werden die Koordinatensysteme des Haushalts A und des Haushalts B mit den jeweiligen Präferenzen übereinandergelegt, entsteht die Edgeworth-Box. Anhand dieser wird deutlich, in welchen Punkten es effizient ist zu konsumieren. In der Edgeworth-Box gibt es unendlich viele Indifferenzkurven, von denen einige unten eingezeichnet sind. Einige Indifferenzkurven des Haushalts A tangieren jeweils eine Indifferenzkurve des Haushalts B. Diese tangential Punkte beschreiben effiziente Allokationen. 
[[Datei:Edgeworthbox3.png|400px|rahmenlos]] 

==Effiziente Allokation mit Anfangsausstattung==
Die Edgeworthbox zeigt, dass es nutzenmaximierend und damit [[effizient]] ist, in einer geschlossenen Volkswirtschaft zu handeln, beziehungsweise zu tauschen. Um zu verstehen warum das so ist soll ein Szenario dienen, in dem beide Haushalte von Grund aus eine Anfangsausstattug haben, wie sie in dem Punkt A dargestellt ist. Haushalt A's Anfangsausstattung würde zu einem Nutzenniveau von <math> U_A{3} </math> führen und Haushalbt B zu einem Niveau von <math> U_B^{2} </math>. Es gibt viele Möglichkeiten, um die Effizienz zu steigern. Für den Anfang soll das Nutzenniveau von Haushalt A konstant gehalten werden. Sollte es zu einem Handel kommen, möchte der Haushalt A nach dem Handel nicht schlechter gestellt sein, als vor dem Handel. Solange sein altes Nutzenniveau erreicht wird, stimmt es jedem Tauschgeschäft zu. Bei einem Handel, der zum Punkt B führt, gibt Haushalt A von <math> x_1 </math> ab und erhält dafür mehr von <math> x_2 </math>. Haushalt A befindet sich durch den Handel weiterhin auf <math> U_A{3} </math>. Der Haushalt B befindet sich nun jedoch auf <math> U_B{3} </math> und damit auf einem höheren Nutzenniveau. Durch den Handel ist es gelungen eine Partei besser zu stellen, ohne die andere schlechter zu stellen. Ausgehend von dem Ausstattungspunkt A existieren jedoch viele [[pareto effiziente]] Konsumpunkte, die durch einen Tausch erreicht werden können. Diese liegen alle zwischen <math> U_A^{3} </math> und <math> U_B^2 </math>. 
Die effiziente Allokation innerhalb der Edgeworthbox zeigt, dass der [[Effizienz#Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik|Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik]] gilt. 
[[Datei:Edgeworthbox7.png|400px|rahmenlos]]

==Kontraktkurve==
Die Kontraktkurve ist die Verbindungslinie aller Tangentialpunkte der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurven]]. Alle Punkte, die auf der Kontraktkurve liegen sind [[pareto effizient]]. Gegeben unterschiedlicher Anfangsausstattungen werden Tauschgeschäfte im Modell immer in einen Punkt auf der Kontraktkurve resultieren. 
[[Datei:Edgeworthbox4.png|400px|rahmenlos]]

==Marktgleichgewicht==
Bisher ergab sich eine unendliche Menge von Gleichgewichtszuständen entlang der Kontraktkurve. Nun stellt sich die Frage, welcher davon tatsächlich realisiert wird. Wird von einem speziellen Tauschprozess, dem Konkurrenzmarktgleichgewicht ausgegangen, entspricht dies genau einem ganz bestimmten Gleichgewicht und somit einem einzigen Punkt auf der Kontraktkurve in der Edgeworth-Box. Grafisch ist das Marktgleichgewicht ausgehend von dem Ausstattungspunkt E (Für A: <math> \tilde{x_1}^{A} </math> und <math> \tilde{x_2}^{A} </math>) im Punkt B erkennbar. In diesem Punkt tangiert die Indifferenzkurve des Haushalts A die Indifferenzkurve des Haushalts B. Außerdem tangieren die beiden Indifferenzkurven eine Gerade, die durch das Preisverhältnis gekennzeichnet ist. 
Der Punkt E lässt sich auch rechnerisch ermitteln. Hierfür dient das [[Lagrangeverfahren]]. Ziel ist den Nutzen zu maximieren unter der Nebenbedingung, dass der Haushalt durch den Ausstattungspunkt im Budget limitiert ist. 
'''Die Budgetrestriktion''': Die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetrestriktion|Budgetrestriktion]] gestaltet sich in den Ausgaben, wie bereits bekannt. Die Preise werden mit den Mengen multipliziert. Das Budget gestaltet sich anders. Faktisch hat der Haushalt keinen Geldbetrag zur Verfügung, den er ausgeben kann. Stattdessen hat er seine Anfangsausstattung, das er eintauschen kann. Dies kann er zu den Preisen <math> p_1 </math> und <math> p_2 </math>. 
<math> p_1x_1+p_2x_2 \leq p_1 \tilde{x_1}^{A}+p_2 \tilde{x_2}^{A} </math> 
Die Langrange Funktion lautet nun 
<math> \mathcal{L}_A(x_1,x_2,\lambda)=U_A(x_1,x_2)+\lambda(p_1 \tilde{x_1}^{A}+p_2-p_1x_1-p_2x_2) </math>
Das Maximieren ergibt 
<math> \frac{\frac{\part U_A}{\part x_1}}{\frac{\part U_A}{\part x_2}}=GRS^{A}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Das gleiche für Haushalt B ergibt 
<math> \frac{\frac{\part U_B}{\part x_1}}{\frac{\part U_B}{\part x_2}}=GRS^{B}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Es muss also gelten 
<math> GRS^{A}=\frac{p_1}{p_2}=GRS^{B} </math>

==MC Fragen==
Die ersten beiden Fragen beziehen sich auf folgende Edgeworthbox: 
[[Datei:EdgeworthboxMC.png|400px|rahmenlos]] 
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Bei Punkt B wissen wir, dass es eine Möglichkeit gibt, die Ressourcenverteilung durch Austausch zu verbessern, denn...
|type="()"}
- ...Person B ist bereit, für etwas mehr Rotwein auf eine Menge Weißwein zu verzichten, während Person A für etwas mehr Weißwein eine Menge Rotwein aufgeben würde.
+ ...Person B ist bereit, für etwas mehr Weißwein auf eine Menge Rotwein zu verzichten, während Person A für etwas mehr Rotwein eine Menge Weißwein aufgeben würde.
- ...Person A hat mehr Weißwein als Person B.
- ...die derzeitige Allokation ist unfair.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Sprung von Punkt B zu Punkt A...
|type="()"}
+ ...würde von Person B befürwortet werden und von Person A nicht.
- ...wäre pareto effizient, da die Allokation auf der Kontraktkurve liegt.
- ...würde von Person A befürwortet werden und von Person B nicht.
- ...würde von beiden Personen abgelehnt werden, da beide etwas aufgeben müssten.
</quiz>

[[Datei:EdgeworthboxMC2.png|400px|rahmenlos]] 
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage trifft auf die oben abgebildete Edgeworthbox zu?
|type="()"}
+ Der Preis von <math> x_1 </math> ist relativ zum Preis von <math> x_2 </math> zu hoch.
- Der Preis von <math> x_2 </math> ist relativ zum Preis von <math> x_1 </math> zu hoch.
- Die Preis sind richtig, aber die Konsumenten haben noch nicht vorteilhaft gehandelt.
- Die Indifferenzkurven sind ungenau gezeichnet, so dass eine pareto-optimale Marktposition nicht darstellbar ist.
</quiz>

Effizienz

2024-01-10T11:09:13Z

Leitzing:

In der Volkswirtschaftslehre ist häufig von Effizienz die Rede. Ökonominnen und Ökonomen stehen hierbei vor der Frage, ob gewisse wirtschaftliche Vorgänge oder Situationen effizient sind. Vor diesem Hintergrund ist es wichtig den Effizienz-Begriff weiter zu erläutern.

__TOC__

==Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik==
Der erste Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik besagt, dass alle Konkurrenzmarktgleichgewichte pareto-effizienz sind. Dies lässt sich auch mit der [[Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel|Allgemeinen Gleichgewichtstheorie]] zeigen. Der erste Hauptsatz gilt für die Produktion im Wettbewerbsgleichgewicht, den Input in Wettbewerbsgleichgewichten, die Allokation der Güter und den Output in Wettbewerbsgleichgewichten.

==Pareto Effizienz==
In der Regel ist von "pareto-Efizienz" die Rede. Doch was ist eigentlich pareto-Effizienz? Die moderne Definition des Begriffs der Effizienz ist in der Pareto Effizienz beschrieben. Eine Situation ist pareto effizient, sobald niemand besser gestellt werden kann, ohne eine anderen Partei dadurch schlechter zu stellen. Dies lässt sich sehr gut in einer 2 <math disply="inline"> \times </math> 2 Spielmatrix verdeutlichen. 
{| class="wikitable"
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| 1, 1
|}
Spieler 1 kann nur zwischen A und B entscheiden und Spieler 2 nur zwischen C und D. Angenommen wir untersuchen (A, C). Der Payoff für Spieler 1 beträgt 3, der für Spieler 2 ebenfalls. Für Spieler 1 wäre (A, D) besser, da er hier einen Payoff von 6 hätte (mal davon abgesehen, dass er alleine nicht bestimmen kann, welcher Payoff herauskommt). Spieler 2 hätte bei (A, D) allerdings nur einen Payoff von 0, was geringer ist als vorher. (A, C) wäre also pareto effizient, da keiner der beiden Spieler einen größeren Payoff erlangen kann ohne den anderen schlechter zu stellen. 
Der einzige Outcome, der nicht pareto effizient ist, ist (B, D). In diesem haben beide Spieler einen Payoff von 1. Der (A, C) Outcome stellt Spieler 1 besser ohne Spieler 2 schlechter zu stellen, im Gegenteil, Spieler 2 wird ebenfalls bessergestellt. 
 

==Effizienz und Gesamtwohlfahrt==
Um die Effizienz in einem Markt zu bewerten wird die aggregierte Konsumentenrente und Produzentenrente herangezogen. Wenn diese maximiert wird, spricht man von ökonomischer Effizienz. Hierbei gilt es zu beachten, dass es keine Rolle spielt, wie die Aufteilung der jeweiligen Renten ist. Im Fall der [[Preisdiskriminierung|perfekten Preisdiskriminierung]], also ein Fall, in dem die Konsumentenrente vollständig abgeschöpft und zur Produzentenrente wird, kann dennoch ökonomisch effizient sein. Ökonomische Effizienz sagt also nichts über eine gerechte Verteilung aus. Sobald ein Wohlfahrtsverlust entsteht, kann ein Markt somit nicht mehr effizient sein, erst recht wenn ein [[Zusammenfassung Marktversagen|Markt versagt]], zum Beispiel bei [[Externalitäten und Internalisierung|Externalitäten]]. 
[[Datei:NegativeExternalitäten.png|500px|rahmenlos]] 
[[Eingriffe in das Marktgleichgewicht]] sind weitere Möglichkeiten, in denen ein Markt zur Ineffizienz neigt. Es ist wichtig an dieser Stelle anzumerken, dass hier zwischen politischen Entscheidungen und dem ökonomischen Effiziengedanken unterschieden wird. Neben der deskriptiven Aussage, dass Steuern zu einem Wohlfahrtsverlust führen und daher ineffizient sind, lassen sich außerdem positive Aussagen formulieren was daraus folgt. Eine Möglichkeit wäre zu sagen, dass Steuern daher nicht eingeführt werden sollten, eine andere Möglichkeit ist zu sagen, dass Steuern zu einem ineffizienten Marktergebnis führen, sie aber dafür einen anderen ebenfalls wichtigen Zweck erfüllen. 

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Aussagen ist korrekt? Eine pareto effiziente Allokation...
|type="()"}
+ ... liegt vor, wenn kein Tausch beide Personen besser stellt.
- ... führt dazu, dass Konsumenten gleich gut gestellt sind (fair).
- ... führt dazu, dass zwei Konsumenten beide immer besser gestellt sind, als vor der effizienten Allokation.
- ... ist immer einzigartig ("unique").
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{{| class="wikitable"
! scope="col"| 1|2
! scope="col"| C
! scope="col"| D
|-
! scope="row"| A
| 4, 8
| 5, 3
|-
! scope="row"| B
| 1, 0
| 2, 2
|} 
Wählen Sie alle pareto-effizienten Allokationen aus.
|type="[]"}
+ (A, C)
+ (A, D)
- (B, C)
- (B, D)
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage ist wahr?
|type="()"}
+ Jede pareto-optimale Allokation kann durch geeignete Umverteilung der Anfangsausstattungen als allgemeines Gleichgewicht erreicht werden.
- Der Tausch durch Preisdiskriminerung ersten Grades (die vollständige Abschöpfung der Konsumentenrente durch die Produzenten) ist ausgehend vom Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb pareto-effizient.
- Das Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb ist nicht pareto-effizient.
- Positive Externalitäten erhöhen die Rente einer Marktseite und ist verglichen mit dem Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb daher pareto-effizient.
</quiz>

Oligopole

2024-01-08T16:48:56Z

Leitzing:

Ein Oligopol bedeutet, dass es viele Nachfrager aber wenige Anbieter auf einem Markt gibt. Dadurch können die Anbieter Marktmacht besitzen auch wenn diese wenigen Anbieter im Wettbewerb zueinander stehen. Die Unternehmen können sich in einem Preis- oder Mengenwettbewerb befinden. Hierbei können sich die vertriebenen Produkte unterscheiden (differenzierte Güter) oder identisch sein (homogene Güter). 
Zur Vereinfachung soll es im Weiteren um die simpelste Form des Oligopols gehen: dem Duopol.

__TOC__

==Cournot Wettbewerb==
Der Cournot Wettbewerb wird auch als '''Mengenwettbewerb''' bezeichnet. In diesem ist die Produktionsmenge die strategische Variable, über die die Unternehmen ihren Gewinn maximieren (<math style="inline"> \frac{\part \pi_i}{\part q_i}</math>). 
Im [[Marktformen#Perfekter Wettbewerb|Perfekten Wettbewerb]] ergab sich folgende [[Nachfrage|Nachfragefunktion]]: <math> P(Q)=a-bQ </math> 
Die Nachfragefunktion ändert sich im Duopol nicht, jedoch stellt sich die Gesamtmenge Q aus der Produktion aller Unternehmen zusammen. Bei zwei Unternehmen ergibt das <math> P(q_1,q_2)=a-b(q_1+q_2)=a-bq_1-bq_2 </math>. 
Die Gewinnfunktion bleibt unverändert und ist gleich dem Umsatz abzüglich der Kosten. Unter der Annahme von Grenzkosten gleich null ergibt sich: 
<math> \pi_1=pq_i=(a-bq_1-bq_2)q_1 </math> und 
<math> \pi_2=pq_i=(a-bq_1-bq_2)q_2 </math> 
Beide Unternehmen maximieren ihren Gewinn in Bezug auf ihrer Produktionsmenge. Hierfür wird die Gewinnfunktion nach der Menge abgeleitet. Da Unternehmen nur ihre eigene Menge wählen können, ist die Menge des anderen Unternehmens eine Konstante. Beide Gewinnfunktionen sind symmetrisch, daher wird im Folgenden lediglich Unternehmen 1 betrachtet. 
<math> \frac{\part \pi_1}{\part q_1}=a-2bq_1-bq_2=0 </math> 
Umstellen nach <math>q_1</math> ergibt eine Funktion, die abhängig von der Produktionsmenge des Unternehmens 2 ist. Diese Funktion beschreibt, welche Menge Unternehmen 1 gewinnmaximal setzen sollte, für jede Produktionsmenge von Unternehmen 2. Diese Funktion ist die '''Reaktionsfunktion'''. 
<math>q_1(q_2)=\frac{a}{2b}-\frac{1}{2}q_2</math> 
aufgrund der Symmetrie: 
<math>q_2(q_1)=\frac{a}{2b}-\frac{1}{2}q_1</math> 
Beide Reaktionsfunktionen zeigen, dass die Relation zwischen der eigenen gewinnmaximalen Menge und der Menge des anderen Unternehmens negativ ist. Je mehr Unternehmen 2 produziert, desto weniger sollte Unternehmen 1 produzieren. Die beiden Reaktionsfunktionen lassen sich auch grafisch darstellen. 
[[Datei:Cournot.png|401px|rahmenlos]] 
 
Die in grün eingezeichnete Gerade ist die Reaktionsfunktion von Unternehmen 1 und die in blau eingezeichnet von Unternehmen 2. Angenommen Unternehmen 2 produziert eine Menge <math> q_2' </math>. Die gewinnmaximale Menge von Unternehmen 1 kann in der grünen Funktion abgelesen werden und liegt bei <math> q_1' </math>. Unternehmen 2 würde wiederum die eigene Menge anpassen, sodass die Reaktionen entlang der Reaktionsfunktionen in den gestrichelten Linien ersichtlich ist. Im Schnittpunkt ist die produzierte Menge bereits die beste Antwort auf die Produktionsmenge des anderen Unternehmens. In diesem Punkt befindet sich das Cournot-[[Nash Gleichgewicht]]. 
Rechnerisch lässt sich der Punkt durch Substitution berechnen. Durch Einsetzen der einen Reaktionsfunktion in die andere ist die Gleichung nur noch von einer variablen Abhängig. Durch Umstellen lässt sich die optimale Menge herausfinden. Eingesetzt in die andere Reaktionsfunktion, lässt sich auch die zweite optimale Menge berechnen. Sofern die beiden Firmen symmetrisch (eine identische Gewinnfunktion besitzen) sind muss im Gleichgewicht gelten, dass die Mengen beider Firmen gleich groß ist. Dies kann nach der Maximierung angenommen werden, um die Gleichgewichts Mengen zu ermitteln.

==Bertrand Wettbewerb==
Der Bertrand Wettbewerb wird auch Preiswettbewerb genannt. Die strategische Variable, über die die Unternehmen ihren Gewinn maximieren ist der Preis (<math style="inline"> \frac{\part \pi_i}{\part p_i}</math>). 
In der Betrachtung wie Unternehmen ihren Gewinn maximieren musss zwischen differenzierten und homogenen Gütern unterschieden werden. 
 
===Homogene Güter===
Homogene Güter sind Güter, bei denen Konsumenten keine Präferenzen für eines der Güter haben. Konsumenten sind indifferent zwischen dem Konsum des Gutes von Unternehmen 1 und von Unternehmen 2. Das einzige Entscheidungskriterium ist daher der Preis. Ist das Gut von Unternehmen 1 günstiger als von Unternehmen 2, so kauft der Konsument das Gut von Unternehmen 1 und andersherum. Dies stellt sich als Anreiz für beide Unternehmen dar, sich minimal zu unterbieten und so die gesamte Marktnachfrage auf sich zu ziehen. Solange der Preis oberhalb der [[Kostenarten#Grenzkosten|Grenzkosten]] liegt nehmen beide Unternehmen an dem Preiswettbewerb teil. Haben beide Unternehmen identische Grenzkosten, stellt sich der Marktpreis bei den Grenzkosten ein. Hat ein Unternehmen etwas höhere Grenzkosten, so liegt der Marktpreis bei den höheren Grenzkosten. 
''Beispiel'': Unternehmen 1 hat Grenzkosten von a und Unternehmen Grenzkosten von b, wobei <math> a. Beide Unternehmen können sich so lange Unterbieten, bis der Marktpreis bei b liegt. Unternehmen 2 kann nun nicht mehr unterbieten, da es sonst mit jeder Einheit Verlust macht. Unternehmen bietet einen Preis minimal unterhalb von b an. <math> P=b-\varepsilon </math>, wobei <math> \varepsilon </math> gegen 0 strebt, da Unternehmen 1 einen Anreiz hat die Grenzkosten möglichst gering zu unterbieten. Daher <math> \lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0}{b-\varepsilon}=b </math>. 
 

===Differenzierte Güter===
Konsumenten haben bei differenzierten Gütern Präferenzen gegenüber den Gütern. In diesem Fall begegnen beide Unternehmen nicht mehr zwangsläufig derselben [[Nachfrage]]. 
''Beispiel'': Vielen Nachfragern ist es nicht egal, ob sie Sportsachen von Nike oder von Adidas tragen, einige präferieren Nike und andere Adidas. Die Nachfrage der beiden Konzerne ist nicht [[Elastizitäten#Preiselastizität der Nachfrage|vollkommen elastisch]]. Ihre Nachfrage ist jedoch auch nicht vollkommen unelastisch, denn sollte der Preis von Nike zu groß sein, werden auch die größten Nike Fans irgendwann zu Adidas wechseln. Andersherum steigt die Nachfrage nach Nike Artikeln, wenn Adidas seine Preise anhebt. Die eigene Nachfrage hat also eine negative Relation mit dem eigenen Preis und eine positive mit dem Preis der anderen Unternehmen. 
Allgemein gilt 
<math> q_1=a-bp_1+cp_2</math> 
<math> q_2=a-bp_2+cp_2</math> 
In dem oben geschilderten Fall wird Symmetrie angenommen, dies muss aber nicht zwangsläufig vorliegen. Symmetrie bedeutet, dass die Nachgefragte Menge von Unternehmen 1 im selben Maß vom eigenen Preis (<math>p_1</math>) abhängt, wie die Nachfrage von Unternehmen 2 vom eigenen Preis (<math>p_2</math>). 
Aufgrund der Symmetrie genügt die Betrachtung von Unternehmen 1 um die Reaktionsfunktionen zu ermitteln. 
<math> \pi_1=p_1*q_1=p_1(a-bp_1+cp_2)</math> 
<math> \frac{\part \pi_1}{\part p_1}=a-2bp_1+cp_2=0</math> 
Umstellen nach <math> p_1 </math> ergibt erneut eine '''Reaktionsfunktion''', die abhängig von dem Preis des anderen Unternehmens ist. 
<math> p_1(p_2)=\frac{a}{2b}+\frac{c}{2b}p_2 </math> 
<math> p_2(p_1)=\frac{a}{2b}+\frac{c}{2b}p_1 </math> 
Die Relation zwischen dem eigenen gewinnmaximalen Preis und dem Preis des anderen Unternehmens ist positiv, je höher das andere Unternehmen seine Preise setzt, desto höher sollte der eigene Preis sein. 
[[Datei:Bertrand.png|400px|rahmenlos]] 
 
Setzt Unternehmen 2 seinen Preis auf <math> p_2'</math>, liegt der gewinnmaximale Preis bei <math> p_1'</math>, woraufhin Unternehmen seinen Gewinn steigern kann, in dem er den durch die Reaktionsfunktion vorgegebenen Preis setzt. Erst bei <math> p_1^B</math> und <math>p_2^B</math> ist der gewählte Preis auch die beste Antwort auf den Preis des anderen Unternehmens. Es gibt für keins der beiden Unternehmen einen Grund abzuweichen, weshalb beide Preise ein [[Nash Gleichgewicht]] darstellen. 
Rechnerisch lässt sich dieser Punkt auch hier wieder durch das Einsetzen der Reaktionsfunktion in die andere Reaktionsfunktion berechnen.

==Stackelberg Wettbewerb==
Das Stackelberg Duopol kennzeichnet sich dadurch, dass ein Unternehmen, meist das Marktführende, seine strategische Variable zuerst setzt. Im Falle des Preiswettbewerbs unterscheidet sich das Stackelberg Duopol somit vom [[Oligopole#Bertrand Wettbwerb|Bertrand Wettbewerb]], bei dem beide Unternehmen ihren Preis zeitgleich setzen. Der Modellaufbau unterscheidet sich sonst nicht. Die [[Nachfrage]] beider Unternehmen hängt negativ vom eigenen Preis und positiv von dem Preis es konkurrierenden Unternehmens ab. Im Falle des Mengenwettbewerbs setzt ein Unternehmen seine Menge zuerst, das andere Unternehmen kann die Entscheidung beobachten und darauf reagieren. 
''Beispiel für ein Stackelberg Wettbewerb mit dem Preis als strategische Variable'': Unternehmen 1 setzt seinen Preis zuerst, Unternehmen 2 kann diesen beobachten und zieht nach. Die Nachfrage bleibt unverändert. In der Frage wie Unternehmen 1, der Stackelberg Führer, seinen Preis optimal setzt, hilft die Reaktionsfunktion. Unternehmen 1 ist rational und verfügt über alle Informationen, daher kennt es auch die Reaktionsfunktion von Unternehmen 2 und weiß, wie es auf die eigenen Preissetzung reagieren wird. Die Reaktionsfunktion von Unternehmen 2 lässt sich in die Gewinnfunktion von Unternehmen 1 setzen. 
<math> \pi_1=p_1*q_1=p_1(a-bp_1+cp_2(p_1)) </math> 
Die Gewinnfunktion oben ist nur noch von <math> p_1 </math> abhängig, da <math> p_2(p_1) </math> die Reaktionsfunktion von Unternehmen 2 ist. 
''Zahlenbeispiel'': Unternehmen 1 setzt seinen Preis zuerst und hat eine Marktnachfrage von <math> q_1=10-2p1+p_2 </math>. Unternehmen zwei hat eine Reaktionsfunktion von <math>p_2(p_1)=5+p_1</math>. Unternehmen 1 hat keine Grenz- und Fixkosten. Unternehmen 1 möchte seinen Gewinn maximieren 
<math> \pi_1=p_1*q_1=p_1(10-2p_1+p_2) </math> 
Unternehmen 1 kennt die Reaktionsfunktion von Unternehmen 2 und weiß damit wie es auf den eigenen Preis reagieren wird. Unternehmen 1 kann selbst beeinflussen, wie Unternehmen 2 seinen Preis setzt. Dieses Wissen kann bei der Gewinnfunktion mit herangezogen werden. 
<math> \pi_1=p_1(10-2p_1+(5+p_1))=p_1(15+p_1) </math> 
<math> \frac{\part \pi_1}{\part p_1}=15+2p_1=0 </math> 
<math> p_1=7,5 </math> 
Durch einsetzt von <math> p_1=7,5 </math> in die Reaktionsfunktion kann <math> p_2=12,5 </math> ermittelt werden.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Bei homogenen Gütern ist die gesamte Produktionsmenge im Betrand-Gleichgewicht:
|type="()"}
+ ebenso hoch wie die Produktionsmenge beim perfekten Wettbewerb
- ebenso hoch wie die Produktionsmenge beim Monopol
- höher als die Produktionsmenge beim perfekten Wettbewerb
- zwischen den Produktionsmengen bei Monopol und bei perfektem Wettbewerb
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Im Bertrand Wettbewerb mit differenzierten Gütern gilt
|type="()"}
+ jedes Unternehmen macht einen positiven Gewinn vorausgesetzt es gibt keine Fixkosten
- jedes Unternehmen wählt einen Preis, der seinen Grenzkosten entspricht
- jedes Unternehmen wählt einen Preis, der seinen durchschnittlichen Gesamtkosten entspricht
- nur ein Unternehmen bedient den gesamten Markt
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{In einem Markt agieren zwei Unternehmen und setzen ihre Produktionsmenge als strategische Variable ein. Beide Unternehmen haben keine Fixkosten und die Grenzkosten betragen null. Angenommen die Marktnachfrage lautet <math> P(Q)=10-Q </math>. Wie lauten die Reaktionsfunktionen beider Unternehmen?
|type="()"}
+ <math> q_1(q_2)=5-0,5q_2 </math> und <math> q_2(q_1)=5-0,5q_1 </math>
- <math> q_1(q_2)=5-0,5q_2 </math> und <math> q_2(q_1)=5-2q_1 </math>
- <math> q_1(q_2)=3-2q_2 </math> und <math> q_2(q_1)=3-2q_1 </math>
- <math> q_1(q_2)=10-2q_2 </math> und <math> q_2(q_1)=5-0,5q_1 </math>
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{In einem Markt agieren zwei Unternehmen und setzen ihre Produktionsmenge als strategische Variable ein. Beide Unternehmen haben keine Fixkosten und die Grenzkosten betragen null. Angenommen die Marktnachfrage lautet <math> P(Q)=10-Q </math>. Wie viel wird Unternehmen 1 gewinnmaximal produzieren?
|type="()"}
+ <math> q_1=\frac{10}{3} </math>
- <math> q_1=\frac{20}{3} </math>
- <math> q_1=10 </math>
- <math> q_1=\frac{9}{3} </math>
</quiz>

Oligopole

2024-01-08T16:48:18Z

Leitzing:

Ein Oligopol bedeutet, dass es viele Nachfrager und wenige Anbieter auf einem Markt agieren. Dadurch können die Anbieter Marktmacht besitzen auch wenn diese wenigen Anbieter im Wettbewerb zueinander stehen. Die Unternehmen können sich in einem Preis- oder Mengenwettbewerb befinden. Hierbei können sich die vertriebenen Produkte unterscheiden (differenzierte Güter) oder identisch sein (homogene Güter). 
Zur Vereinfachung soll es im Weiteren um die simpelste Form des Oligopols gehen: dem Duopol.

__TOC__

==Cournot Wettbewerb==
Der Cournot Wettbewerb wird auch als '''Mengenwettbewerb''' bezeichnet. In diesem ist die Produktionsmenge die strategische Variable, über die die Unternehmen ihren Gewinn maximieren (<math style="inline"> \frac{\part \pi_i}{\part q_i}</math>). 
Im [[Marktformen#Perfekter Wettbewerb|Perfekten Wettbewerb]] ergab sich folgende [[Nachfrage|Nachfragefunktion]]: <math> P(Q)=a-bQ </math> 
Die Nachfragefunktion ändert sich im Duopol nicht, jedoch stellt sich die Gesamtmenge Q aus der Produktion aller Unternehmen zusammen. Bei zwei Unternehmen ergibt das <math> P(q_1,q_2)=a-b(q_1+q_2)=a-bq_1-bq_2 </math>. 
Die Gewinnfunktion bleibt unverändert und ist gleich dem Umsatz abzüglich der Kosten. Unter der Annahme von Grenzkosten gleich null ergibt sich: 
<math> \pi_1=pq_i=(a-bq_1-bq_2)q_1 </math> und 
<math> \pi_2=pq_i=(a-bq_1-bq_2)q_2 </math> 
Beide Unternehmen maximieren ihren Gewinn in Bezug auf ihrer Produktionsmenge. Hierfür wird die Gewinnfunktion nach der Menge abgeleitet. Da Unternehmen nur ihre eigene Menge wählen können, ist die Menge des anderen Unternehmens eine Konstante. Beide Gewinnfunktionen sind symmetrisch, daher wird im Folgenden lediglich Unternehmen 1 betrachtet. 
<math> \frac{\part \pi_1}{\part q_1}=a-2bq_1-bq_2=0 </math> 
Umstellen nach <math>q_1</math> ergibt eine Funktion, die abhängig von der Produktionsmenge des Unternehmens 2 ist. Diese Funktion beschreibt, welche Menge Unternehmen 1 gewinnmaximal setzen sollte, für jede Produktionsmenge von Unternehmen 2. Diese Funktion ist die '''Reaktionsfunktion'''. 
<math>q_1(q_2)=\frac{a}{2b}-\frac{1}{2}q_2</math> 
aufgrund der Symmetrie: 
<math>q_2(q_1)=\frac{a}{2b}-\frac{1}{2}q_1</math> 
Beide Reaktionsfunktionen zeigen, dass die Relation zwischen der eigenen gewinnmaximalen Menge und der Menge des anderen Unternehmens negativ ist. Je mehr Unternehmen 2 produziert, desto weniger sollte Unternehmen 1 produzieren. Die beiden Reaktionsfunktionen lassen sich auch grafisch darstellen. 
[[Datei:Cournot.png|401px|rahmenlos]] 
 
Die in grün eingezeichnete Gerade ist die Reaktionsfunktion von Unternehmen 1 und die in blau eingezeichnet von Unternehmen 2. Angenommen Unternehmen 2 produziert eine Menge <math> q_2' </math>. Die gewinnmaximale Menge von Unternehmen 1 kann in der grünen Funktion abgelesen werden und liegt bei <math> q_1' </math>. Unternehmen 2 würde wiederum die eigene Menge anpassen, sodass die Reaktionen entlang der Reaktionsfunktionen in den gestrichelten Linien ersichtlich ist. Im Schnittpunkt ist die produzierte Menge bereits die beste Antwort auf die Produktionsmenge des anderen Unternehmens. In diesem Punkt befindet sich das Cournot-[[Nash Gleichgewicht]]. 
Rechnerisch lässt sich der Punkt durch Substitution berechnen. Durch Einsetzen der einen Reaktionsfunktion in die andere ist die Gleichung nur noch von einer variablen Abhängig. Durch Umstellen lässt sich die optimale Menge herausfinden. Eingesetzt in die andere Reaktionsfunktion, lässt sich auch die zweite optimale Menge berechnen. Sofern die beiden Firmen symmetrisch (eine identische Gewinnfunktion besitzen) sind muss im Gleichgewicht gelten, dass die Mengen beider Firmen gleich groß ist. Dies kann nach der Maximierung angenommen werden, um die Gleichgewichts Mengen zu ermitteln.

==Bertrand Wettbewerb==
Der Bertrand Wettbewerb wird auch Preiswettbewerb genannt. Die strategische Variable, über die die Unternehmen ihren Gewinn maximieren ist der Preis (<math style="inline"> \frac{\part \pi_i}{\part p_i}</math>). 
In der Betrachtung wie Unternehmen ihren Gewinn maximieren musss zwischen differenzierten und homogenen Gütern unterschieden werden. 
 
===Homogene Güter===
Homogene Güter sind Güter, bei denen Konsumenten keine Präferenzen für eines der Güter haben. Konsumenten sind indifferent zwischen dem Konsum des Gutes von Unternehmen 1 und von Unternehmen 2. Das einzige Entscheidungskriterium ist daher der Preis. Ist das Gut von Unternehmen 1 günstiger als von Unternehmen 2, so kauft der Konsument das Gut von Unternehmen 1 und andersherum. Dies stellt sich als Anreiz für beide Unternehmen dar, sich minimal zu unterbieten und so die gesamte Marktnachfrage auf sich zu ziehen. Solange der Preis oberhalb der [[Kostenarten#Grenzkosten|Grenzkosten]] liegt nehmen beide Unternehmen an dem Preiswettbewerb teil. Haben beide Unternehmen identische Grenzkosten, stellt sich der Marktpreis bei den Grenzkosten ein. Hat ein Unternehmen etwas höhere Grenzkosten, so liegt der Marktpreis bei den höheren Grenzkosten. 
''Beispiel'': Unternehmen 1 hat Grenzkosten von a und Unternehmen Grenzkosten von b, wobei <math> a. Beide Unternehmen können sich so lange Unterbieten, bis der Marktpreis bei b liegt. Unternehmen 2 kann nun nicht mehr unterbieten, da es sonst mit jeder Einheit Verlust macht. Unternehmen bietet einen Preis minimal unterhalb von b an. <math> P=b-\varepsilon </math>, wobei <math> \varepsilon </math> gegen 0 strebt, da Unternehmen 1 einen Anreiz hat die Grenzkosten möglichst gering zu unterbieten. Daher <math> \lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0}{b-\varepsilon}=b </math>. 
 

===Differenzierte Güter===
Konsumenten haben bei differenzierten Gütern Präferenzen gegenüber den Gütern. In diesem Fall begegnen beide Unternehmen nicht mehr zwangsläufig derselben [[Nachfrage]]. 
''Beispiel'': Vielen Nachfragern ist es nicht egal, ob sie Sportsachen von Nike oder von Adidas tragen, einige präferieren Nike und andere Adidas. Die Nachfrage der beiden Konzerne ist nicht [[Elastizitäten#Preiselastizität der Nachfrage|vollkommen elastisch]]. Ihre Nachfrage ist jedoch auch nicht vollkommen unelastisch, denn sollte der Preis von Nike zu groß sein, werden auch die größten Nike Fans irgendwann zu Adidas wechseln. Andersherum steigt die Nachfrage nach Nike Artikeln, wenn Adidas seine Preise anhebt. Die eigene Nachfrage hat also eine negative Relation mit dem eigenen Preis und eine positive mit dem Preis der anderen Unternehmen. 
Allgemein gilt 
<math> q_1=a-bp_1+cp_2</math> 
<math> q_2=a-bp_2+cp_2</math> 
In dem oben geschilderten Fall wird Symmetrie angenommen, dies muss aber nicht zwangsläufig vorliegen. Symmetrie bedeutet, dass die Nachgefragte Menge von Unternehmen 1 im selben Maß vom eigenen Preis (<math>p_1</math>) abhängt, wie die Nachfrage von Unternehmen 2 vom eigenen Preis (<math>p_2</math>). 
Aufgrund der Symmetrie genügt die Betrachtung von Unternehmen 1 um die Reaktionsfunktionen zu ermitteln. 
<math> \pi_1=p_1*q_1=p_1(a-bp_1+cp_2)</math> 
<math> \frac{\part \pi_1}{\part p_1}=a-2bp_1+cp_2=0</math> 
Umstellen nach <math> p_1 </math> ergibt erneut eine '''Reaktionsfunktion''', die abhängig von dem Preis des anderen Unternehmens ist. 
<math> p_1(p_2)=\frac{a}{2b}+\frac{c}{2b}p_2 </math> 
<math> p_2(p_1)=\frac{a}{2b}+\frac{c}{2b}p_1 </math> 
Die Relation zwischen dem eigenen gewinnmaximalen Preis und dem Preis des anderen Unternehmens ist positiv, je höher das andere Unternehmen seine Preise setzt, desto höher sollte der eigene Preis sein. 
[[Datei:Bertrand.png|400px|rahmenlos]] 
 
Setzt Unternehmen 2 seinen Preis auf <math> p_2'</math>, liegt der gewinnmaximale Preis bei <math> p_1'</math>, woraufhin Unternehmen seinen Gewinn steigern kann, in dem er den durch die Reaktionsfunktion vorgegebenen Preis setzt. Erst bei <math> p_1^B</math> und <math>p_2^B</math> ist der gewählte Preis auch die beste Antwort auf den Preis des anderen Unternehmens. Es gibt für keins der beiden Unternehmen einen Grund abzuweichen, weshalb beide Preise ein [[Nash Gleichgewicht]] darstellen. 
Rechnerisch lässt sich dieser Punkt auch hier wieder durch das Einsetzen der Reaktionsfunktion in die andere Reaktionsfunktion berechnen.

==Stackelberg Wettbewerb==
Das Stackelberg Duopol kennzeichnet sich dadurch, dass ein Unternehmen, meist das Marktführende, seine strategische Variable zuerst setzt. Im Falle des Preiswettbewerbs unterscheidet sich das Stackelberg Duopol somit vom [[Oligopole#Bertrand Wettbwerb|Bertrand Wettbewerb]], bei dem beide Unternehmen ihren Preis zeitgleich setzen. Der Modellaufbau unterscheidet sich sonst nicht. Die [[Nachfrage]] beider Unternehmen hängt negativ vom eigenen Preis und positiv von dem Preis es konkurrierenden Unternehmens ab. Im Falle des Mengenwettbewerbs setzt ein Unternehmen seine Menge zuerst, das andere Unternehmen kann die Entscheidung beobachten und darauf reagieren. 
''Beispiel für ein Stackelberg Wettbewerb mit dem Preis als strategische Variable'': Unternehmen 1 setzt seinen Preis zuerst, Unternehmen 2 kann diesen beobachten und zieht nach. Die Nachfrage bleibt unverändert. In der Frage wie Unternehmen 1, der Stackelberg Führer, seinen Preis optimal setzt, hilft die Reaktionsfunktion. Unternehmen 1 ist rational und verfügt über alle Informationen, daher kennt es auch die Reaktionsfunktion von Unternehmen 2 und weiß, wie es auf die eigenen Preissetzung reagieren wird. Die Reaktionsfunktion von Unternehmen 2 lässt sich in die Gewinnfunktion von Unternehmen 1 setzen. 
<math> \pi_1=p_1*q_1=p_1(a-bp_1+cp_2(p_1)) </math> 
Die Gewinnfunktion oben ist nur noch von <math> p_1 </math> abhängig, da <math> p_2(p_1) </math> die Reaktionsfunktion von Unternehmen 2 ist. 
''Zahlenbeispiel'': Unternehmen 1 setzt seinen Preis zuerst und hat eine Marktnachfrage von <math> q_1=10-2p1+p_2 </math>. Unternehmen zwei hat eine Reaktionsfunktion von <math>p_2(p_1)=5+p_1</math>. Unternehmen 1 hat keine Grenz- und Fixkosten. Unternehmen 1 möchte seinen Gewinn maximieren 
<math> \pi_1=p_1*q_1=p_1(10-2p_1+p_2) </math> 
Unternehmen 1 kennt die Reaktionsfunktion von Unternehmen 2 und weiß damit wie es auf den eigenen Preis reagieren wird. Unternehmen 1 kann selbst beeinflussen, wie Unternehmen 2 seinen Preis setzt. Dieses Wissen kann bei der Gewinnfunktion mit herangezogen werden. 
<math> \pi_1=p_1(10-2p_1+(5+p_1))=p_1(15+p_1) </math> 
<math> \frac{\part \pi_1}{\part p_1}=15+2p_1=0 </math> 
<math> p_1=7,5 </math> 
Durch einsetzt von <math> p_1=7,5 </math> in die Reaktionsfunktion kann <math> p_2=12,5 </math> ermittelt werden.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Bei homogenen Gütern ist die gesamte Produktionsmenge im Betrand-Gleichgewicht:
|type="()"}
+ ebenso hoch wie die Produktionsmenge beim perfekten Wettbewerb
- ebenso hoch wie die Produktionsmenge beim Monopol
- höher als die Produktionsmenge beim perfekten Wettbewerb
- zwischen den Produktionsmengen bei Monopol und bei perfektem Wettbewerb
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Im Bertrand Wettbewerb mit differenzierten Gütern gilt
|type="()"}
+ jedes Unternehmen macht einen positiven Gewinn vorausgesetzt es gibt keine Fixkosten
- jedes Unternehmen wählt einen Preis, der seinen Grenzkosten entspricht
- jedes Unternehmen wählt einen Preis, der seinen durchschnittlichen Gesamtkosten entspricht
- nur ein Unternehmen bedient den gesamten Markt
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{In einem Markt agieren zwei Unternehmen und setzen ihre Produktionsmenge als strategische Variable ein. Beide Unternehmen haben keine Fixkosten und die Grenzkosten betragen null. Angenommen die Marktnachfrage lautet <math> P(Q)=10-Q </math>. Wie lauten die Reaktionsfunktionen beider Unternehmen?
|type="()"}
+ <math> q_1(q_2)=5-0,5q_2 </math> und <math> q_2(q_1)=5-0,5q_1 </math>
- <math> q_1(q_2)=5-0,5q_2 </math> und <math> q_2(q_1)=5-2q_1 </math>
- <math> q_1(q_2)=3-2q_2 </math> und <math> q_2(q_1)=3-2q_1 </math>
- <math> q_1(q_2)=10-2q_2 </math> und <math> q_2(q_1)=5-0,5q_1 </math>
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{In einem Markt agieren zwei Unternehmen und setzen ihre Produktionsmenge als strategische Variable ein. Beide Unternehmen haben keine Fixkosten und die Grenzkosten betragen null. Angenommen die Marktnachfrage lautet <math> P(Q)=10-Q </math>. Wie viel wird Unternehmen 1 gewinnmaximal produzieren?
|type="()"}
+ <math> q_1=\frac{10}{3} </math>
- <math> q_1=\frac{20}{3} </math>
- <math> q_1=10 </math>
- <math> q_1=\frac{9}{3} </math>
</quiz>

Marginale Sichtweise

2024-01-08T16:38:26Z

Leitzing:

==Definition==
Die Marginalanalyse untersucht in der Volkswirtschaftslehre, welchen Effekt eine geringfügige (marginale) Änderung einer Variablen auf eine oder mehrere andere Variablen hat.

__TOC__

==Veränderung zwischen zwei Punkten==
In der Mikroökonomie wird häufig untersucht, wie sich beispielsweise ein Nutzen verändert, wenn sich die Anzahl der konsumierten Güter verändert. Genauso können Kosten, der Output oder andere Dinge, die durch Funktionen berechnet werden, Gegenstand von Untersuchungen sein. Im weiteren Verlauf soll sich auf eine Nutzenfunktion mit einem Konsumgut konzentriert werden. Die Implikationen gelten jedoch auch für Nutzenfunktionen mit mehreren Konsumgütern oder die anderen aufgezählten Fälle. 
In der Grafik unten wird berechnet, wie sich das Nutzenniveau verändert, wenn von einem Konsumgut x deutlich mehr konsumiert wird. Hierfür wird das Nutzenniveau von einem alten Konsumniveau mit dem Nutzenniveau eines erhöhten Konsumniveaus verglichen. Liegt das derzeitige Konsumniveau beispielsweise bei x=10 und es soll untersucht werden, um wie viel Einheiten sich der Nutzen verändert hat, wenn 2 weitere Einheiten konsumiert werden, muss <math> U(10+2)-U(10) </math> gerechnet werden. Diese Vorgehensweise gibt einen numerischen Wert. 
[[Datei:Nutzenveränderung.png|400px|rahmenlos]] 
 
Die Untersuchung auf Veränderungen auf zwei Punkten auf einer Funktion kann zu falschen Aussagen über Konsumentscheidungen führen. In der Abbildung unten besitzt die Nutzenfunktion einen Hochpunkt und der erste Punkt <math> x_1 </math> liegt beispielweise links vom Hochpunkt. Der andere Punkt (<math> x_2 </math>) liegt rechts von diesem auf einem niedrigeren Nutzenniveau als Punkt <math> x_1 </math>. Soll nun ein Berater eine Aussage über das Konsumverhalten treffen und kennt die Nutzenfunktion nicht, könnte er zu einer falschen Empfehlung kommen das Nutzenniveau nicht zu verändern oder sogar zu reduzieren. Tatsächlich wäre es optimal das Konsumniveau bis zum Hochpunkt auszuweiten. Um korrekte Aussagen über die Konsumentscheidungen treffen zu können, benötigt es eine Untersuchung der [[Marginale Sichtweise#Veränderung in einem Punkt|Veränderung in einem Punkt]]. 

==Veränderung in einem Punkt==
Aussagen über Konsumentscheidungen, also ob mehr oder weniger von einem Gut konsumiert werden sollte, lassen sich nicht immer auf Basis von Veränderungen zwischen zwei Punkten treffen. Viel entscheidender ist die Untersuchung, wie sich das Nutzenniveau verhält, wenn sich das Konsumniveau sehr gering ändert. Steigt beispielweise der Nutzen, wenn ein Konsument zusätzlich zu seinen 10 Äpfeln auch noch etwas mehr konsumiert. Steigt das Nutzenniveau durch den zusätzlichen Apfelkonsum, sollte der Konsument seinen Konsum steigern, sinkt es allerdings, sollte er es vermeiden. In der Abbildung unten ist zu erkennen, dass die Steigung in dem Punkt <math> x </math> positiv ist. Der Nutzen steigt also, wenn der Konsument etwas mehr Äpfel isst als die Menge <math> x_1 </math>. Gleichzeitig wird jedoch auch deutlich, dass der Konsum eines zusätzlichen ganzen Apfels (<math> x+1 </math>) das Nutzenniveau erneut schmälert und nicht steigert. Anstatt zu untersuchen, wie es sich mit dreiviertel eines Apfels, einem halben Apfel usw. verhält, wird untersucht, wie sich das Nutzenniveau bei einer kleinstmöglichen Veränderung der konsumierten Menge verändert. Entscheiden ist also die Veränderung möglichst gering zu halten. Die Untersuchung in einem Punkt ist dementsprechend so zu verstehen, dass sich die Menge insofern verändert, als dass diese Veränderung mit Zahlen nicht zu beziffern, sondern so klein ist, als würde die Veränderung gar nicht stattfinden. Es wird dabei auch von einer [[Marginale Sichtweise#Marginale Veränderung|marginalen Veränderung]] gesprochen. 
[[Datei:Nutzenveränderung3.png|400px|rahmenlos]] 
 
Die Abbildung oben veranschaulicht, dass mit einer marginalen Veränderung, die Veränderung in einem Punkt gemeint ist. Die Tangente in dem Punkt <math> x </math> mit der Nutzenfunktion weist eine positive Steigung aus. Würde sich das Konsumniveau um eine Einheit erhöhen <math> x+1 </math>, zeigt die Tangente, dass das Konsumniveau größer als vorher ist <math> U'(x+1)> U(x) </math>. Tatsächlich liegt das Nutzenniveau bei <math> U(x+1) </math>, was geringer als <math> U'(x+1) </math> ist.

==Marginale Veränderung==
In der Volkswirtschaftslehre und insbesondere der Mikroökonomie ist häufig von einem marginalen Effekt die Rede. Dieser marginale Effekt betrachtet, wie sich was verändert, wenn eine Variable sehr gering, also marginal, erhöht wird. In dem oben genannten Beispiel wird untersucht, wie groß der Effekt ist, wenn eine zusätzliche marginale Einheit konsumiert wird. Wie groß diese marginale Einheit ist, kann nicht genau bemessen werden. Es ist schlichtweg die Veränderung in einem Punkt. 
Der marginale Effekt lässt sich durch die Ableitung nach der zu betrachtenden Variable berechnen. Die erste Ableitung einer Funktion gibt die Steigung in dem Punkt des x-Wertes an. Genauso gibt die Ableitung, beispielsweise der Nutzenfunktion an, wie sich der Nutzen marginal in diesem Punkt verändert. Ist die erste Ableitung in dem zu betrachtenden Punkt positiv (wie in dem Beispiel unten), steigt das Nutzenniveau bei marginaler Erhöhung des Konsumniveaus. Eine Tangente in diesem Punkt hat eine positive Steigung. Ist die erste Ableitung negativ in dem Punkt, bzw. hat die Tangente in diesem Punkt eine negative Steigung, sinkt das Nutzenniveau bei einer marginalen Erhöhung des Konsumniveaus. Die marginale Betrachtung wird auch häufig Grenzbetrachtung genannt, weshalb der Begriff Grenznutzen die Veränderung des Nutzens bei marginaler Veränderung des Konsumniveaus beschreibt. 
Diese Marginalbetrachtung/Grenzbetrachtung lässt, anders als die Betrachtungsweisen oben (Veränderung zwischen zwei Punkten und eine Veränderung um eine nominale Einheit), korrekte Aussagen über Konsumentscheidungen zu. Ein positiver Grenznutzen bedeutet der Nutzen steigt bei marginaler Erhöhung des Konsumniveaus, dementsprechend sollte marginal mehr konsumiert werden. 
[[Datei:Nutzenveränderung4.png|400px|rahmenlos]]

==Grenznutzen==
Produktivität, Nutzen, Output und viele andere Sachen können auf marginale Effekte untersucht werden. Ganz explizit als Beispiel soll erneut der Nutzen als Beispiel dienen. 
Wie in dem Abschnitt oben bereits erläutert wurde, gilt es die Veränderung des Nutzenniveaus in einem Punkt zu bestimmen. Ob es ratsam ist das Konsumniveau marginal zu erhöhen lässt sich schnell durch die Steigung in diesem Punkt ermitteln. Ist die Steigung positiv (eine Tangente in dem Punkt mit der Nutzenfunktion hat eine positive Steigung), sollte der Konsum marginal erhöht werden. Für die Untersuchung wie es sich entlang der gesamten Nutzenfunktion verhält, dient die erste Ableitung der Nutzenfunktion. Diese gibt für jedes beliebige Konsumniveau an, ob das Nutzenniveau in dem Punkt marginal steigt, sinkt oder konstant bleibt. Wie sich der Nutzen bei einer marginalen Veränderung verhält, wird im Grenznutzen beschrieben. Der Grenznutzen (GU oder MU) untersucht, wie sich der Nutzen verhält, wenn das Konsumniveau marginal erhöht wird. In der Theorie wird oft von einem abnehmenden Grenznutzen ausgegangen. 
''Beispiel'': Nach dem erfolgreichen Bachelor beschließt Tom bei einer Bank fest einzusteigen. Er besitzt keinen Anzug und geht deshalb einkaufen. Er kauft einen ersten Anzug, ohne den er nicht arbeiten könnte. Der Nutzen, den der erste Anzug stiftet, ist sehr groß. Tom kauft einen zweiten Anzug, falls der erste dreckig wird. Auch der zweite Anzug stiftet einen großen Nutzen, jedoch einen nicht so großen, wie der erste. Je mehr Anzüge Tom kauft, desto größer wird sein Nutzen. Jeder einzelne Anzug stiftet jedoch einen immer kleiner werdenden zusätzlichen Nutzen. Der Nutzen einer marginalen Einheit mehr ist positiv, wird aber immer kleiner. In dem Beispiel wird ein Anzug als eine marginale Einheit beschrieben. Dies ist, wie oben erklärt, nicht ganz richtig, soll aber zur Veranschaulichung des Grenzbegriffs ausreichen. 
Der Grenznutzen lässt sich durch die Ableitung der Nutzenfunktion berechnen: <math> MU=\frac{\part U(x)}{\part x} </math> 
[[Datei:AbnehmenderGrenznutzen.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:MU.png|360px|rahmenlos]]
 
In den Abbildungen oben wird der Bezug zwischen der Grenznutzenfunktion (MU(x)) und der Nutzenfunktion (U(x)) deutlich. Die marginale Steigung in einem Punkt entspricht dem Grenznutzen in diesem Punkt. Grundsätzlich ist es auch möglich einen steigenden Grenznutzen darzustellen. In diesem Fall wäre die Nutzenfunktion [[Mathematische Eigenschaften von Funktionen|konvex]] und nicht [[Mathematische Eigenschaften von Funktionen|konkav]], wie oben dargestellt.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Aussagen ist korrekt
|type="()"}
- Ein Grenzgewinn von 0 bedeutet, dass eine marginale Einheit mehr, die produziert und verkauft wird, den Gewinn erhöhen würde.
- Ein positiver Grenznutzen kann bedeuten, dass eine zusätzliche konsumierte Einheit den Nutzen verringert.
+ Zunehmende Grenzkosten bedeuten, dass jede marginale Einheit (ungeachtet der Produktionsmenge) teurer ist, als die Einheit davor.
- Ein positives Grenzprodukt der Arbeit bedeutet, dass die marginale zusätzliche Arbeitskraft durchschnittlich produktiver ist, als die marginale Einheit vorher.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Um den Effekt zu beschreiben, den fünf zusätzlich konsumierte Einheiten bedeuten, benötigt es den Grenznutzen. Die Aussage ist...
|type="()"}
- ... Wahr
+ ... Falsch
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Konsument hat eine Nutzenfunktion von <math> U(x)=(x-1)^2 </math>.
|type="{}"}
Der Grenznutzen bei <math> x=0,5 </math> ist (negativ oder positiv) { negativ }
Unter der Annahme der nicht negativen Menge, sollte der Konsument sein Konsumniveau deutlich erhöhen oder verringern? (erhöhen oder verringern) { erhöhen }
</quiz>

Mathematische Eigenschaften von Funktionen

2023-12-18T17:23:00Z

Leitzing:

==Definition==
Eine Funktion ordnet einer unabhängigen Variable eines Definitionsbereichs (<math> D </math>) genau einen Wert (abhängige Variable) der Zielmenge (<math> Z </math>) zu. 
<math> D \to Z </math> , <math> x\to y </math>

__TOC__

==Funktionen==
Funktionen können univariat oder auch multivariat sein. Der Unterschied besteht darin, wie viele unabhängige Variablen Teil der Funktionsgleichung sind. 
 
'''Univariate Funktionen''' 
Am bekanntesten sind sicherlich univariate Funktionen mit nur einer unabhängigen Variable. Eine unabhängige Variable wird so genannt, da sie von keinen weiteren Variablen abhängig ist. 
''Beispiel'': In der Funktion <math> y(x)=15-2x^2 </math> ist <math> x </math> von nichts abhängig. Für <math>x</math> können alle Werte eingesetzt werden, sollte kein anderer Definitionsbereich festgelegt sein. y ist hingegen abhängig von x. Je nachdem welcher x Wert eingesetzt wird, ändert sich der Wert von y. 
Eine Funktionsgleichung kann als eine Art Anleitung gelesen werden. Lautet die Funktion beispielsweise <math>y(x)=x^2+10</math>, wäre die Anleitung "Um den zum x zugehörigen y Wert zu erhalten, nehme den entsprechenden x-Wert, quadriere ihn und addiere 10 dazu". Ist x beispielsweise 2, ist y 14. Wird dies mit mehreren x Werten berechnet und die entsprechenden Werte in ein x-y-Diagramm eingezeichnet, entsteht ein Graph, der die Funktionsgleichung abbildet. 
[[Datei:Funktion1.png|300px|rahmenlos]] 
In dem Beispiel oben ist dies mit der Funktion <math> f(x)=\frac{1}{16}x^2 </math> geschehen. Jedem x-Wert kann ein y-Wert zugeordnet werden. 
'''Multivariate Funktionen''' 
Multivariate Funktionen haben viele unabhängige Variablen. <math> f(x_1,x_2,x_3,...,x_n) </math> ist eine Multivariate Funktion mit <math> n </math> unabhängigen Variablen. Die Vorgehensweise ist identisch zu univariaten Funktionen. Zur grafischen Darstellung soll eine Bivriate Funktion ausreichen. In diesem Fall lautet die Funktion <math> U(C,F)=F^{\frac{2}{3}}C^{\frac{1}{3}} </math>. Für einen bestimmten Wert von C und von F kommt ein Wert für U aus. Ist C beispielsweise 1 und F 8, beträgt der Wert von U gerundet 2. Wird dies für alle Werte für C und F gemacht, ergibt sich eine grafische Abbildung der Funktion. 
[[Datei:Nutzenfunktion.jpg|400px|rahmenlos]] 
 
Im Kontext der Veranstaltung Mikroökonomie sind sowohl univariate als auch multivariate Funktionen relevant.

==Steigung==
Die Steigung einer Funktion kann punktuell ([[margiale Sichtweise|marginal]]) oder auch zwischen zwei Punkten ermittelt werden. Die Steigung ermittelt die Veränderung der abhängigen Variable relativ zur Veränderung der unabhängigen Variable. Angenommen die unabhängige Variable ist x und die abhängige Variable ist y, dann lässt sich die Steigung mittels 
<math> Steigung=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} </math> 
berechnen. Ist die Steigung in einem Punkt gefragt, muss das <math> \Delta x </math> gegen null streben. Dieses Vorgehen ist im Differenzenquotienten beschrieben und hat die erste Ableitung zur Folge. Die erste Ableitung gibt das Steigungsdreieck in einem marginalen Punkt an. In dem unten dargestellten Beispiel wird die Differenz zwischen den beiden Punkten <math> x=4 </math> und <math> x=8 </math> verringert, in dem der Punkt, der ursprünglich in <math> x=4 </math> lag, immer weiter Richtung <math> x=8 </math> verschoben wird, bis er auf diesem Punkt liegt (<math> \Delta x \to 0 </math>). 
[[Datei:Funktion2.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:Funktion3.png|400px|rahmenlos]]
 
 
Die Steigung in der linken Abbildung lässt sich durch <math> \frac{4-1}{8-4}=0,75 </math> berechnen. Für die Steigung der rechten Abbildung benötigt es die erste Ableitung. Die erste Ableitung einer Funktion wird auch Steigungsfunktion genannt, da der y-Wert der ersten Ableitung immer die Steigung in einem Punkt der ursprünglichen Funktion angibt. Wenn nun die Steigung in dem Punkt <math> x=8 </math> gefragt ist, muss <math> x=8 </math> in die erste Ableitung eingesetzt werden. Die Funktion lautet <math> f(x)=\frac{1}{16}x^2 </math> und die erste Ableitung daher <math> f'(x)=\frac{1}{8}x </math>. Mit <math> f(8) </math> ergibt sich die Steigung von 1.

==Konvex und Konkav==
Das Krümmungsverhalten einer Funktion wird mit Konkavität bzw. Konvexität beschrieben. Eine konkave Funktion ist über ihren Funktionsverlauf rechtsgekrümmt, während eine konvexe Funktion linksgekrümmt ist. Ein Auto, das die Funktion als Straße entlangfährt, müsste immer links eingelenkt sei, wenn die Funktion konvex ist und es müsste rechts eingelenkt sein, wenn die Funktion konkav ist. Mathematisch korrekt bedeutet dies, dass die Steigung bei einer konvexen Funktion immer größer wird. Die Steigung einer konkaven Funktion wird immer kleiner. Wenn die Steigung zunimmt, ist die Funktion konvex und die zweite Ableitung muss positiv sein (zweite Ableitung = Steigung der Steigung). Sinkt die Steigung, wird sie immer kleiner und die zweite Ableitung muss negativ sein. 
<math> \frac{\part^2f(x)}{\part^2 x}>0 \, \Rightarrow \, konvex </math> 
<math> \frac{\part^2f(x)}{\part^2 x}<0 \, \Rightarrow \, konkav </math> 
[[Datei:Konvex.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:Konkav.png|400px|rahmenlos]]
 
 
In der Abbildung links ist erkennbar, dass die Funktion erst sehr steil fällt und immer flacher wird, bis die Funktion steigt. Danach steigt sie immer stärker an und würde man eine Linie durch zwei Punkte auf der Funktion zeichnen, verläuft die Funktion darunter. Auf der der Abbildung rechts ist das Gegenteil zu sehen. Die Steigung der Funktion wird immer kleiner, bis sie negativ wird und dann fällt sie immer stärker ab.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Funktionen hat '''keine''' positive Steigung?
|type="()"}
- <math display="inline"> f(x)=e^x </math>.
- <math display="inline"> f(x)=-x^2 </math> für <math> x<0 </math>.
+ <math display="inline"> f(x)=-ln(x) </math> für <math> x>0 </math>.
- <math display="inline"> f(x)=x^3 </math> für <math> x>0 </math>.
</quiz>

[[Datei:ME MC1.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:ME MC2.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:ME MC3.png|300px|rahmenlos]]
<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welche der drei Abbildungen oben ist eine Funktion mit einer stetigen Funktionsgleichung?
|type="()"}
- Abbildung 1
- Abbildung 2
+ Abbildung 3
- Keine der Abbildungen
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{welche der folgenden Funktionen ist konkav?
|type="()"}
- <math display="inline"> f(x)=e^{-x} </math>
- <math display="inline"> f(x)=e^x </math>
+ <math display="inline"> f(x)=ln(x) </math>
- <math display="inline"> f(x)=e^{{(-x)}^2} </math>
</quiz>

Lagrange

2023-10-13T21:04:22Z

Leitzing:

Das Langrangeverfahren ist eine Möglichkeit Funktionen mit einer Nebenbedingung zu maximieren oder zu minimieren. In diesem Verfahren wird davon ausgegangen, dass die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt werden muss.

__TOC__

==Das Problem==
In der Gesellschaft treten häufig Fragestellungen auf, wie ein Haushalt den Konsum so wählt, dass der Nutzen möglichst groß ist. Es ist ebenfalls eine Fragestellung möglich, in der der Kostenminimale Produktionspunkt eines Unternehmens gesucht ist. Im Weiteren soll an vielen Stellen speziell auf das Maximierungsproblem eingegangen werden. 
Im Falle der Nutzenmaxinierung soll der Nutzen möglichst groß sein. In einem Beispiel hat ein Haushalt die Möglichkeit Güter <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> zu konsumieren. Der Haushalt muss dementsprechend sein Nutzen in Bezug auf den Konsum von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> maximieren: <math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> 
Unter der Annahme der [[Axiome der Nutzentheorie#Monotonie|Monotonie]] ("Mehr ist besser"), maximiert der Haushalt seinen Nutzen, indem er möglichst viel von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> konsumiert. Kann ein Haushalt sehr viel, wenn nicht sogar unendlich viel, von beiden Gütern konsumiert und Monotonie gilt, ist die Maximierungsaufgabe schon gelöst. In den meisten Fällen ist dies jedoch nicht möglich. Zum einen existieren nicht unendlich viele Einheiten der Güter (dies spielt in der [[Edgeworth-Box]] eine große Rolle) und zum anderen hat ein Haushalt auch nicht das Geld zur Verfügung, um sich unendlich viele Güter leisten zu können. Im Normalfall unterliegen Haushalte dementsprechend einer [[Budgetrestriktion und Budgetgerade|Budgetrestriktion]]. Die Budgetrestriktion ist in <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math> beschrieben, wobei E das Budget darstellt. Die eigentliche Maximierungsaufgabe besteht dementsprechend darin den Nutzen zu maximieren und das Budget einzuhalten. (u.d.NB.=unter der Nebenbedingung) 
<math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> u.d.NB <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math>

==Langrangefunktion==
Die Lagrangefunktion wird aufgestellt, indem von der Nutzenfunktion ein zweiter Term abgezogen wird. Der zweite Term besteht aus der Budgetrestriktion, die nach null umgestellt und mit einer Variablen (dem Langrange Multiplikator) multipliziert wird. Die Langrangefunktion ist damit abhängig von <math> x_1 </math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>: 
<math> \mathcal{L}(x_1,x_2, \lambda)=U(x_1,x_2)-\lambda(p_1x_1+p_2x_2-E) </math> 
Für das Ergebnis vom optimalen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ist es irrelevant, ob vor dem Komma ein + oder ein - steht. Es ist ebenfalls irrelevant, ob in der Nebenbedingung der linke oder der rechte Teil auf die andere Seite gebracht wird. Für [[Lagrange#Die Bedeutung von Lambda|die Bedeutung von Lambda]] hat dies jedoch durchaus Relevanz. Um allein das optimale Konsumniveau von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> auszurechnen, muss formal auf die genannten Dinge keine Rücksicht genommen werden. Um <math> \lambda </math> zu deuten, gilt es jedoch die obige Notation beizubehalten.

==FOC==
Die Langrangefunktion beschreibt das Maximierungsproblem in einer Art, die aufgrund des <math> \lambda </math> nur schwer grafisch vorstellbar ist. Die Vorgehensweise ist im ersten Schritt jedoch ähnlich zu einem simplen [[Maximieren|univariaten Maximierungsproblem]]. Es muss die Funktion nach den Variablen abgeleitet werden, für die der Nutzen maximiert werden soll. Die erste Ableitung muss gleich null sein (FOC=First order condition). Zudem muss weitergehend beachtet werden, dass die Budgetrestriktion eingehalten werden muss. Die FOCs und die nebenbedingung stellen ein Gleichungssystem dar, das es zu lösen gilt. 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_1}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}-\lambda p_1 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_2}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}-\lambda p_2 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> p_1x_1+p_2x_2-E \stackrel{!}{=}0 </math>

==Lösung des Maximierungsproblems==
Die [[Lagrange#FOC|First order Conditions]] stellen ein Gleichungsystem dar. Es existieren drei unbekannte (<math> x_1</math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>) und drei Gleichungen. Zum Lösen des Systems gibt es verschiedene Wege. Eine der ersten beiden Gleichungen kann nach <math> \lambda </math> umgestellt und in die andere der oberen beiden Gleichungen substituiert werden. Es ist auch möglich die oberen beiden Gleichungen beide nach <math> \lambda </math> umzustellen und anschließend gleichzusetzen. Es kann auch direkt die erste durch die zweite Gleichung dividiert werden. 
Als Beispiel sollen die ersten beiden Gleichungen nach <math> \lambda </math> ugestellt werden. Es ergibt sich: 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1 </math> 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> 
Da <math> \lambda=\lambda </math> ergibt sich: 
<math> \frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> oder weiter umgestellt 
<math> \frac{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}}{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Die linke Seite des Ausdrucks entspricht der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution|GRS]]. Dieser Ausdruck kann wiederum nach <math> x_1 </math> oder <math> x_2 </math> umgestellt werden, welche beide im [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] stecken. Es ergibt sich beispielweise ein Ausdruck, <math> x_1=... </math>, der abhängig von der anderen variable <math> x_2 </math> ist (<math> x_1(x_2)=...</math>). Dieser lässt sich in die Budgetrestriktion einsetzen, die vorher <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> beinhaltete. Nach der Substitution ist in der Budgetrestriktion nur noch eine Unbekannte <math> x_2 </math> vorhanden, nach der umgestellt werden kann. Es ergibt sich beispielweise mit der Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=x_1x_2 </math> folgende Gleichung: 
<math> \frac{x_2}{x_1}=\frac{p_1}{p_2} </math> umgestellt nach <math> x_2 </math> ergibt sich <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math>. 
Dieser Ausdruck kann in die Budgetrestriktion für <math> x_2 </math> eingesetzt werden: 
<math> p_1x_1+p_2(\frac{p_1}{p_2}x_1)=E </math> 
Nun kann für eine Lösung nach <math> x^*_1 </math> umgestellt werden. Das Ergebnis eingesetzt in <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math> ergibt das optimale Konsumniveau von <math> x^*_2 </math>.

==Die Bedeutung von Lambda==
Die [[Lagrange#Langrangefunktion|Langrangefunktion]] unterstellt, dass für <math> \lambda </math> die Nebenbedingung erfüllt ist. Sie sucht also Wert <math> x^*_1 </math> und <math> x^*_2 </math>, für die das Budget nicht gesprengt wird. Dafür führt das Langrangeverfahren den Lagrange Mutiplikator <math> \lambda </math> als eine Art Schattenpreis ein, den der Haushalt zahlen muss, wenn das Budget nicht eingehalten wird. Dies hat auch den Grund, warum für die richtige Interpretation von <math> \lambda </math> die Notation korrekt ist. Der Schattenpreis ist positiv. Sind die Konsumausgaben dementsprechend größer als das Budget, gilt <math> p_1x_1+p_2x_2>E </math> und dementsprechend <math> p_1x_1+p_2x_2-E>0 </math>. Da vor <math> \lambda </math> eine negatives Vorzeichen steht, wird von dem Nutzen etwas abgezogen, wenn die Konsumausgaben größer sind als das Budget. Gleichzeitig wird zum Nutzen etwas addiert, wenn die Konsumausgaben kleiner sind als das Budget. Im [[Haushaltsoptimum]] ist der Schattenpreis so gewählt, dass die Budgetrestriktion mit Gleichheit erfüllt ist. <math> \lambda </math> lässt sich berechnen, indem die Ausgerechneten optimalen Konsumniveus in einer der beiden FOC Gleichungen eingesetzt und nach <math> \lambda </math> umgestellt wird. 

Es lässt sich außerdem zeigen, dass <math> \lambda </math> der Grenznutzen des Einkommens ist. Steigt das Einkommen, steigt auch das Nutzenniveau im Optimum um <math> \lambda </math> Einheiten. (Für den Beweis siehe [[https://www.dropbox.com/scl/fi/r08jdx96k34h0sezg6jdc/Derivation_of_the_meaning_of_Lambda.pdf?rlkey=sq0futxbzz539dlg5dispw990&dl=0|hier]])

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage muss basierend auf den FOCs des Lagrangeverfahrens immer stimmen? Ein Konsument konsumiert zwei Güter (A und B). Im optimalen Konsumpunkt...
|type="()"}
+ ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von A dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von B
- ... entspricht der Grenznutzen von A dem Grenznutzen von B.
- ... entspricht der Grenznutzen von A mal dem Preis von A dem Grenznutzen von B mal dem Preis von B.
- ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von B dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von A.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{In welchem der Fälle ist das Lagrangeverfahren anwendbar?
|type="()"}
+ Wenn die Nutzenfunktion konvex ist.
- Wenn die Nutzenfunktion nicht differenzierbar ist.
- Wenn im optimalen Punkt nicht das gesammte Budget ausgeben wird.
- Wenn die Nebenbedingung nicht differenzierbar ist.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der Aussagen ist wahr?
|type="()"}
+ Das Lagrangeverfahren ist auch mit meheren Nebenbedingungen möglich.
- Die Hinreichende Bedingung zur Überprüfung auf ein Maximum ist bei einem Nutzenmaximierung-Probem mathematisch korrekt nie notwendig, da es sich rein formal immer nur um ein Maximum handeln kann.
- Der Lagrangemutiplikator <math> \lambda </math> hat keine Bedeutung.
- Ungeachtet des Preisverhältnisses ist eine rechnerische Lösung des Lagrangeverfahrens mit negativen Mengen nicht möglich.
</quiz>

Lagrange

2023-10-13T21:02:05Z

Leitzing:

Das Langrangeverfahren ist eine Möglichkeit Funktionen mit einer Nebenbedingung zu maximieren oder zu minimieren. In diesem Verfahren wird davon ausgegangen, dass die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt werden muss.

__TOC__

==Das Problem==
In der Gesellschaft treten häufig Fragestellungen auf, wie ein Haushalt den Konsum so wählt, dass der Nutzen möglichst groß ist. Es ist ebenfalls eine Fragestellung möglich, in der der Kostenminimale Produktionspunkt eines Unternehmens gesucht ist. Im Weiteren soll an vielen Stellen speziell auf das Maximierungsproblem eingegangen werden. 
Im Falle der Nutzenmaxinierung soll der Nutzen möglichst groß sein. In einem Beispiel hat ein Haushalt die Möglichkeit Güter <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> zu konsumieren. Der Haushalt muss dementsprechend sein Nutzen in Bezug auf den Konsum von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> maximieren: <math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> 
Unter der Annahme der [[Axiome der Nutzentheorie#Monotonie|Monotonie]] ("Mehr ist besser"), maximiert der Haushalt seinen Nutzen, indem er möglichst viel von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> konsumiert. Kann ein Haushalt sehr viel, wenn nicht sogar unendlich viel, von beiden Gütern konsumiert und Monotonie gilt, ist die Maximierungsaufgabe schon gelöst. In den meisten Fällen ist dies jedoch nicht möglich. Zum einen existieren nicht unendlich viele Einheiten der Güter (dies spielt in der [[Edgeworth-Box]] eine große Rolle) und zum anderen hat ein Haushalt auch nicht das Geld zur Verfügung, um sich unendlich viele Güter leisten zu können. Im Normalfall unterliegen Haushalte dementsprechend einer [[Budgetrestriktion und Budgetgerade|Budgetrestriktion]]. Die Budgetrestriktion ist in <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math> beschrieben, wobei E das Budget darstellt. Die eigentliche Maximierungsaufgabe besteht dementsprechend darin den Nutzen zu maximieren und das Budget einzuhalten. (u.d.NB.=unter der Nebenbedingung) 
<math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> u.d.NB <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math>

==Langrangefunktion==
Die Lagrangefunktion wird aufgestellt, indem von der Nutzenfunktion ein zweiter Term abgezogen wird. Der zweite Term besteht aus der Budgetrestriktion, die nach null umgestellt und mit einer Variablen (dem Langrange Multiplikator) multipliziert wird. Die Langrangefunktion ist damit abhängig von <math> x_1 </math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>: 
<math> \mathcal{L}(x_1,x_2, \lambda)=U(x_1,x_2)-\lambda(p_1x_1+p_2x_2-E) </math> 
Für das Ergebnis vom optimalen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ist es irrelevant, ob vor dem Komma ein + oder ein - steht. Es ist ebenfalls irrelevant, ob in der Nebenbedingung der linke oder der rechte Teil auf die andere Seite gebracht wird. Für [[Lagrange#Die Bedeutung von Lambda|die Bedeutung von Lambda]] hat dies jedoch durchaus Relevanz. Um allein das optimale Konsumniveau von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> auszurechnen, muss formal auf die genannten Dinge keine Rücksicht genommen werden. Um <math> \lambda </math> zu deuten, gilt es jedoch die obige Notation beizubehalten.

==FOC==
Die Langrangefunktion beschreibt das Maximierungsproblem in einer Art, die aufgrund des <math> \lambda </math> nur schwer grafisch vorstellbar ist. Die Vorgehensweise ist im ersten Schritt jedoch ähnlich zu einem simplen [[Maximieren|univariaten Maximierungsproblem]]. Es muss die Funktion nach den Variablen abgeleitet werden, für die der Nutzen maximiert werden soll. Die erste Ableitung muss gleich null sein (FOC=First order condition). Zudem muss weitergehend beachtet werden, dass die Budgetrestriktion eingehalten werden muss. Die FOCs und die nebenbedingung stellen ein Gleichungssystem dar, das es zu lösen gilt. 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_1}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}-\lambda p_1 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_2}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}-\lambda p_2 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> p_1x_1+p_2x_2-E \stackrel{!}{=}0 </math>

==Lösung des Maximierungsproblems==
Die [[Lagrange#FOC|First order Conditions]] stellen ein Gleichungsystem dar. Es existieren drei unbekannte (<math> x_1</math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>) und drei Gleichungen. Zum Lösen des Systems gibt es verschiedene Wege. Eine der ersten beiden Gleichungen kann nach <math> \lambda </math> umgestellt und in die andere der oberen beiden Gleichungen substituiert werden. Es ist auch möglich die oberen beiden Gleichungen beide nach <math> \lambda </math> umzustellen und anschließend gleichzusetzen. Es kann auch direkt die erste durch die zweite Gleichung dividiert werden. 
Als Beispiel sollen die ersten beiden Gleichungen nach <math> \lambda </math> ugestellt werden. Es ergibt sich: 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1 </math> 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> 
Da <math> \lambda=\lambda </math> ergibt sich: 
<math> \frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> oder weiter umgestellt 
<math> \frac{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}}{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Die linke Seite des Ausdrucks entspricht der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution|GRS]]. Dieser Ausdruck kann wiederum nach <math> x_1 </math> oder <math> x_2 </math> umgestellt werden, welche beide im [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] stecken. Es ergibt sich beispielweise ein Ausdruck, <math> x_1=... </math>, der abhängig von der anderen variable <math> x_2 </math> ist (<math> x_1(x_2)=...</math>). Dieser lässt sich in die Budgetrestriktion einsetzen, die vorher <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> beinhaltete. Nach der Substitution ist in der Budgetrestriktion nur noch eine Unbekannte <math> x_2 </math> vorhanden, nach der umgestellt werden kann. Es ergibt sich beispielweise mit der Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=x_1x_2 </math> folgende Gleichung: 
<math> \frac{x_2}{x_1}=\frac{p_1}{p_2} </math> umgestellt nach <math> x_2 </math> ergibt sich <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math>. 
Dieser Ausdruck kann in die Budgetrestriktion für <math> x_2 </math> eingesetzt werden: 
<math> p_1x_1+p_2(\frac{p_1}{p_2}x_1)=E </math> 
Nun kann für eine Lösung nach <math> x^*_1 </math> umgestellt werden. Das Ergebnis eingesetzt in <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math> ergibt das optimale Konsumniveau von <math> x^*_2 </math>.

==Die Bedeutung von Lambda==
Die [[Lagrange#Langrangefunktion|Langrangefunktion]] unterstellt, dass für <math> \lambda </math> die Nebenbedingung erfüllt ist. Sie sucht also Wert <math> x^*_1 </math> und <math> x^*_2 </math>, für die das Budget nicht gesprengt wird. Dafür führt das Langrangeverfahren den Lagrange Mutiplikator <math> \lambda </math> als eine Art Schattenpreis ein, den der Haushalt zahlen muss, wenn das Budget nicht eingehalten wird. Dies hat auch den Grund, warum für die richtige Interpretation von <math> \lambda </math> die Notation korrekt ist. Der Schattenpreis ist positiv. Sind die Konsumausgaben dementsprechend größer als das Budget, gilt <math> p_1x_1+p_2x_2>E </math> und dementsprechend <math> p_1x_1+p_2x_2-E>0 </math>. Da vor <math> \lambda </math> eine negatives Vorzeichen steht, wird von dem Nutzen etwas abgezogen, wenn die Konsumausgaben größer sind als das Budget. Gleichzeitig wird zum Nutzen etwas addiert, wenn die Konsumausgaben kleiner sind als das Budget. Im [[Haushaltsoptimum]] ist der Schattenpreis so gewählt, dass die Budgetrestriktion mit Gleichheit erfüllt ist. <math> \lambda </math> lässt sich berechnen, indem die Ausgerechneten optimalen Konsumniveus in einer der beiden FOC Gleichungen eingesetzt und nach <math> \lambda </math> umgestellt wird. 
 
Es lässt sich außerdem zeigen, dass <math> \lambda </math> der Grenznutzen des Einkommens ist. Steigt das Einkommen, steigt auch das Nutzenniveau im Optimum um <math> \lambda </math> Einheiten. (Für den Beweis siehe [[https://www.dropbox.com/scl/fi/r08jdx96k34h0sezg6jdc/Derivation_of_the_meaning_of_Lambda.pdf?rlkey=sq0futxbzz539dlg5dispw990&dl=0|hier]])

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage muss basierend auf den FOCs des Lagrangeverfahrens immer stimmen? Ein Konsument konsumiert zwei Güter (A und B). Im optimalen Konsumpunkt...
|type="()"}
+ ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von A dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von B
- ... entspricht der Grenznutzen von A dem Grenznutzen von B.
- ... entspricht der Grenznutzen von A mal dem Preis von A dem Grenznutzen von B mal dem Preis von B.
- ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von B dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von A.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{In welchem der Fälle ist das Lagrangeverfahren anwendbar?
|type="()"}
+ Wenn die Nutzenfunktion konvex ist.
- Wenn die Nutzenfunktion nicht differenzierbar ist.
- Wenn im optimalen Punkt nicht das gesammte Budget ausgeben wird.
- Wenn die Nebenbedingung nicht differenzierbar ist.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der Aussagen ist wahr?
|type="()"}
+ Das Lagrangeverfahren ist auch mit meheren Nebenbedingungen möglich.
- Die Hinreichende Bedingung zur Überprüfung auf ein Maximum ist bei einem Nutzenmaximierung-Probem mathematisch korrekt nie notwendig, da es sich rein formal immer nur um ein Maximum handeln kann.
- Der Lagrangemutiplikator <math> \lambda </math> hat keine Bedeutung.
- Ungeachtet des Preisverhältnisses ist eine rechnerische Lösung des Lagrangeverfahrens mit negativen Mengen nicht möglich.
</quiz>

Lagrange

2023-10-13T21:00:45Z

Leitzing:

Das Langrangeverfahren ist eine Möglichkeit Funktionen mit einer Nebenbedingung zu maximieren oder zu minimieren. In diesem Verfahren wird davon ausgegangen, dass die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt werden muss.

__TOC__

==Das Problem==
In der Gesellschaft treten häufig Fragestellungen auf, wie ein Haushalt den Konsum so wählt, dass der Nutzen möglichst groß ist. Es ist ebenfalls eine Fragestellung möglich, in der der Kostenminimale Produktionspunkt eines Unternehmens gesucht ist. Im Weiteren soll an vielen Stellen speziell auf das Maximierungsproblem eingegangen werden. 
Im Falle der Nutzenmaxinierung soll der Nutzen möglichst groß sein. In einem Beispiel hat ein Haushalt die Möglichkeit Güter <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> zu konsumieren. Der Haushalt muss dementsprechend sein Nutzen in Bezug auf den Konsum von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> maximieren: <math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> 
Unter der Annahme der [[Axiome der Nutzentheorie#Monotonie|Monotonie]] ("Mehr ist besser"), maximiert der Haushalt seinen Nutzen, indem er möglichst viel von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> konsumiert. Kann ein Haushalt sehr viel, wenn nicht sogar unendlich viel, von beiden Gütern konsumiert und Monotonie gilt, ist die Maximierungsaufgabe schon gelöst. In den meisten Fällen ist dies jedoch nicht möglich. Zum einen existieren nicht unendlich viele Einheiten der Güter (dies spielt in der [[Edgeworth-Box]] eine große Rolle) und zum anderen hat ein Haushalt auch nicht das Geld zur Verfügung, um sich unendlich viele Güter leisten zu können. Im Normalfall unterliegen Haushalte dementsprechend einer [[Budgetrestriktion und Budgetgerade|Budgetrestriktion]]. Die Budgetrestriktion ist in <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math> beschrieben, wobei E das Budget darstellt. Die eigentliche Maximierungsaufgabe besteht dementsprechend darin den Nutzen zu maximieren und das Budget einzuhalten. (u.d.NB.=unter der Nebenbedingung) 
<math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> u.d.NB <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math>

==Langrangefunktion==
Die Lagrangefunktion wird aufgestellt, indem von der Nutzenfunktion ein zweiter Term abgezogen wird. Der zweite Term besteht aus der Budgetrestriktion, die nach null umgestellt und mit einer Variablen (dem Langrange Multiplikator) multipliziert wird. Die Langrangefunktion ist damit abhängig von <math> x_1 </math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>: 
<math> \mathcal{L}(x_1,x_2, \lambda)=U(x_1,x_2)-\lambda(p_1x_1+p_2x_2-E) </math> 
Für das Ergebnis vom optimalen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ist es irrelevant, ob vor dem Komma ein + oder ein - steht. Es ist ebenfalls irrelevant, ob in der Nebenbedingung der linke oder der rechte Teil auf die andere Seite gebracht wird. Für [[Lagrange#Die Bedeutung von Lambda|die Bedeutung von Lambda]] hat dies jedoch durchaus Relevanz. Um allein das optimale Konsumniveau von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> auszurechnen, muss formal auf die genannten Dinge keine Rücksicht genommen werden. Um <math> \lambda </math> zu deuten, gilt es jedoch die obige Notation beizubehalten.

==FOC==
Die Langrangefunktion beschreibt das Maximierungsproblem in einer Art, die aufgrund des <math> \lambda </math> nur schwer grafisch vorstellbar ist. Die Vorgehensweise ist im ersten Schritt jedoch ähnlich zu einem simplen [[Maximieren|univariaten Maximierungsproblem]]. Es muss die Funktion nach den Variablen abgeleitet werden, für die der Nutzen maximiert werden soll. Die erste Ableitung muss gleich null sein (FOC=First order condition). Zudem muss weitergehend beachtet werden, dass die Budgetrestriktion eingehalten werden muss. Die FOCs und die nebenbedingung stellen ein Gleichungssystem dar, das es zu lösen gilt. 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_1}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}-\lambda p_1 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_2}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}-\lambda p_2 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> p_1x_1+p_2x_2-E \stackrel{!}{=}0 </math>

==Lösung des Maximierungsproblems==
Die [[Lagrange#FOC|First order Conditions]] stellen ein Gleichungsystem dar. Es existieren drei unbekannte (<math> x_1</math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>) und drei Gleichungen. Zum Lösen des Systems gibt es verschiedene Wege. Eine der ersten beiden Gleichungen kann nach <math> \lambda </math> umgestellt und in die andere der oberen beiden Gleichungen substituiert werden. Es ist auch möglich die oberen beiden Gleichungen beide nach <math> \lambda </math> umzustellen und anschließend gleichzusetzen. Es kann auch direkt die erste durch die zweite Gleichung dividiert werden. 
Als Beispiel sollen die ersten beiden Gleichungen nach <math> \lambda </math> ugestellt werden. Es ergibt sich: 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1 </math> 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> 
Da <math> \lambda=\lambda </math> ergibt sich: 
<math> \frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> oder weiter umgestellt 
<math> \frac{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}}{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Die linke Seite des Ausdrucks entspricht der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution|GRS]]. Dieser Ausdruck kann wiederum nach <math> x_1 </math> oder <math> x_2 </math> umgestellt werden, welche beide im [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] stecken. Es ergibt sich beispielweise ein Ausdruck, <math> x_1=... </math>, der abhängig von der anderen variable <math> x_2 </math> ist (<math> x_1(x_2)=...</math>). Dieser lässt sich in die Budgetrestriktion einsetzen, die vorher <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> beinhaltete. Nach der Substitution ist in der Budgetrestriktion nur noch eine Unbekannte <math> x_2 </math> vorhanden, nach der umgestellt werden kann. Es ergibt sich beispielweise mit der Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=x_1x_2 </math> folgende Gleichung: 
<math> \frac{x_2}{x_1}=\frac{p_1}{p_2} </math> umgestellt nach <math> x_2 </math> ergibt sich <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math>. 
Dieser Ausdruck kann in die Budgetrestriktion für <math> x_2 </math> eingesetzt werden: 
<math> p_1x_1+p_2(\frac{p_1}{p_2}x_1)=E </math> 
Nun kann für eine Lösung nach <math> x^*_1 </math> umgestellt werden. Das Ergebnis eingesetzt in <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math> ergibt das optimale Konsumniveau von <math> x^*_2 </math>.

==Die Bedeutung von Lambda==
Die [[Lagrange#Langrangefunktion|Langrangefunktion]] unterstellt, dass für <math> \lambda </math> die Nebenbedingung erfüllt ist. Sie sucht also Wert <math> x^*_1 </math> und <math> x^*_2 </math>, für die das Budget nicht gesprengt wird. Dafür führt das Langrangeverfahren den Lagrange Mutiplikator <math> \lambda </math> als eine Art Schattenpreis ein, den der Haushalt zahlen muss, wenn das Budget nicht eingehalten wird. Dies hat auch den grund, warum für die richtige Interpretation von <math> \lambda </math> die Notation korrekt ist. Der Schattenpreis ist positiv. Sind die Konsumausgaben dementsprechend größer als das Budget, gilt <math> p_1x_1+p_2x_2>E </math> und dementsprechend <math> p_1x_1+p_2x_2-E>0 </math>. Da vor <math> \lambda </math> eine negatives Vorzeichen steht, wird von dem Nutzen etwas abgezogen, wenn die Konsumausgaben größer sind als das Budget. Gleichzeitig wird zum Nutzen etwas addiert, wenn die Konsumausgaben kleiner sind als das Budget. Im [[Haushaltsoptimum]] ist der Schattenpreis so gewählt, dass die Budgetrestriktion mit Gleichheit erfüllt ist. <math> \lambda </math> lässt sich berechnen, indem die Ausgerechneten optimalen Konsumniveus in einer der beiden FOC Gleichungen eingesetzt und nach <math> \lambda </math> umgestellt wird. 
 
Es lässt sich außerdem zeigen, dass <math> \lambda </math> der Grenznutzen des Einkommens ist. Steigt das Einkommen, steigt auch das Nutzenniveau im Optimum um <math> \lambda </math> Einheiten. (Für den Beweis siehe [[https://www.dropbox.com/scl/fi/r08jdx96k34h0sezg6jdc/Derivation_of_the_meaning_of_Lambda.pdf?rlkey=sq0futxbzz539dlg5dispw990&dl=0|hier]])

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage muss basierend auf den FOCs des Lagrangeverfahrens immer stimmen? Ein Konsument konsumiert zwei Güter (A und B). Im optimalen Konsumpunkt...
|type="()"}
+ ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von A dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von B
- ... entspricht der Grenznutzen von A dem Grenznutzen von B.
- ... entspricht der Grenznutzen von A mal dem Preis von A dem Grenznutzen von B mal dem Preis von B.
- ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von B dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von A.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{In welchem der Fälle ist das Lagrangeverfahren anwendbar?
|type="()"}
+ Wenn die Nutzenfunktion konvex ist.
- Wenn die Nutzenfunktion nicht differenzierbar ist.
- Wenn im optimalen Punkt nicht das gesammte Budget ausgeben wird.
- Wenn die Nebenbedingung nicht differenzierbar ist.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der Aussagen ist wahr?
|type="()"}
+ Das Lagrangeverfahren ist auch mit meheren Nebenbedingungen möglich.
- Die Hinreichende Bedingung zur Überprüfung auf ein Maximum ist bei einem Nutzenmaximierung-Probem mathematisch korrekt nie notwendig, da es sich rein formal immer nur um ein Maximum handeln kann.
- Der Lagrangemutiplikator <math> \lambda </math> hat keine Bedeutung.
- Ungeachtet des Preisverhältnisses ist eine rechnerische Lösung des Lagrangeverfahrens mit negativen Mengen nicht möglich.
</quiz>

Lagrange

2023-10-13T20:28:13Z

Leitzing:

Das Langrangeverfahren ist eine Möglichkeit Funktionen mit einer Nebenbedingung zu maximieren oder zu minimieren. In diesem Verfahren wird davon ausgegangen, dass die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt werden muss.

__TOC__

==Das Problem==
In der Gesellschaft treten häufig Fragestellungen auf, wie ein Haushalt den Konsum so wählt, dass der Nutzen möglichst groß ist. Es ist ebenfalls eine Fragestellung möglich, in der der Kostenminimale Produktionspunkt eines Unternehmens gesucht ist. Im Weiteren soll an vielen Stellen speziell auf das Maximierungsproblem eingegangen werden. 
Im Falle der Nutzenmaxinierung soll der Nutzen möglichst groß sein. In einem Beispiel hat ein Haushalt die Möglichkeit Güter <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> zu konsumieren. Der Haushalt muss dementsprechend sein Nutzen in Bezug auf den Konsum von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> maximieren: <math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> 
Unter der Annahme der [[Axiome der Nutzentheorie#Monotonie|Monotonie]] ("Mehr ist besser"), maximiert der Haushalt seinen Nutzen, indem er möglichst viel von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> konsumiert. Kann ein Haushalt sehr viel, wenn nicht sogar unendlich viel, von beiden Gütern konsumiert und Monotonie gilt, ist die Maximierungsaufgabe schon gelöst. In den meisten Fällen ist dies jedoch nicht möglich. Zum einen existieren nicht unendlich viele Einheiten der Güter (dies spielt in der [[Edgeworth-Box]] eine große Rolle) und zum anderen hat ein Haushalt auch nicht das Geld zur Verfügung, um sich unendlich viele Güter leisten zu können. Im Normalfall unterliegen Haushalte dementsprechend einer [[Budgetrestriktion und Budgetgerade|Budgetrestriktion]]. Die Budgetrestriktion ist in <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math> beschrieben, wobei E das Budget darstellt. Die eigentliche Maximierungsaufgabe besteht dementsprechend darin den Nutzen zu maximieren und das Budget einzuhalten. (u.d.NB.=unter der Nebenbedingung) 
<math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> u.d.NB <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math>

==Langrangefunktion==
Die Lagrangefunktion wird aufgestellt, indem von der Nutzenfunktion ein zweiter Term abgezogen wird. Der zweite Term besteht aus der Budgetrestriktion, die nach null umgestellt und mit einer Variablen (dem Langrange Multiplikator) multipliziert wird. Die Langrangefunktion ist damit abhängig von <math> x_1 </math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>: 
<math> \mathcal{L}(x_1,x_2, \lambda)=U(x_1,x_2)-\lambda(p_1x_1+p_2x_2-E) </math> 
Für das Ergebnis vom optimalen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ist es irrelevant, ob vor dem Komma ein + oder ein - steht. Es ist ebenfalls irrelevant, ob in der Nebenbedingung der linke oder der rechte Teil auf die andere Seite gebracht wird. Für [[Lagrange#Die Bedeutung von Lambda|die Bedeutung von Lambda]] hat dies jedoch durchaus Relevanz. Um allein das optimale Konsumniveau von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> auszurechnen, muss formal auf die genannten Dinge keine Rücksicht genommen werden. Um <math> \lambda </math> zu deuten, gilt es jedoch die obige Notation beizubehalten.

==FOC==
Die Langrangefunktion beschreibt das Maximierungsproblem in einer Art, die aufgrund des <math> \lambda </math> nur schwer grafisch vorstellbar ist. Die Vorgehensweise ist im ersten Schritt jedoch ähnlich zu einem simplen [[Maximieren|univariaten Maximierungsproblem]]. Es muss die Funktion nach den Variablen abgeleitet werden, für die der Nutzen maximiert werden soll. Die erste Ableitung muss gleich null sein (FOC=First order condition). Zudem muss weitergehend beachtet werden, dass die Budgetrestriktion eingehalten werden muss. Die FOCs und die nebenbedingung stellen ein Gleichungssystem dar, das es zu lösen gilt. 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_1}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}-\lambda p_1 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_2}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}-\lambda p_2 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> p_1x_1+p_2x_2-E \stackrel{!}{=}0 </math>

==Lösung des Maximierungsproblems==
Die [[Lagrange#FOC|First order Conditions]] stellen ein Gleichungsystem dar. Es existieren drei unbekannte (<math> x_1</math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>) und drei Gleichungen. Zum Lösen des Systems gibt es verschiedene Wege. Eine der ersten beiden Gleichungen kann nach <math> \lambda </math> umgestellt und in die andere der oberen beiden Gleichungen substituiert werden. Es ist auch möglich die oberen beiden Gleichungen beide nach <math> \lambda </math> umzustellen und anschließend gleichzusetzen. Es kann auch direkt die erste durch die zweite Gleichung dividiert werden. 
Als Beispiel sollen die ersten beiden Gleichungen nach <math> \lambda </math> ugestellt werden. Es ergibt sich: 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1 </math> 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> 
Da <math> \lambda=\lambda </math> ergibt sich: 
<math> \frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> oder weiter umgestellt 
<math> \frac{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}}{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Die linke Seite des Ausdrucks entspricht der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution|GRS]]. Dieser Ausdruck kann wiederum nach <math> x_1 </math> oder <math> x_2 </math> umgestellt werden, welche beide im [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] stecken. Es ergibt sich beispielweise ein Ausdruck, <math> x_1=... </math>, der abhängig von der anderen variable <math> x_2 </math> ist (<math> x_1(x_2)=...</math>). Dieser lässt sich in die Budgetrestriktion einsetzen, die vorher <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> beinhaltete. Nach der Substitution ist in der Budgetrestriktion nur noch eine Unbekannte <math> x_2 </math> vorhanden, nach der umgestellt werden kann. Es ergibt sich beispielweise mit der Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=x_1x_2 </math> folgende Gleichung: 
<math> \frac{x_2}{x_1}=\frac{p_1}{p_2} </math> umgestellt nach <math> x_2 </math> ergibt sich <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math>. 
Dieser Ausdruck kann in die Budgetrestriktion für <math> x_2 </math> eingesetzt werden: 
<math> p_1x_1+p_2(\frac{p_1}{p_2}x_1)=E </math> 
Nun kann für eine Lösung nach <math> x^*_1 </math> umgestellt werden. Das Ergebnis eingesetzt in <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math> ergibt das optimale Konsumniveau von <math> x^*_2 </math>.

==Die Bedeutung von Lambda==
Die [[Lagrange#Langrangefunktion|Langrangefunktion]] unterstellt, dass für <math> \lambda </math> die Nebenbedingung erfüllt ist. Sie sucht also Wert <math> x^*_1 </math> und <math> x^*_2 </math>, für die das Budget nicht gesprengt wird. Dafür führt das Langrangeverfahren den Lagrange Mutiplikator <math> \lambda </math> als eine Art Schattenpeis ein, den der Haushalt zahlen muss, wenn das Budget nicht eingehalten wird. Dies hat auch den grund, warum für die richtige Interpretation von <math> \lambda </math> die Notation korrekt ist. Der Schattenpreis ist positiv. Sind die Konsumausgaben dementsprechend größer als das Budget, gilt <math> p_1x_1+p_2x_2>E </math> und dementsprechend <math> p_1x_1+p_2x_2-E>0 </math>. Da vor <math> \lambda </math> eine negatives Vorzeichen steht, wird von dem Nutzen etwas abgezogen, wenn die Konsumausgaben größer sind als das Budget. Gleichzeitig wird zum Nutzen etwas addiert, wenn die Konsumausgaben kleiner sind als das Budget. Im [[Haushaltsoptimum]] ist der Schattenpreis so gewählt, dass die Budgetrestriktion mit Gleichheit erfüllt ist. <math> \lambda </math> lässt sich berechnen, indem die Ausgerechneten optimalen Konsumniveus in einer der beiden FOC Gleichungen eingesetzt und nach <math> \lambda </math> umgestellt wird. 
 
Es lässt sich außerdem zeigen, dass <math> \lambda </math> der Grenznutzen des Einkommens ist. Steigt das Einkommen, steigt auch das Nutzenniveau im Optimum um <math> \lambda </math> Einheiten. (Für den Beweis siehe [[https://www.dropbox.com/scl/fi/r08jdx96k34h0sezg6jdc/Derivation_of_the_meaning_of_Lambda.pdf?rlkey=sq0futxbzz539dlg5dispw990&dl=0|hier]])

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage muss basierend auf den FOCs des Lagrangeverfahrens immer stimmen? Ein Konsument konsumiert zwei Güter (A und B). Im optimalen Konsumpunkt...
|type="()"}
+ ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von A dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von B
- ... entspricht der Grenznutzen von A dem Grenznutzen von B.
- ... entspricht der Grenznutzen von A mal dem Preis von A dem Grenznutzen von B mal dem Preis von B.
- ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von B dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von A.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{In welchem der Fälle ist das Lagrangeverfahren anwendbar?
|type="()"}
+ Wenn die Nutzenfunktion konvex ist.
- Wenn die Nutzenfunktion nicht differenzierbar ist.
- Wenn im optimalen Punkt nicht das gesammte Budget ausgeben wird.
- Wenn die Nebenbedingung nicht differenzierbar ist.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der Aussagen ist wahr?
|type="()"}
+ Das Lagrangeverfahren ist auch mit meheren Nebenbedingungen möglich.
- Die Hinreichende Bedingung zur Überprüfung auf ein Maximum ist bei einem Nutzenmaximierung-Probem mathematisch korrekt nie notwendig, da es sich rein formal immer nur um ein Maximum handeln kann.
- Der Lagrangemutiplikator <math> \lambda </math> hat keine Bedeutung.
- Ungeachtet des Preisverhältnisses ist eine rechnerische Lösung des Lagrangeverfahrens mit negativen Mengen nicht möglich.
</quiz>

Lagrange

2023-10-13T20:27:48Z

Leitzing:

Das Langrangeverfahren ist eine Möglichkeit Funktionen mit einer Nebenbedingung zu maximieren oder zu minimieren. In diesem Verfahren wird davon ausgegangen, dass die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt werden muss.

__TOC__

==Das Problem==
In der Gesellschaft treten häufig Fragestellungen auf, wie ein Haushalt den Konsum so wählt, dass der Nutzen möglichst groß ist. Es ist ebenfalls eine Fragestellung möglich, in der der Kostenminimale Produktionspunkt eines Unternehmens gesucht ist. Im Weiteren soll an vielen Stellen speziell auf das Maximierungsproblem eingegangen werden. 
Im Falle der Nutzenmaxinierung soll der Nutzen möglichst groß sein. In einem Beispiel hat ein Haushalt die Möglichkeit Güter <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> zu konsumieren. Der Haushalt muss dementsprechend sein Nutzen in Bezug auf den Konsum von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> maximieren: <math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> 
Unter der Annahme der [[Axiome der Nutzentheorie#Monotonie|Monotonie]] ("Mehr ist besser"), maximiert der Haushalt seinen Nutzen, indem er möglichst viel von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> konsumiert. Kann ein Haushalt sehr viel, wenn nicht sogar unendlich viel, von beiden Gütern konsumiert und Monotonie gilt, ist die Maximierungsaufgabe schon gelöst. In den meisten Fällen ist dies jedoch nicht möglich. Zum einen existieren nicht unendlich viele Einheiten der Güter (dies spielt in der [[Edgeworth-Box]] eine große Rolle) und zum anderen hat ein Haushalt auch nicht unendlich viel Geld zur Verfügung, um sich unendlich viele Güter leisten zu können. Im Normalfall unterliegen Haushalte dementsprechend einer [[Budgetrestriktion und Budgetgerade|Budgetrestriktion]]. Die Budgetrestriktion ist in <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math> beschrieben, wobei E das Budget darstellt. Die eigentliche Maximierungsaufgabe besteht dementsprechend darin den Nutzen zu maximieren und das Budget einzuhalten. (u.d.NB.=unter der Nebenbedingung) 
<math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> u.d.NB <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math>

==Langrangefunktion==
Die Lagrangefunktion wird aufgestellt, indem von der Nutzenfunktion ein zweiter Term abgezogen wird. Der zweite Term besteht aus der Budgetrestriktion, die nach null umgestellt und mit einer Variablen (dem Langrange Multiplikator) multipliziert wird. Die Langrangefunktion ist damit abhängig von <math> x_1 </math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>: 
<math> \mathcal{L}(x_1,x_2, \lambda)=U(x_1,x_2)-\lambda(p_1x_1+p_2x_2-E) </math> 
Für das Ergebnis vom optimalen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ist es irrelevant, ob vor dem Komma ein + oder ein - steht. Es ist ebenfalls irrelevant, ob in der Nebenbedingung der linke oder der rechte Teil auf die andere Seite gebracht wird. Für [[Lagrange#Die Bedeutung von Lambda|die Bedeutung von Lambda]] hat dies jedoch durchaus Relevanz. Um allein das optimale Konsumniveau von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> auszurechnen, muss formal auf die genannten Dinge keine Rücksicht genommen werden. Um <math> \lambda </math> zu deuten, gilt es jedoch die obige Notation beizubehalten.

==FOC==
Die Langrangefunktion beschreibt das Maximierungsproblem in einer Art, die aufgrund des <math> \lambda </math> nur schwer grafisch vorstellbar ist. Die Vorgehensweise ist im ersten Schritt jedoch ähnlich zu einem simplen [[Maximieren|univariaten Maximierungsproblem]]. Es muss die Funktion nach den Variablen abgeleitet werden, für die der Nutzen maximiert werden soll. Die erste Ableitung muss gleich null sein (FOC=First order condition). Zudem muss weitergehend beachtet werden, dass die Budgetrestriktion eingehalten werden muss. Die FOCs und die nebenbedingung stellen ein Gleichungssystem dar, das es zu lösen gilt. 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_1}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}-\lambda p_1 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_2}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}-\lambda p_2 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> p_1x_1+p_2x_2-E \stackrel{!}{=}0 </math>

==Lösung des Maximierungsproblems==
Die [[Lagrange#FOC|First order Conditions]] stellen ein Gleichungsystem dar. Es existieren drei unbekannte (<math> x_1</math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>) und drei Gleichungen. Zum Lösen des Systems gibt es verschiedene Wege. Eine der ersten beiden Gleichungen kann nach <math> \lambda </math> umgestellt und in die andere der oberen beiden Gleichungen substituiert werden. Es ist auch möglich die oberen beiden Gleichungen beide nach <math> \lambda </math> umzustellen und anschließend gleichzusetzen. Es kann auch direkt die erste durch die zweite Gleichung dividiert werden. 
Als Beispiel sollen die ersten beiden Gleichungen nach <math> \lambda </math> ugestellt werden. Es ergibt sich: 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1 </math> 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> 
Da <math> \lambda=\lambda </math> ergibt sich: 
<math> \frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> oder weiter umgestellt 
<math> \frac{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}}{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Die linke Seite des Ausdrucks entspricht der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution|GRS]]. Dieser Ausdruck kann wiederum nach <math> x_1 </math> oder <math> x_2 </math> umgestellt werden, welche beide im [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] stecken. Es ergibt sich beispielweise ein Ausdruck, <math> x_1=... </math>, der abhängig von der anderen variable <math> x_2 </math> ist (<math> x_1(x_2)=...</math>). Dieser lässt sich in die Budgetrestriktion einsetzen, die vorher <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> beinhaltete. Nach der Substitution ist in der Budgetrestriktion nur noch eine Unbekannte <math> x_2 </math> vorhanden, nach der umgestellt werden kann. Es ergibt sich beispielweise mit der Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=x_1x_2 </math> folgende Gleichung: 
<math> \frac{x_2}{x_1}=\frac{p_1}{p_2} </math> umgestellt nach <math> x_2 </math> ergibt sich <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math>. 
Dieser Ausdruck kann in die Budgetrestriktion für <math> x_2 </math> eingesetzt werden: 
<math> p_1x_1+p_2(\frac{p_1}{p_2}x_1)=E </math> 
Nun kann für eine Lösung nach <math> x^*_1 </math> umgestellt werden. Das Ergebnis eingesetzt in <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math> ergibt das optimale Konsumniveau von <math> x^*_2 </math>.

==Die Bedeutung von Lambda==
Die [[Lagrange#Langrangefunktion|Langrangefunktion]] unterstellt, dass für <math> \lambda </math> die Nebenbedingung erfüllt ist. Sie sucht also Wert <math> x^*_1 </math> und <math> x^*_2 </math>, für die das Budget nicht gesprengt wird. Dafür führt das Langrangeverfahren den Lagrange Mutiplikator <math> \lambda </math> als eine Art Schattenpeis ein, den der Haushalt zahlen muss, wenn das Budget nicht eingehalten wird. Dies hat auch den grund, warum für die richtige Interpretation von <math> \lambda </math> die Notation korrekt ist. Der Schattenpreis ist positiv. Sind die Konsumausgaben dementsprechend größer als das Budget, gilt <math> p_1x_1+p_2x_2>E </math> und dementsprechend <math> p_1x_1+p_2x_2-E>0 </math>. Da vor <math> \lambda </math> eine negatives Vorzeichen steht, wird von dem Nutzen etwas abgezogen, wenn die Konsumausgaben größer sind als das Budget. Gleichzeitig wird zum Nutzen etwas addiert, wenn die Konsumausgaben kleiner sind als das Budget. Im [[Haushaltsoptimum]] ist der Schattenpreis so gewählt, dass die Budgetrestriktion mit Gleichheit erfüllt ist. <math> \lambda </math> lässt sich berechnen, indem die Ausgerechneten optimalen Konsumniveus in einer der beiden FOC Gleichungen eingesetzt und nach <math> \lambda </math> umgestellt wird. 
 
Es lässt sich außerdem zeigen, dass <math> \lambda </math> der Grenznutzen des Einkommens ist. Steigt das Einkommen, steigt auch das Nutzenniveau im Optimum um <math> \lambda </math> Einheiten. (Für den Beweis siehe [[https://www.dropbox.com/scl/fi/r08jdx96k34h0sezg6jdc/Derivation_of_the_meaning_of_Lambda.pdf?rlkey=sq0futxbzz539dlg5dispw990&dl=0|hier]])

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage muss basierend auf den FOCs des Lagrangeverfahrens immer stimmen? Ein Konsument konsumiert zwei Güter (A und B). Im optimalen Konsumpunkt...
|type="()"}
+ ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von A dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von B
- ... entspricht der Grenznutzen von A dem Grenznutzen von B.
- ... entspricht der Grenznutzen von A mal dem Preis von A dem Grenznutzen von B mal dem Preis von B.
- ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von B dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von A.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{In welchem der Fälle ist das Lagrangeverfahren anwendbar?
|type="()"}
+ Wenn die Nutzenfunktion konvex ist.
- Wenn die Nutzenfunktion nicht differenzierbar ist.
- Wenn im optimalen Punkt nicht das gesammte Budget ausgeben wird.
- Wenn die Nebenbedingung nicht differenzierbar ist.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der Aussagen ist wahr?
|type="()"}
+ Das Lagrangeverfahren ist auch mit meheren Nebenbedingungen möglich.
- Die Hinreichende Bedingung zur Überprüfung auf ein Maximum ist bei einem Nutzenmaximierung-Probem mathematisch korrekt nie notwendig, da es sich rein formal immer nur um ein Maximum handeln kann.
- Der Lagrangemutiplikator <math> \lambda </math> hat keine Bedeutung.
- Ungeachtet des Preisverhältnisses ist eine rechnerische Lösung des Lagrangeverfahrens mit negativen Mengen nicht möglich.
</quiz>

Lagrange

2023-10-13T20:27:11Z

Leitzing:

Das Langrangeverfahren ist eine Möglichkeit Funktionen mit einer Nebenbedingung zu maximieren oder zu minimieren. In diesem Verfahren wird davon ausgegangen, dass die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt werden muss.

__TOC__

==Das Problem==
In der Gesellschaft treten häufig Fragestellungen auf, wie ein Haushalt den Konsum so wählt, dass der Nutzen möglichst groß ist. Es ist ebenfalls eine Fragestellung möglich, in der der Kostenminimale Produktionspunkt eines Unternehmens gesucht ist. Im Weiteren soll an vielen Stellen speziell auf das Maximierungsproblem eingegangen werden. 
Im Falle der Nutzenmaxinierung soll der Nutzen möglichst groß sein. In einem Beispiel hat ein Haushalt die Möglichkeit Güter <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> zu konsumieren. Der Haushalt muss dementsprechend sein Nutzen in Bezug auf den Konsum von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> maximieren: <math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> 
Unter der Annahme der [[Axiome der Nutzentheorie#Monotonie|Monotonie]] ("Mehr ist besser"), maximiert der Haushalt seinen Nutzen, indem er möglichst viel von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> konsumiert. Kann ein Haushalt sehr viel, wenn nicht sogar unendlich viel, von beiden Gütern konsumiert und Monotonie gilt, ist die Maximierungsaufgabe schon gelöst. In den meisten Fällen ist dies jedoch nicht möglich. Zum einen existieren nicht unendlich viele Einheiten der Güter (dies spielt in der [[Edgeworth-Box]] eine große Rolle) und zum anderen hat ein Haushalt auch nicht unendlich viel Geld zur Verfügung, um sich unendlich viele Güter zu konsumieren. Im Normalfall unterliegen Haushalte dementsprechend einer [[Budgetrestriktion und Budgetgerade|Budgetrestriktion]]. Die Budgetrestriktion ist in <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math> beschrieben, wobei E das Budget darstellt. Die eigentliche Maximierungsaufgabe besteht dementsprechend darin den Nutzen zu maximieren und das Budget einzuhalten. (u.d.NB.=unter der Nebenbedingung) 
<math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> u.d.NB <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math>

==Langrangefunktion==
Die Lagrangefunktion wird aufgestellt, indem von der Nutzenfunktion ein zweiter Term abgezogen wird. Der zweite Term besteht aus der Budgetrestriktion, die nach null umgestellt und mit einer Variablen (dem Langrange Multiplikator) multipliziert wird. Die Langrangefunktion ist damit abhängig von <math> x_1 </math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>: 
<math> \mathcal{L}(x_1,x_2, \lambda)=U(x_1,x_2)-\lambda(p_1x_1+p_2x_2-E) </math> 
Für das Ergebnis vom optimalen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ist es irrelevant, ob vor dem Komma ein + oder ein - steht. Es ist ebenfalls irrelevant, ob in der Nebenbedingung der linke oder der rechte Teil auf die andere Seite gebracht wird. Für [[Lagrange#Die Bedeutung von Lambda|die Bedeutung von Lambda]] hat dies jedoch durchaus Relevanz. Um allein das optimale Konsumniveau von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> auszurechnen, muss formal auf die genannten Dinge keine Rücksicht genommen werden. Um <math> \lambda </math> zu deuten, gilt es jedoch die obige Notation beizubehalten.

==FOC==
Die Langrangefunktion beschreibt das Maximierungsproblem in einer Art, die aufgrund des <math> \lambda </math> nur schwer grafisch vorstellbar ist. Die Vorgehensweise ist im ersten Schritt jedoch ähnlich zu einem simplen [[Maximieren|univariaten Maximierungsproblem]]. Es muss die Funktion nach den Variablen abgeleitet werden, für die der Nutzen maximiert werden soll. Die erste Ableitung muss gleich null sein (FOC=First order condition). Zudem muss weitergehend beachtet werden, dass die Budgetrestriktion eingehalten werden muss. Die FOCs und die nebenbedingung stellen ein Gleichungssystem dar, das es zu lösen gilt. 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_1}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}-\lambda p_1 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_2}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}-\lambda p_2 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> p_1x_1+p_2x_2-E \stackrel{!}{=}0 </math>

==Lösung des Maximierungsproblems==
Die [[Lagrange#FOC|First order Conditions]] stellen ein Gleichungsystem dar. Es existieren drei unbekannte (<math> x_1</math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>) und drei Gleichungen. Zum Lösen des Systems gibt es verschiedene Wege. Eine der ersten beiden Gleichungen kann nach <math> \lambda </math> umgestellt und in die andere der oberen beiden Gleichungen substituiert werden. Es ist auch möglich die oberen beiden Gleichungen beide nach <math> \lambda </math> umzustellen und anschließend gleichzusetzen. Es kann auch direkt die erste durch die zweite Gleichung dividiert werden. 
Als Beispiel sollen die ersten beiden Gleichungen nach <math> \lambda </math> ugestellt werden. Es ergibt sich: 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1 </math> 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> 
Da <math> \lambda=\lambda </math> ergibt sich: 
<math> \frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> oder weiter umgestellt 
<math> \frac{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}}{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Die linke Seite des Ausdrucks entspricht der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution|GRS]]. Dieser Ausdruck kann wiederum nach <math> x_1 </math> oder <math> x_2 </math> umgestellt werden, welche beide im [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] stecken. Es ergibt sich beispielweise ein Ausdruck, <math> x_1=... </math>, der abhängig von der anderen variable <math> x_2 </math> ist (<math> x_1(x_2)=...</math>). Dieser lässt sich in die Budgetrestriktion einsetzen, die vorher <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> beinhaltete. Nach der Substitution ist in der Budgetrestriktion nur noch eine Unbekannte <math> x_2 </math> vorhanden, nach der umgestellt werden kann. Es ergibt sich beispielweise mit der Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=x_1x_2 </math> folgende Gleichung: 
<math> \frac{x_2}{x_1}=\frac{p_1}{p_2} </math> umgestellt nach <math> x_2 </math> ergibt sich <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math>. 
Dieser Ausdruck kann in die Budgetrestriktion für <math> x_2 </math> eingesetzt werden: 
<math> p_1x_1+p_2(\frac{p_1}{p_2}x_1)=E </math> 
Nun kann für eine Lösung nach <math> x^*_1 </math> umgestellt werden. Das Ergebnis eingesetzt in <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math> ergibt das optimale Konsumniveau von <math> x^*_2 </math>.

==Die Bedeutung von Lambda==
Die [[Lagrange#Langrangefunktion|Langrangefunktion]] unterstellt, dass für <math> \lambda </math> die Nebenbedingung erfüllt ist. Sie sucht also Wert <math> x^*_1 </math> und <math> x^*_2 </math>, für die das Budget nicht gesprengt wird. Dafür führt das Langrangeverfahren den Lagrange Mutiplikator <math> \lambda </math> als eine Art Schattenpeis ein, den der Haushalt zahlen muss, wenn das Budget nicht eingehalten wird. Dies hat auch den grund, warum für die richtige Interpretation von <math> \lambda </math> die Notation korrekt ist. Der Schattenpreis ist positiv. Sind die Konsumausgaben dementsprechend größer als das Budget, gilt <math> p_1x_1+p_2x_2>E </math> und dementsprechend <math> p_1x_1+p_2x_2-E>0 </math>. Da vor <math> \lambda </math> eine negatives Vorzeichen steht, wird von dem Nutzen etwas abgezogen, wenn die Konsumausgaben größer sind als das Budget. Gleichzeitig wird zum Nutzen etwas addiert, wenn die Konsumausgaben kleiner sind als das Budget. Im [[Haushaltsoptimum]] ist der Schattenpreis so gewählt, dass die Budgetrestriktion mit Gleichheit erfüllt ist. <math> \lambda </math> lässt sich berechnen, indem die Ausgerechneten optimalen Konsumniveus in einer der beiden FOC Gleichungen eingesetzt und nach <math> \lambda </math> umgestellt wird. 
 
Es lässt sich außerdem zeigen, dass <math> \lambda </math> der Grenznutzen des Einkommens ist. Steigt das Einkommen, steigt auch das Nutzenniveau im Optimum um <math> \lambda </math> Einheiten. (Für den Beweis siehe [[https://www.dropbox.com/scl/fi/r08jdx96k34h0sezg6jdc/Derivation_of_the_meaning_of_Lambda.pdf?rlkey=sq0futxbzz539dlg5dispw990&dl=0|hier]])

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage muss basierend auf den FOCs des Lagrangeverfahrens immer stimmen? Ein Konsument konsumiert zwei Güter (A und B). Im optimalen Konsumpunkt...
|type="()"}
+ ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von A dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von B
- ... entspricht der Grenznutzen von A dem Grenznutzen von B.
- ... entspricht der Grenznutzen von A mal dem Preis von A dem Grenznutzen von B mal dem Preis von B.
- ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von B dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von A.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{In welchem der Fälle ist das Lagrangeverfahren anwendbar?
|type="()"}
+ Wenn die Nutzenfunktion konvex ist.
- Wenn die Nutzenfunktion nicht differenzierbar ist.
- Wenn im optimalen Punkt nicht das gesammte Budget ausgeben wird.
- Wenn die Nebenbedingung nicht differenzierbar ist.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der Aussagen ist wahr?
|type="()"}
+ Das Lagrangeverfahren ist auch mit meheren Nebenbedingungen möglich.
- Die Hinreichende Bedingung zur Überprüfung auf ein Maximum ist bei einem Nutzenmaximierung-Probem mathematisch korrekt nie notwendig, da es sich rein formal immer nur um ein Maximum handeln kann.
- Der Lagrangemutiplikator <math> \lambda </math> hat keine Bedeutung.
- Ungeachtet des Preisverhältnisses ist eine rechnerische Lösung des Lagrangeverfahrens mit negativen Mengen nicht möglich.
</quiz>

Lagrange

2023-10-13T20:26:35Z

Leitzing:

Das Langrangeverfahren ist eine Möglichkeit Funktionen mit einer Nebenbedingung zu maximieren oder zu minimieren. In diesem Verfahren wird davon ausgegangen, dass die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt werden muss.

__TOC__

==Das Problem==
In der Gesellschaft treten häufig Fragestellungen auf, wie ein Haushalt den Konsum so wählt, dass der Nutzen möglichst groß ist. Es ist ebenfalls eine Fragestellung möglich, in der der Kostenminimale Produktionspunkt eines Unternehmens gesucht ist. Im Weiteren soll an vielen Stellen speziell auf das Maximierungsproblem eingegangen werden. 
Im Falle der Nutzenmaxinierung soll der Nutzen möglichst groß sein. In einem Beispiel hat ein Haushalt die Möglichkeit Güter <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> zu konsumieren. Der Haushalt muss dementsprechend sein Nutzen in Bezug auf den Konsum von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> maximieren: <math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> 
Unter der Annahme der [[Axiome der Nutzentheorie#Monotonie|Monotonie]] ("Mehr ist besser"), maximiert der Haushalt seinen Nutzen, indem er möglichst viel von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> konsumiert. Kann ein Haushalt sehr viel, wenn nicht sogar unendlich viel, von beiden Gütern konsumiert und Monotonie gilt, ist die Maximierungsaufgabe schon gelöst. In den meisten Fällen ist dies jedoch nicht möglich. Zum einen existieren nicht unendlich viele Einheiten der Güter (dies spielt gerade in der [[Edgeworth-Box]] eine große Rolle) und zum anderen hat ein Haushalt auch nicht unendlich viel Geld zur Verfügung, um sich unendlich viele Güter zu konsumieren. Im Normalfall unterliegen Haushalte dementsprechend einer [[Budgetrestriktion und Budgetgerade|Budgetrestriktion]]. Die Budgetrestriktion ist in <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math> beschrieben, wobei E das Budget darstellt. Die eigentliche Maximierungsaufgabe besteht dementsprechend darin den Nutzen zu maximieren und das Budget einzuhalten. (u.d.NB.=unter der Nebenbedingung) 
<math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> u.d.NB <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math>

==Langrangefunktion==
Die Lagrangefunktion wird aufgestellt, indem von der Nutzenfunktion ein zweiter Term abgezogen wird. Der zweite Term besteht aus der Budgetrestriktion, die nach null umgestellt und mit einer Variablen (dem Langrange Multiplikator) multipliziert wird. Die Langrangefunktion ist damit abhängig von <math> x_1 </math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>: 
<math> \mathcal{L}(x_1,x_2, \lambda)=U(x_1,x_2)-\lambda(p_1x_1+p_2x_2-E) </math> 
Für das Ergebnis vom optimalen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ist es irrelevant, ob vor dem Komma ein + oder ein - steht. Es ist ebenfalls irrelevant, ob in der Nebenbedingung der linke oder der rechte Teil auf die andere Seite gebracht wird. Für [[Lagrange#Die Bedeutung von Lambda|die Bedeutung von Lambda]] hat dies jedoch durchaus Relevanz. Um allein das optimale Konsumniveau von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> auszurechnen, muss formal auf die genannten Dinge keine Rücksicht genommen werden. Um <math> \lambda </math> zu deuten, gilt es jedoch die obige Notation beizubehalten.

==FOC==
Die Langrangefunktion beschreibt das Maximierungsproblem in einer Art, die aufgrund des <math> \lambda </math> nur schwer grafisch vorstellbar ist. Die Vorgehensweise ist im ersten Schritt jedoch ähnlich zu einem simplen [[Maximieren|univariaten Maximierungsproblem]]. Es muss die Funktion nach den Variablen abgeleitet werden, für die der Nutzen maximiert werden soll. Die erste Ableitung muss gleich null sein (FOC=First order condition). Zudem muss weitergehend beachtet werden, dass die Budgetrestriktion eingehalten werden muss. Die FOCs und die nebenbedingung stellen ein Gleichungssystem dar, das es zu lösen gilt. 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_1}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}-\lambda p_1 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_2}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}-\lambda p_2 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> p_1x_1+p_2x_2-E \stackrel{!}{=}0 </math>

==Lösung des Maximierungsproblems==
Die [[Lagrange#FOC|First order Conditions]] stellen ein Gleichungsystem dar. Es existieren drei unbekannte (<math> x_1</math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>) und drei Gleichungen. Zum Lösen des Systems gibt es verschiedene Wege. Eine der ersten beiden Gleichungen kann nach <math> \lambda </math> umgestellt und in die andere der oberen beiden Gleichungen substituiert werden. Es ist auch möglich die oberen beiden Gleichungen beide nach <math> \lambda </math> umzustellen und anschließend gleichzusetzen. Es kann auch direkt die erste durch die zweite Gleichung dividiert werden. 
Als Beispiel sollen die ersten beiden Gleichungen nach <math> \lambda </math> ugestellt werden. Es ergibt sich: 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1 </math> 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> 
Da <math> \lambda=\lambda </math> ergibt sich: 
<math> \frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> oder weiter umgestellt 
<math> \frac{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}}{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Die linke Seite des Ausdrucks entspricht der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution|GRS]]. Dieser Ausdruck kann wiederum nach <math> x_1 </math> oder <math> x_2 </math> umgestellt werden, welche beide im [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] stecken. Es ergibt sich beispielweise ein Ausdruck, <math> x_1=... </math>, der abhängig von der anderen variable <math> x_2 </math> ist (<math> x_1(x_2)=...</math>). Dieser lässt sich in die Budgetrestriktion einsetzen, die vorher <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> beinhaltete. Nach der Substitution ist in der Budgetrestriktion nur noch eine Unbekannte <math> x_2 </math> vorhanden, nach der umgestellt werden kann. Es ergibt sich beispielweise mit der Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=x_1x_2 </math> folgende Gleichung: 
<math> \frac{x_2}{x_1}=\frac{p_1}{p_2} </math> umgestellt nach <math> x_2 </math> ergibt sich <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math>. 
Dieser Ausdruck kann in die Budgetrestriktion für <math> x_2 </math> eingesetzt werden: 
<math> p_1x_1+p_2(\frac{p_1}{p_2}x_1)=E </math> 
Nun kann für eine Lösung nach <math> x^*_1 </math> umgestellt werden. Das Ergebnis eingesetzt in <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math> ergibt das optimale Konsumniveau von <math> x^*_2 </math>.

==Die Bedeutung von Lambda==
Die [[Lagrange#Langrangefunktion|Langrangefunktion]] unterstellt, dass für <math> \lambda </math> die Nebenbedingung erfüllt ist. Sie sucht also Wert <math> x^*_1 </math> und <math> x^*_2 </math>, für die das Budget nicht gesprengt wird. Dafür führt das Langrangeverfahren den Lagrange Mutiplikator <math> \lambda </math> als eine Art Schattenpeis ein, den der Haushalt zahlen muss, wenn das Budget nicht eingehalten wird. Dies hat auch den grund, warum für die richtige Interpretation von <math> \lambda </math> die Notation korrekt ist. Der Schattenpreis ist positiv. Sind die Konsumausgaben dementsprechend größer als das Budget, gilt <math> p_1x_1+p_2x_2>E </math> und dementsprechend <math> p_1x_1+p_2x_2-E>0 </math>. Da vor <math> \lambda </math> eine negatives Vorzeichen steht, wird von dem Nutzen etwas abgezogen, wenn die Konsumausgaben größer sind als das Budget. Gleichzeitig wird zum Nutzen etwas addiert, wenn die Konsumausgaben kleiner sind als das Budget. Im [[Haushaltsoptimum]] ist der Schattenpreis so gewählt, dass die Budgetrestriktion mit Gleichheit erfüllt ist. <math> \lambda </math> lässt sich berechnen, indem die Ausgerechneten optimalen Konsumniveus in einer der beiden FOC Gleichungen eingesetzt und nach <math> \lambda </math> umgestellt wird. 
 
Es lässt sich außerdem zeigen, dass <math> \lambda </math> der Grenznutzen des Einkommens ist. Steigt das Einkommen, steigt auch das Nutzenniveau im Optimum um <math> \lambda </math> Einheiten. (Für den Beweis siehe [[https://www.dropbox.com/scl/fi/r08jdx96k34h0sezg6jdc/Derivation_of_the_meaning_of_Lambda.pdf?rlkey=sq0futxbzz539dlg5dispw990&dl=0|hier]])

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage muss basierend auf den FOCs des Lagrangeverfahrens immer stimmen? Ein Konsument konsumiert zwei Güter (A und B). Im optimalen Konsumpunkt...
|type="()"}
+ ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von A dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von B
- ... entspricht der Grenznutzen von A dem Grenznutzen von B.
- ... entspricht der Grenznutzen von A mal dem Preis von A dem Grenznutzen von B mal dem Preis von B.
- ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von B dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von A.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{In welchem der Fälle ist das Lagrangeverfahren anwendbar?
|type="()"}
+ Wenn die Nutzenfunktion konvex ist.
- Wenn die Nutzenfunktion nicht differenzierbar ist.
- Wenn im optimalen Punkt nicht das gesammte Budget ausgeben wird.
- Wenn die Nebenbedingung nicht differenzierbar ist.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der Aussagen ist wahr?
|type="()"}
+ Das Lagrangeverfahren ist auch mit meheren Nebenbedingungen möglich.
- Die Hinreichende Bedingung zur Überprüfung auf ein Maximum ist bei einem Nutzenmaximierung-Probem mathematisch korrekt nie notwendig, da es sich rein formal immer nur um ein Maximum handeln kann.
- Der Lagrangemutiplikator <math> \lambda </math> hat keine Bedeutung.
- Ungeachtet des Preisverhältnisses ist eine rechnerische Lösung des Lagrangeverfahrens mit negativen Mengen nicht möglich.
</quiz>

Preiskonsumkurve

2023-10-13T20:18:51Z

Leitzing:

==Definition==
Die Preiskonsumkurve (auch Preiskonsumlinie) ist die Verbindungslinie aller nutzenmaximalen Güterkombinationen, für unterschiedliche Preise eines Gutes.

__TOC__

==Preisänderung==
Die Preiskonsumkurve betrachtet die veränderte Konsumentscheidung bei der Variation eines Preises. Wie sich die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgerade]] verändert, wenn sich ein Preis verändert, lässt sich in den Achsenabschnitten der Budgetgeraden sehen. Die Achsenabschnitte stellen den maximalen Konsum eines Gutes bei gleichzeitigem Nichtkonsum des anderen Gutes dar. Eine Preisänderung von Gut x1 verändert dabei nur den Achsenabschnitt auf der X-Achse. Der Achsenabschnitt auf der Y-Achse bleibt identisch, da sich der Preis von Gut x2 nicht verändert hat. Wenn sich nur der Preis eines Gutes verändert, führt dies zu einer Drehung der Budgetgeraden. In der Abbildung gilt: <math dispay="inline"> p''_1 > p'_1 > p_1 </math> 
 
[[Datei:Budgetgerade2.png|350px|rahmenlos]] 
 

==Preiskonsum- und Nachfragekurve==
Die nutzenmaximale Nachfrage ist in der Regel abhängig von dem Einkommen und den Güterpreisen <math> x_1^*(p_1,p_2,E) </math>. Verändern sich der Preis <math> p_1 </math>, verändert sich auch die optimale Nachfrage und damit das [[Haushaltsoptimum]]. Für jeden Preis <math> p_1 </math> existiert ein Tangentialpunkt der jeweiligen Budgetgeraden mit einer [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurve]]. Die Verbindungslinie aller Haushaltsoptima ist die Preiskonsumkurve. 
[[Datei:Preiskonsumkurve.png|351px|rahmenlos]]
[[Datei:PreiskonsumkurveNachfrage.png|351px|rahmenlos]]
 
 
Die optimale Nachfrage bei konstantem Preis <math> \bar{p_2} </matH> und Einkommen <math> \bar{E} </math> ist nur noch abhängig von Preis <math> p_1 </math>. Die Nachfrage <math> x_1^*(p_1) </math> umgestellt nach <math> p_1 </math> ergibt die (inverse) [[Nachfrage|Nachfragefunktion]] (rechte Abbildung). Die Preiskonsumkruve hat eine positive Steigung, wenn es sich um ein [[Güterarten#Preisänderungen#Gewöhnliche Güter|Gewöhnliches Gut]] handelt.

==Preiskonsumkurve eines Giffen Guts==
Die [[Nachfrage]] nach einem [[Güterarten#Preisänderungen#Giffen Güter|Giffen Gut]] sinkt, wenn der Preis eines Gutes sinkt. Je näher die Budgetgerade zum Ursprung geneigt ist, desto größer ist der Preis. Definitionsgemäß muss sich der Tangentialpunkt bei einem steigenden Preis nach links verschieben, wenn das Giffen Gut auf der X-Achse abgetragen wird. Die Preiskonsumkurve eines Giffen Gutes hat eine negative Steigung. 
[[Datei:GiffenGut.png|350px|rahmenlos]]

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Nachfrage nach <math> x_1 </math> lautet <math> x_1^*=\frac{E-p_1+p_2}{p_1}</math>. Wie lautet die Funktionsgleichung der Preiskonsumkurve bei einem Einkommen von 10 und <math> p_2=5 </math>?
|type="()"}
+ <math> p_1(x_1)=\frac{15}{x_1+1} </math>
- <math> p_1(x_1)=15x_1+1 </math>
- <math> p_1(x_1)=15-x_1 </math>
- <math> p_1(x_1)=\frac{10-x_1}{x_1} </math>
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Nachfrage nach <math> x_1 </math> lautet <math> x_1^*=\frac{E-p_1+p_2}{p_1}</math>. Wie verändert sich die Preiskonsumkurve, wenn sich das Einkommen verändert und alle anderen Variablen gleich bleiben?
|type="()"}
+ Die Steigung ist eine andere und die Kurve ist verschoben.
- Die Steigung ist eine andere und die Kurve bleibt am selben Achsenabschnitt.
- Die Steigung ist die gleiche und die Kurve ist verschoben.
- Die Steigung ist die gleiche und die Kurve bleibt am selben Achsenabschnitt.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Steigung hat die Preiskonsumkurve, wenn beide Güter Giffen Güter sind
|type="()"}
- positiv, wachsend
- negativ, fallend
+ nicht möglich
- konstant, positiv
</quiz>

Hauptseite

2023-10-13T18:38:15Z

Leitzing:

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'''Herzlich willkommen im Mikro Wiki'''
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[[Datei:MM.png|300px|]]
Liebe Studierende des Moduls Mikroökonomie I, 
 
herzlich willkommen auf der Seite des Mikro Wikis. Das Mikro Wiki soll Ihnen helfen die in den Vorlesungen, Übungen, Tutorien und Mentorien behandelten Themenfelder besser zu verstehen und bei Bedarf einzelne Themen nachzulesen. Obwohl der Anspruch ist die verschiedenen Themen aus der Mikro I bestmöglich zu erklären und veranschaulichen, ersetzt das Mikro Wiki nicht die anderen Angebote des Lehrstuhls. Sie ist vielmehr ein ergänzendes Angebot zur Themen Vor- und Nachbereitung. 
Die Funktionsweise des Mikro Wiki ist selbsterklärend für jede*n, der/die Wikipedia bereits genutzt hat. Für jedes Themengebiet existieren einzelne Seiten, auf denen wiederum verwandte andere Seiten verlinkt sind. Es kann dementsprechend durchaus dazu kommen, dass Sie in der Vorlesung einige Dinge noch nicht gehört haben, die auf so mancher Seiten zu lesen sind. Alle Seiten sind auf dieser Hauptseite verlinkt. Wenn Sie also speziell ein Thema nachlesen wollen, können Sie dieses auf der Hauptseite anklicken. Alternativ können Sie auch in der Suchleiste nach den Themen suchen. 
Sie sind die ersten Studierenden, die die Mikro Wiki nutzen können. Das Projekt befindet sich somit in der Beta Phase. Wir sind auf Ihr Feedback und Ihre Hinweise angewiesen, um das Wiki weiter zu verbessern. Schreiben Sie uns hierfür eine Mail an [mailto:wikimikro@gmail.com wikimikro@gmail.com]
 
 
Viel Spaß und Erfolg in der Mikro!

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* [[Nachfrage]] 
* [[Angebot]] 
* [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb]] 
* [[Konsumentenrente und Produzentenrente]] 
* [[Konsumentenrente und Produzentenrente alt]] 
 
* [[Eingriffe in das Marktgleichgewicht]]

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* [[Elastizitäten]] 
* [[Externalitäten und Internalisierung]] 
* [[Öffentliche Güter]]
* [[Zusammenfassung Marktversagen]] 
* [[Marktformen]] 
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Haushaltsentscheidungen I (Konsum)
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<div {{MainpageMidBox}}>
* [[Präferenzen und Indifferenzkurven]]
* [[Präferenzenarten]]
* [[Axiome der Nutzentheorie]]
* [[Budgetrestriktion und Budgetgerade]]
* [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie]]
* [[Haushaltsoptimum]]
* [[Engelkurve]]
* [[Einkommens-Konsumkurve]]
* [[Preiskonsumkurve]]
* [[Güter und Ungüter]]
* [[Güterarten]]
* [[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt]]
* [[Netzwerkeffekte]]
</div>

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Haushaltsentscheidungen II
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<div {{MainpageMidBox}}>
* [[Arbeit-Freizeit Entscheidung]]
* [[Intertemporale Entscheidung]]
* [[Risiko und Risikoeinstellung]]
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Unternehmenstheorie
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<div {{MainpageMidBox}}>
* [[Kostenarten]]
* [[Produktionsfunktion und Isoquante]]
* [[Produktionsoptimum]]
* [[Angebotsentscheidung bei vollkommener Konkurrenz]]
* [[Vergleich Gewinnmaximum bei unterschiedlichen Marktformen]]
* [[Preisdiskriminierung]]
* [[Skalenerträge]]
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Spieltheorie
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* [[Spiele]]
* [[Nash Gleichgewicht]]
* [[Extensivform]]
* Zusammenfassung des Monopolisten (inkl kurzer Exkurs zu Kartellen, natürliches Monopol, Marktzutrittschranken, Ineffizienz)
* [[Oligopole]]
* [[Plattformökonomie und Netzwerkexternalitäten]]
</div>

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Wohlfahrtsökonomie/ Tauschökonomie
</h2>
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* [[Coase Theorem]]
* [[Edgeworth-Box]]
* [[Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel]]
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Asymmetrische Informationen
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* [[Adverse Selektion und Signale]]
* [[Moral Hazard und Anreize]]
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Allgemeine Prinzipien
</h2>
<div {{MainpageMidBox}}>
* [[Lagrange]]
* [[Maximieren]]
* [[Mathematische Eigenschaften von Funktionen]]
* [[Cobb-Douglas-Funktionen]]
* [[Monotone Transformation]]
* [[Marginale Sichtweise]]
* [[Opportunitätskosten]]
* [[Effizienz]] 
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2023-10-13T18:37:37Z

Leitzing:

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'''Herzlich willkommen in der Mikro Wiki'''
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[[Datei:MM.png|300px|]]
Liebe Studierende des Moduls Mikroökonomie I, 
 
herzlich willkommen auf der Seite des Mikro Wikis. Das Mikro Wiki soll Ihnen helfen die in den Vorlesungen, Übungen, Tutorien und Mentorien behandelten Themenfelder besser zu verstehen und bei Bedarf einzelne Themen nachzulesen. Obwohl der Anspruch ist die verschiedenen Themen aus der Mikro I bestmöglich zu erklären und veranschaulichen, ersetzt das Mikro Wiki nicht die anderen Angebote des Lehrstuhls. Sie ist vielmehr ein ergänzendes Angebot zur Themen Vor- und Nachbereitung. 
Die Funktionsweise des Mikro Wiki ist selbsterklärend für jede*n, der/die Wikipedia bereits genutzt hat. Für jedes Themengebiet existieren einzelne Seiten, auf denen wiederum verwandte andere Seiten verlinkt sind. Es kann dementsprechend durchaus dazu kommen, dass Sie in der Vorlesung einige Dinge noch nicht gehört haben, die auf so mancher Seiten zu lesen sind. Alle Seiten sind auf dieser Hauptseite verlinkt. Wenn Sie also speziell ein Thema nachlesen wollen, können Sie dieses auf der Hauptseite anklicken. Alternativ können Sie auch in der Suchleiste nach den Themen suchen. 
Sie sind die ersten Studierenden, die die Mikro Wiki nutzen können. Das Projekt befindet sich somit in der Beta Phase. Wir sind auf Ihr Feedback und Ihre Hinweise angewiesen, um das Wiki weiter zu verbessern. Schreiben Sie uns hierfür eine Mail an [mailto:wikimikro@gmail.com wikimikro@gmail.com]
 
 
Viel Spaß und Erfolg in der Mikro!

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<div style="background-color:#F0F8FF; color:black"> Angebot und Nachfrage </div> 
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* [[Nachfrage]] 
* [[Angebot]] 
* [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb]] 
* [[Konsumentenrente und Produzentenrente]] 
* [[Konsumentenrente und Produzentenrente alt]] 
 
* [[Eingriffe in das Marktgleichgewicht]]

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* [[Elastizitäten]] 
* [[Externalitäten und Internalisierung]] 
* [[Öffentliche Güter]]
* [[Zusammenfassung Marktversagen]] 
* [[Marktformen]] 
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Haushaltsentscheidungen I (Konsum)
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* [[Präferenzen und Indifferenzkurven]]
* [[Präferenzenarten]]
* [[Axiome der Nutzentheorie]]
* [[Budgetrestriktion und Budgetgerade]]
* [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie]]
* [[Haushaltsoptimum]]
* [[Engelkurve]]
* [[Einkommens-Konsumkurve]]
* [[Preiskonsumkurve]]
* [[Güter und Ungüter]]
* [[Güterarten]]
* [[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt]]
* [[Netzwerkeffekte]]
</div>

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Haushaltsentscheidungen II
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* [[Arbeit-Freizeit Entscheidung]]
* [[Intertemporale Entscheidung]]
* [[Risiko und Risikoeinstellung]]
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Unternehmenstheorie
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* [[Kostenarten]]
* [[Produktionsfunktion und Isoquante]]
* [[Produktionsoptimum]]
* [[Angebotsentscheidung bei vollkommener Konkurrenz]]
* [[Vergleich Gewinnmaximum bei unterschiedlichen Marktformen]]
* [[Preisdiskriminierung]]
* [[Skalenerträge]]
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Spieltheorie
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* [[Spiele]]
* [[Nash Gleichgewicht]]
* [[Extensivform]]
* Zusammenfassung des Monopolisten (inkl kurzer Exkurs zu Kartellen, natürliches Monopol, Marktzutrittschranken, Ineffizienz)
* [[Oligopole]]
* [[Plattformökonomie und Netzwerkexternalitäten]]
</div>

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Wohlfahrtsökonomie/ Tauschökonomie
</h2>
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* [[Coase Theorem]]
* [[Edgeworth-Box]]
* [[Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel]]
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Asymmetrische Informationen
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* [[Adverse Selektion und Signale]]
* [[Moral Hazard und Anreize]]
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Allgemeine Prinzipien
</h2>
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* [[Lagrange]]
* [[Maximieren]]
* [[Mathematische Eigenschaften von Funktionen]]
* [[Cobb-Douglas-Funktionen]]
* [[Monotone Transformation]]
* [[Marginale Sichtweise]]
* [[Opportunitätskosten]]
* [[Effizienz]] 
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* [[Angebot]] 
* [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb]] 
* [[Konsumentenrente und Produzentenrente]] 
* [[Konsumentenrente und Produzentenrente alt]] 
 
* [[Eingriffe in das Marktgleichgewicht]]

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* [[Elastizitäten]] 
* [[Externalitäten und Internalisierung]] 
* [[Öffentliche Güter]]
* [[Zusammenfassung Marktversagen]] 
* [[Marktformen]] 
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Haushaltsentscheidungen I (Konsum)
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* [[Präferenzen und Indifferenzkurven]]
* [[Präferenzenarten]]
* [[Axiome der Nutzentheorie]]
* [[Budgetrestriktion und Budgetgerade]]
* [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie]]
* [[Haushaltsoptimum]]
* [[Engelkurve]]
* [[Einkommens-Konsumkurve]]
* [[Preiskonsumkurve]]
* [[Güter und Ungüter]]
* [[Güterarten]]
* [[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt]]
* [[Netzwerkeffekte]]
</div>

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Haushaltsentscheidungen II
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* [[Intertemporale Entscheidung]]
* [[Risiko und Risikoeinstellung]]
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Unternehmenstheorie
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* [[Produktionsfunktion und Isoquante]]
* [[Produktionsoptimum]]
* [[Angebotsentscheidung bei vollkommener Konkurrenz]]
* [[Vergleich Gewinnmaximum bei unterschiedlichen Marktformen]]
* [[Preisdiskriminierung]]
* [[Skalenerträge]]
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Spieltheorie
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* [[Spiele]]
* [[Nash Gleichgewicht]]
* [[Extensivform]]
* Zusammenfassung des Monopolisten (inkl kurzer Exkurs zu Kartellen, natürliches Monopol, Marktzutrittschranken, Ineffizienz)
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* [[Plattformökonomie und Netzwerkexternalitäten]]
</div>

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Wohlfahrtsökonomie/ Tauschökonomie
</h2>
<div {{MainpageMidBox}}>
* [[Coase Theorem]]
* [[Edgeworth-Box]]
* [[Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel]]
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Asymmetrische Informationen
</h2>
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* [[Adverse Selektion und Signale]]
* [[Moral Hazard und Anreize]]
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Allgemeine Prinzipien
</h2>
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* [[Lagrange]]
* [[Maximieren]]
* [[Mathematische Eigenschaften von Funktionen]]
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* [[Marginale Sichtweise]]
* [[Opportunitätskosten]]
* [[Effizienz]] 
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Die Funktionsweise des Mikro Wiki ist selbsterklärend für jede*n, der/die Wikipedia bereits genutzt hat. Für jedes Themengebiet existieren einzelne Seiten, auf denen wiederum verwandte andere Seiten verlinkt sind. Es kann dementsprechend durchaus dazu kommen, dass Sie in der Vorlesung einige Dinge noch nicht gehört haben, die auf so mancher Seiten zu lesen sind. Alle Seiten sind auf dieser Hauptseite verlinkt. Wenn Sie also speziell ein Thema nachlesen wollen, können Sie dieses auf der Hauptseite anklicken. Alternativ können Sie auch in der Suchleiste nach den Themen suchen. 
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<div style="background-color:#F0F8FF; color:black"> Angebot und Nachfrage </div> 
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* [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb]] 
* [[Konsumentenrente und Produzentenrente]] 
* [[Konsumentenrente und Produzentenrente alt]] 
 
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* [[Elastizitäten]] 
* [[Externalitäten und Internalisierung]] 
* [[Öffentliche Güter]]
* [[Zusammenfassung Marktversagen]] 
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Haushaltsentscheidungen I (Konsum)
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* [[Präferenzen und Indifferenzkurven]]
* [[Präferenzenarten]]
* [[Axiome der Nutzentheorie]]
* [[Budgetrestriktion und Budgetgerade]]
* [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie]]
* [[Haushaltsoptimum]]
* [[Engelkurve]]
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* [[Preiskonsumkurve]]
* [[Güter und Ungüter]]
* [[Güterarten]]
* [[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt]]
* [[Netzwerkeffekte]]
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Haushaltsentscheidungen II
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* [[Arbeit-Freizeit Entscheidung]]
* [[Intertemporale Entscheidung]]
* [[Risiko und Risikoeinstellung]]
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Unternehmenstheorie
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* [[Produktionsfunktion und Isoquante]]
* [[Produktionsoptimum]]
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* [[Vergleich Gewinnmaximum bei unterschiedlichen Marktformen]]
* [[Preisdiskriminierung]]
* [[Skalenerträge]]
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Spieltheorie
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* [[Spiele]]
* [[Nash Gleichgewicht]]
* [[Extensivform]]
* Zusammenfassung des Monopolisten (inkl kurzer Exkurs zu Kartellen, natürliches Monopol, Marktzutrittschranken, Ineffizienz)
* [[Oligopole]]
* [[Plattformökonomie und Netzwerkexternalitäten]]
</div>

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Wohlfahrtsökonomie/ Tauschökonomie
</h2>
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* [[Coase Theorem]]
* [[Edgeworth-Box]]
* [[Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel]]
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Asymmetrische Informationen
</h2>
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* [[Adverse Selektion und Signale]]
* [[Moral Hazard und Anreize]]
</div>

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Allgemeine Prinzipien
</h2>
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* [[Lagrange]]
* [[Maximieren]]
* [[Mathematische Eigenschaften von Funktionen]]
* [[Cobb-Douglas-Funktionen]]
* [[Monotone Transformation]]
* [[Marginale Sichtweise]]
* [[Opportunitätskosten]]
* [[Effizienz]] 
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Opportunitätskosten

2023-10-09T16:12:19Z

Leitzing:

==Definition==
Opportunitätskosten sind Kosten, die im Trade-off zwischen verschiedenen Opportunitäten (Möglichkeiten) entstehen. Sie sind der entgangene Nutzen oder entgangener Gewinn der Möglichkeiten, für die sich nicht entschieden wurde. Sie unterscheiden sich von den versunkenen Kosten (sunk cost).

__TOC__

==Opportunitätskosten==
Der Ausdruck "there is no such thing as a free lunch" wurde von Milton Friedman genutzt, um die Bedeutung der Opportunitätskosten zu verdeutlichen. Opportunitätskosten müssen bei der Entscheidung für eine von vielen Opportunitäten berücksichtigt werden. Jede Möglichkeit bietet einen Nutzen oder Gewinn, der entgeht, sollte sich die Entscheiderin oder der Entscheider gegen diese Opportunität entscheiden. Im Kontext des "free lunch" Satzes bedeutet dies, dass selbst wenn eine Person zu einem Mittagessen eingeladen wird, sie in dieser Zeit keinen anderen Aktivitäten nachgehen kann. Da sie isst, kann sie in der Zeit nicht arbeiten und bekommt keinen Lohn für die Arbeit. Die Opportunitätskosten für das eigentlich kostenlose Mittagessen ist der entgangene Lohn für diese Zeit. Die Arbeit ist jedoch auch nicht frei von Opportunitätskosten. Ein Mittagessen stiftet Sättigung, Gemeinschaft oder einfach kurz: Nutzen. Dieser Nutzen erlangt die Person nicht, wenn sie arbeitet. Die Opportunitätskosten der Arbeit sind dementsprechend der Nutzen des Mittagessens. 

''Ein weiteres Beispiel'': Vor der Klausurenphase stellt sich für viele Studierende die Frage: Soll ich in der Bibliothek lernen oder stattdessen mit meinen Freunden Feiern gehen? Das Feiern gehen stiftet einen Nutzen, da beim Feiern Freundschaften verstärkt werden, es Spaß macht und so weiter. Auch das Lernen stiftet einen Nutzen. Wer viel lernt, schreibt mit hoher Wahrscheinlichkeit auch gute Noten, bekommt einen besseren Job mit besserer Bezahlung oder den eigenen Wünschen entsprechenden Arbeit. Die Entscheidung für eine der beiden Möglichkeiten bedeutet, dass der Nutzen der anderen nicht erlangt werden kann. 

Die Beispiele zeigen, wie wesentlich die Opportunitätskosten sind. Sie sind schwer zu messen und zu begrenzen, weil sie nicht sichtbar und häufig nicht messbar sind. Dennoch müssen sie in einer rationalen Entscheidungsfindung berücksichtigt werden.

==Versunkene Kosten==
Versunkene Kosten sind Kosten, die unumkehrbar sind. Da sie unumkehrbar sind sollten sie keine Rolle für weitere Entscheidungen spielen. Damit unterschieden sie sich wesentlich von den Opportunitätskosten. 
''Beispiel'': Eine große Stadt in Deutschland entscheidet sich ein Flughafen zu bauen. Hierbei kauft sie ein Grundstück und fängt an Gebäude zu bauen, die lediglich von Flughäfen verwendet werden können. Angenommen es sind bereits 5 Mio Euro investiert worden. Nach 2 Jahren Bauzeit bietet sich für die Stadt eine weitere Möglichkeit, an einem anderen Standort einen Flughafen zu bauen. An dem neuen Standort müsste die Stadt insgesamt 50 Mio Euro investieren. An dem alten Standort müssen aufgrund der besonderen örtlichen Gegebenheiten nochmal zusätzlich 51 Mio Euro bis zur Fertigstellung gezahlt werden. Die versunkenen Kosten sind die bereits geflossenen 5 Mio Euro. Es lässt sich kein Abnehmer für das Grundstück und die Gebäude finden, da diese spezifisch für Flughäfen sind. In der Entscheidungsfindung sollte die rationale Stadt den neuen Standort wählen.

==Ökonomischer Gewinn==
Der ökonomische Gewinn umfasst den Umsatz abzüglich aller real anfallender Kosten zusätzlich zu den Opportunitätskosten. Alle real anfallende Kosten addiert mit den Opportunitätskosten sind die ökonomischen Kosten. Wenn im Fall des [[perfekten Wettbewerbs]] von Nullgewinnen gesprochen wird, ist in der Regel von dem ökonomischen Gewinn die Rede. Wenn ein Unternehmen vor der Frage steht, ob es in den Markt eintreten soll oder in einen anderen, betrachtet es selbstverständlich nicht nur, ob positive bilanzielle Gewinne möglich sind. Wenn in Markt A Gewinne von 10 möglich sind und in Markt B Gewinne von 20, sind die Opportunitätskost von Markt A höher. Sollte es in Markt A einsteigen, entgehen dem Unternehmen Gewinne von 20 und bekommt nur einen Gewinn von 10. Das Modell des perfekten Wettbewerbs geht davon aus, dass im Gleichgewicht ökonomische Gewinne bei null liegen. Kein Unternehmen hat den Anreiz in einem Markt einzutreten oder auszutreten.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Sabine will sich Kinokarten für den neu erschienen "A Beautiful Mind" Film kaufen. Die Karten kosten jeweils 12 Euro. Der Film geht 2h 15 min. Angenommen ihr Stundenlohn beträgt 13 Euro.
|type="{}"}
Wie groß sind die Opportunitätskosten, wenn sich Sabine den Film anschaut? { 27 }€
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Sabine will sich Kinokarten für den neu erschienen "A Beautiful Mind" Film kaufen. Die Karten kosten jeweils 12 Euro. Der Film geht 2h 15 min. Angenommen ihr Stundenlohn beträgt 13 Euro.
|type="{}"}
Wie groß sind die ökonomischen Kosten, wenn Sabine ein Kinoticket kauft und sich den Film anschaut? { 39 }€
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Sunk costs sind Kosten, ...
|type="()"}
+ ...die in der Vergangenheit angefallen und unumkehrbar sind. Sie sollten keine Rolle für zukünftige Entscheidungen spielen.
- ...die in der Vergangenheit angefallen und unumkehrbar sind. Sie müssen für zukünftige Entscheidungen einbezogen werden.
- ...die in der Vergangenheit angefallen und umkehrbar sind. Sie sollten keine Rolle für zukünftige Entscheidungen spielen.
- ...die in der Vergangenheit angefallen und umkehrbar sind. Sie müssen für zukünftige Entscheidungen einbezogen werden.
</quiz>

Opportunitätskosten

2023-10-09T16:09:23Z

Leitzing:

==Definition==
Opportunitätskosten sind Kosten, die im Trade-off zwischen verschiedenen Opportunitäten (Möglichkeiten) entstehen. Sie sind der entgangene Nutzen oder entgangener Gewinn der Möglichkeiten, für die sich nicht entschieden wurde. Sie unterscheiden sich von den versunkenen Kosten (sunk cost).

__TOC__

==Opportunitätskosten==
Der Ausdruck "there is no such thing as a free lunch" wurde von Milton Friedman genutzt, um die Bedeutung der Opportunitätskosten zu verdeutlichen. Opportunitätskosten müssen bei der Entscheidung für eine von vielen Opportunitäten berücksichtigt werden. Jede Möglichkeit bietet einen Nutzen oder Gewinn, der entgeht, sollte sich die Entscheiderin oder der Entscheider gegen diese Opportunität entscheiden. Im Kontext des "free lunch" Satzes bedeutet dies, dass selbst wenn eine Person zu einem Mittagessen eingeladen wird, sie in dieser Zeit keinen anderen Aktivitäten nachgehen kann. Da sie isst, kann sie in der Zeit nicht arbeiten und bekommt keinen Lohn für die Arbeit. Die Opportunitätskosten für das eigentlich kostenlose Mittagessen ist der entgangene Lohn für diese Zeit. Die Arbeit ist jedoch auch nicht frei von Opportunitätskosten. Ein Mittagessen stiftet Sättigung, Gemeinschaft oder einfach kurz: Nutzen. Dieser Nutzen erlangt die Person nicht, wenn sie arbeitet. Die Opportunitätskosten der Arbeit sind dementsprechend der Nutzen des Mittagessens. 

''Ein weiteres Beispiel'': Vor der Klausurenphase stellt sich für viele Studierende die Frage: Soll ich in der Bibliothek lernen oder stattdessen mit meinen Freunden Feiern gehen? Das Feiern gehen stiftet einen Nutzen, da beim Feiern Freundschaften verstärkt werden, es Spaß macht und so weiter. Auch das Lernen stiftet einen Nutzen. Wer viel lernt, schreibt mit hoher Wahrscheinlichkeit auch gute Noten, bekommt einen besseren Job mit besserer Bezahlung oder den eigenen Wünschen entsprechenden Arbeit. Die Entscheidung für eine der beiden Möglichkeiten bedeutet, dass der Nutzen der anderen nicht erlangt werden kann. 

Die Beispiele zeigen, wie wesentlich die Opportunitätskosten sind. Sie sind schwer zu messen und zu begrenzen, weil sie nicht sichtbar und häufig nicht messbar sind. Dennoch müssen sie in einer rationalen Entscheidungsfindung berücksichtigt werden.

==Versunkene Kosten==
Versunkene Kosten sind Kosten, die Unumkehrbar sind. Da sie unumkehrbar sind sollten sie keine Rolle für weitere Entscheidungen spielen. Damit unterschieden sie sich wesentlich von den Opportunitätskosten. 
''Beispiel'': Eine große Stadt in Deutschland entscheidet sich ein Flughafen zu bauen. Hierbei kauft sie ein Grundstück und fängt an Gebäude zu bauen, die lediglich von Flughäfen verwendet werden können. Angenommen es sind bereits 5 Mio Euro investiert worden. Nach 2 Jahren Bauzeit bietet sich für die Stadt eine weitere Möglichkeit, an einem anderen Standort einen Flughafen zu bauen. An dem neuen Standort müsste die Stadt insgesamt 50 Mio Euro investieren. An dem alten Standort müssen aufgrund der besonderen örtlichen Gegebenheiten nochmal zusätzlich 51 Mio Euro bis zur Fertigstellung gezahlt werden. Die versunkenen Kosten sind die bereits geflossenen 5 Mio Euro. Es lässt sich kein Abnehmer für das Grundstück und die Gebäude finden, da diese spezifisch für Flughäfen sind. In der Entscheidungsfindung sollte die rationale Stadt den neuen Standort wählen.

==Ökonomischer Gewinn==
Der ökonomische Gewinn umfasst den Umsatz abzüglich aller real anfallender Kosten zusätzlich zu den Opportunitätskosten. Alle real anfallende Kosten addiert mit den Opportunitätskosten sind die ökonomischen Kosten. Wenn im Fall des [[perfekten Wettbewerbs]] von Nullgewinnen gesprochen wird, ist in der Regel von dem ökonomischen Gewinn die Rede. Wenn ein Unternehmen vor der Frage steht, ob es in den Markt eintreten soll oder in einen anderen, betrachtet es selbstverständlich nicht nur, ob positive bilanzielle Gewinne möglich sind. Wenn in Markt A Gewinne von 10 möglich sind und in Markt B Gewinne von 20, sind die Opportunitätskost von Markt A höher. Sollte es in Markt A einsteigen, entgehen dem Unternehmen Gewinne von 20 und bekommt nur einen Gewinn von 10. Das Modell des perfekten Wettbewerbs geht davon aus, dass im Gleichgewicht ökonomische Gewinne bei null liegen. Kein Unternehmen hat den Anreiz in einem Markt einzutreten oder auszutreten.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Sabine will sich Kinokarten für den neu erschienen "A Beautiful Mind" Film kaufen. Die Karten kosten jeweils 12 Euro. Der Film geht 2h 15 min. Angenommen ihr Stundenlohn beträgt 13 Euro.
|type="{}"}
Wie groß sind die Opportunitätskosten, wenn sich Sabine den Film anschaut? { 27 }€
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Sabine will sich Kinokarten für den neu erschienen "A Beautiful Mind" Film kaufen. Die Karten kosten jeweils 12 Euro. Der Film geht 2h 15 min. Angenommen ihr Stundenlohn beträgt 13 Euro.
|type="{}"}
Wie groß sind die ökonomischen Kosten, wenn Sabine ein Kinoticket kauft und sich den Film anschaut? { 39 }€
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Sunk costs sind Kosten, ...
|type="()"}
+ ...die in der Vergangenheit angefallen und unumkehrbar sind. Sie sollten keine Rolle für zukünftige Entscheidungen spielen.
- ...die in der Vergangenheit angefallen und unumkehrbar sind. Sie müssen für zukünftige Entscheidungen einbezogen werden.
- ...die in der Vergangenheit angefallen und umkehrbar sind. Sie sollten keine Rolle für zukünftige Entscheidungen spielen.
- ...die in der Vergangenheit angefallen und umkehrbar sind. Sie müssen für zukünftige Entscheidungen einbezogen werden.
</quiz>

Opportunitätskosten

2023-10-09T16:04:41Z

Leitzing:

==Definition==
Opportunitätskosten sind Kosten, die im Trade-off zwischen verschiedenen Opportunitäten (Möglichkeiten) entstehen. Sie sind der entgangene Nutzen oder entgangener Gewinn der Möglichkeiten, für die sich nicht entschieden wurde. Sie unterscheiden sich von den versunkenen Kosten (sunk cost).

__TOC__

==Opportunitätskosten==
Der Ausdruck "there is no such thing as a free lunch" wurde von Milton Friedman genutzt, um die Bedeutung der Opportunitätskosten zu verdeutlichen. Opportunitätskosten müssen bei der Entscheidung für eine von vielen Opportunitäten berücksichtigt werden. Jede Möglichkeit bietet einen Nutzen oder Gewinn, der entgeht, sollte sich die Entscheiderin oder der Entscheider gegen diese Opportunität entscheiden. Im Kontext des "free lunch" Satzes bedeutet dies, dass selbst wenn eine Person zu einem Mittagessen eingeladen wird, sie in dieser Zeit keinen anderen Aktivitäten nachgehen kann. Da sie isst, kann sie in der Zeit nicht arbeiten und bekommt keinen Lohn für die Arbeit. Die Opportunitätskosten für das eigentlich kostenlose Mittagessen ist der entgangene Lohn für diese Zeit. Die Arbeit ist jedoch auch nicht frei von Opportunitätskosten. Ein Mittagessen stiftet Sättigung, Gemeinschaft oder einfach kurz: Nutzen. Dieser Nutzen erlangt die Person nicht, wenn sie arbeitet. Die Opportunitätskosten der Arbeit sind dementsprechend der Nutzen des Mittagessens. 
 
''Ein weiteres Beispiel'': Vor der Klausurenphase stellt sich für viele Studierende die Frage: Soll ich in der Bibliothek lernen oder stattdessen mit meinen Freunden Feiern gehen? Das Feiern gehen stiftet einen Nutzen, da beim Feiern Freundschaften verstärkt werden, es Spaß macht und so weiter. Auch das Lernen stiftet einen Nutzen. Wer viel lernt, schreibt mit hoher Wahrscheinlichkeit auch gute Noten, bekommt einen besseren Job mit besserer Bezahlung oder den eigenen Wünschen entsprechenden Arbeit. Die Entscheidung für eine der beiden Möglichkeiten bedeutet, dass der Nutzen der anderen nicht erlangt werden kann. 
 
Die Beispiele zeigen, wie wesentlich die Opportunitätskosten sind. Sie sind schwer zu messen und zu begrenzen, weil sie nicht sichtbar und häufig nicht messbar sind. Dennoch müssen sie in einer rationalen Entscheidungsfindung berücksichtigt werden.

==Versunkene Kosten==
Versunkene Kosten sind Kosten, die Unumkehrbar sind. Da sie unumkehrbar sind sollten sie keine Rolle für weitere Entscheidungen spielen. Damit unterschieden sie sich wesentlich von den Opportunitätskosten. 
''Beispiel'': Eine große Stadt in Deutschland entscheidet sich ein Flughafen zu bauen. Hierbei kauft sie ein Grundstück und fängt an Gebäude zu bauen, die lediglich von Flughäfen verwendet werden können. Angenommen es sind bereits 5 Mio Euro investiert worden. Nach 2 Jahren Bauzeit bietet sich für die Stadt eine weitere Möglichkeit, an einem anderen Standort einen Flughafen zu bauen. An dem neuen Standort müsste die Stadt insgesamt 50 Mio Euro investieren. An dem alten Standort müssen aufgrund der besonderen örtlichen Gegebenheiten nochmal zusätzlich 51 Mio Euro bis zur Fertigstellung gezahlt werden. Die versunkenen Kosten sind die bereits geflossenen 5 Mio Euro. Es lässt sich kein Abnehmer für das Grundstück und die Gebäude finden, da diese spezifisch für Flughäfen sind. In der Entscheidungsfindung sollte die rationale Stadt den neuen Standort wählen.

==Ökonomischer Gewinn==
Der ökonomische Gewinn umfasst den Umsatz abzüglich aller real anfallender Kosten zusätzlich zu den Opportunitätskosten. Alle real anfallende Kosten addiert mit den Opportunitätskosten sind die ökonomischen Kosten. Wenn im Fall des [[perfekten Wettbewerbs]] von Nullgewinnen gesprochen wird, ist in der Regel von dem ökonomischen Gewinn die Rede. Wenn ein Unternehmen vor der Frage steht, ob es in den Markt eintreten soll oder in einen anderen, betrachtet es selbstverständlich nicht nur, ob positive bilanzielle Gewinne möglich sind. Wenn in Markt A Gewinne von 10 möglich sind und in Markt B Gewinne von 20, sind die Opportunitätskost von Markt A höher. Sollte es in Markt A einsteigen, entgehen dem Unternehmen Gewinne von 20 und bekommt nur einen Gewinn von 10. Das Modell des perfekten Wettbewerbs geht davon aus, dass im Gleichgewicht ökonomische Gewinne bei null liegen. Kein Unternehmen hat den Anreiz in einem Markt einzutreten oder auszutreten.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Sabine will sich Kinokarten für den neu erschienen "A Beautiful Mind" Film kaufen. Die Karten kosten jeweils 12 Euro. Der Film geht 2h 15 min. Angenommen ihr Stundenlohn beträgt 13 Euro.
|type="{}"}
Wie groß sind die Opportunitätskosten, wenn sich Sabine den Film anschaut? { 27 }€
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Sabine will sich Kinokarten für den neu erschienen "A Beautiful Mind" Film kaufen. Die Karten kosten jeweils 12 Euro. Der Film geht 2h 15 min. Angenommen ihr Stundenlohn beträgt 13 Euro.
|type="{}"}
Wie groß sind die ökonomischen Kosten, wenn Sabine ein Kinoticket kauft und sich den Film anschaut? { 39 }€
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Sunk costs sind Kosten, ...
|type="()"}
+ ...die in der Vergangenheit angefallen und unumkehrbar sind. Sie sollten keine Rolle für zukünftige Entscheidungen spielen.
- ...die in der Vergangenheit angefallen und unumkehrbar sind. Sie müssen für zukünftige Entscheidungen einbezogen werden.
- ...die in der Vergangenheit angefallen und umkehrbar sind. Sie sollten keine Rolle für zukünftige Entscheidungen spielen.
- ...die in der Vergangenheit angefallen und umkehrbar sind. Sie müssen für zukünftige Entscheidungen einbezogen werden.
</quiz>

Maximieren

2023-10-09T15:58:10Z

Leitzing:

Das Maximieren von Funktionen wird genutzt, um lokale und globale Extremstellen (Maxima) von Funktionen zu finden.

__TOC__

==Maximieren==
Ein lokaler Hochpunkt ist ein Punkt auf einer Funktion, dessen x-Wert in seiner lokalen Umgebung, der höchste y-Wert zugeordnet wird. Wird in der Funktionsgleichung ein etwas kleinerer oder etwas größerer x-Wert eingesetzt, kommt immer ein kleinerer y-Wert raus als im lokalen Optimum. Der Hochpunkt ist auch ein globaler Hochpunkt, wenn dies nicht nur für die marginale Umgebung, sondern für alle <math> x \in \mathbb{R} </math> gilt. Vor einem Hochpunkt steigt dementsprechend die Funktion und nach dem Hochpunkt sinkt sie. 
Bei einem lokalen Tiefpunkt ist der y-Wert lokal der niedrigste und nicht der größte. 
In der Analyse auf Extrempunkte ist die Steigung ein entscheidender Faktor. Hierfür werden zwei Bedingungen aufgestellt.

==Bedingung erster Ordnung==
Die Bedingung erster Ordnung (oder auch Notwendige Bedingung) lautet <math> f'(x)\overset{!}{=}0 </math> 
Wenn bei einem Extrempunkt die Funktion erst steigt und dann fällt oder andersherum, muss es im Extremum einen Punkt geben, in dem die Funktion weder steigt noch fällt und eine Steigung von 0 hat. Die erste Ableitung beschreibt die Steigung der Funktion und wird daher auch Steigungsfunktion genannt. Sie bestimmt die Steigung der Funktion in jedem x-Wert. Bei <math> f(x)\overset{!}{=}0 </math> ist der Punkt gesucht, in dem die Steigung gleich null ist. 
[[Datei:Hochpunkt1.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Tiefpunkt1.png|300px|rahmenlos]] 
 
Im Extrempunkt, egal ob Hochpunkt oder Tiefpunkt, ist die Steigung der Funktion null. Eine Tangente, die die Steigung in dem Punkt beschreibt, ist eine horizontale Gerade. Ein Steigungsdreieck an der Tangente würde rechnerisch eine Steigung von null ergeben. 
Die Bedingung erster Ordnung untersucht, ob ein Extrempunkt vorliegt.

==Bedingung zweiter Ordnung==
Die Bedingung zweiter Ordnung (oder auch hinreichende Bedingung) lautet ergänzend zu der Bedingung erster Ordnung <math> f''(x)<0 </math> für einen Hochpunkt und <math> f''(x)>0 </math> für einen Tiefpunkt. 
Die Bedingung zweiter Ordnung untersucht die Steigung der ersten Ableitung. Die Formeln lassen sich bereits mit den Abbildungen oben erläutern. Bei einem Hochpunkt ist die Steigung linksseitig vom Extrempunkt positiv und nähert sich null an. Nach dem Extrempunkt ist die Steigung negativ. Die Abbildungen zeigen die Bedingung erster und zweiter Ordnung. 
[[Datei:Hochpunkt2.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Tiefpunkt2.png|300px|rahmenlos]] 
[[Datei:Hochpunkt3.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Tiefpunkt3.png|300px|rahmenlos]] 
 
Ist die Steigung der ersten Ableitung (g'(x)) negativ, wird die Steigung der Funktion (g(x)) mit der Zeit immer kleiner. Das bedeutet, dass die Steigung der Funktion erst positiv ist, dann irgendwann gleich null ist, bis die Steigung negativ wird, was zur Folge hat das die Funktion fallend ist. Mathematisch formal ist es notwendig die Extremstellen auch auf die zweite Bedingung zu untersuchen. Zum einen, um herauszufinden welcher der beiden Fälle vorliegt und zum anderen, um andere mathematische Eigenschaften wie einen Sattelpunkt auszuschließen.

==Gewinnfunktion==
In der Mikroökonomie gilt es häufig eine Unternehmensentscheidung zu treffen. Wie viel soll ein Unternehmen gewinnmaximal anbieten (q)? Hierfür ist die [[Vergleich Gewinnmaximum bei unterschiedlichen Marktformen#Die Gewinnfunktion|Gewinnfunktion]] notwendig. 
[[Datei:Gewinnfunktion.png|300px|rahmenlos]] 
 
Die Gewinnfunktion ist in den meisten Fällen eine quadratische Funktion, die nach unten geöffnet ist. In der Frage, welche Menge gewinnmaximal ist, muss untersucht werden, zu welchem q-Wert der größte Gewinn zugeordnet werden kann. Um den Punkt rechnerisch zu bestimmen kann die erste Ableitung der Gewinnfunktion gebildet und berechnet werden, bei welchem q-Wert die erste Ableitung gleich null ist.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Funktion <math> f(x)=3x^4+4x^3 </math> besitzt in <math> x=-1 </math> ein Extrempunkt. Worum handelt es sich?
|type="()"}
+ globales Minimum, die Funktion besitzt keinen x-Wert, bei dem y kleiner ist.
- lokales Minimum, die Funktion besitzt einen x-Wert, bei dem y kleiner ist.
- globales Maximum, die Funktion besitzt keinen x-Wert, bei dem y größer ist.
- globales Maximum, die Funktion besitzt einen x-Wert, bei dem y größer ist.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Unternehmen hat folgende Gewinnfunktion: <math> \pi=(100-Q)Q-(1000+5Q^2+10Q) </math>. Welche Menge sollte das Unternehmen gewinnmaximal wählen?
|type="()"}
+ Q=7,5
- Q=2
- Q=3,5
- Q=4
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Angenommen die Funktion <math> f(x)=3x^4+4x^3 </math> besitzt in <math> x=0 </math> ein Extrempunkt. Worum handelt es sich?
|type="()"}
- Minimum.
- Maximum.
+ Weder noch.
- Die Funktion besitzt in <math> x=0 </math> gar kein Extrempunkt.
</quiz>

Axiome der Nutzentheorie

2023-10-09T14:58:00Z

Leitzing:

Konsumenten besitzen Präferenzen, die sie beispielsweise im Konsumverhalten aufweisen. Damit viele Modelle konsistent und plausibel sind, müssen grundlegende Annahmen über Präferenzen getroffen werden, die auch Axiome genannt werden. Im Weiteren muss zwischen <math> > </math> und <math> \succ </math> unterschieden werden. Ersteres zeigt an, dass die linke Seite größer ist als die rechte. Zweiteres gibt an, dass die linke Seite gegenüber der rechten präferiert wird.

__TOC__

==Rationalität==
Präferenzen sind rational, wenn sie vollständig und transitiv sind.

===Vollständigkeit===
''Vollständigkeit'': für alle <math> x,y \in X</math>, muss <math> x \succeq y </math> oder <math> y \succeq x </math> (oder beides) gelten. 
Die formale Schreibweise oben beschreibt die Annahme, dass Konsumenten von allen möglichen Auswahlmöglichkeiten (X) diese untereinander bewerten können. Das heißt ein Konsument präferiert beispielsweise ein Konsumgüterbündel x einem Bündel y oder andersherum. Alternativ kann ein Konsument auch indifferent zwischen den beiden Konsumgüterbündeln sein. In diesem Fall spielt es für den Konsumenten keine Rolle, ob er sich für x oder für y entscheidet. Vollständige Präferenzen schließen explizit den Fall aus, in dem sich ein Konsument nicht entscheiden kann. 
'''Beispiel für vollständige Präferenzen''': In einem Kino gibt es zusätzlich zu einer Kinokarte auch ein Snack-Menü gratis zur Auswahl. Arun besucht dieses Kino und hat die Wahl zwischen einer kleinen Portion Popcorn mit einem halben Liter Cola (Konsumbündel x) und einer großen Portion Popcorn ohne Getränk (Konsumbündel y). Besitzt Arun vollständige Präferenzen, präferiert er den Fall x gegenüber dem Bündel y (<math> x \succeq y</math>), er präferiert Bündel y gegenüber dem Bündel x (<math> y \succeq x </math>) oder er ist indifferent (<math> x \backsim y</math>).

===Transitivität===
''Transitivität'': Für alle <math> x,y,z \in X </math> muss <math> x \succeq z </math> gelten, wenn <math> x \succeq y </math> und <math> y \succeq z </math> gilt. 
Transitivität sichert, dass die Konsumentenpräferenzen konsistent und somit rational sind. Ähnlichkeit besteht zu Größenverhältnissen: wenn Lisa größer ist als Anna und diese größerals Sarah, dann ist Lisa auch größer als Sarah. Nicht in allen Situationen halten vergleichende Beziehungen der Transitivitätsannahme stand. So bedeutet der Umstand, dass Schalke04 gegen den Borussia Dortmund gewonnen hat und Schalke gegen Bayern München verloren hat, noch lange nicht, dass Dortmund gegen die Bayern verliert. 
Die mathematische Schreibweise oben beschreiben, dass die Güter als besser oder gleich wahrgenommen werden. Die Transitivitätsannahme hält auch für strikt präferierte Konsumgüterbündel. Gleichzeitig gilt die Annahme auch, wenn ein Konsument indifferent zwischen den verschiedenen Konsumgüterbündel ist: 
Für alle <math> x,y,z \in X </math> muss <math> x \succ z </math> gelten, wenn <math> x \succ y </math> und <math> y \succ z </math> gilt. 
Für alle <math> x,y,z \in X </math> muss <math> x \backsim z </math> gelten, wenn <math> x \backsim y </math> und <math> y \backsim z </math> gilt.

==Lokale Nicht Sättigung==
''Lokale Nicht Sättigung'': für alle <math> x \in X </math> und jedem <math> \epsilon \in X </math> existiert ein <math> y \in X </math> für das <math> ||y-x||\leq \epsilon </math> und <math> y \succ x </math> gilt. 
Die mathematische Schreibweise der lokalen Sättigung beschreibt das Phänomen, dass unter der Annahme der lokalen Nichtsättigung ein y in der Nähe von x existiert, dass gegenüber y präferiert wird. Das <math> \epsilon </math> ist hierbei der Abstand zwischen x und y, der betragsmäßig sehr klein sein soll (<math> ||y-x||\leq \epsilon </math>). Dies lässt sich als eine Art Ball um den Punkt x verstehen. Kann durch minimale Anpassungen des Konsumpunkts das Nutzenniveau erhöht werden, wird die Annahme der lokalen Nicht Sättigung nicht verletzt. Grafisch muss eine Indifferenzkurve nahe der alten Indifferenzkurve, auf der sich der Punkt x befindet, ein höheres Nutzenniveau bedeuten, damit die Annahme nicht verletzt ist. Ein neuer Punkt y kann irgendwo auf dem gestrichelten Ball liegen. Egal ob die neue Indifferenzkurve oberhalb, unterhalb, rechts oder links der alten Indifferenzkurve verläuft, sobald sie ein höheres Nutzenniveau bedeutet, sind die Präferenzen lokal nicht gesättigt. In dem linken Beispiel soll <math> U_1<U_2 </math> gelten. Ausgehend vom Punkt x bringt der Punkt y ein höheres Nutzenniveau, da es auf <math> U_2 </math> liegt. Auch in dem rechten Beispiel soll <math> U_1<U_2 </math> gelten. Erneut existiert ausgehend vom Punkt x ein Punkt y in der Nähe, der ein höheres Nutzenniveau bedeutet. Auch im rechten Beispiel ist die Annahme der lokal nicht gesättigten Präferenzen nicht verletzt, obwohl ein geringeres Konsumniveau einen höheren Nutzen bedeutet. Informal bedeutet die Annahme der lokalen nicht Sättigung "Irgendwo in der Nähre ist es besser". 
[[Datei:NichtSättigung1.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:NichtSättigung2.png|400px|rahmenlos]]

==Monotonie==
''Monotonie'': Wenn <math> x_D > x_A </math> und <math> y_D \geq y_A </math>, dann muss <math> D \backsim A </math> gelten. 
Die Monotonie besagt "Mehr ist besser". Sobald ein Konsumgüterbündel von einem der Güter mehr und von dem anderen mindestens gleich viel beinhaltet, muss dieses präferiert werden. Dies kann grafisch dargestellt werden. Angenommen die zu betrachtenden Konsumgüterbündel bestehen aus einer Menge des Gutes x und des Gutes y. Im Bündel A besitzt der Konsument eine Menge <math> x_a </math> und eine Menge <math> y_A </math>. Neben A stehen noch die Bündel B, C und D zur Auswahl, die der Konsument ausgehend von A bewerten soll. Die Monotonie Annahme sagt aus, dass sobald der Konsument in einem neuen Bündel mehr von dem Gut x konsumiert und mindestens genauso viel von y, er dieses neue Bündel präferieren muss. Mehr von <math> x_A </math> bedeutet der neue Punkt liegt im Koordinatensystem rechts davon (rote Fläche). Mindestens genauso viel als <math> y_A </math> bedeutet genau <math> y_A </math> oder oberhalb (blaue Fläche). Die Schnittmenge erfüllt beide Bedingungen (Fläche in lila). Jedes Bündel, das in der lila gefärbten Fläche liegt, muss gegenüber A präferiert werden. Über jedes andere Bündel lässt sich keine Aussage treffen, ob eben dieses gegenüber A präferiert wird. In der Abbildung unten sind Bündel B und C zwei, bei denen nicht genau gesagt werden kann, ob ein Konsument diese gegenüber präferiert oder nicht. Bündel B verfügt über weniger x und Bündel C über weniger y als Bündel A. 
[[Datei:Monotonie.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:Monotonie2.png|400px|rahmenlos]]
 
 
In der rechten Abbildung sind Indiffernzkurven eingezeichnet. Jeder Punkt in dem Koordinatensystem liegt auf einer Indifferenzkurve. Punkt A liegt auf <math> U_1 </math> und Punkt D liegt auf <math> U_2 </math>. Gilt <math> U_2>U_1 </math> ist die Monotonie Annahme nicht verletzt, gilt jedoch <math> U_1>u_2 </math>, ist die Annahme verletzt. Es ist offensichtlich, dass die Monotonie ein Spezialfall der lokalen Nicht Sättigung darstellt. Bei der lokalen Nicht Sättigung reicht es, dass Bündel irgendwo in der Nähe besser bewertet werden. Bei der Monotonie wird festgehalten, wo diese "besseren" Bündel liegen dürfen. Das rechte Beispiel der [[Axiome der Nutzentheorie#Lokale Nicht Sättigung|lokalen Nicht Sättigung]] verletzt beispielsweise die Annahme der lokalen Nicht Sättigung nicht, jedoch die Annahme der Monotonie. Ein höheres Nutzenniveau kann in dem Beispiel überall außerhalb der Fläche in lila gefunden werden.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Dass sich Indifferenzkurven nicht schneiden können ist auf welche der Annahmen zurückzuführen?
|type="()"}
+ Transitivität
- Vollständigkeit
- Lokale Nicht Sättigung
- Monotonie
</quiz>

[[Datei:AxiomMC1.png|250px|rahmenlos]]
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Annahme über Präferenzen ist in der Abbildung oben verletzt, wenn <math> U_2>U_1 </math> gilt?
|type="()"}
- Transitivität
- Vollständigkeit
- Lokale Nicht Sättigung
+ Monotonie
</quiz>

[[Datei:AxiomMC2.png|250px|rahmenlos]]
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Annahme über Präferenzen ist in der Abbildung oben verletzt, wenn <math> U_1<U_2<U_3<... </math> gilt?
|type="()"}
- Transitivität
- Vollständigkeit
+ Lokale Nicht Sättigung
- Rationalität
</quiz>

Marktformen

2023-10-09T14:54:17Z

Leitzing:

Marktformen unterscheiden sich darin, wie viel Marktmacht die beiden Marktseiten jeweils haben. Die Marktmacht äußert sich häufig darin, wie viel Einfluss die Marktseiten auf die Preisbildung haben. 
[[Datei:Wettbewerb.png|900px|rahmenlos]]

__TOC__

==Perfekter Wettbewerb==
Im perfekten Wettbewerb (Polypol) besitzt keine der Marktseiten Marktmacht. Dies ist mit einigen Eigenschaften auf dem Markt verbunden. 

===Preisnehmertum===
Im Polypol sind alle Akteure '''Preisnehmer'''. Im Beispiel des Unternehmens bedeutet dies, dass es zwar einen Preis frei wählen kann, dieser jedoch keinen Einfluss auf den Marktpreis hat. Liegt der Marktpreis bei 10€ und das Unternehmen setzt seinen Preis auf 11€, hat es zwar seinen eigenen Preis beeinflusst, jedoch werden die Konsumenten den Preis von 10€ der anderen Unternehmen bevorzugen. Dies setzt Anreize den Preis so gering wie möglich zu setzen. Der Preis wird im [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb]] so hoch sein, wie die Kosten der letzten produzierten Einheiten waren. Die [[Angebot|Angebotsfunktion]] entspricht dementsprechend der [[Kostenarten#Grenzkosten|Grenzkostenkurve]]. Die [[Nachfrage]] beschreibt welchen Preis die Konsumenten für welche Menge bereit sind zu zahlen. Im [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb]] entspricht die nachgefragte Menge zu einem Preis der angebotenen Menge zu demselben Preis. 
<math> Q_D(P)=Q_S(P) </math> 
[[Datei:Gleichgewicht.png|400px|rahmenlos]]

===Perfekte und symmetrische Informationen===
Das [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb]] setzt voraus, dass alle Marktseiten über alle Informationen verfügen. Dies impliziert, dass asymmetrische Informationen und damit das [[Adverse Selektion und Signale|Adverse Selektions-]] und das [[Moral Hazard und Anreize|Moral Hazard]]-Problem nicht existieren. Alle Konsumenten und Produzenten verfügen beispielsweise über die Information, dass der Marktpreis bei 10€ liegt. Kein Konsument würde mit dieser Info einen Preis über 10€ annehmen. Genauso kann ein Unternehmen steuern, dass es zu dem Preis von 10€ produziert.

===Keine Transaktionskosten===
Transaktionskosten sind Kosten, die während dem Abschluss eines Geschäftsabschlusses neben dem eigentlichen Preis anfallen können. Dies sind beispielsweise Kosten, die durch die Suche nach einem besonders günstigen Angebot entstehen. Die Kosten können nicht nur finanzieller, sondern auch zeitlicher Natur sein. Im Perfekten Wettbewerb dürfen keine Transaktionskosten existieren. 
''Beispiel'': Einige Wohnungsanbieter, die als Plattform zur Vermittlung von Mietwohnungen dienen, haben ein Premium Modell. Nur für eine monatliche Gebühr können alle Angebote angeschrieben werden. Daneben gibt es noch andere Vorteile, die allesamt Transaktionskosten darstellen.

===Keine Größenvorteile (economies of scale)===
Größenvorteile bedeuten, dass selbst in einem Markt, in dem alle Unternehmen dieselbe [[Produktionsfunktion und Isoquante#Die Produktionsfunktion|Produktionsfunktion]] haben, einen Vorteil besitzen, wenn sie größer sind als andere Unternehmen. Die Vorteile entstehen durch [[Skalenerträge]]. Positive Skalenerträge würden bedeuten, dass eine Verdopplung der Inputfaktoren, der Output mehr als verdoppelt wird. Es entsteht der Anreiz immer größer zu werden und so immer mehr Marktmacht zu erlangen. Unter [[Skalenerträge#Konstante Skalenerträge|konstanten Skalenerträgen]] liegen die Vorteile nicht vor. 
[[Datei:KonstanteSE.png|400px|rahmenlos]]

==Oligopol==
Die Marktform des Oligopols liegt vor, wenn es viele Nachfrager aber wenige Anbieter auf einem Markt gibt. Dadurch können die Anbieter Marktmacht besitzen, auch wenn diese wenigen Anbieter im Wettbewerb zueinander stehen. Gründe können hier zum Beispiel in Marktzutrittsbeschränkungen liegen, die verhindern, dass Unternehmen ohne weiteres ein bestimmtes Gut produzieren. Unternehmen innerhalb des Oligopols können als strategische Variable den Preis oder die Menge wählen. Zudem können sie mittels Werbung, Möglichkeit zur Konfiguration des eigenen Produkts oder anderen Möglichkeiten Produktdifferenzierung betreiben. Ausgehend davon ergeben sich Preis- oder Mengenwettbewerbe mit differenzierten oder undifferenzierten Gütern. Für eine genauere der einzelnen Wettbewerbe, sie [[Oligopole|hier]].

==Oligopson==
Das Oligpson zeichnet sich durch eine geringe Anzahl an Konsumenten und einer großen Anzahl an Produzenten aus. In diesem Fall haben die Konsumenten Marktmacht, die sich auf die Preisbildung auswirkt.

==Monopol==
Die Marktform des Monopols zeichnet sich durch eine große Anzahl an Konsumenten und einem einzigen Produzenten aus. Im perfekten Wettbewerb hat die große Anzahl an Produzenten den Marktpreis auf [[Kostenarten#Grenzkosten|Grenzkostenniveau]] gehalten. Im Monopol kann der Produzent durch seine eigenen Entscheidungen den Preis beeinflussen und so den Gewinn strategisch [[Vergleich Gewinnmaximum bei unterschiedlichen Marktformen#Gewinnmaximierung im Monopol|maximieren]]. Der Preis ist abhängig davon, wie viel der Monopolist produziert. Ist die Menge eines Gutes auf seinem Markt gering, ist der Preis groß. Existiert hingegen sehr viel von einem Gut, ist der Preis geringer. Es gilt: 
<math> P(Q) </math> und <math> \frac{\part P(Q)}{Q}<0 </math> 
Der Monopolist maximiert seinen Gewinn <math> \Pi=P(Q)Q-C(Q) </math> Für eine ausführlichere Erklärung des Gewinnmaximierens im Monopolfall, siehe [[Vergleich Gewinnmaximum bei unterschiedlichen Marktformen#Gewinnmaximierung im Monopol|hier]] 
[[Datei:Monopolist.png|400px|rahmenlos]]

==Monopson==
Die Marktform des Monospon zeichnet sich durch viele Anbieter und einem einzigen Nachfrager aus. Die Intuition ist umgekehrt zum Monopol-Fall. Der Monosponist maximiert seinen Nutzen, bzw. seinen Gewinn. Dieser stellt sich aus dem Wert, den der Monosponisten der nachgefragten Menge zumisst, abzüglich den Ausgaben. 
<math> \pi_{Monopsonist}=V(Q)-E(Q) </math> 
mit V(Q) als Wert der Menge und E(Q) als Ausgaben für die getätigte Menge. Er maximiert seinen Gewinn durch <math> \frac{\part \pi}{\part Q} </math>. Hierdurch ergibt sich: Grenzwert=Grenzausgaben (MV=ME). 
[[Datei:Monopson.png|400px|rahmenlos]]

==MC Fragen==
Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? 
<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Wenige Anbieter bedeuten immer eine große Marktmacht
|type="()"}
- wahr
+ falsch
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Transaktionskosten entstehen, wenn sich ein Konsument gegen ein Gut entscheidet, um sich für ein anderes zu entscheiden. Sie bestehen darin, dass der Konsument den Nutzen des Gutes nicht erfährt, für das er sich nicht entscheidet
|type="()"}
- wahr
+ falsch
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Im Monopolfall maximiert der Monopolist seine Produzentenrente, ohne das Ziel zu verfolgen die Gesamtrente möglichst groß zu halten.
|type="()"}
+ wahr
- falsch
</quiz>

Marktformen

2023-10-09T14:53:46Z

Leitzing:

Marktformen unterscheiden sich darin, wie viel Marktmacht die beiden Marktseiten jeweils haben. Die Marktmacht äußert sich häufig darin, wie viel Einfluss die Marktseiten auf die Preisbildung haben. 
[[Datei:Wettbewerb.png|900px|rahmenlos]]

__TOC__

==Perfekter Wettbewerb==
Im perfekten Wettbewerb (Polypol) besitzt keine der Marktseiten Marktmacht. Dies ist mit einigen Eigenschaften auf dem Markt verbunden. 

===Preisnehmertum===
Im Polypol sind alle Akteure '''Preisnehmer'''. Im Beispiel des Unternehmens bedeutet dies, dass es zwar einen Preis frei wählen kann, dieser jedoch keinen Einfluss auf den Marktpreis hat. Liegt der Marktpreis bei 10€ und das Unternehmen setzt seinen Preis auf 11€, hat es zwar seinen eigenen Preis beeinflusst, jedoch werden die Konsumenten den Preis von 10€ der anderen Unternehmen bevorzugen. Dies setzt Anreize den Preis so gering wie möglich zu setzen. Der Preis wird im [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb]] so hoch sein, wie die Kosten der letzten produzierten Einheiten waren. Die [[Angebot|Angebotsfunktion]] entspricht dementsprechend der [[Kostenarten#Grenzkosten|Grenzkostenkurve]]. Die [[Nachfrage]] beschreibt welchen Preis die Konsumenten für welche Menge bereit sind zu zahlen. Im [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb]] entspricht die nachgefragte Menge zu einem Preis der angebotenen Menge zu demselben Preis. 
<math> Q_D(P)=Q_S(P) </math> 
[[Datei:Gleichgewicht.png|400px|rahmenlos]]

===Perfekte und symmetrische Informationen===
Das [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb]] setzt voraus, dass alle Marktseiten über alle Informationen verfügen. Dies impliziert, dass asymmetrische Informationen und damit das [[Adverse Selektion und Signale|Adverse Selektions-]] und das [[Moral Hazard und Anreize|Moral Hazard]]-Problem nicht existieren. Alle Konsumenten und Produzenten verfügen beispielsweise über die Information, dass der Marktpreis bei 10€ liegt. Kein Konsument würde mit dieser Info einen Preis über 10€ annehmen. Genauso kann ein Unternehmen steuern, dass es zu dem Preis von 10€ produziert.

===Keine Transaktionskosten===
Transaktionskosten sind Kosten, die während dem Abschluss eines Geschäftsabschlusses neben dem eigentlichen Preis anfallen können. Dies sind beispielsweise Kosten, die durch die Suche nach einem besonders günstigen Angebot entstehen. Die Kosten können nicht nur finanzieller, sondern auch zeitlicher Natur sein. Im Perfekten Wettbewerb dürfen keine Transaktionskosten existieren. 
''Beispiel'': Einige Wohnungsanbieter, die als Plattform zur Vermittlung von Mietwohnungen dienen, haben ein Premium Modell. Nur für eine monatliche Gebühr können alle Angebote angeschrieben werden. Daneben gibt es noch andere Vorteile, die allesamt Transaktionskosten darstellen.

===Keine Größenvorteile (economies of scale)===
Größenvorteile bedeuten, dass selbst in einem Markt, in dem alle Unternehmen dieselbe [[Produktionsfunktion und Isoquante#Die Produktionsfunktion|Produktionsfunktion]] haben, einen Vorteil besitzen, wenn sie größer sind als andere Unternehmen. Die Vorteile entstehen durch [[Skalenerträge]]. Positive Skalenerträge würden bedeuten, dass eine Verdopplung der Inputfaktoren, der Output mehr als verdoppelt wird. Es entsteht der Anreiz immer größer zu werden und so immer mehr Marktmacht zu erlangen. Unter [[Skalenerträge#Konstante Skalenerträge|konstanten Skalenerträgen]] liegen die Vorteile nicht vor. 
[[Datei:KonstanteSE.png|400px|rahmenlos]]

==Oligopol==
Die Marktform des Oligopols liegt vor, wenn es viele Nachfrager aber wenige Anbieter auf einem Markt gibt. Dadurch können die Anbieter Marktmacht besitzen, auch wenn diese wenigen Anbieter im Wettbewerb zueinander stehen. Gründe können hier zum Beispiel in Marktzutrittsbeschränkungen liegen, die verhindern, dass Unternehmen ohne weiteres ein bestimmtes Gut produzieren. Unternehmen innerhalb des Oligopols können als strategische Variable den Preis oder die Menge wählen. Zudem können sie mittels Werbung, Möglichkeit zur Konfiguration des eigenen Produkts oder anderen Möglichkeiten Produktdifferenzierung betreiben. Ausgehend davon ergeben sich Preis- oder Mengenwettbewerbe mit differenzierten oder undifferenzierten Gütern. Für eine genauere der einzelnen Wettbewerbe, sie [[Oligopole|hier]].

==Oligopson==
Das Oligpson zeichnet sich durch eine geringe Anzahl an Konsumenten und einer großen Anzahl an Produzenten aus. In diesem Fall haben die Konsumenten Marktmacht, die sich auf die Preisbildung auswirkt.

==Monopol==
Die Marktform des Monopols zeichnet sich durch eine große Anzahl an Konsumenten und einem einzigen Produzenten aus. Im perfekten Wettbewerb hat die große Anzahl an Produzenten den Marktpreis auf [[Kostenarten#Grenzkosten|Grenzkostenniveau]] gehalten. Im Monopol kann der Produzent durch seine eigenen Entscheidungen den Preis beeinflussen und so den Gewinn strategisch [[Vergleich Gewinnmaximum bei unterschiedlichen Marktformen#Gewinnmaximierung im Monopol|maximieren]]. Der Preis ist abhängig davon, wie viel der Monopolist produziert. Ist die Menge eines Gutes auf seinem Markt gering, ist der Preis groß. Existiert hingegen sehr viel von einem Gut, ist der Preis geringer. Es gilt: 
<math> P(Q) </math> und <math> \frac{\part P(Q)}{Q}<0 </math> 
Der Monopolist maximiert seinen Gewinn <math> \Pi=P(Q)Q-C(Q) </math> Für eine ausführlichere Erklärung des Gewinnmaximierens im Monopolfall, siehe [[Vergleich Gewinnmaximum bei unterschiedlichen Marktformen#Gewinnmaximierung im Monopol|hier]] 
[[Datei:Monopolist.png|400px|rahmenlos]]

==Monopson==
Die Marktform des Monospon zeichnet sich durch viele Anbieter und einem einzigen Nachfrager aus. Die Intuition ist umgekehrt zum Monopol-Fall. Der Monosponist maximiert seinen Nutzen, bzw. seinen Gewinn. Dieser stellt sich aus dem Wert, den der Monosponisten der nachgefragten Menge zumisst, abzüglich den Ausgaben. 
<math> \pi_{Monopsonist}=V(Q)-E(Q) </math> 
mit V(Q) als Wert der Menge und E(Q) als Ausgaben für die getätigte Menge. Er maximiert seinen Gewinn durch <math> \frac{\part \pi}{\part Q} </math>. Hierdurch ergibt sich: Grenzwert=Grenzausgaben (MV=ME) 
[[Datei:Monopson.png|400px|rahmenlos]]

==MC Fragen==
Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? 
<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Wenige Anbieter bedeuten immer eine große Marktmacht
|type="()"}
- wahr
+ falsch
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Transaktionskosten entstehen, wenn sich ein Konsument gegen ein Gut entscheidet, um sich für ein anderes zu entscheiden. Sie bestehen darin, dass der Konsument den Nutzen des Gutes nicht erfährt, für das er sich nicht entscheidet
|type="()"}
- wahr
+ falsch
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Im Monopolfall maximiert der Monopolist seine Produzentenrente, ohne das Ziel zu verfolgen die Gesamtrente möglichst groß zu halten.
|type="()"}
+ wahr
- falsch
</quiz>

Marktformen

2023-10-09T14:53:00Z

Leitzing:

Marktformen unterscheiden sich darin, wie viel Marktmacht die beiden Marktseiten jeweils haben. Die Marktmacht äußert sich häufig darin, wie viel Einfluss die Marktseiten auf die Preisbildung haben. 
[[Datei:Wettbewerb.png|900px|rahmenlos]]

__TOC__

==Perfekter Wettbewerb==
Im perfekten Wettbewerb (Polypol) besitzt keine der Marktseiten Marktmacht. Dies ist mit einigen Eigenschaften auf dem Markt verbunden. 

===Preisnehmertum===
Im Polypol sind alle Akteure '''Preisnehmer'''. Im Beispiel des Unternehmens bedeutet dies, dass es zwar einen Preis frei wählen kann, dieser jedoch keinen Einfluss auf den Marktpreis hat. Liegt der Marktpreis bei 10€ und das Unternehmen setzt seinen Preis auf 11€, hat es zwar seinen eigenen Preis beeinflusst, jedoch werden die Konsumenten den Preis von 10€ der anderen Unternehmen bevorzugen. Dies setzt Anreize den Preis so gering wie möglich zu setzen. Der Preis wird im [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb]] so hoch sein, wie die Kosten der letzten produzierten Einheiten waren. Die [[Angebot|Angebotsfunktion]] entspricht dementsprechend der [[Kostenarten#Grenzkosten|Grenzkostenkurve]]. Die [[Nachfrage]] beschreibt welchen Preis die Konsumenten für welche Menge bereit sind zu zahlen. Im [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb]] entspricht die nachgefragte Menge zu einem Preis der angebotenen Menge zu demselben Preis. 
<math> Q_D(P)=Q_S(P) </math> 
[[Datei:Gleichgewicht.png|400px|rahmenlos]]

===Perfekte und symmetrische Informationen===
Das [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb]] setzt voraus, dass alle Marktseiten über alle Informationen verfügen. Dies impliziert, dass asymmetrische Informationen und damit das [[Adverse Selektion und Signale|Adverse Selektions-]] und das [[Moral Hazard und Anreize|Moral Hazard]]-Problem nicht existieren. Alle Konsumenten und Produzenten verfügen beispielsweise über die Information, dass der Marktpreis bei 10€ liegt. Kein Konsument würde mit dieser Info einen Preis über 10€ annehmen. Genauso kann ein Unternehmen steuern, dass es zu dem Preis von 10€ produziert.

===Keine Transaktionskosten===
Transaktionskosten sind Kosten, die während dem Abschluss eines Geschäftsabschlusses neben dem eigentlichen Preis anfallen können. Dies sind beispielsweise Kosten, die durch die Suche nach einem besonders günstigen Angebot entstehen. Die Kosten können nicht nur finanzieller, sondern auch zeitlicher Natur sein. Im Perfekten Wettbewerb dürfen keine Transaktionskosten existieren. 
''Beispiel'': Einige Wohnungsanbieter, die als Plattform zur Vermittlung von Mietwohnungen dienen, haben ein Premium Modell. Nur für eine monatliche Gebühr können alle Angebote angeschrieben werden. Daneben gibt es noch andere Vorteile, die allesamt Transaktionskosten darstellen.

===Keine Größenvorteile (economies of scale)===
Größenvorteile bedeuten, dass selbst in einem Markt, in dem alle Unternehmen dieselbe [[Produktionsfunktion und Isoquante#Die Produktionsfunktion|Produktionsfunktion]] haben, einen Vorteil besitzen, wenn sie größer sind als andere Unternehmen. Die Vorteile entstehen durch [[Skalenerträge]]. Positive Skalenerträge würden bedeuten, dass eine Verdopplung der Inputfaktoren, der Output mehr als verdoppelt wird. Es entsteht der Anreiz immer größer zu werden und so immer mehr Marktmacht zu erlangen. Unter [[Skalenerträge#Konstante Skalenerträge|konstanten Skalenerträgen]] liegen die Vorteile nicht vor. 
[[Datei:KonstanteSE.png|400px|rahmenlos]]

==Oligopol==
Die Marktform des Oligopols liegt vor, wenn es viele Nachfrager aber wenige Anbieter auf einem Markt gibt. Dadurch können die Anbieter Marktmacht besitzen, auch wenn diese wenigen Anbieter im Wettbewerb zueinander stehen. Gründe können hier zum Beispiel in Marktzutrittsbeschränkungen liegen, die verhindern, dass Unternehmen ohne weiteres ein bestimmtes Gut produzieren. Unternehmen innerhalb des Oligopols können als strategische Variable den Preis oder die Menge wählen. Zudem können sie mittels Werbung, Möglichkeit zur Konfiguration des eigenen Produkts oder anderen Möglichkeiten Produktdifferenzierung betreiben. Ausgehend davon ergeben sich Preis- oder Mengenwettbewerbe mit differenzierten oder undifferenzierten Gütern. Für eine genauere der einzelnen Wettbewerbe, sie [[Oligopole|hier]].

==Oligopson==
Das Oligpson zeichnet sich durch eine geringe Anzahl an Konsumenten und einer großen Anzahl an Produzenten aus. In diesem Fall haben die Konsumenten Marktmacht, die sich auf die Preisbildung auswirkt.

==Monopol==
Die Marktform des Monopols zeichnet sich durch eine große Anzahl an Konsumenten und einem einzigen Produzenten aus. Im perfekten Wettbewerb hat die große Anzahl an Produzenten den Marktpreis auf [[Kostenarten#Grenzkosten|Grenzkostenniveau]] gehalten. Im Monopol kann der Produzent durch seine eigenen Entscheidungen den Preis beeinflussen und so den Gewinn strategisch [[Vergleich Gewinnmaximum bei unterschiedlichen Marktformen#Gewinnmaximierung im Monopol|maximieren]]. Der Preis ist abhängig davon, wie viel der Monopolist produziert. Ist die Menge eines Gutes auf seinem Markt gering, ist der Preis groß. Existiert hingegen sehr viel von einem Gut, ist der Preis geringer. Es gilt: 
<math> P(Q) </math> und <math> \frac{\part P(Q)}{Q}<0 </math> 
Der Monopolist maximiert seinen Gewinn <math> \Pi=P(Q)Q-C(Q) </math> Für eine ausführlichere Erklärung des Gewinnmaximierens im Monopolfall, siehe [[Vergleich Gewinnmaximum bei unterschiedlichen Marktformen#Gewinnmaximierung im Monopol|hier]] 
[[Datei:Monopolist.png|400px|rahmenlos]]

==Monopson==
Die Marktform des Monospon zeichnet sich durch viele Anbieter und einem einzigen Nachfrager aus. Die Intuition ist umgekehrt zum Monopol-Fall. Der Monosponist maximiert seinen Nutzen, bzw. seinen Gewinn. Dieser stellt sich aus dem Wert, den der Monosponisten der nachgefragten Menge zumisst, abzüglich den Ausgaben. 
<math> \pi_{Monopsonist}=V(Q)-E(Q) </math> 
mit V(Q) als Wert der Menge und E(Q) als Ausgaben für die getätigte Menge. Er maximiert seinen Gewinn durch <math> \frac{\part \pi}{\part Q} </math>. Hierdurch ergibt sich: Grenzwert=Grenzausgaben (MV=ME)
[[Datei:Monopson.png|400px|rahmenlos]]

==MC Fragen==
Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? 
<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Wenige Anbieter bedeuten immer eine große Marktmacht
|type="()"}
- wahr
+ falsch
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Transaktionskosten entstehen, wenn sich ein Konsument gegen ein Gut entscheidet, um sich für ein anderes zu entscheiden. Sie bestehen darin, dass der Konsument den Nutzen des Gutes nicht erfährt, für das er sich nicht entscheidet
|type="()"}
- wahr
+ falsch
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Im Monopolfall maximiert der Monopolist seine Produzentenrente, ohne das Ziel zu verfolgen die Gesamtrente möglichst groß zu halten.
|type="()"}
+ wahr
- falsch
</quiz>

Marktformen

2023-10-09T14:45:26Z

Leitzing:

Marktformen unterscheiden sich darin, wie viel Marktmacht die beiden Marktseiten jeweils haben. Die Marktmacht äußert sich häufig darin, wie viel Einfluss die Marktseiten auf die Preisbildung haben. 
[[Datei:Wettbewerb.png|900px|rahmenlos]]

__TOC__

==Perfekter Wettbewerb==
Im perfekten Wettbewerb (Polypol) besitzt keine der Marktseiten Marktmacht. Dies ist mit einigen Eigenschaften auf dem Markt verbunden. 

===Preisnehmertum===
Im Polypol sind alle Akteure '''Preisnehmer'''. Im Beispiel des Unternehmens bedeutet dies, dass es zwar einen Preis frei wählen kann, dieser jedoch keinen Einfluss auf den Marktpreis hat. Liegt der Marktpreis bei 10€ und das Unternehmen setzt seinen Preis auf 11€, hat es zwar seinen eigenen Preis beeinflusst, jedoch werden die Konsumenten den Preis von 10€ der anderen Unternehmen bevorzugen. Dies setzt Anreize den Preis so gering wie möglich zu setzen. Der Preis wird im [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb]] so hoch sein, wie die Kosten der letzten produzierten Einheiten waren. Die [[Angebot|Angebotsfunktion]] entspricht dementsprechend der [[Kostenarten#Grenzkosten|Grenzkostenkurve]]. Die [[Nachfrage]] beschreibt welchen Preis die Konsumenten für welche Menge bereit sind zu zahlen. Im [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb]] entspricht die nachgefragte Menge zu einem Preis der angebotenen Menge zu demselben Preis. 
<math> Q_D(P)=Q_S(P) </math> 
[[Datei:Gleichgewicht.png|400px|rahmenlos]]

===Perfekte und symmetrische Informationen===
Das [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb]] setzt voraus, dass alle Marktseiten über alle Informationen verfügen. Dies impliziert, dass asymmetrische Informationen und damit das [[Adverse Selektion und Signale|Adverse Selektions-]] und das [[Moral Hazard und Anreize|Moral Hazard]]-Problem nicht existieren. Alle Konsumenten und Produzenten verfügen beispielsweise über die Information, dass der Marktpreis bei 10€ liegt. Kein Konsument würde mit dieser Info einen Preis über 10€ annehmen. Genauso kann ein Unternehmen steuern, dass es zu dem Preis von 10€ produziert.

===Keine Transaktionskosten===
Transaktionskosten sind Kosten, die während dem Abschluss eines Geschäftsabschlusses neben dem eigentlichen Preis anfallen können. Dies sind beispielsweise Kosten, die durch die Suche nach einem besonders günstigen Angebot entstehen. Die Kosten können nicht nur finanzieller, sondern auch zeitlicher Natur sein. Im Perfekten Wettbewerb dürfen keine Transaktionskosten existieren. 
''Beispiel'': Einige Wohnungsanbieter, die als Plattform zur Vermittlung von Mietwohnungen dienen, haben ein Premium Modell. Nur für eine monatliche Gebühr können alle Angebote angeschrieben werden. Daneben gibt es noch andere Vorteile, die allesamt Transaktionskosten darstellen.

===Keine Größenvorteile (economies of scale)===
Größenvorteile bedeuten, dass selbst in einem Markt, in dem alle Unternehmen dieselbe [[Produktionsfunktion und Isoquante#Die Produktionsfunktion|Produktionsfunktion]] haben, einen Vorteil besitzen, wenn sie größer sind als andere Unternehmen. Die Vorteile entstehen durch [[Skalenerträge]]. Positive Skalenerträge würden bedeuten, dass eine Verdopplung der Inputfaktoren, der Output mehr als verdoppelt wird. Es entsteht der Anreiz immer größer zu werden und so immer mehr Marktmacht zu erlangen. Unter [[Skalenerträge#Konstante Skalenerträge|konstanten Skalenerträgen]] liegen die Vorteile nicht vor. 
[[Datei:KonstanteSE.png|400px|rahmenlos]]

==Oligopol==
Die Marktform des Oligopols liegt vor, wenn es viele Nachfrager aber wenige Anbieter auf einem Markt gibt. Dadurch können die Anbieter Marktmacht besitzen, auch wenn diese wenigen Anbieter im Wettbewerb zueinander stehen. Gründe können hier zum Beispiel in Marktzutrittsbeschränkungen liegen, die verhindern, dass Unternehmen ohne weiteres ein bestimmtes Gut produzieren. Unternehmen innerhalb des Oligopols können als strategische Variable den Preis oder die Menge wählen. Zudem können sie mittels Werbung, Möglichkeit zur Konfiguration des eigenen Produkts oder anderen Möglichkeiten Produktdifferenzierung betreiben. Ausgehend davon ergeben sich Preis- oder Mengenwettbewerbe mit differenzierten oder undifferenzierten Gütern. Für eine genauere der einzelnen Wettbewerbe, sie [[Oligopole|hier]].

==Oligopson==
Das Oligpson zeichnet sich durch eine geringe Anzahl an Konsumenten und einer großen Anzahl an Produzenten aus. In diesem Fall haben die Konsumenten Marktmacht, die sich auf die Preisbildung auswirkt.

==Monopol==
Die Marktform des Monopols zeichnet sich durch eine große Anzahl an Konsumenten und einem einzigen Produzenten aus. Im perfekten Wettbewerb hat die große Anzahl an Produzenten den Marktpreis auf [[Kostenarten#Grenzkosten|Grenzkostenniveau]] gehalten. Im Monopol kann der Produzent durch seine eigenen Entscheidungen den Preis beeinflussen und so den Gewinn strategisch [[Vergleich Gewinnmaximum bei unterschiedlichen Marktformen#Gewinnmaximierung im Monopol|maximieren]]. Der Preis ist abhängig davon, wie viel der Monopolist produziert. Ist die Menge eines Gutes auf seinem Markt gering, ist der Preis groß. Existiert hingegen sehr viel von einem Gut, ist der Preis geringer. Es gilt: 
<math> P(Q) </math> und <math> \frac{\part P(Q)}{Q}<0 </math> 
Der Monopolist maximiert seinen Gewinn <math> \Pi=P(Q)Q-C(Q) </math> Für eine ausführlichere Erklärung des Gewinnmaximierens im Monopolfall, siehe [[Vergleich Gewinnmaximum bei unterschiedlichen Marktformen#Gewinnmaximierung im Monopol|hier]] 
[[Datei:Monopolist.png|400px|rahmenlos]]

==Monopson==
Die Marktform des Monospon zeichnet sich durch viele Anbieter und einem einzigen Nachfrager aus. Die Intuition ist umgekehrt zum Monopol-Fall. Der Monosponist maximiert seinen Nutzen, bzw. seinen Gewinn. Dieser stellt sich aus dem Wert, den der Monosponisten der nachgefragten Menge zumisst, abzüglich den Ausgaben. 
<math> \pi_{Monopsonist}=V(Q)-E(Q) </math> 
mit V(Q) als Wert der Menge und E(Q) als Ausgaben für die getätigte Menge. Er maximiert seinen Gewinn durch <math> \frac{\part \pi}{\part Q} </math>. Hierdurch ergibt sich 
Grenzwert=Grenzausgaben 
MV=ME 
[[Datei:Monopson.png|400px|rahmenlos]]

==MC Fragen==
Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? 
<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Wenige Anbieter bedeuten immer eine große Marktmacht
|type="()"}
- wahr
+ falsch
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Transaktionskosten entstehen, wenn sich ein Konsument gegen ein Gut entscheidet, um sich für ein anderes zu entscheiden. Sie bestehen darin, dass der Konsument den Nutzen des Gutes nicht erfährt, für das er sich nicht entscheidet
|type="()"}
- wahr
+ falsch
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Im Monopolfall maximiert der Monopolist seine Produzentenrente, ohne das Ziel zu verfolgen die Gesamtrente möglichst groß zu halten.
|type="()"}
+ wahr
- falsch
</quiz>

Nash Gleichgewicht

2023-09-22T19:05:53Z

Leitzing:

Das Nash Gleichgewicht ist die nach John Nash benannte Kombination von Strategien zweier Spieler, bei der kein Spieler einseitig den Anreiz hat abzuweichen.

__TOC__

==Nash Gleichgewicht==
===Definition===
Mathematisch werden Nash Gleichgewichte wie folgt definiert: 
<math> (s_1^*,s_2^*) </math> ist ein Nash Gleichgewicht, wenn <math> U_1(s_1^*,s_2^*) \geq U_1(s_i,s_2^*) </math> und <math> U_2(s_1^*,s_2^*) \geq U_2(s_1^*,s_i) </math> für <math> s_i \in S </math>. 

===In reinen Strategien===
In einem gegebenen Gefangenendilemma ist das Nash Gleichgewicht NG=(Verrat, Verrat). Spieler 1 hat keinen Anreiz einseitig abzuweichen, wenn er allein durch seine Entscheidung zu keinem höheren Payoff gelangen kann. Da er nur bestimmen kann in welcher Zeile der Ausgang des Spiels liegen wird, muss geschaut werden, ob er ausgehend von der Entscheidung von Spieler 2 (Verrat) zu einem höheren Payoff gelangen kann. Wählt er statt Verrat doch Schweigen, hat er einen Payoff von -10, was geringer ist als -5. 
Ist ein Ausgang kein Nash Gleichgewicht, wird dieser von rationalen Spielern in der Form nie erreicht, da immer ein einseitiger Anreiz zum Abweichen vorliegt. 
[[Datei:Gefangenendilemma.png|401px|rahmenlos]] 
 
Die Identifizierung eines Nash Gleichgewichts hängt stark mit der Idee der [[Nash Gleichgewicht#Besten Antwort|Beste Antwort]] zusammen.

===In gemischten Strategien===
Ein Spieler sollte seine gemischte [[Strategie]] so wählen, dass sein Nutzen maximal ist. Im Beispiel eines "Schere, Stein, Papier"-Spiels sollte er die Wahrscheinlichkeiten, mit denen er die jeweiligen reinen Strategien spielt, so wählen, dass der andere Spieler keine dominante Strategie besitzt. Der Nutzen eines Gewinns entspricht 1 und der Nutzen einer Niederlage 0. Die Payoffs ergeben, dass ein rationaler Spieler eine gemischte Strategie <math> \sigma=(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) </math> spielen. Wenn Spieler 1 mit einer größeren Wahrscheinlichkeit Schere spielen würde, müsste Spieler 2 immer Papier spielen, damit sich sein erwarteter Payoff erhöht. Das führt wiederum dazu, dass Spieler 1 einen Anreiz hat abzuweichen. Nur bei <math> \sigma_1^*=(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) </math> und <math> \sigma_2^*=(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) </math> existiert in dem speziellen Anwendungsbeispiel kein Anreiz für einen der beiden Spieler abzuweichen. <math> (\sigma_1^*,\sigma_2^*) </math> ist ein Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien. 

==Beste Antwort==
Die Beste Antwort ist ein Konzept, bei dem untersucht wird welche Strategie eines Spielers die Beste Antwort auf die Strategie eines anderen Spielers ist. Die Beste Antwort von Spieler 1 auf die Strategie X ist Strategie 3, da dort der Payoff in der Spalte am größten ist (Zur Erinnerung: Spieler 1 ist der Zeilenspieler und kann bestimmen in welcher Zeile der Ausgang liegen wird). Spieler 2 betrachtet, bei welcher Strategie sein Payoff (der zweitgenannte) in jeder Zeile am größten ist. Wäre der Payoff in mehreren Spalten gleich groß, gibt es mehrere Beste Antworten. 
Die Payoffs von (Strategie 1, Strategie X) lauten (3, 3). Ist dies ein Nash Gleichgewicht? Immerhin ist die Strategie die Beste Antwort von Spieler 1 auf Strategie X. Tatsächlich hat Spieler 2 in (Strategie 1, Strategie X) einen Anreiz abzuweichen, denn wenn Spieler 1 Strategie 1 wählt, sollte Spieler 2 Strategie Z spielen. (Strategie1, Strategie Z) bietet für Spieler 1 wiederum den Anreiz auf Strategie 2 auszuweichen und so weiter. Nur der Ausgang, der für beide Spieler eine Beste Antwort bedeutet, hat keiner einen Anreiz abzuweichen. Fallen zwei Beste Antworten zusammen, ist der Ausgang ein [[Nash Gleichgewicht]]. 
[[Datei:BesteAntwort.png|400px|rahmenlos]]

==Dominante Strategien==
Eine Strategie ist dominant, wenn diese Strategie ungeachtet der Reaktion der anderen Spieler immer zu einem größeren Payoff (das kann ein Nutzenniveau, Geld oder etwas anderes sein) als alle anderen Strategien führt. Als Beispiel soll die oben dargestellte [[Normalform]] dienen. Zur Vereinfachung soll nur untersucht werden, ob Spieler 1 (der Zeilenspieler) eine dominante Strategie hat. Daher wird nur der Payoff von Spieler 1 angegeben. Außerdem ist es irrelevant wie die Strategien des Spieler 2 lauten, deshalb lautet die erste Spalte einfach nur noch A und die zweite Spalte nur noch B. 
[[Datei:DominanteStrategie.png|401px|rahmenlos]] 
 
Ist eine der beiden Strategien für Spieler 1 dominant, so ist diese Strategie immer besser. Sollte sich der Spieler 2 für die erste zweite Spalte entscheiden, bringt eine dominante Strategie genauso den größten Payoff der Spalte, wie wenn sich der Spieler zwei für die zweite Spalte entscheidet. In dem oben dargestellten Beispiel ist der Payoff in Spalte A größer, wenn sich Spieler 1 für Verrat entscheidet (-5>-10). Auch in Spalte B ist der Payoff von Verrat größer als der von Schweigen (0>-5). Egal wie sich der Spieler 2 entscheidet, Spieler 1 sollte immer Verrat spielen. Verrat ist eine dominante Strategie und Schweigen eine dominierte Strategie. Damit knüpft der Dominanzbegriff sehr stark an des Konzept der Besten Antwort an. 
Es wird zwischen strikter Dominanz und schwacher Dominanz unterschieden. Das oben dargestellte Beispiel stellt strikte Dominanz dar, denn jeder Payoff des Verrats ist strikt größer als der des Schweigens. Schwache Dominanz würde vorliegen, wenn die Payoffs größer oder gleich groß sind, solange mindestens ein Payoff strikt größer ist. 
Haben zwei Spieler eine dominante Strategie, spielen sie diese auch in einem der vorhandenen Nash Gleichgewichte. Nicht jede Strategie, die im Nash Gleichgewicht gespielt wird, ist jedoch auch eine dominante Strategie.

==IESDS==
Das IESDS (Iterated elimination of strictly dominated strategies) ist ein Verfahren, mit dessen Hilfe für Spieler irrationale Strategien eliminiert werden. Ist eine Strategie [[Spiele#Dominanz der Strategien|strikt dominiert]], wäre es irrational für einen Spieler diese zu spielen, da mindestens eine Strategie immer einen größeren Payoff liefert.
Eine strikt dominante Strategie kann somit als Strategie gestrichen werden. 
[[Datei:IESDS1.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:IESDS2.png|400px|rahmenlos]] 
 
Für Spieler 2 wird die Strategie X von der Strategie Y strikt dominiert (1<4; 4<5; 3<4). Unter der Annahme, dass alle Spieler rational sind, weiß auch Spieler 1, dass Spieler 2 niemals Strategie X wählen wird. Daher muss er die Payoffs in der Strategie X Spalte nicht mehr betrachten. Wenn er dies tut, wird seine Strategie 3 von Strategie 2 strikt dominiert (0<2; 0<8). Dass Strategie 3 auch von Strategie 1 strikt dominiert wird, sei an dieser Stelle auch erwähnt. Es ergibt sich eine neue Spielmatrix, da Spieler 1 niemals Strategie 3 wählen wird. 
[[Datei:IESDS3.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:IESDS4.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:IESDS5.png|400px|rahmenlos]]
 
Mit derselben Intuition können die restlichen strikt dominierten Strategien eliminiert werden und der einzig rationale Ausgang ist (Strategie 1, Strategie Y). Bleibt nur eine Strategiekombination übrig, bildet sie immer ein Nash Gleichgewicht. Es können jedoch nicht immer mit der Hilfe des IEDS alle Nash Gleichgewichte gefunden werden.

==Teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht==
Ein Gleichgewicht ist teilspielperfekt, wenn es ein Nash Gleichgewicht in jedem Teilspiel ist. Hierbei wird das Konzept der Rückwärtsinduktion angewandt. Bei der Rückwärtsinduktion wird das sequenzielle Spiel rückwärts durchlaufen und untersucht, in welchem Entscheidungspunkt (Teilspiel) welcher Spieler wie handeln wird. Das wird für alle Entscheidungspunkte analysiert unabhängig, ob diese im Gleichgewicht erreicht werden oder nicht. 
[[Datei:TSP.png|400px|rahmenlos]] 
In dem letzten Knotenpunkt, in dem ein Spieler sich entscheiden muss, entscheidet sich Spieler 2 zwischen C oder D. Der zweitgenannte Payoff ist der von Spieler 2. Im linken Knoten erhält er bei C 2 und bei D 3. Da 3>2 wählt er im ersten Fall D. Im rechten Knoten erhält er 4 bei C und 1 bei D. Hier wählt er C. Seine Strategie lautet: "Spiele D, wenn der linke Fall eintritt (Spieler 1 wählt A) und wähle C, wenn der zweite Fall eintritt (Spieler 1 wählt B)". 
Spieler 1 weiß, dass das Resultat (A, D) lauten wird, sollte er sich für A entscheiden und (B, C), sollte er sich für B entscheiden. Bei (A, D) erhält er 2 und bei (B, C) erhält er 1. Daher entscheidet sich der rationale Spieler 1 für (A, D). 
Das Teilspielperfekte Nash Gleichgewicht lautet: 
<math> TSP\,Nash\,GG=(A, DC) </math> 
[[Datei:TSP2.png|400px|rahmenlos]]

==Nash Gleichgewicht und Pareto Effizienz==
Nash Gleichgewichte sind nicht immer [[Effizienz#Pareto Effizienz|pareto effizient]]. Paretoeffizienz besteht, wenn keine Partei bessergestellt werden kann, ohne die andere schlechter zu stellen. Pareto effiziente Strategiekombinationen lassen sich sehr gut in der Normalform erkennen. Dafür soll wieder das Gefangenendillema vom Anfang dienen 
[[Datei:Gefangenendilemma.png|401px|rahmenlos]] 
 
(Schweigen, Verrat) bringt einen Payoff von (-10, 0). Spieler 1 kann sehr leicht bessergestellt werden. Spielt er zum Beispiel auch Verrat, hat er nicht mehr -10, sondern -5. Die Strategiekombination wäre (Verrat, Verrat). Dadurch wird jedoch Spieler 2 schlechter gestellt. Statt 0 hat er nun -5. (Schweigen, Verrat) ist somit eine Strategiekombination, von der aus keine Partei bessergestellt werden kann, ohne eine andere schlechter zu stellen. Es handelt sich um einen pareto effizienten Ausgang. Lediglich (Verrat, Verrat) ist nicht pareto effizient, da in (Schweigen, Schweigen) beide Spieler besser gestellt werden können. 
Es ist deutlich geworden, dass der Begriff des Nash Gleichgewichts und der des Pareto Effizienz ganz andere Thematiken abdecken.

==MC Aufgaben==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Aussagen ist falsch?
|type="()"}
+ Nicht jedes Gleichgewicht in dominanten Strategien des Spiels in Normalform ist auch ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht des Spiels in extensiver Form.
- Nicht jedes Nash-Gleichgewicht des Spiels in Normalform ist auch ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht des Spiels in extensiver Form.
- Nicht jedes teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht eines Spiels in extensiver Form ist auch ein Nash-Gleichgewicht des Spiels in Normalform.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die folgenden Aussagen beziehen sich auf statische Spiele. Welche Aussage ist wahr?
|type="()"}
+ Jedes Nash Gleichgewicht in reinen Strategien überlebt das IESDS Verfahren.
- Jedes Strategieprofil, das das IESDS Verfahren überlebt, ist ein Nash Gleichgewicht.
- Es gibt gemischte Nash Gleichgewichte, in denen ein Spieler eine strikt dominierte Strategie spielt.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
|type="()"}
+ Beim IESDS hängt das Ergebnis nicht von der Reihenfolge der Eliminierung ab.
- Beim IESDS hängt das Ergebnis von der Reihenfolge der Eliminierung ab.
- Das IESDS eliminiert gegebenenfalls Nash Gleichgewichte in gemischten Strategien.
- Das IESDS eliminiert gegebenenfalls Nash Gleichgewichte in reinen Strategien.
</quiz>

Nash Gleichgewicht

2023-09-22T18:56:44Z

Leitzing:

Das Nash Gleichgewicht ist die nach John Nash benannte Kombination von Strategien zweier Spieler, bei der kein Spieler einseitig den Anreiz hat abzuweichen.

__TOC__

==Nash Gleichgewicht==
===Definition===
Mathematisch werden Nash Gleichgewichte wie folgt definiert: 
<math> (s_1^*,s_2^*) </math> ist ein Nash Gleichgewicht, wenn <math> U_1(s_1^*,s_2^*) \geq U_1(s_i,s_2^*) </math> und <math> U_2(s_1^*,s_2^*) \geq U_2(s_1^*,s_i) </math> für <math> s_i \in S </math>. 

===In reinen Strategien===
In einem gegebenen Gefangenendilemma ist das Nash Gleichgewicht NG=(Verrat, Verrat). Spieler 1 hat keinen Anreiz einseitig abzuweichen, wenn er allein durch seine Entscheidung zu keinem höheren Payoff gelangen kann. Da er nur bestimmen kann in welcher Zeile der Ausgang des Spiels liegen wird, muss geschaut werden, ob er ausgehend von der Entscheidung von Spieler 2 (Verrat) zu einem höheren Payoff gelangen kann. Wählt er statt Verrat doch Schweigen, hat er einen Payoff von -10, was geringer ist als -5. 
Ist ein Ausgang kein Nash Gleichgewicht, wird dieser von rationalen Spielern in der Form nie erreicht, da immer ein einseitiger Anreiz zum Abweichen vorliegt. 
[[Datei:Gefangenendilemma.png|401px|rahmenlos]] 
 
Die Identifizierung eines Nash Gleichgewichts hängt stark mit der Idee der [[Nash Gleichgewicht#Besten Antwort|Beste Antwort]] zusammen.

===In gemischten Strategien===
Ein Spieler sollte seine gemischte [[Strategie]] so wählen, dass sein Nutzen maximal ist. Im Beispiel eines "Schere, Stein, Papier"-Spiels sollte er die Wahrscheinlichkeiten, mit denen er die jeweiligen reinen Strategien spielt, so wählen, dass der andere Spieler keine dominante Strategie besitzt. Der Nutzen eines Gewinns entspricht 1 und der Nutzen einer Niederlage 0. Die Payoffs ergeben, dass ein rationaler Spieler eine gemischte Strategie <math> \sigma=(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) </math> spielen. Wenn Spieler 1 mit einer größeren Wahrscheinlichkeit Schere spielen würde, müsste Spieler 2 immer Papier spielen, damit sich sein erwarteter Payoff erhöht. Das führt wiederum dazu, dass Spieler 1 einen Anreiz hat abzuweichen. Nur bei <math> \sigma_1^*=(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) </math> und <math> \sigma_2^*=(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) </math> existiert in dem speziellen Anwendungsbeispiel kein Anreiz für einen der beiden Spieler abzuweichen. <math> (\sigma_1^*,\sigma_2^*) </math> ist ein Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien. 

==Beste Antwort==
Die Beste Antwort ist ein Konzept, bei dem untersucht wird welche Strategie eines Spielers die Beste Antwort auf die Strategie eines anderen Spielers ist. Die Beste Antwort von Spieler 1 auf die Strategie X ist Strategie 3, da dort der Payoff in der Spalte am größten ist (Zur Erinnerung: Spieler 1 ist der Zeilenspieler und kann bestimmen in welcher Zeile der Ausgang liegen wird). Spieler 2 betrachtet, bei welcher Strategie sein Payoff (der zweitgenannte) in jeder Zeile am größten ist. Wäre der Payoff in mehreren Spalten gleich groß, gibt es mehrere Beste Antworten. 
Die Payoffs von (Strategie 1, Strategie X) lauten (3, 3). Ist dies ein Nash Gleichgewicht? Immerhin ist Strategie die Beste Antwort von Spieler 1 auf Strategie X. Tatsächlich hat Spieler 2 in (Strategie 1, Strategie X) einen Anreiz abzuweichen, denn wenn Spieler 1 Strategie 1 wählt, sollte Spieler 2 Strategie Z spielen. (Strategie1, Strategie Z) bietet für Spieler 1 wiederum den Anreiz auf Strategie 2 auszuweichen und so weiter. Nur der Ausgang, der für beide Spieler eine Beste Antwort bedeutet, hat keiner einen Anreiz abzuweichen. Fallen zwei Beste Antworten zusammen, ist der Ausgang ein [[Nash Gleichgewicht]]. 
[[Datei:BesteAntwort.png|400px|rahmenlos]]

==Dominante Strategien==
Eine Strategie ist dominant, wenn diese Strategie ungeachtet der Reaktion der anderen Spieler immer zu einem größeren Payoff (das kann ein Nutzenniveau, Geld oder etwas anderes sein) als alle anderen Strategien führt. Als Beispiel soll die oben dargestellte [[Normalform]] dienen. Zur Vereinfachung soll nur untersucht werden, ob Spieler 1 (der Zeilenspieler) eine dominante Strategie hat. Daher wird nur der Payoff von Spieler 1 angegeben. Außerdem ist es irrelevant wie die Strategien des Spieler 2 lauten, deshalb lautet die erste Spalte einfach nur noch A und die zweite Spalte nur noch B. 
[[Datei:DominanteStrategie.png|401px|rahmenlos]] 
 
Ist eine der beiden Strategien für Spieler 1 dominant, so ist diese Strategie immer besser. Sollte sich der Spieler 2 für die erste zweite Spalte entscheiden, bringt eine dominante Strategie genauso den größten Payoff der Spalte, wie wenn sich der Spieler zwei für die zweite Spalte entscheidet. In dem oben dargestellten Beispiel ist der Payoff in Spalte A größer, wenn sich Spieler 1 für Verrat entscheidet (-5>-10). Auch in Spalte B ist der Payoff von Verrat größer als der von Schweigen (0>-5). Egal wie sich der Spieler 2 entscheidet, Spieler 1 sollte immer Verrat spielen. Verrat ist eine dominante Strategie und Schweigen eine dominierte Strategie. Damit knüpft der Dominanzbegriff sehr stark an des Konzept der Besten Antwort an. 
Es wird zwischen strikter Dominanz und schwacher Dominanz unterschieden. Das oben dargestellte Beispiel stellt strikte Dominanz dar, denn jeder Payoff des Verrats ist strikt größer als der des Schweigens. Schwache Dominanz würde vorliegen, wenn die Payoffs größer oder gleich groß sind, solange mindestens ein Payoff strikt größer ist. 
Haben zwei Spieler eine dominante Strategie, spielen sie diese auch in einem der vorhandenen Nash Gleichgewichte. Nicht jede Strategie, die im Nash Gleichgewicht gespielt wird, ist jedoch auch eine dominante Strategie.

==IESDS==
Das IESDS (Iterated elimination of strictly dominated strategies) ist ein Verfahren, mit dessen Hilfe für Spieler irrationale Strategien eliminiert werden. Ist eine Strategie [[Spiele#Dominanz der Strategien|strikt dominiert]], wäre es irrational für einen Spieler diese zu spielen, da mindestens eine Strategie immer einen größeren Payoff liefert.
Eine strikt dominante Strategie kann somit als Strategie gestrichen werden. 
[[Datei:IESDS1.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:IESDS2.png|400px|rahmenlos]] 
 
Für Spieler 2 wird die Strategie X von der Strategie Y strikt dominiert (1<4; 4<5; 3<4). Unter der Annahme, dass alle Spieler rational sind, weiß auch Spieler 1, dass Spieler 2 niemals Strategie X wählen wird. Daher muss er die Payoffs in der Strategie X Spalte nicht mehr betrachten. Wenn er dies tut, wird seine Strategie 3 von Strategie 2 strikt dominiert (0<2; 0<8). Dass Strategie 3 auch von Strategie 1 strikt dominiert wird, sei an dieser Stelle auch erwähnt. Es ergibt sich eine neue Spielmatrix, da Spieler 1 niemals Strategie 3 wählen wird. 
[[Datei:IESDS3.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:IESDS4.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:IESDS5.png|400px|rahmenlos]]
 
Mit derselben Intuition können die restlichen strikt dominierten Strategien eliminiert werden und der einzig rationale Ausgang ist (Strategie 1, Strategie Y). Bleibt nur eine Strategiekombination übrig, bildet sie immer ein Nash Gleichgewicht. Es können jedoch nicht immer mit der Hilfe des IEDS alle Nash Gleichgewichte gefunden werden.

==Teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht==
Ein Gleichgewicht ist teilspielperfekt, wenn es ein Nash Gleichgewicht in jedem Teilspiel ist. Hierbei wird das Konzept der Rückwärtsinduktion angewandt. Bei der Rückwärtsinduktion wird das sequenzielle Spiel rückwärts durchlaufen und untersucht, in welchem Entscheidungspunkt (Teilspiel) welcher Spieler wie handeln wird. Das wird für alle Entscheidungspunkte analysiert unabhängig, ob diese im Gleichgewicht erreicht werden oder nicht. 
[[Datei:TSP.png|400px|rahmenlos]] 
In dem letzten Knotenpunkt, in dem ein Spieler sich entscheiden muss, entscheidet sich Spieler 2 zwischen C oder D. Der zweitgenannte Payoff ist der von Spieler 2. Im linken Knoten erhält er bei C 2 und bei D 3. Da 3>2 wählt er im ersten Fall D. Im rechten Knoten erhält er 4 bei C und 1 bei D. Hier wählt er C. Seine Strategie lautet: "Spiele D, wenn der linke Fall eintritt (Spieler 1 wählt A) und wähle C, wenn der zweite Fall eintritt (Spieler 1 wählt B)". 
Spieler 1 weiß, dass das Resultat (A, D) lauten wird, sollte er sich für A entscheiden und (B, C), sollte er sich für B entscheiden. Bei (A, D) erhält er 2 und bei (B, C) erhält er 1. Daher entscheidet sich der rationale Spieler 1 für (A, D). 
Das Teilspielperfekte Nash Gleichgewicht lautet: 
<math> TSP\,Nash\,GG=(A, DC) </math> 
[[Datei:TSP2.png|400px|rahmenlos]]

==Nash Gleichgewicht und Pareto Effizienz==
Nash Gleichgewichte sind nicht immer [[Effizienz#Pareto Effizienz|pareto effizient]]. Paretoeffizienz besteht, wenn keine Partei bessergestellt werden kann, ohne die andere schlechter zu stellen. Pareto effiziente Strategiekombinationen lassen sich sehr gut in der Normalform erkennen. Dafür soll wieder das Gefangenendillema vom Anfang dienen 
[[Datei:Gefangenendilemma.png|401px|rahmenlos]] 
 
(Schweigen, Verrat) bringt einen Payoff von (-10, 0). Spieler 1 kann sehr leicht bessergestellt werden. Spielt er zum Beispiel auch Verrat, hat er nicht mehr -10, sondern -5. Die Strategiekombination wäre (Verrat, Verrat). Dadurch wird jedoch Spieler 2 schlechter gestellt. Statt 0 hat er nun -5. (Schweigen, Verrat) ist somit eine Strategiekombination, von der aus keine Partei bessergestellt werden kann, ohne eine andere schlechter zu stellen. Es handelt sich um einen pareto effizienten Ausgang. Lediglich (Verrat, Verrat) ist nicht pareto effizient, da in (Schweigen, Schweigen) beide Spieler besser gestellt werden können. 
Es ist deutlich geworden, dass der Begriff des Nash Gleichgewichts und der des Pareto Effizienz ganz andere Thematiken abdecken.

==MC Aufgaben==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Aussagen ist falsch?
|type="()"}
+ Nicht jedes Gleichgewicht in dominanten Strategien des Spiels in Normalform ist auch ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht des Spiels in extensiver Form.
- Nicht jedes Nash-Gleichgewicht des Spiels in Normalform ist auch ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht des Spiels in extensiver Form.
- Nicht jedes teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht eines Spiels in extensiver Form ist auch ein Nash-Gleichgewicht des Spiels in Normalform.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die folgenden Aussagen beziehen sich auf statische Spiele. Welche Aussage ist wahr?
|type="()"}
+ Jedes Nash Gleichgewicht in reinen Strategien überlebt das IESDS Verfahren.
- Jedes Strategieprofil, das das IESDS Verfahren überlebt, ist ein Nash Gleichgewicht.
- Es gibt gemischte Nash Gleichgewichte, in denen ein Spieler eine strikt dominierte Strategie spielt.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
|type="()"}
+ Beim IESDS hängt das Ergebnis nicht von der Reihenfolge der Eliminierung ab.
- Beim IESDS hängt das Ergebnis von der Reihenfolge der Eliminierung ab.
- Das IESDS eliminiert gegebenenfalls Nash Gleichgewichte in gemischten Strategien.
- Das IESDS eliminiert gegebenenfalls Nash Gleichgewichte in reinen Strategien.
</quiz>

Plattformökonomie und Netzwerkexternalitäten

2023-09-22T18:50:47Z

Leitzing:

==Definition==
Die Plattformökonomie betrachtet Plattformmärkte, auf denen zwei Marktseiten zusammengebracht werden. In Plattformmärkten liegen häufig querseitige Netzwerkexternalitäten vor. Häufig sind digitale Technologien Plattformmärkte, jedoch können auch für analoge Güter Plattformmärkte existieren.

__TOC__

==Plattform==
Eine Plattform im ökonomischen Kontext der Plattformökonomie ist eine zwischengeschaltete Instanz zwischen zwei unterschiedlichen Nutzergruppen. Uber bringt beispielsweise Fahrer mit Konsumenten zusammen. Der Plattform begegnen pro Nutzergruppe eine eigene [[Nachfrage]]. Bei Uber fragen die Fahrer die Möglichkeit nach für Uber Fahrten zu übernehmen und die Konsumenten fragen die Dienstleistung von Uber gefahren zu werden nach. 
<math> n_1=100+\alpha_1n_2-p_1 </math> 
<math> n_2=100+\alpha_2n_1-p_2 </math> 
<math> n_1 </math> soll die Nachfrage der Fahrer sein und <math> n_2 </math> die Nachfrage der Konsumenten. Der <math> \alpha </math> Term stellt die [[Plattformökonomie und Netzwerkexternalitäten#Querseitige Netzwerkexternalitäten|querseitige Netzwerkexternalitäten]] dar. 100 ist eine konstante Zahl, die je nach Anwendung beliebig anders ausfallen kann. Für jede Nachfrage existiert ein eigener Preis. Beide Nutzergruppen fragen ein anderes Gut nach und zahlen daher auch unterschiedliche Preise. Die Konsumenten fragen eine Fahrt nach und die Fahrer fragen die Möglichkeit nach, ihre Dienstleistung anzubieten. Die Preise können positiv, null oder auch negativ sein. Sollte einer der Preise null oder negativ sein, hängt dies stark mit den [[Plattformökonomie und Netzwerkexternalitäten#Querseitige Netzwerkexternalitäten|querseitigen Netzwerkexternalitäten]] zusammen. Werbezeitschriften sind häufig ein Beispiel für einen solchen Fall. Leser müssen keinen Geldbetrag zahlen, um die Zeitschriften lesen zu können, die Werbetreibende zahlen hingegen durchaus einen Geldbetrag, um in der Zeitschrift abgedruckt zu werden.

==Querseitige Netzwerkexternalitäten==
[[Netzwerkeffekte]] (auch Netzwerk[[Externalitäten und Internalisierung|externalitäten]]) bestehen bei Gütern, wenn der durch sie entstehende Nutzen auch von der Anzahl der Konsumenten abhängt. Querseitige Netzwerkeffekte bestehen, wenn die Nachfrage nach einem Gut von der Größe der anderen Nutzergruppe zusammenhängt. Der Effekt kann positiv oder auch negativ sein. 
<math> n_1=100+\alpha_1n_2-p_1 </math> 
<math> n_2=100+\alpha_2n_1-p_2 </math> 
In der Nachfrage <math> n_1 </math> wird der querseitige Netzwerkeffekt durch <math> \alpha_1 n_1 </math> widergespiegelt. Je größer die andere Nutzergruppe (je größer <math> n_2 </math>), desto stärker ist der Effekt. Der Wert von <math> \alpha_1 </math> zeigt, ob die querseitigen Netzwerkeffekte positiv oder negativ sind. Im Beispiel von Uber liegt die Vermutung nahe, dass <math> \alpha_1>0 </math> ist. Je mehr Konsumenten auf dem Markt Fahrten nachfragen, desto mehr Fahrer fragen nach auf Uber ihre Fahrten anbieten zu können. Ein Beispiel, bei dem <math> \alpha </math> negativ ist, kann eine Zeitung sein. Je mehr Werbetreibende ihre Werbung in einer Zeitung drucken, desto stärker stört dies die Leser und daher sinkt die Nachfrage, wenn die Anzahl der Werbetreibende steigt.

==Gewinnmaximierung==
Unternehmen maximieren auch auf Plattformmärkten ihren Gewinn. Hierbei müssen sie alle Nachfrager mit ihren eigenen Preisen betrachten. \pi=(p_1-f_1)n_1+(p_2-f_2)n_2 </math> mit <math> f_i </math> als Stückkosten für i 
<math> n_1=100+\alpha_1n_2-p_1 </math> ergibt umgestellt <math> p_1=100+\alpha_1n_2-n_1 </math> und <math> n_2=100+\alpha_2n_1-p_2 </math> ergibt <math> p_2=100+\alpha_2n_1-n_2 </math> 
Eingesetzt in die Gewinnfunktion 
<math> \pi=(100+\alpha_1n_2-n_1-f_1)n_1+(100+\alpha_2n_1-p_2-f_2)n_2 </math> 
Die Gewinnfunktion muss nach <math> n_1 </math> und <math> n_2 </math> partiell abgeleitet und das daraus resultierende Gleichungssystem gelöst werden. Die optimalen Mengen <math> n_1 </math> und <math> n_2 </math> können für die optimalen Preise in die Gewinnfunktion eingesetzt werden.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Zeitungsunternehmen verkauft seine Zeitungen an Leserinnen und Leser (Gruppe 1). Außerdem können Werbetreibende Anzeigen schalten, die Geld kosten (Gruppe 2). Angenommen die Nachfragen seien durch 
<math> n_1=100-n_2-p_1 </math> 
<math> n_2=100+2n_1-p_2 </math> 
beschrieben. Was lässt sich anhand der Nachfragefunktionen sagen?
|type="()"}
+ Je größer die Gruppe 2 ist, desto weniger aus Gruppe 1 werden die Dienstleistung der Zeitung nachfragen.
- Je geringer der Preis der Gruppe 1 ist, desto weniger von Gruppe 2 werden die Dienstleistung der Zeitung nachfragen.
- Je geringer der Preis der Gruppe 2 ist, desto mehr von Gruppe 1 werden die Dienstleistung der Zeitung nachfragen.
- Je kleiner die Gruppe 1 ist, desto weniger aus Gruppe 2 werden die Dienstleistung der Zeitung nachfragen.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Gegeben den Informationen von oben: wie viele aus beiden Gruppen fragen gewinnmaximal die Dienstleistungen der Zeitungen nach, wenn die Zeitungen zu Nullkosten produziert werden können?
|type="{}"}
Gruppe 1 { 100 }
Gruppe 2 { 100 }
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Gegeben den Informationen von oben: Wie sollte die Zeitung die Preise gewinnmaximal setzen?
|type="{}"}
Gruppe 1 { 100 }
Gruppe 2 { 200 }
</quiz>

Spiele

2023-09-22T18:45:19Z

Leitzing:

==Definition==
Ein Spiel ist eine Situation, in der Spieler (Teilnehmer) strategische Entscheidungen treffen, die die Handlungen und Reaktionen der Mitspieler mit einbezieht.

__TOC__

==Strategien==
===Reine Strategien===
Ein Spieler hat mehrere Möglichkeiten, wie er in bestimmten Situationen entscheidet. Diese Möglichkeiten werden Strategien genannt. Ein Spieler entscheidet sich für eine Strategie (<math> s </math>) aus allen möglichen Strategien (<math> S </math>). Die mathematische Schreibweise lautet <math> s \in S </math>. Dies bedeutet nichts anderes, als dass die gewählte Strategie neben anderen Strategien zur Auswahl stand. Alle möglichen Strategien werden innerhalb einer geschwungenen Klammer dargestellt <math> S=\{s_1,s_2,s_3,...\}</math>. 
''Beispiel'': Beim bekannten "Schere Stein Papier" Spiel hat jeder Spieler drei Möglichkeiten, von denen er sich für eine entscheiden muss. Die Spieler wählen beide aus <math> s \in S</math>, wobei <math> S=\{Schere,Stein,Papier\}</math>.

===Gemischte Strategien===
Ein Spieler hat, neben der Möglichkeit sich für eine reine Strategie (entweder Stein oder Papier oder Schere) zu entscheiden, auch die Möglichkeit eine Strategie mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit zu spielen. Das Randomisieren der reinen Strategien wird gemischte Strategie genannt. <math> \sigma=(p_1,p_2,p_3, ...) </math> ist die Schreibweise von gemischten Strategien. Die erste reine Strategie wird mit einer Wahrscheinlichkeit <math> p_1 </math> gespielt und so weiter.

==Statische und Sequentielle Spiele==
===Statische Spiele===
Statische Spiele sind Spiele, bei denen die Spieler ihre Strategie gleichzeitig wählen. Ein Beispiel für ein statisches Spiel ist Schere/Stein/Papier. Beide Spieler müssen sich gleichzeitig für eine Strategie entscheiden. Sie können dementsprechend nicht beobachten, wie der andere Spieler agiert, bzw. für welche Strategie sich der andere Spieler entscheidet. In anderen Fällen treffen die Spieler ihre Entscheidungen nicht gleichzeitig, können aber dennoch nicht beobachten, wie der andere Spieler handelt. Schreibt beispielsweise erst Spieler 1 seine gewählte Strategie auf einen Zettel, lässt diesen zugedeckt und erst dann entscheidet sich Spieler 2, ist dies dennoch ein statisches Spiel.

===Sequentielle Spiele===
Sequenzielle Spiele (auch dynamische Spiele) sind Spiele, bei denen die Spieler aufeinanderfolgend ihre Strategie spielen. Ein Spieler beginnt und ein zweiter Spieler zieht nach. Der große Unterschied zu den statischen Spielen liegt darin, dass die Spieler die Handlungen der anderen Spieler beobachten können. Schach ist beispielsweise ein sequenzielles Spiel. Der Spieler mit den weißen Figuren (Spieler 1) macht den ersten Zug und der Spieler mit den schwarzen Figuren (Spieler 2) kann den Zug beobachten. Daraufhin zieht er seinen Zug, den wiederum Spieler 1 beobachten kann usw.

==Normalform==
Die Normalform ist eine mögliche Darstellung von Spielen. Die grafische Darstellung ist eine Tabelle, in der alle möglichen Strategien des einen Spielers (Spieler 1) an den Anfang jeder Zeile geschrieben werden. Die Strategien des anderen Spielers (Spieler 2) werden in die erste Zeile, an den Anfang jeder Spalte geschrieben. 
Als Beispiel soll das sehr bekannte Gefangenendillemma dienen. Zwei Verbrecher stehen in unterschiedlichen Räumen unter Verhör und werden mit Vorwürfen konfrontiert. Man kann ihnen beiden jeweils kleinere Verbrechen nachweisen, die zu einer Haftstrafe von 1 Jahren führen. Ihre möglichen Strategien lauten <math> S=\{Schweigen, Verrat\}</math>. Für wie lange sie verurteilt werden, hängt davon ab welche Strategie sie selbst wählen und welche Strategie der andere Verbrecher wählt. Die folgende Darstellung in Normalform soll die Haftstrafen beschreiben. 
[[Datei:Gefangenendilemma.png|401px|rahmenlos]] 
 
Verrät der eine Verbrecher (Spieler 1) den anderen Verbrecher (Spieler 2) und dieser verrät ihn ebenfalls, müssen beide für 5 Jahre. Wählt Spieler 1 Verrat und Spieler 2 Schweigen, bekommt Spieler 1 die Kronzeugenregelung und muss gar nicht ins Gefängnis. Spieler 2 hingegen muss sogar 10 Jahre hinter Gitter. Die anderen Payoffs sind mit einer ähnlichen Intuition zu verstehen. 
 
'''Umwandlung in Extensivform''' 
Die Normalform kann in die [[Extensivform]] übersetzt werden. Bisher wurde ein statisches Spiel betrachtet. Die Extensivform in der Spielbaumoptik beschreibt aber ohne weitere Modifikation ein sequenzielles Spiel. Der Spieler, der weiter oben steht, zieht zuerst und danach folgt der andere Spieler. Daher muss etwas eingeführt werden, was verdeutlicht, dass der zweite Spieler nicht weiß, wie sich der erste entschieden hat. 
[[Datei:Gefangenendilemma.png|401px|rahmenlos]]
[[Datei:NormalInExtensiv.png|399px|rahmenlos]]
 
 
Die gestrichelte Linie signalisiert, dass Spieler 2 nicht weiß, in welchem Entscheidungsknoten er sich befindet. Die Payoffs selbst verändern sich nicht, nur durch die Übersetzung in die Extensivform. Spielen beide Verrat, erhalten beide auch weiterhin einen Payoff von -5.
==Extensivform==
Die [[Extensivform]] eines Spiels ist auch als Spielbaum bekannt. In jedem Knotenpunkt trifft ein Spieler eine Entscheidung. Ein Spieler trifft seine Wahl, die in einen der möglichen Punkte eine Stufe tiefer endet. In diesem Punkt trifft der zweite Spieler seine Entscheidung, die wiederum erneut in einen Entscheidungsknoten mündet. In dem unten grafisch dargestellten Beispiel hat jeder Spieler nur eine Entscheidung zu treffen, weshalb nach der Entscheidung von Spieler 2 die Payoffs feststehen. Der erstgenannte Payoff ist der des ersten Spielers und der Zweite der des Spieler 2. Soll ein statisches Spiel in der Extensivform dargestellt werden, muss grafisch dargestellt werden, dass Spieler 2 in seinen Entscheidungsknoten nicht weiß, wie sich der Spieler 1 entscheidet. Grafisch werden die Entscheidungsknoten des Spielers 2 durch eine gestrichelte Linie miteinander verbunden. Ein Beispiel ist in [[Spiele#Normalform#Umwandlung in Extensivform|Umwandlung in Extensivform]] zu sehen. 
[[Datei:Extensivform.png|400px|rahmenlos]] 
 
'''Umwandlung in Normalform''' 
Die Extensivform kann in die [[Normalform]] umgewandelt werden. Hierfür müssen alle reinen Strategien in die bekannte Matrix geschrieben werden. Spieler 1 hat lediglich die Strategien <math> S_1=\{A, B\} </math>. Die Strategien von Spieler 2 sind aufgrund der sequentiellen Form des Spiels anders als bei simultanen Spielen. Die Strategien bestehen aus allen möglichen Antworten auf eine der Strategien von Spieler 1. Spieler 2 hat beispielsweise die Möglichkeit immer C zu spielen. Er hat aber auch die Möglichkeit nur C zu spielen, wenn er A von Spieler 1 beobachtet und sonst D. Alle möglichen Kombinationen von Spieler 2 lauten <math> S_2=\{CC, CD, DC, DD\} </math> 
Die Payoffs lassen sich in der Extensivform ablesen. Für Spieler 2 ist entscheiden, ob der Spieler 1 A oder B spielt. Spielt Spieler 1 A, ist der erste Buchstabe von Spieler 2's Strategie relevant, spielt Spieler 2 B, der zweite Buchstabe. Muss beispielsweise der Payoff von (A, CD) ermittelt werden, kann der Spielbaum von oben entsprechend verfolgt werden. Spieler 1 wählt A, deshalb spielt Spieler 2 C. Der Payoff lautet (2, 2). 
Es ergibt sich: 
[[Datei:TSP2.png|500px|rahmenlos]]
[[Datei:ExtensivinNormal.png|500px|rahmenlos]]

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wählen Sie alle Spiele aus, die statisch sind
|type="[]"}
+ Lotto
- Mensch Ärgere Dich Nicht
- 4 gewinnt
+ Roulette
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie lautet das teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht des folgenden Spiels? 
[[Datei:ExtensivMC.png|500px|rahmenlos]]
|type="()"}
+ (A, DD)
- (A, CC)
- (B, DD)
- (B, CC)
- (A, CD)
- (B, DC)
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welches Nash Gleichgewicht aus dem sequentiellen Spiel oben ist nicht teilspielperfekt?
|type="()"}
+ (B, CD)
- (A, CD)
- (A, DD)
- (A, DC)
- (B, DC)
- (B, DD)
</quiz>

Spiele

2023-09-22T18:44:12Z

Leitzing:

==Definition==
Ein Spiel ist eine Situation, in der Spieler (Teilnehmer) strategische Entscheidungen treffen, die die Handlungen und Reaktionen der Mitspieler miteinbezieht.

__TOC__

==Strategien==
===Reine Strategien===
Ein Spieler hat mehrere Möglichkeiten, wie er in bestimmten Situationen entscheidet. Diese Möglichkeiten werden Strategien genannt. Ein Spieler entscheidet sich für eine Strategie (<math> s </math>) aus allen möglichen Strategien (<math> S </math>). Die mathematische Schreibweise lautet <math> s \in S </math>. Dies bedeutet nichts anderes, als dass die gewählte Strategie neben anderen Strategien zur Auswahl stand. Alle möglichen Strategien werden innerhalb einer geschwungenen Klammer dargestellt <math> S=\{s_1,s_2,s_3,...\}</math>. 
''Beispiel'': Beim bekannten "Schere Stein Papier" Spiel hat jeder Spieler drei Möglichkeiten, von denen er sich für eine entscheiden muss. Die Spieler wählen beide aus <math> s \in S</math>, wobei <math> S=\{Schere,Stein,Papier\}</math>.

===Gemischte Strategien===
Ein Spieler hat, neben der Möglichkeit sich für eine reine Strategie (entweder Stein oder Papier oder Schere) zu entscheiden, auch die Möglichkeit eine Strategie mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit zu spielen. Das Randomisieren der reinen Strategien wird gemischte Strategie genannt. <math> \sigma=(p_1,p_2,p_3, ...) </math> ist die Schreibweise von gemischten Strategien. Die erste reine Strategie wird mit einer Wahrscheinlichkeit <math> p_1 </math> gespielt und so weiter.

==Statische und Sequentielle Spiele==
===Statische Spiele===
Statische Spiele sind Spiele, bei denen die Spieler ihre Strategie gleichzeitig wählen. Ein Beispiel für ein statisches Spiel ist Schere/Stein/Papier. Beide Spieler müssen sich gleichzeitig für eine Strategie entscheiden. Sie können dementsprechend nicht beobachten, wie der andere Spieler agiert, bzw. für welche Strategie sich der andere Spieler entscheidet. In anderen Fällen treffen die Spieler ihre Entscheidungen nicht gleichzeitig, können aber dennoch nicht beobachten, wie der andere Spieler handelt. Schreibt beispielsweise erst Spieler 1 seine gewählte Strategie auf einen Zettel, lässt diesen zugedeckt und erst dann entscheidet sich Spieler 2, ist dies dennoch ein statisches Spiel.

===Sequentielle Spiele===
Sequenzielle Spiele (auch dynamische Spiele) sind Spiele, bei denen die Spieler aufeinanderfolgend ihre Strategie spielen. Ein Spieler beginnt und ein zweiter Spieler zieht nach. Der große Unterschied zu den statischen Spielen liegt darin, dass die Spieler die Handlungen der anderen Spieler beobachten können. Schach ist beispielsweise ein sequenzielles Spiel. Der Spieler mit den weißen Figuren (Spieler 1) macht den ersten Zug und der Spieler mit den schwarzen Figuren (Spieler 2) kann den Zug beobachten. Daraufhin zieht er seinen Zug, den wiederum Spieler 1 beobachten kann usw.

==Normalform==
Die Normalform ist eine mögliche Darstellung von Spielen. Die grafische Darstellung ist eine Tabelle, in der alle möglichen Strategien des einen Spielers (Spieler 1) an den Anfang jeder Zeile geschrieben werden. Die Strategien des anderen Spielers (Spieler 2) werden in die erste Zeile, an den Anfang jeder Spalte geschrieben. 
Als Beispiel soll das sehr bekannte Gefangenendillema dienen. Zwei Verbrecher stehen in unterschiedlichen Räumen unter Verhör und werden mit Vorwürden konfrontiert. Man kann ihnen beiden jeweils kleinere Verbrechen nachweisen, die zu einer Haftstrafe von 1 Jahren führen. Ihre möglichen Strategien lauten <math> S=\{Schweigen, Verrat\}</math>. Für wie lange sie verurteilt werden, hängt davon ab welche Strategie sie selbst wählen und welche Strategie der andere Verbrecher wählt. Die folgende Darstellung in Normalform soll die Haftstrafen beschreiben. 
[[Datei:Gefangenendilemma.png|401px|rahmenlos]] 
 
Verrät der eine Verbrecher (Spieler 1) den anderen Verbrecher (Spieler 2) und dieser verrät ihn ebenfalls, müssen beide für 5 Jahre. Wählt Spieler 1 Verrat und Spieler 2 Schweigen, bekommt Spieler 1 die Kronzeugenregelung und muss gar nicht ins Gefängnis. Spieler 2 hingegen muss sogar 10 Jahre hinter Gitter. Die anderen Payoffs sind mit einer ähnlichen Intuition zu verstehen. 
 
'''Umwandlung in Extensivform''' 
Die Normalform kann in die [[Extensivform]] übersetzt werden. Bisher wurde ein statisches Spiel betrachtet. Die Extensivform in der Spielbaumoptik beschreibt aber ohne weitere Modifikation ein sequenzielles Spiel. Der Spieler, der weiter oben steht, zieht zuerst und danach folgt der andere Spieler. Daher muss etwas eingeführt werden, was verdeutlicht, dass der zweite Spieler nicht weiß, wie sich der erste entschieden hat. 
[[Datei:Gefangenendilemma.png|401px|rahmenlos]]
[[Datei:NormalInExtensiv.png|399px|rahmenlos]]
 
 
Die gestrichelte Linie signalisiert, dass Spieler 2 nicht weiß, in welchem Entscheidungsknoten er sich befindet. Die Payoffs selbst verändern sich nicht, nur durch die Übersetzung in die Extensivform. Spielen beide Verrat, erhalten beide auch weiterhin einen Payoff von -5.
==Extensivform==
Die [[Extensivform]] eines Spiels ist auch als Spielbaum bekannt. In jedem Knotenpunkt trifft ein Spieler eine Entscheidung. Ein Spieler trifft seine Wahl, die in einen der möglichen Punkte eine Stufe tiefer endet. In diesem Punkt trifft der zweite Spieler seine Entscheidung, die wiederum erneut in einen Entscheidungsknoten mündet. In dem unten grafisch dargestellten Beispiel hat jeder Spieler nur eine Entscheidung zu treffen, weshalb nach der Entscheidung von Spieler 2 die Payoffs feststehen. Der erstgenannte Payoff ist der des ersten Spielers und der Zweite der des Spieler 2. Soll ein statisches Spiel in der Extensivform dargestellt werden, muss grafisch dargestellt werden, dass Spieler 2 in seinen Entscheidungsknoten nicht weiß, wie sich der Spieler 1 entscheidet. Grafisch werden die Entscheidungsknoten des Spielers 2 durch eine gestrichelte Linie miteinander verbunden. Ein Beispiel ist in [[Spiele#Normalform#Umwandlung in Extensivform|Umwandlung in Extensivform]] zu sehen. 
[[Datei:Extensivform.png|400px|rahmenlos]] 
 
'''Umwandlung in Normalform''' 
Die Extensivform kann in die [[Normalform]] umgewandelt werden. Hierfür müssen alle reinen Strategien in die bekannte Matrix geschrieben werden. Spieler 1 hat lediglich die Strategien <math> S_1=\{A, B\} </math>. Die Strategien von Spieler 2 sind aufgrund der sequentiellen Form des Spiels anders als bei simultanen Spielen. Die Strategien bestehen aus allen möglichen Antworten auf eine der Strategien von Spieler 1. Spieler 2 hat beispielsweise die Möglichkeit immer C zu spielen. Er hat aber auch die Möglichkeit nur C zu spielen, wenn er A von Spieler 1 beobachtet und sonst D. Alle möglichen Kombinationen von Spieler 2 lauten <math> S_2=\{CC, CD, DC, DD\} </math> 
Die Payoffs lassen sich in der Extensivform ablesen. Für Spieler 2 ist entscheiden, ob der Spieler 1 A oder B spielt. Spielt Spieler 1 A, ist der erste Buchstabe von Spieler 2's Strategie relevant, spielt Spieler 2 B, der zweite Buchstabe. Muss beispielsweise der Payoff von (A, CD) ermittelt werden, kann der Spielbaum von oben entsprechend verfolgt werden. Spieler 1 wählt A, deshalb spielt Spieler 2 C. Der Payoff lautet (2, 2). 
Es ergibt sich: 
[[Datei:TSP2.png|500px|rahmenlos]]
[[Datei:ExtensivinNormal.png|500px|rahmenlos]]

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wählen Sie alle Spiele aus, die statisch sind
|type="[]"}
+ Lotto
- Mensch Ärgere Dich Nicht
- 4 gewinnt
+ Roulette
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie lautet das teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht des folgenden Spiels? 
[[Datei:ExtensivMC.png|500px|rahmenlos]]
|type="()"}
+ (A, DD)
- (A, CC)
- (B, DD)
- (B, CC)
- (A, CD)
- (B, DC)
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welches Nash Gleichgewicht aus dem sequentiellen Spiel oben ist nicht teilspielperfekt?
|type="()"}
+ (B, CD)
- (A, CD)
- (A, DD)
- (A, DC)
- (B, DC)
- (B, DD)
</quiz>

Spiele

2023-09-22T18:38:06Z

Leitzing:

==Definition==
Ein Spiel ist eine Situation, in der Spieler (Teilnehmer) strategische Entscheidungen treffen, die die Handlungen und Reaktionen der Mitspieler miteinbezieht.

__TOC__

==Strategien==
===Reine Strategien===
Ein Spieler hat mehrere Möglichkeiten, wie er in bestimmten Situationen entscheidet. Diese Möglichkeiten werden Strategien genannt. Ein Spieler entscheidet sich für eine Strategie (<math> s </math>) aus allen möglichen Strategien (<math> S </math>). Die mathematische Schreibweise lautet <math> s \in S </math>. Dies bedeutet nichts anderes, als dass die gewählte Strategie neben anderen Strategien zur Auswahl stand. Alle möglichen Strategien werden innerhalb einer geschwungenen Klammer dargestellt <math> S=\{s_1,s_2,s_3,...\}</math>. 
''Beispiel'': Beim bekannten "Schere Stein Papier" Spiel hat jeder Spieler drei Möglichkeiten, von denen er sich für eine entscheiden muss. Die Spieler wählen beide aus <math> s \in S</math>, wobei <math> S=\{Schere,Stein,Papier\}</math>.

===Gemischte Strategien===
Ein Spieler hat, neben der Möglichkeit sich für eine reine Strategie (entweder Stein oder Papier oder Schere) zu entscheiden, auch die Möglichkeit eine Strategie mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit zu spielen. Das Randomisieren der reinen Strategien wird gemischte Strategie genannt. <math> \sigma=(p_1,p_2,p_3, ...) </math> ist die Schreibweise von gemischten Strategien. Die erste reine Strategie wird mit einer Wahrscheinlichkeit <math> p_1 </math> gespielt und so weiter.

==Statische und Sequentielle Spiele==
===Statische Spiele===
Statische Spiele sind Spiele, bei denen die Spieler ihre Strategie gleichzeitig wählen. Ein Beispiel für ein statisches Spiel ist Schere/Stein/Papier. Beide Spieler müssen sich gleichzeitig für eine Strategie entscheiden. Sie können dementsprechend nicht beobachten, wie der andere Spieler agiert, bzw. für welche Strategie sich der andere Spieler entscheidet. In anderen Fällen treffen die Spieler ihre Entscheidungen nicht gleichzeitig, können aber dennoch nicht beobachten, wie der andere Spieler handelt. Schreibt beispielsweise erst Spieler 1 seine gewählte Strategie auf einen Zettel, lässt diesen zugedeckt und erst dann entscheidet sich Spieler 2, ist dies dennoch ein statisches Spiel.

===Sequentielle Spiele===
Sequenzielle Spiele (auch dynamische Spiele) sind Spiele, bei denen die Spieler aufeinanderfolgend ihre Strategie spielen. Ein Spieler beginnt und ein zweiter Spieler zieht nach. Der große Unterschied zu den statischen Spielen liegt darin, dass die Spieler die Handlungen der anderen Spieler beobachten können. Schach ist beispielsweise ein sequenzielles Spiel. Der Spieler mit den weißen Figuren (Spieler 1) macht den ersten Zug und der Spieler mit den schwarzen Figuren (Spieler 2) kann den Zug beobachten. Daraufhin zieht er seinen Zug, den wiederum Spieler 1 beobachten kann usw.

==Normalform==
Die Normalform ist eine mögliche Darstellung von Spielen. Die grafische Darstellung ähnelt stark einer Tabelle, in der alle möglichen Strategien des einen Spielers (Spieler 1) an den Anfang jeder Zeile geschrieben werden. Die Strategien des anderen Spielers (Spieler 2) werden in die erste Zeile, an den Anfang jeder Spalte geschrieben. 
Als Beispiel soll das sehr bekannte Gefangenendillema dienen. Zwei Verbrecher stehen in unterschiedlichen Räumen unter Verhör und werden mit Vorwürden konfrontiert. Man kann ihnen beiden jeweils kleinere Verbrechen nachweisen, die zu einer Haftstrafe von 1 Jahren führen. Ihre möglichen Strategien lauten <math> S=\{Schweigen, Verrat\}</math>. Für wie lange sie verurteilt werden, hängt davon ab welche Strategie sie selbst wählen und welche Strategie der andere Verbrecher wählt. Die folgende Darstellung in Normalform soll die Haftstrafen beschreiben. 
[[Datei:Gefangenendilemma.png|401px|rahmenlos]] 
 
Verrät der eine Verbrecher (Spieler 1) den anderen Verbrecher (Spieler 2) und dieser verrät ihn ebenfalls, müssen beide für 5 Jahre. Wählt Spieler 1 Verrat und Spieler 2 Schweigen, bekommt Spieler 1 die Kronzeugenregelung und muss gar nicht ins Gefängnis. Spieler 2 hingegen muss sogar 10 Jahre hinter Gitter. Die anderen Payoffs sind mit einer ähnlichen Intuition zu verstehen. 
 
'''Umwandlung in Extensivform''' 
Die Normalform kann in die [[Extensivform]] übersetzt werden. Bisher wurde ein statisches Spiel betrachtet. Die Extensivform in der Spielbaumoptik beschreibt aber ohne weitere Modifikation ein sequenzielles Spiel. Der Spieler, der weiter oben steht, zieht zuerst und danach folgt der andere Spieler. Daher muss etwas eingeführt werden, was verdeutlicht, dass der zweite Spieler nicht weiß, wie sich der erste entschieden hat. 
[[Datei:Gefangenendilemma.png|401px|rahmenlos]]
[[Datei:NormalInExtensiv.png|399px|rahmenlos]]
 
 
Die gestrichelte Linie signalisiert, dass Spieler 2 nicht weiß, in welchem Entscheidungsknoten er sich befindet. Die Payoffs selbst verändern sich nicht, nur durch die Übersetzung in die Extensivform. Spielen beide Verrat, erhalten beide auch weiterhin einen Payoff von -5.
==Extensivform==
Die [[Extensivform]] eines Spiels ist auch als Spielbaum bekannt. In jedem Knotenpunkt trifft ein Spieler eine Entscheidung. Ein Spieler trifft seine Wahl, die in einen der möglichen Punkte eine Stufe tiefer endet. In diesem Punkt trifft der zweite Spieler seine Entscheidung, die wiederum erneut in einen Entscheidungsknoten mündet. In dem unten grafisch dargestellten Beispiel hat jeder Spieler nur eine Entscheidung zu treffen, weshalb nach der Entscheidung von Spieler 2 die Payoffs feststehen. Der erstgenannte Payoff ist der des ersten Spielers und der Zweite der des Spieler 2. Soll ein statisches Spiel in der Extensivform dargestellt werden, muss grafisch dargestellt werden, dass Spieler 2 in seinen Entscheidungsknoten nicht weiß, wie sich der Spieler 1 entscheidet. Grafisch werden die Entscheidungsknoten des Spielers 2 durch eine gestrichelte Linie miteinander verbunden. Ein Beispiel ist in [[Spiele#Normalform#Umwandlung in Extensivform|Umwandlung in Extensivform]] zu sehen. 
[[Datei:Extensivform.png|400px|rahmenlos]] 
 
'''Umwandlung in Normalform''' 
Die Extensivform kann in die [[Normalform]] umgewandelt werden. Hierfür müssen alle reinen Strategien in die bekannte Matrix geschrieben werden. Spieler 1 hat lediglich die Strategien <math> S_1=\{A, B\} </math>. Die Strategien von Spieler 2 sind aufgrund der sequentiellen Form des Spiels anders als bei simultanen Spielen. Die Strategien bestehen aus allen möglichen Antworten auf eine der Strategien von Spieler 1. Spieler 2 hat beispielsweise die Möglichkeit immer C zu spielen. Er hat aber auch die Möglichkeit nur C zu spielen, wenn er A von Spieler 1 beobachtet und sonst D. Alle möglichen Kombinationen von Spieler 2 lauten <math> S_2=\{CC, CD, DC, DD\} </math> 
Die Payoffs lassen sich in der Extensivform ablesen. Für Spieler 2 ist entscheiden, ob der Spieler 1 A oder B spielt. Spielt Spieler 1 A, ist der erste Buchstabe von Spieler 2's Strategie relevant, spielt Spieler 2 B, der zweite Buchstabe. Muss beispielsweise der Payoff von (A, CD) ermittelt werden, kann der Spielbaum von oben entsprechend verfolgt werden. Spieler 1 wählt A, deshalb spielt Spieler 2 C. Der Payoff lautet (2, 2). 
Es ergibt sich: 
[[Datei:TSP2.png|500px|rahmenlos]]
[[Datei:ExtensivinNormal.png|500px|rahmenlos]]

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wählen Sie alle Spiele aus, die statisch sind
|type="[]"}
+ Lotto
- Mensch Ärgere Dich Nicht
- 4 gewinnt
+ Roulette
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie lautet das teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht des folgenden Spiels? 
[[Datei:ExtensivMC.png|500px|rahmenlos]]
|type="()"}
+ (A, DD)
- (A, CC)
- (B, DD)
- (B, CC)
- (A, CD)
- (B, DC)
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welches Nash Gleichgewicht aus dem sequentiellen Spiel oben ist nicht teilspielperfekt?
|type="()"}
+ (B, CD)
- (A, CD)
- (A, DD)
- (A, DC)
- (B, DC)
- (B, DD)
</quiz>

Coase Theorem

2023-09-22T18:37:22Z

Leitzing:

==Definition==
Das Coase Theorem besagt, dass die Zuweisung von Eigentumsrechten zu einer pareto effizienten Allokation führt und das Externalitäten-Problem löst. Die genaue Verteilung der Eigentumsrechte ist aus allokativer Sicht irrelevant (es wird in beiden Fällen gleich viel verschmutzt). Die Verteilung der Eigentumsrechte hat demnach lediglich Verteilungseffekte.

__TOC__

==Szenario==
An einem Fluss produzieren zwei Unternehmen: eine Fischzucht und ein Chemieunternehmen. Das Chemieunternehmen liegt flussaufwärts und leitet Chemikalien in den Fluss, sodass diese die Produktion der Fischzucht beeinflussen. Dies ist eine [[Externalitäten und Internalisierung#Negative Externalitäten|negative Externalität]]. Wenn das Chemieunternehmen produziert, macht es einen Gewinn, der im Weiteren zur Vereinfachung gleichbedeutend mit seinem Nutzen ist. Macht das Chemieunternehmen einen Gewinn von 40, hat es auch einen Nutzen von 40. Die Fischzucht ist darauf angewiesen, dass das Chemieunternehmen nicht produziert, da sonst andernfalls alle Fische sterben und die Fischzucht keinen Gewinn machen kann. Ohne Absprachen zwischen den beiden Unternehmen wird nur die Chemiefabrik produzieren und einen Gewinn von 40 machen, da das Unternehmen seien Gewinn maximiert und dabei die Fischzucht nicht miteinbezieht. Die andere Möglichkeit, dass die Chemiefabrik nicht produziert und dafür die Fischzucht einen Gewinn von 60 macht, wird nicht eintreten. 
{| class="wikitable" style="color:#333333;"
|-
!
! colspan="2" | Nutzen
|-
|
| Chemie 
| Fisch
|-
| Möglichkeit 1
| 40
| 0
|-
| Möglichkeit 2
| 0
| 60
|}
 
Möglichkeit 2 wird nicht eintreten, da die Chemiefabrik den eignen Nutzen maximiert, der in Möglichkeit 1 (Produktion der Chemiefabrik) größer ist als in Möglichkeit 2 (Keine Produktion der Chemiefabrik). Die Chemiefabrik sitzt Flussaufwärts und bestimmt durch die Unternehmensentscheidung den Gewinn der Fischfabrik.

==Coase Theorem ohne Transaktionskosten==
Das Coase Theorem im engeren Sinne betrachtet einen Markt mit Abwesenheit von Transaktionskosten und Einkommenseffekten. Außerdem sollen [[Zusammenfassung Marktversagen#Unvollständige Informationen|symmetrischer Information]] vorliegen. Im Grunde sind beide Unternehmen über alle Gewinne und Kosten informiert. Zudem sollen keine Kosten entstehen, wenn beide Unternehmen miteinander verhandeln. Verhandlungsgegenstand soll die Frage sein, ob ein Unternehmen produzieren darf oder nicht. Angenommen die Fischfabrik verfügt über Eigentumsrechte, dann entscheiden die Verhandlungen darüber, ob die Fischfabrik der Chemiefabrik erlaubt zu produzieren oder es nicht erlaubt. Ein Grund trotz Eigentumsrechte selbst nicht zu produzieren ist, dass das Unternehmen mit den Eigentumsrechten von dem Unternehmen ohne die Eigentumsrechten eine Summe erhält, die mindestens so groß wie der Gewinne im Falle der Produktion ist. Hat Unternehmen A beispielsweise die Eigentumsrechte und macht bei Produktion einen Gewinn von 30, hört es auf zu produzieren, wenn es von einem anderen Unternehmen mindestes 30 erhält. 
Für das beschriebene [[Coase Theorem#Szenario|Szenario]] kann entweder die Fischzucht (F) oder die Chemiefabrik (C) über die Eigentumsrechte verfügen. 
{| class="wikitable"
|-
! Eigentumsrecht bei
! Gewinn C
! Gewinn F
! gesamt 
! resultierende Allokation
|-
| C
| 40 
| 60- 40 
| 60
| C schließt 
|-
| F
| 0
| 60
| 60
| C schließt
|}
 
Im ersten Fall hat die Chemiefabrik das Eigentumsrecht über den Fluss. Produziert die Chemiefabrik erhält es einen Gewinn von 40 und die Fischzucht kann nicht produzieren und auch keinen Gewinn von 60 einfahren. Daher kann die Fischfabrik einen Teil seines Gewinns an die Chemiefabrik zahlen, damit diese doch nicht produziert. Ab einer Summe, die dem Gewinn entspricht, akzeptiert die Chemiefabrik das Angebot. Der Gewinn der Chemiefabrik in Höhe von 40 stammt nicht aus der Produktion, sondern von der Zahlung der Fischfabrik. 
Im zweiten Fall hat die Fischzucht das Eigentumsrecht über den Fluss. In dem Fall kann die Chemiefabrik der Fischzucht keine Summe zahlen, damit sie Chemikalien produzieren kann. Selbst wenn die Chemiefabrik den gesamten Gewinn an die Fischzucht zahlt, ist dies kleiner, als wenn die Fischzucht selbst produziert (60>40). Daher würde die Fischzucht der Chemiefabrik verbieten zu produzieren. 
Das Ergebnis der Eigentumsrechte ist unabhängig davon welches Unternehmen sie erhalten. In beide Fällen hört die Chemiefabrik auf zu produzieren und der Aggregierte Gewinn beider Unternehmen beträgt 60. 
Bei Abwesenheit von Transaktionskosten und Einkommenseffekten und bei symmetrischer Information führt eine Vergabe von Eigentumsrechten zu einer pareto-effizienten Allokation. Dieses Allokationsergebnis ist unabhängig von der Verteilung der Eigentumsrechte.

==Coase Theorem mit Reduzierungstechnologie==
Die Annahmen des Modells sollen fürs Erste nicht weiter angepasst werden. Es sollen weiterhin asymmetrische Informationen vorliegen und Transaktionskosten und Einkommenseffekte sollen nicht vorliegen. Stattdessen soll die Chemiefabrik über eine Vermeidungstechnologie verfügen, die den Gewinn schmälert, jedoch auch die Produktion der Fischzucht ermöglichen würde. In dem Beispiel könnte die Vermeidungstechnologie eine fachgerechte Entsorgung der Chemieabfälle sein, die 20 Einheiten kostet. In den Verhandlungen ist neben der Frage ob ein Unternehmen produziert oder nicht ebenfalls die Frage ein Thema, ob und wer die Vermeidungstechnologie bezahlt. 
{| class="wikitable"
|-
! Eigentumsrecht bei
! Gewinn C
! Gewinn F
! gesamt 
! resultierende Allokation
|-
| C
| 40-20+20
| 60-20
| 80
| F zahlt Vermeidungskosten 
|-
| F
| 40-20 
| 60
| 80
| C zahlt Vermeidungskosten
|}
 
Im ersten Fall liegen das Eigentumsrecht über den Fluss bei dem Chemieunternehmen. In den Verhandlungen müssen drei Szenarien miteinander abgewogen werden. Das erste Szenario wäre, dass nur die Chemiefabrik produziert. In dem Fall macht dieses einen Gewinn von 40. Im zweiten Szenario bekommt das Chemieunternehmen von der Fischzucht 40 für den Produktionsstop gezahlt und die Fischzucht macht abzüglich der Zahlung an C einen Gewinn von 20. Im dritten Szenario übernimmt die Fischzucht die Kosten der Vermeidungstechnologie. Die 20 Einheiten bekommt das Chemieunternehmen von der Fischzucht ersetzt. Das Chemieunternehmen macht weiterhin einen Gewinn von 40 und die Fischzucht einen Gewinn von 40 (60-20). Das Chemieunternehmen ist indifferent zwischen allen drei Szenarien und die Fischzucht präferiert das letzte Szenario. 
Im zweiten Fall verfügt die Fischzucht über das Eigentumsrecht über den Fluss. Entweder die Chemiefabrik stoppt die Produktion oder die Chemiefabrik zahlt die Kosten der Vermeidungstechnologie. F ist indifferent und C präferiert das zweite Modell. 
Auch hier ist die resultierende gesamtwirtschaftliche Allokation offensichtlich unabhängig von der Verteilung der Eigentumsrechte, solange die Vermeidungstechnologie genutzt wird.

==Coase Theorem mit Transaktionskosten==
Das Modell soll um Transaktionskosten erweitert werden. Bei den Verhandlungen entstehen nun Kosten, die von einer Partei getragen werden müssen. Die Kosten betragen annahmegemäß 25. Des Weiteren soll weiterhin die Möglichkeit der Vermeidungstechnologie existieren. 
{| class="wikitable"
|-
! Eigentumsrecht bei
! Gewinn C
! Gewinn F
! gesamt 
! resultierende Allokation
|-
| C
| 40
| 60-20-25
| 55
| Vermeidungstechnologoie 
|-
| F
| 0 
| 60
| 60
| keine Vermeidungstechnologie
|}
 
Im ersten Fall hat die Chemiefabrik das Eigentumsrecht über den Fluss. Jegliches Angebot, das sie schlechter stellt, wird sie ablehnen. Daher ist es an der Fischzucht die Transaktionskosten zu zahlen. Außerdem zahlt die Fischzucht die Vermeidungstechnologie, damit sie nicht 40 an C zum Produktionsstopp, sondern nur 20 für die Technologie zahlen muss. 
Im zweiten Fall hat die Fischzucht das Eigentumsrecht über den Fluss. Jegliches Angebot, dass der Fischzucht weniger als 60 garantiert, lehnt sie ab. Würde die Chemiefabrik die Verhandlungen wollen, müsste sie die 25 zahlen. Von dem Gewinn 40 bleiben nur noch 15 übrig. Entweder die Chemiefabrik zahlt der Fischzucht den Gewinn von 60 oder sie zahlt die Vermeidungstechnologie von 20. Zu beidem ist die Chemiefabrik nicht in der Lage, da ihr nur 15 zur Verfügung stehen. 
Das Beispiel zeigt, dass das Coase Theorem nur bei nicht Vorhandensein von Transaktionskosten oder bei geringen Transaktionskosten Gültigkeit behält. Man kann/könnte allerdings argumentieren, dass unter Einbeziehung der Verhandlungskosten das Ergebnis nach wie vor effizient ist.

==Kritik==
Das Coase Theorem gilt nur bei Nichtberücksichtigung von Einkommenseffekten bei den Wirtschaftssubjekten und dem Vorliegen asymmetrischer Informationen. Außerdem gilt es nur, wenn die Transaktionskosten nicht vorhanden oder sehr gering sind. Je mehr Marktteilnehmer jedoch einbezogen werden müssen, desto größer sind diese. Das Coase-Theorem ist daher nur für Märkte relevant, auf denen sehr wenige Marktteilnehmer agieren.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Das Coase-Theorem besagt, dass eine Wirtschaft bei Auftreten von Externalitäten...
|type="()"}
+ ... zu einer effizienten Lösung gelangt, wenn die Transaktionskosten hinreichend niedrig oder nicht vorhanden sind.
- ... immer zu einer effizienten Allokation findet.
- ... nie zu einer effizienten Allokation finden kann.
- ... ledigich durch staatliche Maßnahmen zu einer effizienten Allokation findet.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Das Coase-Theorem sagt aus, dass
|type="()"}
- Effizienz erreicht werden kann, wenn ein einziger Besitzer die Ressource im Gemeinschaftseigentum verwaltet.
- ein effizientes Ergebnis erreicht werden kann, wenn der Partei Eigentumsrechte gewährt werden, die der Gesellschaft eine negative Externalität auferlegt.
- bei unvollständigen Informationen Grenzwerte effizienter sind als Emissionsgebühren.
+ (keine der oben genannten Möglichkeiten ist korrekt).
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{In einer Industrie agieren zwei Unternehmen. Die Produktion von Unternehmen 1 beeinflusst durch negative Externalitäten auch die Produktion von Unternehmen 2. Produziert nur U1, macht es einen Gewinn von 80 und U2 einen Gewinn von 0. Produziert nur U2 macht es einen Gewinn von 20 und U1 0. Außerdem gibt es eine weitere Möglichkeit, bei der U1 einen Gewinn von 30 und U2 einen in der Höhe von 10 erzielt. Angenommen Unternehmen 2 verfügt über die Eigentumsrechte, ab welcher Summe würde Unternehmen 2 Unternehmen 1 erlauben zu produzieren und welche minimale Summe würde Unternehmen 1 gewinnmaximal zahlen? 
{| class="wikitable"
|-
!
! Unternehmen 1
! Unternehmen 2
|-
| Möglichkeit 1
| 80
| 0
|-
| Möglichkeit 2
| 30
| 10 
|-
| Möglichkeit 3
| 0
| 20
|}

|type="{}"}
Ab welcher Summe lässt U2 das U1 produzieren? { 10 }
Welche Summe zahlt U1 gewinnmaximal an U2? { 20 }
</quiz>

Coase Theorem

2023-09-22T18:36:47Z

Leitzing:

==Definition==
Das Coase Theorem besagt, dass die Zuweisung von Eigentumsrechten zu einer pareto effizienten Allokation führt und das Externalitäten-Problem löst. Die genaue Verteilung der Eigentumsrechte ist aus allokativer Sicht irrelevant (es wird in beiden Fällen gleich viel verschmutzt). Die Verteilung der Eigentumsrechte hat demnach lediglich Verteilungseffekte.

__TOC__

==Szenario==
An einem Fluss produzieren zwei Unternehmen: eine Fischzucht und ein Chemieunternehmen. Das Chemieunternehmen liegt flussaufwärts und leitet Chemikalien in den Fluss, sodass diese die Produktion der Fischzucht beeinflussen. Dies ist eine [[Externalitäten und Internalisierung#Negative Externalitäten|negative Externalität]]. Wenn das Chemieunternehmen produziert, macht es einen Gewinn, der im Weiteren zur Vereinfachung gleichbedeutend mit seinem Nutzen ist. Macht das Chemieunternehmen einen Gewinn von 40, hat es auch einen Nutzen von 40. Die Fischzucht ist darauf angewiesen, dass das Chemieunternehmen nicht produziert, da sonst andernfalls alle Fische sterben und die Fischzucht keinen Gewinn machen kann. Ohne Absprachen zwischen den beiden Unternehmen wird nur die Chemiefabrik produzieren und einen Gewinn von 40 machen, da das Unternehmen seien Gewinn maximiert und dabei die Fischzucht nicht miteinbezieht. Die andere Möglichkeit, dass die Chemiefabrik nicht produziert und dafür die Fischzucht einen Gewinn von 60 macht, wird nicht eintreten. 
{| class="wikitable" style="color:#333333;"
|-
!
! colspan="2" | Nutzen
|-
|
| Chemie 
| Fisch
|-
| Möglichkeit 1
| 40
| 0
|-
| Möglichkeit 2
| 0
| 60
|}
 
Möglichkeit 2 wird nicht eintreten, da die Chemiefabrik den eignen Nutzen maximiert, der in Möglichkeit 1 (Produktion der Chemiefabrik) größer ist als in Möglichkeit 2 (Keine Produktion der Chemiefabrik). Die Chemiefabrik sitzt Flussaufwärts und bestimmt durch die Unternehmensentscheidung den Gewinn der Fischfabrik.

==Coase Theorem ohne Transaktionskosten==
Das Coase Theorem im engeren Sinne betrachtet einen Markt mit Abwesenheit von Transaktionskosten und Einkommenseffekten. Außerdem sollen [[Zusammenfassung Marktversagen#Unvollständige Informationen|symmetrischer Information]] vorliegen. Im Grunde sind beide Unternehmen über alle Gewinne und Kosten informiert. Zudem sollen keine Kosten entstehen, wenn beide Unternehmen miteinander verhandeln. Verhandlungsgegenstand soll die Frage sein, ob ein Unternehmen produzieren darf oder nicht. Angenommen die Fischfabrik verfügt über Eigentumsrechte, dann entscheiden die Verhandlungen darüber, ob die Fischfabrik der Chemiefabrik erlaubt zu produzieren oder es nicht erlaubt. Ein Grund trotz Eigentumsrechte selbst nicht zu produzieren ist, dass das Unternehmen mit den Eigentumsrechten von dem Unternehmen ohne die Eigentumsrechten eine Summe erhält, die mindestens so groß wie der Gewinne im Falle der Produktion ist. Hat Unternehmen A beispielsweise die Eigentumsrechte und macht bei Produktion einen Gewinn von 30, hört es auf zu produzieren, wenn es von einem anderen Unternehmen mindestes 30 erhält. 
Für das beschriebene [[Coase Theorem#Szenario|Szenario]] kann entweder die Fischzucht (F) oder die Chemiefabrik (C) über die Eigentumsrechte verfügen. 
{| class="wikitable"
|-
! Eigentumsrecht bei
! Gewinn C
! Gewinn F
! gesamt 
! resultierende Allokation
|-
| C
| 40 
| 60- 40 
| 60
| C schließt 
|-
| F
| 0
| 60
| 60
| C schließt
|}
 
Im ersten Fall hat die Chemiefabrik das Eigentumsrecht über den Fluss. Produziert die Chemiefabrik erhält es einen Gewinn von 40 und die Fischzucht kann nicht produzieren und auch keinen Gewinn von 60 einfahren. Daher kann die Fischfabrik einen Teil seines Gewinns an die Chemiefabrik zahlen, damit diese doch nicht produziert. Ab einer Summe, die dem Gewinn entspricht, akzeptiert die Chemiefabrik das Angebot. Der Gewinn der Chemiefabrik in Höhe von 40 stammt nicht aus der Produktion, sondern von der Zahlung der Fischfabrik. 
Im zweiten Fall hat die Fischzucht das Eigentumsrecht über den Fluss. In dem Fall kann die Chemiefabrik der Fischzucht keine Summe zahlen, damit sie Chemikalien produzieren kann. Selbst wenn die Chemiefabrik den gesamten Gewinn an die Fischzucht zahlt, ist dies kleiner, als wenn die Fischzucht selbst produziert (60>40). Daher würde die Fischzucht der Chemiefabrik verbieten zu produzieren. 
Das Ergebnis der Eigentumsrechte ist unabhängig davon welches Unternehmen sie erhalten. In beide Fällen hört die Chemiefabrik auf zu produzieren und der Aggregierte Gewinn beider Unternehmen beträgt 60. 
Bei Abwesenheit von Transaktionskosten und Einkommenseffekten und bei symmetrischer Information führt eine Vergabe von Eigentumsrechten zu einer pareto-effizienten Allokation. Dieses Allokationsergebnis ist unabhängig von der Verteilung der Eigentumsrechte.

==Coase Theorem mit Reduzierungstechnologie==
Die Annahmen des Modells sollen fürs Erste nicht weiter angepasst werden. Es sollen weiterhin asymmetrische Informationen vorliegen und Transaktionskosten und Einkommenseffekte sollen nicht vorliegen. Stattdessen soll die Chemiefabrik über eine Vermeidungstechnologie verfügen, die den Gewinn schmälert, jedoch auch die Produktion der Fischzucht ermöglichen würde. In dem Beispiel könnte die Vermeidungstechnologie eine fachgerechte Entsorgung der Chemieabfälle sein, die 20 Einheiten kostet. In den Verhandlungen ist neben der Frage ob ein Unternehmen produziert oder nicht ebenfalls die Frage ein Thema, ob und wer die Vermeidungstechnologie bezahlt. 
{| class="wikitable"
|-
! Eigentumsrecht bei
! Gewinn C
! Gewinn F
! gesamt 
! resultierende Allokation
|-
| C
| 40-20+20
| 60-20
| 80
| F zahlt Vermeidungskosten 
|-
| F
| 40-20 
| 60
| 80
| C zahlt Vermeidungskosten
|}
 
Im ersten Fall liegen das Eigentumsrecht über den Fluss bei dem Chemieunternehmen. In den Verhandlungen müssen drei Szenarien miteinander abgewogen werden. Das erste Szenario wäre, dass nur die Chemiefabrik produziert. In dem Fall macht dieses einen Gewinn von 40. Im zweiten Szenario bekommt das Chemieunternehmen von der Fischzucht 40 für den Produktionsstop gezahlt und die Fischzucht macht abzüglich der Zahlung an C einen Gewinn von 20. Im dritten Szenario übernimmt die Fischzucht die Kosten der Vermeidungstechnologie. Die 20 Einheiten bekommt das Chemieunternehmen von der Fischzucht ersetzt. Das Chemieunternehmen macht weiterhin einen Gewinn von 40 und die Fischzucht einen Gewinn von 40 (60-20). Das Chemieunternehmen ist indifferent zwischen allen drei Szenarien und die Fischzucht präferiert das letzte Szenario. 
Im zweiten Fall verfügt die Fischzucht über das Eigentumsrecht über den Fluss. Entweder die Chemiefabrik stoppt die Produktion oder die Chemiefabrik zahlt die Kosten der Vermeidungstechnologie. F ist indifferent und C präferiert das zweite Modell. 
Auch hier ist die resultierende gesamtwirtschaftliche Allokation offensichtlich unabhängig von der Verteilung der Eigentumsrechte, solange die Vermeidungstechnologie genutzt wird.

==Coase Theorem mit Transaktionskosten==
Das Modell soll um Transaktionskosten erweitert werden. Bei den Verhandlungen entstehen nun Kosten, die von einer Partei getragen werden müssen. Die Kosten betragen annahmegemäß 25. Des Weiteren soll weiterhin die Möglichkeit der Vermeidungstechnologie existieren. 
{| class="wikitable"
|-
! Eigentumsrecht bei
! Gewinn C
! Gewinn F
! gesamt 
! resultierende Allokation
|-
| C
| 40
| 60-20-25
| 55
| Vermeidungstechnologoie 
|-
| F
| 0 
| 60
| 60
| keine Vermeidungstechnologie
|}
 
Im ersten Fall hat die Chemiefabrik das Eigentumsrecht über den Fluss. Jegliches Angebot, das sie schlechter stellt, wird sie ablehnen. Daher ist es an der Fischzucht die Transaktionskosten zu zahlen. Außerdem zahlt die Fischzucht die Vermeidungstechnologie, damit sie nicht 40 an C zum Produktionsstopp, sondern nur 20 für die Technologie zahlen muss. 
Im zweiten Fall hat die Fischzucht das Eigentumsrecht über den Fluss. Jegliches Angebot, dass der Fischzucht weniger als 60 garantiert, lehnt sie ab. Würde die Chemiefabrik die Verhandlungen wollen, müsste sie die 25 zahlen. Von dem Gewinn 40 bleiben nur noch 15 übrig. Entweder die Chemiefabrik zahlt der Fischzucht den Gewinn von 60 oder sie zahlt die Vermeidungstechnologie von 20. Zu beidem ist die Chemiefabrik nicht in der Lage, da ihr nur 15 zur Verfügung stehen. 
Das Beispiel zeigt, dass das Coase Theorem nur bei nicht Vorhandensein von Transaktionskosten oder bei geringen Transaktionskosten Gültigkeit behält. Man kann/könnte allerdings argumentieren, dass unter Einbeziehung der Verhandlungskosten das Ergebnis nach wie vor effizient ist.

==Kritik==
Das Coase Theorem gilt nur bei Nichtberücksichtigung von Einkommenseffekten bei den Wirtschaftssubjekten und dem Vorliegen asymmetrischer Informationen. Außerdem gilt es nur, wenn die Transaktionskosten nicht vorhanden oder sehr gering sind. Je mehr Marktteilnehmer jedoch einbezogen werden müssen, desto größer sind diese. Das Coase-Theorem ist daher nur für Märkte relevant, auf denen sehr wenige Marktteilnehmer agieren.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Das Coase-Theorem besagt, dass eine Wirtschaft bei Auftreten von Externalitäten...
|type="()"}
+ ... zu einer effizienten Lösung gelangt, wenn die Transaktionskosten hinreichend niedrig oder nicht vorhanden sind.
- ... immer zu einer effizienten Allokation findet.
- ... nie zu einer effizienten Allokation finden kann.
- ... ledigich durch staatliche Maßnahmen zu einer effizienten Allokation findet.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Das Coase-Theorem sagt aus, dass:
|type="()"}
- Effizienz erreicht werden kann, wenn ein einziger Besitzer die Ressource im Gemeinschaftseigentum verwaltet.
- ein effizientes Ergebnis erreicht werden kann, wenn der Partei Eigentumsrechte gewährt werden, die der Gesellschaft eine negative Externalität auferlegt.
- bei unvollständigen Informationen Grenzwerte effizienter sind als Emissionsgebühren.
+ (keine der oben genannten Möglichkeiten ist korrekt).
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{In einer Industrie agieren zwei Unternehmen. Die Produktion von Unternehmen 1 beeinflusst durch negative Externalitäten auch die Produktion von Unternehmen 2. Produziert nur U1, macht es einen Gewinn von 80 und U2 einen Gewinn von 0. Produziert nur U2 macht es einen Gewinn von 20 und U1 0. Außerdem gibt es eine weitere Möglichkeit, bei der U1 einen Gewinn von 30 und U2 einen in der Höhe von 10 erzielt. Angenommen Unternehmen 2 verfügt über die Eigentumsrechte, ab welcher Summe würde Unternehmen 2 Unternehmen 1 erlauben zu produzieren und welche minimale Summe würde Unternehmen 1 gewinnmaximal zahlen? 
{| class="wikitable"
|-
!
! Unternehmen 1
! Unternehmen 2
|-
| Möglichkeit 1
| 80
| 0
|-
| Möglichkeit 2
| 30
| 10 
|-
| Möglichkeit 3
| 0
| 20
|}

|type="{}"}
Ab welcher Summe lässt U2 das U1 produzieren? { 10 }
Welche Summe zahlt U1 gewinnmaximal an U2? { 20 }
</quiz>