Mikroökonomie 1 - Benutzerbeiträge [de-formal]

Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel

2023-11-22T10:58:34Z

Lobin: /* MC Fragen */

Der erste Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomie besagt, dass alle Konkurrenzmarktgleichgewichte pareto-effizient sind. Dies kann mittels [[Edgeworth-Box]] für den Handel auf der Konsumentenseite gezeigt werden. Im Weiteren soll gezeigt werden, dass der erste Hauptsatz auch für die Produktion im Wettbewerbsgleichgewicht, den Inputs in Wettbewerbsgleichgewichten, die Allokation der Güter und den Output in Wettbewerbsgleichgewichten gilt.

__TOC__

==Effizienter Konsum - Konsumeffizienz==
Die [[Edgeworth-Box]] hat gezeigt, dass Konsumenten effizient konsumieren, wenn ihre Grenzrate der Substitution der Grenzrate der Substitution des anderen Konsumenten entspricht. In diesem Punkt kann kein Konsument besser gestellt werden, ohne einen anderen Konsumenten schlechter zu stellen. Alle pareto-effizienten Konsumpunkte liegen auf der Kontraktkurve. Für eine ausführliche Erklärung der Edgeworth-Box, siehe [[Edgeworth-Box|hier]]. 
Es gilt: 
'''Konsumeffizienz''' 
<math> GRS^1_{x_1,x_2}=GRS^2_{x_1,x_2} </math> 
<math> GRS^1_{x_1,x_2}=\frac{p_1}{p_2}=GRS^2_{x_1,x_2} </math> 
[[Datei:Edgeworthbox4.png|400px|rahmenlos]]

==Effiziente Produktion-Inputeffizienz==
In einer Volkswirtschaft versuchen Unternehmen effizient zu produzieren. Sie produzieren mit möglichst geringen Kosten möglichst viel. Die Berechnung des [[Produktionsoptimum|Produktionsoptimums]] zeigt, dass die Steigung der Isoquante im Optimum dem Preisverhältnis der Inputfaktoren entspricht. Dies kann rechnerisch und auch grafisch, wie in der Abbildung unten links, gezeigt werden. In einer Volkswirtschaft sind die Inputfaktoren häufig begrenzt. Es existieren beispielsweise nicht unendlich viele Menschen in Deutschland, die in der deutschen Wirtschaft arbeiten können. Arbeiten Menschen in Vollzeit für ein Unternehmen 1, können diese nicht mehr Vollzeit für Unternehmen 2 arbeiten. Ähnlich zur [[Edgeworth-Box]] sind auch hier Güter, oder in diesem Fall die Inputfaktoren, begrenzt. In einem Modell mit zwei Unternehmen, die unterschiedliche Produkte herstellen, können sich die Unternehmen die Inputfaktoren in gewisser Weise zuteilen. Wenn es 16 Einheiten Arbeit (L) gibt und Unternehmen 1 30 einsetzt, kann Unternehmen 2 nur noch 16 einsetzen. Das gleiche gilt auch für den Kapitaleinsatz. Dies kann durch eine Ausstattungsbox grafisch dargestellt werden, die starke Ähnlichkeiten zu der [[Edgeworth-Box]] aufweist. Die Ausstattungsbox mitsamt Isoquanten ist in der rechten Abbildung zu sehen. Die Produktionsmenge der beiden Unternehmen steht in einem negativen Verhältnis zueinander. Produziert Unternehmen A viel von Gut <math> x_1 </math>, benötigt es eine große Menge der Inputfaktoren und Unternehmen B kann nur noch eine geringe Menge von Gut <math> x_2 </math> produzieren. Grafisch und rechnerisch zeigt sich, dass die [[Produktionsfunktion und Isoquante#Grenzrate der technischen Substitution|Grenzrate der technischen Substitution (GRTS)]] der beiden Unternehmen im effizienten Gleichgewicht identisch ist. 
Die Herleitung ist wie bei der [[Edgeworth-Box]]. 
'''Inputeffizienz''' 
<math> GRTS^A_{L,K}=GRTS^B_{L,K} </math> 
<math> GRTS^A_{L,K}=\frac{w}{r}=GRTS^B_{L,K} </math> 
[[Datei:Produktionsoptimum.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:Ausstattungsbox.png|400px|rahmenlos]]

==Effiziente Allokation der Güter-Outputregel==
[[Datei:Transformationskurve1.png|350px|links]]
Die Herleitungen der [[Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel#Effiziente Produktion-Inputeffizienz|effizienten Produktion/Inputeffizienz]] zeigt, dass eine Volkswirtschaft in diesem Modell vor dem Trade-off zwischen der Produktion von Gut <math> x_1 </math> und der Produktion von Gut <math> x_2 </math> steht. Soll viel von dem Gut <math> x_1 </math> produziert werden, kann weniger von Gut <math> x_2 </math> produziert werden. Die beiden Güter stehen in einem Austauschverhältnis zueinander, dass verschiedene Werte annehmen kann. Das Verhältnis kann beispielsweise linear sein. In diesem Fall kann für jedes Gut <math> x_1 </math> weniger immer eine konstant bleibende Menge <math> x_2 </math> mehr produziert werden. Es sind auch Austauschverhältnisse möglich, die nicht linear sind. In diesem Fall hängt die zusätzliche Menge, die von Gut <math> x_2 </math> produziert werden kann, immer mit der Menge von <math> x_2 </math> zusammen, die bereits produziert wird. Dieses Phänomen hat starke Bezüge zum abnehmenden [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]]. Hier stiftet eine zusätzliche Einheit einen immer kleiner werdenden Nutzen, je mehr von diesem Gut bereits konsumiert wird. Im Kontext der Produktion bedeutet dies, dass immer weniger von einem Gut <math> x_2 </math> durch ein eingespartes Gut <math> x_1 </math> produziert werden kann, je mehr von diesem Gut bereits produziert wird. Ein solcher Fall ist in der Abbildung links dargestellt. Die [[Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel#Effiziente Produktion|effizienten Produktion]] hat in dem Beispiel gezeigt, dass wenn von <math> x_1 </math> 40 Einheiten produziert werden, von <math> x_2 </math> effizient 75 Einheiten produziert werden können. Sollen von <math> x_1 </math> 20 Einheiten produziert werden, können von <math> x_2 </math> nur 70 Einheiten produziert werden. Das selbe Prinzip gilt für <math> x_1=50 </math> und <math> y_1=60 </math>. Die jeweiligen Kombinationen von <math> x_1-x_2 </math> können in ein entsprechendes Diagramm eingezeichnet werden. Dies wurde in dem Beispiel unter der Ausstattungsbox getan. Die Verbindungslinie aller effizienten Produktionsmengen ist die Transformationskurve. Die Transformationskurve hat eine negative Steigung und gibt in jedem einzelnen Punkt an, in welchen Verhältnis <math> x_1 </math> zu <math> x_2 </math> transformiert werden können. Gegeben einer Funktion kann die Grenzrate der Transformation (GRT), also die Rate der Transformation in der [[Marginale Sichtweise|Grenzbetrachtung]], durch die partielle Ableitung nach <math> x_1 </math> durch die partielle Ableitung nach <math> x_2 </math>. Es kann mathematisch gezeigt werden, dass die GRT dem Grenzkostenverhältnis entspricht. 
<math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{MC_1}{MC_2}=\frac{GK_1}{GK_2} </math>
 
An dieser Stelle sei nochmal erwähnt, dass die Transformationskurve aus den effizienten Produktionsniveaus besteht. Entlang der Transformationskurve existiert demnach immer die Inputeffizienz. 
Auf der Transformationskurve gilt überall: <math> GRTS^1_{L,K}=GRTS^2_{L,K} </math>
 

Die Ausführungen oben zeigen, wie zwischen der Produktion zweier Güter gewählt werden kann. Wie einfach der Wechsel von Produktion des Gutes <math> x_2 </math> zu Gut <math> x_1 </math> ist zeigt sich in der GRT. Jedoch stellt sich weiterhin die Frage, welche Aufteilung optimal ist. Recht intuitiv unter den Standardannahmen ist, dass die optimale Menge auf der Transformationskurve liegt. Ein Unternehmen wird so viele Güter wie möglich produzieren und damit verkaufen wollen. Dass es jedoch auch für die Konsumenten in einer gesellschaftlichen Sichtweise optimal ist, wenn das Unternehmen auf der Transformationskurve produziert, zeigt die weitere Ausführung. Hierfür sollen Indifferenzkurven aus gesellschaftlicher Sicht modelliert werden. Unter den [[Axiome der Nutzentheorie|Annahmen über Präferenzen]] ist eine hohe Konsummenge besser als eine leicht geringere. Die Gesellschaft versucht also als Ganzes auf eine möglichst hohe [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurve]] zu gelangen. Diese liegt im Tangentialpunkt der Indifferenzkurve mit der Transformationskurve, der in der Abbildung unten eingezeichnet ist. Es muss also gelten 
<math> GRT=GRS </math> 
Die vorherigen Ausführungen haben gezeigt, dass <math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{GK_1}{GK_2} </math> und <math> GRS_{x_1,x_2}=\frac{p_1}{p_2} </math> bei einem effizienten Output gilt also: 
'''Outputregel''' 
<math> GRT_{x_1,x_2}=GRS_{x_1,x_2} </math>
<math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{GK_1}{GK_2}=\frac{p_1}{p_2}=GRS_{x_1,x_2} </math> 
Das Preisverhältnis der beiden Güter muss gleich dem Grenzkostenverhältnis sein. Dies ergibt gerade im Kontext des [[Marktformen#Perfekter Wettbewerb|perfekten Wettbewerbs]] Sinn, in dem der Preis eines Gutes gleich seinen Grenzkosten ist.
[[Datei:Allokation.png|400px|rahmenlos]]

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Im Rahmen der allgemeinen Gleichgewichtstheorie bezeichnet die Kontraktkurve die Allokation von Gütern...
|type="()"}
+ ...bei welchen niemand besser gestellt werden kann ohne gleichzeitig jemand anderen schlechter zu stellen.
- ...welche stets mit der aktuellsten Produktionstechnologie hergestellt wurden.
- ...die ausschließlich im Rahmen einer Tauschökonomie erreicht werden können.
- ...welche bei einem bestimmten Produktionsprozess den maximal erreichbaren Output bei gegebenem Input abbilden.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welche der Effizienzaussagen ist verletzt, wenn der Preis von Gut 1 gleich seinen Grenzkosten ist und der Preis von Gut 2 doppelt so groß ist wie seine Grenzkosten?
|type="()"}
- Inputeffizienz
- Konsumeffizienz
+ Outputregel
- keine der Antworten ist richtig
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welche der fogenden Aussagen ist unter der Betrachtung der üblichen Annahmen über Nutzen- und Produktionsfunktionen '''falsch'''?
|type="()"}
- Die Allokation von Gütern im Tauschgleichgewicht ist nur dann effzient, wenn die Grenzrate der Substitution jedes Güterpaares für alle Verbraucher identisch ist.
- Inputeffzienz liegt dann vor, wenn die Grenzrate der technischen Substitution von Kapital und Arbeit bei allen Gütern gleich ist.
- Das Faktormarktgleichgewicht zweier mobiler Faktoren bei vollkommenem Wettbewerb ist effzient, da die Faktoren jeweils nach ihren Grenzprodukt entlohnt werden.
+ Für eine pareto-optimale Gütermischung muss die Grenzrate der Transformation der Grenzrate der technischen Substitution bei allen Gütern entsprechen.
- Keine der genannten Antworten ist korrekt.
</quiz>

Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel

2023-11-22T10:57:09Z

Lobin: /* Effiziente Allokation der Güter-Outputregel */

Der erste Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomie besagt, dass alle Konkurrenzmarktgleichgewichte pareto-effizient sind. Dies kann mittels [[Edgeworth-Box]] für den Handel auf der Konsumentenseite gezeigt werden. Im Weiteren soll gezeigt werden, dass der erste Hauptsatz auch für die Produktion im Wettbewerbsgleichgewicht, den Inputs in Wettbewerbsgleichgewichten, die Allokation der Güter und den Output in Wettbewerbsgleichgewichten gilt.

__TOC__

==Effizienter Konsum - Konsumeffizienz==
Die [[Edgeworth-Box]] hat gezeigt, dass Konsumenten effizient konsumieren, wenn ihre Grenzrate der Substitution der Grenzrate der Substitution des anderen Konsumenten entspricht. In diesem Punkt kann kein Konsument besser gestellt werden, ohne einen anderen Konsumenten schlechter zu stellen. Alle pareto-effizienten Konsumpunkte liegen auf der Kontraktkurve. Für eine ausführliche Erklärung der Edgeworth-Box, siehe [[Edgeworth-Box|hier]]. 
Es gilt: 
'''Konsumeffizienz''' 
<math> GRS^1_{x_1,x_2}=GRS^2_{x_1,x_2} </math> 
<math> GRS^1_{x_1,x_2}=\frac{p_1}{p_2}=GRS^2_{x_1,x_2} </math> 
[[Datei:Edgeworthbox4.png|400px|rahmenlos]]

==Effiziente Produktion-Inputeffizienz==
In einer Volkswirtschaft versuchen Unternehmen effizient zu produzieren. Sie produzieren mit möglichst geringen Kosten möglichst viel. Die Berechnung des [[Produktionsoptimum|Produktionsoptimums]] zeigt, dass die Steigung der Isoquante im Optimum dem Preisverhältnis der Inputfaktoren entspricht. Dies kann rechnerisch und auch grafisch, wie in der Abbildung unten links, gezeigt werden. In einer Volkswirtschaft sind die Inputfaktoren häufig begrenzt. Es existieren beispielsweise nicht unendlich viele Menschen in Deutschland, die in der deutschen Wirtschaft arbeiten können. Arbeiten Menschen in Vollzeit für ein Unternehmen 1, können diese nicht mehr Vollzeit für Unternehmen 2 arbeiten. Ähnlich zur [[Edgeworth-Box]] sind auch hier Güter, oder in diesem Fall die Inputfaktoren, begrenzt. In einem Modell mit zwei Unternehmen, die unterschiedliche Produkte herstellen, können sich die Unternehmen die Inputfaktoren in gewisser Weise zuteilen. Wenn es 16 Einheiten Arbeit (L) gibt und Unternehmen 1 30 einsetzt, kann Unternehmen 2 nur noch 16 einsetzen. Das gleiche gilt auch für den Kapitaleinsatz. Dies kann durch eine Ausstattungsbox grafisch dargestellt werden, die starke Ähnlichkeiten zu der [[Edgeworth-Box]] aufweist. Die Ausstattungsbox mitsamt Isoquanten ist in der rechten Abbildung zu sehen. Die Produktionsmenge der beiden Unternehmen steht in einem negativen Verhältnis zueinander. Produziert Unternehmen A viel von Gut <math> x_1 </math>, benötigt es eine große Menge der Inputfaktoren und Unternehmen B kann nur noch eine geringe Menge von Gut <math> x_2 </math> produzieren. Grafisch und rechnerisch zeigt sich, dass die [[Produktionsfunktion und Isoquante#Grenzrate der technischen Substitution|Grenzrate der technischen Substitution (GRTS)]] der beiden Unternehmen im effizienten Gleichgewicht identisch ist. 
Die Herleitung ist wie bei der [[Edgeworth-Box]]. 
'''Inputeffizienz''' 
<math> GRTS^A_{L,K}=GRTS^B_{L,K} </math> 
<math> GRTS^A_{L,K}=\frac{w}{r}=GRTS^B_{L,K} </math> 
[[Datei:Produktionsoptimum.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:Ausstattungsbox.png|400px|rahmenlos]]

==Effiziente Allokation der Güter-Outputregel==
[[Datei:Transformationskurve1.png|350px|links]]
Die Herleitungen der [[Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel#Effiziente Produktion-Inputeffizienz|effizienten Produktion/Inputeffizienz]] zeigt, dass eine Volkswirtschaft in diesem Modell vor dem Trade-off zwischen der Produktion von Gut <math> x_1 </math> und der Produktion von Gut <math> x_2 </math> steht. Soll viel von dem Gut <math> x_1 </math> produziert werden, kann weniger von Gut <math> x_2 </math> produziert werden. Die beiden Güter stehen in einem Austauschverhältnis zueinander, dass verschiedene Werte annehmen kann. Das Verhältnis kann beispielsweise linear sein. In diesem Fall kann für jedes Gut <math> x_1 </math> weniger immer eine konstant bleibende Menge <math> x_2 </math> mehr produziert werden. Es sind auch Austauschverhältnisse möglich, die nicht linear sind. In diesem Fall hängt die zusätzliche Menge, die von Gut <math> x_2 </math> produziert werden kann, immer mit der Menge von <math> x_2 </math> zusammen, die bereits produziert wird. Dieses Phänomen hat starke Bezüge zum abnehmenden [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]]. Hier stiftet eine zusätzliche Einheit einen immer kleiner werdenden Nutzen, je mehr von diesem Gut bereits konsumiert wird. Im Kontext der Produktion bedeutet dies, dass immer weniger von einem Gut <math> x_2 </math> durch ein eingespartes Gut <math> x_1 </math> produziert werden kann, je mehr von diesem Gut bereits produziert wird. Ein solcher Fall ist in der Abbildung links dargestellt. Die [[Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel#Effiziente Produktion|effizienten Produktion]] hat in dem Beispiel gezeigt, dass wenn von <math> x_1 </math> 40 Einheiten produziert werden, von <math> x_2 </math> effizient 75 Einheiten produziert werden können. Sollen von <math> x_1 </math> 20 Einheiten produziert werden, können von <math> x_2 </math> nur 70 Einheiten produziert werden. Das selbe Prinzip gilt für <math> x_1=50 </math> und <math> y_1=60 </math>. Die jeweiligen Kombinationen von <math> x_1-x_2 </math> können in ein entsprechendes Diagramm eingezeichnet werden. Dies wurde in dem Beispiel unter der Ausstattungsbox getan. Die Verbindungslinie aller effizienten Produktionsmengen ist die Transformationskurve. Die Transformationskurve hat eine negative Steigung und gibt in jedem einzelnen Punkt an, in welchen Verhältnis <math> x_1 </math> zu <math> x_2 </math> transformiert werden können. Gegeben einer Funktion kann die Grenzrate der Transformation (GRT), also die Rate der Transformation in der [[Marginale Sichtweise|Grenzbetrachtung]], durch die partielle Ableitung nach <math> x_1 </math> durch die partielle Ableitung nach <math> x_2 </math>. Es kann mathematisch gezeigt werden, dass die GRT dem Grenzkostenverhältnis entspricht. 
<math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{MC_1}{MC_2}=\frac{GK_1}{GK_2} </math>
 
An dieser Stelle sei nochmal erwähnt, dass die Transformationskurve aus den effizienten Produktionsniveaus besteht. Entlang der Transformationskurve existiert demnach immer die Inputeffizienz. 
Auf der Transformationskurve gilt überall: <math> GRTS^1_{L,K}=GRTS^2_{L,K} </math>
 

Die Ausführungen oben zeigen, wie zwischen der Produktion zweier Güter gewählt werden kann. Wie einfach der Wechsel von Produktion des Gutes <math> x_2 </math> zu Gut <math> x_1 </math> ist zeigt sich in der GRT. Jedoch stellt sich weiterhin die Frage, welche Aufteilung optimal ist. Recht intuitiv unter den Standardannahmen ist, dass die optimale Menge auf der Transformationskurve liegt. Ein Unternehmen wird so viele Güter wie möglich produzieren und damit verkaufen wollen. Dass es jedoch auch für die Konsumenten in einer gesellschaftlichen Sichtweise optimal ist, wenn das Unternehmen auf der Transformationskurve produziert, zeigt die weitere Ausführung. Hierfür sollen Indifferenzkurven aus gesellschaftlicher Sicht modelliert werden. Unter den [[Axiome der Nutzentheorie|Annahmen über Präferenzen]] ist eine hohe Konsummenge besser als eine leicht geringere. Die Gesellschaft versucht also als Ganzes auf eine möglichst hohe [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurve]] zu gelangen. Diese liegt im Tangentialpunkt der Indifferenzkurve mit der Transformationskurve, der in der Abbildung unten eingezeichnet ist. Es muss also gelten 
<math> GRT=GRS </math> 
Die vorherigen Ausführungen haben gezeigt, dass <math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{GK_1}{GK_2} </math> und <math> GRS_{x_1,x_2}=\frac{p_1}{p_2} </math> bei einem effizienten Output gilt also: 
'''Outputregel''' 
<math> GRT_{x_1,x_2}=GRS_{x_1,x_2} </math>
<math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{GK_1}{GK_2}=\frac{p_1}{p_2}=GRS_{x_1,x_2} </math> 
Das Preisverhältnis der beiden Güter muss gleich dem Grenzkostenverhältnis sein. Dies ergibt gerade im Kontext des [[Marktformen#Perfekter Wettbewerb|perfekten Wettbewerbs]] Sinn, in dem der Preis eines Gutes gleich seinen Grenzkosten ist.
[[Datei:Allokation.png|400px|rahmenlos]]

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Im Rahmen der allgemeinen Gleichgewichtstheorie bezeichnet die Kontraktkurve die Allokation von Gütern...
|type="()"}
+ ...bei welchend niemand besser gestellt werden kann ohne gleichzeitig jemand anderen schlechter zu stellen.
- ...welche stets mit der aktuellsten Produktionstechnologie hergestellt wurden.
- ...die ausschließlich im Rahmen einer Tauschökonomie erreicht werden können.
- ...welche bei einem bestimmten Produktionsprozess den maximal erreichbaren Output bei gegebenem Inpu abbilden.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welche der Effizienzaussagen ist verletzt, wenn der Preis von Gut 1 gleich seinen Grenzkosten ist und der Preis von Gut 2 doppelt so groß ist wie seine Grenzkosten?
|type="()"}
- Inputeffizienz
- Konsumeffizienz
+ Outputregel
- keine der Antworten ist richtig
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welche der fogenden Aussagen ist unter der Betrachtung der üblichen Annahmen über Nutzen- und Produktionsfunktionen '''falsch'''?
|type="()"}
- Die Allokation von Gütern im Tauschgleichgewicht ist nur dann effzient, wenn die Grenzrate der Substitution jedes Güterpaares für alle Verbraucher identisch ist.
- Inputeffzienz liegt dann vor, wenn die Grenzrate der technischen Substitution von Kapital und Arbeit bei allen Gütern gleich ist.
- Das Faktormarktgleichgewicht zweier mobiler Faktoren bei vollkommenem Wettbewerb ist effzient, da die Faktoren jeweils nach ihren Grenzprodukt entlohnt werden.
+ Für eine pareto-optimale Gütermischung muss die Grenzrate der Transformation der Grenzrate der technischen Substitution bei allen Gütern entsprechen.
- Keine der genannten Antworten ist korrekt.
</quiz>

Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel

2023-11-22T10:51:31Z

Lobin: /* Effiziente Produktion-Inputeffizienz */

Der erste Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomie besagt, dass alle Konkurrenzmarktgleichgewichte pareto-effizient sind. Dies kann mittels [[Edgeworth-Box]] für den Handel auf der Konsumentenseite gezeigt werden. Im Weiteren soll gezeigt werden, dass der erste Hauptsatz auch für die Produktion im Wettbewerbsgleichgewicht, den Inputs in Wettbewerbsgleichgewichten, die Allokation der Güter und den Output in Wettbewerbsgleichgewichten gilt.

__TOC__

==Effizienter Konsum - Konsumeffizienz==
Die [[Edgeworth-Box]] hat gezeigt, dass Konsumenten effizient konsumieren, wenn ihre Grenzrate der Substitution der Grenzrate der Substitution des anderen Konsumenten entspricht. In diesem Punkt kann kein Konsument besser gestellt werden, ohne einen anderen Konsumenten schlechter zu stellen. Alle pareto-effizienten Konsumpunkte liegen auf der Kontraktkurve. Für eine ausführliche Erklärung der Edgeworth-Box, siehe [[Edgeworth-Box|hier]]. 
Es gilt: 
'''Konsumeffizienz''' 
<math> GRS^1_{x_1,x_2}=GRS^2_{x_1,x_2} </math> 
<math> GRS^1_{x_1,x_2}=\frac{p_1}{p_2}=GRS^2_{x_1,x_2} </math> 
[[Datei:Edgeworthbox4.png|400px|rahmenlos]]

==Effiziente Produktion-Inputeffizienz==
In einer Volkswirtschaft versuchen Unternehmen effizient zu produzieren. Sie produzieren mit möglichst geringen Kosten möglichst viel. Die Berechnung des [[Produktionsoptimum|Produktionsoptimums]] zeigt, dass die Steigung der Isoquante im Optimum dem Preisverhältnis der Inputfaktoren entspricht. Dies kann rechnerisch und auch grafisch, wie in der Abbildung unten links, gezeigt werden. In einer Volkswirtschaft sind die Inputfaktoren häufig begrenzt. Es existieren beispielsweise nicht unendlich viele Menschen in Deutschland, die in der deutschen Wirtschaft arbeiten können. Arbeiten Menschen in Vollzeit für ein Unternehmen 1, können diese nicht mehr Vollzeit für Unternehmen 2 arbeiten. Ähnlich zur [[Edgeworth-Box]] sind auch hier Güter, oder in diesem Fall die Inputfaktoren, begrenzt. In einem Modell mit zwei Unternehmen, die unterschiedliche Produkte herstellen, können sich die Unternehmen die Inputfaktoren in gewisser Weise zuteilen. Wenn es 16 Einheiten Arbeit (L) gibt und Unternehmen 1 30 einsetzt, kann Unternehmen 2 nur noch 16 einsetzen. Das gleiche gilt auch für den Kapitaleinsatz. Dies kann durch eine Ausstattungsbox grafisch dargestellt werden, die starke Ähnlichkeiten zu der [[Edgeworth-Box]] aufweist. Die Ausstattungsbox mitsamt Isoquanten ist in der rechten Abbildung zu sehen. Die Produktionsmenge der beiden Unternehmen steht in einem negativen Verhältnis zueinander. Produziert Unternehmen A viel von Gut <math> x_1 </math>, benötigt es eine große Menge der Inputfaktoren und Unternehmen B kann nur noch eine geringe Menge von Gut <math> x_2 </math> produzieren. Grafisch und rechnerisch zeigt sich, dass die [[Produktionsfunktion und Isoquante#Grenzrate der technischen Substitution|Grenzrate der technischen Substitution (GRTS)]] der beiden Unternehmen im effizienten Gleichgewicht identisch ist. 
Die Herleitung ist wie bei der [[Edgeworth-Box]]. 
'''Inputeffizienz''' 
<math> GRTS^A_{L,K}=GRTS^B_{L,K} </math> 
<math> GRTS^A_{L,K}=\frac{w}{r}=GRTS^B_{L,K} </math> 
[[Datei:Produktionsoptimum.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:Ausstattungsbox.png|400px|rahmenlos]]

==Effiziente Allokation der Güter-Outputregel==
[[Datei:Transformationskurve1.png|350px|links]]
Die Herleitungen der [[Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel#Effiziente Produktion-Inputeffizienz|effizienten Produktion/Inputeffizienz]] zeigt, dass eine Volkswirtschaft in diesem Modell vor dem Trade-off zwischen der Produktion von Gut <math> x_1 </math> und der Produktion von Gut <math> x_2 </math> steht. Soll viel von dem Gut <math> x_1 </math> produziert werden, kann weniger von Gut <math> x_2 </math> produziert werden. Die beiden Güter stehen in einem Austauschverhältnis zueinander, dass verschiedene Ausmaße annehmen kann. Das Verhältnis kann beispielsweise linear sein. In diesem Fall kann für jedes Gut <math> x_1 </math> weniger immer eine konstant bleibende Menge <math> x_2 </math> mehr produziert werden. Es sind auch Austauschverhältnisse möglich, die nicht linear sind. In diesem Fall hängt die zusätzliche Menge, die von Gut <math> x_2 </math> produziert werden kann, immer mit der Menge von <math> x_2 </math> zusammen, die bereits produziert wird. Dieses Phänomen hat starke Bezüge zum abnehmenden [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]]. Hier stiftet eine zusätzliche Einheit einen immer kleiner werdenden Nutzen, je mehr von diesem Gut bereits konsumiert wird. Im Kontext der Produktion bedeutet dies, dass immer weniger von einem Gut <math> x_2 </math> durch ein eingespartes Gut <math> x_1 </math> produziert werden kann, je mehr von diesem Gut bereits produziert wird. Ein solcher Fall ist in der Abbildung links dargestellt. Die [[Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel#Effiziente Produktion|effizienten Produktion]] hat in dem Beispiel gezeigt, dass wenn von <math> x_1 </math> 40 Einheiten produziert werden, von <math> x_2 </math> effizient 75 Einheiten produziert werden können. Sollen von <math> x_1 </math> 20 Einheiten produziert werden, können von <math> x_2 </math> nur 70 Einheiten produziert werden. Das selbe Prinzip gilt für <math> x_1=50 </math> und <math> y_1=60 </math>. Die jeweiligen Kombinationen von <math> x_1-x_2 </math> können in ein entsprechendes Diagramm eingezeichnet werden. Dies wurde in dem Beispiel unter der Ausstattungsbox getan. Die Verbindungslinie aller effizienten Produktionsmengen ist die Transformationskurve. Die Transformationskurve hat eine negative Steigung und gibt in jedem einzelnen Punkt an, in welchen Verhältnis <math> x_1 </math> zu <math> x_2 </math> transformiert werden können. Gegeben einer Funktion kann die Grenzrate der Transformation (GRT), also die Rate der Transformation in der [[Marginale Sichtweise|Grenzbetrachtung]], durch die partielle Ableitung nach <math> x_1 </math> durch die partielle Ableitung nach <math> x_2 </math>. Es kann mathematisch gezeigt werden, dass die GRT gleich dem Grenzkostenverhältnis ist. 
<math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{MC_1}{MC_2}=\frac{GK_1}{GK_2} </math>
 
An dieser Stelle sei nochmal erwähnt, dass die Transformationskurve aus den effizienten Produktionsniveaus besteht. Entlang der Transformationskurve existiert demnach immer die Inputeffizienz. 
Auf der Transformationskurve gilt überall: <math> GRTS^1_{L,K}=GRTS^2_{L,K} </math>
 

Die Ausführungen oben zeigen, wie ein Unternehmen (oder eine ganze Industrie) zwischen der Produktion zweier Güter wählen kann. Wie einfach der Wechsel von Produktion des Gutes <math> x_2 </math> zu Gut <math> x_1 </math> ist zeigt sich in der GRT. Jedoch stellt sich weiterhin die Frage, welche Aufteilung optimal ist. Recht intuitiv unter den Standradannehmen ist, dass die optimale Menge auf der Transformationskurve liegt. Ein Unternehmen wird sehr wahrscheinlich so viele Güter wie möglich produzieren und damit verkaufen wollen. Dass es jedoch auch für die Konsumenten in einer gesellschaftlichen Sichtweise optimal ist, wenn das Unternehmen auf der Transformationskurve produziert, zeigt die weitere Ausführung. Hierfür sollen Indifferenzkurven aus gesellschaftlicher Sicht modelliert werden. Unter den [[Axiome der Nutzentheorie|Annahmen über Präferenzen]] ist eine hohe Konsummenge besser als eine leicht geringere. Die Gesellschaft versucht also als Ganzes auf eine möglichst hohe [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurve]] zu gelangen. Diese liegt im Tangentialpunkt der Indifferenzkurve mit der Transformationskurve, der in der Abbildung unten eingezeichnet ist. Es muss also gelten 
<math> GRT=GRS </math> 
Die vorherigen Ausführungen haben gezeigt, dass <math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{GK_1}{GK_2} </math> und <math> GRS_{x_1,x_2}=\frac{p_1}{p_2} </math> bei einem effizienten Output gilt also: 
'''Outputregel''' 
<math> GRT_{x_1,x_2}=GRS_{x_1,x_2} </math>
<math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{GK_1}{GK_2}=\frac{p_1}{p_2}=GRS_{x_1,x_2} </math> 
Das Preisverhältnis der beiden Güter muss gleich dem Grenzkostenverhältnis sein. Dies ergibt gerade im Kontext des [[Marktformen#Perfekter Wettbewerb|perfekten Wettbewerbs]] Sinn, in dem der Preis eines Gutes gleich seinen Grenzkosten ist.
[[Datei:Allokation.png|400px|rahmenlos]]

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Im Rahmen der allgemeinen Gleichgewichtstheorie bezeichnet die Kontraktkurve die Allokation von Gütern...
|type="()"}
+ ...bei welchend niemand besser gestellt werden kann ohne gleichzeitig jemand anderen schlechter zu stellen.
- ...welche stets mit der aktuellsten Produktionstechnologie hergestellt wurden.
- ...die ausschließlich im Rahmen einer Tauschökonomie erreicht werden können.
- ...welche bei einem bestimmten Produktionsprozess den maximal erreichbaren Output bei gegebenem Inpu abbilden.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welche der Effizienzaussagen ist verletzt, wenn der Preis von Gut 1 gleich seinen Grenzkosten ist und der Preis von Gut 2 doppelt so groß ist wie seine Grenzkosten?
|type="()"}
- Inputeffizienz
- Konsumeffizienz
+ Outputregel
- keine der Antworten ist richtig
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welche der fogenden Aussagen ist unter der Betrachtung der üblichen Annahmen über Nutzen- und Produktionsfunktionen '''falsch'''?
|type="()"}
- Die Allokation von Gütern im Tauschgleichgewicht ist nur dann effzient, wenn die Grenzrate der Substitution jedes Güterpaares für alle Verbraucher identisch ist.
- Inputeffzienz liegt dann vor, wenn die Grenzrate der technischen Substitution von Kapital und Arbeit bei allen Gütern gleich ist.
- Das Faktormarktgleichgewicht zweier mobiler Faktoren bei vollkommenem Wettbewerb ist effzient, da die Faktoren jeweils nach ihren Grenzprodukt entlohnt werden.
+ Für eine pareto-optimale Gütermischung muss die Grenzrate der Transformation der Grenzrate der technischen Substitution bei allen Gütern entsprechen.
- Keine der genannten Antworten ist korrekt.
</quiz>

Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel

2023-11-22T10:50:47Z

Lobin: /* Effiziente Produktion-Inputeffizienz */

Der erste Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomie besagt, dass alle Konkurrenzmarktgleichgewichte pareto-effizient sind. Dies kann mittels [[Edgeworth-Box]] für den Handel auf der Konsumentenseite gezeigt werden. Im Weiteren soll gezeigt werden, dass der erste Hauptsatz auch für die Produktion im Wettbewerbsgleichgewicht, den Inputs in Wettbewerbsgleichgewichten, die Allokation der Güter und den Output in Wettbewerbsgleichgewichten gilt.

__TOC__

==Effizienter Konsum - Konsumeffizienz==
Die [[Edgeworth-Box]] hat gezeigt, dass Konsumenten effizient konsumieren, wenn ihre Grenzrate der Substitution der Grenzrate der Substitution des anderen Konsumenten entspricht. In diesem Punkt kann kein Konsument besser gestellt werden, ohne einen anderen Konsumenten schlechter zu stellen. Alle pareto-effizienten Konsumpunkte liegen auf der Kontraktkurve. Für eine ausführliche Erklärung der Edgeworth-Box, siehe [[Edgeworth-Box|hier]]. 
Es gilt: 
'''Konsumeffizienz''' 
<math> GRS^1_{x_1,x_2}=GRS^2_{x_1,x_2} </math> 
<math> GRS^1_{x_1,x_2}=\frac{p_1}{p_2}=GRS^2_{x_1,x_2} </math> 
[[Datei:Edgeworthbox4.png|400px|rahmenlos]]

==Effiziente Produktion-Inputeffizienz==
In einer Volkswirtschaft versuchen Unternehmen effizient zu produzieren. Sie produzieren mit möglichst geringen Kosten möglichst viel. Die Berechnung des [[Produktionsoptimum|Produktionsoptimums]] zeigt, dass die Steigung der Isoquante im Optimum dem Preisverhältnis der Inputfaktoren entspricht. Dies kann rechnerisch und auch grafisch, wie in der Abbildung unten links, gezeigt werden. In einer Volkswirtschaft sind die Inputfaktoren häufig begrenzt. Es existieren beispielsweise nicht unendlich viele Menschen in Deutschland, die in der deutschen Wirtschaft arbeiten können. Arbeiten Menschen in Vollzeit für ein Unternehmen 1, können diese nicht mehr Vollzeit für Unternehmen 2 arbeiten. Ähnlich zur [[Edgeworth-Box]] sind auch hier Güter, oder in diesem Fall die Inputfaktoren, begrenzt. In einem Modell mit zwei Unternehmen, die unterschiedliche Produkte herstellen, können sich die Unternehmen die Inputfaktoren in gewisser Weise zuteilen. Wenn es 16 Einheiten Arbeit (L) gibt und Unternehmen 1 30 einsetzt, kann Unternehmen 2 nur noch 16 einsetzen. Das gleiche gilt auch für den Kapitaleinsatz. Dies kann durch eine Ausstattungsbox grafisch dargestellt werden, die starke Ähnlichkeiten zu der [[Edgeworth-Box]] aufweist. Die Ausstattungsbox mitsamt Isoquanten ist in der rechten Abbildung zu sehen. Die Produktionsmenge der beiden Unternehmen steht in einem negativen Verhältnis zueinander. Produziert Unternehmen A viel von Gut <math> x_1 </math>, benötigt es eine große Menge der Inputfaktoren und Unternehmen B kann nur noch eine geringe Menge von Gut <math> x_2 </math> produzieren. Grafisch und rechnerisch zeigt sich, dass die [[Produktionsfunktion und Isoquante#Grenzrate der technischen Substitution|Grenzrate der technischen Substitution (GRTS)]] der beiden Unternehmen im effizienten Gleichgewicht identisch ist. 
Für eine detaillierte grafische und rechnerische Herleitung sie analog [[Edgeworth-Box]] 
'''Inputeffizienz''' 
<math> GRTS^A_{L,K}=GRTS^B_{L,K} </math> 
<math> GRTS^A_{L,K}=\frac{w}{r}=GRTS^B_{L,K} </math> 
[[Datei:Produktionsoptimum.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:Ausstattungsbox.png|400px|rahmenlos]]

==Effiziente Allokation der Güter-Outputregel==
[[Datei:Transformationskurve1.png|350px|links]]
Die Herleitungen der [[Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel#Effiziente Produktion-Inputeffizienz|effizienten Produktion/Inputeffizienz]] zeigt, dass eine Volkswirtschaft in diesem Modell vor dem Trade-off zwischen der Produktion von Gut <math> x_1 </math> und der Produktion von Gut <math> x_2 </math> steht. Soll viel von dem Gut <math> x_1 </math> produziert werden, kann weniger von Gut <math> x_2 </math> produziert werden. Die beiden Güter stehen in einem Austauschverhältnis zueinander, dass verschiedene Ausmaße annehmen kann. Das Verhältnis kann beispielsweise linear sein. In diesem Fall kann für jedes Gut <math> x_1 </math> weniger immer eine konstant bleibende Menge <math> x_2 </math> mehr produziert werden. Es sind auch Austauschverhältnisse möglich, die nicht linear sind. In diesem Fall hängt die zusätzliche Menge, die von Gut <math> x_2 </math> produziert werden kann, immer mit der Menge von <math> x_2 </math> zusammen, die bereits produziert wird. Dieses Phänomen hat starke Bezüge zum abnehmenden [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]]. Hier stiftet eine zusätzliche Einheit einen immer kleiner werdenden Nutzen, je mehr von diesem Gut bereits konsumiert wird. Im Kontext der Produktion bedeutet dies, dass immer weniger von einem Gut <math> x_2 </math> durch ein eingespartes Gut <math> x_1 </math> produziert werden kann, je mehr von diesem Gut bereits produziert wird. Ein solcher Fall ist in der Abbildung links dargestellt. Die [[Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel#Effiziente Produktion|effizienten Produktion]] hat in dem Beispiel gezeigt, dass wenn von <math> x_1 </math> 40 Einheiten produziert werden, von <math> x_2 </math> effizient 75 Einheiten produziert werden können. Sollen von <math> x_1 </math> 20 Einheiten produziert werden, können von <math> x_2 </math> nur 70 Einheiten produziert werden. Das selbe Prinzip gilt für <math> x_1=50 </math> und <math> y_1=60 </math>. Die jeweiligen Kombinationen von <math> x_1-x_2 </math> können in ein entsprechendes Diagramm eingezeichnet werden. Dies wurde in dem Beispiel unter der Ausstattungsbox getan. Die Verbindungslinie aller effizienten Produktionsmengen ist die Transformationskurve. Die Transformationskurve hat eine negative Steigung und gibt in jedem einzelnen Punkt an, in welchen Verhältnis <math> x_1 </math> zu <math> x_2 </math> transformiert werden können. Gegeben einer Funktion kann die Grenzrate der Transformation (GRT), also die Rate der Transformation in der [[Marginale Sichtweise|Grenzbetrachtung]], durch die partielle Ableitung nach <math> x_1 </math> durch die partielle Ableitung nach <math> x_2 </math>. Es kann mathematisch gezeigt werden, dass die GRT gleich dem Grenzkostenverhältnis ist. 
<math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{MC_1}{MC_2}=\frac{GK_1}{GK_2} </math>
 
An dieser Stelle sei nochmal erwähnt, dass die Transformationskurve aus den effizienten Produktionsniveaus besteht. Entlang der Transformationskurve existiert demnach immer die Inputeffizienz. 
Auf der Transformationskurve gilt überall: <math> GRTS^1_{L,K}=GRTS^2_{L,K} </math>
 

Die Ausführungen oben zeigen, wie ein Unternehmen (oder eine ganze Industrie) zwischen der Produktion zweier Güter wählen kann. Wie einfach der Wechsel von Produktion des Gutes <math> x_2 </math> zu Gut <math> x_1 </math> ist zeigt sich in der GRT. Jedoch stellt sich weiterhin die Frage, welche Aufteilung optimal ist. Recht intuitiv unter den Standradannehmen ist, dass die optimale Menge auf der Transformationskurve liegt. Ein Unternehmen wird sehr wahrscheinlich so viele Güter wie möglich produzieren und damit verkaufen wollen. Dass es jedoch auch für die Konsumenten in einer gesellschaftlichen Sichtweise optimal ist, wenn das Unternehmen auf der Transformationskurve produziert, zeigt die weitere Ausführung. Hierfür sollen Indifferenzkurven aus gesellschaftlicher Sicht modelliert werden. Unter den [[Axiome der Nutzentheorie|Annahmen über Präferenzen]] ist eine hohe Konsummenge besser als eine leicht geringere. Die Gesellschaft versucht also als Ganzes auf eine möglichst hohe [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurve]] zu gelangen. Diese liegt im Tangentialpunkt der Indifferenzkurve mit der Transformationskurve, der in der Abbildung unten eingezeichnet ist. Es muss also gelten 
<math> GRT=GRS </math> 
Die vorherigen Ausführungen haben gezeigt, dass <math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{GK_1}{GK_2} </math> und <math> GRS_{x_1,x_2}=\frac{p_1}{p_2} </math> bei einem effizienten Output gilt also: 
'''Outputregel''' 
<math> GRT_{x_1,x_2}=GRS_{x_1,x_2} </math>
<math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{GK_1}{GK_2}=\frac{p_1}{p_2}=GRS_{x_1,x_2} </math> 
Das Preisverhältnis der beiden Güter muss gleich dem Grenzkostenverhältnis sein. Dies ergibt gerade im Kontext des [[Marktformen#Perfekter Wettbewerb|perfekten Wettbewerbs]] Sinn, in dem der Preis eines Gutes gleich seinen Grenzkosten ist.
[[Datei:Allokation.png|400px|rahmenlos]]

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Im Rahmen der allgemeinen Gleichgewichtstheorie bezeichnet die Kontraktkurve die Allokation von Gütern...
|type="()"}
+ ...bei welchend niemand besser gestellt werden kann ohne gleichzeitig jemand anderen schlechter zu stellen.
- ...welche stets mit der aktuellsten Produktionstechnologie hergestellt wurden.
- ...die ausschließlich im Rahmen einer Tauschökonomie erreicht werden können.
- ...welche bei einem bestimmten Produktionsprozess den maximal erreichbaren Output bei gegebenem Inpu abbilden.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welche der Effizienzaussagen ist verletzt, wenn der Preis von Gut 1 gleich seinen Grenzkosten ist und der Preis von Gut 2 doppelt so groß ist wie seine Grenzkosten?
|type="()"}
- Inputeffizienz
- Konsumeffizienz
+ Outputregel
- keine der Antworten ist richtig
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welche der fogenden Aussagen ist unter der Betrachtung der üblichen Annahmen über Nutzen- und Produktionsfunktionen '''falsch'''?
|type="()"}
- Die Allokation von Gütern im Tauschgleichgewicht ist nur dann effzient, wenn die Grenzrate der Substitution jedes Güterpaares für alle Verbraucher identisch ist.
- Inputeffzienz liegt dann vor, wenn die Grenzrate der technischen Substitution von Kapital und Arbeit bei allen Gütern gleich ist.
- Das Faktormarktgleichgewicht zweier mobiler Faktoren bei vollkommenem Wettbewerb ist effzient, da die Faktoren jeweils nach ihren Grenzprodukt entlohnt werden.
+ Für eine pareto-optimale Gütermischung muss die Grenzrate der Transformation der Grenzrate der technischen Substitution bei allen Gütern entsprechen.
- Keine der genannten Antworten ist korrekt.
</quiz>

Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel

2023-11-22T10:46:58Z

Lobin: /* Effizienter Konsum - Konsumeffizienz */

Der erste Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomie besagt, dass alle Konkurrenzmarktgleichgewichte pareto-effizient sind. Dies kann mittels [[Edgeworth-Box]] für den Handel auf der Konsumentenseite gezeigt werden. Im Weiteren soll gezeigt werden, dass der erste Hauptsatz auch für die Produktion im Wettbewerbsgleichgewicht, den Inputs in Wettbewerbsgleichgewichten, die Allokation der Güter und den Output in Wettbewerbsgleichgewichten gilt.

__TOC__

==Effizienter Konsum - Konsumeffizienz==
Die [[Edgeworth-Box]] hat gezeigt, dass Konsumenten effizient konsumieren, wenn ihre Grenzrate der Substitution der Grenzrate der Substitution des anderen Konsumenten entspricht. In diesem Punkt kann kein Konsument besser gestellt werden, ohne einen anderen Konsumenten schlechter zu stellen. Alle pareto-effizienten Konsumpunkte liegen auf der Kontraktkurve. Für eine ausführliche Erklärung der Edgeworth-Box, siehe [[Edgeworth-Box|hier]]. 
Es gilt: 
'''Konsumeffizienz''' 
<math> GRS^1_{x_1,x_2}=GRS^2_{x_1,x_2} </math> 
<math> GRS^1_{x_1,x_2}=\frac{p_1}{p_2}=GRS^2_{x_1,x_2} </math> 
[[Datei:Edgeworthbox4.png|400px|rahmenlos]]

==Effiziente Produktion-Inputeffizienz==
In einer Volkswirtschaft versuchen Unternehmen möglichst effizient zu produzieren. Sie versuchen mit möglichst geringen Kosten möglichst viel zu produzieren. Die Berechnung des [[Produktionsoptimum|Produktionsoptimums]] zeigt, dass die Steigung der Isoquante im Optimum dem Preisverhältnis der Inputfaktoren entspricht. Dies kann rechnerisch und auch grafisch, wie in der Abbildung unten links, gezeigt werden. In einer Volkswirtschaft sind die Inputfaktoren häufig begrenzt. Es existieren beispielsweise nicht unendlich viele Menschen in Deutschland, die in der deutschen Wirtschaft arbeiten können. In Deutschland konnten 2023 rund 46 Millionen Erwerbstätigen als "Inputfaktor Arbeit" eingesetzt werden. Arbeiten Menschen in Vollzeit für ein Unternehmen 1, können diese nicht mehr Vollzeit für Unternehmen 2 arbeiten. Ähnlich zur [[Edgeworth-Box]] sind auch hier Güter, oder in diesem Fall die Inputfaktoren, begrenzt. In einem Modell mit zwei Unternehmen, die unterschiedliche Produkte herstellen, können sich die Unternehmen die Inputfaktoren in gewisser Weise zuteilen. Wenn Unternehmen 1 30 Millionen Arbeitnehmer einstellt, kann Unternehmen 2 nur noch 16 Millionen Menschen beschäftigen. Das gleiche gilt auch für den Kapitaleinsatz. Dies kann durch eine Ausstattungsbox grafisch dargestellt werden, die starke Ähnlichkeiten zu der [[Edgeworth-Box]] aufweist. Die Ausstattungsbox mitsamt Isoquanten ist in der rechten Abbildung zu sehen. Die Produktionsmenge der beiden Unternehmen steht in einem negativen Verhältnis zueinander. Produziert Unternehmen A viel von Gut <math> x_1 </math>, benötigt es eine große Menge der Inputfaktoren und Unternehmen B kann nur noch eine geringe Menge von Gut <math> x_2 </math> produzieren. Grafisch und rechnerisch zeigt sich, dass die [[Produktionsfunktion und Isoquante#Grenzrate der technischen Substitution|Grenzrate der technischen Substitution (GRTS)]] der beiden Unternehmen im effizienten Gleichgewicht identisch ist. 
Für eine detaillierte grafische und rechnerische Herleitung sie analog [[Edgeworth-Box]] 
'''Inputeffizienz''' 
<math> GRTS^A_{L,K}=GRTS^B_{L,K} </math> 
<math> GRTS^A_{L,K}=\frac{w}{r}=GRTS^B_{L,K} </math> 
[[Datei:Produktionsoptimum.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:Ausstattungsbox.png|400px|rahmenlos]]

==Effiziente Allokation der Güter-Outputregel==
[[Datei:Transformationskurve1.png|350px|links]]
Die Herleitungen der [[Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel#Effiziente Produktion-Inputeffizienz|effizienten Produktion/Inputeffizienz]] zeigt, dass eine Volkswirtschaft in diesem Modell vor dem Trade-off zwischen der Produktion von Gut <math> x_1 </math> und der Produktion von Gut <math> x_2 </math> steht. Soll viel von dem Gut <math> x_1 </math> produziert werden, kann weniger von Gut <math> x_2 </math> produziert werden. Die beiden Güter stehen in einem Austauschverhältnis zueinander, dass verschiedene Ausmaße annehmen kann. Das Verhältnis kann beispielsweise linear sein. In diesem Fall kann für jedes Gut <math> x_1 </math> weniger immer eine konstant bleibende Menge <math> x_2 </math> mehr produziert werden. Es sind auch Austauschverhältnisse möglich, die nicht linear sind. In diesem Fall hängt die zusätzliche Menge, die von Gut <math> x_2 </math> produziert werden kann, immer mit der Menge von <math> x_2 </math> zusammen, die bereits produziert wird. Dieses Phänomen hat starke Bezüge zum abnehmenden [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]]. Hier stiftet eine zusätzliche Einheit einen immer kleiner werdenden Nutzen, je mehr von diesem Gut bereits konsumiert wird. Im Kontext der Produktion bedeutet dies, dass immer weniger von einem Gut <math> x_2 </math> durch ein eingespartes Gut <math> x_1 </math> produziert werden kann, je mehr von diesem Gut bereits produziert wird. Ein solcher Fall ist in der Abbildung links dargestellt. Die [[Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel#Effiziente Produktion|effizienten Produktion]] hat in dem Beispiel gezeigt, dass wenn von <math> x_1 </math> 40 Einheiten produziert werden, von <math> x_2 </math> effizient 75 Einheiten produziert werden können. Sollen von <math> x_1 </math> 20 Einheiten produziert werden, können von <math> x_2 </math> nur 70 Einheiten produziert werden. Das selbe Prinzip gilt für <math> x_1=50 </math> und <math> y_1=60 </math>. Die jeweiligen Kombinationen von <math> x_1-x_2 </math> können in ein entsprechendes Diagramm eingezeichnet werden. Dies wurde in dem Beispiel unter der Ausstattungsbox getan. Die Verbindungslinie aller effizienten Produktionsmengen ist die Transformationskurve. Die Transformationskurve hat eine negative Steigung und gibt in jedem einzelnen Punkt an, in welchen Verhältnis <math> x_1 </math> zu <math> x_2 </math> transformiert werden können. Gegeben einer Funktion kann die Grenzrate der Transformation (GRT), also die Rate der Transformation in der [[Marginale Sichtweise|Grenzbetrachtung]], durch die partielle Ableitung nach <math> x_1 </math> durch die partielle Ableitung nach <math> x_2 </math>. Es kann mathematisch gezeigt werden, dass die GRT gleich dem Grenzkostenverhältnis ist. 
<math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{MC_1}{MC_2}=\frac{GK_1}{GK_2} </math>
 
An dieser Stelle sei nochmal erwähnt, dass die Transformationskurve aus den effizienten Produktionsniveaus besteht. Entlang der Transformationskurve existiert demnach immer die Inputeffizienz. 
Auf der Transformationskurve gilt überall: <math> GRTS^1_{L,K}=GRTS^2_{L,K} </math>
 

Die Ausführungen oben zeigen, wie ein Unternehmen (oder eine ganze Industrie) zwischen der Produktion zweier Güter wählen kann. Wie einfach der Wechsel von Produktion des Gutes <math> x_2 </math> zu Gut <math> x_1 </math> ist zeigt sich in der GRT. Jedoch stellt sich weiterhin die Frage, welche Aufteilung optimal ist. Recht intuitiv unter den Standradannehmen ist, dass die optimale Menge auf der Transformationskurve liegt. Ein Unternehmen wird sehr wahrscheinlich so viele Güter wie möglich produzieren und damit verkaufen wollen. Dass es jedoch auch für die Konsumenten in einer gesellschaftlichen Sichtweise optimal ist, wenn das Unternehmen auf der Transformationskurve produziert, zeigt die weitere Ausführung. Hierfür sollen Indifferenzkurven aus gesellschaftlicher Sicht modelliert werden. Unter den [[Axiome der Nutzentheorie|Annahmen über Präferenzen]] ist eine hohe Konsummenge besser als eine leicht geringere. Die Gesellschaft versucht also als Ganzes auf eine möglichst hohe [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurve]] zu gelangen. Diese liegt im Tangentialpunkt der Indifferenzkurve mit der Transformationskurve, der in der Abbildung unten eingezeichnet ist. Es muss also gelten 
<math> GRT=GRS </math> 
Die vorherigen Ausführungen haben gezeigt, dass <math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{GK_1}{GK_2} </math> und <math> GRS_{x_1,x_2}=\frac{p_1}{p_2} </math> bei einem effizienten Output gilt also: 
'''Outputregel''' 
<math> GRT_{x_1,x_2}=GRS_{x_1,x_2} </math>
<math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{GK_1}{GK_2}=\frac{p_1}{p_2}=GRS_{x_1,x_2} </math> 
Das Preisverhältnis der beiden Güter muss gleich dem Grenzkostenverhältnis sein. Dies ergibt gerade im Kontext des [[Marktformen#Perfekter Wettbewerb|perfekten Wettbewerbs]] Sinn, in dem der Preis eines Gutes gleich seinen Grenzkosten ist.
[[Datei:Allokation.png|400px|rahmenlos]]

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Im Rahmen der allgemeinen Gleichgewichtstheorie bezeichnet die Kontraktkurve die Allokation von Gütern...
|type="()"}
+ ...bei welchend niemand besser gestellt werden kann ohne gleichzeitig jemand anderen schlechter zu stellen.
- ...welche stets mit der aktuellsten Produktionstechnologie hergestellt wurden.
- ...die ausschließlich im Rahmen einer Tauschökonomie erreicht werden können.
- ...welche bei einem bestimmten Produktionsprozess den maximal erreichbaren Output bei gegebenem Inpu abbilden.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welche der Effizienzaussagen ist verletzt, wenn der Preis von Gut 1 gleich seinen Grenzkosten ist und der Preis von Gut 2 doppelt so groß ist wie seine Grenzkosten?
|type="()"}
- Inputeffizienz
- Konsumeffizienz
+ Outputregel
- keine der Antworten ist richtig
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welche der fogenden Aussagen ist unter der Betrachtung der üblichen Annahmen über Nutzen- und Produktionsfunktionen '''falsch'''?
|type="()"}
- Die Allokation von Gütern im Tauschgleichgewicht ist nur dann effzient, wenn die Grenzrate der Substitution jedes Güterpaares für alle Verbraucher identisch ist.
- Inputeffzienz liegt dann vor, wenn die Grenzrate der technischen Substitution von Kapital und Arbeit bei allen Gütern gleich ist.
- Das Faktormarktgleichgewicht zweier mobiler Faktoren bei vollkommenem Wettbewerb ist effzient, da die Faktoren jeweils nach ihren Grenzprodukt entlohnt werden.
+ Für eine pareto-optimale Gütermischung muss die Grenzrate der Transformation der Grenzrate der technischen Substitution bei allen Gütern entsprechen.
- Keine der genannten Antworten ist korrekt.
</quiz>

Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel

2023-11-22T10:44:33Z

Lobin: /* Effizienter Konsum-Konsumeffizienz */

Der erste Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomie besagt, dass alle Konkurrenzmarktgleichgewichte pareto-effizient sind. Dies kann mittels [[Edgeworth-Box]] für den Handel auf der Konsumentenseite gezeigt werden. Im Weiteren soll gezeigt werden, dass der erste Hauptsatz auch für die Produktion im Wettbewerbsgleichgewicht, den Inputs in Wettbewerbsgleichgewichten, die Allokation der Güter und den Output in Wettbewerbsgleichgewichten gilt.

__TOC__

==Effizienter Konsum - Konsumeffizienz==
Die [[Edgeworth-Box]] hat gezeigt, dass Konsumenten effizient konsumieren, wenn ihre Grenzrate der Substitution der Grenzrate der Substitution der anderen Konsumenten/ des anderen Konsumenten entspricht. In diesem Punkt kann kein Konsument bessergestellt werden, ohne einen anderen Konsumenten schlechter zu stellen. Alle pareto-effiziente Konsumpunkte liegen auf der Kontraktkurve. Für eine ausführliche Erklärung der Edgeworth-Box, siehe [[Edgeworth-Box|hier]]. 
Es gilt: 
'''Konsumeffizienz''' 
<math> GRS^1_{x_1,x_2}=GRS^2_{x_1,x_2} </math> 
<math> GRS^1_{x_1,x_2}=\frac{p_1}{p_2}=GRS^2_{x_1,x_2} </math> 
[[Datei:Edgeworthbox4.png|400px|rahmenlos]]

==Effiziente Produktion-Inputeffizienz==
In einer Volkswirtschaft versuchen Unternehmen möglichst effizient zu produzieren. Sie versuchen mit möglichst geringen Kosten möglichst viel zu produzieren. Die Berechnung des [[Produktionsoptimum|Produktionsoptimums]] zeigt, dass die Steigung der Isoquante im Optimum dem Preisverhältnis der Inputfaktoren entspricht. Dies kann rechnerisch und auch grafisch, wie in der Abbildung unten links, gezeigt werden. In einer Volkswirtschaft sind die Inputfaktoren häufig begrenzt. Es existieren beispielsweise nicht unendlich viele Menschen in Deutschland, die in der deutschen Wirtschaft arbeiten können. In Deutschland konnten 2023 rund 46 Millionen Erwerbstätigen als "Inputfaktor Arbeit" eingesetzt werden. Arbeiten Menschen in Vollzeit für ein Unternehmen 1, können diese nicht mehr Vollzeit für Unternehmen 2 arbeiten. Ähnlich zur [[Edgeworth-Box]] sind auch hier Güter, oder in diesem Fall die Inputfaktoren, begrenzt. In einem Modell mit zwei Unternehmen, die unterschiedliche Produkte herstellen, können sich die Unternehmen die Inputfaktoren in gewisser Weise zuteilen. Wenn Unternehmen 1 30 Millionen Arbeitnehmer einstellt, kann Unternehmen 2 nur noch 16 Millionen Menschen beschäftigen. Das gleiche gilt auch für den Kapitaleinsatz. Dies kann durch eine Ausstattungsbox grafisch dargestellt werden, die starke Ähnlichkeiten zu der [[Edgeworth-Box]] aufweist. Die Ausstattungsbox mitsamt Isoquanten ist in der rechten Abbildung zu sehen. Die Produktionsmenge der beiden Unternehmen steht in einem negativen Verhältnis zueinander. Produziert Unternehmen A viel von Gut <math> x_1 </math>, benötigt es eine große Menge der Inputfaktoren und Unternehmen B kann nur noch eine geringe Menge von Gut <math> x_2 </math> produzieren. Grafisch und rechnerisch zeigt sich, dass die [[Produktionsfunktion und Isoquante#Grenzrate der technischen Substitution|Grenzrate der technischen Substitution (GRTS)]] der beiden Unternehmen im effizienten Gleichgewicht identisch ist. 
Für eine detaillierte grafische und rechnerische Herleitung sie analog [[Edgeworth-Box]] 
'''Inputeffizienz''' 
<math> GRTS^A_{L,K}=GRTS^B_{L,K} </math> 
<math> GRTS^A_{L,K}=\frac{w}{r}=GRTS^B_{L,K} </math> 
[[Datei:Produktionsoptimum.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:Ausstattungsbox.png|400px|rahmenlos]]

==Effiziente Allokation der Güter-Outputregel==
[[Datei:Transformationskurve1.png|350px|links]]
Die Herleitungen der [[Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel#Effiziente Produktion-Inputeffizienz|effizienten Produktion/Inputeffizienz]] zeigt, dass eine Volkswirtschaft in diesem Modell vor dem Trade-off zwischen der Produktion von Gut <math> x_1 </math> und der Produktion von Gut <math> x_2 </math> steht. Soll viel von dem Gut <math> x_1 </math> produziert werden, kann weniger von Gut <math> x_2 </math> produziert werden. Die beiden Güter stehen in einem Austauschverhältnis zueinander, dass verschiedene Ausmaße annehmen kann. Das Verhältnis kann beispielsweise linear sein. In diesem Fall kann für jedes Gut <math> x_1 </math> weniger immer eine konstant bleibende Menge <math> x_2 </math> mehr produziert werden. Es sind auch Austauschverhältnisse möglich, die nicht linear sind. In diesem Fall hängt die zusätzliche Menge, die von Gut <math> x_2 </math> produziert werden kann, immer mit der Menge von <math> x_2 </math> zusammen, die bereits produziert wird. Dieses Phänomen hat starke Bezüge zum abnehmenden [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]]. Hier stiftet eine zusätzliche Einheit einen immer kleiner werdenden Nutzen, je mehr von diesem Gut bereits konsumiert wird. Im Kontext der Produktion bedeutet dies, dass immer weniger von einem Gut <math> x_2 </math> durch ein eingespartes Gut <math> x_1 </math> produziert werden kann, je mehr von diesem Gut bereits produziert wird. Ein solcher Fall ist in der Abbildung links dargestellt. Die [[Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel#Effiziente Produktion|effizienten Produktion]] hat in dem Beispiel gezeigt, dass wenn von <math> x_1 </math> 40 Einheiten produziert werden, von <math> x_2 </math> effizient 75 Einheiten produziert werden können. Sollen von <math> x_1 </math> 20 Einheiten produziert werden, können von <math> x_2 </math> nur 70 Einheiten produziert werden. Das selbe Prinzip gilt für <math> x_1=50 </math> und <math> y_1=60 </math>. Die jeweiligen Kombinationen von <math> x_1-x_2 </math> können in ein entsprechendes Diagramm eingezeichnet werden. Dies wurde in dem Beispiel unter der Ausstattungsbox getan. Die Verbindungslinie aller effizienten Produktionsmengen ist die Transformationskurve. Die Transformationskurve hat eine negative Steigung und gibt in jedem einzelnen Punkt an, in welchen Verhältnis <math> x_1 </math> zu <math> x_2 </math> transformiert werden können. Gegeben einer Funktion kann die Grenzrate der Transformation (GRT), also die Rate der Transformation in der [[Marginale Sichtweise|Grenzbetrachtung]], durch die partielle Ableitung nach <math> x_1 </math> durch die partielle Ableitung nach <math> x_2 </math>. Es kann mathematisch gezeigt werden, dass die GRT gleich dem Grenzkostenverhältnis ist. 
<math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{MC_1}{MC_2}=\frac{GK_1}{GK_2} </math>
 
An dieser Stelle sei nochmal erwähnt, dass die Transformationskurve aus den effizienten Produktionsniveaus besteht. Entlang der Transformationskurve existiert demnach immer die Inputeffizienz. 
Auf der Transformationskurve gilt überall: <math> GRTS^1_{L,K}=GRTS^2_{L,K} </math>
 

Die Ausführungen oben zeigen, wie ein Unternehmen (oder eine ganze Industrie) zwischen der Produktion zweier Güter wählen kann. Wie einfach der Wechsel von Produktion des Gutes <math> x_2 </math> zu Gut <math> x_1 </math> ist zeigt sich in der GRT. Jedoch stellt sich weiterhin die Frage, welche Aufteilung optimal ist. Recht intuitiv unter den Standradannehmen ist, dass die optimale Menge auf der Transformationskurve liegt. Ein Unternehmen wird sehr wahrscheinlich so viele Güter wie möglich produzieren und damit verkaufen wollen. Dass es jedoch auch für die Konsumenten in einer gesellschaftlichen Sichtweise optimal ist, wenn das Unternehmen auf der Transformationskurve produziert, zeigt die weitere Ausführung. Hierfür sollen Indifferenzkurven aus gesellschaftlicher Sicht modelliert werden. Unter den [[Axiome der Nutzentheorie|Annahmen über Präferenzen]] ist eine hohe Konsummenge besser als eine leicht geringere. Die Gesellschaft versucht also als Ganzes auf eine möglichst hohe [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurve]] zu gelangen. Diese liegt im Tangentialpunkt der Indifferenzkurve mit der Transformationskurve, der in der Abbildung unten eingezeichnet ist. Es muss also gelten 
<math> GRT=GRS </math> 
Die vorherigen Ausführungen haben gezeigt, dass <math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{GK_1}{GK_2} </math> und <math> GRS_{x_1,x_2}=\frac{p_1}{p_2} </math> bei einem effizienten Output gilt also: 
'''Outputregel''' 
<math> GRT_{x_1,x_2}=GRS_{x_1,x_2} </math>
<math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{GK_1}{GK_2}=\frac{p_1}{p_2}=GRS_{x_1,x_2} </math> 
Das Preisverhältnis der beiden Güter muss gleich dem Grenzkostenverhältnis sein. Dies ergibt gerade im Kontext des [[Marktformen#Perfekter Wettbewerb|perfekten Wettbewerbs]] Sinn, in dem der Preis eines Gutes gleich seinen Grenzkosten ist.
[[Datei:Allokation.png|400px|rahmenlos]]

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Im Rahmen der allgemeinen Gleichgewichtstheorie bezeichnet die Kontraktkurve die Allokation von Gütern...
|type="()"}
+ ...bei welchend niemand besser gestellt werden kann ohne gleichzeitig jemand anderen schlechter zu stellen.
- ...welche stets mit der aktuellsten Produktionstechnologie hergestellt wurden.
- ...die ausschließlich im Rahmen einer Tauschökonomie erreicht werden können.
- ...welche bei einem bestimmten Produktionsprozess den maximal erreichbaren Output bei gegebenem Inpu abbilden.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welche der Effizienzaussagen ist verletzt, wenn der Preis von Gut 1 gleich seinen Grenzkosten ist und der Preis von Gut 2 doppelt so groß ist wie seine Grenzkosten?
|type="()"}
- Inputeffizienz
- Konsumeffizienz
+ Outputregel
- keine der Antworten ist richtig
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welche der fogenden Aussagen ist unter der Betrachtung der üblichen Annahmen über Nutzen- und Produktionsfunktionen '''falsch'''?
|type="()"}
- Die Allokation von Gütern im Tauschgleichgewicht ist nur dann effzient, wenn die Grenzrate der Substitution jedes Güterpaares für alle Verbraucher identisch ist.
- Inputeffzienz liegt dann vor, wenn die Grenzrate der technischen Substitution von Kapital und Arbeit bei allen Gütern gleich ist.
- Das Faktormarktgleichgewicht zweier mobiler Faktoren bei vollkommenem Wettbewerb ist effzient, da die Faktoren jeweils nach ihren Grenzprodukt entlohnt werden.
+ Für eine pareto-optimale Gütermischung muss die Grenzrate der Transformation der Grenzrate der technischen Substitution bei allen Gütern entsprechen.
- Keine der genannten Antworten ist korrekt.
</quiz>

Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel

2023-11-22T10:43:21Z

Lobin:

Der erste Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomie besagt, dass alle Konkurrenzmarktgleichgewichte pareto-effizient sind. Dies kann mittels [[Edgeworth-Box]] für den Handel auf der Konsumentenseite gezeigt werden. Im Weiteren soll gezeigt werden, dass der erste Hauptsatz auch für die Produktion im Wettbewerbsgleichgewicht, den Inputs in Wettbewerbsgleichgewichten, die Allokation der Güter und den Output in Wettbewerbsgleichgewichten gilt.

__TOC__

==Effizienter Konsum-Konsumeffizienz==
Die [[Edgeworth-Box]] hat gezeigt, dass Konsumenten effizient konsumieren, wenn ihre Grenzrate der Substitution der Grenzrate der Substitution der anderen Konsumenten/ des anderen Konsumenten entspricht. In diesem Punkt kann kein Konsument bessergestellt werden, ohne einen anderen Konsumenten schlechter zu stellen. Alle pareto-effiziente Konsumpunkte liegen auf der Kontraktkurve. Für eine ausführliche Erklärung der Edgeworth-Box, siehe [[Edgeworth-Box|hier]]. 
Es gilt: 
'''Konsumeffizienz''' 
<math> GRS^1_{x_1,x_2}=GRS^2_{x_1,x_2} </math> 
<math> GRS^1_{x_1,x_2}=\frac{p_1}{p_2}=GRS^2_{x_1,x_2} </math> 
[[Datei:Edgeworthbox4.png|400px|rahmenlos]]

==Effiziente Produktion-Inputeffizienz==
In einer Volkswirtschaft versuchen Unternehmen möglichst effizient zu produzieren. Sie versuchen mit möglichst geringen Kosten möglichst viel zu produzieren. Die Berechnung des [[Produktionsoptimum|Produktionsoptimums]] zeigt, dass die Steigung der Isoquante im Optimum dem Preisverhältnis der Inputfaktoren entspricht. Dies kann rechnerisch und auch grafisch, wie in der Abbildung unten links, gezeigt werden. In einer Volkswirtschaft sind die Inputfaktoren häufig begrenzt. Es existieren beispielsweise nicht unendlich viele Menschen in Deutschland, die in der deutschen Wirtschaft arbeiten können. In Deutschland konnten 2023 rund 46 Millionen Erwerbstätigen als "Inputfaktor Arbeit" eingesetzt werden. Arbeiten Menschen in Vollzeit für ein Unternehmen 1, können diese nicht mehr Vollzeit für Unternehmen 2 arbeiten. Ähnlich zur [[Edgeworth-Box]] sind auch hier Güter, oder in diesem Fall die Inputfaktoren, begrenzt. In einem Modell mit zwei Unternehmen, die unterschiedliche Produkte herstellen, können sich die Unternehmen die Inputfaktoren in gewisser Weise zuteilen. Wenn Unternehmen 1 30 Millionen Arbeitnehmer einstellt, kann Unternehmen 2 nur noch 16 Millionen Menschen beschäftigen. Das gleiche gilt auch für den Kapitaleinsatz. Dies kann durch eine Ausstattungsbox grafisch dargestellt werden, die starke Ähnlichkeiten zu der [[Edgeworth-Box]] aufweist. Die Ausstattungsbox mitsamt Isoquanten ist in der rechten Abbildung zu sehen. Die Produktionsmenge der beiden Unternehmen steht in einem negativen Verhältnis zueinander. Produziert Unternehmen A viel von Gut <math> x_1 </math>, benötigt es eine große Menge der Inputfaktoren und Unternehmen B kann nur noch eine geringe Menge von Gut <math> x_2 </math> produzieren. Grafisch und rechnerisch zeigt sich, dass die [[Produktionsfunktion und Isoquante#Grenzrate der technischen Substitution|Grenzrate der technischen Substitution (GRTS)]] der beiden Unternehmen im effizienten Gleichgewicht identisch ist. 
Für eine detaillierte grafische und rechnerische Herleitung sie analog [[Edgeworth-Box]] 
'''Inputeffizienz''' 
<math> GRTS^A_{L,K}=GRTS^B_{L,K} </math> 
<math> GRTS^A_{L,K}=\frac{w}{r}=GRTS^B_{L,K} </math> 
[[Datei:Produktionsoptimum.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:Ausstattungsbox.png|400px|rahmenlos]]

==Effiziente Allokation der Güter-Outputregel==
[[Datei:Transformationskurve1.png|350px|links]]
Die Herleitungen der [[Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel#Effiziente Produktion-Inputeffizienz|effizienten Produktion/Inputeffizienz]] zeigt, dass eine Volkswirtschaft in diesem Modell vor dem Trade-off zwischen der Produktion von Gut <math> x_1 </math> und der Produktion von Gut <math> x_2 </math> steht. Soll viel von dem Gut <math> x_1 </math> produziert werden, kann weniger von Gut <math> x_2 </math> produziert werden. Die beiden Güter stehen in einem Austauschverhältnis zueinander, dass verschiedene Ausmaße annehmen kann. Das Verhältnis kann beispielsweise linear sein. In diesem Fall kann für jedes Gut <math> x_1 </math> weniger immer eine konstant bleibende Menge <math> x_2 </math> mehr produziert werden. Es sind auch Austauschverhältnisse möglich, die nicht linear sind. In diesem Fall hängt die zusätzliche Menge, die von Gut <math> x_2 </math> produziert werden kann, immer mit der Menge von <math> x_2 </math> zusammen, die bereits produziert wird. Dieses Phänomen hat starke Bezüge zum abnehmenden [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]]. Hier stiftet eine zusätzliche Einheit einen immer kleiner werdenden Nutzen, je mehr von diesem Gut bereits konsumiert wird. Im Kontext der Produktion bedeutet dies, dass immer weniger von einem Gut <math> x_2 </math> durch ein eingespartes Gut <math> x_1 </math> produziert werden kann, je mehr von diesem Gut bereits produziert wird. Ein solcher Fall ist in der Abbildung links dargestellt. Die [[Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel#Effiziente Produktion|effizienten Produktion]] hat in dem Beispiel gezeigt, dass wenn von <math> x_1 </math> 40 Einheiten produziert werden, von <math> x_2 </math> effizient 75 Einheiten produziert werden können. Sollen von <math> x_1 </math> 20 Einheiten produziert werden, können von <math> x_2 </math> nur 70 Einheiten produziert werden. Das selbe Prinzip gilt für <math> x_1=50 </math> und <math> y_1=60 </math>. Die jeweiligen Kombinationen von <math> x_1-x_2 </math> können in ein entsprechendes Diagramm eingezeichnet werden. Dies wurde in dem Beispiel unter der Ausstattungsbox getan. Die Verbindungslinie aller effizienten Produktionsmengen ist die Transformationskurve. Die Transformationskurve hat eine negative Steigung und gibt in jedem einzelnen Punkt an, in welchen Verhältnis <math> x_1 </math> zu <math> x_2 </math> transformiert werden können. Gegeben einer Funktion kann die Grenzrate der Transformation (GRT), also die Rate der Transformation in der [[Marginale Sichtweise|Grenzbetrachtung]], durch die partielle Ableitung nach <math> x_1 </math> durch die partielle Ableitung nach <math> x_2 </math>. Es kann mathematisch gezeigt werden, dass die GRT gleich dem Grenzkostenverhältnis ist. 
<math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{MC_1}{MC_2}=\frac{GK_1}{GK_2} </math>
 
An dieser Stelle sei nochmal erwähnt, dass die Transformationskurve aus den effizienten Produktionsniveaus besteht. Entlang der Transformationskurve existiert demnach immer die Inputeffizienz. 
Auf der Transformationskurve gilt überall: <math> GRTS^1_{L,K}=GRTS^2_{L,K} </math>
 

Die Ausführungen oben zeigen, wie ein Unternehmen (oder eine ganze Industrie) zwischen der Produktion zweier Güter wählen kann. Wie einfach der Wechsel von Produktion des Gutes <math> x_2 </math> zu Gut <math> x_1 </math> ist zeigt sich in der GRT. Jedoch stellt sich weiterhin die Frage, welche Aufteilung optimal ist. Recht intuitiv unter den Standradannehmen ist, dass die optimale Menge auf der Transformationskurve liegt. Ein Unternehmen wird sehr wahrscheinlich so viele Güter wie möglich produzieren und damit verkaufen wollen. Dass es jedoch auch für die Konsumenten in einer gesellschaftlichen Sichtweise optimal ist, wenn das Unternehmen auf der Transformationskurve produziert, zeigt die weitere Ausführung. Hierfür sollen Indifferenzkurven aus gesellschaftlicher Sicht modelliert werden. Unter den [[Axiome der Nutzentheorie|Annahmen über Präferenzen]] ist eine hohe Konsummenge besser als eine leicht geringere. Die Gesellschaft versucht also als Ganzes auf eine möglichst hohe [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurve]] zu gelangen. Diese liegt im Tangentialpunkt der Indifferenzkurve mit der Transformationskurve, der in der Abbildung unten eingezeichnet ist. Es muss also gelten 
<math> GRT=GRS </math> 
Die vorherigen Ausführungen haben gezeigt, dass <math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{GK_1}{GK_2} </math> und <math> GRS_{x_1,x_2}=\frac{p_1}{p_2} </math> bei einem effizienten Output gilt also: 
'''Outputregel''' 
<math> GRT_{x_1,x_2}=GRS_{x_1,x_2} </math>
<math> GRT_{x_1,x_2}=\frac{GK_1}{GK_2}=\frac{p_1}{p_2}=GRS_{x_1,x_2} </math> 
Das Preisverhältnis der beiden Güter muss gleich dem Grenzkostenverhältnis sein. Dies ergibt gerade im Kontext des [[Marktformen#Perfekter Wettbewerb|perfekten Wettbewerbs]] Sinn, in dem der Preis eines Gutes gleich seinen Grenzkosten ist.
[[Datei:Allokation.png|400px|rahmenlos]]

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Im Rahmen der allgemeinen Gleichgewichtstheorie bezeichnet die Kontraktkurve die Allokation von Gütern...
|type="()"}
+ ...bei welchend niemand besser gestellt werden kann ohne gleichzeitig jemand anderen schlechter zu stellen.
- ...welche stets mit der aktuellsten Produktionstechnologie hergestellt wurden.
- ...die ausschließlich im Rahmen einer Tauschökonomie erreicht werden können.
- ...welche bei einem bestimmten Produktionsprozess den maximal erreichbaren Output bei gegebenem Inpu abbilden.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welche der Effizienzaussagen ist verletzt, wenn der Preis von Gut 1 gleich seinen Grenzkosten ist und der Preis von Gut 2 doppelt so groß ist wie seine Grenzkosten?
|type="()"}
- Inputeffizienz
- Konsumeffizienz
+ Outputregel
- keine der Antworten ist richtig
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welche der fogenden Aussagen ist unter der Betrachtung der üblichen Annahmen über Nutzen- und Produktionsfunktionen '''falsch'''?
|type="()"}
- Die Allokation von Gütern im Tauschgleichgewicht ist nur dann effzient, wenn die Grenzrate der Substitution jedes Güterpaares für alle Verbraucher identisch ist.
- Inputeffzienz liegt dann vor, wenn die Grenzrate der technischen Substitution von Kapital und Arbeit bei allen Gütern gleich ist.
- Das Faktormarktgleichgewicht zweier mobiler Faktoren bei vollkommenem Wettbewerb ist effzient, da die Faktoren jeweils nach ihren Grenzprodukt entlohnt werden.
+ Für eine pareto-optimale Gütermischung muss die Grenzrate der Transformation der Grenzrate der technischen Substitution bei allen Gütern entsprechen.
- Keine der genannten Antworten ist korrekt.
</quiz>

Edgeworth-Box

2023-11-21T16:33:16Z

Lobin: /* Marktgleichgewicht */

==Definition==
Die Edgeworth-Box ist die grafische Darstellung einer geschlossenen Tauschökonomie mit den Präferenzen zweier Haushalte und zwei unterschiedlichen Gütern. Die Güter sind in ihrer Anzahl begrenzt.

__TOC__

==Die Box==
Die Box der Edgeworth-Box ist die grafische Darstellung, wie zwei begrenzte Güter zwischen zwei Haushalten aufgeteilt werden können. Beide Haushalte besitzen eine Anfangsausstattung der beiden Güter und diese können sie miteinander tauschen. Die konsumierte Menge des Haushaltes A ist hierbei abhängig von der konsumierten Menge von Haushalt B desselben Gutes. Angenommen von einem Gut <math> x_1 </math> existieren 10 Einheiten. Wenn Haushalt B von den 10 Haushalten 7 konsumiert, konsumiert Haushalt A 3 Einheiten . 
<math> x_1^{A}=x_1^{max}-x_1^{B}=10-7 </math> 
Beziehungsweise <math> x_1^{max}=x_1^{A}+x_1^{B} </math> 
Dasselbe gilt für das andere Gut <math> x_2 </math>. Die beschriebenen Relationen der Konsummenge kann in einem Viereck dargstellt werden. 
[[Datei:Edgeworthbox6.png|400px|rahmenlos]] 
Die horizontale Gerade beschreibt die Menge von <math> x_1 </math>. Je weiter rechts der Konsumpunkt liegt, desto mehr konsumiert A von diesem Gut und desto weniger B. Die vertikale Gerade beschreibt die Aufteilung des Gutes <math> x_2 </math>. Je weiter oben der Konsumpunkt liegt, desto mehr konsumiert A von <math> x_2 </math> und desto weniger B.

==Präferenzen in der Edgeworth-Box==
Haushalte weisen in ihrem Konsumverhalten [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Präferenzen]] auf. Die grafische Darstellung der Präferenzen erfolgt über [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurven]] entlang derer das Nutzenniveau konstant ist. 
[[Datei:Edgeworthbox1.png|300px|rahmenlos]] 
Im Weiteren sollen nicht nur die Präferenzen eines Haushalts, sondern auch die Präferenzen eines zweiten Haushalts betrachtet werden. Um die Präferenzen in der Edgeworthbox darzustellen, wird das Koordinatensystems eines Haushalts um 180 Grad gedreht. 
[[Datei:Edgeworthbox2.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Edgeworthbox5.png|300px|rahmenlos]] 
Werden die Koordinatensysteme des Haushalts A und des Haushalts B mit den jeweiligen Präferenzen übereinandergelegt, entsteht die Edgeworth-Box. Anhand dieser wird deutlich, in welchen Punkten es effizient ist zu konsumieren. In der Edgeworth-Box gibt es unendlich viele Indifferenzkurven, von denen einige unten eingezeichnet sind. Einige Indifferenzkurven des Haushalts A tangieren jeweils eine Indifferenzkurve des Haushalts B. Diese tangential Punkte beschreiben effiziente Allokationen. 
[[Datei:Edgeworthbox3.png|400px|rahmenlos]] 

==Effiziente Allokation mit Anfangsausstattung==
Die Edgeworthbox zeigt, dass es nutzenmaximierend und damit [[effizient]] ist, in einer geschlossenen Volkswirtschaft zu handeln, beziehungsweise zu tauschen. Um zu verstehen warum das so ist soll ein Szenario dienen, in dem beide Haushalte von Grund aus eine Anfangsausstattug haben, wie sie in dem Punkt A dargestellt ist. Haushalt A's Anfangsausstattung würde zu einem Nutzenniveau von <math> U_A{3} </math> führen und Haushalbt B zu einem Niveau von <math> U_B^{2} </math>. Es gibt viele Möglichkeiten, um die Effizienz zu steigern. Für den Anfang soll das Nutzenniveau von Haushalt A konstant gehalten werden. Sollte es zu einem Handel kommen, möchte der Haushalt A nach dem Handel nicht schlechter gestellt sein, als vor dem Handel. Solange sein altes Nutzenniveau erreicht wird, stimmt es jedem Tauschgeschäft zu. Bei einem Handel, der zum Punkt B führt, gibt Haushalt A von <math> x_1 </math> ab und erhält dafür mehr von <math> x_2 </math>. Haushalt A befindet sich durch den Handel weiterhin auf <math> U_A{3} </math>. Der Haushalt B befindet sich nun jedoch auf <math> U_B{3} </math> und damit auf einem höheren Nutzenniveau. Durch den Handel ist es gelungen eine Partei besser zu stellen, ohne die andere schlechter zu stellen. Ausgehend von dem Ausstattungspunkt A existieren jedoch viele [[pareto effiziente]] Konsumpunkte, die durch einen Tausch erreicht werden können. Diese liegen alle zwischen <math> U_A^{3} </math> und <math> U_B^2 </math>. 
Die effiziente Allokation innerhalb der Edgeworthbox zeigt, dass der [[Effizienz#Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik|Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik]] gilt. 
[[Datei:Edgeworthbox7.png|400px|rahmenlos]]

==Kontraktkurve==
Die Kontraktkurve ist die Verbindungslinie aller Tangentialpunkte der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurven]]. Alle Punkte, die auf der Kontraktkurve liegen sind [[pareto effizient]]. Gegeben unterschiedlicher Anfangsausstattungen werden Tauschgeschäfte im Modell immer in einen Punkt auf der Kontraktkurve resultieren. 
[[Datei:Edgeworthbox4.png|400px|rahmenlos]]

==Marktgleichgewicht==
Bisher ergab sich eine unendliche Menge von Gleichgewichtszuständen entlang der Kontraktkurve. Nun stellt sich die Frage, welcher davon tatsächlich realisiert wird. Wird von einem speziellen Tauschprozess, dem Konkurrenzmarktgleichgewicht ausgegangen, entspricht dies genau einem ganz bestimmten Gleichgewicht und somit einem einzigen Punkt auf der Kontraktkurve in der Edgeworth-Box. Grafisch ist das Marktgleichgewicht ausgehend von dem Ausstattungspunkt E (Für A: <math> \tilde{x_1}^{A} </math> und <math> \tilde{x_2}^{A} </math>) im Punkt B erkennbar. In diesem Punkt tangiert die Indifferenzkurve des Haushalts A die Indifferenzkurve des Haushalts B. Außerdem tangieren die beiden Indifferenzkurven eine Gerade, die durch das Preisverhältnis gekennzeichnet ist. 
Der Punkt E lässt sich auch rechnerisch ermitteln. Hierfür dient das [[Lagrangeverfahren]]. Ziel ist den Nutzen zu maximieren unter der Nebenbedingung, dass der Haushalt durch den Ausstattungspunkt im Budget limitiert ist. 
'''Die Budgetrestriktion''': Die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetrestriktion|Budgetrestriktion]] gestaltet sich in den Ausgaben, wie bereits bekannt. Die Preise werden mit den Mengen multipliziert. Das Budget gestaltet sich anders. Faktisch hat der Haushalt keinen Geldbetrag zur Verfügung, den er ausgeben kann. Stattdessen hat er seine Anfangsausstattung, das er eintauschen kann. Dies kann er zu den Preisen <math> p_1 </math> und <math> p_2 </math>. 
<math> p_1x_1+p_2x_2 \leq p_1 \tilde{x_1}^{A}+p_2 \tilde{x_2}^{A} </math> 
Die Langrange Funktion lautet nun 
<math> \mathcal{L}_A(x_1,x_2,\lambda)=U_A(x_1,x_2)+\lambda(p_1 \tilde{x_1}^{A}+p_2-p_1x_1-p_2x_2) </math>
Das Maximieren ergibt 
<math> \frac{\frac{\part U_A}{\part x_1}}{\frac{\part U_A}{\part x_2}}=GRS^{A}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Das gleiche für Haushalt B ergibt 
<math> \frac{\frac{\part U_B}{\part x_1}}{\frac{\part U_B}{\part x_2}}=GRS^{B}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Es muss also gelten 
<math> GRS^{A}=\frac{p_1}{p_2}=GRS^{B} </math>

==MC Fragen==
Die ersten beiden Fragen beziehen sich auf folgende Edgeworthbox: 
[[Datei:EdgeworthboxMC.png|400px|rahmenlos]] 
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Bei Punkt B wissen wir, dass es eine Möglichkeit gibt, die Ressourcenverteilung durch Austausch zu verbessern, denn...
|type="()"}
- ...Person B ist bereit, für etwas mehr Rotwein auf eine Menge Weißwein zu verzichten, während Person A für etwas mehr Weißwein eine Menge Rotwein aufgeben würde.
+ ...Person B ist bereit, für etwas mehr Weißwein auf eine Menge Rotwein zu verzichten, während Person A für etwas mehr Rotwein eine Menge Weißwein aufgeben würde.
- ...Person A hat mehr Weißwein als Person B.
- ...die derzeitige Allokation ist unfair.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Sprung von Punkt B zu Punkt A...
|type="()"}
+ ...würde von Person B befürwortet werden und von Person A nicht.
- ...wäre pareto effizient, da die Allokation auf der Kontraktkurve liegt.
- ...würde von Person A befürwortet werden und von Person B nicht.
- ...würde von beiden Personen abgelehnt werden, da beide etwas aufgeben müssten.
</quiz>

[[Datei:EdgeworthboxMC2.png|400px|rahmenlos]] 
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage trifft auf die oben abgebildete Edgeworthbox zu?
|type="()"}
+ Der Preis von <math> x_1 </math> ist relativ zum Preis von <math> x_2 </math> zu hoch.
- Der Preis von <math> x_2 </math> ist relativ zum Preis von <math> x_1 </math> zu hoch.
- Die Preis sind richtig, aber die Konsumenten haben noch nicht vorteilhaft gehandelt.
- Die Indifferenzkurven sind ungenau gezeichnet, so dass eine pareto-optimale Marktposition nicht darstellbar ist.
</quiz>

Edgeworth-Box

2023-11-21T16:29:58Z

Lobin: /* Marktgleichgewicht */

==Definition==
Die Edgeworth-Box ist die grafische Darstellung einer geschlossenen Tauschökonomie mit den Präferenzen zweier Haushalte und zwei unterschiedlichen Gütern. Die Güter sind in ihrer Anzahl begrenzt.

__TOC__

==Die Box==
Die Box der Edgeworth-Box ist die grafische Darstellung, wie zwei begrenzte Güter zwischen zwei Haushalten aufgeteilt werden können. Beide Haushalte besitzen eine Anfangsausstattung der beiden Güter und diese können sie miteinander tauschen. Die konsumierte Menge des Haushaltes A ist hierbei abhängig von der konsumierten Menge von Haushalt B desselben Gutes. Angenommen von einem Gut <math> x_1 </math> existieren 10 Einheiten. Wenn Haushalt B von den 10 Haushalten 7 konsumiert, konsumiert Haushalt A 3 Einheiten . 
<math> x_1^{A}=x_1^{max}-x_1^{B}=10-7 </math> 
Beziehungsweise <math> x_1^{max}=x_1^{A}+x_1^{B} </math> 
Dasselbe gilt für das andere Gut <math> x_2 </math>. Die beschriebenen Relationen der Konsummenge kann in einem Viereck dargstellt werden. 
[[Datei:Edgeworthbox6.png|400px|rahmenlos]] 
Die horizontale Gerade beschreibt die Menge von <math> x_1 </math>. Je weiter rechts der Konsumpunkt liegt, desto mehr konsumiert A von diesem Gut und desto weniger B. Die vertikale Gerade beschreibt die Aufteilung des Gutes <math> x_2 </math>. Je weiter oben der Konsumpunkt liegt, desto mehr konsumiert A von <math> x_2 </math> und desto weniger B.

==Präferenzen in der Edgeworth-Box==
Haushalte weisen in ihrem Konsumverhalten [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Präferenzen]] auf. Die grafische Darstellung der Präferenzen erfolgt über [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurven]] entlang derer das Nutzenniveau konstant ist. 
[[Datei:Edgeworthbox1.png|300px|rahmenlos]] 
Im Weiteren sollen nicht nur die Präferenzen eines Haushalts, sondern auch die Präferenzen eines zweiten Haushalts betrachtet werden. Um die Präferenzen in der Edgeworthbox darzustellen, wird das Koordinatensystems eines Haushalts um 180 Grad gedreht. 
[[Datei:Edgeworthbox2.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Edgeworthbox5.png|300px|rahmenlos]] 
Werden die Koordinatensysteme des Haushalts A und des Haushalts B mit den jeweiligen Präferenzen übereinandergelegt, entsteht die Edgeworth-Box. Anhand dieser wird deutlich, in welchen Punkten es effizient ist zu konsumieren. In der Edgeworth-Box gibt es unendlich viele Indifferenzkurven, von denen einige unten eingezeichnet sind. Einige Indifferenzkurven des Haushalts A tangieren jeweils eine Indifferenzkurve des Haushalts B. Diese tangential Punkte beschreiben effiziente Allokationen. 
[[Datei:Edgeworthbox3.png|400px|rahmenlos]] 

==Effiziente Allokation mit Anfangsausstattung==
Die Edgeworthbox zeigt, dass es nutzenmaximierend und damit [[effizient]] ist, in einer geschlossenen Volkswirtschaft zu handeln, beziehungsweise zu tauschen. Um zu verstehen warum das so ist soll ein Szenario dienen, in dem beide Haushalte von Grund aus eine Anfangsausstattug haben, wie sie in dem Punkt A dargestellt ist. Haushalt A's Anfangsausstattung würde zu einem Nutzenniveau von <math> U_A{3} </math> führen und Haushalbt B zu einem Niveau von <math> U_B^{2} </math>. Es gibt viele Möglichkeiten, um die Effizienz zu steigern. Für den Anfang soll das Nutzenniveau von Haushalt A konstant gehalten werden. Sollte es zu einem Handel kommen, möchte der Haushalt A nach dem Handel nicht schlechter gestellt sein, als vor dem Handel. Solange sein altes Nutzenniveau erreicht wird, stimmt es jedem Tauschgeschäft zu. Bei einem Handel, der zum Punkt B führt, gibt Haushalt A von <math> x_1 </math> ab und erhält dafür mehr von <math> x_2 </math>. Haushalt A befindet sich durch den Handel weiterhin auf <math> U_A{3} </math>. Der Haushalt B befindet sich nun jedoch auf <math> U_B{3} </math> und damit auf einem höheren Nutzenniveau. Durch den Handel ist es gelungen eine Partei besser zu stellen, ohne die andere schlechter zu stellen. Ausgehend von dem Ausstattungspunkt A existieren jedoch viele [[pareto effiziente]] Konsumpunkte, die durch einen Tausch erreicht werden können. Diese liegen alle zwischen <math> U_A^{3} </math> und <math> U_B^2 </math>. 
Die effiziente Allokation innerhalb der Edgeworthbox zeigt, dass der [[Effizienz#Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik|Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik]] gilt. 
[[Datei:Edgeworthbox7.png|400px|rahmenlos]]

==Kontraktkurve==
Die Kontraktkurve ist die Verbindungslinie aller Tangentialpunkte der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurven]]. Alle Punkte, die auf der Kontraktkurve liegen sind [[pareto effizient]]. Gegeben unterschiedlicher Anfangsausstattungen werden Tauschgeschäfte im Modell immer in einen Punkt auf der Kontraktkurve resultieren. 
[[Datei:Edgeworthbox4.png|400px|rahmenlos]]

==Marktgleichgewicht==
Bisher ergab sich eine unendliche Menge von Gleichgewichtszuständen entlang der Kontraktkurve. Nun stellt sich die Frage, welcher davon tatsächlich realisiert wird. Wird von einem speziellen Tauschprozess, dem Konkurrenzmarktgleichgewicht ausgegangen, entspricht dies genau einem ganz bestimmten Gleichgewicht und somit einem einzigen Punkt auf der Kontraktkurve in der Edgeworth-Box. Grafisch ist das Marktgleichgewicht ausgehend von dem Ausstattungspunkt E (Für A: <math> \tilde{x_1}^{A} </math> und <math> \tilde{x_2}^{A} </math>) im Punkt B erkennbar. In diesem Punkt tangiert die Indifferenzkurve des Haushalts A die Indifferenzkurve des Haushalts B. Außerdem tangieren die beiden Indifferenzkurven eine Gerade, die durch das Preisverhältnis gekennzeichnet ist. 
Der Punkt E lässt sich auch rechnerisch ermitteln. Hierfür dient das [[Lagrangeverfahren]]. Ziel ist den Nutzen zu maximieren unter der Nebenbedingung, dass der Haushalt durch den Ausstattungspunkt im Budget limitiert ist. 
'''Die Budgetrestriktion''': Die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetrestriktion|Budgetrestriktion]] gestaltet sich in den Ausgaben, wie bereits bekannt. Die Preise werden mit den Mengen multipliziert. Das Budget gestaltet sich anders. Faktisch hat der Haushalt keinen Geldbetrag zur Verfügung, den er ausgeben kann. Stattdessen hat er sein Ausstattungspunkt, das er eintauschen kann. Dies kann er zu den Preisen <math> p_1 </math> und <math> p_2 </math>. 
<math> p_1x_1+p_2x_2 \leq p_1 \tilde{x_1}^{A}+p_2 \tilde{x_2}^{A} </math> 
Die Langrange Funktion lautet nun 
<math> \mathcal{L}_A(x_1,x_2,\lambda)=U_A(x_1,x_2)+\lambda(p_1 \tilde{x_1}^{A}+p_2-p_1x_1-p_2x_2) </math>
Das Maximieren ergibt 
<math> \frac{\frac{\part U_A}{\part x_1}}{\frac{\part U_A}{\part x_2}}=GRS^{A}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Das gleiche für Haushalt B ergibt 
<math> \frac{\frac{\part U_B}{\part x_1}}{\frac{\part U_B}{\part x_2}}=GRS^{B}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Es muss also gelten 
<math> GRS^{A}=\frac{p_1}{p_2}=GRS^{B} </math>

==MC Fragen==
Die ersten beiden Fragen beziehen sich auf folgende Edgeworthbox: 
[[Datei:EdgeworthboxMC.png|400px|rahmenlos]] 
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Bei Punkt B wissen wir, dass es eine Möglichkeit gibt, die Ressourcenverteilung durch Austausch zu verbessern, denn...
|type="()"}
- ...Person B ist bereit, für etwas mehr Rotwein auf eine Menge Weißwein zu verzichten, während Person A für etwas mehr Weißwein eine Menge Rotwein aufgeben würde.
+ ...Person B ist bereit, für etwas mehr Weißwein auf eine Menge Rotwein zu verzichten, während Person A für etwas mehr Rotwein eine Menge Weißwein aufgeben würde.
- ...Person A hat mehr Weißwein als Person B.
- ...die derzeitige Allokation ist unfair.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Sprung von Punkt B zu Punkt A...
|type="()"}
+ ...würde von Person B befürwortet werden und von Person A nicht.
- ...wäre pareto effizient, da die Allokation auf der Kontraktkurve liegt.
- ...würde von Person A befürwortet werden und von Person B nicht.
- ...würde von beiden Personen abgelehnt werden, da beide etwas aufgeben müssten.
</quiz>

[[Datei:EdgeworthboxMC2.png|400px|rahmenlos]] 
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage trifft auf die oben abgebildete Edgeworthbox zu?
|type="()"}
+ Der Preis von <math> x_1 </math> ist relativ zum Preis von <math> x_2 </math> zu hoch.
- Der Preis von <math> x_2 </math> ist relativ zum Preis von <math> x_1 </math> zu hoch.
- Die Preis sind richtig, aber die Konsumenten haben noch nicht vorteilhaft gehandelt.
- Die Indifferenzkurven sind ungenau gezeichnet, so dass eine pareto-optimale Marktposition nicht darstellbar ist.
</quiz>

Edgeworth-Box

2023-11-21T16:28:22Z

Lobin: /* Effiziente Allokation mit Anfangsausstattung */

==Definition==
Die Edgeworth-Box ist die grafische Darstellung einer geschlossenen Tauschökonomie mit den Präferenzen zweier Haushalte und zwei unterschiedlichen Gütern. Die Güter sind in ihrer Anzahl begrenzt.

__TOC__

==Die Box==
Die Box der Edgeworth-Box ist die grafische Darstellung, wie zwei begrenzte Güter zwischen zwei Haushalten aufgeteilt werden können. Beide Haushalte besitzen eine Anfangsausstattung der beiden Güter und diese können sie miteinander tauschen. Die konsumierte Menge des Haushaltes A ist hierbei abhängig von der konsumierten Menge von Haushalt B desselben Gutes. Angenommen von einem Gut <math> x_1 </math> existieren 10 Einheiten. Wenn Haushalt B von den 10 Haushalten 7 konsumiert, konsumiert Haushalt A 3 Einheiten . 
<math> x_1^{A}=x_1^{max}-x_1^{B}=10-7 </math> 
Beziehungsweise <math> x_1^{max}=x_1^{A}+x_1^{B} </math> 
Dasselbe gilt für das andere Gut <math> x_2 </math>. Die beschriebenen Relationen der Konsummenge kann in einem Viereck dargstellt werden. 
[[Datei:Edgeworthbox6.png|400px|rahmenlos]] 
Die horizontale Gerade beschreibt die Menge von <math> x_1 </math>. Je weiter rechts der Konsumpunkt liegt, desto mehr konsumiert A von diesem Gut und desto weniger B. Die vertikale Gerade beschreibt die Aufteilung des Gutes <math> x_2 </math>. Je weiter oben der Konsumpunkt liegt, desto mehr konsumiert A von <math> x_2 </math> und desto weniger B.

==Präferenzen in der Edgeworth-Box==
Haushalte weisen in ihrem Konsumverhalten [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Präferenzen]] auf. Die grafische Darstellung der Präferenzen erfolgt über [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurven]] entlang derer das Nutzenniveau konstant ist. 
[[Datei:Edgeworthbox1.png|300px|rahmenlos]] 
Im Weiteren sollen nicht nur die Präferenzen eines Haushalts, sondern auch die Präferenzen eines zweiten Haushalts betrachtet werden. Um die Präferenzen in der Edgeworthbox darzustellen, wird das Koordinatensystems eines Haushalts um 180 Grad gedreht. 
[[Datei:Edgeworthbox2.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Edgeworthbox5.png|300px|rahmenlos]] 
Werden die Koordinatensysteme des Haushalts A und des Haushalts B mit den jeweiligen Präferenzen übereinandergelegt, entsteht die Edgeworth-Box. Anhand dieser wird deutlich, in welchen Punkten es effizient ist zu konsumieren. In der Edgeworth-Box gibt es unendlich viele Indifferenzkurven, von denen einige unten eingezeichnet sind. Einige Indifferenzkurven des Haushalts A tangieren jeweils eine Indifferenzkurve des Haushalts B. Diese tangential Punkte beschreiben effiziente Allokationen. 
[[Datei:Edgeworthbox3.png|400px|rahmenlos]] 

==Effiziente Allokation mit Anfangsausstattung==
Die Edgeworthbox zeigt, dass es nutzenmaximierend und damit [[effizient]] ist, in einer geschlossenen Volkswirtschaft zu handeln, beziehungsweise zu tauschen. Um zu verstehen warum das so ist soll ein Szenario dienen, in dem beide Haushalte von Grund aus eine Anfangsausstattug haben, wie sie in dem Punkt A dargestellt ist. Haushalt A's Anfangsausstattung würde zu einem Nutzenniveau von <math> U_A{3} </math> führen und Haushalbt B zu einem Niveau von <math> U_B^{2} </math>. Es gibt viele Möglichkeiten, um die Effizienz zu steigern. Für den Anfang soll das Nutzenniveau von Haushalt A konstant gehalten werden. Sollte es zu einem Handel kommen, möchte der Haushalt A nach dem Handel nicht schlechter gestellt sein, als vor dem Handel. Solange sein altes Nutzenniveau erreicht wird, stimmt es jedem Tauschgeschäft zu. Bei einem Handel, der zum Punkt B führt, gibt Haushalt A von <math> x_1 </math> ab und erhält dafür mehr von <math> x_2 </math>. Haushalt A befindet sich durch den Handel weiterhin auf <math> U_A{3} </math>. Der Haushalt B befindet sich nun jedoch auf <math> U_B{3} </math> und damit auf einem höheren Nutzenniveau. Durch den Handel ist es gelungen eine Partei besser zu stellen, ohne die andere schlechter zu stellen. Ausgehend von dem Ausstattungspunkt A existieren jedoch viele [[pareto effiziente]] Konsumpunkte, die durch einen Tausch erreicht werden können. Diese liegen alle zwischen <math> U_A^{3} </math> und <math> U_B^2 </math>. 
Die effiziente Allokation innerhalb der Edgeworthbox zeigt, dass der [[Effizienz#Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik|Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik]] gilt. 
[[Datei:Edgeworthbox7.png|400px|rahmenlos]]

==Kontraktkurve==
Die Kontraktkurve ist die Verbindungslinie aller Tangentialpunkte der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurven]]. Alle Punkte, die auf der Kontraktkurve liegen sind [[pareto effizient]]. Gegeben unterschiedlicher Anfangsausstattungen werden Tauschgeschäfte im Modell immer in einen Punkt auf der Kontraktkurve resultieren. 
[[Datei:Edgeworthbox4.png|400px|rahmenlos]]

==Marktgleichgewicht==
Bisher ergab sich eine unendliche Menge von Gleichgewichtenszuständen entlang der Kontraktkurve. Nun stellt sich die Frage, welcher davon tatsächlich realisiert wird. Wird von einem speziellen Tauschprozess, dem Konkurrenzmarktgleichgewicht ausgegangen, entspricht dies genau einem ganz bestimmten Gleichgewicht und somit einem einzigen Punkt auf der Kontraktkurve in der Edgeworth-Box. Grafisch ist das Marktgleichgewicht ausgehend von dem Ausstatungspunkt E (Für A: <math> \tilde{x_1}^{A} </math> und <math> \tilde{x_2}^{A} </math>) im Punkt B erkennbar. In diesem Punkt tangiert die Indifferenzkurve des Haushalts A die Indifferenzkurve des Haushalts B. Außerdem tangieren die beiden Indifferenzkurven eine Gerade, die durch das Preisverhältnis gekennzeichnet ist. 
Der Punkt E lässt sich auch rechnerisch ermitteln. Hierfür dient das [[Lagrangeverfahren]]. Ziel ist den Nutzen zu maximieren unter der Nebenbedingung, dass der Haushalt durch den Ausstattungspunkt im Budget limitiert ist. 
'''Die Budgetrestriktion''': Die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetrestriktion|Budgetrestriktion]] gestaltet sich in den Ausgaben, wie bereits bekannt. Die Preise werden mit den Mengen multipliziert. Das Budget gestaltet sich anders. Faktisch hat der Haushalt keinen Geldbetrag zur Verfügung, den er ausgeben kann. Stattdessen hat er sein Ausstattungspunkt, das er eintauschen kann. Dies kann er zu den Preisen <math> p_1 </math> und <math> p_2 </math>. 
<math> p_1x_1+p_2x_2 \leq p_1 \tilde{x_1}^{A}+p_2 \tilde{x_2}^{A} </math> 
Die Langrange Funktion lautet nun 
<math> \mathcal{L}_A(x_1,x_2,\lambda)=U_A(x_1,x_2)+\lambda(p_1 \tilde{x_1}^{A}+p_2-p_1x_1-p_2x_2) </math>
Das Maximieren ergibt 
<math> \frac{\frac{\part U_A}{\part x_1}}{\frac{\part U_A}{\part x_2}}=GRS^{A}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Das gleiche für Haushalt B ergibt 
<math> \frac{\frac{\part U_B}{\part x_1}}{\frac{\part U_B}{\part x_2}}=GRS^{B}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Es muss also gelten 
<math> GRS^{A}=\frac{p_1}{p_2}=GRS^{B} </math>

==MC Fragen==
Die ersten beiden Fragen beziehen sich auf folgende Edgeworthbox: 
[[Datei:EdgeworthboxMC.png|400px|rahmenlos]] 
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Bei Punkt B wissen wir, dass es eine Möglichkeit gibt, die Ressourcenverteilung durch Austausch zu verbessern, denn...
|type="()"}
- ...Person B ist bereit, für etwas mehr Rotwein auf eine Menge Weißwein zu verzichten, während Person A für etwas mehr Weißwein eine Menge Rotwein aufgeben würde.
+ ...Person B ist bereit, für etwas mehr Weißwein auf eine Menge Rotwein zu verzichten, während Person A für etwas mehr Rotwein eine Menge Weißwein aufgeben würde.
- ...Person A hat mehr Weißwein als Person B.
- ...die derzeitige Allokation ist unfair.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Sprung von Punkt B zu Punkt A...
|type="()"}
+ ...würde von Person B befürwortet werden und von Person A nicht.
- ...wäre pareto effizient, da die Allokation auf der Kontraktkurve liegt.
- ...würde von Person A befürwortet werden und von Person B nicht.
- ...würde von beiden Personen abgelehnt werden, da beide etwas aufgeben müssten.
</quiz>

[[Datei:EdgeworthboxMC2.png|400px|rahmenlos]] 
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage trifft auf die oben abgebildete Edgeworthbox zu?
|type="()"}
+ Der Preis von <math> x_1 </math> ist relativ zum Preis von <math> x_2 </math> zu hoch.
- Der Preis von <math> x_2 </math> ist relativ zum Preis von <math> x_1 </math> zu hoch.
- Die Preis sind richtig, aber die Konsumenten haben noch nicht vorteilhaft gehandelt.
- Die Indifferenzkurven sind ungenau gezeichnet, so dass eine pareto-optimale Marktposition nicht darstellbar ist.
</quiz>

Edgeworth-Box

2023-11-21T16:25:49Z

Lobin: /* Präferenzen in der Edgeworth-Box */

==Definition==
Die Edgeworth-Box ist die grafische Darstellung einer geschlossenen Tauschökonomie mit den Präferenzen zweier Haushalte und zwei unterschiedlichen Gütern. Die Güter sind in ihrer Anzahl begrenzt.

__TOC__

==Die Box==
Die Box der Edgeworth-Box ist die grafische Darstellung, wie zwei begrenzte Güter zwischen zwei Haushalten aufgeteilt werden können. Beide Haushalte besitzen eine Anfangsausstattung der beiden Güter und diese können sie miteinander tauschen. Die konsumierte Menge des Haushaltes A ist hierbei abhängig von der konsumierten Menge von Haushalt B desselben Gutes. Angenommen von einem Gut <math> x_1 </math> existieren 10 Einheiten. Wenn Haushalt B von den 10 Haushalten 7 konsumiert, konsumiert Haushalt A 3 Einheiten . 
<math> x_1^{A}=x_1^{max}-x_1^{B}=10-7 </math> 
Beziehungsweise <math> x_1^{max}=x_1^{A}+x_1^{B} </math> 
Dasselbe gilt für das andere Gut <math> x_2 </math>. Die beschriebenen Relationen der Konsummenge kann in einem Viereck dargstellt werden. 
[[Datei:Edgeworthbox6.png|400px|rahmenlos]] 
Die horizontale Gerade beschreibt die Menge von <math> x_1 </math>. Je weiter rechts der Konsumpunkt liegt, desto mehr konsumiert A von diesem Gut und desto weniger B. Die vertikale Gerade beschreibt die Aufteilung des Gutes <math> x_2 </math>. Je weiter oben der Konsumpunkt liegt, desto mehr konsumiert A von <math> x_2 </math> und desto weniger B.

==Präferenzen in der Edgeworth-Box==
Haushalte weisen in ihrem Konsumverhalten [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Präferenzen]] auf. Die grafische Darstellung der Präferenzen erfolgt über [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurven]] entlang derer das Nutzenniveau konstant ist. 
[[Datei:Edgeworthbox1.png|300px|rahmenlos]] 
Im Weiteren sollen nicht nur die Präferenzen eines Haushalts, sondern auch die Präferenzen eines zweiten Haushalts betrachtet werden. Um die Präferenzen in der Edgeworthbox darzustellen, wird das Koordinatensystems eines Haushalts um 180 Grad gedreht. 
[[Datei:Edgeworthbox2.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Edgeworthbox5.png|300px|rahmenlos]] 
Werden die Koordinatensysteme des Haushalts A und des Haushalts B mit den jeweiligen Präferenzen übereinandergelegt, entsteht die Edgeworth-Box. Anhand dieser wird deutlich, in welchen Punkten es effizient ist zu konsumieren. In der Edgeworth-Box gibt es unendlich viele Indifferenzkurven, von denen einige unten eingezeichnet sind. Einige Indifferenzkurven des Haushalts A tangieren jeweils eine Indifferenzkurve des Haushalts B. Diese tangential Punkte beschreiben effiziente Allokationen. 
[[Datei:Edgeworthbox3.png|400px|rahmenlos]] 

==Effiziente Allokation mit Anfangsausstattung==
Die Edgeworthbox zeigt, dass es nutzenmaximierend und damit [[effizient]] ist, in einer geschlossenen Volkswirtschaft zu handeln, beziehungsweise zu tauschen. Um zu verstehen warum das so ist soll ein Szenario dienen, in dem beide Haushalte von Grund aus eine Anfangsausstattug haben, wie sie in dem Punkt A dargestellt ist. Haushalt A konsumiert zu einem Nutzenniveau, dass durch <math> U_A{3} </math> dargestellt werden kann und Haushalbt B zu einem Niveau von <math> U_B^{2} </math>. Es gibt viele Möglichkeiten, um die effizienz zu steigern. Für den Anfang soll das Nutzenniveau von Haushalt A konstant gehalten werden. Sollte es zu einem Handel kommen, möchte der Haushalt A nach dem Handel nicht schlechter darstehen, als vor dem Handel. Solange sein altes Nutzenniveau erreicht wird, stimmt es jedem Tauschgeschäft zu. Bei einem Handel, der zum Punkt B führt, gibt Haushalt A von <math> x_1 </math> ab und erhält dafür mehr von <math> x_2 </math>. Haushalt A befindet sich durch den Handel weiterhin auf <math> U_A{3} </math>. Der Haushalt B befindet sich nun jedoch auf <math> U_B{3} </math> und damit auf einem höheren Nutzenniveau. Durch den Handel ist es gelungen eine Partei besser zu stellen, ohne die andere schlechter zu stellen. Ausgehend von dem Ausstattungspunkt B existieren jedoch viele [[pareto effiziente]] Konsumpunkte, die durch einen Tausch erreicht werden können. Diese liegen alle zwischen <math> U_A^{3} </math> und <math> U_B^2 </math>. 
Die effiziente Allokation innerhalb der Edegworthbox zeigt, dass der [[Effizienz#Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik|Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik]] gilt. 
[[Datei:Edgeworthbox7.png|400px|rahmenlos]]

==Kontraktkurve==
Die Kontraktkurve ist die Verbindungslinie aller Tangentialpunkte der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurven]]. Alle Punkte, die auf der Kontraktkurve liegen sind [[pareto effizient]]. Gegeben unterschiedlicher Anfangsausstattungen werden Tauschgeschäfte im Modell immer in einen Punkt auf der Kontraktkurve resultieren. 
[[Datei:Edgeworthbox4.png|400px|rahmenlos]]

==Marktgleichgewicht==
Bisher ergab sich eine unendliche Menge von Gleichgewichtenszuständen entlang der Kontraktkurve. Nun stellt sich die Frage, welcher davon tatsächlich realisiert wird. Wird von einem speziellen Tauschprozess, dem Konkurrenzmarktgleichgewicht ausgegangen, entspricht dies genau einem ganz bestimmten Gleichgewicht und somit einem einzigen Punkt auf der Kontraktkurve in der Edgeworth-Box. Grafisch ist das Marktgleichgewicht ausgehend von dem Ausstatungspunkt E (Für A: <math> \tilde{x_1}^{A} </math> und <math> \tilde{x_2}^{A} </math>) im Punkt B erkennbar. In diesem Punkt tangiert die Indifferenzkurve des Haushalts A die Indifferenzkurve des Haushalts B. Außerdem tangieren die beiden Indifferenzkurven eine Gerade, die durch das Preisverhältnis gekennzeichnet ist. 
Der Punkt E lässt sich auch rechnerisch ermitteln. Hierfür dient das [[Lagrangeverfahren]]. Ziel ist den Nutzen zu maximieren unter der Nebenbedingung, dass der Haushalt durch den Ausstattungspunkt im Budget limitiert ist. 
'''Die Budgetrestriktion''': Die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetrestriktion|Budgetrestriktion]] gestaltet sich in den Ausgaben, wie bereits bekannt. Die Preise werden mit den Mengen multipliziert. Das Budget gestaltet sich anders. Faktisch hat der Haushalt keinen Geldbetrag zur Verfügung, den er ausgeben kann. Stattdessen hat er sein Ausstattungspunkt, das er eintauschen kann. Dies kann er zu den Preisen <math> p_1 </math> und <math> p_2 </math>. 
<math> p_1x_1+p_2x_2 \leq p_1 \tilde{x_1}^{A}+p_2 \tilde{x_2}^{A} </math> 
Die Langrange Funktion lautet nun 
<math> \mathcal{L}_A(x_1,x_2,\lambda)=U_A(x_1,x_2)+\lambda(p_1 \tilde{x_1}^{A}+p_2-p_1x_1-p_2x_2) </math>
Das Maximieren ergibt 
<math> \frac{\frac{\part U_A}{\part x_1}}{\frac{\part U_A}{\part x_2}}=GRS^{A}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Das gleiche für Haushalt B ergibt 
<math> \frac{\frac{\part U_B}{\part x_1}}{\frac{\part U_B}{\part x_2}}=GRS^{B}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Es muss also gelten 
<math> GRS^{A}=\frac{p_1}{p_2}=GRS^{B} </math>

==MC Fragen==
Die ersten beiden Fragen beziehen sich auf folgende Edgeworthbox: 
[[Datei:EdgeworthboxMC.png|400px|rahmenlos]] 
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Bei Punkt B wissen wir, dass es eine Möglichkeit gibt, die Ressourcenverteilung durch Austausch zu verbessern, denn...
|type="()"}
- ...Person B ist bereit, für etwas mehr Rotwein auf eine Menge Weißwein zu verzichten, während Person A für etwas mehr Weißwein eine Menge Rotwein aufgeben würde.
+ ...Person B ist bereit, für etwas mehr Weißwein auf eine Menge Rotwein zu verzichten, während Person A für etwas mehr Rotwein eine Menge Weißwein aufgeben würde.
- ...Person A hat mehr Weißwein als Person B.
- ...die derzeitige Allokation ist unfair.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Sprung von Punkt B zu Punkt A...
|type="()"}
+ ...würde von Person B befürwortet werden und von Person A nicht.
- ...wäre pareto effizient, da die Allokation auf der Kontraktkurve liegt.
- ...würde von Person A befürwortet werden und von Person B nicht.
- ...würde von beiden Personen abgelehnt werden, da beide etwas aufgeben müssten.
</quiz>

[[Datei:EdgeworthboxMC2.png|400px|rahmenlos]] 
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage trifft auf die oben abgebildete Edgeworthbox zu?
|type="()"}
+ Der Preis von <math> x_1 </math> ist relativ zum Preis von <math> x_2 </math> zu hoch.
- Der Preis von <math> x_2 </math> ist relativ zum Preis von <math> x_1 </math> zu hoch.
- Die Preis sind richtig, aber die Konsumenten haben noch nicht vorteilhaft gehandelt.
- Die Indifferenzkurven sind ungenau gezeichnet, so dass eine pareto-optimale Marktposition nicht darstellbar ist.
</quiz>

Edgeworth-Box

2023-11-21T16:24:35Z

Lobin: /* Präferenzen in der Edgeworth-Box */

==Definition==
Die Edgeworth-Box ist die grafische Darstellung einer geschlossenen Tauschökonomie mit den Präferenzen zweier Haushalte und zwei unterschiedlichen Gütern. Die Güter sind in ihrer Anzahl begrenzt.

__TOC__

==Die Box==
Die Box der Edgeworth-Box ist die grafische Darstellung, wie zwei begrenzte Güter zwischen zwei Haushalten aufgeteilt werden können. Beide Haushalte besitzen eine Anfangsausstattung der beiden Güter und diese können sie miteinander tauschen. Die konsumierte Menge des Haushaltes A ist hierbei abhängig von der konsumierten Menge von Haushalt B desselben Gutes. Angenommen von einem Gut <math> x_1 </math> existieren 10 Einheiten. Wenn Haushalt B von den 10 Haushalten 7 konsumiert, konsumiert Haushalt A 3 Einheiten . 
<math> x_1^{A}=x_1^{max}-x_1^{B}=10-7 </math> 
Beziehungsweise <math> x_1^{max}=x_1^{A}+x_1^{B} </math> 
Dasselbe gilt für das andere Gut <math> x_2 </math>. Die beschriebenen Relationen der Konsummenge kann in einem Viereck dargstellt werden. 
[[Datei:Edgeworthbox6.png|400px|rahmenlos]] 
Die horizontale Gerade beschreibt die Menge von <math> x_1 </math>. Je weiter rechts der Konsumpunkt liegt, desto mehr konsumiert A von diesem Gut und desto weniger B. Die vertikale Gerade beschreibt die Aufteilung des Gutes <math> x_2 </math>. Je weiter oben der Konsumpunkt liegt, desto mehr konsumiert A von <math> x_2 </math> und desto weniger B.

==Präferenzen in der Edgeworth-Box==
Haushalte weisen in ihrem Konsumverhalten [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Präferenzen]] auf. Die grafische Darstellung der Präferenzen erfolgt über [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurven]] entlang derer das Nutzenniveau konstant ist. 
[[Datei:Edgeworthbox1.png|300px|rahmenlos]] 
Im Weiteren sollen nicht nur die Präferenzen eines Haushalts, sondern auch die Präferenzen eines zweiten Haushalts betrachtet werden. Um die Präferenzen in der Edgeworthbox darzustellen, wird das Koordinatensystems eines Haushalts um 180 Grad gedreht. 
[[Datei:Edgeworthbox2.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Edgeworthbox5.png|300px|rahmenlos]] 
Werden die Koordinatensysteme des Haushalts A und des Haushalts B mit den jeweiligen Präferenzen übereinandergelegt, entsteht die Edgeworth-Box. Anhand dieser wird deutlich, in welchen Punkten es effizint ist zu konsumieren. In der Edgeworth-Box gibt es unendlich viele Indifferenzkurven, von denen einige unten eingezeichnet sind. Einige Indifferenzkurven des Haushalts A tangieren jeweils eine Indifferenzkurve des Haushalts B. 
[[Datei:Edgeworthbox3.png|400px|rahmenlos]] 

==Effiziente Allokation mit Anfangsausstattung==
Die Edgeworthbox zeigt, dass es nutzenmaximierend und damit [[effizient]] ist, in einer geschlossenen Volkswirtschaft zu handeln, beziehungsweise zu tauschen. Um zu verstehen warum das so ist soll ein Szenario dienen, in dem beide Haushalte von Grund aus eine Anfangsausstattug haben, wie sie in dem Punkt A dargestellt ist. Haushalt A konsumiert zu einem Nutzenniveau, dass durch <math> U_A{3} </math> dargestellt werden kann und Haushalbt B zu einem Niveau von <math> U_B^{2} </math>. Es gibt viele Möglichkeiten, um die effizienz zu steigern. Für den Anfang soll das Nutzenniveau von Haushalt A konstant gehalten werden. Sollte es zu einem Handel kommen, möchte der Haushalt A nach dem Handel nicht schlechter darstehen, als vor dem Handel. Solange sein altes Nutzenniveau erreicht wird, stimmt es jedem Tauschgeschäft zu. Bei einem Handel, der zum Punkt B führt, gibt Haushalt A von <math> x_1 </math> ab und erhält dafür mehr von <math> x_2 </math>. Haushalt A befindet sich durch den Handel weiterhin auf <math> U_A{3} </math>. Der Haushalt B befindet sich nun jedoch auf <math> U_B{3} </math> und damit auf einem höheren Nutzenniveau. Durch den Handel ist es gelungen eine Partei besser zu stellen, ohne die andere schlechter zu stellen. Ausgehend von dem Ausstattungspunkt B existieren jedoch viele [[pareto effiziente]] Konsumpunkte, die durch einen Tausch erreicht werden können. Diese liegen alle zwischen <math> U_A^{3} </math> und <math> U_B^2 </math>. 
Die effiziente Allokation innerhalb der Edegworthbox zeigt, dass der [[Effizienz#Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik|Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik]] gilt. 
[[Datei:Edgeworthbox7.png|400px|rahmenlos]]

==Kontraktkurve==
Die Kontraktkurve ist die Verbindungslinie aller Tangentialpunkte der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurven]]. Alle Punkte, die auf der Kontraktkurve liegen sind [[pareto effizient]]. Gegeben unterschiedlicher Anfangsausstattungen werden Tauschgeschäfte im Modell immer in einen Punkt auf der Kontraktkurve resultieren. 
[[Datei:Edgeworthbox4.png|400px|rahmenlos]]

==Marktgleichgewicht==
Bisher ergab sich eine unendliche Menge von Gleichgewichtenszuständen entlang der Kontraktkurve. Nun stellt sich die Frage, welcher davon tatsächlich realisiert wird. Wird von einem speziellen Tauschprozess, dem Konkurrenzmarktgleichgewicht ausgegangen, entspricht dies genau einem ganz bestimmten Gleichgewicht und somit einem einzigen Punkt auf der Kontraktkurve in der Edgeworth-Box. Grafisch ist das Marktgleichgewicht ausgehend von dem Ausstatungspunkt E (Für A: <math> \tilde{x_1}^{A} </math> und <math> \tilde{x_2}^{A} </math>) im Punkt B erkennbar. In diesem Punkt tangiert die Indifferenzkurve des Haushalts A die Indifferenzkurve des Haushalts B. Außerdem tangieren die beiden Indifferenzkurven eine Gerade, die durch das Preisverhältnis gekennzeichnet ist. 
Der Punkt E lässt sich auch rechnerisch ermitteln. Hierfür dient das [[Lagrangeverfahren]]. Ziel ist den Nutzen zu maximieren unter der Nebenbedingung, dass der Haushalt durch den Ausstattungspunkt im Budget limitiert ist. 
'''Die Budgetrestriktion''': Die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetrestriktion|Budgetrestriktion]] gestaltet sich in den Ausgaben, wie bereits bekannt. Die Preise werden mit den Mengen multipliziert. Das Budget gestaltet sich anders. Faktisch hat der Haushalt keinen Geldbetrag zur Verfügung, den er ausgeben kann. Stattdessen hat er sein Ausstattungspunkt, das er eintauschen kann. Dies kann er zu den Preisen <math> p_1 </math> und <math> p_2 </math>. 
<math> p_1x_1+p_2x_2 \leq p_1 \tilde{x_1}^{A}+p_2 \tilde{x_2}^{A} </math> 
Die Langrange Funktion lautet nun 
<math> \mathcal{L}_A(x_1,x_2,\lambda)=U_A(x_1,x_2)+\lambda(p_1 \tilde{x_1}^{A}+p_2-p_1x_1-p_2x_2) </math>
Das Maximieren ergibt 
<math> \frac{\frac{\part U_A}{\part x_1}}{\frac{\part U_A}{\part x_2}}=GRS^{A}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Das gleiche für Haushalt B ergibt 
<math> \frac{\frac{\part U_B}{\part x_1}}{\frac{\part U_B}{\part x_2}}=GRS^{B}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Es muss also gelten 
<math> GRS^{A}=\frac{p_1}{p_2}=GRS^{B} </math>

==MC Fragen==
Die ersten beiden Fragen beziehen sich auf folgende Edgeworthbox: 
[[Datei:EdgeworthboxMC.png|400px|rahmenlos]] 
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Bei Punkt B wissen wir, dass es eine Möglichkeit gibt, die Ressourcenverteilung durch Austausch zu verbessern, denn...
|type="()"}
- ...Person B ist bereit, für etwas mehr Rotwein auf eine Menge Weißwein zu verzichten, während Person A für etwas mehr Weißwein eine Menge Rotwein aufgeben würde.
+ ...Person B ist bereit, für etwas mehr Weißwein auf eine Menge Rotwein zu verzichten, während Person A für etwas mehr Rotwein eine Menge Weißwein aufgeben würde.
- ...Person A hat mehr Weißwein als Person B.
- ...die derzeitige Allokation ist unfair.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Sprung von Punkt B zu Punkt A...
|type="()"}
+ ...würde von Person B befürwortet werden und von Person A nicht.
- ...wäre pareto effizient, da die Allokation auf der Kontraktkurve liegt.
- ...würde von Person A befürwortet werden und von Person B nicht.
- ...würde von beiden Personen abgelehnt werden, da beide etwas aufgeben müssten.
</quiz>

[[Datei:EdgeworthboxMC2.png|400px|rahmenlos]] 
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage trifft auf die oben abgebildete Edgeworthbox zu?
|type="()"}
+ Der Preis von <math> x_1 </math> ist relativ zum Preis von <math> x_2 </math> zu hoch.
- Der Preis von <math> x_2 </math> ist relativ zum Preis von <math> x_1 </math> zu hoch.
- Die Preis sind richtig, aber die Konsumenten haben noch nicht vorteilhaft gehandelt.
- Die Indifferenzkurven sind ungenau gezeichnet, so dass eine pareto-optimale Marktposition nicht darstellbar ist.
</quiz>

Edgeworth-Box

2023-11-21T16:23:19Z

Lobin: /* Die Box */

==Definition==
Die Edgeworth-Box ist die grafische Darstellung einer geschlossenen Tauschökonomie mit den Präferenzen zweier Haushalte und zwei unterschiedlichen Gütern. Die Güter sind in ihrer Anzahl begrenzt.

__TOC__

==Die Box==
Die Box der Edgeworth-Box ist die grafische Darstellung, wie zwei begrenzte Güter zwischen zwei Haushalten aufgeteilt werden können. Beide Haushalte besitzen eine Anfangsausstattung der beiden Güter und diese können sie miteinander tauschen. Die konsumierte Menge des Haushaltes A ist hierbei abhängig von der konsumierten Menge von Haushalt B desselben Gutes. Angenommen von einem Gut <math> x_1 </math> existieren 10 Einheiten. Wenn Haushalt B von den 10 Haushalten 7 konsumiert, konsumiert Haushalt A 3 Einheiten . 
<math> x_1^{A}=x_1^{max}-x_1^{B}=10-7 </math> 
Beziehungsweise <math> x_1^{max}=x_1^{A}+x_1^{B} </math> 
Dasselbe gilt für das andere Gut <math> x_2 </math>. Die beschriebenen Relationen der Konsummenge kann in einem Viereck dargstellt werden. 
[[Datei:Edgeworthbox6.png|400px|rahmenlos]] 
Die horizontale Gerade beschreibt die Menge von <math> x_1 </math>. Je weiter rechts der Konsumpunkt liegt, desto mehr konsumiert A von diesem Gut und desto weniger B. Die vertikale Gerade beschreibt die Aufteilung des Gutes <math> x_2 </math>. Je weiter oben der Konsumpunkt liegt, desto mehr konsumiert A von <math> x_2 </math> und desto weniger B.

==Präferenzen in der Edgeworth-Box==
Haushalte weisen in ihrem Konsumverhalten [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Präferenzen]] auf. Die grafische Darstellung der Präferenzen erfolgt über [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurven]] entlang derer das Nutzenniveau konstant ist. 
[[Datei:Edgeworthbox1.png|300px|rahmenlos]] 
Im Weiteren sollen nicht nur die Präferenzen eines Haushalts, sondern auch die Präfernzen eines zweiten Haushalts betrachtet werden. Um die Präferenzen in der Edgeworthbox darzustellen, wird das Kordinatensystems eines Haushalts um 180 Grad gedreht. 
[[Datei:Edgeworthbox2.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Edgeworthbox5.png|300px|rahmenlos]] 
Werden die Koordinatensysteme des Haushalts A und des Haushalts B mit den jweiligen Präferenzne übereinandergelegt, entsteht die Edgeworth-Box. Anhand dieser wird deutlich, in welchen Punkten es effizint ist zu konsumieren. In der Edgeworth-Box gibt es unendlich viele Indifferenzkurven, von denen einige unte eingezeichnet sind. Einige Indifferenzkurven des Haushalts A tangieren jeweils eine Indifferenzkurve des Haushalts B. 
[[Datei:Edgeworthbox3.png|400px|rahmenlos]] 

==Effiziente Allokation mit Anfangsausstattung==
Die Edgeworthbox zeigt, dass es nutzenmaximierend und damit [[effizient]] ist, in einer geschlossenen Volkswirtschaft zu handeln, beziehungsweise zu tauschen. Um zu verstehen warum das so ist soll ein Szenario dienen, in dem beide Haushalte von Grund aus eine Anfangsausstattug haben, wie sie in dem Punkt A dargestellt ist. Haushalt A konsumiert zu einem Nutzenniveau, dass durch <math> U_A{3} </math> dargestellt werden kann und Haushalbt B zu einem Niveau von <math> U_B^{2} </math>. Es gibt viele Möglichkeiten, um die effizienz zu steigern. Für den Anfang soll das Nutzenniveau von Haushalt A konstant gehalten werden. Sollte es zu einem Handel kommen, möchte der Haushalt A nach dem Handel nicht schlechter darstehen, als vor dem Handel. Solange sein altes Nutzenniveau erreicht wird, stimmt es jedem Tauschgeschäft zu. Bei einem Handel, der zum Punkt B führt, gibt Haushalt A von <math> x_1 </math> ab und erhält dafür mehr von <math> x_2 </math>. Haushalt A befindet sich durch den Handel weiterhin auf <math> U_A{3} </math>. Der Haushalt B befindet sich nun jedoch auf <math> U_B{3} </math> und damit auf einem höheren Nutzenniveau. Durch den Handel ist es gelungen eine Partei besser zu stellen, ohne die andere schlechter zu stellen. Ausgehend von dem Ausstattungspunkt B existieren jedoch viele [[pareto effiziente]] Konsumpunkte, die durch einen Tausch erreicht werden können. Diese liegen alle zwischen <math> U_A^{3} </math> und <math> U_B^2 </math>. 
Die effiziente Allokation innerhalb der Edegworthbox zeigt, dass der [[Effizienz#Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik|Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik]] gilt. 
[[Datei:Edgeworthbox7.png|400px|rahmenlos]]

==Kontraktkurve==
Die Kontraktkurve ist die Verbindungslinie aller Tangentialpunkte der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurven]]. Alle Punkte, die auf der Kontraktkurve liegen sind [[pareto effizient]]. Gegeben unterschiedlicher Anfangsausstattungen werden Tauschgeschäfte im Modell immer in einen Punkt auf der Kontraktkurve resultieren. 
[[Datei:Edgeworthbox4.png|400px|rahmenlos]]

==Marktgleichgewicht==
Bisher ergab sich eine unendliche Menge von Gleichgewichtenszuständen entlang der Kontraktkurve. Nun stellt sich die Frage, welcher davon tatsächlich realisiert wird. Wird von einem speziellen Tauschprozess, dem Konkurrenzmarktgleichgewicht ausgegangen, entspricht dies genau einem ganz bestimmten Gleichgewicht und somit einem einzigen Punkt auf der Kontraktkurve in der Edgeworth-Box. Grafisch ist das Marktgleichgewicht ausgehend von dem Ausstatungspunkt E (Für A: <math> \tilde{x_1}^{A} </math> und <math> \tilde{x_2}^{A} </math>) im Punkt B erkennbar. In diesem Punkt tangiert die Indifferenzkurve des Haushalts A die Indifferenzkurve des Haushalts B. Außerdem tangieren die beiden Indifferenzkurven eine Gerade, die durch das Preisverhältnis gekennzeichnet ist. 
Der Punkt E lässt sich auch rechnerisch ermitteln. Hierfür dient das [[Lagrangeverfahren]]. Ziel ist den Nutzen zu maximieren unter der Nebenbedingung, dass der Haushalt durch den Ausstattungspunkt im Budget limitiert ist. 
'''Die Budgetrestriktion''': Die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetrestriktion|Budgetrestriktion]] gestaltet sich in den Ausgaben, wie bereits bekannt. Die Preise werden mit den Mengen multipliziert. Das Budget gestaltet sich anders. Faktisch hat der Haushalt keinen Geldbetrag zur Verfügung, den er ausgeben kann. Stattdessen hat er sein Ausstattungspunkt, das er eintauschen kann. Dies kann er zu den Preisen <math> p_1 </math> und <math> p_2 </math>. 
<math> p_1x_1+p_2x_2 \leq p_1 \tilde{x_1}^{A}+p_2 \tilde{x_2}^{A} </math> 
Die Langrange Funktion lautet nun 
<math> \mathcal{L}_A(x_1,x_2,\lambda)=U_A(x_1,x_2)+\lambda(p_1 \tilde{x_1}^{A}+p_2-p_1x_1-p_2x_2) </math>
Das Maximieren ergibt 
<math> \frac{\frac{\part U_A}{\part x_1}}{\frac{\part U_A}{\part x_2}}=GRS^{A}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Das gleiche für Haushalt B ergibt 
<math> \frac{\frac{\part U_B}{\part x_1}}{\frac{\part U_B}{\part x_2}}=GRS^{B}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Es muss also gelten 
<math> GRS^{A}=\frac{p_1}{p_2}=GRS^{B} </math>

==MC Fragen==
Die ersten beiden Fragen beziehen sich auf folgende Edgeworthbox: 
[[Datei:EdgeworthboxMC.png|400px|rahmenlos]] 
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Bei Punkt B wissen wir, dass es eine Möglichkeit gibt, die Ressourcenverteilung durch Austausch zu verbessern, denn...
|type="()"}
- ...Person B ist bereit, für etwas mehr Rotwein auf eine Menge Weißwein zu verzichten, während Person A für etwas mehr Weißwein eine Menge Rotwein aufgeben würde.
+ ...Person B ist bereit, für etwas mehr Weißwein auf eine Menge Rotwein zu verzichten, während Person A für etwas mehr Rotwein eine Menge Weißwein aufgeben würde.
- ...Person A hat mehr Weißwein als Person B.
- ...die derzeitige Allokation ist unfair.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Sprung von Punkt B zu Punkt A...
|type="()"}
+ ...würde von Person B befürwortet werden und von Person A nicht.
- ...wäre pareto effizient, da die Allokation auf der Kontraktkurve liegt.
- ...würde von Person A befürwortet werden und von Person B nicht.
- ...würde von beiden Personen abgelehnt werden, da beide etwas aufgeben müssten.
</quiz>

[[Datei:EdgeworthboxMC2.png|400px|rahmenlos]] 
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage trifft auf die oben abgebildete Edgeworthbox zu?
|type="()"}
+ Der Preis von <math> x_1 </math> ist relativ zum Preis von <math> x_2 </math> zu hoch.
- Der Preis von <math> x_2 </math> ist relativ zum Preis von <math> x_1 </math> zu hoch.
- Die Preis sind richtig, aber die Konsumenten haben noch nicht vorteilhaft gehandelt.
- Die Indifferenzkurven sind ungenau gezeichnet, so dass eine pareto-optimale Marktposition nicht darstellbar ist.
</quiz>

Edgeworth-Box

2023-11-21T16:21:22Z

Lobin: /* Die Box */

==Definition==
Die Edgeworth-Box ist die grafische Darstellung einer geschlossenen Tauschökonomie mit den Präferenzen zweier Haushalte und zwei unterschiedlichen Gütern. Die Güter sind in ihrer Anzahl begrenzt.

__TOC__

==Die Box==
Die Box der Edgeworth-Box ist die grafische Darstellung, wie zwei begrenzte Güter zwischen zwei Haushalten aufgeteilt werden können. Beide Haushalte besitzen eine Anfangsausstattung der beiden Güter und diese können sie miteinander tauschen. Die konsumierte Menge des Haushaltes A ist hierbei abhängig von der konsumierten Menge diesen Gutes von Haushalt B. Angenommen von einem Gut <math> x_1 </math> existieren 10 Einheiten. Wenn Haushalt B von den 10 Haushalten 7 konsumiert, kann Haushalt A nur noch 3 Einheiten konsumieren. 
<math> x_1^{A}=x_1^{max}-x_1^{B}=10-7 </math> 
Beziehungsweise <math> x_1^{max}=x_1^{A}+x_1^{B} </math> 
Dasselbe gilt für das andere Gut <math> x_2 </math>. Die beschriebenen Relationen der Konsummenge kann in einem Viereck dargstellt werden. 
[[Datei:Edgeworthbox6.png|400px|rahmenlos]] 
Die horizontale Gerade beschreibt die Menge von <math> x_1 </math>. Je weiter rechts der Konsumpunkt liegt, desto mehr konsumiert A von diesem Gut und desto weniger B. Die vertikale Gerade beschreibt die Aufteilung des Gutes <math> x_2 </math>. Je weiter oben der Konsumpunkt liegt, desto mehr konsumiert A von <math> x_2 </math> und desto weniger B.

==Präferenzen in der Edgeworth-Box==
Haushalte weisen in ihrem Konsumverhalten [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Präferenzen]] auf. Die grafische Darstellung der Präferenzen erfolgt über [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurven]] entlang derer das Nutzenniveau konstant ist. 
[[Datei:Edgeworthbox1.png|300px|rahmenlos]] 
Im Weiteren sollen nicht nur die Präferenzen eines Haushalts, sondern auch die Präfernzen eines zweiten Haushalts betrachtet werden. Um die Präferenzen in der Edgeworthbox darzustellen, wird das Kordinatensystems eines Haushalts um 180 Grad gedreht. 
[[Datei:Edgeworthbox2.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Edgeworthbox5.png|300px|rahmenlos]] 
Werden die Koordinatensysteme des Haushalts A und des Haushalts B mit den jweiligen Präferenzne übereinandergelegt, entsteht die Edgeworth-Box. Anhand dieser wird deutlich, in welchen Punkten es effizint ist zu konsumieren. In der Edgeworth-Box gibt es unendlich viele Indifferenzkurven, von denen einige unte eingezeichnet sind. Einige Indifferenzkurven des Haushalts A tangieren jeweils eine Indifferenzkurve des Haushalts B. 
[[Datei:Edgeworthbox3.png|400px|rahmenlos]] 

==Effiziente Allokation mit Anfangsausstattung==
Die Edgeworthbox zeigt, dass es nutzenmaximierend und damit [[effizient]] ist, in einer geschlossenen Volkswirtschaft zu handeln, beziehungsweise zu tauschen. Um zu verstehen warum das so ist soll ein Szenario dienen, in dem beide Haushalte von Grund aus eine Anfangsausstattug haben, wie sie in dem Punkt A dargestellt ist. Haushalt A konsumiert zu einem Nutzenniveau, dass durch <math> U_A{3} </math> dargestellt werden kann und Haushalbt B zu einem Niveau von <math> U_B^{2} </math>. Es gibt viele Möglichkeiten, um die effizienz zu steigern. Für den Anfang soll das Nutzenniveau von Haushalt A konstant gehalten werden. Sollte es zu einem Handel kommen, möchte der Haushalt A nach dem Handel nicht schlechter darstehen, als vor dem Handel. Solange sein altes Nutzenniveau erreicht wird, stimmt es jedem Tauschgeschäft zu. Bei einem Handel, der zum Punkt B führt, gibt Haushalt A von <math> x_1 </math> ab und erhält dafür mehr von <math> x_2 </math>. Haushalt A befindet sich durch den Handel weiterhin auf <math> U_A{3} </math>. Der Haushalt B befindet sich nun jedoch auf <math> U_B{3} </math> und damit auf einem höheren Nutzenniveau. Durch den Handel ist es gelungen eine Partei besser zu stellen, ohne die andere schlechter zu stellen. Ausgehend von dem Ausstattungspunkt B existieren jedoch viele [[pareto effiziente]] Konsumpunkte, die durch einen Tausch erreicht werden können. Diese liegen alle zwischen <math> U_A^{3} </math> und <math> U_B^2 </math>. 
Die effiziente Allokation innerhalb der Edegworthbox zeigt, dass der [[Effizienz#Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik|Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik]] gilt. 
[[Datei:Edgeworthbox7.png|400px|rahmenlos]]

==Kontraktkurve==
Die Kontraktkurve ist die Verbindungslinie aller Tangentialpunkte der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurven]]. Alle Punkte, die auf der Kontraktkurve liegen sind [[pareto effizient]]. Gegeben unterschiedlicher Anfangsausstattungen werden Tauschgeschäfte im Modell immer in einen Punkt auf der Kontraktkurve resultieren. 
[[Datei:Edgeworthbox4.png|400px|rahmenlos]]

==Marktgleichgewicht==
Bisher ergab sich eine unendliche Menge von Gleichgewichtenszuständen entlang der Kontraktkurve. Nun stellt sich die Frage, welcher davon tatsächlich realisiert wird. Wird von einem speziellen Tauschprozess, dem Konkurrenzmarktgleichgewicht ausgegangen, entspricht dies genau einem ganz bestimmten Gleichgewicht und somit einem einzigen Punkt auf der Kontraktkurve in der Edgeworth-Box. Grafisch ist das Marktgleichgewicht ausgehend von dem Ausstatungspunkt E (Für A: <math> \tilde{x_1}^{A} </math> und <math> \tilde{x_2}^{A} </math>) im Punkt B erkennbar. In diesem Punkt tangiert die Indifferenzkurve des Haushalts A die Indifferenzkurve des Haushalts B. Außerdem tangieren die beiden Indifferenzkurven eine Gerade, die durch das Preisverhältnis gekennzeichnet ist. 
Der Punkt E lässt sich auch rechnerisch ermitteln. Hierfür dient das [[Lagrangeverfahren]]. Ziel ist den Nutzen zu maximieren unter der Nebenbedingung, dass der Haushalt durch den Ausstattungspunkt im Budget limitiert ist. 
'''Die Budgetrestriktion''': Die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetrestriktion|Budgetrestriktion]] gestaltet sich in den Ausgaben, wie bereits bekannt. Die Preise werden mit den Mengen multipliziert. Das Budget gestaltet sich anders. Faktisch hat der Haushalt keinen Geldbetrag zur Verfügung, den er ausgeben kann. Stattdessen hat er sein Ausstattungspunkt, das er eintauschen kann. Dies kann er zu den Preisen <math> p_1 </math> und <math> p_2 </math>. 
<math> p_1x_1+p_2x_2 \leq p_1 \tilde{x_1}^{A}+p_2 \tilde{x_2}^{A} </math> 
Die Langrange Funktion lautet nun 
<math> \mathcal{L}_A(x_1,x_2,\lambda)=U_A(x_1,x_2)+\lambda(p_1 \tilde{x_1}^{A}+p_2-p_1x_1-p_2x_2) </math>
Das Maximieren ergibt 
<math> \frac{\frac{\part U_A}{\part x_1}}{\frac{\part U_A}{\part x_2}}=GRS^{A}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Das gleiche für Haushalt B ergibt 
<math> \frac{\frac{\part U_B}{\part x_1}}{\frac{\part U_B}{\part x_2}}=GRS^{B}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Es muss also gelten 
<math> GRS^{A}=\frac{p_1}{p_2}=GRS^{B} </math>

==MC Fragen==
Die ersten beiden Fragen beziehen sich auf folgende Edgeworthbox: 
[[Datei:EdgeworthboxMC.png|400px|rahmenlos]] 
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Bei Punkt B wissen wir, dass es eine Möglichkeit gibt, die Ressourcenverteilung durch Austausch zu verbessern, denn...
|type="()"}
- ...Person B ist bereit, für etwas mehr Rotwein auf eine Menge Weißwein zu verzichten, während Person A für etwas mehr Weißwein eine Menge Rotwein aufgeben würde.
+ ...Person B ist bereit, für etwas mehr Weißwein auf eine Menge Rotwein zu verzichten, während Person A für etwas mehr Rotwein eine Menge Weißwein aufgeben würde.
- ...Person A hat mehr Weißwein als Person B.
- ...die derzeitige Allokation ist unfair.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Sprung von Punkt B zu Punkt A...
|type="()"}
+ ...würde von Person B befürwortet werden und von Person A nicht.
- ...wäre pareto effizient, da die Allokation auf der Kontraktkurve liegt.
- ...würde von Person A befürwortet werden und von Person B nicht.
- ...würde von beiden Personen abgelehnt werden, da beide etwas aufgeben müssten.
</quiz>

[[Datei:EdgeworthboxMC2.png|400px|rahmenlos]] 
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage trifft auf die oben abgebildete Edgeworthbox zu?
|type="()"}
+ Der Preis von <math> x_1 </math> ist relativ zum Preis von <math> x_2 </math> zu hoch.
- Der Preis von <math> x_2 </math> ist relativ zum Preis von <math> x_1 </math> zu hoch.
- Die Preis sind richtig, aber die Konsumenten haben noch nicht vorteilhaft gehandelt.
- Die Indifferenzkurven sind ungenau gezeichnet, so dass eine pareto-optimale Marktposition nicht darstellbar ist.
</quiz>

Edgeworth-Box

2023-11-21T16:18:58Z

Lobin: /* Definition */

==Definition==
Die Edgeworth-Box ist die grafische Darstellung einer geschlossenen Tauschökonomie mit den Präferenzen zweier Haushalte und zwei unterschiedlichen Gütern. Die Güter sind in ihrer Anzahl begrenzt.

__TOC__

==Die Box==
Die Box der Edgeworth-Box ist die grafische Darstellung, wie zwei begrenzte Güter zwischen zwei Haushalten aufgeteilt werden können. Die Menge des Haushaltes A ist hierbei abhängig wie viel der Haushalt B von diesem Gut konsumiert. Angenommen von einem Gut <math> x_1 </math> existieren 10 Einheiten. Wenn Haushalt B von den 10 Haushalten 7 konsumiert, kann Haushalt A nur noch 3 Einheiten kosnumieren. 
<math> x_1^{A}=x_1^{max}-x_1^{B}=10-7 </math> 
Beziehungsweise <math> x_1^{max}=x_1^{A}+x_1^{B} </math> 
Dasselbe gilt für das andere Gut <math> x_2 </math>. Die beschriebenen Relationen der Konsummenge kann in einem Viereck dargstellt werden. 
[[Datei:Edgeworthbox6.png|400px|rahmenlos]] 
Die horizontale Gerade beschreibt die Menge von <math> x_1 </math>. Je weiter rechts der Konsumpunkt liegt, desto mehr konsumiert A von diesem Gut und desto weniger B. Die vertikale Gerade beschreibt die Aufteilung des Gutes <math> x_2 </math>. Je weiter oben der Konsumpunkt liegt, desto mehr konsumiert A von <math> x_2 </math> und desto weniger B.

==Präferenzen in der Edgeworth-Box==
Haushalte weisen in ihrem Konsumverhalten [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Präferenzen]] auf. Die grafische Darstellung der Präferenzen erfolgt über [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurven]] entlang derer das Nutzenniveau konstant ist. 
[[Datei:Edgeworthbox1.png|300px|rahmenlos]] 
Im Weiteren sollen nicht nur die Präferenzen eines Haushalts, sondern auch die Präfernzen eines zweiten Haushalts betrachtet werden. Um die Präferenzen in der Edgeworthbox darzustellen, wird das Kordinatensystems eines Haushalts um 180 Grad gedreht. 
[[Datei:Edgeworthbox2.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Edgeworthbox5.png|300px|rahmenlos]] 
Werden die Koordinatensysteme des Haushalts A und des Haushalts B mit den jweiligen Präferenzne übereinandergelegt, entsteht die Edgeworth-Box. Anhand dieser wird deutlich, in welchen Punkten es effizint ist zu konsumieren. In der Edgeworth-Box gibt es unendlich viele Indifferenzkurven, von denen einige unte eingezeichnet sind. Einige Indifferenzkurven des Haushalts A tangieren jeweils eine Indifferenzkurve des Haushalts B. 
[[Datei:Edgeworthbox3.png|400px|rahmenlos]] 

==Effiziente Allokation mit Anfangsausstattung==
Die Edgeworthbox zeigt, dass es nutzenmaximierend und damit [[effizient]] ist, in einer geschlossenen Volkswirtschaft zu handeln, beziehungsweise zu tauschen. Um zu verstehen warum das so ist soll ein Szenario dienen, in dem beide Haushalte von Grund aus eine Anfangsausstattug haben, wie sie in dem Punkt A dargestellt ist. Haushalt A konsumiert zu einem Nutzenniveau, dass durch <math> U_A{3} </math> dargestellt werden kann und Haushalbt B zu einem Niveau von <math> U_B^{2} </math>. Es gibt viele Möglichkeiten, um die effizienz zu steigern. Für den Anfang soll das Nutzenniveau von Haushalt A konstant gehalten werden. Sollte es zu einem Handel kommen, möchte der Haushalt A nach dem Handel nicht schlechter darstehen, als vor dem Handel. Solange sein altes Nutzenniveau erreicht wird, stimmt es jedem Tauschgeschäft zu. Bei einem Handel, der zum Punkt B führt, gibt Haushalt A von <math> x_1 </math> ab und erhält dafür mehr von <math> x_2 </math>. Haushalt A befindet sich durch den Handel weiterhin auf <math> U_A{3} </math>. Der Haushalt B befindet sich nun jedoch auf <math> U_B{3} </math> und damit auf einem höheren Nutzenniveau. Durch den Handel ist es gelungen eine Partei besser zu stellen, ohne die andere schlechter zu stellen. Ausgehend von dem Ausstattungspunkt B existieren jedoch viele [[pareto effiziente]] Konsumpunkte, die durch einen Tausch erreicht werden können. Diese liegen alle zwischen <math> U_A^{3} </math> und <math> U_B^2 </math>. 
Die effiziente Allokation innerhalb der Edegworthbox zeigt, dass der [[Effizienz#Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik|Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik]] gilt. 
[[Datei:Edgeworthbox7.png|400px|rahmenlos]]

==Kontraktkurve==
Die Kontraktkurve ist die Verbindungslinie aller Tangentialpunkte der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurven]]. Alle Punkte, die auf der Kontraktkurve liegen sind [[pareto effizient]]. Gegeben unterschiedlicher Anfangsausstattungen werden Tauschgeschäfte im Modell immer in einen Punkt auf der Kontraktkurve resultieren. 
[[Datei:Edgeworthbox4.png|400px|rahmenlos]]

==Marktgleichgewicht==
Bisher ergab sich eine unendliche Menge von Gleichgewichtenszuständen entlang der Kontraktkurve. Nun stellt sich die Frage, welcher davon tatsächlich realisiert wird. Wird von einem speziellen Tauschprozess, dem Konkurrenzmarktgleichgewicht ausgegangen, entspricht dies genau einem ganz bestimmten Gleichgewicht und somit einem einzigen Punkt auf der Kontraktkurve in der Edgeworth-Box. Grafisch ist das Marktgleichgewicht ausgehend von dem Ausstatungspunkt E (Für A: <math> \tilde{x_1}^{A} </math> und <math> \tilde{x_2}^{A} </math>) im Punkt B erkennbar. In diesem Punkt tangiert die Indifferenzkurve des Haushalts A die Indifferenzkurve des Haushalts B. Außerdem tangieren die beiden Indifferenzkurven eine Gerade, die durch das Preisverhältnis gekennzeichnet ist. 
Der Punkt E lässt sich auch rechnerisch ermitteln. Hierfür dient das [[Lagrangeverfahren]]. Ziel ist den Nutzen zu maximieren unter der Nebenbedingung, dass der Haushalt durch den Ausstattungspunkt im Budget limitiert ist. 
'''Die Budgetrestriktion''': Die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetrestriktion|Budgetrestriktion]] gestaltet sich in den Ausgaben, wie bereits bekannt. Die Preise werden mit den Mengen multipliziert. Das Budget gestaltet sich anders. Faktisch hat der Haushalt keinen Geldbetrag zur Verfügung, den er ausgeben kann. Stattdessen hat er sein Ausstattungspunkt, das er eintauschen kann. Dies kann er zu den Preisen <math> p_1 </math> und <math> p_2 </math>. 
<math> p_1x_1+p_2x_2 \leq p_1 \tilde{x_1}^{A}+p_2 \tilde{x_2}^{A} </math> 
Die Langrange Funktion lautet nun 
<math> \mathcal{L}_A(x_1,x_2,\lambda)=U_A(x_1,x_2)+\lambda(p_1 \tilde{x_1}^{A}+p_2-p_1x_1-p_2x_2) </math>
Das Maximieren ergibt 
<math> \frac{\frac{\part U_A}{\part x_1}}{\frac{\part U_A}{\part x_2}}=GRS^{A}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Das gleiche für Haushalt B ergibt 
<math> \frac{\frac{\part U_B}{\part x_1}}{\frac{\part U_B}{\part x_2}}=GRS^{B}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Es muss also gelten 
<math> GRS^{A}=\frac{p_1}{p_2}=GRS^{B} </math>

==MC Fragen==
Die ersten beiden Fragen beziehen sich auf folgende Edgeworthbox: 
[[Datei:EdgeworthboxMC.png|400px|rahmenlos]] 
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Bei Punkt B wissen wir, dass es eine Möglichkeit gibt, die Ressourcenverteilung durch Austausch zu verbessern, denn...
|type="()"}
- ...Person B ist bereit, für etwas mehr Rotwein auf eine Menge Weißwein zu verzichten, während Person A für etwas mehr Weißwein eine Menge Rotwein aufgeben würde.
+ ...Person B ist bereit, für etwas mehr Weißwein auf eine Menge Rotwein zu verzichten, während Person A für etwas mehr Rotwein eine Menge Weißwein aufgeben würde.
- ...Person A hat mehr Weißwein als Person B.
- ...die derzeitige Allokation ist unfair.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Sprung von Punkt B zu Punkt A...
|type="()"}
+ ...würde von Person B befürwortet werden und von Person A nicht.
- ...wäre pareto effizient, da die Allokation auf der Kontraktkurve liegt.
- ...würde von Person A befürwortet werden und von Person B nicht.
- ...würde von beiden Personen abgelehnt werden, da beide etwas aufgeben müssten.
</quiz>

[[Datei:EdgeworthboxMC2.png|400px|rahmenlos]] 
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage trifft auf die oben abgebildete Edgeworthbox zu?
|type="()"}
+ Der Preis von <math> x_1 </math> ist relativ zum Preis von <math> x_2 </math> zu hoch.
- Der Preis von <math> x_2 </math> ist relativ zum Preis von <math> x_1 </math> zu hoch.
- Die Preis sind richtig, aber die Konsumenten haben noch nicht vorteilhaft gehandelt.
- Die Indifferenzkurven sind ungenau gezeichnet, so dass eine pareto-optimale Marktposition nicht darstellbar ist.
</quiz>

Edgeworth-Box

2023-11-21T16:18:48Z

Lobin: /* Definition */

==Definition==
Die Edgeworth-Box ist die grafische Darstellung einer geschlossenen Tauschwirtschaft mit den Präferenzen zweier Haushalte und zwei unterschiedlichen Gütern. Die Güter sind in ihrer Anzahl begrenzt.

__TOC__

==Die Box==
Die Box der Edgeworth-Box ist die grafische Darstellung, wie zwei begrenzte Güter zwischen zwei Haushalten aufgeteilt werden können. Die Menge des Haushaltes A ist hierbei abhängig wie viel der Haushalt B von diesem Gut konsumiert. Angenommen von einem Gut <math> x_1 </math> existieren 10 Einheiten. Wenn Haushalt B von den 10 Haushalten 7 konsumiert, kann Haushalt A nur noch 3 Einheiten kosnumieren. 
<math> x_1^{A}=x_1^{max}-x_1^{B}=10-7 </math> 
Beziehungsweise <math> x_1^{max}=x_1^{A}+x_1^{B} </math> 
Dasselbe gilt für das andere Gut <math> x_2 </math>. Die beschriebenen Relationen der Konsummenge kann in einem Viereck dargstellt werden. 
[[Datei:Edgeworthbox6.png|400px|rahmenlos]] 
Die horizontale Gerade beschreibt die Menge von <math> x_1 </math>. Je weiter rechts der Konsumpunkt liegt, desto mehr konsumiert A von diesem Gut und desto weniger B. Die vertikale Gerade beschreibt die Aufteilung des Gutes <math> x_2 </math>. Je weiter oben der Konsumpunkt liegt, desto mehr konsumiert A von <math> x_2 </math> und desto weniger B.

==Präferenzen in der Edgeworth-Box==
Haushalte weisen in ihrem Konsumverhalten [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Präferenzen]] auf. Die grafische Darstellung der Präferenzen erfolgt über [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurven]] entlang derer das Nutzenniveau konstant ist. 
[[Datei:Edgeworthbox1.png|300px|rahmenlos]] 
Im Weiteren sollen nicht nur die Präferenzen eines Haushalts, sondern auch die Präfernzen eines zweiten Haushalts betrachtet werden. Um die Präferenzen in der Edgeworthbox darzustellen, wird das Kordinatensystems eines Haushalts um 180 Grad gedreht. 
[[Datei:Edgeworthbox2.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Edgeworthbox5.png|300px|rahmenlos]] 
Werden die Koordinatensysteme des Haushalts A und des Haushalts B mit den jweiligen Präferenzne übereinandergelegt, entsteht die Edgeworth-Box. Anhand dieser wird deutlich, in welchen Punkten es effizint ist zu konsumieren. In der Edgeworth-Box gibt es unendlich viele Indifferenzkurven, von denen einige unte eingezeichnet sind. Einige Indifferenzkurven des Haushalts A tangieren jeweils eine Indifferenzkurve des Haushalts B. 
[[Datei:Edgeworthbox3.png|400px|rahmenlos]] 

==Effiziente Allokation mit Anfangsausstattung==
Die Edgeworthbox zeigt, dass es nutzenmaximierend und damit [[effizient]] ist, in einer geschlossenen Volkswirtschaft zu handeln, beziehungsweise zu tauschen. Um zu verstehen warum das so ist soll ein Szenario dienen, in dem beide Haushalte von Grund aus eine Anfangsausstattug haben, wie sie in dem Punkt A dargestellt ist. Haushalt A konsumiert zu einem Nutzenniveau, dass durch <math> U_A{3} </math> dargestellt werden kann und Haushalbt B zu einem Niveau von <math> U_B^{2} </math>. Es gibt viele Möglichkeiten, um die effizienz zu steigern. Für den Anfang soll das Nutzenniveau von Haushalt A konstant gehalten werden. Sollte es zu einem Handel kommen, möchte der Haushalt A nach dem Handel nicht schlechter darstehen, als vor dem Handel. Solange sein altes Nutzenniveau erreicht wird, stimmt es jedem Tauschgeschäft zu. Bei einem Handel, der zum Punkt B führt, gibt Haushalt A von <math> x_1 </math> ab und erhält dafür mehr von <math> x_2 </math>. Haushalt A befindet sich durch den Handel weiterhin auf <math> U_A{3} </math>. Der Haushalt B befindet sich nun jedoch auf <math> U_B{3} </math> und damit auf einem höheren Nutzenniveau. Durch den Handel ist es gelungen eine Partei besser zu stellen, ohne die andere schlechter zu stellen. Ausgehend von dem Ausstattungspunkt B existieren jedoch viele [[pareto effiziente]] Konsumpunkte, die durch einen Tausch erreicht werden können. Diese liegen alle zwischen <math> U_A^{3} </math> und <math> U_B^2 </math>. 
Die effiziente Allokation innerhalb der Edegworthbox zeigt, dass der [[Effizienz#Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik|Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik]] gilt. 
[[Datei:Edgeworthbox7.png|400px|rahmenlos]]

==Kontraktkurve==
Die Kontraktkurve ist die Verbindungslinie aller Tangentialpunkte der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurven]]. Alle Punkte, die auf der Kontraktkurve liegen sind [[pareto effizient]]. Gegeben unterschiedlicher Anfangsausstattungen werden Tauschgeschäfte im Modell immer in einen Punkt auf der Kontraktkurve resultieren. 
[[Datei:Edgeworthbox4.png|400px|rahmenlos]]

==Marktgleichgewicht==
Bisher ergab sich eine unendliche Menge von Gleichgewichtenszuständen entlang der Kontraktkurve. Nun stellt sich die Frage, welcher davon tatsächlich realisiert wird. Wird von einem speziellen Tauschprozess, dem Konkurrenzmarktgleichgewicht ausgegangen, entspricht dies genau einem ganz bestimmten Gleichgewicht und somit einem einzigen Punkt auf der Kontraktkurve in der Edgeworth-Box. Grafisch ist das Marktgleichgewicht ausgehend von dem Ausstatungspunkt E (Für A: <math> \tilde{x_1}^{A} </math> und <math> \tilde{x_2}^{A} </math>) im Punkt B erkennbar. In diesem Punkt tangiert die Indifferenzkurve des Haushalts A die Indifferenzkurve des Haushalts B. Außerdem tangieren die beiden Indifferenzkurven eine Gerade, die durch das Preisverhältnis gekennzeichnet ist. 
Der Punkt E lässt sich auch rechnerisch ermitteln. Hierfür dient das [[Lagrangeverfahren]]. Ziel ist den Nutzen zu maximieren unter der Nebenbedingung, dass der Haushalt durch den Ausstattungspunkt im Budget limitiert ist. 
'''Die Budgetrestriktion''': Die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetrestriktion|Budgetrestriktion]] gestaltet sich in den Ausgaben, wie bereits bekannt. Die Preise werden mit den Mengen multipliziert. Das Budget gestaltet sich anders. Faktisch hat der Haushalt keinen Geldbetrag zur Verfügung, den er ausgeben kann. Stattdessen hat er sein Ausstattungspunkt, das er eintauschen kann. Dies kann er zu den Preisen <math> p_1 </math> und <math> p_2 </math>. 
<math> p_1x_1+p_2x_2 \leq p_1 \tilde{x_1}^{A}+p_2 \tilde{x_2}^{A} </math> 
Die Langrange Funktion lautet nun 
<math> \mathcal{L}_A(x_1,x_2,\lambda)=U_A(x_1,x_2)+\lambda(p_1 \tilde{x_1}^{A}+p_2-p_1x_1-p_2x_2) </math>
Das Maximieren ergibt 
<math> \frac{\frac{\part U_A}{\part x_1}}{\frac{\part U_A}{\part x_2}}=GRS^{A}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Das gleiche für Haushalt B ergibt 
<math> \frac{\frac{\part U_B}{\part x_1}}{\frac{\part U_B}{\part x_2}}=GRS^{B}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Es muss also gelten 
<math> GRS^{A}=\frac{p_1}{p_2}=GRS^{B} </math>

==MC Fragen==
Die ersten beiden Fragen beziehen sich auf folgende Edgeworthbox: 
[[Datei:EdgeworthboxMC.png|400px|rahmenlos]] 
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Bei Punkt B wissen wir, dass es eine Möglichkeit gibt, die Ressourcenverteilung durch Austausch zu verbessern, denn...
|type="()"}
- ...Person B ist bereit, für etwas mehr Rotwein auf eine Menge Weißwein zu verzichten, während Person A für etwas mehr Weißwein eine Menge Rotwein aufgeben würde.
+ ...Person B ist bereit, für etwas mehr Weißwein auf eine Menge Rotwein zu verzichten, während Person A für etwas mehr Rotwein eine Menge Weißwein aufgeben würde.
- ...Person A hat mehr Weißwein als Person B.
- ...die derzeitige Allokation ist unfair.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Sprung von Punkt B zu Punkt A...
|type="()"}
+ ...würde von Person B befürwortet werden und von Person A nicht.
- ...wäre pareto effizient, da die Allokation auf der Kontraktkurve liegt.
- ...würde von Person A befürwortet werden und von Person B nicht.
- ...würde von beiden Personen abgelehnt werden, da beide etwas aufgeben müssten.
</quiz>

[[Datei:EdgeworthboxMC2.png|400px|rahmenlos]] 
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage trifft auf die oben abgebildete Edgeworthbox zu?
|type="()"}
+ Der Preis von <math> x_1 </math> ist relativ zum Preis von <math> x_2 </math> zu hoch.
- Der Preis von <math> x_2 </math> ist relativ zum Preis von <math> x_1 </math> zu hoch.
- Die Preis sind richtig, aber die Konsumenten haben noch nicht vorteilhaft gehandelt.
- Die Indifferenzkurven sind ungenau gezeichnet, so dass eine pareto-optimale Marktposition nicht darstellbar ist.
</quiz>

Marginale Sichtweise

2023-11-17T11:07:08Z

Lobin: /* MC Fragen */

==Definition==
Die Marginalanalyse untersucht in der Volkswirtschaftslehre, welchen Effekt eine geringfügige(marginale) Änderung einer Variablen auf eine oder mehrere andere Variablen hat.

__TOC__

==Veränderung zwischen zwei Punkten==
In der Mikroökonomie wird häufig untersucht, wie sich beispielsweise ein Nutzen verändert, wenn sich die Anzahl der konsumierten Güter verändert. Genauso können Kosten, der Output oder andere Dinge, die durch Funktionen berechnet werden, Gegenstand von Untersuchungen sein. Im weiteren Verlauf soll sich auf eine Nutzenfunktion mit einem Konsumgut konzentriert werden. Die Implikationen gelten jedoch auch für Nutzenfunktionen mit mehreren Konsumgütern oder die anderen aufgezählten Fälle. 
In der Grafik unten wird berechnet, wie sich das Nutzenniveau verändert, wenn von einem Konsumgut x deutlich mehr konsumiert wird. Hierfür wird das Nutzenniveau von einem alten Konsumniveau mit dem Nutzenniveau eines erhöhten Konsumniveaus verglichen. Liegt das derzeitige Konsumniveau beispielsweise bei x=10 und es soll untersucht werden, um wie viel Einheiten sich der Nutzen verändert hat, wenn 2 weitere Einheiten konsumiert werden, muss <math> U(10+2)-U(10) </math> gerechnet werden. Diese Vorgehensweise gibt einen numerischen Wert. 
[[Datei:Nutzenveränderung.png|400px|rahmenlos]] 
 
Die Untersuchung auf Veränderungen auf zwei Punkten auf einer Funktion kann zu falschen Aussagen über Konsumentscheidungen führen. In der Abbildung unten besitzt die Nutzenfunktion einen Hochpunkt und der erste Punkt <math> x_1 </math> liegt beispielweise links vom Hochpunkt. Der andere Punkt (<math> x_2 </math>) liegt rechts von diesem auf einem niedrigeren Nutzenniveau als Punkt <math> x_1 </math>. Soll nun ein Berater eine Aussage über das Konsumverhalten treffen und kennt die Nutzenfunktion nicht, könnte er zu einer falschen Empfehlung kommen das Nutzenniveau nicht zu verändern oder sogar zu reduzieren. Tatsächlich wäre es optimal das Konsumniveau bis zum Hochpunkt auszuweiten. Um korrekte Aussagen über die Konsumentscheidungen treffen zu können, benötigt es eine Untersuchung der [[Marginale Sichtweise#Veränderung in einem Punkt|Veränderung in einem Punkt]]. 

==Veränderung in einem Punkt==
Aussagen über Konsumentscheidungen, also ob mehr oder weniger von einem Gut konsumiert werden sollte, lassen sich nicht immer auf Basis von Veränderungen zwischen zwei Punkten treffen. Viel entscheidender ist die Untersuchung, wie sich das Nutzenniveau verhält, wenn sich das Konsumniveau sehr gering ändert. Steigt beispielweise der Nutzen, wenn ein Konsument zusätzlich zu seinen 10 Äpfeln auch noch etwas mehr konsumiert. Steigt das Nutzenniveau durch den zusätzlichen Apfelkonsum, sollte der Konsument seinen Konsum steigern, sinkt es allerdings, sollte er es vermeiden. In der Abbildung unten ist zu erkennen, dass die Steigung in dem Punkt <math> x </math> positiv ist. Der Nutzen steigt also, wenn der Konsument etwas mehr Äpfel isst als die Menge <math> x_1 </math>. Gleichzeitig wird jedoch auch deutlich, dass der Konsum eines zusätzlichen ganzen Apfels (<math> x+1 </math>) das Nutzenniveau erneut schmälert und nicht steigert. Anstatt zu untersuchen, wie es sich mit dreiviertel eines Apfels, einem halben Apfel usw. verhält, wird untersucht, wie sich das Nutzenniveau bei einer kleinstmöglichen Veränderung der konsumierten Menge verändert. Entscheiden ist also die Veränderung möglichst gering zu halten. Die Untersuchung in einem Punkt ist dementsprechend so zu verstehen, dass sich die Menge insofern verändert, als dass diese Veränderung mit Zahlen nicht zu beziffern, sondern so klein ist, als würde die Veränderung gar nicht stattfinden. Es wird dabei auch von einer [[Marginale Sichtweise#Marginale Veränderung|marginalen Veränderung]] gesprochen. 
[[Datei:Nutzenveränderung3.png|400px|rahmenlos]] 
 
Die Abbildung oben veranschaulicht, dass mit einer marginalen Veränderung, die Veränderung in einem Punkt gemeint ist. Die Tangente in dem Punkt <math> x </math> mit der Nutzenfunktion weist eine positive Steigung aus. Würde sich das Konsumniveau um eine Einheit erhöhen <math> x+1 </math>, zeigt die Tangente, dass das Konsumniveau größer als vorher ist <math> U'(x+1)> U(x) </math>. Tatsächlich liegt das Nutzenniveau bei <math> U(x+1) </math>, was geringer als <math> U'(x+1) </math> ist.

==Marginale Veränderung==
In der Volkswirtschaftslehre und insbesondere der Mikroökonomie ist häufig von einem marginalen Effekt die Rede. Dieser marginale Effekt betrachtet, wie sich was verändert, wenn eine Variable sehr gering, also marginal, erhöht wird. In dem oben genannten Beispiel wird untersucht, wie groß der Effekt ist, wenn eine zusätzliche marginale Einheit konsumiert wird. Wie groß diese marginale Einheit ist, kann nicht genau bemessen werden. Es ist schlichtweg die Veränderung in einem Punkt. 
Der marginale Effekt lässt sich durch die Ableitung nach der zu betrachtenden Variable berechnen. Die erste Ableitung einer Funktion gibt die Steigung in dem Punkt des x-Wertes an. Genauso gibt die Ableitung, beispielsweise der Nutzenfunktion an, wie sich der Nutzen marginal in diesem Punkt verändert. Ist die erste Ableitung in dem zu betrachtenden Punkt positiv (wie in dem Beispiel unten), steigt das Nutzenniveau bei marginaler Erhöhung des Konsumniveaus. Eine Tangente in diesem Punkt hat eine positive Steigung. Ist die erste Ableitung negativ in dem Punkt, bzw. hat die Tangente in diesem Punkt eine negative Steigung, sinkt das Nutzenniveau bei einer marginalen Erhöhung des Konsumniveaus. Die marginale Betrachtung wird auch häufig Grenzbetrachtung genannt, weshalb der Begriff Grenznutzen die Veränderung des Nutzens bei marginaler Veränderung des Konsumniveaus beschreibt. 
Diese Marginalbetrachtung/Grenzbetrachtung lässt, anders als die Betrachtungsweisen oben (Veränderung zwischen zwei Punkten und eine Veränderung um eine nominale Einheit), korrekte Aussagen über Konsumentscheidungen zu. Ein positiver Grenznutzen bedeutet der Nutzen steigt bei marginaler Erhöhung des Konsumniveaus, dementsprechend sollte marginal mehr konsumiert werden. 
[[Datei:Nutzenveränderung4.png|400px|rahmenlos]]

==Grenznutzen==
Produktivität, Nutzen, Output und viele andere Sachen können auf marginale Effekte untersucht werden. Ganz explizit als Beispiel soll erneut der Nutzen als Beispiel dienen. 
Wie in dem Abschnitt oben bereits erläutert wurde, gilt es die Veränderung des Nutzenniveaus in einem Punkt zu bestimmen. Ob es ratsam ist das Konsumniveau marginal zu erhöhen lässt sich schnell durch die Steigung in diesem Punkt ermitteln. Ist die Steigung positiv (eine Tangente in dem Punkt mit der Nutzenfunktion hat eine positive Steigung), sollte der Konsum marginal erhöht werden. Für die Untersuchung wie es sich entlang der gesamten Nutzenfunktion verhält, dient die erste Ableitung der Nutzenfunktion. Diese gibt für jedes beliebige Konsumniveau an, ob das Nutzenniveau in dem Punkt marginal steigt, sinkt oder konstant bleibt. Wie sich der Nutzen bei einer marginalen Veränderung verhält, wird im Grenznutzen beschrieben. Der Grenznutzen (GU oder MU) untersucht, wie sich der Nutzen verhält, wenn das Konsumniveau marginal erhöht wird. In der Theorie wird oft von einem abnehmenden Grenznutzen ausgegangen. 
''Beispiel'': Nach dem erfolgreichen Bachelor beschließt Tom bei einer Bank fest einzusteigen. Er besitzt keinen Anzug und geht deshalb einkaufen. Er kauft einen ersten Anzug, ohne den er nicht arbeiten könnte. Der Nutzen, den der erste Anzug stiftet, ist sehr groß. Tom kauft einen zweiten Anzug, falls der erste dreckig wird. Auch der zweite Anzug stiftet einen großen Nutzen, jedoch einen nicht so großen, wie der erste. Je mehr Anzüge Tom kauft, desto größer wird sein Nutzen. Jeder einzelne Anzug stiftet jedoch einen immer kleiner werdenden zusätzlichen Nutzen. Der Nutzen einer marginalen Einheit mehr ist positiv, wird aber immer kleiner. In dem Beispiel wird ein Anzug als eine marginale Einheit beschrieben. Dies ist, wie oben erklärt, nicht ganz richtig, soll aber zur Veranschaulichung des Grenzbegriffs ausreichen. 
Der Grenznutzen lässt sich durch die Ableitung der Nutzenfunktion berechnen: <math> MU=\frac{\part U(x)}{\part x} </math> 
[[Datei:AbnehmenderGrenznutzen.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:MU.png|360px|rahmenlos]]
 
In den Abbildungen oben wird der Bezug zwischen der Grenznutzenfunktion (MU(x)) und der Nutzenfunktion (U(x)) deutlich. Die marginale Steigung in einem Punkt entspricht dem Grenznutzen in diesem Punkt. Grundsätzlich ist es auch möglich einen steigenden Grenznutzen darzustellen. In diesem Fall wäre die Nutzenfunktion [[Mathematische Eigenschaften von Funktionen|konvex]] und nicht [[Mathematische Eigenschaften von Funktionen|konkav]], wie oben dargestellt.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Aussagen ist korrekt
|type="()"}
- Ein Grenzgewinn von 0 bedeutet, dass eine marginale Einheit mehr, die produziert und verkauft wird, den Gewinn erhöhen würde.
- Ein positiver Grenznutzen kann bedeuten, dass eine zusätzliche konsumierte Einheit den Nutzen verringert.
+ Zunehmende Grenzkosten bedeuten, dass jede marginale Einheit (ungeachtet der Produktionsmenge) teurer ist, als die Einheit davor.
- Ein positives Grenzprodukt der Arbeit bedeutet, dass die marginale zusätzliche Arbeitskraft durchschnittlich produktiver ist, als die marginale Einheit vorher.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Um den Effekt zu beschreiben, den fünf zusätzlich konsumierte Einheiten bedeuten, benötigt es den Grenznutzen. Die Aussage ist...
|type="()"}
- ... Wahr
+ ... Falsch
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Konsument hat eine Nutzenfunktion von <math> U(x)=(x-1)^2 </math>.
|type="{}"}
Der Grenznutzen bei <math> x=0,5 </math> ist (negativ oder positiv) { negativ }
Unter der Annahme der nicht negativen Menge, sollte der Konsument sein Konsumniveau deutlich erhöhen oder verringern? (erhöhen oder verringern) { erhöhen }
</quiz>

Marginale Sichtweise

2023-11-17T11:04:26Z

Lobin: /* Grenznutzen */

==Definition==
Die Marginalanalyse untersucht in der Volkswirtschaftslehre, welchen Effekt eine geringfügige(marginale) Änderung einer Variablen auf eine oder mehrere andere Variablen hat.

__TOC__

==Veränderung zwischen zwei Punkten==
In der Mikroökonomie wird häufig untersucht, wie sich beispielsweise ein Nutzen verändert, wenn sich die Anzahl der konsumierten Güter verändert. Genauso können Kosten, der Output oder andere Dinge, die durch Funktionen berechnet werden, Gegenstand von Untersuchungen sein. Im weiteren Verlauf soll sich auf eine Nutzenfunktion mit einem Konsumgut konzentriert werden. Die Implikationen gelten jedoch auch für Nutzenfunktionen mit mehreren Konsumgütern oder die anderen aufgezählten Fälle. 
In der Grafik unten wird berechnet, wie sich das Nutzenniveau verändert, wenn von einem Konsumgut x deutlich mehr konsumiert wird. Hierfür wird das Nutzenniveau von einem alten Konsumniveau mit dem Nutzenniveau eines erhöhten Konsumniveaus verglichen. Liegt das derzeitige Konsumniveau beispielsweise bei x=10 und es soll untersucht werden, um wie viel Einheiten sich der Nutzen verändert hat, wenn 2 weitere Einheiten konsumiert werden, muss <math> U(10+2)-U(10) </math> gerechnet werden. Diese Vorgehensweise gibt einen numerischen Wert. 
[[Datei:Nutzenveränderung.png|400px|rahmenlos]] 
 
Die Untersuchung auf Veränderungen auf zwei Punkten auf einer Funktion kann zu falschen Aussagen über Konsumentscheidungen führen. In der Abbildung unten besitzt die Nutzenfunktion einen Hochpunkt und der erste Punkt <math> x_1 </math> liegt beispielweise links vom Hochpunkt. Der andere Punkt (<math> x_2 </math>) liegt rechts von diesem auf einem niedrigeren Nutzenniveau als Punkt <math> x_1 </math>. Soll nun ein Berater eine Aussage über das Konsumverhalten treffen und kennt die Nutzenfunktion nicht, könnte er zu einer falschen Empfehlung kommen das Nutzenniveau nicht zu verändern oder sogar zu reduzieren. Tatsächlich wäre es optimal das Konsumniveau bis zum Hochpunkt auszuweiten. Um korrekte Aussagen über die Konsumentscheidungen treffen zu können, benötigt es eine Untersuchung der [[Marginale Sichtweise#Veränderung in einem Punkt|Veränderung in einem Punkt]]. 

==Veränderung in einem Punkt==
Aussagen über Konsumentscheidungen, also ob mehr oder weniger von einem Gut konsumiert werden sollte, lassen sich nicht immer auf Basis von Veränderungen zwischen zwei Punkten treffen. Viel entscheidender ist die Untersuchung, wie sich das Nutzenniveau verhält, wenn sich das Konsumniveau sehr gering ändert. Steigt beispielweise der Nutzen, wenn ein Konsument zusätzlich zu seinen 10 Äpfeln auch noch etwas mehr konsumiert. Steigt das Nutzenniveau durch den zusätzlichen Apfelkonsum, sollte der Konsument seinen Konsum steigern, sinkt es allerdings, sollte er es vermeiden. In der Abbildung unten ist zu erkennen, dass die Steigung in dem Punkt <math> x </math> positiv ist. Der Nutzen steigt also, wenn der Konsument etwas mehr Äpfel isst als die Menge <math> x_1 </math>. Gleichzeitig wird jedoch auch deutlich, dass der Konsum eines zusätzlichen ganzen Apfels (<math> x+1 </math>) das Nutzenniveau erneut schmälert und nicht steigert. Anstatt zu untersuchen, wie es sich mit dreiviertel eines Apfels, einem halben Apfel usw. verhält, wird untersucht, wie sich das Nutzenniveau bei einer kleinstmöglichen Veränderung der konsumierten Menge verändert. Entscheiden ist also die Veränderung möglichst gering zu halten. Die Untersuchung in einem Punkt ist dementsprechend so zu verstehen, dass sich die Menge insofern verändert, als dass diese Veränderung mit Zahlen nicht zu beziffern, sondern so klein ist, als würde die Veränderung gar nicht stattfinden. Es wird dabei auch von einer [[Marginale Sichtweise#Marginale Veränderung|marginalen Veränderung]] gesprochen. 
[[Datei:Nutzenveränderung3.png|400px|rahmenlos]] 
 
Die Abbildung oben veranschaulicht, dass mit einer marginalen Veränderung, die Veränderung in einem Punkt gemeint ist. Die Tangente in dem Punkt <math> x </math> mit der Nutzenfunktion weist eine positive Steigung aus. Würde sich das Konsumniveau um eine Einheit erhöhen <math> x+1 </math>, zeigt die Tangente, dass das Konsumniveau größer als vorher ist <math> U'(x+1)> U(x) </math>. Tatsächlich liegt das Nutzenniveau bei <math> U(x+1) </math>, was geringer als <math> U'(x+1) </math> ist.

==Marginale Veränderung==
In der Volkswirtschaftslehre und insbesondere der Mikroökonomie ist häufig von einem marginalen Effekt die Rede. Dieser marginale Effekt betrachtet, wie sich was verändert, wenn eine Variable sehr gering, also marginal, erhöht wird. In dem oben genannten Beispiel wird untersucht, wie groß der Effekt ist, wenn eine zusätzliche marginale Einheit konsumiert wird. Wie groß diese marginale Einheit ist, kann nicht genau bemessen werden. Es ist schlichtweg die Veränderung in einem Punkt. 
Der marginale Effekt lässt sich durch die Ableitung nach der zu betrachtenden Variable berechnen. Die erste Ableitung einer Funktion gibt die Steigung in dem Punkt des x-Wertes an. Genauso gibt die Ableitung, beispielsweise der Nutzenfunktion an, wie sich der Nutzen marginal in diesem Punkt verändert. Ist die erste Ableitung in dem zu betrachtenden Punkt positiv (wie in dem Beispiel unten), steigt das Nutzenniveau bei marginaler Erhöhung des Konsumniveaus. Eine Tangente in diesem Punkt hat eine positive Steigung. Ist die erste Ableitung negativ in dem Punkt, bzw. hat die Tangente in diesem Punkt eine negative Steigung, sinkt das Nutzenniveau bei einer marginalen Erhöhung des Konsumniveaus. Die marginale Betrachtung wird auch häufig Grenzbetrachtung genannt, weshalb der Begriff Grenznutzen die Veränderung des Nutzens bei marginaler Veränderung des Konsumniveaus beschreibt. 
Diese Marginalbetrachtung/Grenzbetrachtung lässt, anders als die Betrachtungsweisen oben (Veränderung zwischen zwei Punkten und eine Veränderung um eine nominale Einheit), korrekte Aussagen über Konsumentscheidungen zu. Ein positiver Grenznutzen bedeutet der Nutzen steigt bei marginaler Erhöhung des Konsumniveaus, dementsprechend sollte marginal mehr konsumiert werden. 
[[Datei:Nutzenveränderung4.png|400px|rahmenlos]]

==Grenznutzen==
Produktivität, Nutzen, Output und viele andere Sachen können auf marginale Effekte untersucht werden. Ganz explizit als Beispiel soll erneut der Nutzen als Beispiel dienen. 
Wie in dem Abschnitt oben bereits erläutert wurde, gilt es die Veränderung des Nutzenniveaus in einem Punkt zu bestimmen. Ob es ratsam ist das Konsumniveau marginal zu erhöhen lässt sich schnell durch die Steigung in diesem Punkt ermitteln. Ist die Steigung positiv (eine Tangente in dem Punkt mit der Nutzenfunktion hat eine positive Steigung), sollte der Konsum marginal erhöht werden. Für die Untersuchung wie es sich entlang der gesamten Nutzenfunktion verhält, dient die erste Ableitung der Nutzenfunktion. Diese gibt für jedes beliebige Konsumniveau an, ob das Nutzenniveau in dem Punkt marginal steigt, sinkt oder konstant bleibt. Wie sich der Nutzen bei einer marginalen Veränderung verhält, wird im Grenznutzen beschrieben. Der Grenznutzen (GU oder MU) untersucht, wie sich der Nutzen verhält, wenn das Konsumniveau marginal erhöht wird. In der Theorie wird oft von einem abnehmenden Grenznutzen ausgegangen. 
''Beispiel'': Nach dem erfolgreichen Bachelor beschließt Tom bei einer Bank fest einzusteigen. Er besitzt keinen Anzug und geht deshalb einkaufen. Er kauft einen ersten Anzug, ohne den er nicht arbeiten könnte. Der Nutzen, den der erste Anzug stiftet, ist sehr groß. Tom kauft einen zweiten Anzug, falls der erste dreckig wird. Auch der zweite Anzug stiftet einen großen Nutzen, jedoch einen nicht so großen, wie der erste. Je mehr Anzüge Tom kauft, desto größer wird sein Nutzen. Jeder einzelne Anzug stiftet jedoch einen immer kleiner werdenden zusätzlichen Nutzen. Der Nutzen einer marginalen Einheit mehr ist positiv, wird aber immer kleiner. In dem Beispiel wird ein Anzug als eine marginale Einheit beschrieben. Dies ist, wie oben erklärt, nicht ganz richtig, soll aber zur Veranschaulichung des Grenzbegriffs ausreichen. 
Der Grenznutzen lässt sich durch die Ableitung der Nutzenfunktion berechnen: <math> MU=\frac{\part U(x)}{\part x} </math> 
[[Datei:AbnehmenderGrenznutzen.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:MU.png|360px|rahmenlos]]
 
In den Abbildungen oben wird der Bezug zwischen der Grenznutzenfunktion (MU(x)) und der Nutzenfunktion (U(x)) deutlich. Die marginale Steigung in einem Punkt entspricht dem Grenznutzen in diesem Punkt. Grundsätzlich ist es auch möglich einen steigenden Grenznutzen darzustellen. In diesem Fall wäre die Nutzenfunktion [[Mathematische Eigenschaften von Funktionen|konvex]] und nicht [[Mathematische Eigenschaften von Funktionen|konkav]], wie oben dargestellt.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Aussagen ist korrekt
|type="()"}
- Ein Grenzgewinn von 0 bedeutet, dass eine marginale Einheit mehr, die produziert und verkauft wird, den Gewinn erhöhen würde.
- Ein positiver Grenznutzen kann bedeuten, dass eine zusätzliche konsumierte Einheit den Nutzen verringert.
+ Zunehmende Grenzkosten bedeuten, dass jede marginale Einheit (ungeachtet der Produktionsmenge) teurer ist, als die Einheit davor.
- Ein positives Grenzprodukt der Arbeit bedeutet, dass die marginale zusätzliche Arbeitskraft durchschnittlich produktiver ist, als die marginale Einheit vorher.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Um den Effekt zu beschreiben, den fünf zusätzlich konsumierte Einheiten bedeuten, benötigt des den Grenznutzen. Die Aussage ist...
|type="()"}
- ... Wahr
+ ... Falsch
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Konsument hat eine Nutzenfunktion von <math> U(x)=(x-1)^2 </math>.
|type="{}"}
Der Grenznutzen bei <math> x=0,5 </math> ist (negativ oder positiv) { negativ }
Unter der Annahme der nicht negativen Menge, sollte der Konsument sein Konsumniveau deutlich erhöhen oder verringern? (erhöhen oder verringern) { erhöhen }
</quiz>

Marginale Sichtweise

2023-11-17T11:01:24Z

Lobin: /* Marginale Veränderung */

==Definition==
Die Marginalanalyse untersucht in der Volkswirtschaftslehre, welchen Effekt eine geringfügige(marginale) Änderung einer Variablen auf eine oder mehrere andere Variablen hat.

__TOC__

==Veränderung zwischen zwei Punkten==
In der Mikroökonomie wird häufig untersucht, wie sich beispielsweise ein Nutzen verändert, wenn sich die Anzahl der konsumierten Güter verändert. Genauso können Kosten, der Output oder andere Dinge, die durch Funktionen berechnet werden, Gegenstand von Untersuchungen sein. Im weiteren Verlauf soll sich auf eine Nutzenfunktion mit einem Konsumgut konzentriert werden. Die Implikationen gelten jedoch auch für Nutzenfunktionen mit mehreren Konsumgütern oder die anderen aufgezählten Fälle. 
In der Grafik unten wird berechnet, wie sich das Nutzenniveau verändert, wenn von einem Konsumgut x deutlich mehr konsumiert wird. Hierfür wird das Nutzenniveau von einem alten Konsumniveau mit dem Nutzenniveau eines erhöhten Konsumniveaus verglichen. Liegt das derzeitige Konsumniveau beispielsweise bei x=10 und es soll untersucht werden, um wie viel Einheiten sich der Nutzen verändert hat, wenn 2 weitere Einheiten konsumiert werden, muss <math> U(10+2)-U(10) </math> gerechnet werden. Diese Vorgehensweise gibt einen numerischen Wert. 
[[Datei:Nutzenveränderung.png|400px|rahmenlos]] 
 
Die Untersuchung auf Veränderungen auf zwei Punkten auf einer Funktion kann zu falschen Aussagen über Konsumentscheidungen führen. In der Abbildung unten besitzt die Nutzenfunktion einen Hochpunkt und der erste Punkt <math> x_1 </math> liegt beispielweise links vom Hochpunkt. Der andere Punkt (<math> x_2 </math>) liegt rechts von diesem auf einem niedrigeren Nutzenniveau als Punkt <math> x_1 </math>. Soll nun ein Berater eine Aussage über das Konsumverhalten treffen und kennt die Nutzenfunktion nicht, könnte er zu einer falschen Empfehlung kommen das Nutzenniveau nicht zu verändern oder sogar zu reduzieren. Tatsächlich wäre es optimal das Konsumniveau bis zum Hochpunkt auszuweiten. Um korrekte Aussagen über die Konsumentscheidungen treffen zu können, benötigt es eine Untersuchung der [[Marginale Sichtweise#Veränderung in einem Punkt|Veränderung in einem Punkt]]. 

==Veränderung in einem Punkt==
Aussagen über Konsumentscheidungen, also ob mehr oder weniger von einem Gut konsumiert werden sollte, lassen sich nicht immer auf Basis von Veränderungen zwischen zwei Punkten treffen. Viel entscheidender ist die Untersuchung, wie sich das Nutzenniveau verhält, wenn sich das Konsumniveau sehr gering ändert. Steigt beispielweise der Nutzen, wenn ein Konsument zusätzlich zu seinen 10 Äpfeln auch noch etwas mehr konsumiert. Steigt das Nutzenniveau durch den zusätzlichen Apfelkonsum, sollte der Konsument seinen Konsum steigern, sinkt es allerdings, sollte er es vermeiden. In der Abbildung unten ist zu erkennen, dass die Steigung in dem Punkt <math> x </math> positiv ist. Der Nutzen steigt also, wenn der Konsument etwas mehr Äpfel isst als die Menge <math> x_1 </math>. Gleichzeitig wird jedoch auch deutlich, dass der Konsum eines zusätzlichen ganzen Apfels (<math> x+1 </math>) das Nutzenniveau erneut schmälert und nicht steigert. Anstatt zu untersuchen, wie es sich mit dreiviertel eines Apfels, einem halben Apfel usw. verhält, wird untersucht, wie sich das Nutzenniveau bei einer kleinstmöglichen Veränderung der konsumierten Menge verändert. Entscheiden ist also die Veränderung möglichst gering zu halten. Die Untersuchung in einem Punkt ist dementsprechend so zu verstehen, dass sich die Menge insofern verändert, als dass diese Veränderung mit Zahlen nicht zu beziffern, sondern so klein ist, als würde die Veränderung gar nicht stattfinden. Es wird dabei auch von einer [[Marginale Sichtweise#Marginale Veränderung|marginalen Veränderung]] gesprochen. 
[[Datei:Nutzenveränderung3.png|400px|rahmenlos]] 
 
Die Abbildung oben veranschaulicht, dass mit einer marginalen Veränderung, die Veränderung in einem Punkt gemeint ist. Die Tangente in dem Punkt <math> x </math> mit der Nutzenfunktion weist eine positive Steigung aus. Würde sich das Konsumniveau um eine Einheit erhöhen <math> x+1 </math>, zeigt die Tangente, dass das Konsumniveau größer als vorher ist <math> U'(x+1)> U(x) </math>. Tatsächlich liegt das Nutzenniveau bei <math> U(x+1) </math>, was geringer als <math> U'(x+1) </math> ist.

==Marginale Veränderung==
In der Volkswirtschaftslehre und insbesondere der Mikroökonomie ist häufig von einem marginalen Effekt die Rede. Dieser marginale Effekt betrachtet, wie sich was verändert, wenn eine Variable sehr gering, also marginal, erhöht wird. In dem oben genannten Beispiel wird untersucht, wie groß der Effekt ist, wenn eine zusätzliche marginale Einheit konsumiert wird. Wie groß diese marginale Einheit ist, kann nicht genau bemessen werden. Es ist schlichtweg die Veränderung in einem Punkt. 
Der marginale Effekt lässt sich durch die Ableitung nach der zu betrachtenden Variable berechnen. Die erste Ableitung einer Funktion gibt die Steigung in dem Punkt des x-Wertes an. Genauso gibt die Ableitung, beispielsweise der Nutzenfunktion an, wie sich der Nutzen marginal in diesem Punkt verändert. Ist die erste Ableitung in dem zu betrachtenden Punkt positiv (wie in dem Beispiel unten), steigt das Nutzenniveau bei marginaler Erhöhung des Konsumniveaus. Eine Tangente in diesem Punkt hat eine positive Steigung. Ist die erste Ableitung negativ in dem Punkt, bzw. hat die Tangente in diesem Punkt eine negative Steigung, sinkt das Nutzenniveau bei einer marginalen Erhöhung des Konsumniveaus. Die marginale Betrachtung wird auch häufig Grenzbetrachtung genannt, weshalb der Begriff Grenznutzen die Veränderung des Nutzens bei marginaler Veränderung des Konsumniveaus beschreibt. 
Diese Marginalbetrachtung/Grenzbetrachtung lässt, anders als die Betrachtungsweisen oben (Veränderung zwischen zwei Punkten und eine Veränderung um eine nominale Einheit), korrekte Aussagen über Konsumentscheidungen zu. Ein positiver Grenznutzen bedeutet der Nutzen steigt bei marginaler Erhöhung des Konsumniveaus, dementsprechend sollte marginal mehr konsumiert werden. 
[[Datei:Nutzenveränderung4.png|400px|rahmenlos]]

==Grenznutzen==
Produktivität, Nutzen, Output und viele andere Sachen können auf marginale Effekte untersucht werden. Ganz explizit als Beispiel soll erneut der Nutzen als Beispiel dienen. 
Wie in dem Abschnitt oben bereits erläutert wurde, gilt es die Veränderung des Nutzenniveaus in einem Punkt zu bestimmen. Ob es ratsam ist das Konsumniveau marginal zu erhöhen lässt sich schnell durch die Steigung in diesem Punkt ermitteln. Ist die Steigung positiv (eine Tangente in dem Punkt mit der Nutzenfunktion hat eine positive Steigung), sollte der Konsum marginal erhöht werden. Für die Untersuchung wie es sich entlang der gesamten Nutzenfunktion verhält, dient die erste Ableitung der Nutzenfunktion. Diese gibt für jedes beliebige Konsumniveau an, ob das Nutzenniveau in dem Punkt marginal steigt, sinkt oder konstant bleibt. Wie sich der Nutzen bei einer marginalen Veränderung verhält, wird im Grenznutzen beschrieben. Der Der Grenznutzen (GU oder MU) untersucht, wie sich der Nutzen verhält, wenn das Konsumniveau marginal erhöht wird. In der Theorie wird von einem abnehmenden Grenznutzen ausgegangen. 
''Beispiel'': Nach dem erfolgreichen Bachelor beschließt Tom bei einer Bank fest einzusteigen. Er besitzt keinen Anzug und geht deshalb einkaufen. Er kauft einen ersten Anzug, ohne den er fast gar nicht arbeiten könnte. Der Nutzen, den der erste Anzug stiftet, ist sehr groß. Tom kauft einen zweiten Anzug, falls der erste dreckig wird. Auch der zweite Anzug stiftet einen großen Anzug, jedoch einen nicht so großen, wie der erste. Je mehr Anzüge Tom kauft, desto größer wird sein Nutzen. Jeder einzelne Anzug stiftet jedoch einen immer kleiner werdenden zusätzlichen Nutzen. Der Nutzen einer marginalen Einheit mehr ist positiv, wird aber immer kleiner. In dem Beispiel wird ein Anzug als eine marginale Einheit beschrieben. Dies ist, wie oben erklärt, nicht ganz richtig, soll aber zur Veranschaulichung des Grenzbegriffs ausreichen. 
Der Grenznutzen lässt sich durch die Ableitung der Nutzenfunktion berechnen: <math> MU=\frac{\part U(x)}{\part x} </math> 
[[Datei:AbnehmenderGrenznutzen.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:MU.png|360px|rahmenlos]]
 
In den Abbildungen oben wird der Bezug zwischen der Grenznutzenfunktion (MU(x)) und der Nutzenfunktion (U(x)) deutlich. Die marginale Steigung in einem Punkt entspricht dem Grenznutzen in diesem Punkt. Grundsätzlich ist es auch möglich einen steigenden Grenznutzen darzustellen. In diesem Fall wäre die Nutzenfunktion [[Mathematische Eigenschaften von Funktionen|konvex]] und nicht [[Mathematische Eigenschaften von Funktionen|konkav]], wie oben dargestellt.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Aussagen ist korrekt
|type="()"}
- Ein Grenzgewinn von 0 bedeutet, dass eine marginale Einheit mehr, die produziert und verkauft wird, den Gewinn erhöhen würde.
- Ein positiver Grenznutzen kann bedeuten, dass eine zusätzliche konsumierte Einheit den Nutzen verringert.
+ Zunehmende Grenzkosten bedeuten, dass jede marginale Einheit (ungeachtet der Produktionsmenge) teurer ist, als die Einheit davor.
- Ein positives Grenzprodukt der Arbeit bedeutet, dass die marginale zusätzliche Arbeitskraft durchschnittlich produktiver ist, als die marginale Einheit vorher.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Um den Effekt zu beschreiben, den fünf zusätzlich konsumierte Einheiten bedeuten, benötigt des den Grenznutzen. Die Aussage ist...
|type="()"}
- ... Wahr
+ ... Falsch
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Konsument hat eine Nutzenfunktion von <math> U(x)=(x-1)^2 </math>.
|type="{}"}
Der Grenznutzen bei <math> x=0,5 </math> ist (negativ oder positiv) { negativ }
Unter der Annahme der nicht negativen Menge, sollte der Konsument sein Konsumniveau deutlich erhöhen oder verringern? (erhöhen oder verringern) { erhöhen }
</quiz>

Marginale Sichtweise

2023-11-17T10:59:53Z

Lobin: /* Veränderung in einem Punkt */

==Definition==
Die Marginalanalyse untersucht in der Volkswirtschaftslehre, welchen Effekt eine geringfügige(marginale) Änderung einer Variablen auf eine oder mehrere andere Variablen hat.

__TOC__

==Veränderung zwischen zwei Punkten==
In der Mikroökonomie wird häufig untersucht, wie sich beispielsweise ein Nutzen verändert, wenn sich die Anzahl der konsumierten Güter verändert. Genauso können Kosten, der Output oder andere Dinge, die durch Funktionen berechnet werden, Gegenstand von Untersuchungen sein. Im weiteren Verlauf soll sich auf eine Nutzenfunktion mit einem Konsumgut konzentriert werden. Die Implikationen gelten jedoch auch für Nutzenfunktionen mit mehreren Konsumgütern oder die anderen aufgezählten Fälle. 
In der Grafik unten wird berechnet, wie sich das Nutzenniveau verändert, wenn von einem Konsumgut x deutlich mehr konsumiert wird. Hierfür wird das Nutzenniveau von einem alten Konsumniveau mit dem Nutzenniveau eines erhöhten Konsumniveaus verglichen. Liegt das derzeitige Konsumniveau beispielsweise bei x=10 und es soll untersucht werden, um wie viel Einheiten sich der Nutzen verändert hat, wenn 2 weitere Einheiten konsumiert werden, muss <math> U(10+2)-U(10) </math> gerechnet werden. Diese Vorgehensweise gibt einen numerischen Wert. 
[[Datei:Nutzenveränderung.png|400px|rahmenlos]] 
 
Die Untersuchung auf Veränderungen auf zwei Punkten auf einer Funktion kann zu falschen Aussagen über Konsumentscheidungen führen. In der Abbildung unten besitzt die Nutzenfunktion einen Hochpunkt und der erste Punkt <math> x_1 </math> liegt beispielweise links vom Hochpunkt. Der andere Punkt (<math> x_2 </math>) liegt rechts von diesem auf einem niedrigeren Nutzenniveau als Punkt <math> x_1 </math>. Soll nun ein Berater eine Aussage über das Konsumverhalten treffen und kennt die Nutzenfunktion nicht, könnte er zu einer falschen Empfehlung kommen das Nutzenniveau nicht zu verändern oder sogar zu reduzieren. Tatsächlich wäre es optimal das Konsumniveau bis zum Hochpunkt auszuweiten. Um korrekte Aussagen über die Konsumentscheidungen treffen zu können, benötigt es eine Untersuchung der [[Marginale Sichtweise#Veränderung in einem Punkt|Veränderung in einem Punkt]]. 

==Veränderung in einem Punkt==
Aussagen über Konsumentscheidungen, also ob mehr oder weniger von einem Gut konsumiert werden sollte, lassen sich nicht immer auf Basis von Veränderungen zwischen zwei Punkten treffen. Viel entscheidender ist die Untersuchung, wie sich das Nutzenniveau verhält, wenn sich das Konsumniveau sehr gering ändert. Steigt beispielweise der Nutzen, wenn ein Konsument zusätzlich zu seinen 10 Äpfeln auch noch etwas mehr konsumiert. Steigt das Nutzenniveau durch den zusätzlichen Apfelkonsum, sollte der Konsument seinen Konsum steigern, sinkt es allerdings, sollte er es vermeiden. In der Abbildung unten ist zu erkennen, dass die Steigung in dem Punkt <math> x </math> positiv ist. Der Nutzen steigt also, wenn der Konsument etwas mehr Äpfel isst als die Menge <math> x_1 </math>. Gleichzeitig wird jedoch auch deutlich, dass der Konsum eines zusätzlichen ganzen Apfels (<math> x+1 </math>) das Nutzenniveau erneut schmälert und nicht steigert. Anstatt zu untersuchen, wie es sich mit dreiviertel eines Apfels, einem halben Apfel usw. verhält, wird untersucht, wie sich das Nutzenniveau bei einer kleinstmöglichen Veränderung der konsumierten Menge verändert. Entscheiden ist also die Veränderung möglichst gering zu halten. Die Untersuchung in einem Punkt ist dementsprechend so zu verstehen, dass sich die Menge insofern verändert, als dass diese Veränderung mit Zahlen nicht zu beziffern, sondern so klein ist, als würde die Veränderung gar nicht stattfinden. Es wird dabei auch von einer [[Marginale Sichtweise#Marginale Veränderung|marginalen Veränderung]] gesprochen. 
[[Datei:Nutzenveränderung3.png|400px|rahmenlos]] 
 
Die Abbildung oben veranschaulicht, dass mit einer marginalen Veränderung, die Veränderung in einem Punkt gemeint ist. Die Tangente in dem Punkt <math> x </math> mit der Nutzenfunktion weist eine positive Steigung aus. Würde sich das Konsumniveau um eine Einheit erhöhen <math> x+1 </math>, zeigt die Tangente, dass das Konsumniveau größer als vorher ist <math> U'(x+1)> U(x) </math>. Tatsächlich liegt das Nutzenniveau bei <math> U(x+1) </math>, was geringer als <math> U'(x+1) </math> ist.

==Marginale Veränderung==
In der Volkswirtschaftslehre und insbesondere der Mikroökonomie ist häufig von einem marginalen Effekt die Rede. Dieser marginale Effekt betrachtet, wie sich was verändert, wenn eine Variable sehr gering, also marginal, erhöht wird. In dem oben genannten Beispiel wird untersucht, wie groß der Effekt ist, wenn eine zusätzliche marginale Einheit konsumiert wird. Wie groß diese marginale Einheit ist, kann nicht genau bemessen werden. Es ist schlichtweg die Veränderung in einem Punkt. 
Der marginale Effekt lässt sich durch die Ableitung nach der zu betrachtenden Variable berechnen. Die erste Ableitung einer Funktion gibt die Steigung in dem Punkt des x-Wertes an. Genauso gibt die Ableitung, beispielsweise der Nutzenfunktion an, wie sich der Nutzen marginal in diesem Punkt verändert. Ist die erste Ableitung in de zu betrachtenden Punkt positiv (wie in dem Beispiel unten), steigt das Nutzenniveau bei marginaler Erhöhung des Konsumniveaus. Eine Tangente in diesem Punkt hat eine positive Steigung. Ist die erste Ableitung negativ in dem Punkt, bzw. hat die Tangente in diesem Punkt eine negative Steigung, sinkt das Nutzenniveau bei einer marginalen Erhöhung des Konsumniveaus. Die marginale Betrachtung wird auch häufig Grenzbetrachtung genannt, weshalb der Begriff Grenznutzen die Veränderung des Nutzens bei marginaler Veränderung des Konsumniveaus beschreibt. 
Diese Marginalbetrachtung/Grenzbetrachtung lässt, anders als die Betrachtungsweisen oben (Veränderung zwischen zwei Punkten und eine Veränderung um eine nominale Einheit), korrekte Aussagen über Konsumentscheidungen zu. Ein positiver Grenznutzen bedeutet der Nutzen steigt bei marginaler Erhöhung des Konsumniveaus, dementsprechend sollte marginal mehr konsumiert werden. 
[[Datei:Nutzenveränderung4.png|400px|rahmenlos]]

==Grenznutzen==
Produktivität, Nutzen, Output und viele andere Sachen können auf marginale Effekte untersucht werden. Ganz explizit als Beispiel soll erneut der Nutzen als Beispiel dienen. 
Wie in dem Abschnitt oben bereits erläutert wurde, gilt es die Veränderung des Nutzenniveaus in einem Punkt zu bestimmen. Ob es ratsam ist das Konsumniveau marginal zu erhöhen lässt sich schnell durch die Steigung in diesem Punkt ermitteln. Ist die Steigung positiv (eine Tangente in dem Punkt mit der Nutzenfunktion hat eine positive Steigung), sollte der Konsum marginal erhöht werden. Für die Untersuchung wie es sich entlang der gesamten Nutzenfunktion verhält, dient die erste Ableitung der Nutzenfunktion. Diese gibt für jedes beliebige Konsumniveau an, ob das Nutzenniveau in dem Punkt marginal steigt, sinkt oder konstant bleibt. Wie sich der Nutzen bei einer marginalen Veränderung verhält, wird im Grenznutzen beschrieben. Der Der Grenznutzen (GU oder MU) untersucht, wie sich der Nutzen verhält, wenn das Konsumniveau marginal erhöht wird. In der Theorie wird von einem abnehmenden Grenznutzen ausgegangen. 
''Beispiel'': Nach dem erfolgreichen Bachelor beschließt Tom bei einer Bank fest einzusteigen. Er besitzt keinen Anzug und geht deshalb einkaufen. Er kauft einen ersten Anzug, ohne den er fast gar nicht arbeiten könnte. Der Nutzen, den der erste Anzug stiftet, ist sehr groß. Tom kauft einen zweiten Anzug, falls der erste dreckig wird. Auch der zweite Anzug stiftet einen großen Anzug, jedoch einen nicht so großen, wie der erste. Je mehr Anzüge Tom kauft, desto größer wird sein Nutzen. Jeder einzelne Anzug stiftet jedoch einen immer kleiner werdenden zusätzlichen Nutzen. Der Nutzen einer marginalen Einheit mehr ist positiv, wird aber immer kleiner. In dem Beispiel wird ein Anzug als eine marginale Einheit beschrieben. Dies ist, wie oben erklärt, nicht ganz richtig, soll aber zur Veranschaulichung des Grenzbegriffs ausreichen. 
Der Grenznutzen lässt sich durch die Ableitung der Nutzenfunktion berechnen: <math> MU=\frac{\part U(x)}{\part x} </math> 
[[Datei:AbnehmenderGrenznutzen.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:MU.png|360px|rahmenlos]]
 
In den Abbildungen oben wird der Bezug zwischen der Grenznutzenfunktion (MU(x)) und der Nutzenfunktion (U(x)) deutlich. Die marginale Steigung in einem Punkt entspricht dem Grenznutzen in diesem Punkt. Grundsätzlich ist es auch möglich einen steigenden Grenznutzen darzustellen. In diesem Fall wäre die Nutzenfunktion [[Mathematische Eigenschaften von Funktionen|konvex]] und nicht [[Mathematische Eigenschaften von Funktionen|konkav]], wie oben dargestellt.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Aussagen ist korrekt
|type="()"}
- Ein Grenzgewinn von 0 bedeutet, dass eine marginale Einheit mehr, die produziert und verkauft wird, den Gewinn erhöhen würde.
- Ein positiver Grenznutzen kann bedeuten, dass eine zusätzliche konsumierte Einheit den Nutzen verringert.
+ Zunehmende Grenzkosten bedeuten, dass jede marginale Einheit (ungeachtet der Produktionsmenge) teurer ist, als die Einheit davor.
- Ein positives Grenzprodukt der Arbeit bedeutet, dass die marginale zusätzliche Arbeitskraft durchschnittlich produktiver ist, als die marginale Einheit vorher.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Um den Effekt zu beschreiben, den fünf zusätzlich konsumierte Einheiten bedeuten, benötigt des den Grenznutzen. Die Aussage ist...
|type="()"}
- ... Wahr
+ ... Falsch
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Konsument hat eine Nutzenfunktion von <math> U(x)=(x-1)^2 </math>.
|type="{}"}
Der Grenznutzen bei <math> x=0,5 </math> ist (negativ oder positiv) { negativ }
Unter der Annahme der nicht negativen Menge, sollte der Konsument sein Konsumniveau deutlich erhöhen oder verringern? (erhöhen oder verringern) { erhöhen }
</quiz>

Marginale Sichtweise

2023-11-17T10:55:24Z

Lobin: /* Veränderung zwischen zwei Punkten */

==Definition==
Die Marginalanalyse untersucht in der Volkswirtschaftslehre, welchen Effekt eine geringfügige(marginale) Änderung einer Variablen auf eine oder mehrere andere Variablen hat.

__TOC__

==Veränderung zwischen zwei Punkten==
In der Mikroökonomie wird häufig untersucht, wie sich beispielsweise ein Nutzen verändert, wenn sich die Anzahl der konsumierten Güter verändert. Genauso können Kosten, der Output oder andere Dinge, die durch Funktionen berechnet werden, Gegenstand von Untersuchungen sein. Im weiteren Verlauf soll sich auf eine Nutzenfunktion mit einem Konsumgut konzentriert werden. Die Implikationen gelten jedoch auch für Nutzenfunktionen mit mehreren Konsumgütern oder die anderen aufgezählten Fälle. 
In der Grafik unten wird berechnet, wie sich das Nutzenniveau verändert, wenn von einem Konsumgut x deutlich mehr konsumiert wird. Hierfür wird das Nutzenniveau von einem alten Konsumniveau mit dem Nutzenniveau eines erhöhten Konsumniveaus verglichen. Liegt das derzeitige Konsumniveau beispielsweise bei x=10 und es soll untersucht werden, um wie viel Einheiten sich der Nutzen verändert hat, wenn 2 weitere Einheiten konsumiert werden, muss <math> U(10+2)-U(10) </math> gerechnet werden. Diese Vorgehensweise gibt einen numerischen Wert. 
[[Datei:Nutzenveränderung.png|400px|rahmenlos]] 
 
Die Untersuchung auf Veränderungen auf zwei Punkten auf einer Funktion kann zu falschen Aussagen über Konsumentscheidungen führen. In der Abbildung unten besitzt die Nutzenfunktion einen Hochpunkt und der erste Punkt <math> x_1 </math> liegt beispielweise links vom Hochpunkt. Der andere Punkt (<math> x_2 </math>) liegt rechts von diesem auf einem niedrigeren Nutzenniveau als Punkt <math> x_1 </math>. Soll nun ein Berater eine Aussage über das Konsumverhalten treffen und kennt die Nutzenfunktion nicht, könnte er zu einer falschen Empfehlung kommen das Nutzenniveau nicht zu verändern oder sogar zu reduzieren. Tatsächlich wäre es optimal das Konsumniveau bis zum Hochpunkt auszuweiten. Um korrekte Aussagen über die Konsumentscheidungen treffen zu können, benötigt es eine Untersuchung der [[Marginale Sichtweise#Veränderung in einem Punkt|Veränderung in einem Punkt]]. 

==Veränderung in einem Punkt==
Aussagen über Konsumentscheidungen, also ob mehr oder weniger von einem Gut konsumiert werden sollte, lassen sich nicht immer auf Basis von Veränderungen zwischen zwei Punkten treffen. Viel entscheidender ist die Untersuchung, wie sich das Nutzenniveau verhält, wenn sich das Konsumniveau sehr gering ändert. Steigt beispielweise der Nutzen, wenn ein Konsument zusätzlich zu seinen 10 Äpfeln auch noch etwas mehr isst. Steigt das Nutzenniveau durch den zusätzlichen Apfelkonsum, sollte der Konsument seinen Konsum steigern, sinkt es allerdings, sollte er es vermeiden. In der Abbildung unten ist zu erkennen, dass die Steigung in dem Punkt <math> x </math> positiv ist. Der Nutzen steigt also, wenn der Konsument etwas mehr Äpfel ist als die Menge <math> x_1 </math>. Gleichzeitig wird jedoch auch deutlich, dass der Konsum eines zusätzlichen ganzen Apfels (<math> x+1 </math>) das Nutzenniveau erneut schmälert und nicht steigert. Anstatt zu untersuchen, wie es sich mit dreiviertel eines Apfels, einem halben Apfel usw. verhält, wird untersucht, wie sich das Nutzenniveau bei einer kleinstmöglichen Veränderung der konsumierten Menge verändert. Entscheiden ist also die Veränderung möglichst gering zu halten. Die Untersuchung in einem Punkt ist dementsprechend so zu verstehen, dass sich die Menge insofern verändert, als dass diese Veränderung mit Zahlen nicht zu beziffern, sondern so klein ist, als würde die Veränderung gar nicht stattfinden. Es wird dabei auch von einer [[Marginale Sichtweise#Marginale Veränderung|marginalen Veränderung]] gesprochen. 
[[Datei:Nutzenveränderung3.png|400px|rahmenlos]] 
 
Die Abbildung oben veranschaulicht, dass mit einer marginalen Veränderung, die Veränderung in einem Punkt gemeint ist. Die Tangente in dem Punkt <math> x </math> mit der Nutzenfunktion weist eine positive Steigung aus. Würde sich das Konsumniveau um eine Einheit erhöhen <math> x+1 </math>, zeigt die Tangente, dass das Konsumniveau größer als vorher ist <math> U'(x+1)> U(x) </math>. Tatsächlich liegt das Nutzenniveau bei <math> U(x+1) </math>, was geringer als <math> U'(x+1) </math> ist.

==Marginale Veränderung==
In der Volkswirtschaftslehre und insbesondere der Mikroökonomie ist häufig von einem marginalen Effekt die Rede. Dieser marginale Effekt betrachtet, wie sich was verändert, wenn eine Variable sehr gering, also marginal, erhöht wird. In dem oben genannten Beispiel wird untersucht, wie groß der Effekt ist, wenn eine zusätzliche marginale Einheit konsumiert wird. Wie groß diese marginale Einheit ist, kann nicht genau bemessen werden. Es ist schlichtweg die Veränderung in einem Punkt. 
Der marginale Effekt lässt sich durch die Ableitung nach der zu betrachtenden Variable berechnen. Die erste Ableitung einer Funktion gibt die Steigung in dem Punkt des x-Wertes an. Genauso gibt die Ableitung, beispielsweise der Nutzenfunktion an, wie sich der Nutzen marginal in diesem Punkt verändert. Ist die erste Ableitung in de zu betrachtenden Punkt positiv (wie in dem Beispiel unten), steigt das Nutzenniveau bei marginaler Erhöhung des Konsumniveaus. Eine Tangente in diesem Punkt hat eine positive Steigung. Ist die erste Ableitung negativ in dem Punkt, bzw. hat die Tangente in diesem Punkt eine negative Steigung, sinkt das Nutzenniveau bei einer marginalen Erhöhung des Konsumniveaus. Die marginale Betrachtung wird auch häufig Grenzbetrachtung genannt, weshalb der Begriff Grenznutzen die Veränderung des Nutzens bei marginaler Veränderung des Konsumniveaus beschreibt. 
Diese Marginalbetrachtung/Grenzbetrachtung lässt, anders als die Betrachtungsweisen oben (Veränderung zwischen zwei Punkten und eine Veränderung um eine nominale Einheit), korrekte Aussagen über Konsumentscheidungen zu. Ein positiver Grenznutzen bedeutet der Nutzen steigt bei marginaler Erhöhung des Konsumniveaus, dementsprechend sollte marginal mehr konsumiert werden. 
[[Datei:Nutzenveränderung4.png|400px|rahmenlos]]

==Grenznutzen==
Produktivität, Nutzen, Output und viele andere Sachen können auf marginale Effekte untersucht werden. Ganz explizit als Beispiel soll erneut der Nutzen als Beispiel dienen. 
Wie in dem Abschnitt oben bereits erläutert wurde, gilt es die Veränderung des Nutzenniveaus in einem Punkt zu bestimmen. Ob es ratsam ist das Konsumniveau marginal zu erhöhen lässt sich schnell durch die Steigung in diesem Punkt ermitteln. Ist die Steigung positiv (eine Tangente in dem Punkt mit der Nutzenfunktion hat eine positive Steigung), sollte der Konsum marginal erhöht werden. Für die Untersuchung wie es sich entlang der gesamten Nutzenfunktion verhält, dient die erste Ableitung der Nutzenfunktion. Diese gibt für jedes beliebige Konsumniveau an, ob das Nutzenniveau in dem Punkt marginal steigt, sinkt oder konstant bleibt. Wie sich der Nutzen bei einer marginalen Veränderung verhält, wird im Grenznutzen beschrieben. Der Der Grenznutzen (GU oder MU) untersucht, wie sich der Nutzen verhält, wenn das Konsumniveau marginal erhöht wird. In der Theorie wird von einem abnehmenden Grenznutzen ausgegangen. 
''Beispiel'': Nach dem erfolgreichen Bachelor beschließt Tom bei einer Bank fest einzusteigen. Er besitzt keinen Anzug und geht deshalb einkaufen. Er kauft einen ersten Anzug, ohne den er fast gar nicht arbeiten könnte. Der Nutzen, den der erste Anzug stiftet, ist sehr groß. Tom kauft einen zweiten Anzug, falls der erste dreckig wird. Auch der zweite Anzug stiftet einen großen Anzug, jedoch einen nicht so großen, wie der erste. Je mehr Anzüge Tom kauft, desto größer wird sein Nutzen. Jeder einzelne Anzug stiftet jedoch einen immer kleiner werdenden zusätzlichen Nutzen. Der Nutzen einer marginalen Einheit mehr ist positiv, wird aber immer kleiner. In dem Beispiel wird ein Anzug als eine marginale Einheit beschrieben. Dies ist, wie oben erklärt, nicht ganz richtig, soll aber zur Veranschaulichung des Grenzbegriffs ausreichen. 
Der Grenznutzen lässt sich durch die Ableitung der Nutzenfunktion berechnen: <math> MU=\frac{\part U(x)}{\part x} </math> 
[[Datei:AbnehmenderGrenznutzen.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:MU.png|360px|rahmenlos]]
 
In den Abbildungen oben wird der Bezug zwischen der Grenznutzenfunktion (MU(x)) und der Nutzenfunktion (U(x)) deutlich. Die marginale Steigung in einem Punkt entspricht dem Grenznutzen in diesem Punkt. Grundsätzlich ist es auch möglich einen steigenden Grenznutzen darzustellen. In diesem Fall wäre die Nutzenfunktion [[Mathematische Eigenschaften von Funktionen|konvex]] und nicht [[Mathematische Eigenschaften von Funktionen|konkav]], wie oben dargestellt.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Aussagen ist korrekt
|type="()"}
- Ein Grenzgewinn von 0 bedeutet, dass eine marginale Einheit mehr, die produziert und verkauft wird, den Gewinn erhöhen würde.
- Ein positiver Grenznutzen kann bedeuten, dass eine zusätzliche konsumierte Einheit den Nutzen verringert.
+ Zunehmende Grenzkosten bedeuten, dass jede marginale Einheit (ungeachtet der Produktionsmenge) teurer ist, als die Einheit davor.
- Ein positives Grenzprodukt der Arbeit bedeutet, dass die marginale zusätzliche Arbeitskraft durchschnittlich produktiver ist, als die marginale Einheit vorher.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Um den Effekt zu beschreiben, den fünf zusätzlich konsumierte Einheiten bedeuten, benötigt des den Grenznutzen. Die Aussage ist...
|type="()"}
- ... Wahr
+ ... Falsch
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Konsument hat eine Nutzenfunktion von <math> U(x)=(x-1)^2 </math>.
|type="{}"}
Der Grenznutzen bei <math> x=0,5 </math> ist (negativ oder positiv) { negativ }
Unter der Annahme der nicht negativen Menge, sollte der Konsument sein Konsumniveau deutlich erhöhen oder verringern? (erhöhen oder verringern) { erhöhen }
</quiz>

Marginale Sichtweise

2023-11-17T10:53:59Z

Lobin: /* Definition */

==Definition==
Die Marginalanalyse untersucht in der Volkswirtschaftslehre, welchen Effekt eine geringfügige(marginale) Änderung einer Variablen auf eine oder mehrere andere Variablen hat.

__TOC__

==Veränderung zwischen zwei Punkten==
In der Mikroökonomie wird häufig untersucht, wie sich beispielsweise ein Nutzen verändert, wenn sich die Anzahl der konsumierten Güter verändern. Genauso können Kosten, der Output oder andere Dinge, die durch Funktionen berechnet werden, Gegenstand von Untersuchungen sein. Im weiteren Verlauf soll sich auf eine Nutzenfunktion mit einem Konsumgut konzentriert werden. Die Implikationen gelten jedoch auch für Nutzenfunktionen mit mehreren Konsumgütern oder die anderen aufgezählten Fälle. 
In der Grafik unten wird berechnet, wie sich das Nutzenniveau verändert, wenn von einem Konsumgut x deutlich mehr konsumiert wird. Hierfür wird das Nutzenniveau von einem alten Konsumniveau mit dem Nutzenniveau eines erhöhten Konsumniveaus verglichen. Liegt das derzeitige Konsumniveau beispielsweise bei x=10 und es soll untersucht werden, um wie viel Einheiten sich der Nutzen verändert hat, wenn 2 weitere Einheiten konsumiert werden, muss <math> U(10+2)-U(10) </math> gerechnet werden. Diese Vorgehensweise gibt einen numerischen Wert. 
[[Datei:Nutzenveränderung.png|400px|rahmenlos]] 
 
Die Untersuchung auf Veränderungen auf zwei Punkten auf einer Funktion kann zu falschen Aussagen über Konsumentscheidungen führen. In der Abbildung unten besitzt die Nutzenfunktion einen Hochpunkt und der erste Punkt <math> x_1 </math> liegt beispielweise links vom Hochpunkt. Der andere Punkt (<math> x_2 </math>) liegt rechts von diesem auf einem niedrigeren Nutzenniveau als Punkt <math> x_1 </math>. Soll nun ein Berater eine Aussage über das Konsumverhalten treffen und kennt die Nutzenfunktion nicht, könnte er zu einer falschen Empfehlung kommen das Nutzenniveau nicht zu verändern oder sogar zu reduzieren. Tatsächlich wäre es optimal das Konsumniveau bis zum Hochpunkt auszuweiten. Um korrekte Aussagen über die Konsumentscheidungen treffen zu können, benötigt es eine Untersuchung der [[Marginale Sichtweise#Veränderung in einem Punkt|Veränderung in einem Punkt]]. 

==Veränderung in einem Punkt==
Aussagen über Konsumentscheidungen, also ob mehr oder weniger von einem Gut konsumiert werden sollte, lassen sich nicht immer auf Basis von Veränderungen zwischen zwei Punkten treffen. Viel entscheidender ist die Untersuchung, wie sich das Nutzenniveau verhält, wenn sich das Konsumniveau sehr gering ändert. Steigt beispielweise der Nutzen, wenn ein Konsument zusätzlich zu seinen 10 Äpfeln auch noch etwas mehr isst. Steigt das Nutzenniveau durch den zusätzlichen Apfelkonsum, sollte der Konsument seinen Konsum steigern, sinkt es allerdings, sollte er es vermeiden. In der Abbildung unten ist zu erkennen, dass die Steigung in dem Punkt <math> x </math> positiv ist. Der Nutzen steigt also, wenn der Konsument etwas mehr Äpfel ist als die Menge <math> x_1 </math>. Gleichzeitig wird jedoch auch deutlich, dass der Konsum eines zusätzlichen ganzen Apfels (<math> x+1 </math>) das Nutzenniveau erneut schmälert und nicht steigert. Anstatt zu untersuchen, wie es sich mit dreiviertel eines Apfels, einem halben Apfel usw. verhält, wird untersucht, wie sich das Nutzenniveau bei einer kleinstmöglichen Veränderung der konsumierten Menge verändert. Entscheiden ist also die Veränderung möglichst gering zu halten. Die Untersuchung in einem Punkt ist dementsprechend so zu verstehen, dass sich die Menge insofern verändert, als dass diese Veränderung mit Zahlen nicht zu beziffern, sondern so klein ist, als würde die Veränderung gar nicht stattfinden. Es wird dabei auch von einer [[Marginale Sichtweise#Marginale Veränderung|marginalen Veränderung]] gesprochen. 
[[Datei:Nutzenveränderung3.png|400px|rahmenlos]] 
 
Die Abbildung oben veranschaulicht, dass mit einer marginalen Veränderung, die Veränderung in einem Punkt gemeint ist. Die Tangente in dem Punkt <math> x </math> mit der Nutzenfunktion weist eine positive Steigung aus. Würde sich das Konsumniveau um eine Einheit erhöhen <math> x+1 </math>, zeigt die Tangente, dass das Konsumniveau größer als vorher ist <math> U'(x+1)> U(x) </math>. Tatsächlich liegt das Nutzenniveau bei <math> U(x+1) </math>, was geringer als <math> U'(x+1) </math> ist.

==Marginale Veränderung==
In der Volkswirtschaftslehre und insbesondere der Mikroökonomie ist häufig von einem marginalen Effekt die Rede. Dieser marginale Effekt betrachtet, wie sich was verändert, wenn eine Variable sehr gering, also marginal, erhöht wird. In dem oben genannten Beispiel wird untersucht, wie groß der Effekt ist, wenn eine zusätzliche marginale Einheit konsumiert wird. Wie groß diese marginale Einheit ist, kann nicht genau bemessen werden. Es ist schlichtweg die Veränderung in einem Punkt. 
Der marginale Effekt lässt sich durch die Ableitung nach der zu betrachtenden Variable berechnen. Die erste Ableitung einer Funktion gibt die Steigung in dem Punkt des x-Wertes an. Genauso gibt die Ableitung, beispielsweise der Nutzenfunktion an, wie sich der Nutzen marginal in diesem Punkt verändert. Ist die erste Ableitung in de zu betrachtenden Punkt positiv (wie in dem Beispiel unten), steigt das Nutzenniveau bei marginaler Erhöhung des Konsumniveaus. Eine Tangente in diesem Punkt hat eine positive Steigung. Ist die erste Ableitung negativ in dem Punkt, bzw. hat die Tangente in diesem Punkt eine negative Steigung, sinkt das Nutzenniveau bei einer marginalen Erhöhung des Konsumniveaus. Die marginale Betrachtung wird auch häufig Grenzbetrachtung genannt, weshalb der Begriff Grenznutzen die Veränderung des Nutzens bei marginaler Veränderung des Konsumniveaus beschreibt. 
Diese Marginalbetrachtung/Grenzbetrachtung lässt, anders als die Betrachtungsweisen oben (Veränderung zwischen zwei Punkten und eine Veränderung um eine nominale Einheit), korrekte Aussagen über Konsumentscheidungen zu. Ein positiver Grenznutzen bedeutet der Nutzen steigt bei marginaler Erhöhung des Konsumniveaus, dementsprechend sollte marginal mehr konsumiert werden. 
[[Datei:Nutzenveränderung4.png|400px|rahmenlos]]

==Grenznutzen==
Produktivität, Nutzen, Output und viele andere Sachen können auf marginale Effekte untersucht werden. Ganz explizit als Beispiel soll erneut der Nutzen als Beispiel dienen. 
Wie in dem Abschnitt oben bereits erläutert wurde, gilt es die Veränderung des Nutzenniveaus in einem Punkt zu bestimmen. Ob es ratsam ist das Konsumniveau marginal zu erhöhen lässt sich schnell durch die Steigung in diesem Punkt ermitteln. Ist die Steigung positiv (eine Tangente in dem Punkt mit der Nutzenfunktion hat eine positive Steigung), sollte der Konsum marginal erhöht werden. Für die Untersuchung wie es sich entlang der gesamten Nutzenfunktion verhält, dient die erste Ableitung der Nutzenfunktion. Diese gibt für jedes beliebige Konsumniveau an, ob das Nutzenniveau in dem Punkt marginal steigt, sinkt oder konstant bleibt. Wie sich der Nutzen bei einer marginalen Veränderung verhält, wird im Grenznutzen beschrieben. Der Der Grenznutzen (GU oder MU) untersucht, wie sich der Nutzen verhält, wenn das Konsumniveau marginal erhöht wird. In der Theorie wird von einem abnehmenden Grenznutzen ausgegangen. 
''Beispiel'': Nach dem erfolgreichen Bachelor beschließt Tom bei einer Bank fest einzusteigen. Er besitzt keinen Anzug und geht deshalb einkaufen. Er kauft einen ersten Anzug, ohne den er fast gar nicht arbeiten könnte. Der Nutzen, den der erste Anzug stiftet, ist sehr groß. Tom kauft einen zweiten Anzug, falls der erste dreckig wird. Auch der zweite Anzug stiftet einen großen Anzug, jedoch einen nicht so großen, wie der erste. Je mehr Anzüge Tom kauft, desto größer wird sein Nutzen. Jeder einzelne Anzug stiftet jedoch einen immer kleiner werdenden zusätzlichen Nutzen. Der Nutzen einer marginalen Einheit mehr ist positiv, wird aber immer kleiner. In dem Beispiel wird ein Anzug als eine marginale Einheit beschrieben. Dies ist, wie oben erklärt, nicht ganz richtig, soll aber zur Veranschaulichung des Grenzbegriffs ausreichen. 
Der Grenznutzen lässt sich durch die Ableitung der Nutzenfunktion berechnen: <math> MU=\frac{\part U(x)}{\part x} </math> 
[[Datei:AbnehmenderGrenznutzen.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:MU.png|360px|rahmenlos]]
 
In den Abbildungen oben wird der Bezug zwischen der Grenznutzenfunktion (MU(x)) und der Nutzenfunktion (U(x)) deutlich. Die marginale Steigung in einem Punkt entspricht dem Grenznutzen in diesem Punkt. Grundsätzlich ist es auch möglich einen steigenden Grenznutzen darzustellen. In diesem Fall wäre die Nutzenfunktion [[Mathematische Eigenschaften von Funktionen|konvex]] und nicht [[Mathematische Eigenschaften von Funktionen|konkav]], wie oben dargestellt.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Aussagen ist korrekt
|type="()"}
- Ein Grenzgewinn von 0 bedeutet, dass eine marginale Einheit mehr, die produziert und verkauft wird, den Gewinn erhöhen würde.
- Ein positiver Grenznutzen kann bedeuten, dass eine zusätzliche konsumierte Einheit den Nutzen verringert.
+ Zunehmende Grenzkosten bedeuten, dass jede marginale Einheit (ungeachtet der Produktionsmenge) teurer ist, als die Einheit davor.
- Ein positives Grenzprodukt der Arbeit bedeutet, dass die marginale zusätzliche Arbeitskraft durchschnittlich produktiver ist, als die marginale Einheit vorher.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Um den Effekt zu beschreiben, den fünf zusätzlich konsumierte Einheiten bedeuten, benötigt des den Grenznutzen. Die Aussage ist...
|type="()"}
- ... Wahr
+ ... Falsch
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Konsument hat eine Nutzenfunktion von <math> U(x)=(x-1)^2 </math>.
|type="{}"}
Der Grenznutzen bei <math> x=0,5 </math> ist (negativ oder positiv) { negativ }
Unter der Annahme der nicht negativen Menge, sollte der Konsument sein Konsumniveau deutlich erhöhen oder verringern? (erhöhen oder verringern) { erhöhen }
</quiz>

Monotone Transformation

2023-11-17T10:49:23Z

Lobin: /* Operationen */

==Definition==
Die monotone Transformation ist eine mathematische Operation, durch die Präferenzen einer Nutzenfunktion nicht verändert werden. Die monotone Transformation unterliegt der Annahme der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie|ordinalen Nutzentheorie]].

__TOC__

==Monotone Transormationen==
Die Nutzenfunktionen der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie|Ordinalen Nutzentheorie]] bringen Güterkombinationen in eine Rangfolge. Jede mathematische Operation, die ausgehend der Nutzenfunktion, die Präferenzen nicht verändert, ist eine monotone Transformation. 
''Beispiel'': In der Marktforschung werden Konsumentinnen und Konsumenten gefragt, wie ihnen verschiedene Tiefkühlpizzen schmecken. Hierbei sollen sie die Pizza auf einer Skala bewerten. Welche Pizza einer jeweiligen Person eine bessere Bewertung bekommt, muss unabhängig davon sein, ob die Skala bis 5 oder bis 10 geht. 
[[Datei:MonotoneTransformation.png|300px|rahmenlos]] 
Die Grafik oben stellt eine monotone Transformation im univariaten Fall dar. Entscheidend ist, dass <math> x_2 </math> bei beiden Nutzenfunktionen <math> U(x) </math> und <math> \hat{U}(x) </math> gegenüber <math> x_1 </math> ein höheres Nutzenniveau bringt und daher bevorzugt wird.

==Operationen==
Die monotone Transformation bezieht sich auch auf die gesamte Nutzenfunktion. Ist der Nutzen beispielsweise abhängig von zwei Variablen, müssen die mathematischen Operationen auf die gesamte <math> U(x_1,x_2) </math> Funktion angewendet werden. 
''Beispiel'': Lautet die Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=x_1+x_2 </math>, spiegelt eine Funktion <math> \tilde{U}(x_1,x_2)=2x_1+x_2 </math> nicht dieselben Präferenzen wider. Die Funktion <math> \hat{U}(x_1,x_2)=2x_1+2x_2 </math> verändert die Präferenzen hingegen nicht und wäre somit eine monotone Transformation. 
 
'''Addition und Subtraktion''':
Von einer Nutzenfunktion kann eine Zahl abgezogen oder zu ihr addiert werden, ohne die Präferenzen zu verändern. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2)+b </math> bzw. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2)-b </math> mit <math> b \in \mathbb{R}^+ </math> 
'''Multiplikation und Division''': Wird eine Nutzenfunktion mit einer positiven Zahl multipliziert oder dividiert, werden weiterhin dieselben Präferenzen abgebildet. Der oben genannte Fall mit der Skala ist ein Beispiel, bei dem die Präferenzen unverändert sind. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2)*b </math> bzw. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2):b </math> mit <math> b \in \mathbb{R}^+ </math> 
'''Logarithmus''': Wird der ln von einer Funktion gezogen, gilt dies auch als monotone Transformation. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=ln[U(x_1,x_2)] </math> 
'''Potenz mit der Basis e''': Die ganze Nutzenfunktion kann zu e hoch der Funktion umgeschrieben werden. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=e^{U(x_1,x_2)} </math> 
'''Potenz und Wurzel''': Eine Nutzenfunktion kann mit einer positiven Zahl potenziert werden oder von ihr eine positive Wurzel gezogen werden. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=[U(x_1,x_2)]^b </math> und <math> \hat{U}(x_1,x_2)=\sqrt[b]{U(x_1,x_2)} </math> mit <math> b \in \mathbb{R}^+ </math> 

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der Aussagen ist wahr?
|type="()"}
- Monotone Transformationen verändern die Rangordnung von Präferenzen und sind somit Teil der Kardinalen Nutzentheorie
- Monotone Transformationen verändern die Rangordnung von Präferenzen nicht und sind somit Teil der Kardinalen Nutzentheorie
+ Monotone Transformationen verändern die Rangordnung von Präferenzen nicht und sind somit Teil der Ordinalen Nutzentheorie
- Monotone Transformationen verändern die Rangordnung von Präferenzen und sind somit Teil der Ordinalen Nutzentheorie
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Nutzenfunktionen stellen '''nicht''' die selben Präferenzen wie die folgende Nutzenfunktion dar: <math> U(x,y)=x^{2} \sqrt{y} </math>
|type="()"}
+ <math> \hat{U}(x,y)=(1-x)+\frac{1}{2}y </math>.
- <math> \hat{U}(x,y)=2ln(x)+\frac{1}{2}ln(y) </math>.
- <math> \hat{U}(x,y)=x^{2} \sqrt{y}+5 </math>.
- <math> \hat{U}(x,y)=2x^{2} \sqrt{y} </math>.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{"Monotone Transformationen von Nutzenfunktionen verändern die Präferenzen nicht, dennoch können sie verändern, wie Güter wahrgenommen werden. Aus perfekten Substituten können Imperfekte Substitute werden". Die Aussage ist
|type="()"}
- Wahr
+ Falsch
</quiz>

Monotone Transformation

2023-11-17T10:48:56Z

Lobin: /* Operationen */

==Definition==
Die monotone Transformation ist eine mathematische Operation, durch die Präferenzen einer Nutzenfunktion nicht verändert werden. Die monotone Transformation unterliegt der Annahme der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie|ordinalen Nutzentheorie]].

__TOC__

==Monotone Transormationen==
Die Nutzenfunktionen der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie|Ordinalen Nutzentheorie]] bringen Güterkombinationen in eine Rangfolge. Jede mathematische Operation, die ausgehend der Nutzenfunktion, die Präferenzen nicht verändert, ist eine monotone Transformation. 
''Beispiel'': In der Marktforschung werden Konsumentinnen und Konsumenten gefragt, wie ihnen verschiedene Tiefkühlpizzen schmecken. Hierbei sollen sie die Pizza auf einer Skala bewerten. Welche Pizza einer jeweiligen Person eine bessere Bewertung bekommt, muss unabhängig davon sein, ob die Skala bis 5 oder bis 10 geht. 
[[Datei:MonotoneTransformation.png|300px|rahmenlos]] 
Die Grafik oben stellt eine monotone Transformation im univariaten Fall dar. Entscheidend ist, dass <math> x_2 </math> bei beiden Nutzenfunktionen <math> U(x) </math> und <math> \hat{U}(x) </math> gegenüber <math> x_1 </math> ein höheres Nutzenniveau bringt und daher bevorzugt wird.

==Operationen==
Die monotone Transformation bezieht sich auch auf die gesamte Nutzenfunktion. Ist der Nutzen beispielsweise abhängig von zwei Variablen, müssen die mathematischen Operationen auf die gesamte <math> U(x_1,x_2) </math> Funktion angewendet werden. 
''Beispiel'': Lautet die Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=x_1+x_2 </math>, spiegelt eine Funktion <math> \tilde{U}(x_1,x_2)=2x_1+x_2 </math> nicht dieselben Präferenzen wider. Die Funktion <math> \hat{U}(x_1,x_2)=2x_1+2x_2 </math> verändert die Präferenzen hingegen nicht und wäre somit eine monotone Transformation. 
 
'''Addition und Subtraktion''':
Von einer Nutzenfunktion kann eine Zahl abgezogen oder zu ihr addiert werden, ohne die Präferenzen zu verändern. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2)+b </math> bzw. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2)-b </math>mit <math> b \in \mathbb{R}^+ </math> 
'''Multiplikation und Division''': Wird eine Nutzenfunktion mit einer positiven Zahl multipliziert oder dividiert, werden weiterhin dieselben Präferenzen abgebildet. Der oben genannte Fall mit der Skala ist ein Beispiel, bei dem die Präferenzen unverändert sind. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2)*b </math> bzw. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2):b </math> mit <math> b \in \mathbb{R}^+ </math> 
'''Logarithmus''': Wird der ln von einer Funktion gezogen, gilt dies auch als monotone Transformation. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=ln[U(x_1,x_2)] </math> 
'''Potenz mit der Basis e''': Die ganze Nutzenfunktion kann zu e hoch der Funktion umgeschrieben werden. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=e^{U(x_1,x_2)} </math> 
'''Potenz und Wurzel''': Eine Nutzenfunktion kann mit einer positiven Zahl potenziert werden oder von ihr eine positive Wurzel gezogen werden. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=[U(x_1,x_2)]^b </math> und <math> \hat{U}(x_1,x_2)=\sqrt[b]{U(x_1,x_2)} </math> mit <math> b \in \mathbb{R}^+ </math> 

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der Aussagen ist wahr?
|type="()"}
- Monotone Transformationen verändern die Rangordnung von Präferenzen und sind somit Teil der Kardinalen Nutzentheorie
- Monotone Transformationen verändern die Rangordnung von Präferenzen nicht und sind somit Teil der Kardinalen Nutzentheorie
+ Monotone Transformationen verändern die Rangordnung von Präferenzen nicht und sind somit Teil der Ordinalen Nutzentheorie
- Monotone Transformationen verändern die Rangordnung von Präferenzen und sind somit Teil der Ordinalen Nutzentheorie
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Nutzenfunktionen stellen '''nicht''' die selben Präferenzen wie die folgende Nutzenfunktion dar: <math> U(x,y)=x^{2} \sqrt{y} </math>
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{"Monotone Transformationen von Nutzenfunktionen verändern die Präferenzen nicht, dennoch können sie verändern, wie Güter wahrgenommen werden. Aus perfekten Substituten können Imperfekte Substitute werden". Die Aussage ist
|type="()"}
- Wahr
+ Falsch
</quiz>

Monotone Transformation

2023-11-17T10:48:34Z

Lobin: /* Operationen */

==Definition==
Die monotone Transformation ist eine mathematische Operation, durch die Präferenzen einer Nutzenfunktion nicht verändert werden. Die monotone Transformation unterliegt der Annahme der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie|ordinalen Nutzentheorie]].

__TOC__

==Monotone Transormationen==
Die Nutzenfunktionen der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie|Ordinalen Nutzentheorie]] bringen Güterkombinationen in eine Rangfolge. Jede mathematische Operation, die ausgehend der Nutzenfunktion, die Präferenzen nicht verändert, ist eine monotone Transformation. 
''Beispiel'': In der Marktforschung werden Konsumentinnen und Konsumenten gefragt, wie ihnen verschiedene Tiefkühlpizzen schmecken. Hierbei sollen sie die Pizza auf einer Skala bewerten. Welche Pizza einer jeweiligen Person eine bessere Bewertung bekommt, muss unabhängig davon sein, ob die Skala bis 5 oder bis 10 geht. 
[[Datei:MonotoneTransformation.png|300px|rahmenlos]] 
Die Grafik oben stellt eine monotone Transformation im univariaten Fall dar. Entscheidend ist, dass <math> x_2 </math> bei beiden Nutzenfunktionen <math> U(x) </math> und <math> \hat{U}(x) </math> gegenüber <math> x_1 </math> ein höheres Nutzenniveau bringt und daher bevorzugt wird.

==Operationen==
Die monotone Transformation bezieht sich auch auf die gesamte Nutzenfunktion. Ist der Nutzen beispielsweise abhängig von zwei Variablen, müssen die mathematischen Operationen auf die gesamte <math> U(x_1,x_2) </math> Funktion angewendet werden. 
''Beispiel'': lautet die Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=x_1+x_2 </math>, spiegelt eine Funktion <math> \tilde{U}(x_1,x_2)=2x_1+x_2 </math> nicht dieselben Präferenzen wider. Die Funktion <math> \hat{U}(x_1,x_2)=2x_1+2x_2 </math> verändert die Präferenzen hingegen nicht und wäre somit eine monotone Transformation. 
 
'''Addition und Subtraktion''':
Von einer Nutzenfunktion kann eine Zahl abgezogen oder zu ihr addiert werden, ohne die Präferenzen zu verändern. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2)+b </math> bzw. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2)-b </math>mit <math> b \in \mathbb{R}^+ </math> 
'''Multiplikation und Division''': Wird eine Nutzenfunktion mit einer positiven Zahl multipliziert oder dividiert, werden weiterhin dieselben Präferenzen abgebildet. Der oben genannte Fall mit der Skala ist ein Beispiel, bei dem die Präferenzen unverändert sind. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2)*b </math> bzw. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2):b </math> mit <math> b \in \mathbb{R}^+ </math> 
'''Logarithmus''': Wird der ln von einer Funktion gezogen, gilt dies auch als monotone Transformation. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=ln[U(x_1,x_2)] </math> 
'''Potenz mit der Basis e''': Die ganze Nutzenfunktion kann zu e hoch der Funktion umgeschrieben werden. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=e^{U(x_1,x_2)} </math> 
'''Potenz und Wurzel''': Eine Nutzenfunktion kann mit einer positiven Zahl potenziert werden oder von ihr eine positive Wurzel gezogen werden. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=[U(x_1,x_2)]^b </math> und <math> \hat{U}(x_1,x_2)=\sqrt[b]{U(x_1,x_2)} </math> mit <math> b \in \mathbb{R}^+ </math> 

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der Aussagen ist wahr?
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- Monotone Transformationen verändern die Rangordnung von Präferenzen und sind somit Teil der Kardinalen Nutzentheorie
- Monotone Transformationen verändern die Rangordnung von Präferenzen nicht und sind somit Teil der Kardinalen Nutzentheorie
+ Monotone Transformationen verändern die Rangordnung von Präferenzen nicht und sind somit Teil der Ordinalen Nutzentheorie
- Monotone Transformationen verändern die Rangordnung von Präferenzen und sind somit Teil der Ordinalen Nutzentheorie
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<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Nutzenfunktionen stellen '''nicht''' die selben Präferenzen wie die folgende Nutzenfunktion dar: <math> U(x,y)=x^{2} \sqrt{y} </math>
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{"Monotone Transformationen von Nutzenfunktionen verändern die Präferenzen nicht, dennoch können sie verändern, wie Güter wahrgenommen werden. Aus perfekten Substituten können Imperfekte Substitute werden". Die Aussage ist
|type="()"}
- Wahr
+ Falsch
</quiz>

Monotone Transformation

2023-11-17T10:44:05Z

Lobin: /* Monotone Transormationen */

==Definition==
Die monotone Transformation ist eine mathematische Operation, durch die Präferenzen einer Nutzenfunktion nicht verändert werden. Die monotone Transformation unterliegt der Annahme der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie|ordinalen Nutzentheorie]].

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==Monotone Transormationen==
Die Nutzenfunktionen der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie|Ordinalen Nutzentheorie]] bringen Güterkombinationen in eine Rangfolge. Jede mathematische Operation, die ausgehend der Nutzenfunktion, die Präferenzen nicht verändert, ist eine monotone Transformation. 
''Beispiel'': In der Marktforschung werden Konsumentinnen und Konsumenten gefragt, wie ihnen verschiedene Tiefkühlpizzen schmecken. Hierbei sollen sie die Pizza auf einer Skala bewerten. Welche Pizza einer jeweiligen Person eine bessere Bewertung bekommt, muss unabhängig davon sein, ob die Skala bis 5 oder bis 10 geht. 
[[Datei:MonotoneTransformation.png|300px|rahmenlos]] 
Die Grafik oben stellt eine monotone Transformation im univariaten Fall dar. Entscheidend ist, dass <math> x_2 </math> bei beiden Nutzenfunktionen <math> U(x) </math> und <math> \hat{U}(x) </math> gegenüber <math> x_1 </math> ein höheres Nutzenniveau bringt und daher bevorzugt wird.

==Operationen==
Die Monotone Transformation bezieht sich auch auf die gesamte Nutzenfunktion. Ist der Nutzen beispielsweise abhängig von zwei Variablen, müssen die mathematischen Operationen auf die gesamte <math> U(x_1,x_2) </math> Funktion angewendet werden. 
''Beispiel'': lautet die Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=x_1+x_2 </math>, spiegelt eine Funktion <math> \tilde{U}(x_1,x_2)=2x_1+x_2 </math> nicht dieselben Präferenzen wider. Die Funktion <math> \hat{U}(x_1,x_2)=2x_1+2x_2 </math> verändert die Präferenzen hingegen nicht und wäre somit eine monotone Transformation. 
 
'''Addition und Subtraktion''':
Von einer Nutzenfunktion kann eine Zahl abgezogen oder zu ihr addiert werden, ohne die Präferenzen zu verändern. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2)+b </math> bzw. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2)-b </math>mit <math> b \in \mathbb{R}^+ </math> 
'''Multiplikation und Division''': Wird eine Nutzenfunktion mit einer positiven Zahl multipliziert oder dividiert, werden weiterhin dieselben Präferenzen abgebildet. Der oben genannte Fall mit der Skala ist ein Beispiel, bei dem die Präferenzen unverändert sind. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2)*b </math> bzw. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2):b </math> mit <math> b \in \mathbb{R}^+ </math> 
'''Logarithmus''': Wird der ln von einer Funktion gezogen, gilt dies auch als monotone Transformation. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=ln[U(x_1,x_2)] </math> 
'''Potenz mit der Basis e''': Die ganze Nutzenfunktion kann zu e hoch der Funktion umgeschrieben werden. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=e^{U(x_1,x_2)} </math> 
'''Potenz und Wurzel''': Eine Nutzenfunktion kann mit einer positiven Zahl potenziert werden oder von ihr eine positive Wurzel gezogen werden. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=[U(x_1,x_2)]^b </math> und <math> \hat{U}(x_1,x_2)=\sqrt[b]{U(x_1,x_2)} </math> mit <math> b \in \mathbb{R}^+ </math> 

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der Aussagen ist wahr?
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- Monotone Transformationen verändern die Rangordnung von Präferenzen und sind somit Teil der Kardinalen Nutzentheorie
- Monotone Transformationen verändern die Rangordnung von Präferenzen nicht und sind somit Teil der Kardinalen Nutzentheorie
+ Monotone Transformationen verändern die Rangordnung von Präferenzen nicht und sind somit Teil der Ordinalen Nutzentheorie
- Monotone Transformationen verändern die Rangordnung von Präferenzen und sind somit Teil der Ordinalen Nutzentheorie
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Nutzenfunktionen stellen '''nicht''' die selben Präferenzen wie die folgende Nutzenfunktion dar: <math> U(x,y)=x^{2} \sqrt{y} </math>
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<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{"Monotone Transformationen von Nutzenfunktionen verändern die Präferenzen nicht, dennoch können sie verändern, wie Güter wahrgenommen werden. Aus perfekten Substituten können Imperfekte Substitute werden". Die Aussage ist
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+ Falsch
</quiz>

Monotone Transformation

2023-11-17T10:43:25Z

Lobin: /* Monotone Transormationen */

==Definition==
Die monotone Transformation ist eine mathematische Operation, durch die Präferenzen einer Nutzenfunktion nicht verändert werden. Die monotone Transformation unterliegt der Annahme der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie|ordinalen Nutzentheorie]].

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==Monotone Transormationen==
Die Nutzenfunktionen der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie|Ordinalen Nutzentheorie]] bringen Güterkombinationen in eine Rangfolge. Jede mathematische Operation, die ausgehend der Nutzenfunktion, die Präferenzen nicht verändert, ist eine monotone Transformation. 
''Beispiel'': In der Marktforschung werden Konsumentinnen und Konsumenten gefragt, wie ihnen verschiedene Tiefkühlpizzen schmecken. Hierbei sollen sie die Pizza auf einer Skala bewerten. Welche Pizza einer jeweiligen Person eine bessere Bewertung bekommt, muss losgelöst davon sein, ob die Skala bis 5 oder bis 10 geht. 
[[Datei:MonotoneTransformation.png|300px|rahmenlos]] 
Die Grafik oben stellt eine monotone Transformation im univariaten Fall dar. Entscheidend ist, dass <math> x_2 </math> bei beiden Nutzenfunktionen <math> U(x) </math> und <math> \hat{U}(x) </math> gegenüber <math> x_1 </math> ein höheres Nutzenniveau bringt und daher bevorzugt wird.

==Operationen==
Die Monotone Transformation bezieht sich auch auf die gesamte Nutzenfunktion. Ist der Nutzen beispielsweise abhängig von zwei Variablen, müssen die mathematischen Operationen auf die gesamte <math> U(x_1,x_2) </math> Funktion angewendet werden. 
''Beispiel'': lautet die Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=x_1+x_2 </math>, spiegelt eine Funktion <math> \tilde{U}(x_1,x_2)=2x_1+x_2 </math> nicht dieselben Präferenzen wider. Die Funktion <math> \hat{U}(x_1,x_2)=2x_1+2x_2 </math> verändert die Präferenzen hingegen nicht und wäre somit eine monotone Transformation. 
 
'''Addition und Subtraktion''':
Von einer Nutzenfunktion kann eine Zahl abgezogen oder zu ihr addiert werden, ohne die Präferenzen zu verändern. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2)+b </math> bzw. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2)-b </math>mit <math> b \in \mathbb{R}^+ </math> 
'''Multiplikation und Division''': Wird eine Nutzenfunktion mit einer positiven Zahl multipliziert oder dividiert, werden weiterhin dieselben Präferenzen abgebildet. Der oben genannte Fall mit der Skala ist ein Beispiel, bei dem die Präferenzen unverändert sind. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2)*b </math> bzw. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2):b </math> mit <math> b \in \mathbb{R}^+ </math> 
'''Logarithmus''': Wird der ln von einer Funktion gezogen, gilt dies auch als monotone Transformation. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=ln[U(x_1,x_2)] </math> 
'''Potenz mit der Basis e''': Die ganze Nutzenfunktion kann zu e hoch der Funktion umgeschrieben werden. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=e^{U(x_1,x_2)} </math> 
'''Potenz und Wurzel''': Eine Nutzenfunktion kann mit einer positiven Zahl potenziert werden oder von ihr eine positive Wurzel gezogen werden. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=[U(x_1,x_2)]^b </math> und <math> \hat{U}(x_1,x_2)=\sqrt[b]{U(x_1,x_2)} </math> mit <math> b \in \mathbb{R}^+ </math> 

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der Aussagen ist wahr?
|type="()"}
- Monotone Transformationen verändern die Rangordnung von Präferenzen und sind somit Teil der Kardinalen Nutzentheorie
- Monotone Transformationen verändern die Rangordnung von Präferenzen nicht und sind somit Teil der Kardinalen Nutzentheorie
+ Monotone Transformationen verändern die Rangordnung von Präferenzen nicht und sind somit Teil der Ordinalen Nutzentheorie
- Monotone Transformationen verändern die Rangordnung von Präferenzen und sind somit Teil der Ordinalen Nutzentheorie
</quiz>

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{Welche der folgenden Nutzenfunktionen stellen '''nicht''' die selben Präferenzen wie die folgende Nutzenfunktion dar: <math> U(x,y)=x^{2} \sqrt{y} </math>
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{"Monotone Transformationen von Nutzenfunktionen verändern die Präferenzen nicht, dennoch können sie verändern, wie Güter wahrgenommen werden. Aus perfekten Substituten können Imperfekte Substitute werden". Die Aussage ist
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+ Falsch
</quiz>

Monotone Transformation

2023-11-17T10:42:45Z

Lobin: /* Definition */

==Definition==
Die monotone Transformation ist eine mathematische Operation, durch die Präferenzen einer Nutzenfunktion nicht verändert werden. Die monotone Transformation unterliegt der Annahme der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie|ordinalen Nutzentheorie]].

__TOC__

==Monotone Transormationen==
Die Nutzenfunktionen der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie|Ordinalen Nutzentheorie]] bringen Güterkombinationen in einer Rangfolge. Jede mathematische Operation, die ausgehend der Nutzenfunktion, die Präferenzen nicht verändert, ist eine monotone Transformation. 
''Beispiel'': In der Marktforschung werden Konsumentinnen und Konsumenten gefragt, wie ihnen verschiedene Tiefkühlpizzen schmecken. Hierbei sollen sie die Pizza auf einer Skala bewerten. Welche Pizza einer jeweiligen Person eine bessere Bewertung bekommt, muss losgelöst davon sein, ob die Skala bis 5 oder bis 10 geht. 
[[Datei:MonotoneTransformation.png|300px|rahmenlos]] 
Die Grafik oben stellt eine monotone Transformation im univariaten Fall dar. Entscheidend ist, dass <math> x_2 </math> bei beiden Nutzenfunktionen <math> U(x) </math> und <math> \hat{U}(x) </math> gegenüber <math> x_1 </math> ein höheres Nutzenniveau bringt und daher bevorzugt wird.

==Operationen==
Die Monotone Transformation bezieht sich auch auf die gesamte Nutzenfunktion. Ist der Nutzen beispielsweise abhängig von zwei Variablen, müssen die mathematischen Operationen auf die gesamte <math> U(x_1,x_2) </math> Funktion angewendet werden. 
''Beispiel'': lautet die Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=x_1+x_2 </math>, spiegelt eine Funktion <math> \tilde{U}(x_1,x_2)=2x_1+x_2 </math> nicht dieselben Präferenzen wider. Die Funktion <math> \hat{U}(x_1,x_2)=2x_1+2x_2 </math> verändert die Präferenzen hingegen nicht und wäre somit eine monotone Transformation. 
 
'''Addition und Subtraktion''':
Von einer Nutzenfunktion kann eine Zahl abgezogen oder zu ihr addiert werden, ohne die Präferenzen zu verändern. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2)+b </math> bzw. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2)-b </math>mit <math> b \in \mathbb{R}^+ </math> 
'''Multiplikation und Division''': Wird eine Nutzenfunktion mit einer positiven Zahl multipliziert oder dividiert, werden weiterhin dieselben Präferenzen abgebildet. Der oben genannte Fall mit der Skala ist ein Beispiel, bei dem die Präferenzen unverändert sind. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2)*b </math> bzw. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2):b </math> mit <math> b \in \mathbb{R}^+ </math> 
'''Logarithmus''': Wird der ln von einer Funktion gezogen, gilt dies auch als monotone Transformation. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=ln[U(x_1,x_2)] </math> 
'''Potenz mit der Basis e''': Die ganze Nutzenfunktion kann zu e hoch der Funktion umgeschrieben werden. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=e^{U(x_1,x_2)} </math> 
'''Potenz und Wurzel''': Eine Nutzenfunktion kann mit einer positiven Zahl potenziert werden oder von ihr eine positive Wurzel gezogen werden. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=[U(x_1,x_2)]^b </math> und <math> \hat{U}(x_1,x_2)=\sqrt[b]{U(x_1,x_2)} </math> mit <math> b \in \mathbb{R}^+ </math> 

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der Aussagen ist wahr?
|type="()"}
- Monotone Transformationen verändern die Rangordnung von Präferenzen und sind somit Teil der Kardinalen Nutzentheorie
- Monotone Transformationen verändern die Rangordnung von Präferenzen nicht und sind somit Teil der Kardinalen Nutzentheorie
+ Monotone Transformationen verändern die Rangordnung von Präferenzen nicht und sind somit Teil der Ordinalen Nutzentheorie
- Monotone Transformationen verändern die Rangordnung von Präferenzen und sind somit Teil der Ordinalen Nutzentheorie
</quiz>

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{Welche der folgenden Nutzenfunktionen stellen '''nicht''' die selben Präferenzen wie die folgende Nutzenfunktion dar: <math> U(x,y)=x^{2} \sqrt{y} </math>
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+ <math> \hat{U}(x,y)=(1-x)+\frac{1}{2}y </math>.
- <math> \hat{U}(x,y)=2ln(x)+\frac{1}{2}ln(y) </math>.
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{"Monotone Transformationen von Nutzenfunktionen verändern die Präferenzen nicht, dennoch können sie verändern, wie Güter wahrgenommen werden. Aus perfekten Substituten können Imperfekte Substitute werden". Die Aussage ist
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- Wahr
+ Falsch
</quiz>

Monotone Transformation

2023-11-17T10:42:28Z

Lobin: /* Definition */

==Definition==
Die monotone Transformation ist eine mathematische Operation, durch die Präferenzen einer Nutzenfunktion nicht verändert werden. Die monotone Transformation unterliegt der Annahme der [[ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie|Ordinalen Nutzentheorie]].

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==Monotone Transormationen==
Die Nutzenfunktionen der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie|Ordinalen Nutzentheorie]] bringen Güterkombinationen in einer Rangfolge. Jede mathematische Operation, die ausgehend der Nutzenfunktion, die Präferenzen nicht verändert, ist eine monotone Transformation. 
''Beispiel'': In der Marktforschung werden Konsumentinnen und Konsumenten gefragt, wie ihnen verschiedene Tiefkühlpizzen schmecken. Hierbei sollen sie die Pizza auf einer Skala bewerten. Welche Pizza einer jeweiligen Person eine bessere Bewertung bekommt, muss losgelöst davon sein, ob die Skala bis 5 oder bis 10 geht. 
[[Datei:MonotoneTransformation.png|300px|rahmenlos]] 
Die Grafik oben stellt eine monotone Transformation im univariaten Fall dar. Entscheidend ist, dass <math> x_2 </math> bei beiden Nutzenfunktionen <math> U(x) </math> und <math> \hat{U}(x) </math> gegenüber <math> x_1 </math> ein höheres Nutzenniveau bringt und daher bevorzugt wird.

==Operationen==
Die Monotone Transformation bezieht sich auch auf die gesamte Nutzenfunktion. Ist der Nutzen beispielsweise abhängig von zwei Variablen, müssen die mathematischen Operationen auf die gesamte <math> U(x_1,x_2) </math> Funktion angewendet werden. 
''Beispiel'': lautet die Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=x_1+x_2 </math>, spiegelt eine Funktion <math> \tilde{U}(x_1,x_2)=2x_1+x_2 </math> nicht dieselben Präferenzen wider. Die Funktion <math> \hat{U}(x_1,x_2)=2x_1+2x_2 </math> verändert die Präferenzen hingegen nicht und wäre somit eine monotone Transformation. 
 
'''Addition und Subtraktion''':
Von einer Nutzenfunktion kann eine Zahl abgezogen oder zu ihr addiert werden, ohne die Präferenzen zu verändern. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2)+b </math> bzw. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2)-b </math>mit <math> b \in \mathbb{R}^+ </math> 
'''Multiplikation und Division''': Wird eine Nutzenfunktion mit einer positiven Zahl multipliziert oder dividiert, werden weiterhin dieselben Präferenzen abgebildet. Der oben genannte Fall mit der Skala ist ein Beispiel, bei dem die Präferenzen unverändert sind. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2)*b </math> bzw. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2):b </math> mit <math> b \in \mathbb{R}^+ </math> 
'''Logarithmus''': Wird der ln von einer Funktion gezogen, gilt dies auch als monotone Transformation. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=ln[U(x_1,x_2)] </math> 
'''Potenz mit der Basis e''': Die ganze Nutzenfunktion kann zu e hoch der Funktion umgeschrieben werden. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=e^{U(x_1,x_2)} </math> 
'''Potenz und Wurzel''': Eine Nutzenfunktion kann mit einer positiven Zahl potenziert werden oder von ihr eine positive Wurzel gezogen werden. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=[U(x_1,x_2)]^b </math> und <math> \hat{U}(x_1,x_2)=\sqrt[b]{U(x_1,x_2)} </math> mit <math> b \in \mathbb{R}^+ </math> 

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der Aussagen ist wahr?
|type="()"}
- Monotone Transformationen verändern die Rangordnung von Präferenzen und sind somit Teil der Kardinalen Nutzentheorie
- Monotone Transformationen verändern die Rangordnung von Präferenzen nicht und sind somit Teil der Kardinalen Nutzentheorie
+ Monotone Transformationen verändern die Rangordnung von Präferenzen nicht und sind somit Teil der Ordinalen Nutzentheorie
- Monotone Transformationen verändern die Rangordnung von Präferenzen und sind somit Teil der Ordinalen Nutzentheorie
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Nutzenfunktionen stellen '''nicht''' die selben Präferenzen wie die folgende Nutzenfunktion dar: <math> U(x,y)=x^{2} \sqrt{y} </math>
|type="()"}
+ <math> \hat{U}(x,y)=(1-x)+\frac{1}{2}y </math>.
- <math> \hat{U}(x,y)=2ln(x)+\frac{1}{2}ln(y) </math>.
- <math> \hat{U}(x,y)=x^{2} \sqrt{y}+5 </math>.
- <math> \hat{U}(x,y)=2x^{2} \sqrt{y} </math>.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{"Monotone Transformationen von Nutzenfunktionen verändern die Präferenzen nicht, dennoch können sie verändern, wie Güter wahrgenommen werden. Aus perfekten Substituten können Imperfekte Substitute werden". Die Aussage ist
|type="()"}
- Wahr
+ Falsch
</quiz>

Cobb-Douglas-Funktionen

2023-11-15T16:35:42Z

Lobin: /* Maximum mit Nebenbedingung */

Cobb-Douglas-Funktionen werden häufig als Nutzenfunktionen oder Produktionsfunktionen genutzt.

__TOC__

==Aufbau der Cobb-Douglas-Funktionen==
Cobb-Douglas-Funktionen haben einen typischen Aufbau, bei dem Variablen multiplikativ miteinander verknüpft sind und einen Exponenten haben (unvollkommene Substitute). 
<math> z(x_1,...,x_n)=b\prod\limits_{i = 0}^{n}x_i^{\alpha_i} </math> mit <math> b>0 </math> 
Für die Anwendung in der Mikro I genügen zwei Variablen. Zudem kann Parameter <math> b </math> auch den Wert 1 annehmen, sodass sich <math> z(x_1,x_2)=x_1^{\alpha}x_2^{\beta} </math> ergibt. Dies kann dreidimensional dargestellt werden. 
[[Datei:CobbDouglas.png|300px|rahmenlos]] 
Charakterlich ist vor allem, dass die Variablen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> miteinander multipliziert werden. Nimmt einer der beiden Werte null an, ist der z Wert null.

==Skalenerträge==
Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen haben viele Vorteile, zum Beispiel, dass sie aufgrund ihres Aufbaus leicht auf Skalenerträge untersucht werden können. Für die Untersuchung auf Skalenerträge werden alle Inputfaktoren mit einem allgemeinen Faktor <math> \lambda </math> multipliziert. Sei die Produktionsfunktion beispielsweise <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math>, wird hieraus <math> F(\lambda K, \lambda L)=(\lambda K)^{\alpha}(\lambda L)^{\beta}=\lambda^{\alpha}K^{\alpha}\lambda^{\beta}L^{\beta}=\lambda^{\alpha+\beta}K^{\alpha}L^{\beta} </math>. Dieser Ausdruck wird mit <math> \lambda F(K,L)=\lambda K^{\alpha}L^{\beta} </math> verglichen. Es fällt auf, dass die beiden Ausdrücke identisch sind mit der Ausnahme des Ausdrucks <math> \lambda^{\alpha+\beta}</math>. In dem einen Fall ist der Exponent <math> \alpha+\beta </math> und in dem anderen Fall <math> 1 </math>. Ist die Summer der beiden Exponenten größer als 1 gilt <math> F(\lambda K, \lambda L)>\lambda F(K,L) </math> und es liegen steigende Skalenerträge vor. 
Es gilt: 
<math> \alpha + \beta >1 \Rightarrow </math> steigende Skalenerträge 
<math> \alpha + \beta =1 \Rightarrow </math> konstante Skalenerträge 
<math> \alpha + \beta <1 \Rightarrow </math> fallende Skalenerträge 

==Grenzprodukt==
Das Grenzprodukt einer Cobb-Douglas-Funktion lässt sich bestimmen, indem die Funktion nach einer der unabhängigen Variablen abgeleitet wird. Zur Veranschaulichung soll eine Cobb-Douglas-[[Produktionsfunktion und Isoquante|Produktionsfunktion]] dienen, die auf das [[marginale Sichtweise|Grenzprodukt]] der Arbeit untersucht wird. Die Funktion lautet <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math> 
Das Grenzprodukt der Arbeit lässt sich durch <math> \frac{\part F(K,L)}{\part K}=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta} </math> berechnen. Das Grenzprodukt ist zunehmend oder abnehmend. Das heißt jede weitere Einheit von K bringt entweder mehr oder weniger zusätzlichen Output als die Einheit zuvor. Ist die zweite partielle Ableitung nach K negativ, sinkt die Steigung und es liegt ein abnehmendes Grenzprodukt vor. Bei einer positiven zweiten partiellen Ableitung ist das Grenzprodukt zunehmend. 
<math> \frac{\part^2 F(K,L)}{\part^2 K}=\alpha (1-\alpha)K^{\alpha -2}L^{\beta} </math> 
Der Ausdruck oben ist negativ, wenn <math> \alpha </math> kleiner als 1 ist. Die Empirie zeigt, dass das Grenzprodukt häufig positiv und abnehmend ist. Hierfür muss für den Exponent gelten: <math> 0<\alpha <1 </math>. 
Die Intuition bei [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Nutzenfunktionen]] und dem [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] ist analog. 
 
<math> \frac{\part F(.)}{\part x_i}<0 \Rightarrow </math> negatives Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i<0 </math> 
<math> \frac{\part F(.)}{\part x_i}>0 \Rightarrow </math> positives Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i>0 </math> 
 
<math> \frac{\part^2 F(.)}{\part^2 x_i}<0 \Rightarrow </math> abnehmendes Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i<1 </math> 
<math> \frac{\part^2 F(.)}{\part^2 x_i}>0 \Rightarrow </math> zunehmendes Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i>1 </math> 

==Produktionselastizität==
Die Exponenten der Cobb-Douglas Funktionen haben eine Bedeutung und sagen etwas über die dazugehörigen unabhängigen Variablen aus. Dies soll anhand einer Produktionsfunktion gezeigt werden. Hierfür soll untersucht werden, wie sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der beiden Inputfaktoren prozentual verändert. Im ersten Fall soll die Veränderung in K stattfinden. 
<math> \sigma_K=\frac{% \Delta Y}{% \Delta K} </math> 
<math> \sigma_K=\frac{\Delta Y /Y}{\Delta K / K}=\frac{\Delta Y}{\Delta K}\frac{K}{Y} </math> 
mit <math> \Delta \to 0 </math> 
<math> \sigma_K=\frac{\part Y}{\part K}\frac{K}{Y} </math> 
<math> \sigma_K=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta}\frac{K}{K^{\alpha}l^{\beta}} </math>
<math> \sigma_K=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta}K^{1- \alpha}L^{-\beta} </math> 
<math> \sigma_K=\alpha K^0L^0 </math> 
<math> \sigma_K=\alpha </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> \sigma_L=\beta </math> 
 
Die Produktionselastizität, also die Frage wie stark sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der Inputfaktoren prozentual verändert lässt sich durch den jeweiligen Exponenten beantworten. Eine ähnliche Intuition gilt bei Cobb-Douglas-Nutzenfunktionen.

==Maximum mit Nebenbedingung==
Cobb-Douglas-Funktionen haben den Vorteil, dass sich aufgrund ihrer Form allgemein eine Lösung für das [[Haushaltsoptimum]] bzw. das [[Produktionsoptimum]] aufstellen lässt. Hierfür soll eine Cobb Douglas-Funktion <math> F(x,y)=x^{\alpha}y^{\beta} </math> mit der Nebenbedingung <math> p_x x+p_y y=b </math>. Zum Maximieren lässt sich die [[Lagrange|Lagrange Funktion]] aufstellen, oder es wird direkt die GRS bzw. GRTS genutzt. 
<math> \frac{\frac{\part F}{\part x}}{\frac{\part F}{\part y}}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> \frac{\alpha x^{\alpha -1}y^{\beta}}{\beta x^{\alpha}y^{\beta -1}}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> \frac{\alpha}{\beta}\frac{y}{x}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> y=\frac{p_x}{p_y}\frac{\beta}{\alpha}x </math> 
In die Nebenbedinung eingesetzt: 
<math> p_xx+p_y(\frac{p_x}{p_y}\frac{\beta}{\alpha}x)=b </math> 
<math> p_xx(1+\frac{\beta}{\alpha}=b </math> 
<math> p_xx(\frac{\alpha +\beta}{\alpha})=b </math> 
<math> x^*=\frac{\alpha}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_x} </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> y^*=\frac{\beta}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_y} </math> 
Die optimale Nachfrage der beiden Güter hängt nicht vom Preis des jeweiligen anderen Gutes ab. Es wird immer derselbe Anteil des Budgets für jedes Gut verwendet.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Nutzenfunktionen ist '''keine''' Cobb-Douglas-Nutzenfunktion?
|type="()"}
- <math> U(x,y)=2x^{1}y^{2} </math>
+ <math> U(x,y)=x^{0,5}+y^{0,3} </math>
- <math> U(x,y)=(xy)^2 </math>
- <math> U(x,y)=(xy)^{0,5} </math>
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Gegeben sei eine Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^2y^{0,5} </math> und eine Budgetrestriktion <math> 1000=2x+4y </math>. Wie lauten die nutzenmaximalen Nachfragen <math> x^* </math> und <math> y^* </math>?
|type="{}"}
<math> x^* </math> = { 400 }
<math> y^* </math> = { 50 }
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Produktionselastizität <math> \alpha </math> bedeutet bei einer Produktionsfunktion <math> U(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math>, dass...
|type="()"}
- ...eine Erhöhung von K um eins eine Erhöhung des Outputs um <math> \alpha </math> bedeutet.
+ ...eine Erhöhung von K um 1% den Output um <math> \alpha </math>% erhöht.
- ...eine Erhöhung von L um 1% den Output um <math> \alpha </math>% erhöht.
- ...eine Erhöhung von K um 1% erlaubt L um <math> \alpha </math> zu reduzieren, um weiterhin auf dem selben Outputniveau zu bleiben.
</quiz>

Cobb-Douglas-Funktionen

2023-11-15T16:35:01Z

Lobin: /* Maximum mit Nebenbedingung */

Cobb-Douglas-Funktionen werden häufig als Nutzenfunktionen oder Produktionsfunktionen genutzt.

__TOC__

==Aufbau der Cobb-Douglas-Funktionen==
Cobb-Douglas-Funktionen haben einen typischen Aufbau, bei dem Variablen multiplikativ miteinander verknüpft sind und einen Exponenten haben (unvollkommene Substitute). 
<math> z(x_1,...,x_n)=b\prod\limits_{i = 0}^{n}x_i^{\alpha_i} </math> mit <math> b>0 </math> 
Für die Anwendung in der Mikro I genügen zwei Variablen. Zudem kann Parameter <math> b </math> auch den Wert 1 annehmen, sodass sich <math> z(x_1,x_2)=x_1^{\alpha}x_2^{\beta} </math> ergibt. Dies kann dreidimensional dargestellt werden. 
[[Datei:CobbDouglas.png|300px|rahmenlos]] 
Charakterlich ist vor allem, dass die Variablen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> miteinander multipliziert werden. Nimmt einer der beiden Werte null an, ist der z Wert null.

==Skalenerträge==
Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen haben viele Vorteile, zum Beispiel, dass sie aufgrund ihres Aufbaus leicht auf Skalenerträge untersucht werden können. Für die Untersuchung auf Skalenerträge werden alle Inputfaktoren mit einem allgemeinen Faktor <math> \lambda </math> multipliziert. Sei die Produktionsfunktion beispielsweise <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math>, wird hieraus <math> F(\lambda K, \lambda L)=(\lambda K)^{\alpha}(\lambda L)^{\beta}=\lambda^{\alpha}K^{\alpha}\lambda^{\beta}L^{\beta}=\lambda^{\alpha+\beta}K^{\alpha}L^{\beta} </math>. Dieser Ausdruck wird mit <math> \lambda F(K,L)=\lambda K^{\alpha}L^{\beta} </math> verglichen. Es fällt auf, dass die beiden Ausdrücke identisch sind mit der Ausnahme des Ausdrucks <math> \lambda^{\alpha+\beta}</math>. In dem einen Fall ist der Exponent <math> \alpha+\beta </math> und in dem anderen Fall <math> 1 </math>. Ist die Summer der beiden Exponenten größer als 1 gilt <math> F(\lambda K, \lambda L)>\lambda F(K,L) </math> und es liegen steigende Skalenerträge vor. 
Es gilt: 
<math> \alpha + \beta >1 \Rightarrow </math> steigende Skalenerträge 
<math> \alpha + \beta =1 \Rightarrow </math> konstante Skalenerträge 
<math> \alpha + \beta <1 \Rightarrow </math> fallende Skalenerträge 

==Grenzprodukt==
Das Grenzprodukt einer Cobb-Douglas-Funktion lässt sich bestimmen, indem die Funktion nach einer der unabhängigen Variablen abgeleitet wird. Zur Veranschaulichung soll eine Cobb-Douglas-[[Produktionsfunktion und Isoquante|Produktionsfunktion]] dienen, die auf das [[marginale Sichtweise|Grenzprodukt]] der Arbeit untersucht wird. Die Funktion lautet <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math> 
Das Grenzprodukt der Arbeit lässt sich durch <math> \frac{\part F(K,L)}{\part K}=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta} </math> berechnen. Das Grenzprodukt ist zunehmend oder abnehmend. Das heißt jede weitere Einheit von K bringt entweder mehr oder weniger zusätzlichen Output als die Einheit zuvor. Ist die zweite partielle Ableitung nach K negativ, sinkt die Steigung und es liegt ein abnehmendes Grenzprodukt vor. Bei einer positiven zweiten partiellen Ableitung ist das Grenzprodukt zunehmend. 
<math> \frac{\part^2 F(K,L)}{\part^2 K}=\alpha (1-\alpha)K^{\alpha -2}L^{\beta} </math> 
Der Ausdruck oben ist negativ, wenn <math> \alpha </math> kleiner als 1 ist. Die Empirie zeigt, dass das Grenzprodukt häufig positiv und abnehmend ist. Hierfür muss für den Exponent gelten: <math> 0<\alpha <1 </math>. 
Die Intuition bei [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Nutzenfunktionen]] und dem [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] ist analog. 
 
<math> \frac{\part F(.)}{\part x_i}<0 \Rightarrow </math> negatives Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i<0 </math> 
<math> \frac{\part F(.)}{\part x_i}>0 \Rightarrow </math> positives Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i>0 </math> 
 
<math> \frac{\part^2 F(.)}{\part^2 x_i}<0 \Rightarrow </math> abnehmendes Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i<1 </math> 
<math> \frac{\part^2 F(.)}{\part^2 x_i}>0 \Rightarrow </math> zunehmendes Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i>1 </math> 

==Produktionselastizität==
Die Exponenten der Cobb-Douglas Funktionen haben eine Bedeutung und sagen etwas über die dazugehörigen unabhängigen Variablen aus. Dies soll anhand einer Produktionsfunktion gezeigt werden. Hierfür soll untersucht werden, wie sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der beiden Inputfaktoren prozentual verändert. Im ersten Fall soll die Veränderung in K stattfinden. 
<math> \sigma_K=\frac{% \Delta Y}{% \Delta K} </math> 
<math> \sigma_K=\frac{\Delta Y /Y}{\Delta K / K}=\frac{\Delta Y}{\Delta K}\frac{K}{Y} </math> 
mit <math> \Delta \to 0 </math> 
<math> \sigma_K=\frac{\part Y}{\part K}\frac{K}{Y} </math> 
<math> \sigma_K=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta}\frac{K}{K^{\alpha}l^{\beta}} </math>
<math> \sigma_K=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta}K^{1- \alpha}L^{-\beta} </math> 
<math> \sigma_K=\alpha K^0L^0 </math> 
<math> \sigma_K=\alpha </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> \sigma_L=\beta </math> 
 
Die Produktionselastizität, also die Frage wie stark sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der Inputfaktoren prozentual verändert lässt sich durch den jeweiligen Exponenten beantworten. Eine ähnliche Intuition gilt bei Cobb-Douglas-Nutzenfunktionen.

==Maximum mit Nebenbedingung==
Cobb-Douglas-Funktionen haben den Vorteil, dass sich aufgrund ihrer Form allgemein eine Lösung für das [[Haushaltsoptimum]] bzw. das [[Produktionsoptimum]] aufstellen lässt. Hierfür soll eine Cobb Douglas-Funktion <math> F(x,y)=x^{\alpha}y^{\beta} </math> mit der Nebenbedingung <math> p_x x+p_y y=b </math>. Zum Maximieren lässt sich die [[Lagrange|Lagrange Funktion]] aufstellen, oder es wird direkt die GRS bzw. GRTS genutzt. 
<math> \frac{\frac{\part F}{\part x}}{\frac{\part F}{\part y}}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> \frac{\alpha x^{\alpha -1}y^{\beta}}{\beta x^{\alpha}y^{\beta -1}}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> \frac{\alpha}{\beta}\frac{y}{x}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> y=\frac{p_x}{p_y}\frac{\beta}{\alpha}x </math> 
In die Nebenbedinung eingesetzt: 
<math> p_xx+p_y(\frac{p_x}{p_y}\frac{\beta}{\alpha}x)=b </math> 
<math> p_xx(1+\frac{\beta}{\alpha}=b </math> 
<math> p_xx(\frac{\alpha +\beta}{\alpha})=b </math> 
<math> x^*=\frac{\alpha}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_x} </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> y^*=\frac{\beta}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_y} </math>
Die optimale Nachfrage der beiden Güter hängt nicht vom Preis des jeweiligen anderen Gutes ab. Es wird immer derselbe Anteil des Budgets für jedes Gut verwendet.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Nutzenfunktionen ist '''keine''' Cobb-Douglas-Nutzenfunktion?
|type="()"}
- <math> U(x,y)=2x^{1}y^{2} </math>
+ <math> U(x,y)=x^{0,5}+y^{0,3} </math>
- <math> U(x,y)=(xy)^2 </math>
- <math> U(x,y)=(xy)^{0,5} </math>
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Gegeben sei eine Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^2y^{0,5} </math> und eine Budgetrestriktion <math> 1000=2x+4y </math>. Wie lauten die nutzenmaximalen Nachfragen <math> x^* </math> und <math> y^* </math>?
|type="{}"}
<math> x^* </math> = { 400 }
<math> y^* </math> = { 50 }
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Produktionselastizität <math> \alpha </math> bedeutet bei einer Produktionsfunktion <math> U(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math>, dass...
|type="()"}
- ...eine Erhöhung von K um eins eine Erhöhung des Outputs um <math> \alpha </math> bedeutet.
+ ...eine Erhöhung von K um 1% den Output um <math> \alpha </math>% erhöht.
- ...eine Erhöhung von L um 1% den Output um <math> \alpha </math>% erhöht.
- ...eine Erhöhung von K um 1% erlaubt L um <math> \alpha </math> zu reduzieren, um weiterhin auf dem selben Outputniveau zu bleiben.
</quiz>

Cobb-Douglas-Funktionen

2023-11-15T16:32:43Z

Lobin: /* Maximum mit Nebenbedingung */

Cobb-Douglas-Funktionen werden häufig als Nutzenfunktionen oder Produktionsfunktionen genutzt.

__TOC__

==Aufbau der Cobb-Douglas-Funktionen==
Cobb-Douglas-Funktionen haben einen typischen Aufbau, bei dem Variablen multiplikativ miteinander verknüpft sind und einen Exponenten haben (unvollkommene Substitute). 
<math> z(x_1,...,x_n)=b\prod\limits_{i = 0}^{n}x_i^{\alpha_i} </math> mit <math> b>0 </math> 
Für die Anwendung in der Mikro I genügen zwei Variablen. Zudem kann Parameter <math> b </math> auch den Wert 1 annehmen, sodass sich <math> z(x_1,x_2)=x_1^{\alpha}x_2^{\beta} </math> ergibt. Dies kann dreidimensional dargestellt werden. 
[[Datei:CobbDouglas.png|300px|rahmenlos]] 
Charakterlich ist vor allem, dass die Variablen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> miteinander multipliziert werden. Nimmt einer der beiden Werte null an, ist der z Wert null.

==Skalenerträge==
Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen haben viele Vorteile, zum Beispiel, dass sie aufgrund ihres Aufbaus leicht auf Skalenerträge untersucht werden können. Für die Untersuchung auf Skalenerträge werden alle Inputfaktoren mit einem allgemeinen Faktor <math> \lambda </math> multipliziert. Sei die Produktionsfunktion beispielsweise <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math>, wird hieraus <math> F(\lambda K, \lambda L)=(\lambda K)^{\alpha}(\lambda L)^{\beta}=\lambda^{\alpha}K^{\alpha}\lambda^{\beta}L^{\beta}=\lambda^{\alpha+\beta}K^{\alpha}L^{\beta} </math>. Dieser Ausdruck wird mit <math> \lambda F(K,L)=\lambda K^{\alpha}L^{\beta} </math> verglichen. Es fällt auf, dass die beiden Ausdrücke identisch sind mit der Ausnahme des Ausdrucks <math> \lambda^{\alpha+\beta}</math>. In dem einen Fall ist der Exponent <math> \alpha+\beta </math> und in dem anderen Fall <math> 1 </math>. Ist die Summer der beiden Exponenten größer als 1 gilt <math> F(\lambda K, \lambda L)>\lambda F(K,L) </math> und es liegen steigende Skalenerträge vor. 
Es gilt: 
<math> \alpha + \beta >1 \Rightarrow </math> steigende Skalenerträge 
<math> \alpha + \beta =1 \Rightarrow </math> konstante Skalenerträge 
<math> \alpha + \beta <1 \Rightarrow </math> fallende Skalenerträge 

==Grenzprodukt==
Das Grenzprodukt einer Cobb-Douglas-Funktion lässt sich bestimmen, indem die Funktion nach einer der unabhängigen Variablen abgeleitet wird. Zur Veranschaulichung soll eine Cobb-Douglas-[[Produktionsfunktion und Isoquante|Produktionsfunktion]] dienen, die auf das [[marginale Sichtweise|Grenzprodukt]] der Arbeit untersucht wird. Die Funktion lautet <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math> 
Das Grenzprodukt der Arbeit lässt sich durch <math> \frac{\part F(K,L)}{\part K}=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta} </math> berechnen. Das Grenzprodukt ist zunehmend oder abnehmend. Das heißt jede weitere Einheit von K bringt entweder mehr oder weniger zusätzlichen Output als die Einheit zuvor. Ist die zweite partielle Ableitung nach K negativ, sinkt die Steigung und es liegt ein abnehmendes Grenzprodukt vor. Bei einer positiven zweiten partiellen Ableitung ist das Grenzprodukt zunehmend. 
<math> \frac{\part^2 F(K,L)}{\part^2 K}=\alpha (1-\alpha)K^{\alpha -2}L^{\beta} </math> 
Der Ausdruck oben ist negativ, wenn <math> \alpha </math> kleiner als 1 ist. Die Empirie zeigt, dass das Grenzprodukt häufig positiv und abnehmend ist. Hierfür muss für den Exponent gelten: <math> 0<\alpha <1 </math>. 
Die Intuition bei [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Nutzenfunktionen]] und dem [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] ist analog. 
 
<math> \frac{\part F(.)}{\part x_i}<0 \Rightarrow </math> negatives Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i<0 </math> 
<math> \frac{\part F(.)}{\part x_i}>0 \Rightarrow </math> positives Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i>0 </math> 
 
<math> \frac{\part^2 F(.)}{\part^2 x_i}<0 \Rightarrow </math> abnehmendes Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i<1 </math> 
<math> \frac{\part^2 F(.)}{\part^2 x_i}>0 \Rightarrow </math> zunehmendes Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i>1 </math> 

==Produktionselastizität==
Die Exponenten der Cobb-Douglas Funktionen haben eine Bedeutung und sagen etwas über die dazugehörigen unabhängigen Variablen aus. Dies soll anhand einer Produktionsfunktion gezeigt werden. Hierfür soll untersucht werden, wie sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der beiden Inputfaktoren prozentual verändert. Im ersten Fall soll die Veränderung in K stattfinden. 
<math> \sigma_K=\frac{% \Delta Y}{% \Delta K} </math> 
<math> \sigma_K=\frac{\Delta Y /Y}{\Delta K / K}=\frac{\Delta Y}{\Delta K}\frac{K}{Y} </math> 
mit <math> \Delta \to 0 </math> 
<math> \sigma_K=\frac{\part Y}{\part K}\frac{K}{Y} </math> 
<math> \sigma_K=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta}\frac{K}{K^{\alpha}l^{\beta}} </math>
<math> \sigma_K=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta}K^{1- \alpha}L^{-\beta} </math> 
<math> \sigma_K=\alpha K^0L^0 </math> 
<math> \sigma_K=\alpha </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> \sigma_L=\beta </math> 
 
Die Produktionselastizität, also die Frage wie stark sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der Inputfaktoren prozentual verändert lässt sich durch den jeweiligen Exponenten beantworten. Eine ähnliche Intuition gilt bei Cobb-Douglas-Nutzenfunktionen.

==Maximum mit Nebenbedingung==
Cobb-Douglas-Funktionen haben den Vorteil, dass sich aufgrund ihrer Form allgemein eine Lösung für das [[Haushaltsoptimum]] bzw. das [[Produktionsoptimum]] aufstellen lässt. Hierfür soll eine Cobb Douglas-Funktion <math> F(x,y)=x^{\alpha}y^{\beta} </math> mit der Nebenbedingung <math> p_x x+p_y y=b </math>. Zum Maximieren lässt sich die [[Lagrange|Lagrange Funktion]] aufstellen, oder es wird direkt die GRS bzw. GRTS genutzt. 
<math> \frac{\frac{\part F}{\part x}}{\frac{\part F}{\part y}}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> \frac{\alpha x^{\alpha -1}y^{\beta}}{\beta x^{\alpha}y^{\beta -1}}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> \frac{\alpha}{\beta}\frac{y}{x}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> y=\frac{p_x}{p_y}\frac{\beta}{\alpha}x </math> 
In die Nebenbedinung eingesetzt: 
<math> p_xx+p_y(\frac{p_x}{p_y}\frac{\beta}{\alpha}x)=b </math> 
<math> p_xx(1+\frac{\beta}{\alpha}=b </math> 
<math> p_xx(\frac{\alpha +\beta}{\alpha})=b </math> 
<math> x^*=\frac{\alpha}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_x} </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> y^*=\frac{\beta}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_y} </math>

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Nutzenfunktionen ist '''keine''' Cobb-Douglas-Nutzenfunktion?
|type="()"}
- <math> U(x,y)=2x^{1}y^{2} </math>
+ <math> U(x,y)=x^{0,5}+y^{0,3} </math>
- <math> U(x,y)=(xy)^2 </math>
- <math> U(x,y)=(xy)^{0,5} </math>
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Gegeben sei eine Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^2y^{0,5} </math> und eine Budgetrestriktion <math> 1000=2x+4y </math>. Wie lauten die nutzenmaximalen Nachfragen <math> x^* </math> und <math> y^* </math>?
|type="{}"}
<math> x^* </math> = { 400 }
<math> y^* </math> = { 50 }
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Produktionselastizität <math> \alpha </math> bedeutet bei einer Produktionsfunktion <math> U(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math>, dass...
|type="()"}
- ...eine Erhöhung von K um eins eine Erhöhung des Outputs um <math> \alpha </math> bedeutet.
+ ...eine Erhöhung von K um 1% den Output um <math> \alpha </math>% erhöht.
- ...eine Erhöhung von L um 1% den Output um <math> \alpha </math>% erhöht.
- ...eine Erhöhung von K um 1% erlaubt L um <math> \alpha </math> zu reduzieren, um weiterhin auf dem selben Outputniveau zu bleiben.
</quiz>

Cobb-Douglas-Funktionen

2023-11-15T16:29:10Z

Lobin: /* Grenzprodukt */

Cobb-Douglas-Funktionen werden häufig als Nutzenfunktionen oder Produktionsfunktionen genutzt.

__TOC__

==Aufbau der Cobb-Douglas-Funktionen==
Cobb-Douglas-Funktionen haben einen typischen Aufbau, bei dem Variablen multiplikativ miteinander verknüpft sind und einen Exponenten haben (unvollkommene Substitute). 
<math> z(x_1,...,x_n)=b\prod\limits_{i = 0}^{n}x_i^{\alpha_i} </math> mit <math> b>0 </math> 
Für die Anwendung in der Mikro I genügen zwei Variablen. Zudem kann Parameter <math> b </math> auch den Wert 1 annehmen, sodass sich <math> z(x_1,x_2)=x_1^{\alpha}x_2^{\beta} </math> ergibt. Dies kann dreidimensional dargestellt werden. 
[[Datei:CobbDouglas.png|300px|rahmenlos]] 
Charakterlich ist vor allem, dass die Variablen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> miteinander multipliziert werden. Nimmt einer der beiden Werte null an, ist der z Wert null.

==Skalenerträge==
Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen haben viele Vorteile, zum Beispiel, dass sie aufgrund ihres Aufbaus leicht auf Skalenerträge untersucht werden können. Für die Untersuchung auf Skalenerträge werden alle Inputfaktoren mit einem allgemeinen Faktor <math> \lambda </math> multipliziert. Sei die Produktionsfunktion beispielsweise <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math>, wird hieraus <math> F(\lambda K, \lambda L)=(\lambda K)^{\alpha}(\lambda L)^{\beta}=\lambda^{\alpha}K^{\alpha}\lambda^{\beta}L^{\beta}=\lambda^{\alpha+\beta}K^{\alpha}L^{\beta} </math>. Dieser Ausdruck wird mit <math> \lambda F(K,L)=\lambda K^{\alpha}L^{\beta} </math> verglichen. Es fällt auf, dass die beiden Ausdrücke identisch sind mit der Ausnahme des Ausdrucks <math> \lambda^{\alpha+\beta}</math>. In dem einen Fall ist der Exponent <math> \alpha+\beta </math> und in dem anderen Fall <math> 1 </math>. Ist die Summer der beiden Exponenten größer als 1 gilt <math> F(\lambda K, \lambda L)>\lambda F(K,L) </math> und es liegen steigende Skalenerträge vor. 
Es gilt: 
<math> \alpha + \beta >1 \Rightarrow </math> steigende Skalenerträge 
<math> \alpha + \beta =1 \Rightarrow </math> konstante Skalenerträge 
<math> \alpha + \beta <1 \Rightarrow </math> fallende Skalenerträge 

==Grenzprodukt==
Das Grenzprodukt einer Cobb-Douglas-Funktion lässt sich bestimmen, indem die Funktion nach einer der unabhängigen Variablen abgeleitet wird. Zur Veranschaulichung soll eine Cobb-Douglas-[[Produktionsfunktion und Isoquante|Produktionsfunktion]] dienen, die auf das [[marginale Sichtweise|Grenzprodukt]] der Arbeit untersucht wird. Die Funktion lautet <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math> 
Das Grenzprodukt der Arbeit lässt sich durch <math> \frac{\part F(K,L)}{\part K}=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta} </math> berechnen. Das Grenzprodukt ist zunehmend oder abnehmend. Das heißt jede weitere Einheit von K bringt entweder mehr oder weniger zusätzlichen Output als die Einheit zuvor. Ist die zweite partielle Ableitung nach K negativ, sinkt die Steigung und es liegt ein abnehmendes Grenzprodukt vor. Bei einer positiven zweiten partiellen Ableitung ist das Grenzprodukt zunehmend. 
<math> \frac{\part^2 F(K,L)}{\part^2 K}=\alpha (1-\alpha)K^{\alpha -2}L^{\beta} </math> 
Der Ausdruck oben ist negativ, wenn <math> \alpha </math> kleiner als 1 ist. Die Empirie zeigt, dass das Grenzprodukt häufig positiv und abnehmend ist. Hierfür muss für den Exponent gelten: <math> 0<\alpha <1 </math>. 
Die Intuition bei [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Nutzenfunktionen]] und dem [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] ist analog. 
 
<math> \frac{\part F(.)}{\part x_i}<0 \Rightarrow </math> negatives Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i<0 </math> 
<math> \frac{\part F(.)}{\part x_i}>0 \Rightarrow </math> positives Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i>0 </math> 
 
<math> \frac{\part^2 F(.)}{\part^2 x_i}<0 \Rightarrow </math> abnehmendes Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i<1 </math> 
<math> \frac{\part^2 F(.)}{\part^2 x_i}>0 \Rightarrow </math> zunehmendes Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i>1 </math> 

==Produktionselastizität==
Die Exponenten der Cobb-Douglas Funktionen haben eine Bedeutung und sagen etwas über die dazugehörigen unabhängigen Variablen aus. Dies soll anhand einer Produktionsfunktion gezeigt werden. Hierfür soll untersucht werden, wie sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der beiden Inputfaktoren prozentual verändert. Im ersten Fall soll die Veränderung in K stattfinden. 
<math> \sigma_K=\frac{% \Delta Y}{% \Delta K} </math> 
<math> \sigma_K=\frac{\Delta Y /Y}{\Delta K / K}=\frac{\Delta Y}{\Delta K}\frac{K}{Y} </math> 
mit <math> \Delta \to 0 </math> 
<math> \sigma_K=\frac{\part Y}{\part K}\frac{K}{Y} </math> 
<math> \sigma_K=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta}\frac{K}{K^{\alpha}l^{\beta}} </math>
<math> \sigma_K=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta}K^{1- \alpha}L^{-\beta} </math> 
<math> \sigma_K=\alpha K^0L^0 </math> 
<math> \sigma_K=\alpha </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> \sigma_L=\beta </math> 
 
Die Produktionselastizität, also die Frage wie stark sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der Inputfaktoren prozentual verändert lässt sich durch den jeweiligen Exponenten beantworten. Eine ähnliche Intuition gilt bei Cobb-Douglas-Nutzenfunktionen.

==Maximum mit Nebenbedingung==
Cobb-Douglas-Funktionen haben den Vorteil, dass sich aufgrund ihrer For allgemein eine Lösung für das [[Haushaltsoptimum]] bzw. das [[Produktionsoptimum]] aufstellen lässt. Hierfür soll eine Cobb Douglas-Funktion <math> F(x,y)=x^{\alpha}y^{\beta} </math> mit der Nebenbedingung <math> p_xx+p_y=b </math>. Zum Maximieren lässt sich die [[Lagrange|Lagrange Funktion]] aufstellen, oder es wird direkt die GRS bzw. GRTS genutzt. 
<math> \frac{\frac{\part F}{\part x}}{\frac{\part F}{\part y}}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> \frac{\alpha x^{\alpha -1}y^{\beta}}{\beta x^{\alpha}y^{\beta -1}}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> \frac{\alpha}{\beta}\frac{y}{x}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> y=\frac{p_x}{p_y}\frac{\beta}{\alpha}x </math> 
In die Nebenbedinung eingesetzt: 
<math> p_xx+p_y(\frac{p_x}{p_y}\frac{\beta}{\alpha}x)=b </math> 
<math> p_xx(1+\frac{\beta}{\alpha}=b </math> 
<math> p_xx(\frac{\alpha +\beta}{\alpha})=b </math> 
<math> x^*=\frac{\alpha}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_x} </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> y^*=\frac{\beta}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_y} </math>

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Nutzenfunktionen ist '''keine''' Cobb-Douglas-Nutzenfunktion?
|type="()"}
- <math> U(x,y)=2x^{1}y^{2} </math>
+ <math> U(x,y)=x^{0,5}+y^{0,3} </math>
- <math> U(x,y)=(xy)^2 </math>
- <math> U(x,y)=(xy)^{0,5} </math>
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Gegeben sei eine Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^2y^{0,5} </math> und eine Budgetrestriktion <math> 1000=2x+4y </math>. Wie lauten die nutzenmaximalen Nachfragen <math> x^* </math> und <math> y^* </math>?
|type="{}"}
<math> x^* </math> = { 400 }
<math> y^* </math> = { 50 }
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Produktionselastizität <math> \alpha </math> bedeutet bei einer Produktionsfunktion <math> U(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math>, dass...
|type="()"}
- ...eine Erhöhung von K um eins eine Erhöhung des Outputs um <math> \alpha </math> bedeutet.
+ ...eine Erhöhung von K um 1% den Output um <math> \alpha </math>% erhöht.
- ...eine Erhöhung von L um 1% den Output um <math> \alpha </math>% erhöht.
- ...eine Erhöhung von K um 1% erlaubt L um <math> \alpha </math> zu reduzieren, um weiterhin auf dem selben Outputniveau zu bleiben.
</quiz>

Cobb-Douglas-Funktionen

2023-11-15T16:28:30Z

Lobin: /* Grenzprodukt */

Cobb-Douglas-Funktionen werden häufig als Nutzenfunktionen oder Produktionsfunktionen genutzt.

__TOC__

==Aufbau der Cobb-Douglas-Funktionen==
Cobb-Douglas-Funktionen haben einen typischen Aufbau, bei dem Variablen multiplikativ miteinander verknüpft sind und einen Exponenten haben (unvollkommene Substitute). 
<math> z(x_1,...,x_n)=b\prod\limits_{i = 0}^{n}x_i^{\alpha_i} </math> mit <math> b>0 </math> 
Für die Anwendung in der Mikro I genügen zwei Variablen. Zudem kann Parameter <math> b </math> auch den Wert 1 annehmen, sodass sich <math> z(x_1,x_2)=x_1^{\alpha}x_2^{\beta} </math> ergibt. Dies kann dreidimensional dargestellt werden. 
[[Datei:CobbDouglas.png|300px|rahmenlos]] 
Charakterlich ist vor allem, dass die Variablen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> miteinander multipliziert werden. Nimmt einer der beiden Werte null an, ist der z Wert null.

==Skalenerträge==
Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen haben viele Vorteile, zum Beispiel, dass sie aufgrund ihres Aufbaus leicht auf Skalenerträge untersucht werden können. Für die Untersuchung auf Skalenerträge werden alle Inputfaktoren mit einem allgemeinen Faktor <math> \lambda </math> multipliziert. Sei die Produktionsfunktion beispielsweise <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math>, wird hieraus <math> F(\lambda K, \lambda L)=(\lambda K)^{\alpha}(\lambda L)^{\beta}=\lambda^{\alpha}K^{\alpha}\lambda^{\beta}L^{\beta}=\lambda^{\alpha+\beta}K^{\alpha}L^{\beta} </math>. Dieser Ausdruck wird mit <math> \lambda F(K,L)=\lambda K^{\alpha}L^{\beta} </math> verglichen. Es fällt auf, dass die beiden Ausdrücke identisch sind mit der Ausnahme des Ausdrucks <math> \lambda^{\alpha+\beta}</math>. In dem einen Fall ist der Exponent <math> \alpha+\beta </math> und in dem anderen Fall <math> 1 </math>. Ist die Summer der beiden Exponenten größer als 1 gilt <math> F(\lambda K, \lambda L)>\lambda F(K,L) </math> und es liegen steigende Skalenerträge vor. 
Es gilt: 
<math> \alpha + \beta >1 \Rightarrow </math> steigende Skalenerträge 
<math> \alpha + \beta =1 \Rightarrow </math> konstante Skalenerträge 
<math> \alpha + \beta <1 \Rightarrow </math> fallende Skalenerträge 

==Grenzprodukt==
Das Grenzprodukt einer Cobb-Douglas-Funktion lässt sich bestimmen, indem die Funktion nach einer der unabhängigen Variablen abgeleitet wird. Zur Veranschaulichung soll eine Cobb-Douglas-[[Produktionsfunktion und Isoquante|Produktionsfunktion]] dienen, die auf das [[marginale Sichtweise|Grenzprodukt]] der Arbeit untersucht wird. Die Funktion lautet <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math> 
Das Grenzprodukt der Arbeit lässt sich durch <math> \frac{\part F(K,L)}{\part K}=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta} </math> berechnen. Das Grenzprodukt ist zunehmend oder abnehmend. Das heißt jede weitere Einheit von K bringt entweder mehr oder weniger zusätzlichen Output als die Einheit zuvor. Ist die zweite partielle Ableitung nach K negativ, sinkt die Steigung und es liegt ein abnehmendes Grenzprodukt vor. Bei einer positiven zweiten partiellen Ableitung ist das Grenzprodukt zunehmend. 
<math> \frac{\part^2 F(K,L)}{\part^2 K}=\alpha (1-\alpha)K^{\alpha -2}L^{\beta} </math> 
Der Ausdruck oben ist negativ, wenn <math> \alpha </math> kleiner als 1 ist. Die Empirie zeigt, dass das Grenzprodukt häufig positiv und abnehmend ist. Hierfür muss für den Exponent gelten <math> 0<\alpha <1 </math>. 
Die Intuition bei [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Nutzenfunktionen]] und dem [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] ist analog. 
 
<math> \frac{\part F(.)}{\part x_i}<0 \Rightarrow </math> negatives Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i<0 </math> 
<math> \frac{\part F(.)}{\part x_i}>0 \Rightarrow </math> positives Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i>0 </math> 
 
<math> \frac{\part^2 F(.)}{\part^2 x_i}<0 \Rightarrow </math> abnehmendes Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i<1 </math> 
<math> \frac{\part^2 F(.)}{\part^2 x_i}>0 \Rightarrow </math> zunehmendes Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i>1 </math> 

==Produktionselastizität==
Die Exponenten der Cobb-Douglas Funktionen haben eine Bedeutung und sagen etwas über die dazugehörigen unabhängigen Variablen aus. Dies soll anhand einer Produktionsfunktion gezeigt werden. Hierfür soll untersucht werden, wie sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der beiden Inputfaktoren prozentual verändert. Im ersten Fall soll die Veränderung in K stattfinden. 
<math> \sigma_K=\frac{% \Delta Y}{% \Delta K} </math> 
<math> \sigma_K=\frac{\Delta Y /Y}{\Delta K / K}=\frac{\Delta Y}{\Delta K}\frac{K}{Y} </math> 
mit <math> \Delta \to 0 </math> 
<math> \sigma_K=\frac{\part Y}{\part K}\frac{K}{Y} </math> 
<math> \sigma_K=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta}\frac{K}{K^{\alpha}l^{\beta}} </math>
<math> \sigma_K=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta}K^{1- \alpha}L^{-\beta} </math> 
<math> \sigma_K=\alpha K^0L^0 </math> 
<math> \sigma_K=\alpha </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> \sigma_L=\beta </math> 
 
Die Produktionselastizität, also die Frage wie stark sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der Inputfaktoren prozentual verändert lässt sich durch den jeweiligen Exponenten beantworten. Eine ähnliche Intuition gilt bei Cobb-Douglas-Nutzenfunktionen.

==Maximum mit Nebenbedingung==
Cobb-Douglas-Funktionen haben den Vorteil, dass sich aufgrund ihrer For allgemein eine Lösung für das [[Haushaltsoptimum]] bzw. das [[Produktionsoptimum]] aufstellen lässt. Hierfür soll eine Cobb Douglas-Funktion <math> F(x,y)=x^{\alpha}y^{\beta} </math> mit der Nebenbedingung <math> p_xx+p_y=b </math>. Zum Maximieren lässt sich die [[Lagrange|Lagrange Funktion]] aufstellen, oder es wird direkt die GRS bzw. GRTS genutzt. 
<math> \frac{\frac{\part F}{\part x}}{\frac{\part F}{\part y}}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> \frac{\alpha x^{\alpha -1}y^{\beta}}{\beta x^{\alpha}y^{\beta -1}}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> \frac{\alpha}{\beta}\frac{y}{x}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> y=\frac{p_x}{p_y}\frac{\beta}{\alpha}x </math> 
In die Nebenbedinung eingesetzt: 
<math> p_xx+p_y(\frac{p_x}{p_y}\frac{\beta}{\alpha}x)=b </math> 
<math> p_xx(1+\frac{\beta}{\alpha}=b </math> 
<math> p_xx(\frac{\alpha +\beta}{\alpha})=b </math> 
<math> x^*=\frac{\alpha}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_x} </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> y^*=\frac{\beta}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_y} </math>

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Nutzenfunktionen ist '''keine''' Cobb-Douglas-Nutzenfunktion?
|type="()"}
- <math> U(x,y)=2x^{1}y^{2} </math>
+ <math> U(x,y)=x^{0,5}+y^{0,3} </math>
- <math> U(x,y)=(xy)^2 </math>
- <math> U(x,y)=(xy)^{0,5} </math>
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Gegeben sei eine Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^2y^{0,5} </math> und eine Budgetrestriktion <math> 1000=2x+4y </math>. Wie lauten die nutzenmaximalen Nachfragen <math> x^* </math> und <math> y^* </math>?
|type="{}"}
<math> x^* </math> = { 400 }
<math> y^* </math> = { 50 }
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Produktionselastizität <math> \alpha </math> bedeutet bei einer Produktionsfunktion <math> U(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math>, dass...
|type="()"}
- ...eine Erhöhung von K um eins eine Erhöhung des Outputs um <math> \alpha </math> bedeutet.
+ ...eine Erhöhung von K um 1% den Output um <math> \alpha </math>% erhöht.
- ...eine Erhöhung von L um 1% den Output um <math> \alpha </math>% erhöht.
- ...eine Erhöhung von K um 1% erlaubt L um <math> \alpha </math> zu reduzieren, um weiterhin auf dem selben Outputniveau zu bleiben.
</quiz>

Cobb-Douglas-Funktionen

2023-11-15T16:27:29Z

Lobin: /* Grenzprodukt */

Cobb-Douglas-Funktionen werden häufig als Nutzenfunktionen oder Produktionsfunktionen genutzt.

__TOC__

==Aufbau der Cobb-Douglas-Funktionen==
Cobb-Douglas-Funktionen haben einen typischen Aufbau, bei dem Variablen multiplikativ miteinander verknüpft sind und einen Exponenten haben (unvollkommene Substitute). 
<math> z(x_1,...,x_n)=b\prod\limits_{i = 0}^{n}x_i^{\alpha_i} </math> mit <math> b>0 </math> 
Für die Anwendung in der Mikro I genügen zwei Variablen. Zudem kann Parameter <math> b </math> auch den Wert 1 annehmen, sodass sich <math> z(x_1,x_2)=x_1^{\alpha}x_2^{\beta} </math> ergibt. Dies kann dreidimensional dargestellt werden. 
[[Datei:CobbDouglas.png|300px|rahmenlos]] 
Charakterlich ist vor allem, dass die Variablen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> miteinander multipliziert werden. Nimmt einer der beiden Werte null an, ist der z Wert null.

==Skalenerträge==
Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen haben viele Vorteile, zum Beispiel, dass sie aufgrund ihres Aufbaus leicht auf Skalenerträge untersucht werden können. Für die Untersuchung auf Skalenerträge werden alle Inputfaktoren mit einem allgemeinen Faktor <math> \lambda </math> multipliziert. Sei die Produktionsfunktion beispielsweise <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math>, wird hieraus <math> F(\lambda K, \lambda L)=(\lambda K)^{\alpha}(\lambda L)^{\beta}=\lambda^{\alpha}K^{\alpha}\lambda^{\beta}L^{\beta}=\lambda^{\alpha+\beta}K^{\alpha}L^{\beta} </math>. Dieser Ausdruck wird mit <math> \lambda F(K,L)=\lambda K^{\alpha}L^{\beta} </math> verglichen. Es fällt auf, dass die beiden Ausdrücke identisch sind mit der Ausnahme des Ausdrucks <math> \lambda^{\alpha+\beta}</math>. In dem einen Fall ist der Exponent <math> \alpha+\beta </math> und in dem anderen Fall <math> 1 </math>. Ist die Summer der beiden Exponenten größer als 1 gilt <math> F(\lambda K, \lambda L)>\lambda F(K,L) </math> und es liegen steigende Skalenerträge vor. 
Es gilt: 
<math> \alpha + \beta >1 \Rightarrow </math> steigende Skalenerträge 
<math> \alpha + \beta =1 \Rightarrow </math> konstante Skalenerträge 
<math> \alpha + \beta <1 \Rightarrow </math> fallende Skalenerträge 

==Grenzprodukt==
Das Grenzprodukt einer Cobb-Douglas-Funktion lässt sich bestimmen, indem die Funktion nach einer der unabhängigen Variablen abgeleitet wird. Zur Veranschaulichung soll eine Cobb-Douglas-[[Produktionsfunktion und Isoquante|Produktionsfunktion]] dienen, die auf das [[marginale Sichtweise|Grenzprodukt]] der Arbeit untersucht wird. Die Funktion lautet <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math> 
Das Grenzprodukt der Arbeit lässt sich durch <math> \frac{\part F(K,L)}{\part K}=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta} </math> berechnen. Das Grenzprodukt ist unter Annahme der nicht negativen Mengen immer dann positiv, wenn <math> \alpha </math> positiv, d.h. größer null ist. Das Grenzprodukt ist zunehmend oder abnehmend. Das heißt jede weitere Einheit von K bringt entweder mehr oder weniger zusätzlichen Output als die Einheit zuvor. Ist die zweite partielle Ableitung nach K negativ, sinkt die Steigung und es liegt ein abnehmendes Grenzprodukt vor. Bei einer positiven zweiten partiellen Ableitung ist das Grenzprodukt zunehmend. 
<math> \frac{\part^2 F(K,L)}{\part^2 K}=\alpha (1-\alpha)K^{\alpha -2}L^{\beta} </math> 
Der Ausdruck oben ist negativ, wenn <math> \alpha </math> kleiner als 1 ist. Die Empirie zeigt, dass das Grenzprodukt häufig positiv und abnehmend ist. Hierfür muss für den Exponent gelten <math> 0<\alpha <1 </math>. 
Die Intuition bei [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Nutzenfunktionen]] und dem [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] ist analog. 
 
<math> \frac{\part F(.)}{\part x_i}<0 \Rightarrow </math> negatives Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i<0 </math> 
<math> \frac{\part F(.)}{\part x_i}>0 \Rightarrow </math> positives Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i>0 </math> 
 
<math> \frac{\part^2 F(.)}{\part^2 x_i}<0 \Rightarrow </math> abnehmendes Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i<1 </math> 
<math> \frac{\part^2 F(.)}{\part^2 x_i}>0 \Rightarrow </math> zunehmendes Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i>1 </math> 

==Produktionselastizität==
Die Exponenten der Cobb-Douglas Funktionen haben eine Bedeutung und sagen etwas über die dazugehörigen unabhängigen Variablen aus. Dies soll anhand einer Produktionsfunktion gezeigt werden. Hierfür soll untersucht werden, wie sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der beiden Inputfaktoren prozentual verändert. Im ersten Fall soll die Veränderung in K stattfinden. 
<math> \sigma_K=\frac{% \Delta Y}{% \Delta K} </math> 
<math> \sigma_K=\frac{\Delta Y /Y}{\Delta K / K}=\frac{\Delta Y}{\Delta K}\frac{K}{Y} </math> 
mit <math> \Delta \to 0 </math> 
<math> \sigma_K=\frac{\part Y}{\part K}\frac{K}{Y} </math> 
<math> \sigma_K=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta}\frac{K}{K^{\alpha}l^{\beta}} </math>
<math> \sigma_K=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta}K^{1- \alpha}L^{-\beta} </math> 
<math> \sigma_K=\alpha K^0L^0 </math> 
<math> \sigma_K=\alpha </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> \sigma_L=\beta </math> 
 
Die Produktionselastizität, also die Frage wie stark sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der Inputfaktoren prozentual verändert lässt sich durch den jeweiligen Exponenten beantworten. Eine ähnliche Intuition gilt bei Cobb-Douglas-Nutzenfunktionen.

==Maximum mit Nebenbedingung==
Cobb-Douglas-Funktionen haben den Vorteil, dass sich aufgrund ihrer For allgemein eine Lösung für das [[Haushaltsoptimum]] bzw. das [[Produktionsoptimum]] aufstellen lässt. Hierfür soll eine Cobb Douglas-Funktion <math> F(x,y)=x^{\alpha}y^{\beta} </math> mit der Nebenbedingung <math> p_xx+p_y=b </math>. Zum Maximieren lässt sich die [[Lagrange|Lagrange Funktion]] aufstellen, oder es wird direkt die GRS bzw. GRTS genutzt. 
<math> \frac{\frac{\part F}{\part x}}{\frac{\part F}{\part y}}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> \frac{\alpha x^{\alpha -1}y^{\beta}}{\beta x^{\alpha}y^{\beta -1}}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> \frac{\alpha}{\beta}\frac{y}{x}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> y=\frac{p_x}{p_y}\frac{\beta}{\alpha}x </math> 
In die Nebenbedinung eingesetzt: 
<math> p_xx+p_y(\frac{p_x}{p_y}\frac{\beta}{\alpha}x)=b </math> 
<math> p_xx(1+\frac{\beta}{\alpha}=b </math> 
<math> p_xx(\frac{\alpha +\beta}{\alpha})=b </math> 
<math> x^*=\frac{\alpha}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_x} </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> y^*=\frac{\beta}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_y} </math>

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Nutzenfunktionen ist '''keine''' Cobb-Douglas-Nutzenfunktion?
|type="()"}
- <math> U(x,y)=2x^{1}y^{2} </math>
+ <math> U(x,y)=x^{0,5}+y^{0,3} </math>
- <math> U(x,y)=(xy)^2 </math>
- <math> U(x,y)=(xy)^{0,5} </math>
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Gegeben sei eine Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^2y^{0,5} </math> und eine Budgetrestriktion <math> 1000=2x+4y </math>. Wie lauten die nutzenmaximalen Nachfragen <math> x^* </math> und <math> y^* </math>?
|type="{}"}
<math> x^* </math> = { 400 }
<math> y^* </math> = { 50 }
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Produktionselastizität <math> \alpha </math> bedeutet bei einer Produktionsfunktion <math> U(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math>, dass...
|type="()"}
- ...eine Erhöhung von K um eins eine Erhöhung des Outputs um <math> \alpha </math> bedeutet.
+ ...eine Erhöhung von K um 1% den Output um <math> \alpha </math>% erhöht.
- ...eine Erhöhung von L um 1% den Output um <math> \alpha </math>% erhöht.
- ...eine Erhöhung von K um 1% erlaubt L um <math> \alpha </math> zu reduzieren, um weiterhin auf dem selben Outputniveau zu bleiben.
</quiz>

Cobb-Douglas-Funktionen

2023-11-15T16:26:41Z

Lobin: /* Skalenerträge */

Cobb-Douglas-Funktionen werden häufig als Nutzenfunktionen oder Produktionsfunktionen genutzt.

__TOC__

==Aufbau der Cobb-Douglas-Funktionen==
Cobb-Douglas-Funktionen haben einen typischen Aufbau, bei dem Variablen multiplikativ miteinander verknüpft sind und einen Exponenten haben (unvollkommene Substitute). 
<math> z(x_1,...,x_n)=b\prod\limits_{i = 0}^{n}x_i^{\alpha_i} </math> mit <math> b>0 </math> 
Für die Anwendung in der Mikro I genügen zwei Variablen. Zudem kann Parameter <math> b </math> auch den Wert 1 annehmen, sodass sich <math> z(x_1,x_2)=x_1^{\alpha}x_2^{\beta} </math> ergibt. Dies kann dreidimensional dargestellt werden. 
[[Datei:CobbDouglas.png|300px|rahmenlos]] 
Charakterlich ist vor allem, dass die Variablen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> miteinander multipliziert werden. Nimmt einer der beiden Werte null an, ist der z Wert null.

==Skalenerträge==
Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen haben viele Vorteile, zum Beispiel, dass sie aufgrund ihres Aufbaus leicht auf Skalenerträge untersucht werden können. Für die Untersuchung auf Skalenerträge werden alle Inputfaktoren mit einem allgemeinen Faktor <math> \lambda </math> multipliziert. Sei die Produktionsfunktion beispielsweise <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math>, wird hieraus <math> F(\lambda K, \lambda L)=(\lambda K)^{\alpha}(\lambda L)^{\beta}=\lambda^{\alpha}K^{\alpha}\lambda^{\beta}L^{\beta}=\lambda^{\alpha+\beta}K^{\alpha}L^{\beta} </math>. Dieser Ausdruck wird mit <math> \lambda F(K,L)=\lambda K^{\alpha}L^{\beta} </math> verglichen. Es fällt auf, dass die beiden Ausdrücke identisch sind mit der Ausnahme des Ausdrucks <math> \lambda^{\alpha+\beta}</math>. In dem einen Fall ist der Exponent <math> \alpha+\beta </math> und in dem anderen Fall <math> 1 </math>. Ist die Summer der beiden Exponenten größer als 1 gilt <math> F(\lambda K, \lambda L)>\lambda F(K,L) </math> und es liegen steigende Skalenerträge vor. 
Es gilt: 
<math> \alpha + \beta >1 \Rightarrow </math> steigende Skalenerträge 
<math> \alpha + \beta =1 \Rightarrow </math> konstante Skalenerträge 
<math> \alpha + \beta <1 \Rightarrow </math> fallende Skalenerträge 

==Grenzprodukt==
Das Grenzprodukt einer Cobb-Douglas-Funktion lässt sich bestimmen, indem die Funktion nach einer der unabhängigen Variablen abgeleitet wird. Zur Veranschaulichung soll eine Cobb-Douglas-[[Produktionsfunktion und Isoquante|Produktionsfunktion]] dienen, die auf das [[marginale Sichtweise|Grenzprodukt]] der Arbeit untersucht wird. Die Funktion lautet <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math> 
Das Grenzprodukt der Arbeit lässt sich durch <math> \frac{\part F(K,L)}{\part K}=\alpha K{\alpha -1}L^{\beta} </math> berechnen. Das Grenzprodukt ist unter Annahme der nicht negativen Mengen immer dann positiv, wenn <math> \alpha </math> positiv, d.h. größer null ist. Das Grenzprodukt ist zunehmend oder abnehmend. Das heißt jede weitere Einheit von K bringt entweder mehr oder weniger zusätzlichen Output als die Einheit zuvor. Ist die zweite partielle Ableitung nach K negativ, sinkt die Steigung und es liegt ein abnehmendes Grenzprodukt vor. Bei einer positiven zweiten partiellen Ableitung ist das Grenzprodukt zunehmend. 
<math> \frac{\part^2 F(K,L)}{\part^2 K}=\alpha (1-\alpha)K^{\alpha -2}L^{\beta} </math> 
Der Ausdruck oben ist negativ, wenn <math> \alpha </math> kleiner als 1 ist. Die Empirie zeigt, dass das Grenzprodukt häufig positiv und abnehmend ist. Hierfür muss für den Exponent gelten <math> 0<\alpha <1 </math>. 
Die Intuition bei [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Nutzenfunktionen]] und dem [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] ist analog. 
 
<math> \frac{\part F(.)}{\part x_i}<0 \Rightarrow </math> negatives Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i<0 </math> 
<math> \frac{\part F(.)}{\part x_i}>0 \Rightarrow </math> positives Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i>0 </math> 
 
<math> \frac{\part^2 F(.)}{\part^2 x_i}<0 \Rightarrow </math> abnehmendes Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i<1 </math> 
<math> \frac{\part^2 F(.)}{\part^2 x_i}>0 \Rightarrow </math> zunehmendes Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i>1 </math> 

==Produktionselastizität==
Die Exponenten der Cobb-Douglas Funktionen haben eine Bedeutung und sagen etwas über die dazugehörigen unabhängigen Variablen aus. Dies soll anhand einer Produktionsfunktion gezeigt werden. Hierfür soll untersucht werden, wie sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der beiden Inputfaktoren prozentual verändert. Im ersten Fall soll die Veränderung in K stattfinden. 
<math> \sigma_K=\frac{% \Delta Y}{% \Delta K} </math> 
<math> \sigma_K=\frac{\Delta Y /Y}{\Delta K / K}=\frac{\Delta Y}{\Delta K}\frac{K}{Y} </math> 
mit <math> \Delta \to 0 </math> 
<math> \sigma_K=\frac{\part Y}{\part K}\frac{K}{Y} </math> 
<math> \sigma_K=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta}\frac{K}{K^{\alpha}l^{\beta}} </math>
<math> \sigma_K=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta}K^{1- \alpha}L^{-\beta} </math> 
<math> \sigma_K=\alpha K^0L^0 </math> 
<math> \sigma_K=\alpha </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> \sigma_L=\beta </math> 
 
Die Produktionselastizität, also die Frage wie stark sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der Inputfaktoren prozentual verändert lässt sich durch den jeweiligen Exponenten beantworten. Eine ähnliche Intuition gilt bei Cobb-Douglas-Nutzenfunktionen.

==Maximum mit Nebenbedingung==
Cobb-Douglas-Funktionen haben den Vorteil, dass sich aufgrund ihrer For allgemein eine Lösung für das [[Haushaltsoptimum]] bzw. das [[Produktionsoptimum]] aufstellen lässt. Hierfür soll eine Cobb Douglas-Funktion <math> F(x,y)=x^{\alpha}y^{\beta} </math> mit der Nebenbedingung <math> p_xx+p_y=b </math>. Zum Maximieren lässt sich die [[Lagrange|Lagrange Funktion]] aufstellen, oder es wird direkt die GRS bzw. GRTS genutzt. 
<math> \frac{\frac{\part F}{\part x}}{\frac{\part F}{\part y}}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> \frac{\alpha x^{\alpha -1}y^{\beta}}{\beta x^{\alpha}y^{\beta -1}}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> \frac{\alpha}{\beta}\frac{y}{x}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> y=\frac{p_x}{p_y}\frac{\beta}{\alpha}x </math> 
In die Nebenbedinung eingesetzt: 
<math> p_xx+p_y(\frac{p_x}{p_y}\frac{\beta}{\alpha}x)=b </math> 
<math> p_xx(1+\frac{\beta}{\alpha}=b </math> 
<math> p_xx(\frac{\alpha +\beta}{\alpha})=b </math> 
<math> x^*=\frac{\alpha}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_x} </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> y^*=\frac{\beta}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_y} </math>

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Nutzenfunktionen ist '''keine''' Cobb-Douglas-Nutzenfunktion?
|type="()"}
- <math> U(x,y)=2x^{1}y^{2} </math>
+ <math> U(x,y)=x^{0,5}+y^{0,3} </math>
- <math> U(x,y)=(xy)^2 </math>
- <math> U(x,y)=(xy)^{0,5} </math>
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Gegeben sei eine Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^2y^{0,5} </math> und eine Budgetrestriktion <math> 1000=2x+4y </math>. Wie lauten die nutzenmaximalen Nachfragen <math> x^* </math> und <math> y^* </math>?
|type="{}"}
<math> x^* </math> = { 400 }
<math> y^* </math> = { 50 }
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Produktionselastizität <math> \alpha </math> bedeutet bei einer Produktionsfunktion <math> U(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math>, dass...
|type="()"}
- ...eine Erhöhung von K um eins eine Erhöhung des Outputs um <math> \alpha </math> bedeutet.
+ ...eine Erhöhung von K um 1% den Output um <math> \alpha </math>% erhöht.
- ...eine Erhöhung von L um 1% den Output um <math> \alpha </math>% erhöht.
- ...eine Erhöhung von K um 1% erlaubt L um <math> \alpha </math> zu reduzieren, um weiterhin auf dem selben Outputniveau zu bleiben.
</quiz>

Cobb-Douglas-Funktionen

2023-11-15T16:26:07Z

Lobin: /* Skalenerträge */

Cobb-Douglas-Funktionen werden häufig als Nutzenfunktionen oder Produktionsfunktionen genutzt.

__TOC__

==Aufbau der Cobb-Douglas-Funktionen==
Cobb-Douglas-Funktionen haben einen typischen Aufbau, bei dem Variablen multiplikativ miteinander verknüpft sind und einen Exponenten haben (unvollkommene Substitute). 
<math> z(x_1,...,x_n)=b\prod\limits_{i = 0}^{n}x_i^{\alpha_i} </math> mit <math> b>0 </math> 
Für die Anwendung in der Mikro I genügen zwei Variablen. Zudem kann Parameter <math> b </math> auch den Wert 1 annehmen, sodass sich <math> z(x_1,x_2)=x_1^{\alpha}x_2^{\beta} </math> ergibt. Dies kann dreidimensional dargestellt werden. 
[[Datei:CobbDouglas.png|300px|rahmenlos]] 
Charakterlich ist vor allem, dass die Variablen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> miteinander multipliziert werden. Nimmt einer der beiden Werte null an, ist der z Wert null.

==Skalenerträge==
Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen haben viele Vorteile, zum Beispiel, dass sie aufgrund ihres Aufbaus leicht auf Skalenerträge untersucht werden können. Für die Untersuchung auf Skalenerträge werden alle Inputfaktoren mit einem allgemeinen Faktor <math> \lambda </math> multipliziert. Sei die Produktionsfunktion beispielsweise <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math>, wird hieraus <math> F(\lambda K, \lambda L)=(\lambda K)^{\alpha}(\lambda L)^{\beta}=\lambda^{\alpha}K^{\alpha}\lambda^{\beta}L^{\beta}=\lambda^{\alpha+\beta}K^{\alpha}L^{\beta} </math>. Dieser Ausdruck wird mit <math> \lambda F(K,L)=\lambda K^{\alpha}L^{\beta} </math> verglichen. Es fällt auf, dass die beiden Ausdrücke identisch sind mit der Ausnahme des Ausdrucks <math> \lambda^{\alpha+\beta}</math>. In dem einen Fall ist der Exponent <math> \alpha+\beta </math> und in dem anderen Fall <math> 1 </math>. Ist die Summer der beiden Exponenten größer als 1 gilt <math> F(\lambda K, \lambda L)>\lambda F(K,L) </math> 
Es gilt: 
<math> \alpha + \beta >1 \Rightarrow </math> steigende Skalenerträge 
<math> \alpha + \beta =1 \Rightarrow </math> konstante Skalenerträge 
<math> \alpha + \beta <1 \Rightarrow </math> fallende Skalenerträge 

==Grenzprodukt==
Das Grenzprodukt einer Cobb-Douglas-Funktion lässt sich bestimmen, indem die Funktion nach einer der unabhängigen Variablen abgeleitet wird. Zur Veranschaulichung soll eine Cobb-Douglas-[[Produktionsfunktion und Isoquante|Produktionsfunktion]] dienen, die auf das [[marginale Sichtweise|Grenzprodukt]] der Arbeit untersucht wird. Die Funktion lautet <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math> 
Das Grenzprodukt der Arbeit lässt sich durch <math> \frac{\part F(K,L)}{\part K}=\alpha K{\alpha -1}L^{\beta} </math> berechnen. Das Grenzprodukt ist unter Annahme der nicht negativen Mengen immer dann positiv, wenn <math> \alpha </math> positiv, d.h. größer null ist. Das Grenzprodukt ist zunehmend oder abnehmend. Das heißt jede weitere Einheit von K bringt entweder mehr oder weniger zusätzlichen Output als die Einheit zuvor. Ist die zweite partielle Ableitung nach K negativ, sinkt die Steigung und es liegt ein abnehmendes Grenzprodukt vor. Bei einer positiven zweiten partiellen Ableitung ist das Grenzprodukt zunehmend. 
<math> \frac{\part^2 F(K,L)}{\part^2 K}=\alpha (1-\alpha)K^{\alpha -2}L^{\beta} </math> 
Der Ausdruck oben ist negativ, wenn <math> \alpha </math> kleiner als 1 ist. Die Empirie zeigt, dass das Grenzprodukt häufig positiv und abnehmend ist. Hierfür muss für den Exponent gelten <math> 0<\alpha <1 </math>. 
Die Intuition bei [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Nutzenfunktionen]] und dem [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] ist analog. 
 
<math> \frac{\part F(.)}{\part x_i}<0 \Rightarrow </math> negatives Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i<0 </math> 
<math> \frac{\part F(.)}{\part x_i}>0 \Rightarrow </math> positives Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i>0 </math> 
 
<math> \frac{\part^2 F(.)}{\part^2 x_i}<0 \Rightarrow </math> abnehmendes Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i<1 </math> 
<math> \frac{\part^2 F(.)}{\part^2 x_i}>0 \Rightarrow </math> zunehmendes Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i>1 </math> 

==Produktionselastizität==
Die Exponenten der Cobb-Douglas Funktionen haben eine Bedeutung und sagen etwas über die dazugehörigen unabhängigen Variablen aus. Dies soll anhand einer Produktionsfunktion gezeigt werden. Hierfür soll untersucht werden, wie sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der beiden Inputfaktoren prozentual verändert. Im ersten Fall soll die Veränderung in K stattfinden. 
<math> \sigma_K=\frac{% \Delta Y}{% \Delta K} </math> 
<math> \sigma_K=\frac{\Delta Y /Y}{\Delta K / K}=\frac{\Delta Y}{\Delta K}\frac{K}{Y} </math> 
mit <math> \Delta \to 0 </math> 
<math> \sigma_K=\frac{\part Y}{\part K}\frac{K}{Y} </math> 
<math> \sigma_K=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta}\frac{K}{K^{\alpha}l^{\beta}} </math>
<math> \sigma_K=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta}K^{1- \alpha}L^{-\beta} </math> 
<math> \sigma_K=\alpha K^0L^0 </math> 
<math> \sigma_K=\alpha </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> \sigma_L=\beta </math> 
 
Die Produktionselastizität, also die Frage wie stark sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der Inputfaktoren prozentual verändert lässt sich durch den jeweiligen Exponenten beantworten. Eine ähnliche Intuition gilt bei Cobb-Douglas-Nutzenfunktionen.

==Maximum mit Nebenbedingung==
Cobb-Douglas-Funktionen haben den Vorteil, dass sich aufgrund ihrer For allgemein eine Lösung für das [[Haushaltsoptimum]] bzw. das [[Produktionsoptimum]] aufstellen lässt. Hierfür soll eine Cobb Douglas-Funktion <math> F(x,y)=x^{\alpha}y^{\beta} </math> mit der Nebenbedingung <math> p_xx+p_y=b </math>. Zum Maximieren lässt sich die [[Lagrange|Lagrange Funktion]] aufstellen, oder es wird direkt die GRS bzw. GRTS genutzt. 
<math> \frac{\frac{\part F}{\part x}}{\frac{\part F}{\part y}}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> \frac{\alpha x^{\alpha -1}y^{\beta}}{\beta x^{\alpha}y^{\beta -1}}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> \frac{\alpha}{\beta}\frac{y}{x}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> y=\frac{p_x}{p_y}\frac{\beta}{\alpha}x </math> 
In die Nebenbedinung eingesetzt: 
<math> p_xx+p_y(\frac{p_x}{p_y}\frac{\beta}{\alpha}x)=b </math> 
<math> p_xx(1+\frac{\beta}{\alpha}=b </math> 
<math> p_xx(\frac{\alpha +\beta}{\alpha})=b </math> 
<math> x^*=\frac{\alpha}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_x} </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> y^*=\frac{\beta}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_y} </math>

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Nutzenfunktionen ist '''keine''' Cobb-Douglas-Nutzenfunktion?
|type="()"}
- <math> U(x,y)=2x^{1}y^{2} </math>
+ <math> U(x,y)=x^{0,5}+y^{0,3} </math>
- <math> U(x,y)=(xy)^2 </math>
- <math> U(x,y)=(xy)^{0,5} </math>
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Gegeben sei eine Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^2y^{0,5} </math> und eine Budgetrestriktion <math> 1000=2x+4y </math>. Wie lauten die nutzenmaximalen Nachfragen <math> x^* </math> und <math> y^* </math>?
|type="{}"}
<math> x^* </math> = { 400 }
<math> y^* </math> = { 50 }
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Produktionselastizität <math> \alpha </math> bedeutet bei einer Produktionsfunktion <math> U(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math>, dass...
|type="()"}
- ...eine Erhöhung von K um eins eine Erhöhung des Outputs um <math> \alpha </math> bedeutet.
+ ...eine Erhöhung von K um 1% den Output um <math> \alpha </math>% erhöht.
- ...eine Erhöhung von L um 1% den Output um <math> \alpha </math>% erhöht.
- ...eine Erhöhung von K um 1% erlaubt L um <math> \alpha </math> zu reduzieren, um weiterhin auf dem selben Outputniveau zu bleiben.
</quiz>

Cobb-Douglas-Funktionen

2023-11-15T16:25:30Z

Lobin: /* Skalenerträge */

Cobb-Douglas-Funktionen werden häufig als Nutzenfunktionen oder Produktionsfunktionen genutzt.

__TOC__

==Aufbau der Cobb-Douglas-Funktionen==
Cobb-Douglas-Funktionen haben einen typischen Aufbau, bei dem Variablen multiplikativ miteinander verknüpft sind und einen Exponenten haben (unvollkommene Substitute). 
<math> z(x_1,...,x_n)=b\prod\limits_{i = 0}^{n}x_i^{\alpha_i} </math> mit <math> b>0 </math> 
Für die Anwendung in der Mikro I genügen zwei Variablen. Zudem kann Parameter <math> b </math> auch den Wert 1 annehmen, sodass sich <math> z(x_1,x_2)=x_1^{\alpha}x_2^{\beta} </math> ergibt. Dies kann dreidimensional dargestellt werden. 
[[Datei:CobbDouglas.png|300px|rahmenlos]] 
Charakterlich ist vor allem, dass die Variablen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> miteinander multipliziert werden. Nimmt einer der beiden Werte null an, ist der z Wert null.

==Skalenerträge==
Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen haben viele Vorteile, zum Beispiel, dass sie aufgrund ihres Aufbaus leicht auf Skalenerträge untersucht werden können. Für die Untersuchung auf Skalenerträge werden alle Inputfaktoren mit einem allgemeinen Faktor <math> \lambda </math> multipliziert. Sei die Produktionsfunktion beispielsweise <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math>, wird hieraus <math> F(\lambda K, \lambda L)=(\lambda K)^{\alpha}(\lambda L)^{\beta}=\lambda^{\alpha}K^{\alpha}\lambda^{\beta}L^{\beta}=\lambda^{\alpha+\beta}K^{\alpha}L^{\beta} </math>. Dieser Ausdruck wird mit <math> \lambda F(K,L)=\lambda K^{\alpha}L^{\beta} </math> verglichen. Es fällt auf, dass die beiden Ausdrücke identisch sind mit der Ausnahme des <math> \lambda^{\alpha+\beta}</math> Ausdrucks. In dem einen Fall ist der Exponent <math> \alpha+\beta </math> und in dem anderen Fall <math> 1 </math>. Ist die Summer der beiden Exponenten größer als 1 gilt <math> F(\lambda K, \lambda L)>\lambda F(K,L) </math> 
Es gilt: 
<math> \alpha + \beta >1 \Rightarrow </math> steigende Skalenerträge 
<math> \alpha + \beta =1 \Rightarrow </math> konstante Skalenerträge 
<math> \alpha + \beta <1 \Rightarrow </math> fallende Skalenerträge 

==Grenzprodukt==
Das Grenzprodukt einer Cobb-Douglas-Funktion lässt sich bestimmen, indem die Funktion nach einer der unabhängigen Variablen abgeleitet wird. Zur Veranschaulichung soll eine Cobb-Douglas-[[Produktionsfunktion und Isoquante|Produktionsfunktion]] dienen, die auf das [[marginale Sichtweise|Grenzprodukt]] der Arbeit untersucht wird. Die Funktion lautet <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math> 
Das Grenzprodukt der Arbeit lässt sich durch <math> \frac{\part F(K,L)}{\part K}=\alpha K{\alpha -1}L^{\beta} </math> berechnen. Das Grenzprodukt ist unter Annahme der nicht negativen Mengen immer dann positiv, wenn <math> \alpha </math> positiv, d.h. größer null ist. Das Grenzprodukt ist zunehmend oder abnehmend. Das heißt jede weitere Einheit von K bringt entweder mehr oder weniger zusätzlichen Output als die Einheit zuvor. Ist die zweite partielle Ableitung nach K negativ, sinkt die Steigung und es liegt ein abnehmendes Grenzprodukt vor. Bei einer positiven zweiten partiellen Ableitung ist das Grenzprodukt zunehmend. 
<math> \frac{\part^2 F(K,L)}{\part^2 K}=\alpha (1-\alpha)K^{\alpha -2}L^{\beta} </math> 
Der Ausdruck oben ist negativ, wenn <math> \alpha </math> kleiner als 1 ist. Die Empirie zeigt, dass das Grenzprodukt häufig positiv und abnehmend ist. Hierfür muss für den Exponent gelten <math> 0<\alpha <1 </math>. 
Die Intuition bei [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Nutzenfunktionen]] und dem [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] ist analog. 
 
<math> \frac{\part F(.)}{\part x_i}<0 \Rightarrow </math> negatives Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i<0 </math> 
<math> \frac{\part F(.)}{\part x_i}>0 \Rightarrow </math> positives Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i>0 </math> 
 
<math> \frac{\part^2 F(.)}{\part^2 x_i}<0 \Rightarrow </math> abnehmendes Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i<1 </math> 
<math> \frac{\part^2 F(.)}{\part^2 x_i}>0 \Rightarrow </math> zunehmendes Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i>1 </math> 

==Produktionselastizität==
Die Exponenten der Cobb-Douglas Funktionen haben eine Bedeutung und sagen etwas über die dazugehörigen unabhängigen Variablen aus. Dies soll anhand einer Produktionsfunktion gezeigt werden. Hierfür soll untersucht werden, wie sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der beiden Inputfaktoren prozentual verändert. Im ersten Fall soll die Veränderung in K stattfinden. 
<math> \sigma_K=\frac{% \Delta Y}{% \Delta K} </math> 
<math> \sigma_K=\frac{\Delta Y /Y}{\Delta K / K}=\frac{\Delta Y}{\Delta K}\frac{K}{Y} </math> 
mit <math> \Delta \to 0 </math> 
<math> \sigma_K=\frac{\part Y}{\part K}\frac{K}{Y} </math> 
<math> \sigma_K=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta}\frac{K}{K^{\alpha}l^{\beta}} </math>
<math> \sigma_K=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta}K^{1- \alpha}L^{-\beta} </math> 
<math> \sigma_K=\alpha K^0L^0 </math> 
<math> \sigma_K=\alpha </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> \sigma_L=\beta </math> 
 
Die Produktionselastizität, also die Frage wie stark sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der Inputfaktoren prozentual verändert lässt sich durch den jeweiligen Exponenten beantworten. Eine ähnliche Intuition gilt bei Cobb-Douglas-Nutzenfunktionen.

==Maximum mit Nebenbedingung==
Cobb-Douglas-Funktionen haben den Vorteil, dass sich aufgrund ihrer For allgemein eine Lösung für das [[Haushaltsoptimum]] bzw. das [[Produktionsoptimum]] aufstellen lässt. Hierfür soll eine Cobb Douglas-Funktion <math> F(x,y)=x^{\alpha}y^{\beta} </math> mit der Nebenbedingung <math> p_xx+p_y=b </math>. Zum Maximieren lässt sich die [[Lagrange|Lagrange Funktion]] aufstellen, oder es wird direkt die GRS bzw. GRTS genutzt. 
<math> \frac{\frac{\part F}{\part x}}{\frac{\part F}{\part y}}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> \frac{\alpha x^{\alpha -1}y^{\beta}}{\beta x^{\alpha}y^{\beta -1}}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> \frac{\alpha}{\beta}\frac{y}{x}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> y=\frac{p_x}{p_y}\frac{\beta}{\alpha}x </math> 
In die Nebenbedinung eingesetzt: 
<math> p_xx+p_y(\frac{p_x}{p_y}\frac{\beta}{\alpha}x)=b </math> 
<math> p_xx(1+\frac{\beta}{\alpha}=b </math> 
<math> p_xx(\frac{\alpha +\beta}{\alpha})=b </math> 
<math> x^*=\frac{\alpha}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_x} </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> y^*=\frac{\beta}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_y} </math>

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Nutzenfunktionen ist '''keine''' Cobb-Douglas-Nutzenfunktion?
|type="()"}
- <math> U(x,y)=2x^{1}y^{2} </math>
+ <math> U(x,y)=x^{0,5}+y^{0,3} </math>
- <math> U(x,y)=(xy)^2 </math>
- <math> U(x,y)=(xy)^{0,5} </math>
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Gegeben sei eine Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^2y^{0,5} </math> und eine Budgetrestriktion <math> 1000=2x+4y </math>. Wie lauten die nutzenmaximalen Nachfragen <math> x^* </math> und <math> y^* </math>?
|type="{}"}
<math> x^* </math> = { 400 }
<math> y^* </math> = { 50 }
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Produktionselastizität <math> \alpha </math> bedeutet bei einer Produktionsfunktion <math> U(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math>, dass...
|type="()"}
- ...eine Erhöhung von K um eins eine Erhöhung des Outputs um <math> \alpha </math> bedeutet.
+ ...eine Erhöhung von K um 1% den Output um <math> \alpha </math>% erhöht.
- ...eine Erhöhung von L um 1% den Output um <math> \alpha </math>% erhöht.
- ...eine Erhöhung von K um 1% erlaubt L um <math> \alpha </math> zu reduzieren, um weiterhin auf dem selben Outputniveau zu bleiben.
</quiz>

Cobb-Douglas-Funktionen

2023-11-15T16:24:43Z

Lobin: /* Skalenerträge */

Cobb-Douglas-Funktionen werden häufig als Nutzenfunktionen oder Produktionsfunktionen genutzt.

__TOC__

==Aufbau der Cobb-Douglas-Funktionen==
Cobb-Douglas-Funktionen haben einen typischen Aufbau, bei dem Variablen multiplikativ miteinander verknüpft sind und einen Exponenten haben (unvollkommene Substitute). 
<math> z(x_1,...,x_n)=b\prod\limits_{i = 0}^{n}x_i^{\alpha_i} </math> mit <math> b>0 </math> 
Für die Anwendung in der Mikro I genügen zwei Variablen. Zudem kann Parameter <math> b </math> auch den Wert 1 annehmen, sodass sich <math> z(x_1,x_2)=x_1^{\alpha}x_2^{\beta} </math> ergibt. Dies kann dreidimensional dargestellt werden. 
[[Datei:CobbDouglas.png|300px|rahmenlos]] 
Charakterlich ist vor allem, dass die Variablen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> miteinander multipliziert werden. Nimmt einer der beiden Werte null an, ist der z Wert null.

==Skalenerträge==
Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen haben viele Vorteile, zum Beispiel, dass sie aufgrund ihres Aufbaus leicht auf Skalenerträge untersucht werden können. Für die Untersuchung auf Skalenerträge werden alle Inputfaktoren mit einem allgemeinen Faktor <math> \lambda </math> multipliziert. Sei die Produktionsfunktion beispielsweise <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math>, wird hieraus <math> F(\lambda K, \lambda L)=(\lambda K)^{alpha}(\lambda L)^{\beta}=\lambda^{\alpha}K^{\alpha}\lambda^{beta}L^{beta}=\lambda^{\alpha+\beta}K^{\alpha}L^{\beta} </math>. Dieser Ausdruck wird mit <math> \lambda F(K,L)=\lambda K^{\alpha}L^{beta} </math> verglichen. Es fällt auf, dass die beiden Ausdrücke identisch sind mit der Ausnahme des <math> \lambda^{\alpha+\beta}</math> Ausdrucks. In dem einen Fall ist der Exponent <math> \alpha+\beta </math> und in dem anderen Fall <math> 1 </math>. Ist die Summer der beiden Exponenten größer als 1 gilt <math> F(\lambda K, \lambda L)>\lambda F(K,L) </math> 
Es gilt: 
<math> \alpha + \beta >1 \Rightarrow </math> steigende Skalenerträge 
<math> \alpha + \beta =1 \Rightarrow </math> konstante Skalenerträge 
<math> \alpha + \beta <1 \Rightarrow </math> fallende Skalenerträge 

==Grenzprodukt==
Das Grenzprodukt einer Cobb-Douglas-Funktion lässt sich bestimmen, indem die Funktion nach einer der unabhängigen Variablen abgeleitet wird. Zur Veranschaulichung soll eine Cobb-Douglas-[[Produktionsfunktion und Isoquante|Produktionsfunktion]] dienen, die auf das [[marginale Sichtweise|Grenzprodukt]] der Arbeit untersucht wird. Die Funktion lautet <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math> 
Das Grenzprodukt der Arbeit lässt sich durch <math> \frac{\part F(K,L)}{\part K}=\alpha K{\alpha -1}L^{\beta} </math> berechnen. Das Grenzprodukt ist unter Annahme der nicht negativen Mengen immer dann positiv, wenn <math> \alpha </math> positiv, d.h. größer null ist. Das Grenzprodukt ist zunehmend oder abnehmend. Das heißt jede weitere Einheit von K bringt entweder mehr oder weniger zusätzlichen Output als die Einheit zuvor. Ist die zweite partielle Ableitung nach K negativ, sinkt die Steigung und es liegt ein abnehmendes Grenzprodukt vor. Bei einer positiven zweiten partiellen Ableitung ist das Grenzprodukt zunehmend. 
<math> \frac{\part^2 F(K,L)}{\part^2 K}=\alpha (1-\alpha)K^{\alpha -2}L^{\beta} </math> 
Der Ausdruck oben ist negativ, wenn <math> \alpha </math> kleiner als 1 ist. Die Empirie zeigt, dass das Grenzprodukt häufig positiv und abnehmend ist. Hierfür muss für den Exponent gelten <math> 0<\alpha <1 </math>. 
Die Intuition bei [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Nutzenfunktionen]] und dem [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] ist analog. 
 
<math> \frac{\part F(.)}{\part x_i}<0 \Rightarrow </math> negatives Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i<0 </math> 
<math> \frac{\part F(.)}{\part x_i}>0 \Rightarrow </math> positives Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i>0 </math> 
 
<math> \frac{\part^2 F(.)}{\part^2 x_i}<0 \Rightarrow </math> abnehmendes Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i<1 </math> 
<math> \frac{\part^2 F(.)}{\part^2 x_i}>0 \Rightarrow </math> zunehmendes Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i>1 </math> 

==Produktionselastizität==
Die Exponenten der Cobb-Douglas Funktionen haben eine Bedeutung und sagen etwas über die dazugehörigen unabhängigen Variablen aus. Dies soll anhand einer Produktionsfunktion gezeigt werden. Hierfür soll untersucht werden, wie sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der beiden Inputfaktoren prozentual verändert. Im ersten Fall soll die Veränderung in K stattfinden. 
<math> \sigma_K=\frac{% \Delta Y}{% \Delta K} </math> 
<math> \sigma_K=\frac{\Delta Y /Y}{\Delta K / K}=\frac{\Delta Y}{\Delta K}\frac{K}{Y} </math> 
mit <math> \Delta \to 0 </math> 
<math> \sigma_K=\frac{\part Y}{\part K}\frac{K}{Y} </math> 
<math> \sigma_K=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta}\frac{K}{K^{\alpha}l^{\beta}} </math>
<math> \sigma_K=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta}K^{1- \alpha}L^{-\beta} </math> 
<math> \sigma_K=\alpha K^0L^0 </math> 
<math> \sigma_K=\alpha </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> \sigma_L=\beta </math> 
 
Die Produktionselastizität, also die Frage wie stark sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der Inputfaktoren prozentual verändert lässt sich durch den jeweiligen Exponenten beantworten. Eine ähnliche Intuition gilt bei Cobb-Douglas-Nutzenfunktionen.

==Maximum mit Nebenbedingung==
Cobb-Douglas-Funktionen haben den Vorteil, dass sich aufgrund ihrer For allgemein eine Lösung für das [[Haushaltsoptimum]] bzw. das [[Produktionsoptimum]] aufstellen lässt. Hierfür soll eine Cobb Douglas-Funktion <math> F(x,y)=x^{\alpha}y^{\beta} </math> mit der Nebenbedingung <math> p_xx+p_y=b </math>. Zum Maximieren lässt sich die [[Lagrange|Lagrange Funktion]] aufstellen, oder es wird direkt die GRS bzw. GRTS genutzt. 
<math> \frac{\frac{\part F}{\part x}}{\frac{\part F}{\part y}}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> \frac{\alpha x^{\alpha -1}y^{\beta}}{\beta x^{\alpha}y^{\beta -1}}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> \frac{\alpha}{\beta}\frac{y}{x}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> y=\frac{p_x}{p_y}\frac{\beta}{\alpha}x </math> 
In die Nebenbedinung eingesetzt: 
<math> p_xx+p_y(\frac{p_x}{p_y}\frac{\beta}{\alpha}x)=b </math> 
<math> p_xx(1+\frac{\beta}{\alpha}=b </math> 
<math> p_xx(\frac{\alpha +\beta}{\alpha})=b </math> 
<math> x^*=\frac{\alpha}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_x} </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> y^*=\frac{\beta}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_y} </math>

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Nutzenfunktionen ist '''keine''' Cobb-Douglas-Nutzenfunktion?
|type="()"}
- <math> U(x,y)=2x^{1}y^{2} </math>
+ <math> U(x,y)=x^{0,5}+y^{0,3} </math>
- <math> U(x,y)=(xy)^2 </math>
- <math> U(x,y)=(xy)^{0,5} </math>
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Gegeben sei eine Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^2y^{0,5} </math> und eine Budgetrestriktion <math> 1000=2x+4y </math>. Wie lauten die nutzenmaximalen Nachfragen <math> x^* </math> und <math> y^* </math>?
|type="{}"}
<math> x^* </math> = { 400 }
<math> y^* </math> = { 50 }
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Produktionselastizität <math> \alpha </math> bedeutet bei einer Produktionsfunktion <math> U(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math>, dass...
|type="()"}
- ...eine Erhöhung von K um eins eine Erhöhung des Outputs um <math> \alpha </math> bedeutet.
+ ...eine Erhöhung von K um 1% den Output um <math> \alpha </math>% erhöht.
- ...eine Erhöhung von L um 1% den Output um <math> \alpha </math>% erhöht.
- ...eine Erhöhung von K um 1% erlaubt L um <math> \alpha </math> zu reduzieren, um weiterhin auf dem selben Outputniveau zu bleiben.
</quiz>

Cobb-Douglas-Funktionen

2023-11-15T16:23:50Z

Lobin: /* Aufbau der Cobb-Douglas-Funktionen */

Cobb-Douglas-Funktionen werden häufig als Nutzenfunktionen oder Produktionsfunktionen genutzt.

__TOC__

==Aufbau der Cobb-Douglas-Funktionen==
Cobb-Douglas-Funktionen haben einen typischen Aufbau, bei dem Variablen multiplikativ miteinander verknüpft sind und einen Exponenten haben (unvollkommene Substitute). 
<math> z(x_1,...,x_n)=b\prod\limits_{i = 0}^{n}x_i^{\alpha_i} </math> mit <math> b>0 </math> 
Für die Anwendung in der Mikro I genügen zwei Variablen. Zudem kann Parameter <math> b </math> auch den Wert 1 annehmen, sodass sich <math> z(x_1,x_2)=x_1^{\alpha}x_2^{\beta} </math> ergibt. Dies kann dreidimensional dargestellt werden. 
[[Datei:CobbDouglas.png|300px|rahmenlos]] 
Charakterlich ist vor allem, dass die Variablen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> miteinander multipliziert werden. Nimmt einer der beiden Werte null an, ist der z Wert null.

==Skalenerträge==
Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen haben den Vorteil, dass sie aufgrund ihres Aufbaus leicht auf Skalenerträge untersucht werden können. Für die Untersuchung auf Skalenerträge werden alle Inputfaktoren mit einem allgemeinen Faktor <math> \lambda </math> multipliziert. Sei die Produktionsfunktion beispielsweise <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math>, wird hieraus <math> F(\lambda K, \lambda L)=(\lambda K)^{alpha}(\lambda L)^{\beta}=\lambda^{\alpha}K^{\alpha}\lambda^{beta}L^{beta}=\lambda^{\alpha+\beta}K^{\alpha}L^{\beta} </math>. Dieser Ausdruck wird mit <math> \lambda F(K,L)=\lambda K^{\alpha}L^{beta} </math> verglichen. Es fällt auf, dass die beiden Ausdrücke identisch sind mit der Ausnahme des <math> \lambda^{\alpha+\beta}</math> Ausdrucks. In dem einen Fall ist der Exponent <math> \alpha+\beta </math> und in dem anderen Fall <math> 1 </math>. Ist die Summer der beiden Exponenten größer als 1 gilt <math> F(\lambda K, \lambda L)>\lambda F(K,L) </math> 
Es gilt: 
<math> \alpha + \beta >1 \Rightarrow </math> steigende Skalenerträge 
<math> \alpha + \beta =1 \Rightarrow </math> konstante Skalenerträge 
<math> \alpha + \beta <1 \Rightarrow </math> fallende Skalenerträge 

==Grenzprodukt==
Das Grenzprodukt einer Cobb-Douglas-Funktion lässt sich bestimmen, indem die Funktion nach einer der unabhängigen Variablen abgeleitet wird. Zur Veranschaulichung soll eine Cobb-Douglas-[[Produktionsfunktion und Isoquante|Produktionsfunktion]] dienen, die auf das [[marginale Sichtweise|Grenzprodukt]] der Arbeit untersucht wird. Die Funktion lautet <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math> 
Das Grenzprodukt der Arbeit lässt sich durch <math> \frac{\part F(K,L)}{\part K}=\alpha K{\alpha -1}L^{\beta} </math> berechnen. Das Grenzprodukt ist unter Annahme der nicht negativen Mengen immer dann positiv, wenn <math> \alpha </math> positiv, d.h. größer null ist. Das Grenzprodukt ist zunehmend oder abnehmend. Das heißt jede weitere Einheit von K bringt entweder mehr oder weniger zusätzlichen Output als die Einheit zuvor. Ist die zweite partielle Ableitung nach K negativ, sinkt die Steigung und es liegt ein abnehmendes Grenzprodukt vor. Bei einer positiven zweiten partiellen Ableitung ist das Grenzprodukt zunehmend. 
<math> \frac{\part^2 F(K,L)}{\part^2 K}=\alpha (1-\alpha)K^{\alpha -2}L^{\beta} </math> 
Der Ausdruck oben ist negativ, wenn <math> \alpha </math> kleiner als 1 ist. Die Empirie zeigt, dass das Grenzprodukt häufig positiv und abnehmend ist. Hierfür muss für den Exponent gelten <math> 0<\alpha <1 </math>. 
Die Intuition bei [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Nutzenfunktionen]] und dem [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] ist analog. 
 
<math> \frac{\part F(.)}{\part x_i}<0 \Rightarrow </math> negatives Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i<0 </math> 
<math> \frac{\part F(.)}{\part x_i}>0 \Rightarrow </math> positives Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i>0 </math> 
 
<math> \frac{\part^2 F(.)}{\part^2 x_i}<0 \Rightarrow </math> abnehmendes Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i<1 </math> 
<math> \frac{\part^2 F(.)}{\part^2 x_i}>0 \Rightarrow </math> zunehmendes Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i>1 </math> 

==Produktionselastizität==
Die Exponenten der Cobb-Douglas Funktionen haben eine Bedeutung und sagen etwas über die dazugehörigen unabhängigen Variablen aus. Dies soll anhand einer Produktionsfunktion gezeigt werden. Hierfür soll untersucht werden, wie sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der beiden Inputfaktoren prozentual verändert. Im ersten Fall soll die Veränderung in K stattfinden. 
<math> \sigma_K=\frac{% \Delta Y}{% \Delta K} </math> 
<math> \sigma_K=\frac{\Delta Y /Y}{\Delta K / K}=\frac{\Delta Y}{\Delta K}\frac{K}{Y} </math> 
mit <math> \Delta \to 0 </math> 
<math> \sigma_K=\frac{\part Y}{\part K}\frac{K}{Y} </math> 
<math> \sigma_K=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta}\frac{K}{K^{\alpha}l^{\beta}} </math>
<math> \sigma_K=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta}K^{1- \alpha}L^{-\beta} </math> 
<math> \sigma_K=\alpha K^0L^0 </math> 
<math> \sigma_K=\alpha </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> \sigma_L=\beta </math> 
 
Die Produktionselastizität, also die Frage wie stark sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der Inputfaktoren prozentual verändert lässt sich durch den jeweiligen Exponenten beantworten. Eine ähnliche Intuition gilt bei Cobb-Douglas-Nutzenfunktionen.

==Maximum mit Nebenbedingung==
Cobb-Douglas-Funktionen haben den Vorteil, dass sich aufgrund ihrer For allgemein eine Lösung für das [[Haushaltsoptimum]] bzw. das [[Produktionsoptimum]] aufstellen lässt. Hierfür soll eine Cobb Douglas-Funktion <math> F(x,y)=x^{\alpha}y^{\beta} </math> mit der Nebenbedingung <math> p_xx+p_y=b </math>. Zum Maximieren lässt sich die [[Lagrange|Lagrange Funktion]] aufstellen, oder es wird direkt die GRS bzw. GRTS genutzt. 
<math> \frac{\frac{\part F}{\part x}}{\frac{\part F}{\part y}}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> \frac{\alpha x^{\alpha -1}y^{\beta}}{\beta x^{\alpha}y^{\beta -1}}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> \frac{\alpha}{\beta}\frac{y}{x}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> y=\frac{p_x}{p_y}\frac{\beta}{\alpha}x </math> 
In die Nebenbedinung eingesetzt: 
<math> p_xx+p_y(\frac{p_x}{p_y}\frac{\beta}{\alpha}x)=b </math> 
<math> p_xx(1+\frac{\beta}{\alpha}=b </math> 
<math> p_xx(\frac{\alpha +\beta}{\alpha})=b </math> 
<math> x^*=\frac{\alpha}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_x} </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> y^*=\frac{\beta}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_y} </math>

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Nutzenfunktionen ist '''keine''' Cobb-Douglas-Nutzenfunktion?
|type="()"}
- <math> U(x,y)=2x^{1}y^{2} </math>
+ <math> U(x,y)=x^{0,5}+y^{0,3} </math>
- <math> U(x,y)=(xy)^2 </math>
- <math> U(x,y)=(xy)^{0,5} </math>
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Gegeben sei eine Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^2y^{0,5} </math> und eine Budgetrestriktion <math> 1000=2x+4y </math>. Wie lauten die nutzenmaximalen Nachfragen <math> x^* </math> und <math> y^* </math>?
|type="{}"}
<math> x^* </math> = { 400 }
<math> y^* </math> = { 50 }
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Produktionselastizität <math> \alpha </math> bedeutet bei einer Produktionsfunktion <math> U(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math>, dass...
|type="()"}
- ...eine Erhöhung von K um eins eine Erhöhung des Outputs um <math> \alpha </math> bedeutet.
+ ...eine Erhöhung von K um 1% den Output um <math> \alpha </math>% erhöht.
- ...eine Erhöhung von L um 1% den Output um <math> \alpha </math>% erhöht.
- ...eine Erhöhung von K um 1% erlaubt L um <math> \alpha </math> zu reduzieren, um weiterhin auf dem selben Outputniveau zu bleiben.
</quiz>

Cobb-Douglas-Funktionen

2023-11-15T16:22:12Z

Lobin:

Cobb-Douglas-Funktionen werden häufig als Nutzenfunktionen oder Produktionsfunktionen genutzt.

__TOC__

==Aufbau der Cobb-Douglas-Funktionen==
Cobb-Douglas-Funktionen haben einen typischen Aufbau, bei dem Variablen multiplikativ miteinander verknüpft sind und einen Exponenten haben. 
<math> z(x_1,...,x_n)=b\prod\limits_{i = 0}^{n}x_i^{\alpha_i} </math> mit <math> b>0 </math> 
Für die Anwendung in der Mikro I genügen zwei Variablen. Zudem kann Parameter <math> b </math> auch den Wert 1 annehmen, sodass sich <math> z(x_1,x_2)=x_1^{\alpha}x_2^{\beta} </math> ergibt. Dies kann dreidimensional dargestellt werden. 
[[Datei:CobbDouglas.png|300px|rahmenlos]] 
Charakterlich ist vor allem, dass die Variablen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> miteinander multipliziert werden. Nimmt einer der beiden Werte null an, ist der z Wert null.

==Skalenerträge==
Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen haben den Vorteil, dass sie aufgrund ihres Aufbaus leicht auf Skalenerträge untersucht werden können. Für die Untersuchung auf Skalenerträge werden alle Inputfaktoren mit einem allgemeinen Faktor <math> \lambda </math> multipliziert. Sei die Produktionsfunktion beispielsweise <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math>, wird hieraus <math> F(\lambda K, \lambda L)=(\lambda K)^{alpha}(\lambda L)^{\beta}=\lambda^{\alpha}K^{\alpha}\lambda^{beta}L^{beta}=\lambda^{\alpha+\beta}K^{\alpha}L^{\beta} </math>. Dieser Ausdruck wird mit <math> \lambda F(K,L)=\lambda K^{\alpha}L^{beta} </math> verglichen. Es fällt auf, dass die beiden Ausdrücke identisch sind mit der Ausnahme des <math> \lambda^{\alpha+\beta}</math> Ausdrucks. In dem einen Fall ist der Exponent <math> \alpha+\beta </math> und in dem anderen Fall <math> 1 </math>. Ist die Summer der beiden Exponenten größer als 1 gilt <math> F(\lambda K, \lambda L)>\lambda F(K,L) </math> 
Es gilt: 
<math> \alpha + \beta >1 \Rightarrow </math> steigende Skalenerträge 
<math> \alpha + \beta =1 \Rightarrow </math> konstante Skalenerträge 
<math> \alpha + \beta <1 \Rightarrow </math> fallende Skalenerträge 

==Grenzprodukt==
Das Grenzprodukt einer Cobb-Douglas-Funktion lässt sich bestimmen, indem die Funktion nach einer der unabhängigen Variablen abgeleitet wird. Zur Veranschaulichung soll eine Cobb-Douglas-[[Produktionsfunktion und Isoquante|Produktionsfunktion]] dienen, die auf das [[marginale Sichtweise|Grenzprodukt]] der Arbeit untersucht wird. Die Funktion lautet <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math> 
Das Grenzprodukt der Arbeit lässt sich durch <math> \frac{\part F(K,L)}{\part K}=\alpha K{\alpha -1}L^{\beta} </math> berechnen. Das Grenzprodukt ist unter Annahme der nicht negativen Mengen immer dann positiv, wenn <math> \alpha </math> positiv, d.h. größer null ist. Das Grenzprodukt ist zunehmend oder abnehmend. Das heißt jede weitere Einheit von K bringt entweder mehr oder weniger zusätzlichen Output als die Einheit zuvor. Ist die zweite partielle Ableitung nach K negativ, sinkt die Steigung und es liegt ein abnehmendes Grenzprodukt vor. Bei einer positiven zweiten partiellen Ableitung ist das Grenzprodukt zunehmend. 
<math> \frac{\part^2 F(K,L)}{\part^2 K}=\alpha (1-\alpha)K^{\alpha -2}L^{\beta} </math> 
Der Ausdruck oben ist negativ, wenn <math> \alpha </math> kleiner als 1 ist. Die Empirie zeigt, dass das Grenzprodukt häufig positiv und abnehmend ist. Hierfür muss für den Exponent gelten <math> 0<\alpha <1 </math>. 
Die Intuition bei [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Nutzenfunktionen]] und dem [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] ist analog. 
 
<math> \frac{\part F(.)}{\part x_i}<0 \Rightarrow </math> negatives Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i<0 </math> 
<math> \frac{\part F(.)}{\part x_i}>0 \Rightarrow </math> positives Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i>0 </math> 
 
<math> \frac{\part^2 F(.)}{\part^2 x_i}<0 \Rightarrow </math> abnehmendes Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i<1 </math> 
<math> \frac{\part^2 F(.)}{\part^2 x_i}>0 \Rightarrow </math> zunehmendes Grenzprodukt/Grenznutzen bei <math> \alpha_i>1 </math> 

==Produktionselastizität==
Die Exponenten der Cobb-Douglas Funktionen haben eine Bedeutung und sagen etwas über die dazugehörigen unabhängigen Variablen aus. Dies soll anhand einer Produktionsfunktion gezeigt werden. Hierfür soll untersucht werden, wie sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der beiden Inputfaktoren prozentual verändert. Im ersten Fall soll die Veränderung in K stattfinden. 
<math> \sigma_K=\frac{% \Delta Y}{% \Delta K} </math> 
<math> \sigma_K=\frac{\Delta Y /Y}{\Delta K / K}=\frac{\Delta Y}{\Delta K}\frac{K}{Y} </math> 
mit <math> \Delta \to 0 </math> 
<math> \sigma_K=\frac{\part Y}{\part K}\frac{K}{Y} </math> 
<math> \sigma_K=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta}\frac{K}{K^{\alpha}l^{\beta}} </math>
<math> \sigma_K=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta}K^{1- \alpha}L^{-\beta} </math> 
<math> \sigma_K=\alpha K^0L^0 </math> 
<math> \sigma_K=\alpha </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> \sigma_L=\beta </math> 
 
Die Produktionselastizität, also die Frage wie stark sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der Inputfaktoren prozentual verändert lässt sich durch den jeweiligen Exponenten beantworten. Eine ähnliche Intuition gilt bei Cobb-Douglas-Nutzenfunktionen.

==Maximum mit Nebenbedingung==
Cobb-Douglas-Funktionen haben den Vorteil, dass sich aufgrund ihrer For allgemein eine Lösung für das [[Haushaltsoptimum]] bzw. das [[Produktionsoptimum]] aufstellen lässt. Hierfür soll eine Cobb Douglas-Funktion <math> F(x,y)=x^{\alpha}y^{\beta} </math> mit der Nebenbedingung <math> p_xx+p_y=b </math>. Zum Maximieren lässt sich die [[Lagrange|Lagrange Funktion]] aufstellen, oder es wird direkt die GRS bzw. GRTS genutzt. 
<math> \frac{\frac{\part F}{\part x}}{\frac{\part F}{\part y}}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> \frac{\alpha x^{\alpha -1}y^{\beta}}{\beta x^{\alpha}y^{\beta -1}}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> \frac{\alpha}{\beta}\frac{y}{x}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
<math> y=\frac{p_x}{p_y}\frac{\beta}{\alpha}x </math> 
In die Nebenbedinung eingesetzt: 
<math> p_xx+p_y(\frac{p_x}{p_y}\frac{\beta}{\alpha}x)=b </math> 
<math> p_xx(1+\frac{\beta}{\alpha}=b </math> 
<math> p_xx(\frac{\alpha +\beta}{\alpha})=b </math> 
<math> x^*=\frac{\alpha}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_x} </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> y^*=\frac{\beta}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_y} </math>

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Nutzenfunktionen ist '''keine''' Cobb-Douglas-Nutzenfunktion?
|type="()"}
- <math> U(x,y)=2x^{1}y^{2} </math>
+ <math> U(x,y)=x^{0,5}+y^{0,3} </math>
- <math> U(x,y)=(xy)^2 </math>
- <math> U(x,y)=(xy)^{0,5} </math>
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Gegeben sei eine Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^2y^{0,5} </math> und eine Budgetrestriktion <math> 1000=2x+4y </math>. Wie lauten die nutzenmaximalen Nachfragen <math> x^* </math> und <math> y^* </math>?
|type="{}"}
<math> x^* </math> = { 400 }
<math> y^* </math> = { 50 }
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Produktionselastizität <math> \alpha </math> bedeutet bei einer Produktionsfunktion <math> U(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math>, dass...
|type="()"}
- ...eine Erhöhung von K um eins eine Erhöhung des Outputs um <math> \alpha </math> bedeutet.
+ ...eine Erhöhung von K um 1% den Output um <math> \alpha </math>% erhöht.
- ...eine Erhöhung von L um 1% den Output um <math> \alpha </math>% erhöht.
- ...eine Erhöhung von K um 1% erlaubt L um <math> \alpha </math> zu reduzieren, um weiterhin auf dem selben Outputniveau zu bleiben.
</quiz>

Mathematische Eigenschaften von Funktionen

2023-11-13T17:26:37Z

Lobin: /* Konvex und Konkav */

==Definition==
Eine Funktion ordnet einer unabhängigen Variable eines Definitionsbereichs (<math> D </math>) genau einen Wert (abhängige Variable) der Zielmenge (<math> Z </math>) zu. 
<math> D \to Z </math> , <math> x\to y </math>

__TOC__

==Funktionen==
Funktionen können univariat oder auch multivariat sein. Der Unterschied besteht darin, wie viele unabhängige Variablen Teil der Funktionsgleichung sind. 
 
'''Univariate Funktionen''' 
Am bekanntesten sind sicherlich univariate Funktionen mit nur einer unabhängigen Variable. Eine unabhängige Variable wird so genannt, da sie von keinen weiteren Variablen abhängig ist. 
''Beispiel'': In der Funktion <math> y(x)=15-2x^2 </math> ist <math> x </math> von nichts abhängig. Für <math>x</math> können alle Werte eingesetzt werden, sollte kein anderer Definitionsbereich festgelegt sein. y ist hingegen abhängig von x. Jenachdem welcher x Wert eingesetzt wird, ändert sich der Wert von y. 
Eine Funktionsgleichung kann als eine Art Anleitung gelesen werden. Lautet die Funktion beispielsweise <math>y(x)=x^2+10</math>, wäre die Anleitung "Um den zum x zugehörigen y Wert zu erhalten, nehme den entsprechenden x-Wert, quadriere ihn und addiere 10 dazu". Ist x beispielsweise 2, ist y 14. Wird dies mit mehreren x Werten berechnet und die entsprechenden Werte in ein x-y-Diagramm eingezeichnet, entsteht ein Graph, der die Funktionsgleichung abbildet. 
[[Datei:Funktion1.png|300px|rahmenlos]] 
In dem Beispiel oben ist dies mit der Funktion <math> f(x)=\frac{1}{16}x^2 </math> geschehen. Jedem x-Wert kann ein y-Wert zugeordnet werden. 
'''Multivariate Funktionen''' 
Multivariate Funktionen haben viele unabhängige Variablen. <math> f(x_1,x_2,x_3,...,x_n) </math> ist eine Multivariate Funktion mit <math> n </math> unabhängigen Variablen. Die Vorgehensweise ist identisch zu univariaten Funktionen. Zur grafischen Darstellung soll eine Bivriate Funktion ausreichen. In diesem Fall lautet die Funktion <math> U(C,F)=F^{\frac{2}{3}}C^{\frac{1}{3}} </math>. Für einen bestimmten Wert von C und von F kommt ein Wert für U aus. Ist C beispielsweise 1 und F 8, beträgt der Wert von U gerundet 2. Wird dies für alle Werte für C und F gemacht, ergibt sich eine grafische Abbildung der Funktion. 
[[Datei:Nutzenfunktion.jpg|400px|rahmenlos]] 
 
Im Kontext der Veranstaltung Mikroökonomie sind sowohl univariate als auch multivariate Funktionen relevant.

==Steigung==
Die Steigung einer Funktion kann punktuell ([[margiale Sichtweise|marginal]]) oder auch zwischen zwei Punkten ermittelt werden. Die Steigung ermittelt die Veränderung der abhängigen Variable relativ zur Veränderung der unabhängigen Variable. Angenommen die unabhängige Variable ist x und die abhängige Variable ist y, dann lässt sich die Steigung mittels 
<math> Steigung=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} </math> 
berechnen. Ist die Steigung in einem Punkt gefragt, muss das <math> \Delta x </math> gegen null streben. Dieses Vorgehen ist im Differenzenquotienten beschrieben und hat die erste Ableitung zur Folge. Die erste Ableitung gibt das Steigungsdreieck in einem marginalen Punkt an. In dem unten dargestellten Beispiel wird die Differenz zwischen den beiden Punkten <math> x=4 </math> und <math> x=8 </math> verringert, in dem der Punkt, der ursprünglich in <math> x=4 </math> lag, immer weiter Richtung <math> x=8 </math> verschoben wird, bis er auf diesem Punkt liegt (<math> \Delta x \to 0 </math>). 
[[Datei:Funktion2.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:Funktion3.png|400px|rahmenlos]]
 
 
Die Steigung in der linken Abbildung lässt sich durch <math> \frac{4-1}{8-4}=0,75 </math> berechnen. Für die Steigung der rechten Abbildung benötigt es die erste Ableitung. Die erste Ableitung einer Funktion wird auch Steigungsfunktion genannt, da der y-Wert der ersten Ableitung immer die Steigung in einem Punkt der ursprünglichen Funktion angibt. Wenn nun die Steigung in dem Punkt <math> x=8 </math> gefragt ist, muss <math> x=8 </math> in die erste Ableitung eingesetzt werden. Die Funktion lautet <math> f(x)=\frac{1}{16}x^2 </math> und die erste Ableitung daher <math> f'(x)=\frac{1}{8}x </math>. Mit <math> f(8) </math> ergibt sich die Steigung von 1.

==Konvex und Konkav==
Das Krümmungsverhalten einer Funktion wird mit Konkavität bzw. Konvexität beschrieben. Eine konkave Funktion ist über ihren Funktionsverlauf rechtsgekrümmt, während eine konvexe Funktion linksgekrümmt ist. Ein Auto, das die Funktion als Straße entlangfährt, müsste immer links eingelenkt sei, wenn die Funktion konvex ist und es müsste rechts eingelenkt sein, wenn die Funktion konkav ist. Mathematisch korrekt bedeutet dies, dass die Steigung bei einer konvexen Funktion immer größer wird. Die Steigung einer konkaven Funktion wird immer kleiner. Wenn die Steigung zunimmt, ist die Funktion konvex und die zweite Ableitung muss positiv sein (zweite Ableitung = Steigung der Steigung). Sinkt die Steigung, wird sie immer kleiner und die zweite Ableitung muss negativ sein. 
<math> \frac{\part^2f(x)}{\part^2 x}>0 \, \Rightarrow \, konvex </math> 
<math> \frac{\part^2f(x)}{\part^2 x}<0 \, \Rightarrow \, konkav </math> 
[[Datei:Konvex.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:Konkav.png|400px|rahmenlos]]
 
 
In der Abbildung links ist erkennbar, dass die Funktion erst sehr steil fällt und immer flacher wird, bis die Funktion steigt. Danach steigt sie immer stärker an und würde man eine Linie durch zwei Punkte auf der Funktion zeichnen, verläuft die Funktion darunter. Auf der der Abbildung rechts ist das Gegenteil zu sehen. Die Steigung der Funktion wird immer kleiner, bis sie negativ wird und dann fällt sie immer stärker ab.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Funktionen hat '''keine''' positive Steigung?
|type="()"}
- <math display="inline"> f(x)=e^x </math>.
- <math display="inline"> f(x)=-x^2 </math> für <math> x<0 </math>.
+ <math display="inline"> f(x)=-ln(x) </math> für <math> x>0 </math>.
- <math display="inline"> f(x)=x^3 </math> für <math> x>0 </math>.
</quiz>

[[Datei:ME MC1.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:ME MC2.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:ME MC3.png|300px|rahmenlos]]
<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welche der drei Abbildungen oben ist eine Funktion?
|type="()"}
- Abbildung 1
- Abbildung 2
+ Abbildung 3
- Keine der Abbildungen
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{welche der folgenden Funktionen ist konkav?
|type="()"}
- <math display="inline"> f(x)=e^{-x} </math>
- <math display="inline"> f(x)=e^x </math>
+ <math display="inline"> f(x)=ln(x) </math>
- <math display="inline"> f(x)=e^{{(-x)}^2} </math>
</quiz>

Mathematische Eigenschaften von Funktionen

2023-11-13T17:22:28Z

Lobin: /* Funktionen */

==Definition==
Eine Funktion ordnet einer unabhängigen Variable eines Definitionsbereichs (<math> D </math>) genau einen Wert (abhängige Variable) der Zielmenge (<math> Z </math>) zu. 
<math> D \to Z </math> , <math> x\to y </math>

__TOC__

==Funktionen==
Funktionen können univariat oder auch multivariat sein. Der Unterschied besteht darin, wie viele unabhängige Variablen Teil der Funktionsgleichung sind. 
 
'''Univariate Funktionen''' 
Am bekanntesten sind sicherlich univariate Funktionen mit nur einer unabhängigen Variable. Eine unabhängige Variable wird so genannt, da sie von keinen weiteren Variablen abhängig ist. 
''Beispiel'': In der Funktion <math> y(x)=15-2x^2 </math> ist <math> x </math> von nichts abhängig. Für <math>x</math> können alle Werte eingesetzt werden, sollte kein anderer Definitionsbereich festgelegt sein. y ist hingegen abhängig von x. Jenachdem welcher x Wert eingesetzt wird, ändert sich der Wert von y. 
Eine Funktionsgleichung kann als eine Art Anleitung gelesen werden. Lautet die Funktion beispielsweise <math>y(x)=x^2+10</math>, wäre die Anleitung "Um den zum x zugehörigen y Wert zu erhalten, nehme den entsprechenden x-Wert, quadriere ihn und addiere 10 dazu". Ist x beispielsweise 2, ist y 14. Wird dies mit mehreren x Werten berechnet und die entsprechenden Werte in ein x-y-Diagramm eingezeichnet, entsteht ein Graph, der die Funktionsgleichung abbildet. 
[[Datei:Funktion1.png|300px|rahmenlos]] 
In dem Beispiel oben ist dies mit der Funktion <math> f(x)=\frac{1}{16}x^2 </math> geschehen. Jedem x-Wert kann ein y-Wert zugeordnet werden. 
'''Multivariate Funktionen''' 
Multivariate Funktionen haben viele unabhängige Variablen. <math> f(x_1,x_2,x_3,...,x_n) </math> ist eine Multivariate Funktion mit <math> n </math> unabhängigen Variablen. Die Vorgehensweise ist identisch zu univariaten Funktionen. Zur grafischen Darstellung soll eine Bivriate Funktion ausreichen. In diesem Fall lautet die Funktion <math> U(C,F)=F^{\frac{2}{3}}C^{\frac{1}{3}} </math>. Für einen bestimmten Wert von C und von F kommt ein Wert für U aus. Ist C beispielsweise 1 und F 8, beträgt der Wert von U gerundet 2. Wird dies für alle Werte für C und F gemacht, ergibt sich eine grafische Abbildung der Funktion. 
[[Datei:Nutzenfunktion.jpg|400px|rahmenlos]] 
 
Im Kontext der Veranstaltung Mikroökonomie sind sowohl univariate als auch multivariate Funktionen relevant.

==Steigung==
Die Steigung einer Funktion kann punktuell ([[margiale Sichtweise|marginal]]) oder auch zwischen zwei Punkten ermittelt werden. Die Steigung ermittelt die Veränderung der abhängigen Variable relativ zur Veränderung der unabhängigen Variable. Angenommen die unabhängige Variable ist x und die abhängige Variable ist y, dann lässt sich die Steigung mittels 
<math> Steigung=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} </math> 
berechnen. Ist die Steigung in einem Punkt gefragt, muss das <math> \Delta x </math> gegen null streben. Dieses Vorgehen ist im Differenzenquotienten beschrieben und hat die erste Ableitung zur Folge. Die erste Ableitung gibt das Steigungsdreieck in einem marginalen Punkt an. In dem unten dargestellten Beispiel wird die Differenz zwischen den beiden Punkten <math> x=4 </math> und <math> x=8 </math> verringert, in dem der Punkt, der ursprünglich in <math> x=4 </math> lag, immer weiter Richtung <math> x=8 </math> verschoben wird, bis er auf diesem Punkt liegt (<math> \Delta x \to 0 </math>). 
[[Datei:Funktion2.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:Funktion3.png|400px|rahmenlos]]
 
 
Die Steigung in der linken Abbildung lässt sich durch <math> \frac{4-1}{8-4}=0,75 </math> berechnen. Für die Steigung der rechten Abbildung benötigt es die erste Ableitung. Die erste Ableitung einer Funktion wird auch Steigungsfunktion genannt, da der y-Wert der ersten Ableitung immer die Steigung in einem Punkt der ursprünglichen Funktion angibt. Wenn nun die Steigung in dem Punkt <math> x=8 </math> gefragt ist, muss <math> x=8 </math> in die erste Ableitung eingesetzt werden. Die Funktion lautet <math> f(x)=\frac{1}{16}x^2 </math> und die erste Ableitung daher <math> f'(x)=\frac{1}{8}x </math>. Mit <math> f(8) </math> ergibt sich die Steigung von 1.

==Konvex und Konkav==
Das Krümmungsverhalten einer Funktion wird mit Konkavität bzw. Konvexität beschrieben. Eine konkave Funktion ist über ihren Funktionsverlauf rechtsgekrümmt, während eine konvexe Funktion linksgekrümmt ist. Ein Auto, das die Funktion als Straße entlangfährt, müsste immer links eingelenkt sei, wenn die Funktion konvex ist und es müsste rechts eingelenkt sein, wenn die Funktion konkav ist. Mathematisch korrekt bedeutet dies, dass die Steigung bei einer konvexen Funktion immer größer wird. Die Steigung einer konkaven Funktion wird immer kleiner. Wenn die Steigung zunimmt, ist die Funktion konvex und die zweite Ableitung muss positiv sein. sinkt die Steigung, wird sie immer kleiner und die zweite Funktion muss negativ sein. 
<math> \frac{\part^2f(x)}{\part^2 x}>0 \, \Rightarrow \, konvex </math> 
<math> \frac{\part^2f(x)}{\part^2 x}<0 \, \Rightarrow \, konkav </math> 
[[Datei:Konvex.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:Konkav.png|400px|rahmenlos]]
 
 
In der Abbildung links ist erkennbar, dass die Funktion erst sehr steil fällt und immer flacher wird, bis die die Funktion steigt. Danach steigt sie immer stärker an und würde man eine Linie durch zwei Punkte auf der Funktion zeichnen, verläuft die Funktion darunter. Auf der der Abbildung rechts ist das Gegenteil zu sehen. Die Steigung der Funktion wird immer kleiner, bis sie negativ wird und dann fällt sie immer stärker ab.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Funktionen hat '''keine''' positive Steigung?
|type="()"}
- <math display="inline"> f(x)=e^x </math>.
- <math display="inline"> f(x)=-x^2 </math> für <math> x<0 </math>.
+ <math display="inline"> f(x)=-ln(x) </math> für <math> x>0 </math>.
- <math display="inline"> f(x)=x^3 </math> für <math> x>0 </math>.
</quiz>

[[Datei:ME MC1.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:ME MC2.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:ME MC3.png|300px|rahmenlos]]
<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welche der drei Abbildungen oben ist eine Funktion?
|type="()"}
- Abbildung 1
- Abbildung 2
+ Abbildung 3
- Keine der Abbildungen
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{welche der folgenden Funktionen ist konkav?
|type="()"}
- <math display="inline"> f(x)=e^{-x} </math>
- <math display="inline"> f(x)=e^x </math>
+ <math display="inline"> f(x)=ln(x) </math>
- <math display="inline"> f(x)=e^{{(-x)}^2} </math>
</quiz>

Lagrange

2023-11-13T17:08:48Z

Lobin: /* Die Bedeutung von Lambda */

Das Langrangeverfahren ist eine Möglichkeit Funktionen mit einer Nebenbedingung zu maximieren oder zu minimieren. In diesem Verfahren wird davon ausgegangen, dass die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt sein muss.

__TOC__

==Das Problem==
Es treten häufig Fragestellungen auf, wie ein Haushalt den Konsum so wählt, dass der Nutzen möglichst groß (maximiert) ist. Oder der Kostenminimale Produktionspunkt eines Unternehmens wird gesucht. Im Weiteren liegt der Fokus auf dem Maximierungsproblem. 
Im Falle der Nutzenmaximierung soll der Nutzen möglichst groß sein. In einem Beispiel hat ein Haushalt die Möglichkeit Güter <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> zu konsumieren. Der Haushalt muss dementsprechend sein Nutzen in Bezug auf den Konsum von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> maximieren: <math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> 
Unter der Annahme der [[Axiome der Nutzentheorie#Monotonie|Monotonie]] ("Mehr ist besser"), maximiert der Haushalt seinen Nutzen, indem er möglichst viel von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> konsumiert. Kann ein Haushalt sehr unendlich viel, von beiden Gütern konsumiert und Monotonie gilt, ist die Maximierungsaufgabe schon gelöst. In den meisten Fällen ist dies jedoch nicht möglich. Zum einen existieren nicht unendlich viele Einheiten der Güter (dies spielt in der [[Edgeworth-Box]] eine große Rolle) und zum anderen hat ein Haushalt auch nicht das Einkommen zur Verfügung, um sich unendlich viele Güter leisten zu können. Im Normalfall unterliegen Haushalte einer [[Budgetrestriktion und Budgetgerade|Budgetrestriktion]]. Die Budgetrestriktion ist in <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math> beschrieben, wobei E das Budget darstellt. Die eigentliche Maximierungsaufgabe besteht dementsprechend darin den Nutzen zu maximieren und das Budget einzuhalten. (u.d.NB.=unter der Nebenbedingung) 
<math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> u.d.NB <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math>

==Langrangefunktion==
Die Lagrangefunktion wird aufgestellt, indem von der Nutzenfunktion ein zweiter Term abgezogen wird. Der zweite Term besteht aus der Budgetrestriktion, die nach null umgestellt und mit einer Variablen (dem Langrange Multiplikator) multipliziert wird. Die Langrangefunktion ist damit abhängig von <math> x_1 </math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>: 
<math> \mathcal{L}(x_1,x_2, \lambda)=U(x_1,x_2)-\lambda(p_1x_1+p_2x_2-E) </math> 
Für das Ergebnis vom optimalen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ist es irrelevant, ob vor dem Komma ein + oder ein - steht. Es ist ebenfalls irrelevant, ob in der Nebenbedingung der linke oder der rechte Teil auf die andere Seite gebracht wird. Für [[Lagrange#Die Bedeutung von Lambda|die Bedeutung von Lambda]] hat dies jedoch durchaus Relevanz. Um allein das optimale Konsumniveau von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> auszurechnen, muss formal auf die genannten Dinge keine Rücksicht genommen werden. Um <math> \lambda </math> zu deuten, gilt es jedoch die obige Notation beizubehalten.

==Bedingungen erster Ordnung==
Die Langrangefunktion beschreibt das Maximierungsproblem in einer Art, die aufgrund des <math> \lambda </math> nur schwer grafisch vorstellbar ist. Die Vorgehensweise ist im ersten Schritt jedoch ähnlich zu einem simplen [[Maximieren|univariaten Maximierungsproblem]]. Es muss die Funktion nach den Variablen abgeleitet werden, für die der Nutzen maximiert werden soll. Die erste Ableitung muss gleich null sein (Bedingung erster Ordnung oder FOC=First order condition). Zudem muss weitergehend beachtet werden, dass die Budgetrestriktion eingehalten werden muss. Die FOCs stellen ein Gleichungssystem dar, das es zu lösen gilt. 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_1}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}-\lambda p_1 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_2}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}-\lambda p_2 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> p_1x_1+p_2x_2-E \stackrel{!}{=}0 </math>

==Lösung des Maximierungsproblems==
Die [[Lagrange#FOC|First order Conditions]] stellen ein Gleichungsystem dar. Es existieren drei unbekannte (<math> x_1</math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>) und drei Gleichungen. Zum Lösen des Systems gibt es verschiedene Wege. Eine der ersten beiden Gleichungen kann nach <math> \lambda </math> umgestellt und in die andere der oberen beiden Gleichungen eingesetzt werden. Es ist auch möglich die oberen beiden Gleichungen beide nach <math> \lambda </math> umzustellen und anschließend gleichzusetzen. Es kann auch direkt die erste durch die zweite Gleichung dividiert werden. 
Als Beispiel sollen die ersten beiden Gleichungen nach <math> \lambda </math> ugestellt werden. Es ergibt sich: 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1 </math> 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> 
Da <math> \lambda=\lambda </math> ergibt sich: 
<math> \frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> oder weiter umgestellt 
<math> \frac{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}}{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Die linke Seite des Ausdrucks entspricht der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution|GRS]]. Dieser Ausdruck kann wiederum nach <math> x_1 </math> oder <math> x_2 </math> umgestellt werden, welche beide im [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] stecken. Es ergibt sich beispielweise ein Ausdruck,<math> x_1(x_2) </math> , der abhängig von der anderen variable <math> x_2 </math> ist. Dieser lässt sich in die Budgetrestriktion einsetzen, die vorher <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> beinhaltete. Nach der Substitution ist in der Budgetrestriktion nur noch eine Unbekannte <math> x_2 </math> vorhanden, nach der umgestellt werden kann. Es ergibt sich beispielsweise mit der Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=x_1x_2 </math> folgende Gleichung: 
<math> \frac{x_2}{x_1}=\frac{p_1}{p_2} </math> umgestellt nach <math> x_2 </math> ergibt sich <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math>. 
Dieser Ausdruck kann in die Budgetrestriktion für <math> x_2 </math> eingesetzt werden: 
<math> p_1x_1+p_2(\frac{p_1}{p_2}x_1)=E </math> 
Nun kann für eine Lösung nach <math> x^*_1 </math> umgestellt werden. Das Ergebnis eingesetzt in <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math> ergibt das optimale Konsumniveau von <math> x^*_2 </math>.

==Die Bedeutung von Lambda==
Die [[Lagrange#Langrangefunktion|Langrangefunktion]] unterstellt, dass für <math> \lambda </math> die Nebenbedingung erfüllt ist. Sie sucht also Wert <math> x^*_1 </math> und <math> x^*_2 </math>, für die das Budget nicht überschritten wird. Dafür führt das Langrangeverfahren den Lagrange Mutiplikator <math> \lambda </math> als eine Art Schattenpreis ein, den der Haushalt zahlen muss, wenn das Budget nicht eingehalten wird. Dies hat auch den Grund, warum für die richtige Interpretation von <math> \lambda </math> die Notation wichtig ist. Der Schattenpreis ist positiv. Sind die Konsumausgaben dementsprechend größer als das Budget, gilt <math> p_1x_1+p_2x_2>E </math> und dementsprechend <math> p_1x_1+p_2x_2-E>0 </math>. Da vor <math> \lambda </math> eine negatives Vorzeichen steht, wird von dem Nutzen etwas abgezogen, wenn die Konsumausgaben größer sind als das Budget. Gleichzeitig wird zum Nutzen etwas addiert, wenn die Konsumausgaben kleiner sind als das Budget. Im [[Haushaltsoptimum]] ist der Schattenpreis so gewählt, dass die Budgetrestriktion mit Gleichheit erfüllt ist. <math> \lambda </math> lässt sich berechnen, indem die Ausgerechneten optimalen Konsumniveaus in einer der beiden FOC Gleichungen eingesetzt und nach <math> \lambda </math> aufgelöst wird. 

Es lässt sich außerdem zeigen, dass <math> \lambda </math> der Grenznutzen des Einkommens ist. Steigt das Einkommen, steigt auch das Nutzenniveau im Optimum um <math> \lambda </math> Einheiten. (Für den Beweis siehe [[https://www.dropbox.com/scl/fi/r08jdx96k34h0sezg6jdc/Derivation_of_the_meaning_of_Lambda.pdf?rlkey=sq0futxbzz539dlg5dispw990&dl=0|hier]])

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage muss basierend auf den FOCs des Lagrangeverfahrens immer stimmen? Ein Konsument konsumiert zwei Güter (A und B). Im optimalen Konsumpunkt...
|type="()"}
+ ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von A dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von B
- ... entspricht der Grenznutzen von A dem Grenznutzen von B.
- ... entspricht der Grenznutzen von A mal dem Preis von A dem Grenznutzen von B mal dem Preis von B.
- ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von B dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von A.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{In welchem der Fälle ist das Lagrangeverfahren ohne Weiteres anwendbar?
|type="()"}
+ Wenn die Nutzenfunktion konvex ist.
- Wenn die Nutzenfunktion nicht differenzierbar ist.
- Wenn im optimalen Punkt nicht das gesammte Budget ausgeben wird.
- Wenn die Nebenbedingung nicht differenzierbar ist.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der Aussagen ist wahr?
|type="()"}
+ Das Lagrangeverfahren ist auch mit meheren Nebenbedingungen möglich.
- Die Hinreichende Bedingung zur Überprüfung auf ein Maximum ist bei einem Nutzenmaximierung-Probem mathematisch korrekt nie notwendig, da es sich rein formal immer nur um ein Maximum handeln kann.
- Der Lagrangemutiplikator <math> \lambda </math> hat keine Bedeutung.
- Ungeachtet des Preisverhältnisses ist eine rechnerische Lösung des Lagrangeverfahrens mit negativen Mengen nicht möglich.
</quiz>

Lagrange

2023-11-13T17:06:48Z

Lobin: /* Lösung des Maximierungsproblems */

Das Langrangeverfahren ist eine Möglichkeit Funktionen mit einer Nebenbedingung zu maximieren oder zu minimieren. In diesem Verfahren wird davon ausgegangen, dass die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt sein muss.

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==Das Problem==
Es treten häufig Fragestellungen auf, wie ein Haushalt den Konsum so wählt, dass der Nutzen möglichst groß (maximiert) ist. Oder der Kostenminimale Produktionspunkt eines Unternehmens wird gesucht. Im Weiteren liegt der Fokus auf dem Maximierungsproblem. 
Im Falle der Nutzenmaximierung soll der Nutzen möglichst groß sein. In einem Beispiel hat ein Haushalt die Möglichkeit Güter <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> zu konsumieren. Der Haushalt muss dementsprechend sein Nutzen in Bezug auf den Konsum von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> maximieren: <math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> 
Unter der Annahme der [[Axiome der Nutzentheorie#Monotonie|Monotonie]] ("Mehr ist besser"), maximiert der Haushalt seinen Nutzen, indem er möglichst viel von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> konsumiert. Kann ein Haushalt sehr unendlich viel, von beiden Gütern konsumiert und Monotonie gilt, ist die Maximierungsaufgabe schon gelöst. In den meisten Fällen ist dies jedoch nicht möglich. Zum einen existieren nicht unendlich viele Einheiten der Güter (dies spielt in der [[Edgeworth-Box]] eine große Rolle) und zum anderen hat ein Haushalt auch nicht das Einkommen zur Verfügung, um sich unendlich viele Güter leisten zu können. Im Normalfall unterliegen Haushalte einer [[Budgetrestriktion und Budgetgerade|Budgetrestriktion]]. Die Budgetrestriktion ist in <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math> beschrieben, wobei E das Budget darstellt. Die eigentliche Maximierungsaufgabe besteht dementsprechend darin den Nutzen zu maximieren und das Budget einzuhalten. (u.d.NB.=unter der Nebenbedingung) 
<math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> u.d.NB <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math>

==Langrangefunktion==
Die Lagrangefunktion wird aufgestellt, indem von der Nutzenfunktion ein zweiter Term abgezogen wird. Der zweite Term besteht aus der Budgetrestriktion, die nach null umgestellt und mit einer Variablen (dem Langrange Multiplikator) multipliziert wird. Die Langrangefunktion ist damit abhängig von <math> x_1 </math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>: 
<math> \mathcal{L}(x_1,x_2, \lambda)=U(x_1,x_2)-\lambda(p_1x_1+p_2x_2-E) </math> 
Für das Ergebnis vom optimalen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ist es irrelevant, ob vor dem Komma ein + oder ein - steht. Es ist ebenfalls irrelevant, ob in der Nebenbedingung der linke oder der rechte Teil auf die andere Seite gebracht wird. Für [[Lagrange#Die Bedeutung von Lambda|die Bedeutung von Lambda]] hat dies jedoch durchaus Relevanz. Um allein das optimale Konsumniveau von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> auszurechnen, muss formal auf die genannten Dinge keine Rücksicht genommen werden. Um <math> \lambda </math> zu deuten, gilt es jedoch die obige Notation beizubehalten.

==Bedingungen erster Ordnung==
Die Langrangefunktion beschreibt das Maximierungsproblem in einer Art, die aufgrund des <math> \lambda </math> nur schwer grafisch vorstellbar ist. Die Vorgehensweise ist im ersten Schritt jedoch ähnlich zu einem simplen [[Maximieren|univariaten Maximierungsproblem]]. Es muss die Funktion nach den Variablen abgeleitet werden, für die der Nutzen maximiert werden soll. Die erste Ableitung muss gleich null sein (Bedingung erster Ordnung oder FOC=First order condition). Zudem muss weitergehend beachtet werden, dass die Budgetrestriktion eingehalten werden muss. Die FOCs stellen ein Gleichungssystem dar, das es zu lösen gilt. 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_1}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}-\lambda p_1 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_2}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}-\lambda p_2 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> p_1x_1+p_2x_2-E \stackrel{!}{=}0 </math>

==Lösung des Maximierungsproblems==
Die [[Lagrange#FOC|First order Conditions]] stellen ein Gleichungsystem dar. Es existieren drei unbekannte (<math> x_1</math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>) und drei Gleichungen. Zum Lösen des Systems gibt es verschiedene Wege. Eine der ersten beiden Gleichungen kann nach <math> \lambda </math> umgestellt und in die andere der oberen beiden Gleichungen eingesetzt werden. Es ist auch möglich die oberen beiden Gleichungen beide nach <math> \lambda </math> umzustellen und anschließend gleichzusetzen. Es kann auch direkt die erste durch die zweite Gleichung dividiert werden. 
Als Beispiel sollen die ersten beiden Gleichungen nach <math> \lambda </math> ugestellt werden. Es ergibt sich: 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1 </math> 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> 
Da <math> \lambda=\lambda </math> ergibt sich: 
<math> \frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> oder weiter umgestellt 
<math> \frac{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}}{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Die linke Seite des Ausdrucks entspricht der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution|GRS]]. Dieser Ausdruck kann wiederum nach <math> x_1 </math> oder <math> x_2 </math> umgestellt werden, welche beide im [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] stecken. Es ergibt sich beispielweise ein Ausdruck,<math> x_1(x_2) </math> , der abhängig von der anderen variable <math> x_2 </math> ist. Dieser lässt sich in die Budgetrestriktion einsetzen, die vorher <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> beinhaltete. Nach der Substitution ist in der Budgetrestriktion nur noch eine Unbekannte <math> x_2 </math> vorhanden, nach der umgestellt werden kann. Es ergibt sich beispielsweise mit der Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=x_1x_2 </math> folgende Gleichung: 
<math> \frac{x_2}{x_1}=\frac{p_1}{p_2} </math> umgestellt nach <math> x_2 </math> ergibt sich <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math>. 
Dieser Ausdruck kann in die Budgetrestriktion für <math> x_2 </math> eingesetzt werden: 
<math> p_1x_1+p_2(\frac{p_1}{p_2}x_1)=E </math> 
Nun kann für eine Lösung nach <math> x^*_1 </math> umgestellt werden. Das Ergebnis eingesetzt in <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math> ergibt das optimale Konsumniveau von <math> x^*_2 </math>.

==Die Bedeutung von Lambda==
Die [[Lagrange#Langrangefunktion|Langrangefunktion]] unterstellt, dass für <math> \lambda </math> die Nebenbedingung erfüllt ist. Sie sucht also Wert <math> x^*_1 </math> und <math> x^*_2 </math>, für die das Budget nicht gesprengt wird. Dafür führt das Langrangeverfahren den Lagrange Mutiplikator <math> \lambda </math> als eine Art Schattenpreis ein, den der Haushalt zahlen muss, wenn das Budget nicht eingehalten wird. Dies hat auch den Grund, warum für die richtige Interpretation von <math> \lambda </math> die Notation korrekt ist. Der Schattenpreis ist positiv. Sind die Konsumausgaben dementsprechend größer als das Budget, gilt <math> p_1x_1+p_2x_2>E </math> und dementsprechend <math> p_1x_1+p_2x_2-E>0 </math>. Da vor <math> \lambda </math> eine negatives Vorzeichen steht, wird von dem Nutzen etwas abgezogen, wenn die Konsumausgaben größer sind als das Budget. Gleichzeitig wird zum Nutzen etwas addiert, wenn die Konsumausgaben kleiner sind als das Budget. Im [[Haushaltsoptimum]] ist der Schattenpreis so gewählt, dass die Budgetrestriktion mit Gleichheit erfüllt ist. <math> \lambda </math> lässt sich berechnen, indem die Ausgerechneten optimalen Konsumniveus in einer der beiden FOC Gleichungen eingesetzt und nach <math> \lambda </math> umgestellt wird. 

Es lässt sich außerdem zeigen, dass <math> \lambda </math> der Grenznutzen des Einkommens ist. Steigt das Einkommen, steigt auch das Nutzenniveau im Optimum um <math> \lambda </math> Einheiten. (Für den Beweis siehe [[https://www.dropbox.com/scl/fi/r08jdx96k34h0sezg6jdc/Derivation_of_the_meaning_of_Lambda.pdf?rlkey=sq0futxbzz539dlg5dispw990&dl=0|hier]])

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage muss basierend auf den FOCs des Lagrangeverfahrens immer stimmen? Ein Konsument konsumiert zwei Güter (A und B). Im optimalen Konsumpunkt...
|type="()"}
+ ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von A dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von B
- ... entspricht der Grenznutzen von A dem Grenznutzen von B.
- ... entspricht der Grenznutzen von A mal dem Preis von A dem Grenznutzen von B mal dem Preis von B.
- ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von B dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von A.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{In welchem der Fälle ist das Lagrangeverfahren ohne Weiteres anwendbar?
|type="()"}
+ Wenn die Nutzenfunktion konvex ist.
- Wenn die Nutzenfunktion nicht differenzierbar ist.
- Wenn im optimalen Punkt nicht das gesammte Budget ausgeben wird.
- Wenn die Nebenbedingung nicht differenzierbar ist.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der Aussagen ist wahr?
|type="()"}
+ Das Lagrangeverfahren ist auch mit meheren Nebenbedingungen möglich.
- Die Hinreichende Bedingung zur Überprüfung auf ein Maximum ist bei einem Nutzenmaximierung-Probem mathematisch korrekt nie notwendig, da es sich rein formal immer nur um ein Maximum handeln kann.
- Der Lagrangemutiplikator <math> \lambda </math> hat keine Bedeutung.
- Ungeachtet des Preisverhältnisses ist eine rechnerische Lösung des Lagrangeverfahrens mit negativen Mengen nicht möglich.
</quiz>

Lagrange

2023-11-13T17:06:33Z

Lobin: /* Lösung des Maximierungsproblems */

Das Langrangeverfahren ist eine Möglichkeit Funktionen mit einer Nebenbedingung zu maximieren oder zu minimieren. In diesem Verfahren wird davon ausgegangen, dass die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt sein muss.

__TOC__

==Das Problem==
Es treten häufig Fragestellungen auf, wie ein Haushalt den Konsum so wählt, dass der Nutzen möglichst groß (maximiert) ist. Oder der Kostenminimale Produktionspunkt eines Unternehmens wird gesucht. Im Weiteren liegt der Fokus auf dem Maximierungsproblem. 
Im Falle der Nutzenmaximierung soll der Nutzen möglichst groß sein. In einem Beispiel hat ein Haushalt die Möglichkeit Güter <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> zu konsumieren. Der Haushalt muss dementsprechend sein Nutzen in Bezug auf den Konsum von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> maximieren: <math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> 
Unter der Annahme der [[Axiome der Nutzentheorie#Monotonie|Monotonie]] ("Mehr ist besser"), maximiert der Haushalt seinen Nutzen, indem er möglichst viel von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> konsumiert. Kann ein Haushalt sehr unendlich viel, von beiden Gütern konsumiert und Monotonie gilt, ist die Maximierungsaufgabe schon gelöst. In den meisten Fällen ist dies jedoch nicht möglich. Zum einen existieren nicht unendlich viele Einheiten der Güter (dies spielt in der [[Edgeworth-Box]] eine große Rolle) und zum anderen hat ein Haushalt auch nicht das Einkommen zur Verfügung, um sich unendlich viele Güter leisten zu können. Im Normalfall unterliegen Haushalte einer [[Budgetrestriktion und Budgetgerade|Budgetrestriktion]]. Die Budgetrestriktion ist in <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math> beschrieben, wobei E das Budget darstellt. Die eigentliche Maximierungsaufgabe besteht dementsprechend darin den Nutzen zu maximieren und das Budget einzuhalten. (u.d.NB.=unter der Nebenbedingung) 
<math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> u.d.NB <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math>

==Langrangefunktion==
Die Lagrangefunktion wird aufgestellt, indem von der Nutzenfunktion ein zweiter Term abgezogen wird. Der zweite Term besteht aus der Budgetrestriktion, die nach null umgestellt und mit einer Variablen (dem Langrange Multiplikator) multipliziert wird. Die Langrangefunktion ist damit abhängig von <math> x_1 </math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>: 
<math> \mathcal{L}(x_1,x_2, \lambda)=U(x_1,x_2)-\lambda(p_1x_1+p_2x_2-E) </math> 
Für das Ergebnis vom optimalen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ist es irrelevant, ob vor dem Komma ein + oder ein - steht. Es ist ebenfalls irrelevant, ob in der Nebenbedingung der linke oder der rechte Teil auf die andere Seite gebracht wird. Für [[Lagrange#Die Bedeutung von Lambda|die Bedeutung von Lambda]] hat dies jedoch durchaus Relevanz. Um allein das optimale Konsumniveau von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> auszurechnen, muss formal auf die genannten Dinge keine Rücksicht genommen werden. Um <math> \lambda </math> zu deuten, gilt es jedoch die obige Notation beizubehalten.

==Bedingungen erster Ordnung==
Die Langrangefunktion beschreibt das Maximierungsproblem in einer Art, die aufgrund des <math> \lambda </math> nur schwer grafisch vorstellbar ist. Die Vorgehensweise ist im ersten Schritt jedoch ähnlich zu einem simplen [[Maximieren|univariaten Maximierungsproblem]]. Es muss die Funktion nach den Variablen abgeleitet werden, für die der Nutzen maximiert werden soll. Die erste Ableitung muss gleich null sein (Bedingung erster Ordnung oder FOC=First order condition). Zudem muss weitergehend beachtet werden, dass die Budgetrestriktion eingehalten werden muss. Die FOCs stellen ein Gleichungssystem dar, das es zu lösen gilt. 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_1}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}-\lambda p_1 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_2}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}-\lambda p_2 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> p_1x_1+p_2x_2-E \stackrel{!}{=}0 </math>

==Lösung des Maximierungsproblems==
Die [[Lagrange#FOC|First order Conditions]] stellen ein Gleichungsystem dar. Es existieren drei unbekannte (<math> x_1</math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>) und drei Gleichungen. Zum Lösen des Systems gibt es verschiedene Wege. Eine der ersten beiden Gleichungen kann nach <math> \lambda </math> umgestellt und in die andere der oberen beiden Gleichungen eingesetzt werden. Es ist auch möglich die oberen beiden Gleichungen beide nach <math> \lambda </math> umzustellen und anschließend gleichzusetzen. Es kann auch direkt die erste durch die zweite Gleichung dividiert werden. 
Als Beispiel sollen die ersten beiden Gleichungen nach <math> \lambda </math> ugestellt werden. Es ergibt sich: 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1 </math> 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> 
Da <math> \lambda=\lambda </math> ergibt sich: 
<math> \frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> oder weiter umgestellt 
<math> \frac{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}}{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Die linke Seite des Ausdrucks entspricht der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution|GRS]]. Dieser Ausdruck kann wiederum nach <math> x_1 </math> oder <math> x_2 </math> umgestellt werden, welche beide im [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] stecken. Es ergibt sich beispielweise ein Ausdruck,<math> x_1(x_2) </math> , der abhängig von der anderen variable <math> x_2 </math> ist. Dieser lässt sich in die Budgetrestriktion einsetzen, die vorher <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> beinhaltete. Nach der Substitution ist in der Budgetrestriktion nur noch eine Unbekannte <math> x_2 </math> vorhanden, nach der umgestellt werden kann. Es ergibt sich beispielweise mit der Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=x_1x_2 </math> folgende Gleichung: 
<math> \frac{x_2}{x_1}=\frac{p_1}{p_2} </math> umgestellt nach <math> x_2 </math> ergibt sich <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math>. 
Dieser Ausdruck kann in die Budgetrestriktion für <math> x_2 </math> eingesetzt werden: 
<math> p_1x_1+p_2(\frac{p_1}{p_2}x_1)=E </math> 
Nun kann für eine Lösung nach <math> x^*_1 </math> umgestellt werden. Das Ergebnis eingesetzt in <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math> ergibt das optimale Konsumniveau von <math> x^*_2 </math>.

==Die Bedeutung von Lambda==
Die [[Lagrange#Langrangefunktion|Langrangefunktion]] unterstellt, dass für <math> \lambda </math> die Nebenbedingung erfüllt ist. Sie sucht also Wert <math> x^*_1 </math> und <math> x^*_2 </math>, für die das Budget nicht gesprengt wird. Dafür führt das Langrangeverfahren den Lagrange Mutiplikator <math> \lambda </math> als eine Art Schattenpreis ein, den der Haushalt zahlen muss, wenn das Budget nicht eingehalten wird. Dies hat auch den Grund, warum für die richtige Interpretation von <math> \lambda </math> die Notation korrekt ist. Der Schattenpreis ist positiv. Sind die Konsumausgaben dementsprechend größer als das Budget, gilt <math> p_1x_1+p_2x_2>E </math> und dementsprechend <math> p_1x_1+p_2x_2-E>0 </math>. Da vor <math> \lambda </math> eine negatives Vorzeichen steht, wird von dem Nutzen etwas abgezogen, wenn die Konsumausgaben größer sind als das Budget. Gleichzeitig wird zum Nutzen etwas addiert, wenn die Konsumausgaben kleiner sind als das Budget. Im [[Haushaltsoptimum]] ist der Schattenpreis so gewählt, dass die Budgetrestriktion mit Gleichheit erfüllt ist. <math> \lambda </math> lässt sich berechnen, indem die Ausgerechneten optimalen Konsumniveus in einer der beiden FOC Gleichungen eingesetzt und nach <math> \lambda </math> umgestellt wird. 

Es lässt sich außerdem zeigen, dass <math> \lambda </math> der Grenznutzen des Einkommens ist. Steigt das Einkommen, steigt auch das Nutzenniveau im Optimum um <math> \lambda </math> Einheiten. (Für den Beweis siehe [[https://www.dropbox.com/scl/fi/r08jdx96k34h0sezg6jdc/Derivation_of_the_meaning_of_Lambda.pdf?rlkey=sq0futxbzz539dlg5dispw990&dl=0|hier]])

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage muss basierend auf den FOCs des Lagrangeverfahrens immer stimmen? Ein Konsument konsumiert zwei Güter (A und B). Im optimalen Konsumpunkt...
|type="()"}
+ ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von A dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von B
- ... entspricht der Grenznutzen von A dem Grenznutzen von B.
- ... entspricht der Grenznutzen von A mal dem Preis von A dem Grenznutzen von B mal dem Preis von B.
- ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von B dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von A.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{In welchem der Fälle ist das Lagrangeverfahren ohne Weiteres anwendbar?
|type="()"}
+ Wenn die Nutzenfunktion konvex ist.
- Wenn die Nutzenfunktion nicht differenzierbar ist.
- Wenn im optimalen Punkt nicht das gesammte Budget ausgeben wird.
- Wenn die Nebenbedingung nicht differenzierbar ist.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der Aussagen ist wahr?
|type="()"}
+ Das Lagrangeverfahren ist auch mit meheren Nebenbedingungen möglich.
- Die Hinreichende Bedingung zur Überprüfung auf ein Maximum ist bei einem Nutzenmaximierung-Probem mathematisch korrekt nie notwendig, da es sich rein formal immer nur um ein Maximum handeln kann.
- Der Lagrangemutiplikator <math> \lambda </math> hat keine Bedeutung.
- Ungeachtet des Preisverhältnisses ist eine rechnerische Lösung des Lagrangeverfahrens mit negativen Mengen nicht möglich.
</quiz>

Lagrange

2023-11-13T17:04:04Z

Lobin: /* Lösung des Maximierungsproblems */

Das Langrangeverfahren ist eine Möglichkeit Funktionen mit einer Nebenbedingung zu maximieren oder zu minimieren. In diesem Verfahren wird davon ausgegangen, dass die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt sein muss.

__TOC__

==Das Problem==
Es treten häufig Fragestellungen auf, wie ein Haushalt den Konsum so wählt, dass der Nutzen möglichst groß (maximiert) ist. Oder der Kostenminimale Produktionspunkt eines Unternehmens wird gesucht. Im Weiteren liegt der Fokus auf dem Maximierungsproblem. 
Im Falle der Nutzenmaximierung soll der Nutzen möglichst groß sein. In einem Beispiel hat ein Haushalt die Möglichkeit Güter <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> zu konsumieren. Der Haushalt muss dementsprechend sein Nutzen in Bezug auf den Konsum von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> maximieren: <math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> 
Unter der Annahme der [[Axiome der Nutzentheorie#Monotonie|Monotonie]] ("Mehr ist besser"), maximiert der Haushalt seinen Nutzen, indem er möglichst viel von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> konsumiert. Kann ein Haushalt sehr unendlich viel, von beiden Gütern konsumiert und Monotonie gilt, ist die Maximierungsaufgabe schon gelöst. In den meisten Fällen ist dies jedoch nicht möglich. Zum einen existieren nicht unendlich viele Einheiten der Güter (dies spielt in der [[Edgeworth-Box]] eine große Rolle) und zum anderen hat ein Haushalt auch nicht das Einkommen zur Verfügung, um sich unendlich viele Güter leisten zu können. Im Normalfall unterliegen Haushalte einer [[Budgetrestriktion und Budgetgerade|Budgetrestriktion]]. Die Budgetrestriktion ist in <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math> beschrieben, wobei E das Budget darstellt. Die eigentliche Maximierungsaufgabe besteht dementsprechend darin den Nutzen zu maximieren und das Budget einzuhalten. (u.d.NB.=unter der Nebenbedingung) 
<math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> u.d.NB <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math>

==Langrangefunktion==
Die Lagrangefunktion wird aufgestellt, indem von der Nutzenfunktion ein zweiter Term abgezogen wird. Der zweite Term besteht aus der Budgetrestriktion, die nach null umgestellt und mit einer Variablen (dem Langrange Multiplikator) multipliziert wird. Die Langrangefunktion ist damit abhängig von <math> x_1 </math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>: 
<math> \mathcal{L}(x_1,x_2, \lambda)=U(x_1,x_2)-\lambda(p_1x_1+p_2x_2-E) </math> 
Für das Ergebnis vom optimalen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ist es irrelevant, ob vor dem Komma ein + oder ein - steht. Es ist ebenfalls irrelevant, ob in der Nebenbedingung der linke oder der rechte Teil auf die andere Seite gebracht wird. Für [[Lagrange#Die Bedeutung von Lambda|die Bedeutung von Lambda]] hat dies jedoch durchaus Relevanz. Um allein das optimale Konsumniveau von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> auszurechnen, muss formal auf die genannten Dinge keine Rücksicht genommen werden. Um <math> \lambda </math> zu deuten, gilt es jedoch die obige Notation beizubehalten.

==Bedingungen erster Ordnung==
Die Langrangefunktion beschreibt das Maximierungsproblem in einer Art, die aufgrund des <math> \lambda </math> nur schwer grafisch vorstellbar ist. Die Vorgehensweise ist im ersten Schritt jedoch ähnlich zu einem simplen [[Maximieren|univariaten Maximierungsproblem]]. Es muss die Funktion nach den Variablen abgeleitet werden, für die der Nutzen maximiert werden soll. Die erste Ableitung muss gleich null sein (Bedingung erster Ordnung oder FOC=First order condition). Zudem muss weitergehend beachtet werden, dass die Budgetrestriktion eingehalten werden muss. Die FOCs stellen ein Gleichungssystem dar, das es zu lösen gilt. 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_1}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}-\lambda p_1 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_2}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}-\lambda p_2 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> p_1x_1+p_2x_2-E \stackrel{!}{=}0 </math>

==Lösung des Maximierungsproblems==
Die [[Lagrange#FOC|First order Conditions]] stellen ein Gleichungsystem dar. Es existieren drei unbekannte (<math> x_1</math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>) und drei Gleichungen. Zum Lösen des Systems gibt es verschiedene Wege. Eine der ersten beiden Gleichungen kann nach <math> \lambda </math> umgestellt und in die andere der oberen beiden Gleichungen eingesetzt werden. Es ist auch möglich die oberen beiden Gleichungen beide nach <math> \lambda </math> umzustellen und anschließend gleichzusetzen. Es kann auch direkt die erste durch die zweite Gleichung dividiert werden. 
Als Beispiel sollen die ersten beiden Gleichungen nach <math> \lambda </math> ugestellt werden. Es ergibt sich: 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1 </math> 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> 
Da <math> \lambda=\lambda </math> ergibt sich: 
<math> \frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> oder weiter umgestellt 
<math> \frac{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}}{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Die linke Seite des Ausdrucks entspricht der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution|GRS]]. Dieser Ausdruck kann wiederum nach <math> x_1 </math> oder <math> x_2 </math> umgestellt werden, welche beide im [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] stecken. Es ergibt sich beispielweise ein Ausdruck, <math> x_1=... </math>, der abhängig von der anderen variable <math> x_2 </math> ist (<math> x_1(x_2)=...</math>). Dieser lässt sich in die Budgetrestriktion einsetzen, die vorher <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> beinhaltete. Nach der Substitution ist in der Budgetrestriktion nur noch eine Unbekannte <math> x_2 </math> vorhanden, nach der umgestellt werden kann. Es ergibt sich beispielweise mit der Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=x_1x_2 </math> folgende Gleichung: 
<math> \frac{x_2}{x_1}=\frac{p_1}{p_2} </math> umgestellt nach <math> x_2 </math> ergibt sich <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math>. 
Dieser Ausdruck kann in die Budgetrestriktion für <math> x_2 </math> eingesetzt werden: 
<math> p_1x_1+p_2(\frac{p_1}{p_2}x_1)=E </math> 
Nun kann für eine Lösung nach <math> x^*_1 </math> umgestellt werden. Das Ergebnis eingesetzt in <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math> ergibt das optimale Konsumniveau von <math> x^*_2 </math>.

==Die Bedeutung von Lambda==
Die [[Lagrange#Langrangefunktion|Langrangefunktion]] unterstellt, dass für <math> \lambda </math> die Nebenbedingung erfüllt ist. Sie sucht also Wert <math> x^*_1 </math> und <math> x^*_2 </math>, für die das Budget nicht gesprengt wird. Dafür führt das Langrangeverfahren den Lagrange Mutiplikator <math> \lambda </math> als eine Art Schattenpreis ein, den der Haushalt zahlen muss, wenn das Budget nicht eingehalten wird. Dies hat auch den Grund, warum für die richtige Interpretation von <math> \lambda </math> die Notation korrekt ist. Der Schattenpreis ist positiv. Sind die Konsumausgaben dementsprechend größer als das Budget, gilt <math> p_1x_1+p_2x_2>E </math> und dementsprechend <math> p_1x_1+p_2x_2-E>0 </math>. Da vor <math> \lambda </math> eine negatives Vorzeichen steht, wird von dem Nutzen etwas abgezogen, wenn die Konsumausgaben größer sind als das Budget. Gleichzeitig wird zum Nutzen etwas addiert, wenn die Konsumausgaben kleiner sind als das Budget. Im [[Haushaltsoptimum]] ist der Schattenpreis so gewählt, dass die Budgetrestriktion mit Gleichheit erfüllt ist. <math> \lambda </math> lässt sich berechnen, indem die Ausgerechneten optimalen Konsumniveus in einer der beiden FOC Gleichungen eingesetzt und nach <math> \lambda </math> umgestellt wird. 

Es lässt sich außerdem zeigen, dass <math> \lambda </math> der Grenznutzen des Einkommens ist. Steigt das Einkommen, steigt auch das Nutzenniveau im Optimum um <math> \lambda </math> Einheiten. (Für den Beweis siehe [[https://www.dropbox.com/scl/fi/r08jdx96k34h0sezg6jdc/Derivation_of_the_meaning_of_Lambda.pdf?rlkey=sq0futxbzz539dlg5dispw990&dl=0|hier]])

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage muss basierend auf den FOCs des Lagrangeverfahrens immer stimmen? Ein Konsument konsumiert zwei Güter (A und B). Im optimalen Konsumpunkt...
|type="()"}
+ ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von A dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von B
- ... entspricht der Grenznutzen von A dem Grenznutzen von B.
- ... entspricht der Grenznutzen von A mal dem Preis von A dem Grenznutzen von B mal dem Preis von B.
- ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von B dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von A.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{In welchem der Fälle ist das Lagrangeverfahren ohne Weiteres anwendbar?
|type="()"}
+ Wenn die Nutzenfunktion konvex ist.
- Wenn die Nutzenfunktion nicht differenzierbar ist.
- Wenn im optimalen Punkt nicht das gesammte Budget ausgeben wird.
- Wenn die Nebenbedingung nicht differenzierbar ist.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der Aussagen ist wahr?
|type="()"}
+ Das Lagrangeverfahren ist auch mit meheren Nebenbedingungen möglich.
- Die Hinreichende Bedingung zur Überprüfung auf ein Maximum ist bei einem Nutzenmaximierung-Probem mathematisch korrekt nie notwendig, da es sich rein formal immer nur um ein Maximum handeln kann.
- Der Lagrangemutiplikator <math> \lambda </math> hat keine Bedeutung.
- Ungeachtet des Preisverhältnisses ist eine rechnerische Lösung des Lagrangeverfahrens mit negativen Mengen nicht möglich.
</quiz>

Lagrange

2023-11-13T17:03:13Z

Lobin: /* Bedingungen erster Ordnung */

Das Langrangeverfahren ist eine Möglichkeit Funktionen mit einer Nebenbedingung zu maximieren oder zu minimieren. In diesem Verfahren wird davon ausgegangen, dass die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt sein muss.

__TOC__

==Das Problem==
Es treten häufig Fragestellungen auf, wie ein Haushalt den Konsum so wählt, dass der Nutzen möglichst groß (maximiert) ist. Oder der Kostenminimale Produktionspunkt eines Unternehmens wird gesucht. Im Weiteren liegt der Fokus auf dem Maximierungsproblem. 
Im Falle der Nutzenmaximierung soll der Nutzen möglichst groß sein. In einem Beispiel hat ein Haushalt die Möglichkeit Güter <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> zu konsumieren. Der Haushalt muss dementsprechend sein Nutzen in Bezug auf den Konsum von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> maximieren: <math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> 
Unter der Annahme der [[Axiome der Nutzentheorie#Monotonie|Monotonie]] ("Mehr ist besser"), maximiert der Haushalt seinen Nutzen, indem er möglichst viel von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> konsumiert. Kann ein Haushalt sehr unendlich viel, von beiden Gütern konsumiert und Monotonie gilt, ist die Maximierungsaufgabe schon gelöst. In den meisten Fällen ist dies jedoch nicht möglich. Zum einen existieren nicht unendlich viele Einheiten der Güter (dies spielt in der [[Edgeworth-Box]] eine große Rolle) und zum anderen hat ein Haushalt auch nicht das Einkommen zur Verfügung, um sich unendlich viele Güter leisten zu können. Im Normalfall unterliegen Haushalte einer [[Budgetrestriktion und Budgetgerade|Budgetrestriktion]]. Die Budgetrestriktion ist in <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math> beschrieben, wobei E das Budget darstellt. Die eigentliche Maximierungsaufgabe besteht dementsprechend darin den Nutzen zu maximieren und das Budget einzuhalten. (u.d.NB.=unter der Nebenbedingung) 
<math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> u.d.NB <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math>

==Langrangefunktion==
Die Lagrangefunktion wird aufgestellt, indem von der Nutzenfunktion ein zweiter Term abgezogen wird. Der zweite Term besteht aus der Budgetrestriktion, die nach null umgestellt und mit einer Variablen (dem Langrange Multiplikator) multipliziert wird. Die Langrangefunktion ist damit abhängig von <math> x_1 </math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>: 
<math> \mathcal{L}(x_1,x_2, \lambda)=U(x_1,x_2)-\lambda(p_1x_1+p_2x_2-E) </math> 
Für das Ergebnis vom optimalen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ist es irrelevant, ob vor dem Komma ein + oder ein - steht. Es ist ebenfalls irrelevant, ob in der Nebenbedingung der linke oder der rechte Teil auf die andere Seite gebracht wird. Für [[Lagrange#Die Bedeutung von Lambda|die Bedeutung von Lambda]] hat dies jedoch durchaus Relevanz. Um allein das optimale Konsumniveau von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> auszurechnen, muss formal auf die genannten Dinge keine Rücksicht genommen werden. Um <math> \lambda </math> zu deuten, gilt es jedoch die obige Notation beizubehalten.

==Bedingungen erster Ordnung==
Die Langrangefunktion beschreibt das Maximierungsproblem in einer Art, die aufgrund des <math> \lambda </math> nur schwer grafisch vorstellbar ist. Die Vorgehensweise ist im ersten Schritt jedoch ähnlich zu einem simplen [[Maximieren|univariaten Maximierungsproblem]]. Es muss die Funktion nach den Variablen abgeleitet werden, für die der Nutzen maximiert werden soll. Die erste Ableitung muss gleich null sein (Bedingung erster Ordnung oder FOC=First order condition). Zudem muss weitergehend beachtet werden, dass die Budgetrestriktion eingehalten werden muss. Die FOCs stellen ein Gleichungssystem dar, das es zu lösen gilt. 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_1}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}-\lambda p_1 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_2}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}-\lambda p_2 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> p_1x_1+p_2x_2-E \stackrel{!}{=}0 </math>

==Lösung des Maximierungsproblems==
Die [[Lagrange#FOC|First order Conditions]] stellen ein Gleichungsystem dar. Es existieren drei unbekannte (<math> x_1</math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>) und drei Gleichungen. Zum Lösen des Systems gibt es verschiedene Wege. Eine der ersten beiden Gleichungen kann nach <math> \lambda </math> umgestellt und in die andere der oberen beiden Gleichungen substituiert werden. Es ist auch möglich die oberen beiden Gleichungen beide nach <math> \lambda </math> umzustellen und anschließend gleichzusetzen. Es kann auch direkt die erste durch die zweite Gleichung dividiert werden. 
Als Beispiel sollen die ersten beiden Gleichungen nach <math> \lambda </math> ugestellt werden. Es ergibt sich: 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1 </math> 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> 
Da <math> \lambda=\lambda </math> ergibt sich: 
<math> \frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> oder weiter umgestellt 
<math> \frac{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}}{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Die linke Seite des Ausdrucks entspricht der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution|GRS]]. Dieser Ausdruck kann wiederum nach <math> x_1 </math> oder <math> x_2 </math> umgestellt werden, welche beide im [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] stecken. Es ergibt sich beispielweise ein Ausdruck, <math> x_1=... </math>, der abhängig von der anderen variable <math> x_2 </math> ist (<math> x_1(x_2)=...</math>). Dieser lässt sich in die Budgetrestriktion einsetzen, die vorher <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> beinhaltete. Nach der Substitution ist in der Budgetrestriktion nur noch eine Unbekannte <math> x_2 </math> vorhanden, nach der umgestellt werden kann. Es ergibt sich beispielweise mit der Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=x_1x_2 </math> folgende Gleichung: 
<math> \frac{x_2}{x_1}=\frac{p_1}{p_2} </math> umgestellt nach <math> x_2 </math> ergibt sich <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math>. 
Dieser Ausdruck kann in die Budgetrestriktion für <math> x_2 </math> eingesetzt werden: 
<math> p_1x_1+p_2(\frac{p_1}{p_2}x_1)=E </math> 
Nun kann für eine Lösung nach <math> x^*_1 </math> umgestellt werden. Das Ergebnis eingesetzt in <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math> ergibt das optimale Konsumniveau von <math> x^*_2 </math>.

==Die Bedeutung von Lambda==
Die [[Lagrange#Langrangefunktion|Langrangefunktion]] unterstellt, dass für <math> \lambda </math> die Nebenbedingung erfüllt ist. Sie sucht also Wert <math> x^*_1 </math> und <math> x^*_2 </math>, für die das Budget nicht gesprengt wird. Dafür führt das Langrangeverfahren den Lagrange Mutiplikator <math> \lambda </math> als eine Art Schattenpreis ein, den der Haushalt zahlen muss, wenn das Budget nicht eingehalten wird. Dies hat auch den Grund, warum für die richtige Interpretation von <math> \lambda </math> die Notation korrekt ist. Der Schattenpreis ist positiv. Sind die Konsumausgaben dementsprechend größer als das Budget, gilt <math> p_1x_1+p_2x_2>E </math> und dementsprechend <math> p_1x_1+p_2x_2-E>0 </math>. Da vor <math> \lambda </math> eine negatives Vorzeichen steht, wird von dem Nutzen etwas abgezogen, wenn die Konsumausgaben größer sind als das Budget. Gleichzeitig wird zum Nutzen etwas addiert, wenn die Konsumausgaben kleiner sind als das Budget. Im [[Haushaltsoptimum]] ist der Schattenpreis so gewählt, dass die Budgetrestriktion mit Gleichheit erfüllt ist. <math> \lambda </math> lässt sich berechnen, indem die Ausgerechneten optimalen Konsumniveus in einer der beiden FOC Gleichungen eingesetzt und nach <math> \lambda </math> umgestellt wird. 

Es lässt sich außerdem zeigen, dass <math> \lambda </math> der Grenznutzen des Einkommens ist. Steigt das Einkommen, steigt auch das Nutzenniveau im Optimum um <math> \lambda </math> Einheiten. (Für den Beweis siehe [[https://www.dropbox.com/scl/fi/r08jdx96k34h0sezg6jdc/Derivation_of_the_meaning_of_Lambda.pdf?rlkey=sq0futxbzz539dlg5dispw990&dl=0|hier]])

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage muss basierend auf den FOCs des Lagrangeverfahrens immer stimmen? Ein Konsument konsumiert zwei Güter (A und B). Im optimalen Konsumpunkt...
|type="()"}
+ ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von A dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von B
- ... entspricht der Grenznutzen von A dem Grenznutzen von B.
- ... entspricht der Grenznutzen von A mal dem Preis von A dem Grenznutzen von B mal dem Preis von B.
- ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von B dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von A.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{In welchem der Fälle ist das Lagrangeverfahren ohne Weiteres anwendbar?
|type="()"}
+ Wenn die Nutzenfunktion konvex ist.
- Wenn die Nutzenfunktion nicht differenzierbar ist.
- Wenn im optimalen Punkt nicht das gesammte Budget ausgeben wird.
- Wenn die Nebenbedingung nicht differenzierbar ist.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der Aussagen ist wahr?
|type="()"}
+ Das Lagrangeverfahren ist auch mit meheren Nebenbedingungen möglich.
- Die Hinreichende Bedingung zur Überprüfung auf ein Maximum ist bei einem Nutzenmaximierung-Probem mathematisch korrekt nie notwendig, da es sich rein formal immer nur um ein Maximum handeln kann.
- Der Lagrangemutiplikator <math> \lambda </math> hat keine Bedeutung.
- Ungeachtet des Preisverhältnisses ist eine rechnerische Lösung des Lagrangeverfahrens mit negativen Mengen nicht möglich.
</quiz>

Lagrange

2023-11-13T17:02:42Z

Lobin: /* Bedingungen erster Ordnung */

Das Langrangeverfahren ist eine Möglichkeit Funktionen mit einer Nebenbedingung zu maximieren oder zu minimieren. In diesem Verfahren wird davon ausgegangen, dass die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt sein muss.

__TOC__

==Das Problem==
Es treten häufig Fragestellungen auf, wie ein Haushalt den Konsum so wählt, dass der Nutzen möglichst groß (maximiert) ist. Oder der Kostenminimale Produktionspunkt eines Unternehmens wird gesucht. Im Weiteren liegt der Fokus auf dem Maximierungsproblem. 
Im Falle der Nutzenmaximierung soll der Nutzen möglichst groß sein. In einem Beispiel hat ein Haushalt die Möglichkeit Güter <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> zu konsumieren. Der Haushalt muss dementsprechend sein Nutzen in Bezug auf den Konsum von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> maximieren: <math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> 
Unter der Annahme der [[Axiome der Nutzentheorie#Monotonie|Monotonie]] ("Mehr ist besser"), maximiert der Haushalt seinen Nutzen, indem er möglichst viel von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> konsumiert. Kann ein Haushalt sehr unendlich viel, von beiden Gütern konsumiert und Monotonie gilt, ist die Maximierungsaufgabe schon gelöst. In den meisten Fällen ist dies jedoch nicht möglich. Zum einen existieren nicht unendlich viele Einheiten der Güter (dies spielt in der [[Edgeworth-Box]] eine große Rolle) und zum anderen hat ein Haushalt auch nicht das Einkommen zur Verfügung, um sich unendlich viele Güter leisten zu können. Im Normalfall unterliegen Haushalte einer [[Budgetrestriktion und Budgetgerade|Budgetrestriktion]]. Die Budgetrestriktion ist in <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math> beschrieben, wobei E das Budget darstellt. Die eigentliche Maximierungsaufgabe besteht dementsprechend darin den Nutzen zu maximieren und das Budget einzuhalten. (u.d.NB.=unter der Nebenbedingung) 
<math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> u.d.NB <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math>

==Langrangefunktion==
Die Lagrangefunktion wird aufgestellt, indem von der Nutzenfunktion ein zweiter Term abgezogen wird. Der zweite Term besteht aus der Budgetrestriktion, die nach null umgestellt und mit einer Variablen (dem Langrange Multiplikator) multipliziert wird. Die Langrangefunktion ist damit abhängig von <math> x_1 </math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>: 
<math> \mathcal{L}(x_1,x_2, \lambda)=U(x_1,x_2)-\lambda(p_1x_1+p_2x_2-E) </math> 
Für das Ergebnis vom optimalen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ist es irrelevant, ob vor dem Komma ein + oder ein - steht. Es ist ebenfalls irrelevant, ob in der Nebenbedingung der linke oder der rechte Teil auf die andere Seite gebracht wird. Für [[Lagrange#Die Bedeutung von Lambda|die Bedeutung von Lambda]] hat dies jedoch durchaus Relevanz. Um allein das optimale Konsumniveau von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> auszurechnen, muss formal auf die genannten Dinge keine Rücksicht genommen werden. Um <math> \lambda </math> zu deuten, gilt es jedoch die obige Notation beizubehalten.

==Bedingungen erster Ordnung==
Die Langrangefunktion beschreibt das Maximierungsproblem in einer Art, die aufgrund des <math> \lambda </math> nur schwer grafisch vorstellbar ist. Die Vorgehensweise ist im ersten Schritt jedoch ähnlich zu einem simplen [[Maximieren|univariaten Maximierungsproblem]]. Es muss die Funktion nach den Variablen abgeleitet werden, für die der Nutzen maximiert werden soll. Die erste Ableitung muss gleich null sein (Bedingung erster Ordnung oder FOC=First order condition). Zudem muss weitergehend beachtet werden, dass die Budgetrestriktion eingehalten werden muss. Die FOCs und die Nebenbedingung stellen ein Gleichungssystem dar, das es zu lösen gilt. 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_1}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}-\lambda p_1 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_2}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}-\lambda p_2 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> p_1x_1+p_2x_2-E \stackrel{!}{=}0 </math>

==Lösung des Maximierungsproblems==
Die [[Lagrange#FOC|First order Conditions]] stellen ein Gleichungsystem dar. Es existieren drei unbekannte (<math> x_1</math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>) und drei Gleichungen. Zum Lösen des Systems gibt es verschiedene Wege. Eine der ersten beiden Gleichungen kann nach <math> \lambda </math> umgestellt und in die andere der oberen beiden Gleichungen substituiert werden. Es ist auch möglich die oberen beiden Gleichungen beide nach <math> \lambda </math> umzustellen und anschließend gleichzusetzen. Es kann auch direkt die erste durch die zweite Gleichung dividiert werden. 
Als Beispiel sollen die ersten beiden Gleichungen nach <math> \lambda </math> ugestellt werden. Es ergibt sich: 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1 </math> 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> 
Da <math> \lambda=\lambda </math> ergibt sich: 
<math> \frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> oder weiter umgestellt 
<math> \frac{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}}{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Die linke Seite des Ausdrucks entspricht der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution|GRS]]. Dieser Ausdruck kann wiederum nach <math> x_1 </math> oder <math> x_2 </math> umgestellt werden, welche beide im [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] stecken. Es ergibt sich beispielweise ein Ausdruck, <math> x_1=... </math>, der abhängig von der anderen variable <math> x_2 </math> ist (<math> x_1(x_2)=...</math>). Dieser lässt sich in die Budgetrestriktion einsetzen, die vorher <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> beinhaltete. Nach der Substitution ist in der Budgetrestriktion nur noch eine Unbekannte <math> x_2 </math> vorhanden, nach der umgestellt werden kann. Es ergibt sich beispielweise mit der Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=x_1x_2 </math> folgende Gleichung: 
<math> \frac{x_2}{x_1}=\frac{p_1}{p_2} </math> umgestellt nach <math> x_2 </math> ergibt sich <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math>. 
Dieser Ausdruck kann in die Budgetrestriktion für <math> x_2 </math> eingesetzt werden: 
<math> p_1x_1+p_2(\frac{p_1}{p_2}x_1)=E </math> 
Nun kann für eine Lösung nach <math> x^*_1 </math> umgestellt werden. Das Ergebnis eingesetzt in <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math> ergibt das optimale Konsumniveau von <math> x^*_2 </math>.

==Die Bedeutung von Lambda==
Die [[Lagrange#Langrangefunktion|Langrangefunktion]] unterstellt, dass für <math> \lambda </math> die Nebenbedingung erfüllt ist. Sie sucht also Wert <math> x^*_1 </math> und <math> x^*_2 </math>, für die das Budget nicht gesprengt wird. Dafür führt das Langrangeverfahren den Lagrange Mutiplikator <math> \lambda </math> als eine Art Schattenpreis ein, den der Haushalt zahlen muss, wenn das Budget nicht eingehalten wird. Dies hat auch den Grund, warum für die richtige Interpretation von <math> \lambda </math> die Notation korrekt ist. Der Schattenpreis ist positiv. Sind die Konsumausgaben dementsprechend größer als das Budget, gilt <math> p_1x_1+p_2x_2>E </math> und dementsprechend <math> p_1x_1+p_2x_2-E>0 </math>. Da vor <math> \lambda </math> eine negatives Vorzeichen steht, wird von dem Nutzen etwas abgezogen, wenn die Konsumausgaben größer sind als das Budget. Gleichzeitig wird zum Nutzen etwas addiert, wenn die Konsumausgaben kleiner sind als das Budget. Im [[Haushaltsoptimum]] ist der Schattenpreis so gewählt, dass die Budgetrestriktion mit Gleichheit erfüllt ist. <math> \lambda </math> lässt sich berechnen, indem die Ausgerechneten optimalen Konsumniveus in einer der beiden FOC Gleichungen eingesetzt und nach <math> \lambda </math> umgestellt wird. 

Es lässt sich außerdem zeigen, dass <math> \lambda </math> der Grenznutzen des Einkommens ist. Steigt das Einkommen, steigt auch das Nutzenniveau im Optimum um <math> \lambda </math> Einheiten. (Für den Beweis siehe [[https://www.dropbox.com/scl/fi/r08jdx96k34h0sezg6jdc/Derivation_of_the_meaning_of_Lambda.pdf?rlkey=sq0futxbzz539dlg5dispw990&dl=0|hier]])

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage muss basierend auf den FOCs des Lagrangeverfahrens immer stimmen? Ein Konsument konsumiert zwei Güter (A und B). Im optimalen Konsumpunkt...
|type="()"}
+ ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von A dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von B
- ... entspricht der Grenznutzen von A dem Grenznutzen von B.
- ... entspricht der Grenznutzen von A mal dem Preis von A dem Grenznutzen von B mal dem Preis von B.
- ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von B dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von A.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{In welchem der Fälle ist das Lagrangeverfahren ohne Weiteres anwendbar?
|type="()"}
+ Wenn die Nutzenfunktion konvex ist.
- Wenn die Nutzenfunktion nicht differenzierbar ist.
- Wenn im optimalen Punkt nicht das gesammte Budget ausgeben wird.
- Wenn die Nebenbedingung nicht differenzierbar ist.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der Aussagen ist wahr?
|type="()"}
+ Das Lagrangeverfahren ist auch mit meheren Nebenbedingungen möglich.
- Die Hinreichende Bedingung zur Überprüfung auf ein Maximum ist bei einem Nutzenmaximierung-Probem mathematisch korrekt nie notwendig, da es sich rein formal immer nur um ein Maximum handeln kann.
- Der Lagrangemutiplikator <math> \lambda </math> hat keine Bedeutung.
- Ungeachtet des Preisverhältnisses ist eine rechnerische Lösung des Lagrangeverfahrens mit negativen Mengen nicht möglich.
</quiz>

Lagrange

2023-11-13T16:59:46Z

Lobin: /* FOC */

Das Langrangeverfahren ist eine Möglichkeit Funktionen mit einer Nebenbedingung zu maximieren oder zu minimieren. In diesem Verfahren wird davon ausgegangen, dass die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt sein muss.

__TOC__

==Das Problem==
Es treten häufig Fragestellungen auf, wie ein Haushalt den Konsum so wählt, dass der Nutzen möglichst groß (maximiert) ist. Oder der Kostenminimale Produktionspunkt eines Unternehmens wird gesucht. Im Weiteren liegt der Fokus auf dem Maximierungsproblem. 
Im Falle der Nutzenmaximierung soll der Nutzen möglichst groß sein. In einem Beispiel hat ein Haushalt die Möglichkeit Güter <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> zu konsumieren. Der Haushalt muss dementsprechend sein Nutzen in Bezug auf den Konsum von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> maximieren: <math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> 
Unter der Annahme der [[Axiome der Nutzentheorie#Monotonie|Monotonie]] ("Mehr ist besser"), maximiert der Haushalt seinen Nutzen, indem er möglichst viel von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> konsumiert. Kann ein Haushalt sehr unendlich viel, von beiden Gütern konsumiert und Monotonie gilt, ist die Maximierungsaufgabe schon gelöst. In den meisten Fällen ist dies jedoch nicht möglich. Zum einen existieren nicht unendlich viele Einheiten der Güter (dies spielt in der [[Edgeworth-Box]] eine große Rolle) und zum anderen hat ein Haushalt auch nicht das Einkommen zur Verfügung, um sich unendlich viele Güter leisten zu können. Im Normalfall unterliegen Haushalte einer [[Budgetrestriktion und Budgetgerade|Budgetrestriktion]]. Die Budgetrestriktion ist in <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math> beschrieben, wobei E das Budget darstellt. Die eigentliche Maximierungsaufgabe besteht dementsprechend darin den Nutzen zu maximieren und das Budget einzuhalten. (u.d.NB.=unter der Nebenbedingung) 
<math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> u.d.NB <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math>

==Langrangefunktion==
Die Lagrangefunktion wird aufgestellt, indem von der Nutzenfunktion ein zweiter Term abgezogen wird. Der zweite Term besteht aus der Budgetrestriktion, die nach null umgestellt und mit einer Variablen (dem Langrange Multiplikator) multipliziert wird. Die Langrangefunktion ist damit abhängig von <math> x_1 </math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>: 
<math> \mathcal{L}(x_1,x_2, \lambda)=U(x_1,x_2)-\lambda(p_1x_1+p_2x_2-E) </math> 
Für das Ergebnis vom optimalen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ist es irrelevant, ob vor dem Komma ein + oder ein - steht. Es ist ebenfalls irrelevant, ob in der Nebenbedingung der linke oder der rechte Teil auf die andere Seite gebracht wird. Für [[Lagrange#Die Bedeutung von Lambda|die Bedeutung von Lambda]] hat dies jedoch durchaus Relevanz. Um allein das optimale Konsumniveau von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> auszurechnen, muss formal auf die genannten Dinge keine Rücksicht genommen werden. Um <math> \lambda </math> zu deuten, gilt es jedoch die obige Notation beizubehalten.

==Bedingungen erster Ordnung==
Die Langrangefunktion beschreibt das Maximierungsproblem in einer Art, die aufgrund des <math> \lambda </math> nur schwer grafisch vorstellbar ist. Die Vorgehensweise ist im ersten Schritt jedoch ähnlich zu einem simplen [[Maximieren|univariaten Maximierungsproblem]]. Es muss die Funktion nach den Variablen abgeleitet werden, für die der Nutzen maximiert werden soll. Die erste Ableitung muss gleich null sein (FOC=First order condition). Zudem muss weitergehend beachtet werden, dass die Budgetrestriktion eingehalten werden muss. Die FOCs und die Nebenbedingung stellen ein Gleichungssystem dar, das es zu lösen gilt. 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_1}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}-\lambda p_1 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_2}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}-\lambda p_2 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> p_1x_1+p_2x_2-E \stackrel{!}{=}0 </math>

==Lösung des Maximierungsproblems==
Die [[Lagrange#FOC|First order Conditions]] stellen ein Gleichungsystem dar. Es existieren drei unbekannte (<math> x_1</math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>) und drei Gleichungen. Zum Lösen des Systems gibt es verschiedene Wege. Eine der ersten beiden Gleichungen kann nach <math> \lambda </math> umgestellt und in die andere der oberen beiden Gleichungen substituiert werden. Es ist auch möglich die oberen beiden Gleichungen beide nach <math> \lambda </math> umzustellen und anschließend gleichzusetzen. Es kann auch direkt die erste durch die zweite Gleichung dividiert werden. 
Als Beispiel sollen die ersten beiden Gleichungen nach <math> \lambda </math> ugestellt werden. Es ergibt sich: 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1 </math> 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> 
Da <math> \lambda=\lambda </math> ergibt sich: 
<math> \frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> oder weiter umgestellt 
<math> \frac{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}}{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Die linke Seite des Ausdrucks entspricht der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution|GRS]]. Dieser Ausdruck kann wiederum nach <math> x_1 </math> oder <math> x_2 </math> umgestellt werden, welche beide im [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] stecken. Es ergibt sich beispielweise ein Ausdruck, <math> x_1=... </math>, der abhängig von der anderen variable <math> x_2 </math> ist (<math> x_1(x_2)=...</math>). Dieser lässt sich in die Budgetrestriktion einsetzen, die vorher <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> beinhaltete. Nach der Substitution ist in der Budgetrestriktion nur noch eine Unbekannte <math> x_2 </math> vorhanden, nach der umgestellt werden kann. Es ergibt sich beispielweise mit der Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=x_1x_2 </math> folgende Gleichung: 
<math> \frac{x_2}{x_1}=\frac{p_1}{p_2} </math> umgestellt nach <math> x_2 </math> ergibt sich <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math>. 
Dieser Ausdruck kann in die Budgetrestriktion für <math> x_2 </math> eingesetzt werden: 
<math> p_1x_1+p_2(\frac{p_1}{p_2}x_1)=E </math> 
Nun kann für eine Lösung nach <math> x^*_1 </math> umgestellt werden. Das Ergebnis eingesetzt in <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math> ergibt das optimale Konsumniveau von <math> x^*_2 </math>.

==Die Bedeutung von Lambda==
Die [[Lagrange#Langrangefunktion|Langrangefunktion]] unterstellt, dass für <math> \lambda </math> die Nebenbedingung erfüllt ist. Sie sucht also Wert <math> x^*_1 </math> und <math> x^*_2 </math>, für die das Budget nicht gesprengt wird. Dafür führt das Langrangeverfahren den Lagrange Mutiplikator <math> \lambda </math> als eine Art Schattenpreis ein, den der Haushalt zahlen muss, wenn das Budget nicht eingehalten wird. Dies hat auch den Grund, warum für die richtige Interpretation von <math> \lambda </math> die Notation korrekt ist. Der Schattenpreis ist positiv. Sind die Konsumausgaben dementsprechend größer als das Budget, gilt <math> p_1x_1+p_2x_2>E </math> und dementsprechend <math> p_1x_1+p_2x_2-E>0 </math>. Da vor <math> \lambda </math> eine negatives Vorzeichen steht, wird von dem Nutzen etwas abgezogen, wenn die Konsumausgaben größer sind als das Budget. Gleichzeitig wird zum Nutzen etwas addiert, wenn die Konsumausgaben kleiner sind als das Budget. Im [[Haushaltsoptimum]] ist der Schattenpreis so gewählt, dass die Budgetrestriktion mit Gleichheit erfüllt ist. <math> \lambda </math> lässt sich berechnen, indem die Ausgerechneten optimalen Konsumniveus in einer der beiden FOC Gleichungen eingesetzt und nach <math> \lambda </math> umgestellt wird. 

Es lässt sich außerdem zeigen, dass <math> \lambda </math> der Grenznutzen des Einkommens ist. Steigt das Einkommen, steigt auch das Nutzenniveau im Optimum um <math> \lambda </math> Einheiten. (Für den Beweis siehe [[https://www.dropbox.com/scl/fi/r08jdx96k34h0sezg6jdc/Derivation_of_the_meaning_of_Lambda.pdf?rlkey=sq0futxbzz539dlg5dispw990&dl=0|hier]])

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage muss basierend auf den FOCs des Lagrangeverfahrens immer stimmen? Ein Konsument konsumiert zwei Güter (A und B). Im optimalen Konsumpunkt...
|type="()"}
+ ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von A dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von B
- ... entspricht der Grenznutzen von A dem Grenznutzen von B.
- ... entspricht der Grenznutzen von A mal dem Preis von A dem Grenznutzen von B mal dem Preis von B.
- ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von B dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von A.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{In welchem der Fälle ist das Lagrangeverfahren ohne Weiteres anwendbar?
|type="()"}
+ Wenn die Nutzenfunktion konvex ist.
- Wenn die Nutzenfunktion nicht differenzierbar ist.
- Wenn im optimalen Punkt nicht das gesammte Budget ausgeben wird.
- Wenn die Nebenbedingung nicht differenzierbar ist.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der Aussagen ist wahr?
|type="()"}
+ Das Lagrangeverfahren ist auch mit meheren Nebenbedingungen möglich.
- Die Hinreichende Bedingung zur Überprüfung auf ein Maximum ist bei einem Nutzenmaximierung-Probem mathematisch korrekt nie notwendig, da es sich rein formal immer nur um ein Maximum handeln kann.
- Der Lagrangemutiplikator <math> \lambda </math> hat keine Bedeutung.
- Ungeachtet des Preisverhältnisses ist eine rechnerische Lösung des Lagrangeverfahrens mit negativen Mengen nicht möglich.
</quiz>