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Eingriffe in das Marktgleichgewicht

2026-01-22T16:33:42Z

Okehne: /* Vollkommen elastische Nachfrage */

Eingriffe in das [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewicht des perfekten Wettbewerbs]] erfolgen häufig durch staatliche Interventionen. Ziel der folgenden Analyse ist es, die Implikationen dieser Eingriffe zu betrachten. In diesem Zusammenhang sollen auch die potenziellen Kosten dieser Interventionen betrachtet werden und analysiert werden unter welchen Gegebenheiten diese durch die Verzerrung privater Entscheidungen verursachten Kosten erwartungsgemäß größer bzw. kleiner sind. Dies kann auch als Ausgangspunkt für die Ausgestaltung eines effizienten Steuersystems angesehen werden.
 

__TOC__

==Steuern==
Steuern können unter anderem auf Güter oder auch Dienstleistungen erhoben werden. Hierbei gibt es zwei Möglichkeiten, wie sie erhoben werden können: Als Mengensteuer und als Wertsteuer. Bei der Wertsteuer wird ein prozentualer Steuersatz auf den Preis pro Einheit drauf geschlagen: <math> p^{neu}=(1+Steuer)*p^{alt} </math>. 
Die Mengensteuer wird pro verkaufte Einheit gezahlt. Rechnerisch wird also auf den Preis pro Einheit die Steuer addiert. Die Steuern werden entweder vom Anbieter oder vom Nachfrager erhoben. Rein rechnerisch wird zwischen dem Produzentenpreis (<math display="inline"> P_{A} </math>) und dem Konsumentenpreis (<math display="inline"> P_{N} </math>) unterschieden.
 
 
===Anbieter führt die Steuer ab===
In dem Fall, in dem der Produzent die Steuer abführen muss, besteht der Produzentenpreis pro Einheit (<math display="inline"> P_{A} </math> = der Anbiter- oder Produtentenpreis) aus dem Konsumentenpreis (<math display="inline"> P_{N} </math>) abzüglich der Mengensteuer: 
<math display="inline"> P_{A}=P_{N}-t </math> 
''Beispiel:'' Die Konsumenten zahlen an der Supermarktkasse 1,00€ pro Brötchen und die Steuer für die Produzenten beträgt pro Brötchen 0,50€. Der Produzentenpreis lege in diesem Fall bei 0,50€ (1€-0,5€). 
'''Analytisch''' ließ sich vor Einführung der Steuer ein [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewicht]] wie folgt ausrechnen: 
<math display="inline"> Q_{N}(P)=Q_{A}(P) </math> 
Auch mit der Mengensteuer schauen wir, bei welchem Preis die nachgefragte Menge der angebotenen Menge entspricht. 
<math display="inline"> Q_{N}(P_{N})=Q_{A}(P_{A}) </math> wobei wir an dieser Stelle die Relation der Preise kennen <math display="inline"> P_{A}=P_{N}-t </math> 
<math display="inline"> Q_{N}(P_{N})=Q_{A}(P_{N}-t) </math> 
'''Grafisch''' wird die [[Angebot|Angebotskurve]] um die Menge der Steuer nach oben verschoben. Intuitiv versteht sich die Mengensteuer als Erhöhung der Produktionskosten um die Mengensteuer. Im Schnittpunkt lässt sich der Konsumentenpreis (<math display="inline"> P_{N} </math>) finden, der abzüglich der Mengensteuer dem Produzentenpreis entspricht. 
===Nachfrager führt die Steuer ab===
Eine identische Intuition steckt hinter dem Fall, in dem die Nachfrager die Steuer abführen. Hier besteht der Konsumentenpreis pro Einheit (<math display="inline"> P_{N} </math> = den Preis den die Konsumenten für ein Gut bezahlen müssen) aus dem Produzentenpreis (<math display="inline"> P_{A} </math>) zuzüglich der Mengensteuer. 
<math display="inline"> P_{N}=P_{A}+t </math> 
Es wird ersichtlich, dass diese Gleichung lediglich eine Äquivalenzumformung aus der Gleichung aus dem Fall ist, bei dem der Produzent die Steuer abführen muss. 
''Beispiel:'' In einem Supermarkt zahlen Konsumenten nur die Nettopreise und neben den 0,50€, die das Brötchen selbst beim Anbieter gekostet hat, müssen hinterher noch 0,50€ pro Brötchen als Steuern bezahlt werden. Der tatsächliche gezahlte Preis liegt hier also nicht nur bei 0,50€, sondern bei 1,00€. 
'''Analytisch''' ist die Vorgehensweise zum Fall oben identisch: 
<math display="inline"> Q_{N}(P_{N})=Q_{A}(P_{A}) </math> wobei wir an dieser Stelle die Relation der Preise kennen <math display="inline"> P_{N}=P_{A}+t </math> 
<math display="inline"> Q_{N}(P_{A}+t)=Q_{A}(P_{A}) </math> 
'''Grafisch''' verschiebt sich die [[Nachfrage|Nachfragekurve]] nach unten. Intuitiv (und inhaltlich nicht vollständig korrekt) lässt sich die verschobene Nachfragekurve als 'Netto Nachfragekurve' interpretieren (welchen Preis zahlt der Konsument netto an den Produzenten). Der Schnittpunkt der neuen Nachfragekurve mit der Angebotskurve bildet den Produzentenpreis, auf den die Mengensteuer addiert werden muss, um die zu zahlenden Konsumentenpreis zu erlangen. 
<math display="inline"> P_{A}=P_{N}-t </math>
 
<math display="inline"> P_{N}=P_{A}+t </math>
 
Wer die Steuer abführen muss, ist jedoch für den Effekt der Steuer irrelevant. 
[[Datei:Produzent zahlt Steuer.png|251px|rahmenlos]]
[[Datei:Konsument zahlt Steuer.png|251px|rahmenlos]]
 
Wer einen größeren Teil der Steuerlast trägt (gemessen an Preiseffekten oder durch Konsumenten- oder Produzentenrente) lässt sich dadurch durch den Vergleich der [[Elastizitäten#Preiselastizität der Nachfrage|Preiselastizität der Nachfrage]] und der [[Elastizitäten#Preiselastizität des Angebots|Preiselastizität des Angebots]] sagen. Die prozentuale Mengenänderung der elastischeren Marktseite wäre größer als bei der unelastischeren Seite, weshalb die Steuerlast stärker von der unelastischeren Marktseite getragen wird.
 
 

===Vollkommen elastische Nachfrage===
Eine Besonderheit tritt bei einer [[Elastizitäten#Preiselastizität der Nachfrage|vollkommen elastischen Preiselastizität der Nachfrage]] auf. Bei dieser sind die Konsumenten nur zu einem bestimmten Preis bereit Güter zu kaufen (etwa weil es nahe Substitute gibt). Da sich im [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewicht]] genau dieser Preis einstellt, haben Konsumenten keinen Nutzengewinn. In dem Fall zahlen sie einen Preis, der ihrer maximale Kaufbereitschaft entspricht. 
Wie in der Abbildung ersichtlich ist keine [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Konsumentenrente|Konsumentenrente]] vorhanden. Die [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Produzentenrente|Produzentenrente]] ist in der roten Fläche eingezeichnet. Eine Steuer würde den Produzentenpreis (<math display="inline"> P_{A} </math>), also den Preis, den Produzenten behalten dürfen, senken. Die Produzentenrente verringert sich und es entstehen Steuereinnahmen (orangene Fläche). Insgesamt reduziert sich jedoch die Gesamtwohlfahrt um den Wohlfahrtsverlust (graue Fläche). 
[[Datei:Steuer 1.png|281px|rahmenlos]]
[[Datei:Steuer 2.png|251px|rahmenlos]]
 
 

===Vollkommen elastisches Angebot===
Bei einem [[Elastizitäten#Preiselastizität des Angebots|vollkommen elastischen Angebot]] bieten Unternehmen nur zu einem bestimmten Preis an, der sich im [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewicht]] als Marktpreis einstellt. Die Fläche zwischen der Nachfragefunktion und dem Marktpreis ist die [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Konsumentenrente|Konsumentenrente]]. Die [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Produzentenrente|Produzentenrente]] ist in diesem Fall nicht vorhanden, da keine Güter für einen geringeren Preis verkauft werden würden. Eine Steuer verändert das Marktgleichgewicht in einer Art und Weise, in der sich der Konsumentenpreis (<math display="inline"> P_{N} </math>) erhöht. Dadurch verringert sich die Konsumentenrente (blaue Fläche), Steuereinnahmen (orangene Fläche) und ein Wohlfahrtsverlust (graue Fläche) entstehen. Insgesamt verringert sich die Gesamtwohlfahrt. 
[[Datei:Steuer 3.png|261px|rahmenlos]]
[[Datei:Steuer 4.png|251px|rahmenlos]]
 
 

===Vollkommen unelastische Nachfrage===
Bei einer [[Elastizitäten#Preiselastizität der Nachfrage|vollkommen unelastischen Nachfrage]] fragen Konsumenten eine sich nicht verändernde Menge eines Gutes nach. Beispiel: lebensnotwendige Güter. Hierbei ist die Höhe des Preises für die Menge irrelevant. Die [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Konsumentenrente|Konsumentenrente]] liegt auch hier zwischen der [[Nachfrage|Nachfragefunktion]] und dem Preis, den die Konsumenten zahlen müssen. Diese Fläche ist in der Abbildung blau eingezeichnet und ist unendlich groß. Eine Steuer erhöht den Konsumentenpreis (<math display="inline"> P_{N} </math>) und ändert somit den Preis, den die Konsumenten zahlen müssen. Die Fläche zwischen der Nachfragefunktion und dem zu zahlenden Konsumentenpreis bildet auch hier die Konsumentenrente, die noch immer unendlich groß ist, jedoch um die Steuereinnahmen (orangene Fläche) verringert wurde. Es entsteht bei einer vollkommen unelastischen Nachfrage kein Wohlfahrtsverlust und die Gesamtwohlfahrt ist unverändert, da die Steuereinnahmen im Modell der Gesamtwirtschaft zugutekommen. 
[[Datei:Steuer 5.png|251px|rahmenlos]]
[[Datei:Steuer 6.png|251px|rahmenlos]]
 
 

===Vollkommen unelastisches Angebot===
Bei einem [[Elastizitäten#Preiselastizität des Angebots|vollkommen unelastischen Angebot]] bieten Produzenten eine sich nicht verändernde Menge eines Gutes an. Ähnlich bei der vollkommen unelastischen Nachfrage reagiert die angebotene Menge nicht auf eine Preisänderung. Die [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Konsumentenrente|Konsumentenrente]] ist in der Abbildung unten blau und die [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Produzentenrente|Produzentenrente]] rot eingezeichnet. Durch die Einführung einer Mengensteuer verringert sich der Produzentenpreis (<math display="inline"> P_{A} </math>), also der Preis den die Produzenten letztlich behalten. Hierdurch entstehen Steuereinnahmen (orangene Fläche) und die Produzentenrente verringert sich um die Steuereinnahmen. Die Konsumentenrente und damit auch Gesamtwohlfahrt bleibt unverändert. 
[[Datei:Steuer 7.png|271px|rahmenlos]]
[[Datei:Steuer 8.png|251px|rahmenlos]] 
 

 

==Zölle und Importquoten==
===Freihandel und Protektionismus===
In der ersten Abbildung lässt sich der Freihandel und der komplett protektionistische Inlandshandel vergleichen. Im Falle des rein inländischen Handels liegt der Preis bei <math display="inline"> p^{*} </math> und die gehandelte Menge bei <math dispay="inline"> Q^{*} </math>. Die [[Konsumentenrente und Produzentenrente|Konsumentenrente]] umfasst AFB und die [[Konsumentenrente und Produzentenrente|Produzentenrente]] BFD. Durch die Einführung des Weltmarkthandels, sinkt der Preis auf <math display="inline"> p_{W} </math>. Zu diesem Preis wird nur eine Menge bis E durch das Inland angeboten, nachgefragt wird im Inland jedoch bis zu G. Die Differenz (von E zu G) wird durch Importe abgedeckt. Die [[Konsumentenrente und Produzentenrente|Konsumentenrente]] beträgt nun ACG (blaue Fläche linke Abbildung) und die [[Konsumentenrente und Produzentenrente|Produzentenrente]] CDE (rote Fläche linke Abbildung). Wie zu sehen ist, ist die Gesamtwohlfahrt im Inland bei Freihandel um EFG größer als im Vergleich zum protektionistischen Handel. Eine protektionistische Form des Wirtschaftens ist somit nicht [[Effizienz|pareto effizient]]. In einem Fall, in dem der Weltmarktpreis über dem Inlandspreis liegt, steigt der Preis. 
[[Datei:Freihandel.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Protektionismus.png|370px|rahmenlos]]
 
 
===Die Erhebung von Zöllen===
Werden Zölle (typischerweise auf Importgüter) erhoben, liegt in der Konsequenz der Weltmarktpreis unterhalb des Gleichgewichtspreises im Inland liegt. Der Zoll treibt einen Keil zwischen die beiden Preise. Ohne Eingriff liegt der inländische Preis beim Weltmarktpreis und die durch den Inland angebotene Menge ist beim Marktpreis geringer als die nachgefragte Menge. Die Differenz zwischen der vom Inland angebotenen Menge und der im Inland nachgefragten Menge wird durch Importe gedeckt (siehe Abbildung oben). 
Im Falle eines Importzolls ist der Gleichgewichtspreis des Inlands unverändert, nur der Preis, der durch die Produktion im Ausland kommt, erhöht sich um den Zoll <math display="inline"> p_{W}+t </math>. Hierdurch liegt der endgültige Preis über dem Preis ohne Zoll. Die Differenz zwischen der inländisch angebotenen Menge und der zu dem Preis inländisch nachgefragten Menge ist geringer und damit auch der Import. 
Die Einführung von Importzöllen erhöht den Marktpreis um die Höhe des Zolls. Die Differenz zwischen dem neuen und dem alten Weltmarktpreis multipliziert mit der Zollhöhe, ergeben die Zolleinnahmen (gelbe Fläche). Die Gesamtwohlfahrt ist im Vergleich zum Fall ohne Zölle geringer (graue Fläche rechte Abbildung).
 
 

===Importquoten===
Importquoten sind eine festgelegte Menge, die importiert werden darf und eine alternative Möglichkeit, um die inländische Produktion im Ganzen oder in Sektoren vor der günstigeren Produktion im Ausland zu schützen. Auch in diesem Fall liegt der endgültige Preis unter dem Gleichgewichtspreis, der sich im Inland ergeben würde. Er ergibt sich aus dem Schnittpunkt der Nachfragekurve im Inland mit der Angebotskurve aus dem Inland addiert mit der Menge aus der Importquote.

==Subventionen==
Subventionen können auf Güter oder auch Dienstleistungen gezahlt werden. Die Funktion von Subventionen verhält sich vergleichbar wie die der [[Eingriffe in das Marktgleichgewicht#Steuern|Steuern]], weshalb sie häufig auch als negative Steuern bezeichnet werden. Wenn sich der Staat dazu entschließt Subventionen zu zahlen, um zum Beispiel einen Wirtschaftssektor zu unterstützen, dann kann er dies durch Zuschüsse in der Produktion tun. Die Produktion der einzelnen Einheiten kostet nach wie vor genauso viel, doch bekommen die produzierenden Unternehmen finanzielle Unterstützung und müssen daher für jede Einheit weniger zahlen. Die [[Angebot|Angebotskurve]] verschiebt sich fiktiv nach unten/rechts. Es ergibt sich nun ein neues Gleichgewicht, bei dem die Menge höher und der Preis niedriger verglichen mit dem Gleichgewicht ohne Subventionen ist. 
[[Datei:Subvention1.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Subvention2.png|320px|rahmenlos]]
 
 
Wie in der Abbildung oben zu sehen ist, stellt sich ein neues Gleichgewicht mit der Menge <math display="inline"> Q_{1} </math> ein. Die Konsumenten haben durch die Subventionen nur einen Preis <math display="inline"> p_{2} </math> zu zahlen, die Produzenten können zum Preis <math display="inline"> p_{1} </math> verkaufen. Die Differenz zwischen den beiden Preisen entspricht der Subventionshöhe und wird vom Staat übernommen. Daher ergeben sich für den Staat kosten, die der Subventionshöhe multipliziert mit den verkauften Einheiten (<math display="inline"> Q_{1} </math>) entsprechen (gelbe Fläche).
 
 
===Die Gesamtwohlfahrt bei Subventionen===
Konsumenten haben durch die Subventionen nur einen Preis <math display="inline"> p_{2} </math> zu zahlen, die Produzenten können zum Preis <math display="inline"> p_{1} </math> verkaufen. Die Differenz zwischen den beiden Preisen entspricht der Subventionshöhe und wird vom Staat übernommen. 
Durch die Subvention fragen die Konsumenten mehr zu einem günstigeren Preis nach, wodurch sich die Konsumentenrente (blaue Fläche) vergrößert. Die zusätzliche Rente lässt sich in der Fläche <math display="inline> p^{*} H F p_{2} </math> erkennen.
Die Produzentenrente (rote Fläche) vergrößert sich ebenfalls, denn die Produzenten erhalten eine Subvention pro produzierte Einheit. Der Zugewinn der Produzentenrente lässt sich in der <math display="inline> p_{1} D H p_{2} </math> Fläche erkennen.
Zusammen entsprechen beide Zugewinne der jeweiligen Rente allerdings nicht exakt der gelben Fläche, also den Ausgaben des Staates. Die Fläche DHF ist Teil der Kosten, aber kein Teil der zusätzlichen Rente und stellt daher den Wohlfahrtsverlust dar. 
[[Datei:Subvention3.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Subvention4.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Subvention5.png|300px|rahmenlos]]

==Bindender Mindestpreis==
Ein Mindestpreis ist eine den Preis betreffende Vorgabe, die festschreibt, wie niedrig ein Preis maximal sein darf. Ein Preis unter einem Mindestpreis ist nicht mehr möglich, ein Preis über dem Mindestpreis jedoch schon. Liegt der festgelegte Mindestpreis unterhalb des Gleichgewichtspreises, ist dieser nicht wirksam. Es würde sich das [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewicht]] mitsamt seinem Preis einstellen. Liegt der Mindestpreis jedoch über dem Gleichgewichtspreis, ist dieser bindend. 
''Beispiel'': Auf einem Viehmarkt existiert ein Mindestpreis von 100€ pro Kuh. Würde der Preis der Bauern für ihre Kühe jeweils 200€ betragen, dürfen sie diese auch weiterhin für diesen Preis verkaufen. Liegt der Preis der Bauern jedoch nur bei 80€, so dürfen sie ihre Kühe für wenigstens 100€ verkaufen. 
[[Datei:RenteOhneMindestpreis.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:RenteMindestpreis.png|301px|rahmenlos]] 
 
In dem Beispiel oben liegt der Mindestpreis (<math display="inline"> p_{min} </math>) über dem Gleichgewichtspreis (<math display="inline"> p^{*} </math>) und ist daher bindend. Bei diesem Mindestpreis wird eine Menge <math display="inline"> Q_{1} </math> angeboten, jedoch nur eine Menge <math display="inline"> Q_{2} </math> nachgefragt. Es wird also mehr angeboten als nachgefragt, was ein Angebotsüberschuss darstellt. Aus diesem Grund verringert sich die Konsumentenrente (als blaue Fläche eingezeichnet) im Vergleich zum Fall ohne bindenden Mindestpreis. Ob sich die Produzentenrente (als rote Fläche eingezeichnet) insgesamt verringert oder vergrößert lässt sich allgemein nicht sagen, hier kommt es auf den Verlauf der Angebotsfunktion an. Klar ist, die Gesamtwohlfahrt verringert sich um den Wohlfahrtsverlust (graue Fläche) und das neue [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewicht]] ist [[Effizienz|ineffizient]].

==Preisstützen==
Eine Möglichkeit, um den Effekt des bindenden Mindestpreises ebenfalls zu erreichen sind Preisstützen. In diesem Fall kann ein Preis oberhalb des Gleichgewichtspreises durchgesetzt werden, in dem Regierungen (oder andere Dritte) die Überproduktion zu diesem Preis abkaufen. 
[[Datei:PreisstützeRente1.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:PreisstützeRente2.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Preisstütze.png|300px|rahmenlos]]
 
 
In der Abbildung oben ist das Prinzip der Preisstütze grafisch erklärt. Der Staat tritt selbst als Nachfrager in dem Markt auf und fragt eine Menge <math display="inline"> Q_{g} </math> nach, sodass sich die [[Nachfrage|Nachfragekurve]] D so weit verschiebt, bis mit D' und S der gewünschte Marktgleichgewichtspreis entsteht. Der daraus resultierende Marktpreis liegt bei <math display="inline"> p_{S} </math> und die [[Konsumentenrente und Produzentenrente|Konsumentenrente]] (in blau) beträgt jetzt daher die Fläche ABE und die [[Konsumentenrente und Produzentenrente|Produzentenrente]] (in rot) BDI. Da der Staat die Differenz zwischen <math display="inline"> Q_{2} </math> und <math display="inline"> Q_{1} </math> aufkauft, entstehen Kosten für den Staat, die in der Fläche EGIJ zu finden sind. 
Neben den Kosten entsteht außerdem ein Wohlfahrtsverlust, da im neuen Gleichgewicht zu einem höheren Preis mehr nachgefragt wird, als es effizient wäre. Es liegt die Vermutung nahe, dass die Fläche, die auch schon die Kosten zeigen (EGIJ) gleichzeitig den Wohlfahrtsverlust widerspiegeln. Dem ist jedoch nicht so. Aufgrund des Einschreitens des Staates ist die Gesamtrente, also die Konsumentenente addiert mit der Produzentenrente, größer. Um genau zu sein vergrößert sie sich um das Dreieck EHI. Das Dreieck ist zwar Teil der Kosten, aber auch Teil der zusätzlichen Wohlfahrt und stellt daher kein Wohlfahrtsverlust dar. Zur Verdeutlichung lässt sich ein Szenario kreieren, in dem sich der Staat durch die Firmen finanziert. In diesem Fall würden die Firmen die Ausgaben tätigen, bekommen dafür aber auch höhere Einnahmen. Das Dreieck EFH ist ebenso Teil der Gesamtwohlfahrt und Teil der Kosten, jedoch auch Teil des Wohlfahrtsverlusts. Dies ist damit begründet, dass es bereits ohne staatlichen Eingriff Teil der Wohlfahrt war und daher keine zusätzliche Rente trotz Kosten ist. 
Der gesamte Wohlfahrtsverlust ist daher in der Fläche des grauen Fläche sichtbar.

==Bindende Höchstpreise==
Die Funktionsweise eines Höchstpreises ist ähnlich zu der des Mindestpreises. Der Höchstpreis bestimmt, wie hoch der Preis maximal sein darf. Preise über diesem sind nicht mehr möglich. Liegt der Höchstpreis über dem Gleichgewichtspreis, so würde sich der Gleichgewichtspreis einstellen. Ist der Höchstpreis jedoch unter dem Gleichgewichtspreis, so ist dieser bindend. 
[[Datei:Höchstpreis.png|501px|rahmenlos]]
 
 
In dem Beispiel oben ist der Höchstpreis (<math display="inline"> p_{max} </math>) bindend. Zu diesem Preis wird eine Menge <math display="inline"> Q_{1} </math> nachgefragt, jedoch nur eine Menge <math display="inline"> Q_{2} </math> angeboten. Es liegt demnach ein Nachfrageüberschuss vor. Dieser Überschuss ist [[Effizienz|ineffizient]] und ist im Wohlfahrtsverlust (Fläche BCD) sichtbar. Es wird bei einem zu niedrigen Preis eine zu geringe Menge angeboten. Die Intuition der [[Konsumentenrente und Produzentenrente]] ist identisch zum Fall des [[Eingriffe in das Marktgleichgewicht#Bindender Mindestpreis|bindenden Mindestpreises]].

==Produktionsquoten==
Eine weitere Möglichkeit für den Staat Preise zu stützen sind Produktionsquoten, über die nicht hinweg produziert werden darf. Eine wirksame Quote liegt unter der Gleichgewichtsmenge und führt zu einem Knick in der [[Angebot|Angebotsfunktion]]. Bei einer Menge unterhalb der Regelung ist die neue Angebotsfunktion identisch mit der alten ohne staatlichen Eingriff. Ab der durch die Produktionsquote eingeführten Menge ist die Angebotsfunktion vertikal, es wird also immer maximal diese Menge angeboten, auch wenn der Preis sehr groß ist. 
[[Datei:Produktionsquoten.png|500px|rahmenlos]] 
 
Grafisch lässt sich eine Produktionsquote wie oben darstellen. Das [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewicht]] stellt sich ohne Eingriff bei Q* und p* ein. Durch die Produktionsquote verändert sich die [[Angebot|Angebotskurve]] und das neue Gleichgewicht stellt sich im Schnittpunkt der neuen Funktion mit der [[Nachfrage|Nachfragefunktion]] ein. Der neue Preis liegt nun bei <math display="inline"> p_{1} </math> und die Menge bei <math display="inline"> Q_{1} </math>. Hieraus ergibt sich ein Wohlfahrtsverlust, der als graue Fläche eingezeichnet ist.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Einige ausländische Produzenten bevorzugen eine Importquote gegenüber einem Zoll, da ...
|type="()"}
+ ... einige ausländische Produzenten bei einer Quote einen höheren Preis erzielen.
- ... einige ausländische Produzenten bei einer Quote einen niedrigeren Preis erzielen.
- ... die inländischen Produzenten die Quote bevorzugen.
- ... sie tun dies gar nicht. Sie bevorzugen den Zoll.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen das Angebot von Software ist vollkommen elastisch und der Staat führt eine Mengensteuer von 5€ ein. Um wie viel steigt der Konsumentenpreis?
|type="()"}
+ Er steigt um 5€
- Er steigt um mehr als 2,50€ aber um weniger als 5€
- Er steigt um weniger als 5€
- Der Preis für die Konsumenten verändert sich nicht
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wenn der Staat auf Wettbewerbsmärkten eine Steuer erhebt,
|type="()"}
+ steigt der Konsumentenpreis des Gutes stärker als der Produzentenpreis, wenn die Nachfrage weniger elastisch als das Angebot ist.
- steigt der Konsumentenpreis des Gutes stärker als der Prdouzentenpreis, wenn die Nachfrage elastischer als das Angebot ist.
- steigt der Konsumentenpreis nicht, wenn die Nachfrage vollkommen unelastisch ist.
- steigt der Produzentenpreis, wenn das Angebot vollkommen elastisch ist.
</quiz>

Produktionsfunktion und Isoquante

2025-12-23T00:14:17Z

Okehne: /* Grenzrate der technischen Substitution */

==Definition==
Die Produktionsfunktion gibt an, wie groß die Produktionsmenge ist, die mit gegeben Kombinationen der Inputs produziert werden kann. Die Umwandlung aller Inputs zu den produzierten Gütern wird als Produktionstechnologie bezeichnet. Die Inputs selbst werden auch als Inputfaktoren bezeichnet. Typische Inputfaktoren sind Arbeit (L) und Kapital (K).

__TOC__

==Die Produktionsfunktion==
Die Produktionsfunktion gibt an, mit welchen Inputfaktoren welche Menge produziert werden kann. Abhängig von der gewählten Technologie kann die Anzahl der Inputfaktoren und die Funktion selbst variieren. In der Literatur wird sich häufig auf zwei Inputfaktoren, Kapital (K) und Arbeit (L) beschränkt, doch können in anderen Produktionen durchaus eine veränderte Anzahl von Inputfaktoren benötigt werden. 
<math> Q=F(K,L)</math>
beschreibt, dass eine Menge Q mit einer Produktionsfunktion F produziert wird, die abhängig ist von den beiden Inputs K und L. 
''Beispiel'': Ein Unternehmen produziert mit einer Produktionsfunktion von <math> F(K,L)=K L </math>. Mit einem Kapitaleinsatz von 5 und 2 Einheiten von L, kann das Unternehmen 10 Einheiten produzieren.

==Durchschnittsprodukt und Grenzprodukt==
In der Analyse wie groß die Produktionsmenge pro Einheit eines bestimmten Inputfaktors durchschnittlich ist, muss die Produktionsmenge durch die Inputmenge geteilt werden. Werden mit 5 Arbeitern 50 Einheiten produziert, so produziert jeder Arbeiter im Durchschnitt 10 Einheiten. Allgemein lässt sich die Produktionsfunktion, die die Produktionsmenge beschreibt, durch die Inputmenge teilen. 
Durchschnittsprodukt der Arbeit: <math>DPL=\frac{F(K,L)}{L} </math> 
Soll das Durchschnittsprodukt der Arbeit berechnet werden, kann die Produktionsfunktion durch eine allgemeine Menge der Arbeit geteilt werden. Das Ergebnis ist eine Funktion, die das Durchschnittsprodukt für ein allgemeines L angibt. Ist das DPL beispielsweise gleich 10/L, so ist das DPL für 5 Arbeiter 2 und für 2 Arbeiter 5. Es kann auch Fälle geben, für die das Durchschnittsprodukt der Arbeit eine konstante Zahl ist. In dem Fall ist das DPL konstant und unabhängig von L. 
Das Durchschnittsprodukt lässt sich für sämtliche Inputfaktoren auf dieselbe Art berechnen und ist aus der Berechnung der [[Kostenarten#Durchschnittliche Kosten|durchschnittlichen Kosten]] bekannt. 
 
Das Grenzprodukt betrachtet um wie viel eine [[Marginale Sichtweise|marginale Einheit]] eines Inputfaktors ceteris paribus die Produktionsmenge verändert. Diese marginale Änderung ist in der Ableitung der Produktionsfunktion nach dem zu betrachtenden Inputfaktor beschrieben. Ist zum Beispiel das Grenzprodukt der Arbeit von Interesse, so wird die Produktionsfunktion nach L abgeleitet (<math> \frac{\part F(K,L)}{\part L}</math>). 
 
 
[[Datei:GP und DP.png|250px|rahmenlos|links]]
Die Relation zwischen dem Durchschnittsprodukt und dem Grenzprodukt wird in der Abbildung links deutlich. Seien alle Inputfaktoren konstant, verändert ein steigendes Level von L den Output. Ohne Arbeit findet keine Produktion statt und je mehr L eingesetzt wird, desto größer wird anfangs die Produktionsmenge. Dabei steigt die Menge nicht nur, sie steigt auch immer stärker. Jede einzelne Einheit von L erhöht die Produktionsmenge stärker als die Einheit vorher. Das Grenzprodukt ist demnach positiv und steigend. Bei einer Menge <math> L_1 </math> steigt der Output am stärksten an, das Grenzprodukt hat hier sein Maximum. Nach diesem sinkt das Grenzprodukt und bleibt dabei positiv. Die Produktionsmenge steigt demnach weiter, jedoch sind zusätzliche Einheiten Arbeit weniger effektiv als die vorigen. Sobald das Grenzprodukt negativ wird, reduziert jede weitere Einheit die Produktionsmenge, daher hat die Produktionsfunktion bei <math> L_3 </math> ein Maximum. 
Die Steigung der gestrichelten Linie, die durch den Ursprung und einen Punkt auf der Produktionsfunktion verläuft, stellt das Durchschnittsprodukt für die jeweilige Menge von L dar. Startend bei L=0 steigt das Durchschnittsprodukt, ehe es nach <math> L_2 </math> wieder anfängt zu sinken. Die DPL-Funktion besitzt bei dieser Menge ein Maximum. Es kann allgemein bewiesen werden, dass die GP-Funktion durch das lokale Maximum verläuft. 
<math> \frac{\part DPL}{\part L}=\frac{\part[\frac{F(K,L)}{L}]}{\part L}=\frac{F_L(K,L)*L-F(K,L)*1}{L^2}=0 </math> 
<math> F_L(K,L)*L-F(K,L)=0 </math> 
<math> F_L(K,L)*L=F(K,L) </math> 
<math> F_L(K,L)=\frac{F(K,L)}{L} </math> 
<math> GPL=DPL </math> 
Im Extrempunkt des Durchschnittsprodukt ist dieses gleich dem Grenzprodukt.

 

==Isoquante==
Die Isoquante gibt alle möglichen Kombinationen der Inputfaktoren an, bei denen die Produktionsmenge konstant bleibt <math> \bar{Q}=F(K,L) </math>. Zu grafischen Darstellung muss nach einer der beiden Inputfaktoren umgestellt werden. Sei beispielsweise <math>F(K,L)=K^{0,5}L^{0,5}</math> die Produktionsfunktion. Ein konstantes Produktionslevel führt zu 
<math> K=\frac{\bar{Q}^2}{L} </math> 
Analog zu den [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurven]], können die Isoquanten grafisch dargestellt werden. 
[[Datei:Isoquante.png|300px|rahmenlos]] 
Unbeachtet dessen, dass Isoquanten auch anders verlaufen können, sind die obigen typisch, da sie ein abnehmendes Grenzprodukt implizieren. Ein abnehmendes Grenzprodukt beschreibt das Phänomen, dass der [[Marginale Sichtweise|marginale Nutzen]] einer Einheit bei einem steigen des Inputleveles kleiner wird. Wenn in einer Pizzeria ein Arbeiter anfängt, ist das Grenzprodukt dieses Arbeiters sehr groß. Ein weiterer Arbeiter produziert selbst nicht mehr so viele Pizzen wie der erste, aber immer noch mehr als der dritte. Je mehr Pizzabäcker eingestellt werden, desto kleiner wird das Grenzprodukt. Ist die unterste Isoquante Teil der Betrachtung und in der derzeitigen Güterkombination wird sie mit einem geringen Kapitaleinsatz und sehr hohen Arbeitseinsatz erreicht, benötigt es einen sehr großen zusätzlichen Arbeitseinsatz, um nur eine Einheit des Kapitals einsparen zu können.

==Grenzrate der technischen Substitution==
Die Grenzrate der technischen Substitution beschreibt das marginale Austauschverhältnis der beiden Inputs, um das Produktionsniveau beizubehalten (vgl. MRS). Angenommen <math> \Delta L </math> soll eingespart werden. Damit weiterhin <math> Q_1 </math> erreicht wird benötigt es <math> \Delta K </math>. In ein Verhältnis zueinander gesetzt sagt die GRTS aus, wie viele Einheiten von K es benötigt, um eine Einheit von L einzusparen. 
<math> GRTS_{L,K}=-\frac{\Delta K}{\Delta L}=\frac{GP_L}{GP_K} </math> 
Eine marginale Sichtweise lässt <math> \Delta </math> gegen null streben. Dafür ergibt sich: 
<math> GRTS_{L,K}=\frac{\frac{\part F(K,L)}{\part L}}{\frac{\part F(K,L)}{\part K}} </math>
[[Datei:GRTS.png|300px|rahmenlos]]

==Spezialfälle der Isoquante==
Isoquanten können entgegen der Darstellung oben durchaus auch anders verlaufen. Beispiele wären Produktionen, in denen die Inputfaktoren beliebig miteinander substituiert werden können (links). Eine Produktion, bei der die Inputfaktoren nur in einem festen Verhältnis zueinander effizient eingesetzt werden, ist ebenfalls denkbar (mitte), wie eine konkave Indifferenzkurve (rechts). 
[[Datei:Isoquante2.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Isoquante3.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Isoquante4.png|310px|rahmenlos]]
 

==Die kurze und die lange Frist==
In der kurzen Frist kann es vorkommen, dass nicht alle Produktionsfaktoren variabel sind. Es dauert beispielsweise seine Zeit ein weiteres Fabrikgebäude zu bauen. Daher sind einige Inputfaktoren nur langfristig variabel. Diese sind in der kurzen Sichtweise Teil der [[Kostenarten#Fixkosten|Fixkosten]], während sie in der langen Sicht Teil der [[Kostenarten# Variable Kosten|variablen Kosten]] sind. Typischerweise wird in der kurzen Frist angenommen, dass nur die Anzahl an Arbeit (L) verändert werden kann, wo hingegen Kapital (K) fix angenommen wird.

==MC Fragen==

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Die Produktionsfunktion eines Unternehmens beschreibt
|type="()"}
- die Menge, die zur Gewinnmaximierung produziert werden sollte
+ was technisch machbar ist, wenn das Unternehmen effizient produziert
- den von einem effizient produzierenden Unternehmen erzielten Erlös
- die tatsächliche Produktion des Unternehmens mit gegebenen Inputs
- (alle Antwortmöglichkeiten sind richtig)
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wenn Arbeit der einzig variable Input ist, erreicht das Grenzprodukt sein Maximum
|type="()"}
+ in dem Punkt, in dem sich die Krümmung der Gesamtproduktkurve verändert.
- in dem Punkt, in dem die Durchschnittsproduktkurve die Steigung null hat.
- in dem Punkt, in dem das Durchschnittsprodukt gleich dem Grenzprodukt ist.
- in dem Punkt, in dem sich die Gesamtproduktkurve nach unten neigt.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen das Unternehmen Burger Paradise produziert mit folgender Produktionsfunktion: <math> F(K,L)=ln(L)+\sqrt{K} </math>. Wie lautet die GRTS?
|type="()"}
- <math> GRTS_{K,L}=\frac{2\sqrt{K}}{L} </math>
+ <math> GRTS_{L,K}=\frac{2\sqrt{K}}{L} </math>
- <math> GRTS_{K,L}=\frac{2L}{\sqrt{K}} </math>
- <math> GRTS_{L,K}=\frac{ln(L)}{2K} </math>
</quiz>

Produktionsfunktion und Isoquante

2025-12-23T00:12:45Z

Okehne: /* Grenzrate der technischen Substitution */

==Definition==
Die Produktionsfunktion gibt an, wie groß die Produktionsmenge ist, die mit gegeben Kombinationen der Inputs produziert werden kann. Die Umwandlung aller Inputs zu den produzierten Gütern wird als Produktionstechnologie bezeichnet. Die Inputs selbst werden auch als Inputfaktoren bezeichnet. Typische Inputfaktoren sind Arbeit (L) und Kapital (K).

__TOC__

==Die Produktionsfunktion==
Die Produktionsfunktion gibt an, mit welchen Inputfaktoren welche Menge produziert werden kann. Abhängig von der gewählten Technologie kann die Anzahl der Inputfaktoren und die Funktion selbst variieren. In der Literatur wird sich häufig auf zwei Inputfaktoren, Kapital (K) und Arbeit (L) beschränkt, doch können in anderen Produktionen durchaus eine veränderte Anzahl von Inputfaktoren benötigt werden. 
<math> Q=F(K,L)</math>
beschreibt, dass eine Menge Q mit einer Produktionsfunktion F produziert wird, die abhängig ist von den beiden Inputs K und L. 
''Beispiel'': Ein Unternehmen produziert mit einer Produktionsfunktion von <math> F(K,L)=K L </math>. Mit einem Kapitaleinsatz von 5 und 2 Einheiten von L, kann das Unternehmen 10 Einheiten produzieren.

==Durchschnittsprodukt und Grenzprodukt==
In der Analyse wie groß die Produktionsmenge pro Einheit eines bestimmten Inputfaktors durchschnittlich ist, muss die Produktionsmenge durch die Inputmenge geteilt werden. Werden mit 5 Arbeitern 50 Einheiten produziert, so produziert jeder Arbeiter im Durchschnitt 10 Einheiten. Allgemein lässt sich die Produktionsfunktion, die die Produktionsmenge beschreibt, durch die Inputmenge teilen. 
Durchschnittsprodukt der Arbeit: <math>DPL=\frac{F(K,L)}{L} </math> 
Soll das Durchschnittsprodukt der Arbeit berechnet werden, kann die Produktionsfunktion durch eine allgemeine Menge der Arbeit geteilt werden. Das Ergebnis ist eine Funktion, die das Durchschnittsprodukt für ein allgemeines L angibt. Ist das DPL beispielsweise gleich 10/L, so ist das DPL für 5 Arbeiter 2 und für 2 Arbeiter 5. Es kann auch Fälle geben, für die das Durchschnittsprodukt der Arbeit eine konstante Zahl ist. In dem Fall ist das DPL konstant und unabhängig von L. 
Das Durchschnittsprodukt lässt sich für sämtliche Inputfaktoren auf dieselbe Art berechnen und ist aus der Berechnung der [[Kostenarten#Durchschnittliche Kosten|durchschnittlichen Kosten]] bekannt. 
 
Das Grenzprodukt betrachtet um wie viel eine [[Marginale Sichtweise|marginale Einheit]] eines Inputfaktors ceteris paribus die Produktionsmenge verändert. Diese marginale Änderung ist in der Ableitung der Produktionsfunktion nach dem zu betrachtenden Inputfaktor beschrieben. Ist zum Beispiel das Grenzprodukt der Arbeit von Interesse, so wird die Produktionsfunktion nach L abgeleitet (<math> \frac{\part F(K,L)}{\part L}</math>). 
 
 
[[Datei:GP und DP.png|250px|rahmenlos|links]]
Die Relation zwischen dem Durchschnittsprodukt und dem Grenzprodukt wird in der Abbildung links deutlich. Seien alle Inputfaktoren konstant, verändert ein steigendes Level von L den Output. Ohne Arbeit findet keine Produktion statt und je mehr L eingesetzt wird, desto größer wird anfangs die Produktionsmenge. Dabei steigt die Menge nicht nur, sie steigt auch immer stärker. Jede einzelne Einheit von L erhöht die Produktionsmenge stärker als die Einheit vorher. Das Grenzprodukt ist demnach positiv und steigend. Bei einer Menge <math> L_1 </math> steigt der Output am stärksten an, das Grenzprodukt hat hier sein Maximum. Nach diesem sinkt das Grenzprodukt und bleibt dabei positiv. Die Produktionsmenge steigt demnach weiter, jedoch sind zusätzliche Einheiten Arbeit weniger effektiv als die vorigen. Sobald das Grenzprodukt negativ wird, reduziert jede weitere Einheit die Produktionsmenge, daher hat die Produktionsfunktion bei <math> L_3 </math> ein Maximum. 
Die Steigung der gestrichelten Linie, die durch den Ursprung und einen Punkt auf der Produktionsfunktion verläuft, stellt das Durchschnittsprodukt für die jeweilige Menge von L dar. Startend bei L=0 steigt das Durchschnittsprodukt, ehe es nach <math> L_2 </math> wieder anfängt zu sinken. Die DPL-Funktion besitzt bei dieser Menge ein Maximum. Es kann allgemein bewiesen werden, dass die GP-Funktion durch das lokale Maximum verläuft. 
<math> \frac{\part DPL}{\part L}=\frac{\part[\frac{F(K,L)}{L}]}{\part L}=\frac{F_L(K,L)*L-F(K,L)*1}{L^2}=0 </math> 
<math> F_L(K,L)*L-F(K,L)=0 </math> 
<math> F_L(K,L)*L=F(K,L) </math> 
<math> F_L(K,L)=\frac{F(K,L)}{L} </math> 
<math> GPL=DPL </math> 
Im Extrempunkt des Durchschnittsprodukt ist dieses gleich dem Grenzprodukt.

 

==Isoquante==
Die Isoquante gibt alle möglichen Kombinationen der Inputfaktoren an, bei denen die Produktionsmenge konstant bleibt <math> \bar{Q}=F(K,L) </math>. Zu grafischen Darstellung muss nach einer der beiden Inputfaktoren umgestellt werden. Sei beispielsweise <math>F(K,L)=K^{0,5}L^{0,5}</math> die Produktionsfunktion. Ein konstantes Produktionslevel führt zu 
<math> K=\frac{\bar{Q}^2}{L} </math> 
Analog zu den [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurven]], können die Isoquanten grafisch dargestellt werden. 
[[Datei:Isoquante.png|300px|rahmenlos]] 
Unbeachtet dessen, dass Isoquanten auch anders verlaufen können, sind die obigen typisch, da sie ein abnehmendes Grenzprodukt implizieren. Ein abnehmendes Grenzprodukt beschreibt das Phänomen, dass der [[Marginale Sichtweise|marginale Nutzen]] einer Einheit bei einem steigen des Inputleveles kleiner wird. Wenn in einer Pizzeria ein Arbeiter anfängt, ist das Grenzprodukt dieses Arbeiters sehr groß. Ein weiterer Arbeiter produziert selbst nicht mehr so viele Pizzen wie der erste, aber immer noch mehr als der dritte. Je mehr Pizzabäcker eingestellt werden, desto kleiner wird das Grenzprodukt. Ist die unterste Isoquante Teil der Betrachtung und in der derzeitigen Güterkombination wird sie mit einem geringen Kapitaleinsatz und sehr hohen Arbeitseinsatz erreicht, benötigt es einen sehr großen zusätzlichen Arbeitseinsatz, um nur eine Einheit des Kapitals einsparen zu können.

==Grenzrate der technischen Substitution==
Die Grenzrate der technischen Substitution beschreibt das marginale Austauschverhältnis der beiden Inputs, um das Produktionsniveau beizubehalten (vgl. MRS). Angenommen <math> \Delta L </math> soll eingespart werden. Damit weiterhin <math> Q_1 </math> erreicht wird benötigt es <math> \Delta K </math>. In ein Verhältnis zueinander gesetzt sagt die GRTS aus, wie viele Einheiten von K es benötigt, um eine Einheit von L einzusparen. 
<math> GRTS_{K,L}=-\frac{\Delta L}{\Delta K}=\frac{GP_K}{GP_L} </math> 
Eine marginale Sichtweise lässt <math> \Delta </math> gegen null streben. Dafür ergibt sich: 
<math> GRTS_{K,L}=\frac{\frac{\part F(K,L)}{\part K}}{\frac{\part F(K,L)}{\part L}} </math>
[[Datei:GRTS.png|300px|rahmenlos]]

==Spezialfälle der Isoquante==
Isoquanten können entgegen der Darstellung oben durchaus auch anders verlaufen. Beispiele wären Produktionen, in denen die Inputfaktoren beliebig miteinander substituiert werden können (links). Eine Produktion, bei der die Inputfaktoren nur in einem festen Verhältnis zueinander effizient eingesetzt werden, ist ebenfalls denkbar (mitte), wie eine konkave Indifferenzkurve (rechts). 
[[Datei:Isoquante2.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Isoquante3.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Isoquante4.png|310px|rahmenlos]]
 

==Die kurze und die lange Frist==
In der kurzen Frist kann es vorkommen, dass nicht alle Produktionsfaktoren variabel sind. Es dauert beispielsweise seine Zeit ein weiteres Fabrikgebäude zu bauen. Daher sind einige Inputfaktoren nur langfristig variabel. Diese sind in der kurzen Sichtweise Teil der [[Kostenarten#Fixkosten|Fixkosten]], während sie in der langen Sicht Teil der [[Kostenarten# Variable Kosten|variablen Kosten]] sind. Typischerweise wird in der kurzen Frist angenommen, dass nur die Anzahl an Arbeit (L) verändert werden kann, wo hingegen Kapital (K) fix angenommen wird.

==MC Fragen==

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Die Produktionsfunktion eines Unternehmens beschreibt
|type="()"}
- die Menge, die zur Gewinnmaximierung produziert werden sollte
+ was technisch machbar ist, wenn das Unternehmen effizient produziert
- den von einem effizient produzierenden Unternehmen erzielten Erlös
- die tatsächliche Produktion des Unternehmens mit gegebenen Inputs
- (alle Antwortmöglichkeiten sind richtig)
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wenn Arbeit der einzig variable Input ist, erreicht das Grenzprodukt sein Maximum
|type="()"}
+ in dem Punkt, in dem sich die Krümmung der Gesamtproduktkurve verändert.
- in dem Punkt, in dem die Durchschnittsproduktkurve die Steigung null hat.
- in dem Punkt, in dem das Durchschnittsprodukt gleich dem Grenzprodukt ist.
- in dem Punkt, in dem sich die Gesamtproduktkurve nach unten neigt.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen das Unternehmen Burger Paradise produziert mit folgender Produktionsfunktion: <math> F(K,L)=ln(L)+\sqrt{K} </math>. Wie lautet die GRTS?
|type="()"}
- <math> GRTS_{K,L}=\frac{2\sqrt{K}}{L} </math>
+ <math> GRTS_{L,K}=\frac{2\sqrt{K}}{L} </math>
- <math> GRTS_{K,L}=\frac{2L}{\sqrt{K}} </math>
- <math> GRTS_{L,K}=\frac{ln(L)}{2K} </math>
</quiz>

Produktionsfunktion und Isoquante

2025-12-23T00:12:26Z

Okehne: /* Grenzrate der technischen Substitution */

==Definition==
Die Produktionsfunktion gibt an, wie groß die Produktionsmenge ist, die mit gegeben Kombinationen der Inputs produziert werden kann. Die Umwandlung aller Inputs zu den produzierten Gütern wird als Produktionstechnologie bezeichnet. Die Inputs selbst werden auch als Inputfaktoren bezeichnet. Typische Inputfaktoren sind Arbeit (L) und Kapital (K).

__TOC__

==Die Produktionsfunktion==
Die Produktionsfunktion gibt an, mit welchen Inputfaktoren welche Menge produziert werden kann. Abhängig von der gewählten Technologie kann die Anzahl der Inputfaktoren und die Funktion selbst variieren. In der Literatur wird sich häufig auf zwei Inputfaktoren, Kapital (K) und Arbeit (L) beschränkt, doch können in anderen Produktionen durchaus eine veränderte Anzahl von Inputfaktoren benötigt werden. 
<math> Q=F(K,L)</math>
beschreibt, dass eine Menge Q mit einer Produktionsfunktion F produziert wird, die abhängig ist von den beiden Inputs K und L. 
''Beispiel'': Ein Unternehmen produziert mit einer Produktionsfunktion von <math> F(K,L)=K L </math>. Mit einem Kapitaleinsatz von 5 und 2 Einheiten von L, kann das Unternehmen 10 Einheiten produzieren.

==Durchschnittsprodukt und Grenzprodukt==
In der Analyse wie groß die Produktionsmenge pro Einheit eines bestimmten Inputfaktors durchschnittlich ist, muss die Produktionsmenge durch die Inputmenge geteilt werden. Werden mit 5 Arbeitern 50 Einheiten produziert, so produziert jeder Arbeiter im Durchschnitt 10 Einheiten. Allgemein lässt sich die Produktionsfunktion, die die Produktionsmenge beschreibt, durch die Inputmenge teilen. 
Durchschnittsprodukt der Arbeit: <math>DPL=\frac{F(K,L)}{L} </math> 
Soll das Durchschnittsprodukt der Arbeit berechnet werden, kann die Produktionsfunktion durch eine allgemeine Menge der Arbeit geteilt werden. Das Ergebnis ist eine Funktion, die das Durchschnittsprodukt für ein allgemeines L angibt. Ist das DPL beispielsweise gleich 10/L, so ist das DPL für 5 Arbeiter 2 und für 2 Arbeiter 5. Es kann auch Fälle geben, für die das Durchschnittsprodukt der Arbeit eine konstante Zahl ist. In dem Fall ist das DPL konstant und unabhängig von L. 
Das Durchschnittsprodukt lässt sich für sämtliche Inputfaktoren auf dieselbe Art berechnen und ist aus der Berechnung der [[Kostenarten#Durchschnittliche Kosten|durchschnittlichen Kosten]] bekannt. 
 
Das Grenzprodukt betrachtet um wie viel eine [[Marginale Sichtweise|marginale Einheit]] eines Inputfaktors ceteris paribus die Produktionsmenge verändert. Diese marginale Änderung ist in der Ableitung der Produktionsfunktion nach dem zu betrachtenden Inputfaktor beschrieben. Ist zum Beispiel das Grenzprodukt der Arbeit von Interesse, so wird die Produktionsfunktion nach L abgeleitet (<math> \frac{\part F(K,L)}{\part L}</math>). 
 
 
[[Datei:GP und DP.png|250px|rahmenlos|links]]
Die Relation zwischen dem Durchschnittsprodukt und dem Grenzprodukt wird in der Abbildung links deutlich. Seien alle Inputfaktoren konstant, verändert ein steigendes Level von L den Output. Ohne Arbeit findet keine Produktion statt und je mehr L eingesetzt wird, desto größer wird anfangs die Produktionsmenge. Dabei steigt die Menge nicht nur, sie steigt auch immer stärker. Jede einzelne Einheit von L erhöht die Produktionsmenge stärker als die Einheit vorher. Das Grenzprodukt ist demnach positiv und steigend. Bei einer Menge <math> L_1 </math> steigt der Output am stärksten an, das Grenzprodukt hat hier sein Maximum. Nach diesem sinkt das Grenzprodukt und bleibt dabei positiv. Die Produktionsmenge steigt demnach weiter, jedoch sind zusätzliche Einheiten Arbeit weniger effektiv als die vorigen. Sobald das Grenzprodukt negativ wird, reduziert jede weitere Einheit die Produktionsmenge, daher hat die Produktionsfunktion bei <math> L_3 </math> ein Maximum. 
Die Steigung der gestrichelten Linie, die durch den Ursprung und einen Punkt auf der Produktionsfunktion verläuft, stellt das Durchschnittsprodukt für die jeweilige Menge von L dar. Startend bei L=0 steigt das Durchschnittsprodukt, ehe es nach <math> L_2 </math> wieder anfängt zu sinken. Die DPL-Funktion besitzt bei dieser Menge ein Maximum. Es kann allgemein bewiesen werden, dass die GP-Funktion durch das lokale Maximum verläuft. 
<math> \frac{\part DPL}{\part L}=\frac{\part[\frac{F(K,L)}{L}]}{\part L}=\frac{F_L(K,L)*L-F(K,L)*1}{L^2}=0 </math> 
<math> F_L(K,L)*L-F(K,L)=0 </math> 
<math> F_L(K,L)*L=F(K,L) </math> 
<math> F_L(K,L)=\frac{F(K,L)}{L} </math> 
<math> GPL=DPL </math> 
Im Extrempunkt des Durchschnittsprodukt ist dieses gleich dem Grenzprodukt.

 

==Isoquante==
Die Isoquante gibt alle möglichen Kombinationen der Inputfaktoren an, bei denen die Produktionsmenge konstant bleibt <math> \bar{Q}=F(K,L) </math>. Zu grafischen Darstellung muss nach einer der beiden Inputfaktoren umgestellt werden. Sei beispielsweise <math>F(K,L)=K^{0,5}L^{0,5}</math> die Produktionsfunktion. Ein konstantes Produktionslevel führt zu 
<math> K=\frac{\bar{Q}^2}{L} </math> 
Analog zu den [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurven]], können die Isoquanten grafisch dargestellt werden. 
[[Datei:Isoquante.png|300px|rahmenlos]] 
Unbeachtet dessen, dass Isoquanten auch anders verlaufen können, sind die obigen typisch, da sie ein abnehmendes Grenzprodukt implizieren. Ein abnehmendes Grenzprodukt beschreibt das Phänomen, dass der [[Marginale Sichtweise|marginale Nutzen]] einer Einheit bei einem steigen des Inputleveles kleiner wird. Wenn in einer Pizzeria ein Arbeiter anfängt, ist das Grenzprodukt dieses Arbeiters sehr groß. Ein weiterer Arbeiter produziert selbst nicht mehr so viele Pizzen wie der erste, aber immer noch mehr als der dritte. Je mehr Pizzabäcker eingestellt werden, desto kleiner wird das Grenzprodukt. Ist die unterste Isoquante Teil der Betrachtung und in der derzeitigen Güterkombination wird sie mit einem geringen Kapitaleinsatz und sehr hohen Arbeitseinsatz erreicht, benötigt es einen sehr großen zusätzlichen Arbeitseinsatz, um nur eine Einheit des Kapitals einsparen zu können.

==Grenzrate der technischen Substitution==
Die Grenzrate der technischen Substitution beschreibt das marginale Austauschverhältnis der beiden Inputs, um das Produktionsniveau beizubehalten (vgl. MRS). Angenommen <math> \Delta L </math> soll eingespart werden. Damit weiterhin <math> Q_1 </math> erreicht wird benötigt es <math> \Delta K </math>. In ein Verhältnis zueinander gesetzt sagt die GRTS aus, wie viele Einheiten von K es benötigt, um eine Einheit von L einzusparen. 
<math> GRTS_{K,L}=-{\Delta L}\frac{\Delta K}=\frac{GP_K}{GP_L} </math> 
Eine marginale Sichtweise lässt <math> \Delta </math> gegen null streben. Dafür ergibt sich: 
<math> GRTS_{K,L}=\frac{\frac{\part F(K,L)}{\part K}}{\frac{\part F(K,L)}{\part L}} </math>
[[Datei:GRTS.png|300px|rahmenlos]]

==Spezialfälle der Isoquante==
Isoquanten können entgegen der Darstellung oben durchaus auch anders verlaufen. Beispiele wären Produktionen, in denen die Inputfaktoren beliebig miteinander substituiert werden können (links). Eine Produktion, bei der die Inputfaktoren nur in einem festen Verhältnis zueinander effizient eingesetzt werden, ist ebenfalls denkbar (mitte), wie eine konkave Indifferenzkurve (rechts). 
[[Datei:Isoquante2.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Isoquante3.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Isoquante4.png|310px|rahmenlos]]
 

==Die kurze und die lange Frist==
In der kurzen Frist kann es vorkommen, dass nicht alle Produktionsfaktoren variabel sind. Es dauert beispielsweise seine Zeit ein weiteres Fabrikgebäude zu bauen. Daher sind einige Inputfaktoren nur langfristig variabel. Diese sind in der kurzen Sichtweise Teil der [[Kostenarten#Fixkosten|Fixkosten]], während sie in der langen Sicht Teil der [[Kostenarten# Variable Kosten|variablen Kosten]] sind. Typischerweise wird in der kurzen Frist angenommen, dass nur die Anzahl an Arbeit (L) verändert werden kann, wo hingegen Kapital (K) fix angenommen wird.

==MC Fragen==

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Die Produktionsfunktion eines Unternehmens beschreibt
|type="()"}
- die Menge, die zur Gewinnmaximierung produziert werden sollte
+ was technisch machbar ist, wenn das Unternehmen effizient produziert
- den von einem effizient produzierenden Unternehmen erzielten Erlös
- die tatsächliche Produktion des Unternehmens mit gegebenen Inputs
- (alle Antwortmöglichkeiten sind richtig)
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wenn Arbeit der einzig variable Input ist, erreicht das Grenzprodukt sein Maximum
|type="()"}
+ in dem Punkt, in dem sich die Krümmung der Gesamtproduktkurve verändert.
- in dem Punkt, in dem die Durchschnittsproduktkurve die Steigung null hat.
- in dem Punkt, in dem das Durchschnittsprodukt gleich dem Grenzprodukt ist.
- in dem Punkt, in dem sich die Gesamtproduktkurve nach unten neigt.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen das Unternehmen Burger Paradise produziert mit folgender Produktionsfunktion: <math> F(K,L)=ln(L)+\sqrt{K} </math>. Wie lautet die GRTS?
|type="()"}
- <math> GRTS_{K,L}=\frac{2\sqrt{K}}{L} </math>
+ <math> GRTS_{L,K}=\frac{2\sqrt{K}}{L} </math>
- <math> GRTS_{K,L}=\frac{2L}{\sqrt{K}} </math>
- <math> GRTS_{L,K}=\frac{ln(L)}{2K} </math>
</quiz>

Lizenz

2025-09-19T15:56:03Z

Okehne:

== Lizenz==
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Okehne:

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<h2 {{MainpageTopBox}}>
<div style="background-color:#F0F8FF; color:black"> Angebot und Nachfrage </div> 
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<div {{MainpageMidBox}}>
* [[Elastizitäten]] 
* [[Externalitäten und Internalisierung]] 
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</div>
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<h2 {{MainpageTopBox}}>
Haushaltsentscheidungen I (Konsum)
</h2>
<div {{MainpageMidBox}}>
* [[Präferenzen und Indifferenzkurven]]
* [[Präferenzenarten]]
* [[Axiome der Nutzentheorie]]
* [[Budgetrestriktion und Budgetgerade]]
* [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie]]
* [[Haushaltsoptimum]]
* [[Engelkurve]]
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* [[Preiskonsumkurve]]
* [[Güter und Ungüter]]
* [[Güterarten]]
* [[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt]]
* [[Netzwerkeffekte]]
</div>

<h2 {{MainpageTopBox}}>
Haushaltsentscheidungen II
</h2>
<div {{MainpageMidBox}}>
* [[Arbeit-Freizeit Entscheidung]]
* [[Intertemporale Entscheidung]]
* [[Risiko und Risikoeinstellung]]
</div>


| width="50%" style="vertical-align:top" |

<h2 {{MainpageTopBox}}>
Unternehmenstheorie
</h2>
<div {{MainpageMidBox}}>
* [[Kostenarten]]
* [[Produktionsfunktion und Isoquante]]
* [[Produktionsoptimum]]
* [[Angebotsentscheidung bei vollkommener Konkurrenz]]
* [[Vergleich Gewinnmaximum bei unterschiedlichen Marktformen]]
* [[Preisdiskriminierung]]
* [[Skalenerträge]]
</div>
|}
</blockquote>

<blockquote width=80%; style="background:#F0F8FF; border: 2px solid #000; border-right-width: 2px"> 
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|-

|style="vertical-align:top, border:2px solid #1874CD;"|

<h2 {{MainpageTopBox}}>
Spieltheorie
</h2>
<div {{MainpageMidBox}}>
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</div>

<h2 {{MainpageTopBox}}>
Wohlfahrtsökonomie/ Tauschökonomie
</h2>
<div {{MainpageMidBox}}>
* [[Coase Theorem]]
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* [[Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel]]
</div>

<h2 {{MainpageTopBox}}>
Asymmetrische Informationen
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<div {{MainpageMidBox}}>
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</div>


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Allgemeine Prinzipien
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<div {{MainpageMidBox}}>
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* [[Marginale Sichtweise]]
* [[Opportunitätskosten]]
* [[Effizienz]]
* [[Erwartungswert und Varianz]] 
</div>
|}
</blockquote>

[[Lizenz]]

Ordinale und Kardinale Nutzentheorie

2025-03-31T09:21:15Z

Okehne: /* MC Aufgaben */

In der Nutzentheorie wird zwischen Kardinaler und Ordinaler Nutzentheorie unterschieden. Während die Kardinale Nutzentheorie numerische Werte verwendet, um zu beschreiben wie viel besser oder schlechter ein gewisser Nutzen ist, nutzt die ordinale Nutzentheorie die numerischen Werte um zu beschreiben welcher Nutzen größer oder kleiner ist, es geht also nur um eine Rangfolge.

__TOC__

==Ordinale Nutzentheorie==
In der ordinalen Nutzentheorie wird verglichen welcher Nutzen größer oder kleiner ist. Bei einer Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x+y </math> ergeben x=1 und y=1 einen Nutzen von 2; x=2 und y=2 ergeben einen Nutzen von 4. Der Nutzen vom ersten Güterbündel bringt einen geringeren Nutzen als das zweite Güterbündel . Ein Konsument [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|präferiert]] dementsprechend das erste Güterbündel gegenüber dem zweiten Bündel. Eine Beschreibung als wie viel besser er das erste Bündel gegenüber dem zweiten Bündel bewertet, lässt sich mit der Ordinalen Nutzentheorie nicht sagen. Bei [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurven]] kann somit lediglich gesagt werden, dass alle Güterkombinationen auf der Indifferenzkurve <math> U_{2} </math> allen möglichen Kombinationen auf der Indifferenzkurve <math> U_{1} </math> präferiert werden, falls <math> U_{1} < U_{2} < U_{3} </math> gilt. 
[[Datei:Unvollkommene Substitute.png|500px|rahmenlos]]
 
 
Ordinale Nutzenfunktionen bringen alle Warenkörbe vom beliebtesten zum unbeliebtesten Warenkorb in eine Rangfolge ("Ordnung"). 
Es ist jedoch nicht möglich zwischen dem Nutzen verschiedener Konsumenten zu vergleichen. Erfährt Konsument 1 von einem Gut einen Nutzen von 5 und Konsument 2 von demselben Gut einen Nutzen von 6, ist es nicht möglich zu sagen welcher Konsument besser gestellt ist. Der Nutzen von Konsument 1 kann in kein Verhältnis zu dem Nutzen von Konsument 2 gestellt werden.

==Ordinale Nutzentorie und monotone Präferenzen==
In der ordinalen Nutzentheorie geht es um die Darstellung der Präferenzen in einer Rangordnung, weshalb es möglich ist etwaige Nutzenfunktionen [[Monotone Transformation|monoton zu transformieren]] soweit die Rangordnung nicht verändert wird. 
''Beispiel'': Gegeben sei die Nutzenfunktion von oben <math> U(x,y)=x+y </math>. Eine monotone Transformation könnte wie folgt aussehen: <math> \hat{U}(x,y)=2(x+y)=2x+2y </math>. Ein Bündel von (x,y)=(2,2) wird auch nach der Transformation gegenüber einem Bündel (x,y)=(1,1) präferiert. Das (x,y)=(1,1) Bündel bringt einmal einen Nutzen von 2 und einmal einen Nutzen von 4. Das (x,y)=(2,2) Bündel bringt einen Nutzen von 4 beziehungsweise 8. 2 < 4 und 4 < 8. Dieses Beispiel zeigt, dass das numerische Nutzenniveau im Grunde lediglich eine Kennzahl zur Einordung im Vergleich mit einem anderen Nutzen dient. Die Präferenzen selbst werden mit einer monoton transformierten Nutzenfunktion unverändert dargestellt.

==Kardinale Nutzentheorie==
Die kardinale Nutzentheorie wurde vorrangig in der Vergangenheit verwendet. In der kardinalen Nutzentheorie wird dem numerischen Nutzenniveau ein Wert beigemessen. Demnach ist ein Nutzen von 2 nicht nur größer als ein Nutzen von 1, sondern auch doppelt so gut. 
In der Abbildung von oben bedeutet dies, dass alle Güterkombinationen auf der Indifferenzkurve <math> U_{1} </math> als halb so gut angesehen werden als alle Güterkombinationen auf der Indifferenzkurve <math> U_{2} </math> (angenommen <math> U_{2} </math> ist doppelt so groß wie <math> U_{1} </math>). 
 
Der kardinale Nutzen lässt sich laut damaliger Lehrmeinung ähnlich numerisch messen wie das Gewicht. Außerdem führt der kardinale Nutzen effizienztheoretische Implikationen mit sich. Wenn eine Person A von einer zusätzlichen Einheit einen zusätzlichen Nutzen von 10 erfährt und Person B nur einen zusätzlichen Nutzen von 5, sollte Person A das Gut aus dem damaligen Effizienzgedanken heraus konsumieren. Es lässt sich somit für Umverteilungsmaßnahmen argumentieren. Wenn eine ärmere Person von 100 zusätzlichen Euros einen größeren Nutzen erfährt als ein reicherer Mann, müsste der ärmere Mann die 100 Euro von dem reicheren Mann bekommen, um die gesamte Wohlfahrt zu steigern. Ab dem 20. Jahrhundert wurde aber vermehrt das Problem gesehen, Nutzen numerisch zu erfassen. Zum einen ist das Nutzenempfinden subjektiv und zum anderen fällt es schwer den numerischen Werten eine Bedeutung beizumessen. Der Ökonom Vilfredo Pareto entwickelte Anfang des 20. Jahrhunderts die [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie|ordinale Nutzentheorie]], die den Nutzen ebenfalls einen Wert zuordnet, der jedoch nicht als Messgröße wie das Gewicht zu verstehen ist.

==MC Aufgaben==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Konsument 1 und Konsument 2 besitzen jeweils eine Nutzenfunktion <math> U_{1}(x,y)=\sqrt{x}y </math> und <math> U_{2}(x,y)=\frac{1}{x^{2}}+y </math>. Angenommen beide konsumieren das gleiche Güterbündel (x.y)=(4,5). Welcher der beiden Konsumenten erfahren der ordinalen Nutzentheorie nach einen größeren Nutzen?
|type="()"}
+ Kann mit den vorliegenden Informationen nicht ermittelt werden.
- Konsument 1.
- Konsument 2.
- Beide erfahren einen gleich großen Nutzen.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Nutzenfunktionen stellen '''nicht''' dieselben Präferenzen wie die folgende Nutzenfunktion dar: <math> U(x,y)=x^{2} \sqrt{y} </math>
|type="()"}
+ <math> \hat{U}(x,y)=(1-x)+\frac{1}{2}y </math>.
- <math> \hat{U}(x,y)=2ln(x)+\frac{1}{2}ln(y) </math>.
- <math> \hat{U}(x,y)=x^{2} \sqrt{y}+5 </math>.
- <math> \hat{U}(x,y)=2x^{2} \sqrt{y} </math>.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{
{| class="wikitable"
! scope="col"|
! scope="col"| <math> S_{1} </math>
! scope="col"| <math> S_{2} </math>
! scope="col"| <math> S_{3} </math>
! scope="col"| <math> S_{4} </math>
|-
! scope="row"| <math> A_{1} </math>
| 3
| 7
| 2
| 0
|-
! scope="row"| <math> A_{2} </math>
| 2
| 1
| 1
| -1
|-
! scope="row"| <math> A_{3} </math>
| 4
| 6
| 5
| 0
|}
Angenommen ein Konsument kann sich zwischen drei Optionen entscheiden <math> A_{1} </math>, <math> A_{2} </math> oder <math> A_{3} </math>. Die Drei Optionen bingen je nach <math> S_{i} </math>, <math> i \in </math> {1,2,3,4}, einen unterschiedlichen Nutzen. Was kann auf Basis der in der Tabelle stehenden Nutzenwerte gesagt werden?
|type="()"}
+ Die Option <math> A_{2} </math> wird nie gegenüber den anderen beiden Optionen präferiert.
- Die Option <math> A_{1} </math> wird immer gegenüber den beiden anderen Optionen präferiert.
- Die Option <math> A_{3} </math> wird immer gegenüber Optionen <math> A_{1} </math> präferiert.
- Es lässt sich aufgrund der ordinalen Nutzentheorie keine Aussage treffen.
</quiz>

Präferenzen und Indifferenzkurven

2025-03-31T09:20:46Z

Okehne:

Die Präferenzen von Individuen bilden ihre Wünsche und Vorlieben ab. Diese Präferenzen werden durch eine Nutzenfunktionen beschrieben. Diese beschreibt den Nutzen den ein Individuum aus dem Konsum von Güterkombinationen erhält. Nutzenfunktionen zwischen Individuen können sich unterscheiden.

__TOC__

==Präferenzen und Nutzenfunktion==
Eine jede Marktteilnehmerin und ein jeder Marktteilnehmer verfügen über Präferenzen. Ein Mensch der Vegetarier ist, kauft zum Beispiel kein Fleisch. Für ein Filmabend gibt es Menschen, die lediglich salzige Snacks konsumieren, oder auch welche, für die nur süße Snacks in Frage kommen. Es gibt jedoch auch sicherlich Menschen, denen es egal ist welche Art der Snacks zu sich nehmen. 
Um all diese Präferenzen abbilden zu können werden Nutzenfunktionen modelliert. Hierfür wird sich der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie|Ordinalen Nutzentheorie]] und nicht der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Kardinale Nutzentheorie|kardinalen Nutzentheorie]] bedient. Je nach Präferenzen sehen die Nutzenfunktionen unterschiedlich aus. In jedem Fall sind sie jedoch abhängig von jedem zu betrachteten Gut und der Anzahl der davon konsumierten Einheiten <math display="inline"> U(x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n}) </math>. Der Einfachheit halber, und um die Nutzenfunktion grafisch darstellen zu können, beschränken wir uns auf den Zwei-Güter-Fall <math display="inline"> U(x_{1}, x_{2}) </math>. Als Beispiel sollen uns die beiden Güter C und F dienen, die mit folgender Nutzenfunktion abgebildet werden sollen: 
<math display="inline"> U(F,C)=F^{1/3}*C^{2/3} </math> 
Die Nutzenfunktion kann als normale bivariate Funktion gelesen werden. Anders als im univariaten Fall ist die Funktion von zwei Variablen abhängig. 
[[Datei:Nutzenfunktion.jpg|600px|rahmenlos]]

==Indifferenzkurven==
Eine veränderte Möglichkeit der Darstellung von Nutzenfunktionen sind Indifferenzkurven. Wie der Name bereits aussagt, sind Konsumenten entlang dieser Kurve indifferent in der Konsumentscheidung. Sie erfahren aus den Güterkombinationen, die auf der Indifferenzkurve liegen einen konstant gleich großen Nutzen. Je nach Nutzenniveau liegen die Indifferenzkurven verschoben. Im Beispiel von oben sehen die Indifferenzkurven wie folgt aus: 
[[Datei:Nutzenfunktion2.jpg|600px|rahmenlos]] 
 
In der Grafik oben sind verschiedene Farbverläufe zu sehen, die an verschobene konvexe Funktionen erinnern. Mathematisch erlangt man die Indifferenzkurven, in dem der Nutzen U konstant gehalten (<math> \bar{U} </math>) und nach einer Variablen umgestellt wird (welche auf der horizontale Achse abgebildet werden soll). In der Nutzenfunktion von eben sieht das wie folgt aus: 
<big><math display="inline"> \bar{U}=F^{1/3}*C^{2/3} </math> |: <math display="inline"> F^{1/3} </math> 
<math display="inline"> \frac{\bar{U}}{F^{1/3}}=C^{2/3} </math> |<math> (...)^{3/2} </math> 
<math display="inline"> C=(\frac{\bar{U}}{F^{1/3}})^{3/2} </math> 
<math display="inline"> C=\frac{\bar{U}^{3/2}}{F^{1/2}} </math> </big> 
 
Je nach Nutzenniveau ergibt sich für jeden F Wert einen anderen C Wert. In der untenstehenden Grafik wurden die Indifferenzkurven der ganzzahligen Nutzenniveaus von 1 bis 8 geplotet. 
[[Datei:IndifferenzkurvenRechnung.png|500px|rahmenlos]]

==Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution==
Die Grenzrate der Substitution (GRS) beschreibt das Austauschverhältnis, zu dem ein Konsument bereit ist eine marginale Einheit eines Gutes aufzugeben, um ein anderes Gut zu erhalten. Die Bereitschaft das eine Gut für das andere Gut aufzugeben, rührt von einem konstanten Nutzenniveau. Die GRS ist dementsprechend eine Rate in einem Punkt, zu der das Nutzenniveau konstant bleibt. Zur Veranschaulichung sollen die folgenden zwei Grafiken dienen: 
[[Datei:GRS1.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:GRS2.png|400px|rahmenlos]]
 
 
Um herauszufinden, wie viele Einheiten des einen Gutes benötigt werden, um den Verlust von Einheiten des anderen Gutes zu kompensieren, müssen zwei Punkte auf der Indifferenzkurve miteinander verbunden werden. Damit das Nutenniveau konstant bleibt braucht es für <math> \Delta x_1 </math> Einheiten weniger <math> \Delta x_2 </math> Einheiten mehr. Umformuliert bedeutet dies, dass <math> \frac{\Delta x_2}{\Delta x_1} </math> Einheiten von <math> x_2 </math> benötigt sind, um eine Einheit von <math> x_1 </math> zu kompensieren. Entlang der Indifferenzkurve muss das Nutzenniveau konstant sein. Jegliche Veränderung von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> muss zum selben U führen. Das totale Differential des Nutzens beträgt dann null: 
<math> dU(x_1,x_2)=\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_1}dx_1+\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_2}dx_2=0 </math> 
In der linken Abbildung ist die Veränderung eine numerische Zahl. In der rechten Abbildung soll die Veränderung in einem Punkt betrachtet werden. <math> dx_1 </math> und <math> dx_2 </math> soll gegen null streben. Das totale Differential ergibt umgestellt die GRS: 
<math> GRS_{x_1,x_2}=-\frac{\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_1}}{\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_2}} </math>
Die GRS wird häufig im Betrag betrachtet. 
 
Die rechte Abbildung verdeutlicht die abnehmende Grenzrate der Substitution. Die GRS ist sehr steil und wird immer flacher, je größer <math> x_1 </math> wird. Dies hängt mit dem abnehmenden [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] zusammen. Bei einem geringen Niveau von <math> x_1 </math> ist der Grenznutzen von <math> x_1 </math> im Vergleich zum Grenznutzen von <math> x_2 </math> groß. Es benötigt dementsprechend eine große Menge von <math> x_2 </math>, um eine Einheit weniger von <math> x_1 </math> zu kompensieren. Die GRS ist bei kleinem <math> x_1 </math> steiler, als bei einem gro0en <math> x_2 </math>. 
 
''Beispiel'': Bei einer Indifferenzkurve hat eine Tangente in einem Punkt A die Steigung -2. In diesem Punkt beträgt die <math> GRS_{x_1,x_2} </math> somit -2 und der Konsument würde im Konsumpunkt A 2 marginale Einheiten von <math> x_2 </math> verlangen, um eine marginale Einheit von <math> x_1 </math> weniger zu kompensieren.

==Indifferenzkurven der Güterarten==
Die Indifferenzkurven der verschiedenen Güterarten unterscheiden sich je nach Präferenzen. Häufig wird zwischen den folgenden Güterarten und ihren Indifferenzkurven unterschieden:

'''Perfekte Substitute''' 
Die Nutzenfunktion von [[Präferenzenarten#Substitute#Perfekten Substituten|Perfekten Substituten]] kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=ax_{1}+bx_{2} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. Indifferenzkurven von Perfekten Substituten weisen als Eigenschaft auf, dass sie die Achsen berühren und einen linearen Verlauf haben. Das bedeutet: sie haben eine konstante GRS, da der Grenznutzen beider Güter konstant ist. 
[[Datei:Perfekte Substitute.png|351px|rahmenlos]] 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>
 
 
'''Perfekte Komplemente''' 
Die Nutzenfunktion von [[Präferenzenarten#Perfekte Komplemente|Perfekten Komplementen]] kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=min\{ax_{1},bx_{2}\} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. Grafisch sind die Indifferenzkurven in L Form, es wird auch häufig von Leontief Präferenzen gesprochen. Diese Güter stiften nur einen Nutzen, wenn sie in einem festen Verhältnis konsumiert werden. Klassische Beispiele sind Schuhe, Socken oder Handschuhe. 
[[Datei:Perfekte Komplemente.png|351px|rahmenlos]] 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>
 
 
'''Imperfekte Subtitute''' 
Die Nutzenfunktion von [[Präferenzenarten#Substitute#Imperfekte Substitute|Imperfekte Substitute]], deren zentrale Eigenschaft ist, dass die Indifferenzkurven nicht die Achsen schneiden, kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=x_{1}^{a}*x_{2}^{b} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. 
[[Datei:ImperfekteSubstitute.png|350px|rahmenlos]]
 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie könnte die Nutzenfunktion von Brigitte aussehen, wenn sie immer 3 Packungen Gummibärchen (G) mit einer Packung Chips (C) konsumiert?
|type="()"}
- <math> U(G,C)=min\{G,\frac{1}{3}C\} </math>.
+ <math> U(G,C)=min\{\frac{1}{3}G,C\} </math>.
- <math> U(G,C)=3G+C </math>.
- <math> U(G,C)=G*3C </math>.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen Peter hat folgende Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^{2}+2y </math>. Welche der folgenden Konsumbündel liegt nicht auf der selben Indifferenzkurve wie die restlichen?
|type="()"}
+ (x, y)=(4, 8).
- (x, y)=(3, 7.5).
- (x, y)=(4.75, 0.71875).
- (x, y)=(2, 10).
- (x, y)=(0, 12).
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Philipp hat eine Nutzenfunktion <math>U(x,y)=x^{0,4}*y^{\frac{3}{5}} </math>. Welche Präferenzen bilden sie ab und welche Eigenschaften haben die Indifferenzkurven?
|type="()"}
+ Imperfekte Substitute, sie berührt die Achsen nicht.
- Perfekte Komplemente, sie berühren die Achsen.
- Perfekte Substitute, sie berühren die Achsen.
- Imperfekte Substitute, sie berühren die Achsen.
- Perfekte Komplemente, alle Eigenschaften dieser Indifferenzkurven sind erfüllt.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen Sigmar hat folgende Nutzenfunktion: <math> U(x,y(x))=x^{0,5}*e^{y(x)} </math>. Wie lautet seine Grenzrate der Substitution (<math>GRS_{x,y}</math>)?
|type="()"}
+ <math>GRS_{x,y}=y'(x)+\frac{1}{2x}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{0,5x^{-0,5}*e^{y(x)}}{x^{0,5}*e^{y(x)}}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{x^{0,5}}{e^{y(x)}}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{1}{2x}</math>.
</quiz>

Eingriffe in das Marktgleichgewicht

2025-03-20T12:33:34Z

Okehne: /* Die Erhebung von Zöllen */

Eingriffe in das [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewicht des perfekten Wettbewerbs]] erfolgen häufig durch staatliche Interventionen. Ziel der folgenden Analyse ist es, die Implikationen dieser Eingriffe zu betrachten. In diesem Zusammenhang sollen auch die potenziellen Kosten dieser Interventionen betrachtet werden und analysiert werden unter welchen Gegebenheiten diese durch die Verzerrung privater Entscheidungen verursachten Kosten erwartungsgemäß größer bzw. kleiner sind. Dies kann auch als Ausgangspunkt für die Ausgestaltung eines effizienten Steuersystems angesehen werden.
 

__TOC__

==Steuern==
Steuern können unter anderem auf Güter oder auch Dienstleistungen erhoben werden. Hierbei gibt es zwei Möglichkeiten, wie sie erhoben werden können: Als Mengensteuer und als Wertsteuer. Bei der Wertsteuer wird ein prozentualer Steuersatz auf den Preis pro Einheit drauf geschlagen: <math> p^{neu}=(1+Steuer)*p^{alt} </math>. 
Die Mengensteuer wird pro verkaufte Einheit gezahlt. Rechnerisch wird also auf den Preis pro Einheit die Steuer addiert. Die Steuern werden entweder vom Anbieter oder vom Nachfrager erhoben. Rein rechnerisch wird zwischen dem Produzentenpreis (<math display="inline"> P_{A} </math>) und dem Konsumentenpreis (<math display="inline"> P_{N} </math>) unterschieden.
 
 
===Anbieter führt die Steuer ab===
In dem Fall, in dem der Produzent die Steuer abführen muss, besteht der Produzentenpreis pro Einheit (<math display="inline"> P_{A} </math> = der Anbiter- oder Produtentenpreis) aus dem Konsumentenpreis (<math display="inline"> P_{N} </math>) abzüglich der Mengensteuer: 
<math display="inline"> P_{A}=P_{N}-t </math> 
''Beispiel:'' Die Konsumenten zahlen an der Supermarktkasse 1,00€ pro Brötchen und die Steuer für die Produzenten beträgt pro Brötchen 0,50€. Der Produzentenpreis lege in diesem Fall bei 0,50€ (1€-0,5€). 
'''Analytisch''' ließ sich vor Einführung der Steuer ein [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewicht]] wie folgt ausrechnen: 
<math display="inline"> Q_{N}(P)=Q_{A}(P) </math> 
Auch mit der Mengensteuer schauen wir, bei welchem Preis die nachgefragte Menge der angebotenen Menge entspricht. 
<math display="inline"> Q_{N}(P_{N})=Q_{A}(P_{A}) </math> wobei wir an dieser Stelle die Relation der Preise kennen <math display="inline"> P_{A}=P_{N}-t </math> 
<math display="inline"> Q_{N}(P_{N})=Q_{A}(P_{N}-t) </math> 
'''Grafisch''' wird die [[Angebot|Angebotskurve]] um die Menge der Steuer nach oben verschoben. Intuitiv versteht sich die Mengensteuer als Erhöhung der Produktionskosten um die Mengensteuer. Im Schnittpunkt lässt sich der Konsumentenpreis (<math display="inline"> P_{N} </math>) finden, der abzüglich der Mengensteuer dem Produzentenpreis entspricht. 
===Nachfrager führt die Steuer ab===
Eine identische Intuition steckt hinter dem Fall, in dem die Nachfrager die Steuer abführen. Hier besteht der Konsumentenpreis pro Einheit (<math display="inline"> P_{N} </math> = den Preis den die Konsumenten für ein Gut bezahlen müssen) aus dem Produzentenpreis (<math display="inline"> P_{A} </math>) zuzüglich der Mengensteuer. 
<math display="inline"> P_{N}=P_{A}+t </math> 
Es wird ersichtlich, dass diese Gleichung lediglich eine Äquivalenzumformung aus der Gleichung aus dem Fall ist, bei dem der Produzent die Steuer abführen muss. 
''Beispiel:'' In einem Supermarkt zahlen Konsumenten nur die Nettopreise und neben den 0,50€, die das Brötchen selbst beim Anbieter gekostet hat, müssen hinterher noch 0,50€ pro Brötchen als Steuern bezahlt werden. Der tatsächliche gezahlte Preis liegt hier also nicht nur bei 0,50€, sondern bei 1,00€. 
'''Analytisch''' ist die Vorgehensweise zum Fall oben identisch: 
<math display="inline"> Q_{N}(P_{N})=Q_{A}(P_{A}) </math> wobei wir an dieser Stelle die Relation der Preise kennen <math display="inline"> P_{N}=P_{A}+t </math> 
<math display="inline"> Q_{N}(P_{A}+t)=Q_{A}(P_{A}) </math> 
'''Grafisch''' verschiebt sich die [[Nachfrage|Nachfragekurve]] nach unten. Intuitiv (und inhaltlich nicht vollständig korrekt) lässt sich die verschobene Nachfragekurve als 'Netto Nachfragekurve' interpretieren (welchen Preis zahlt der Konsument netto an den Produzenten). Der Schnittpunkt der neuen Nachfragekurve mit der Angebotskurve bildet den Produzentenpreis, auf den die Mengensteuer addiert werden muss, um die zu zahlenden Konsumentenpreis zu erlangen. 
<math display="inline"> P_{A}=P_{N}-t </math>
 
<math display="inline"> P_{N}=P_{A}+t </math>
 
Wer die Steuer abführen muss, ist jedoch für den Effekt der Steuer irrelevant. 
[[Datei:Produzent zahlt Steuer.png|251px|rahmenlos]]
[[Datei:Konsument zahlt Steuer.png|251px|rahmenlos]]
 
Wer einen größeren Teil der Steuerlast trägt (gemessen an Preiseffekten oder durch Konsumenten- oder Produzentenrente) lässt sich dadurch durch den Vergleich der [[Elastizitäten#Preiselastizität der Nachfrage|Preiselastizität der Nachfrage]] und der [[Elastizitäten#Preiselastizität des Angebots|Preiselastizität des Angebots]] sagen. Die prozentuale Mengenänderung der elastischeren Marktseite wäre größer als bei der unelastischeren Seite, weshalb die Steuerlast stärker von der unelastischeren Marktseite getragen wird.
 
 

===Vollkommen elastische Nachfrage===
Eine Besonderheit tritt bei einer [[Elastizitäten#Preiselastizität der Nachfrage|vollkommen unelastischen Preiselastizität der Nachfrage]] auf. Bei dieser sind die Konsumenten nur zu einem bestimmten Preis bereit Güter zu kaufen (etwa weil es nahe Substitute gibt). Da sich im [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewicht]] genau dieser Preis einstellt, haben Konsumenten keinen Nutzengewinn. In dem Fall zahlen sie einen Preis, der ihrer maximale Kaufbereitschaft entspricht. 
Wie in der Abbildung ersichtlich ist keine [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Konsumentenrente|Konsumentenrente]] vorhanden. Die [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Produzentenrente|Produzentenrente]] ist in der roten Fläche eingezeichnet. Eine Steuer würde den Produzentenpreis (<math display="inline"> P_{A} </math>), also den Preis, den Produzenten behalten dürfen, senken. Die Produzentenrente verringert sich und es entstehen Steuereinnahmen (orangene Fläche). Insgesamt reduziert sich jedoch die Gesamtwohlfahrt um den Wohlfahrtsverlust (graue Fläche). 
[[Datei:Steuer 1.png|281px|rahmenlos]]
[[Datei:Steuer 2.png|251px|rahmenlos]]
 
 

===Vollkommen elastisches Angebot===
Bei einem [[Elastizitäten#Preiselastizität des Angebots|vollkommen elastischen Angebot]] bieten Unternehmen nur zu einem bestimmten Preis an, der sich im [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewicht]] als Marktpreis einstellt. Die Fläche zwischen der Nachfragefunktion und dem Marktpreis ist die [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Konsumentenrente|Konsumentenrente]]. Die [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Produzentenrente|Produzentenrente]] ist in diesem Fall nicht vorhanden, da keine Güter für einen geringeren Preis verkauft werden würden. Eine Steuer verändert das Marktgleichgewicht in einer Art und Weise, in der sich der Konsumentenpreis (<math display="inline"> P_{N} </math>) erhöht. Dadurch verringert sich die Konsumentenrente (blaue Fläche), Steuereinnahmen (orangene Fläche) und ein Wohlfahrtsverlust (graue Fläche) entstehen. Insgesamt verringert sich die Gesamtwohlfahrt. 
[[Datei:Steuer 3.png|261px|rahmenlos]]
[[Datei:Steuer 4.png|251px|rahmenlos]]
 
 

===Vollkommen unelastische Nachfrage===
Bei einer [[Elastizitäten#Preiselastizität der Nachfrage|vollkommen unelastischen Nachfrage]] fragen Konsumenten eine sich nicht verändernde Menge eines Gutes nach. Beispiel: lebensnotwendige Güter. Hierbei ist die Höhe des Preises für die Menge irrelevant. Die [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Konsumentenrente|Konsumentenrente]] liegt auch hier zwischen der [[Nachfrage|Nachfragefunktion]] und dem Preis, den die Konsumenten zahlen müssen. Diese Fläche ist in der Abbildung blau eingezeichnet und ist unendlich groß. Eine Steuer erhöht den Konsumentenpreis (<math display="inline"> P_{N} </math>) und ändert somit den Preis, den die Konsumenten zahlen müssen. Die Fläche zwischen der Nachfragefunktion und dem zu zahlenden Konsumentenpreis bildet auch hier die Konsumentenrente, die noch immer unendlich groß ist, jedoch um die Steuereinnahmen (orangene Fläche) verringert wurde. Es entsteht bei einer vollkommen unelastischen Nachfrage kein Wohlfahrtsverlust und die Gesamtwohlfahrt ist unverändert, da die Steuereinnahmen im Modell der Gesamtwirtschaft zugutekommen. 
[[Datei:Steuer 5.png|251px|rahmenlos]]
[[Datei:Steuer 6.png|251px|rahmenlos]]
 
 

===Vollkommen unelastisches Angebot===
Bei einem [[Elastizitäten#Preiselastizität des Angebots|vollkommen unelastischen Angebot]] bieten Produzenten eine sich nicht verändernde Menge eines Gutes an. Ähnlich bei der vollkommen unelastischen Nachfrage reagiert die angebotene Menge nicht auf eine Preisänderung. Die [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Konsumentenrente|Konsumentenrente]] ist in der Abbildung unten blau und die [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Produzentenrente|Produzentenrente]] rot eingezeichnet. Durch die Einführung einer Mengensteuer verringert sich der Produzentenpreis (<math display="inline"> P_{A} </math>), also der Preis den die Produzenten letztlich behalten. Hierdurch entstehen Steuereinnahmen (orangene Fläche) und die Produzentenrente verringert sich um die Steuereinnahmen. Die Konsumentenrente und damit auch Gesamtwohlfahrt bleibt unverändert. 
[[Datei:Steuer 7.png|271px|rahmenlos]]
[[Datei:Steuer 8.png|251px|rahmenlos]] 
 

 

==Zölle und Importquoten==
===Freihandel und Protektionismus===
In der ersten Abbildung lässt sich der Freihandel und der komplett protektionistische Inlandshandel vergleichen. Im Falle des rein inländischen Handels liegt der Preis bei <math display="inline"> p^{*} </math> und die gehandelte Menge bei <math dispay="inline"> Q^{*} </math>. Die [[Konsumentenrente und Produzentenrente|Konsumentenrente]] umfasst AFB und die [[Konsumentenrente und Produzentenrente|Produzentenrente]] BFD. Durch die Einführung des Weltmarkthandels, sinkt der Preis auf <math display="inline"> p_{W} </math>. Zu diesem Preis wird nur eine Menge bis E durch das Inland angeboten, nachgefragt wird im Inland jedoch bis zu G. Die Differenz (von E zu G) wird durch Importe abgedeckt. Die [[Konsumentenrente und Produzentenrente|Konsumentenrente]] beträgt nun ACG (blaue Fläche linke Abbildung) und die [[Konsumentenrente und Produzentenrente|Produzentenrente]] CDE (rote Fläche linke Abbildung). Wie zu sehen ist, ist die Gesamtwohlfahrt im Inland bei Freihandel um EFG größer als im Vergleich zum protektionistischen Handel. Eine protektionistische Form des Wirtschaftens ist somit nicht [[Effizienz|pareto effizient]]. In einem Fall, in dem der Weltmarktpreis über dem Inlandspreis liegt, steigt der Preis. 
[[Datei:Freihandel.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Protektionismus.png|370px|rahmenlos]]
 
 
===Die Erhebung von Zöllen===
Werden Zölle (typischerweise auf Importgüter) erhoben, liegt in der Konsequenz der Weltmarktpreis unterhalb des Gleichgewichtspreises im Inland liegt. Der Zoll treibt einen Keil zwischen die beiden Preise. Ohne Eingriff liegt der inländische Preis beim Weltmarktpreis und die durch den Inland angebotene Menge ist beim Marktpreis geringer als die nachgefragte Menge. Die Differenz zwischen der vom Inland angebotenen Menge und der im Inland nachgefragten Menge wird durch Importe gedeckt (siehe Abbildung oben). 
Im Falle eines Importzolls ist der Gleichgewichtspreis des Inlands unverändert, nur der Preis, der durch die Produktion im Ausland kommt, erhöht sich um den Zoll <math display="inline"> p_{W}+t </math>. Hierdurch liegt der endgültige Preis über dem Preis ohne Zoll. Die Differenz zwischen der inländisch angebotenen Menge und der zu dem Preis inländisch nachgefragten Menge ist geringer und damit auch der Import. 
Die Einführung von Importzöllen erhöht den Marktpreis um die Höhe des Zolls. Die Differenz zwischen dem neuen und dem alten Weltmarktpreis multipliziert mit der Zollhöhe, ergeben die Zolleinnahmen (gelbe Fläche). Die Gesamtwohlfahrt ist im Vergleich zum Fall ohne Zölle geringer (graue Fläche rechte Abbildung).
 
 

===Importquoten===
Importquoten sind eine festgelegte Menge, die importiert werden darf und eine alternative Möglichkeit, um die inländische Produktion im Ganzen oder in Sektoren vor der günstigeren Produktion im Ausland zu schützen. Auch in diesem Fall liegt der endgültige Preis unter dem Gleichgewichtspreis, der sich im Inland ergeben würde. Er ergibt sich aus dem Schnittpunkt der Nachfragekurve im Inland mit der Angebotskurve aus dem Inland addiert mit der Menge aus der Importquote.

==Subventionen==
Subventionen können auf Güter oder auch Dienstleistungen gezahlt werden. Die Funktion von Subventionen verhält sich vergleichbar wie die der [[Eingriffe in das Marktgleichgewicht#Steuern|Steuern]], weshalb sie häufig auch als negative Steuern bezeichnet werden. Wenn sich der Staat dazu entschließt Subventionen zu zahlen, um zum Beispiel einen Wirtschaftssektor zu unterstützen, dann kann er dies durch Zuschüsse in der Produktion tun. Die Produktion der einzelnen Einheiten kostet nach wie vor genauso viel, doch bekommen die produzierenden Unternehmen finanzielle Unterstützung und müssen daher für jede Einheit weniger zahlen. Die [[Angebot|Angebotskurve]] verschiebt sich fiktiv nach unten/rechts. Es ergibt sich nun ein neues Gleichgewicht, bei dem die Menge höher und der Preis niedriger verglichen mit dem Gleichgewicht ohne Subventionen ist. 
[[Datei:Subvention1.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Subvention2.png|320px|rahmenlos]]
 
 
Wie in der Abbildung oben zu sehen ist, stellt sich ein neues Gleichgewicht mit der Menge <math display="inline"> Q_{1} </math> ein. Die Konsumenten haben durch die Subventionen nur einen Preis <math display="inline"> p_{2} </math> zu zahlen, die Produzenten können zum Preis <math display="inline"> p_{1} </math> verkaufen. Die Differenz zwischen den beiden Preisen entspricht der Subventionshöhe und wird vom Staat übernommen. Daher ergeben sich für den Staat kosten, die der Subventionshöhe multipliziert mit den verkauften Einheiten (<math display="inline"> Q_{1} </math>) entsprechen (gelbe Fläche).
 
 
===Die Gesamtwohlfahrt bei Subventionen===
Konsumenten haben durch die Subventionen nur einen Preis <math display="inline"> p_{2} </math> zu zahlen, die Produzenten können zum Preis <math display="inline"> p_{1} </math> verkaufen. Die Differenz zwischen den beiden Preisen entspricht der Subventionshöhe und wird vom Staat übernommen. 
Durch die Subvention fragen die Konsumenten mehr zu einem günstigeren Preis nach, wodurch sich die Konsumentenrente (blaue Fläche) vergrößert. Die zusätzliche Rente lässt sich in der Fläche <math display="inline> p^{*} H F p_{2} </math> erkennen.
Die Produzentenrente (rote Fläche) vergrößert sich ebenfalls, denn die Produzenten erhalten eine Subvention pro produzierte Einheit. Der Zugewinn der Produzentenrente lässt sich in der <math display="inline> p_{1} D H p_{2} </math> Fläche erkennen.
Zusammen entsprechen beide Zugewinne der jeweiligen Rente allerdings nicht exakt der gelben Fläche, also den Ausgaben des Staates. Die Fläche DHF ist Teil der Kosten, aber kein Teil der zusätzlichen Rente und stellt daher den Wohlfahrtsverlust dar. 
[[Datei:Subvention3.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Subvention4.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Subvention5.png|300px|rahmenlos]]

==Bindender Mindestpreis==
Ein Mindestpreis ist eine den Preis betreffende Vorgabe, die festschreibt, wie niedrig ein Preis maximal sein darf. Ein Preis unter einem Mindestpreis ist nicht mehr möglich, ein Preis über dem Mindestpreis jedoch schon. Liegt der festgelegte Mindestpreis unterhalb des Gleichgewichtspreises, ist dieser nicht wirksam. Es würde sich das [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewicht]] mitsamt seinem Preis einstellen. Liegt der Mindestpreis jedoch über dem Gleichgewichtspreis, ist dieser bindend. 
''Beispiel'': Auf einem Viehmarkt existiert ein Mindestpreis von 100€ pro Kuh. Würde der Preis der Bauern für ihre Kühe jeweils 200€ betragen, dürfen sie diese auch weiterhin für diesen Preis verkaufen. Liegt der Preis der Bauern jedoch nur bei 80€, so dürfen sie ihre Kühe für wenigstens 100€ verkaufen. 
[[Datei:RenteOhneMindestpreis.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:RenteMindestpreis.png|301px|rahmenlos]] 
 
In dem Beispiel oben liegt der Mindestpreis (<math display="inline"> p_{min} </math>) über dem Gleichgewichtspreis (<math display="inline"> p^{*} </math>) und ist daher bindend. Bei diesem Mindestpreis wird eine Menge <math display="inline"> Q_{1} </math> angeboten, jedoch nur eine Menge <math display="inline"> Q_{2} </math> nachgefragt. Es wird also mehr angeboten als nachgefragt, was ein Angebotsüberschuss darstellt. Aus diesem Grund verringert sich die Konsumentenrente (als blaue Fläche eingezeichnet) im Vergleich zum Fall ohne bindenden Mindestpreis. Ob sich die Produzentenrente (als rote Fläche eingezeichnet) insgesamt verringert oder vergrößert lässt sich allgemein nicht sagen, hier kommt es auf den Verlauf der Angebotsfunktion an. Klar ist, die Gesamtwohlfahrt verringert sich um den Wohlfahrtsverlust (graue Fläche) und das neue [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewicht]] ist [[Effizienz|ineffizient]].

==Preisstützen==
Eine Möglichkeit, um den Effekt des bindenden Mindestpreises ebenfalls zu erreichen sind Preisstützen. In diesem Fall kann ein Preis oberhalb des Gleichgewichtspreises durchgesetzt werden, in dem Regierungen (oder andere Dritte) die Überproduktion zu diesem Preis abkaufen. 
[[Datei:PreisstützeRente1.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:PreisstützeRente2.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Preisstütze.png|300px|rahmenlos]]
 
 
In der Abbildung oben ist das Prinzip der Preisstütze grafisch erklärt. Der Staat tritt selbst als Nachfrager in dem Markt auf und fragt eine Menge <math display="inline"> Q_{g} </math> nach, sodass sich die [[Nachfrage|Nachfragekurve]] D so weit verschiebt, bis mit D' und S der gewünschte Marktgleichgewichtspreis entsteht. Der daraus resultierende Marktpreis liegt bei <math display="inline"> p_{S} </math> und die [[Konsumentenrente und Produzentenrente|Konsumentenrente]] (in blau) beträgt jetzt daher die Fläche ABE und die [[Konsumentenrente und Produzentenrente|Produzentenrente]] (in rot) BDI. Da der Staat die Differenz zwischen <math display="inline"> Q_{2} </math> und <math display="inline"> Q_{1} </math> aufkauft, entstehen Kosten für den Staat, die in der Fläche EGIJ zu finden sind. 
Neben den Kosten entsteht außerdem ein Wohlfahrtsverlust, da im neuen Gleichgewicht zu einem höheren Preis mehr nachgefragt wird, als es effizient wäre. Es liegt die Vermutung nahe, dass die Fläche, die auch schon die Kosten zeigen (EGIJ) gleichzeitig den Wohlfahrtsverlust widerspiegeln. Dem ist jedoch nicht so. Aufgrund des Einschreitens des Staates ist die Gesamtrente, also die Konsumentenente addiert mit der Produzentenrente, größer. Um genau zu sein vergrößert sie sich um das Dreieck EHI. Das Dreieck ist zwar Teil der Kosten, aber auch Teil der zusätzlichen Wohlfahrt und stellt daher kein Wohlfahrtsverlust dar. Zur Verdeutlichung lässt sich ein Szenario kreieren, in dem sich der Staat durch die Firmen finanziert. In diesem Fall würden die Firmen die Ausgaben tätigen, bekommen dafür aber auch höhere Einnahmen. Das Dreieck EFH ist ebenso Teil der Gesamtwohlfahrt und Teil der Kosten, jedoch auch Teil des Wohlfahrtsverlusts. Dies ist damit begründet, dass es bereits ohne staatlichen Eingriff Teil der Wohlfahrt war und daher keine zusätzliche Rente trotz Kosten ist. 
Der gesamte Wohlfahrtsverlust ist daher in der Fläche des grauen Fläche sichtbar.

==Bindende Höchstpreise==
Die Funktionsweise eines Höchstpreises ist ähnlich zu der des Mindestpreises. Der Höchstpreis bestimmt, wie hoch der Preis maximal sein darf. Preise über diesem sind nicht mehr möglich. Liegt der Höchstpreis über dem Gleichgewichtspreis, so würde sich der Gleichgewichtspreis einstellen. Ist der Höchstpreis jedoch unter dem Gleichgewichtspreis, so ist dieser bindend. 
[[Datei:Höchstpreis.png|501px|rahmenlos]]
 
 
In dem Beispiel oben ist der Höchstpreis (<math display="inline"> p_{max} </math>) bindend. Zu diesem Preis wird eine Menge <math display="inline"> Q_{1} </math> nachgefragt, jedoch nur eine Menge <math display="inline"> Q_{2} </math> angeboten. Es liegt demnach ein Nachfrageüberschuss vor. Dieser Überschuss ist [[Effizienz|ineffizient]] und ist im Wohlfahrtsverlust (Fläche BCD) sichtbar. Es wird bei einem zu niedrigen Preis eine zu geringe Menge angeboten. Die Intuition der [[Konsumentenrente und Produzentenrente]] ist identisch zum Fall des [[Eingriffe in das Marktgleichgewicht#Bindender Mindestpreis|bindenden Mindestpreises]].

==Produktionsquoten==
Eine weitere Möglichkeit für den Staat Preise zu stützen sind Produktionsquoten, über die nicht hinweg produziert werden darf. Eine wirksame Quote liegt unter der Gleichgewichtsmenge und führt zu einem Knick in der [[Angebot|Angebotsfunktion]]. Bei einer Menge unterhalb der Regelung ist die neue Angebotsfunktion identisch mit der alten ohne staatlichen Eingriff. Ab der durch die Produktionsquote eingeführten Menge ist die Angebotsfunktion vertikal, es wird also immer maximal diese Menge angeboten, auch wenn der Preis sehr groß ist. 
[[Datei:Produktionsquoten.png|500px|rahmenlos]] 
 
Grafisch lässt sich eine Produktionsquote wie oben darstellen. Das [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewicht]] stellt sich ohne Eingriff bei Q* und p* ein. Durch die Produktionsquote verändert sich die [[Angebot|Angebotskurve]] und das neue Gleichgewicht stellt sich im Schnittpunkt der neuen Funktion mit der [[Nachfrage|Nachfragefunktion]] ein. Der neue Preis liegt nun bei <math display="inline"> p_{1} </math> und die Menge bei <math display="inline"> Q_{1} </math>. Hieraus ergibt sich ein Wohlfahrtsverlust, der als graue Fläche eingezeichnet ist.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Einige ausländische Produzenten bevorzugen eine Importquote gegenüber einem Zoll, da ...
|type="()"}
+ ... einige ausländische Produzenten bei einer Quote einen höheren Preis erzielen.
- ... einige ausländische Produzenten bei einer Quote einen niedrigeren Preis erzielen.
- ... die inländischen Produzenten die Quote bevorzugen.
- ... sie tun dies gar nicht. Sie bevorzugen den Zoll.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen das Angebot von Software ist vollkommen elastisch und der Staat führt eine Mengensteuer von 5€ ein. Um wie viel steigt der Konsumentenpreis?
|type="()"}
+ Er steigt um 5€
- Er steigt um mehr als 2,50€ aber um weniger als 5€
- Er steigt um weniger als 5€
- Der Preis für die Konsumenten verändert sich nicht
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wenn der Staat auf Wettbewerbsmärkten eine Steuer erhebt,
|type="()"}
+ steigt der Konsumentenpreis des Gutes stärker als der Produzentenpreis, wenn die Nachfrage weniger elastisch als das Angebot ist.
- steigt der Konsumentenpreis des Gutes stärker als der Prdouzentenpreis, wenn die Nachfrage elastischer als das Angebot ist.
- steigt der Konsumentenpreis nicht, wenn die Nachfrage vollkommen unelastisch ist.
- steigt der Produzentenpreis, wenn das Angebot vollkommen elastisch ist.
</quiz>

Güterarten

2025-02-03T12:55:31Z

Okehne: /* Luxusgüter */

Güter können sich in der Art und Weise unterscheiden, wie sich die optimale Nachfrage bei Preis- oder Einkommensänderungen verändern. Güter sind entweder Giffen Güter oder Gewöhnliche Güter in Bezug auf Preisänderungen und Güter sind entweder inferiore Güter oder normale Güter in Bezug auf Einkommensänderungen.

__TOC__

==Preisänderungen==
===Gewöhnliche Güter===
Die [[Nachfrage]] nach Gewöhnlichen Gütern steigt, wenn der Preis dieser Güter sinkt. Steigt der Preis, dann sinkt die Nachfrage nach dem Gewöhnlichen Gut. Die [[Elastizitäten#Preiselastizität der Nachfrage|Preiselastizität der Nachfrage]] betrachtet die prozentuale Änderung der Nachfrage, bei einer prozentualen Änderung des Preises. Wie verändert sich die nachgefragte Menge, wenn der Preis steigt? Bei Gewöhnlichen Gütern ist die Elastizität (ohne Betragsstriche und ohne negatives Vorzeichen) negativ. 
''Beispiel'': Der Student Sebastian geht bei einem Ticketpreis von 5€ 10-mal in das Kino. Sollte er bei einem Preis von 8€ seltener in das Kino gehen, ist der Kinobesuch für Sebastian ein Gewöhnliches Gut. 
Ob ein Gut ein Gewöhnliches Gut ist oder ein [[Güterarten#Preisänderungen#Giffen Güter|Giffen Gut]], lässt sich sehr gut in der [[Preiskonsumkurve]] identifizieren. Steigt der Preis von dem sich auf der x-Achse befindlichen Gut, dreht sich die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgerade]] nach Innen. Die Preiskonsumkurve verbindet alle optimalen Güternachfragen der jeweiligen Budgetgeraden miteinander und hat eine positive Steigung, wenn es sich um Gewöhnliche Güter handelt. 
[[Datei:Preiskonsumkurve.png|350px|rahmenlos]]

===Giffen Güter===
Die [[Nachfrage]] nach Giffen Gütern steigt, wenn auch der Preis dieser Güter steigt. Sinkt der Preis, sinkt auch die Nachfrage nach ihnen. Die [[Elastizitäten#Preiselastizität der Nachfrage|Preiselastizität der Nachfrage]] von Giffen Gütern (ohne Betragsstriche und ohne negatives Vorzeichen) ist positiv. Diese Eigenschaft wurde erstmals von Robert Giffen im 19. Jahrhundert entdeckt. Dass die Nachfrage nach einem Gut steigt, wenn der Preis steigt, mag im ersten Moment irritierend sein. Zum Verständnis soll ein Modell dienen, in dem ein Haushalt zwei Nahrungsmittel kaufen kann. Der Haushalt muss sich zwischen Reis und einem anderen Lebensmittel entscheiden. Steigt der Preis, kann sich der Haushalt aufgrund der Preiserhöhung von Reis bedeutend weniger vom anderen Lebensmittel leisten. Daher kauft der Haushalt mehr von Reis, um dennoch den Nutzen möglichst hoch zuhalten. Der Tangentialpunkt der Budgetgeraden mit der Indifferenzkurve liegt weiter rechts, je größer der dazugehörige Preis ist (wenn sich das Giffen Gut auf der x-Achse befindet). Die [[Preiskonsumkurve]] weist in diesem Fall eine negative Steigung auf. 
[[Datei:GiffenGut.png|350px|rahmenlos]]

==Einkommensänderungen==
Die Nachfrage nach einem Gut ist abhängig von den Güterpreisen und dem verfügbaren Einkommen. Verändert sich das Einkommen verändert sich auch die Menge, die von einem Gut nachgefragt wird. Im Folgenden soll untersucht werden, wie und in welchem Verhältnis sich die Nachfrage verändert, wenn sich das Einkommen ändert. Es gilt 
<math> \epsilon=\frac{\part x}{\part E}\frac{E}{x} </math> 
<math> \epsilon=1 </math> => Homothetische Präferenz 
<math> \epsilon>1 </math> => Luxusgut 
<math> \epsilon<1 </math> => Notwendiges Gut 
<math> \epsilon<0 </math> => Inferiores Gut 
 
===Normale Güter===
Die [[Nachfrage]] nach normalen Gütern steigt, wenn das Einkommen steigt und sinkt, wenn das Einkommen sinkt. Die [[Elastizitäten#Einkommenselastizität der Nachfrage|Einkommenselastizität der Nachfrage]] ist somit positiv. Bei den normalen Gütern wird zudem nochmal zwischen notwendigen Gütern, homothetischen Präferenzen und Luxusgütern unterschieden. 
Bei Normalen Gütern wird untersucht, ob die Preiselastizität des Einkommens, größer, gleich oder kleiner eins ist.

====Notwendige Güter====
Die Nachfrage nach '''notwendigen Gütern''' steigt unterproportional im Einkommen. Die Nachfrage immer zunimmt, wenn das Einkommen steigt, jedoch um einen immer kleiner werdenden Wert.
Beispiel: Zucker ist für Bettina ein notwendiges Gut. Verdoppelt sich das Einkommen von ihr, fragt sie auch mehr Zucker nach, jedoch weniger als doppelt so viel. Bei einem Einkommen von 10 fragt sie beispielsweise 20 Einheiten Zucker nach und bei einem Einkommen von 20 fragt sie nicht 40, sondern 30 Einheiten nach. 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> und
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part E^2}<0 </math> 
Die Steigung der Engelkurve ist positiv und zunehmend, da es sich bei der Engelkurve um die inverse <math> x_1(E) </math> Funktion handelt. 
 

====Homothetische Präferenzen====
Die Nachfrage nach Gütern, die '''homothetische Präferenzen''' aufweisen, steigt proportional im Einkommen. Verdoppelt sich das Einkommen, dann verdoppelt sich auch die nutzenmaximale Menge dieses Gutes. 
Es muss gelten: 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> und
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part E^2}=0 </math> 
Die Steigung der Engelkurve ist positiv und konstant. 
 

====Luxusgüter====
Die Nachfrage nach '''Luxusgütern''' steigt überproportional im Einkommen. Das heißt die Nachfrage nach Luxusgütern steigt bei wachsendem Einkommen stärker an als das Einkommen selbst. Verdoppelt sich das Einkommen, ist die nutzenmaximale Nachfrage nach diesem Gut mehr als doppelt so groß. 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> und
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part E^2}>0 </math> 
''Beispiel'': Für Christian sind Champagnerflaschen Luxusgüter. Er kauft für gewöhnlich eine Champagnerflasche im Jahr. Nachdem sich sein Einkommen verdoppelt hat, kauft er sich drei Champagnerflaschen im Jahr, was größer als eine bloße Verdopplung ist. 
Die Steigung der Engelkurve ist positiv und abnehmend, da es sich bei der Engelkurve um die inverse <math> x_1(E) </math> Funktion handelt. 
 
Welcher der drei Fälle vorliegt lässt sich am Verlauf der [[Engelkurve]] identifizieren. 
[[Datei:Engelkurve3.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Engelkurve4.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Engelkurve2.png|350px|rahmenlos]]

===Inferiore Güter===
Die [[Nachfrage]] nach inferioren Gütern sinkt bei steigendem Einkommen und steigt, wenn das Einkommen kleiner wird. Die [[Elastizitäten#Einkommenselastizität der Nachfrage|Einkommenselastizität der Nachfrage]] ist somit negativ. 
''Beispiel'': Für Sabine ist Brot vom Discounter ein inferiores Gut. Bei ihrem jetzigen Einkommen kauft sie recht viel Brot beim Discounter, um ihren täglichen Hunger zu stillen. Nach einer Lohnerhöhung hat sie mehr Geld zur Verfügung aber ihr Hunger ändert sich nicht. Statt noch mehr Brot, das sie sowieso nicht essen würde, beim Discounter zu kaufen geht sie zu einem Bäcker, der täglich selbst backt und kauft dort ihr Brot. Obwohl sie mehr Geld zur Verfügung hat, kauft sie von einem Gut (Brot vom Discounter) weniger als vorher. Die [[Engelkurve#Inferiore Güter|Engelkurve]] eines Inferioren Guts hat eine negative Steigung. 
[[Datei:Engelkurve6.png|350px|rahmenlos]]

==Güterart und Gesamteffekt==
Der Gesamteffekt betrachtet das veränderte Verhalten, welches beobachtbar ist. Kauft ein Konsument beispielsweise nach einer Preiserhöhung von Chips weniger Chips, ist der Gesamteffekt negativ und beträgt die Menge, die weniger gekauft wird. Ob der Gesamteffekt positiv oder negativ ist, hängt auch mit der Art des Gutes zusammen. Im Folgenden sollen Preisänderungen betrachtet werden, welche einer Einkommensreduzierung gleichkommt. Erhöht sich ein Preis, kann von dem verfügbaren Einkommen real weniger gekauft werden. Der Gesamteffekt kann auf einen [[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt#Der Einkommenseffekt|Einkommenseffekt]] und einen [[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt#Der Substitutionseffekt|Substitutionseffekt]] aufgeschlüsselt werden. Für die untenstehende Tabelle soll ausreichend sein zu wissen, dass der Substitutionseffekt für das teurer gewordene Gut immer negativ und für das gleich teuer bleibende Gut positiv ist. 
Der Einkommenseffekt für '''normale Güter''' ist bei einer Preisänderung immer negativ, da bei einem reduzierten Einkommen weniger nachgefragt wird. Für inferiore Güter ist der Einkommenseffekt bei einer Preiserhöhung positiv. Steigt der Preis für ein normales Gut, ist der Gesamteffekt negativ, da der Substitutionseffekt und der Einkommenseffekt negativ sind. Steigt der Preis eines anderen Gutes, ist der Einkommenseffekt immer noch negativ und der Substitutionseffekt nun positiv. Die beiden Effekte laufen in entgegengesetzte Richtungen und der Gesamteffekt kann nicht eindeutig bestimmt werden. Um zu bestimmen, ob der Gesamteffekt in diesem Fall positiv oder negativ ist, braucht es ein explizites Zahlenbeispiel. 
Ist das Gut ein '''inferiores Gut''' und der Preis des anderen Gutes steigt, ist der Substitutionseffekt positiv und auch der Einkommenseffekt. Der Gesamteffekt ist in diesem Fall positiv. Steigt jedoch der Preis des eigenen Gutes, ist der Substitutionseffekt negativ und der Einkommenseffekt positiv. Im zweiten Fall ist der Gesamteffekt erneut nicht eindeutig. Ist der Einkommenseffekt betragsmäßig größer als der Substitutionseffekt, ist der Gesamteffekt positiv und es handelt sich um ein Inferiores Gut, das gleichzeitig ein '''Giffen Gut''' ist. 
In der untenstehenden Tabelle sind die Ausführungen oben in einer Matrix dargestellt. Ein Pfeil nach oben (↑) bedeutet, dass die Nachfrage steigt und ein Pfeil nach unten (↓) bedeutet, dass die Nachfrage sinkt. SE: ↓ bedeutet dann, dass aufgrund des Substitutionseffektes weniger von dem Gut nachgefragt wird und der Effekt daher negativ ist.

{| class="wikitable"
! scope="col"|
! scope="col"| X ist ein normales Gut
! scope="col"| X ist ein inferiores Gut
|-
! scope="row"| px↑
| SE: X↓, EE: X↓, GE: X↓
| SE: X↓, EE: X↑, GE: ?
|-
! scope="row"| py↑
| SE: X↑, EE: X↓, GE: ?
| SE: X↑, EE: X↑, GE: X↑
|}
 

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ist die Einkommenselastizität positiv, handelt es sich auf jeden Fall um ein...
|type="()"}
+ ... Normales Gut
- ... Giffen Gut
- ... Luxusgut
- ... Notwendiges Gut
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die inverse Nachfragefunktion ist positiv geneigt. Das bedeutet, dass ...
|type="()"}
+ ... das betrachtende Gut ein Giffen Gut ist.
- ... das Gut ein Luxusgut ist.
- ... das Gut ein Gewöhnliches Gut ist.
- (nicht möglich)
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Nachfrage nach <math> x_1 </math> sei in <math> x_1=\frac{E}{p_1+5} </math> geschrieben, wobei <math> E>0 </math> und <math> p_1=0,5 </math>. Bei <math> x_1 </math> handelt es sich um ein...
|type="()"}
- ... Gewöhnliches Gut und Notwendiges Gut.
- ... Gewöhnliches Gut und Luxusgust.
- ... Giffen Gut und Luxusgut.
+ ... Gewöhnliches Gut und einem Gut, das Homohthetische Präferenzen aufweist.
</quiz>

Güterarten

2025-02-03T12:55:16Z

Okehne: /* Homothetische Präferenzen */

Güter können sich in der Art und Weise unterscheiden, wie sich die optimale Nachfrage bei Preis- oder Einkommensänderungen verändern. Güter sind entweder Giffen Güter oder Gewöhnliche Güter in Bezug auf Preisänderungen und Güter sind entweder inferiore Güter oder normale Güter in Bezug auf Einkommensänderungen.

__TOC__

==Preisänderungen==
===Gewöhnliche Güter===
Die [[Nachfrage]] nach Gewöhnlichen Gütern steigt, wenn der Preis dieser Güter sinkt. Steigt der Preis, dann sinkt die Nachfrage nach dem Gewöhnlichen Gut. Die [[Elastizitäten#Preiselastizität der Nachfrage|Preiselastizität der Nachfrage]] betrachtet die prozentuale Änderung der Nachfrage, bei einer prozentualen Änderung des Preises. Wie verändert sich die nachgefragte Menge, wenn der Preis steigt? Bei Gewöhnlichen Gütern ist die Elastizität (ohne Betragsstriche und ohne negatives Vorzeichen) negativ. 
''Beispiel'': Der Student Sebastian geht bei einem Ticketpreis von 5€ 10-mal in das Kino. Sollte er bei einem Preis von 8€ seltener in das Kino gehen, ist der Kinobesuch für Sebastian ein Gewöhnliches Gut. 
Ob ein Gut ein Gewöhnliches Gut ist oder ein [[Güterarten#Preisänderungen#Giffen Güter|Giffen Gut]], lässt sich sehr gut in der [[Preiskonsumkurve]] identifizieren. Steigt der Preis von dem sich auf der x-Achse befindlichen Gut, dreht sich die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgerade]] nach Innen. Die Preiskonsumkurve verbindet alle optimalen Güternachfragen der jeweiligen Budgetgeraden miteinander und hat eine positive Steigung, wenn es sich um Gewöhnliche Güter handelt. 
[[Datei:Preiskonsumkurve.png|350px|rahmenlos]]

===Giffen Güter===
Die [[Nachfrage]] nach Giffen Gütern steigt, wenn auch der Preis dieser Güter steigt. Sinkt der Preis, sinkt auch die Nachfrage nach ihnen. Die [[Elastizitäten#Preiselastizität der Nachfrage|Preiselastizität der Nachfrage]] von Giffen Gütern (ohne Betragsstriche und ohne negatives Vorzeichen) ist positiv. Diese Eigenschaft wurde erstmals von Robert Giffen im 19. Jahrhundert entdeckt. Dass die Nachfrage nach einem Gut steigt, wenn der Preis steigt, mag im ersten Moment irritierend sein. Zum Verständnis soll ein Modell dienen, in dem ein Haushalt zwei Nahrungsmittel kaufen kann. Der Haushalt muss sich zwischen Reis und einem anderen Lebensmittel entscheiden. Steigt der Preis, kann sich der Haushalt aufgrund der Preiserhöhung von Reis bedeutend weniger vom anderen Lebensmittel leisten. Daher kauft der Haushalt mehr von Reis, um dennoch den Nutzen möglichst hoch zuhalten. Der Tangentialpunkt der Budgetgeraden mit der Indifferenzkurve liegt weiter rechts, je größer der dazugehörige Preis ist (wenn sich das Giffen Gut auf der x-Achse befindet). Die [[Preiskonsumkurve]] weist in diesem Fall eine negative Steigung auf. 
[[Datei:GiffenGut.png|350px|rahmenlos]]

==Einkommensänderungen==
Die Nachfrage nach einem Gut ist abhängig von den Güterpreisen und dem verfügbaren Einkommen. Verändert sich das Einkommen verändert sich auch die Menge, die von einem Gut nachgefragt wird. Im Folgenden soll untersucht werden, wie und in welchem Verhältnis sich die Nachfrage verändert, wenn sich das Einkommen ändert. Es gilt 
<math> \epsilon=\frac{\part x}{\part E}\frac{E}{x} </math> 
<math> \epsilon=1 </math> => Homothetische Präferenz 
<math> \epsilon>1 </math> => Luxusgut 
<math> \epsilon<1 </math> => Notwendiges Gut 
<math> \epsilon<0 </math> => Inferiores Gut 
 
===Normale Güter===
Die [[Nachfrage]] nach normalen Gütern steigt, wenn das Einkommen steigt und sinkt, wenn das Einkommen sinkt. Die [[Elastizitäten#Einkommenselastizität der Nachfrage|Einkommenselastizität der Nachfrage]] ist somit positiv. Bei den normalen Gütern wird zudem nochmal zwischen notwendigen Gütern, homothetischen Präferenzen und Luxusgütern unterschieden. 
Bei Normalen Gütern wird untersucht, ob die Preiselastizität des Einkommens, größer, gleich oder kleiner eins ist.

====Notwendige Güter====
Die Nachfrage nach '''notwendigen Gütern''' steigt unterproportional im Einkommen. Die Nachfrage immer zunimmt, wenn das Einkommen steigt, jedoch um einen immer kleiner werdenden Wert.
Beispiel: Zucker ist für Bettina ein notwendiges Gut. Verdoppelt sich das Einkommen von ihr, fragt sie auch mehr Zucker nach, jedoch weniger als doppelt so viel. Bei einem Einkommen von 10 fragt sie beispielsweise 20 Einheiten Zucker nach und bei einem Einkommen von 20 fragt sie nicht 40, sondern 30 Einheiten nach. 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> und
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part E^2}<0 </math> 
Die Steigung der Engelkurve ist positiv und zunehmend, da es sich bei der Engelkurve um die inverse <math> x_1(E) </math> Funktion handelt. 
 

====Homothetische Präferenzen====
Die Nachfrage nach Gütern, die '''homothetische Präferenzen''' aufweisen, steigt proportional im Einkommen. Verdoppelt sich das Einkommen, dann verdoppelt sich auch die nutzenmaximale Menge dieses Gutes. 
Es muss gelten: 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> und
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part E^2}=0 </math> 
Die Steigung der Engelkurve ist positiv und konstant. 
 

====Luxusgüter====
Die Nachfrage nach '''Luxusgütern''' steigt überproportional im Einkommen. Das heißt die Nachfrage nach Luxusgütern steigt bei wachsendem Einkommen stärker an als das Einkommen selbst. Verdoppelt sich das Einkommen, ist die nutzenmaximale Nachfrage nach diesem Gut mehr als doppelt so groß. 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> und
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part^2 E}>0 </math> 
''Beispiel'': Für Christian sind Champagnerflaschen Luxusgüter. Er kauft für gewöhnlich eine Champagnerflasche im Jahr. Nachdem sich sein Einkommen verdoppelt hat, kauft er sich drei Champagnerflaschen im Jahr, was größer als eine bloße Verdopplung ist. 
Die Steigung der Engelkurve ist positiv und abnehmend, da es sich bei der Engelkurve um die inverse <math> x_1(E) </math> Funktion handelt. 
 
Welcher der drei Fälle vorliegt lässt sich am Verlauf der [[Engelkurve]] identifizieren. 
[[Datei:Engelkurve3.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Engelkurve4.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Engelkurve2.png|350px|rahmenlos]]

===Inferiore Güter===
Die [[Nachfrage]] nach inferioren Gütern sinkt bei steigendem Einkommen und steigt, wenn das Einkommen kleiner wird. Die [[Elastizitäten#Einkommenselastizität der Nachfrage|Einkommenselastizität der Nachfrage]] ist somit negativ. 
''Beispiel'': Für Sabine ist Brot vom Discounter ein inferiores Gut. Bei ihrem jetzigen Einkommen kauft sie recht viel Brot beim Discounter, um ihren täglichen Hunger zu stillen. Nach einer Lohnerhöhung hat sie mehr Geld zur Verfügung aber ihr Hunger ändert sich nicht. Statt noch mehr Brot, das sie sowieso nicht essen würde, beim Discounter zu kaufen geht sie zu einem Bäcker, der täglich selbst backt und kauft dort ihr Brot. Obwohl sie mehr Geld zur Verfügung hat, kauft sie von einem Gut (Brot vom Discounter) weniger als vorher. Die [[Engelkurve#Inferiore Güter|Engelkurve]] eines Inferioren Guts hat eine negative Steigung. 
[[Datei:Engelkurve6.png|350px|rahmenlos]]

==Güterart und Gesamteffekt==
Der Gesamteffekt betrachtet das veränderte Verhalten, welches beobachtbar ist. Kauft ein Konsument beispielsweise nach einer Preiserhöhung von Chips weniger Chips, ist der Gesamteffekt negativ und beträgt die Menge, die weniger gekauft wird. Ob der Gesamteffekt positiv oder negativ ist, hängt auch mit der Art des Gutes zusammen. Im Folgenden sollen Preisänderungen betrachtet werden, welche einer Einkommensreduzierung gleichkommt. Erhöht sich ein Preis, kann von dem verfügbaren Einkommen real weniger gekauft werden. Der Gesamteffekt kann auf einen [[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt#Der Einkommenseffekt|Einkommenseffekt]] und einen [[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt#Der Substitutionseffekt|Substitutionseffekt]] aufgeschlüsselt werden. Für die untenstehende Tabelle soll ausreichend sein zu wissen, dass der Substitutionseffekt für das teurer gewordene Gut immer negativ und für das gleich teuer bleibende Gut positiv ist. 
Der Einkommenseffekt für '''normale Güter''' ist bei einer Preisänderung immer negativ, da bei einem reduzierten Einkommen weniger nachgefragt wird. Für inferiore Güter ist der Einkommenseffekt bei einer Preiserhöhung positiv. Steigt der Preis für ein normales Gut, ist der Gesamteffekt negativ, da der Substitutionseffekt und der Einkommenseffekt negativ sind. Steigt der Preis eines anderen Gutes, ist der Einkommenseffekt immer noch negativ und der Substitutionseffekt nun positiv. Die beiden Effekte laufen in entgegengesetzte Richtungen und der Gesamteffekt kann nicht eindeutig bestimmt werden. Um zu bestimmen, ob der Gesamteffekt in diesem Fall positiv oder negativ ist, braucht es ein explizites Zahlenbeispiel. 
Ist das Gut ein '''inferiores Gut''' und der Preis des anderen Gutes steigt, ist der Substitutionseffekt positiv und auch der Einkommenseffekt. Der Gesamteffekt ist in diesem Fall positiv. Steigt jedoch der Preis des eigenen Gutes, ist der Substitutionseffekt negativ und der Einkommenseffekt positiv. Im zweiten Fall ist der Gesamteffekt erneut nicht eindeutig. Ist der Einkommenseffekt betragsmäßig größer als der Substitutionseffekt, ist der Gesamteffekt positiv und es handelt sich um ein Inferiores Gut, das gleichzeitig ein '''Giffen Gut''' ist. 
In der untenstehenden Tabelle sind die Ausführungen oben in einer Matrix dargestellt. Ein Pfeil nach oben (↑) bedeutet, dass die Nachfrage steigt und ein Pfeil nach unten (↓) bedeutet, dass die Nachfrage sinkt. SE: ↓ bedeutet dann, dass aufgrund des Substitutionseffektes weniger von dem Gut nachgefragt wird und der Effekt daher negativ ist.

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==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ist die Einkommenselastizität positiv, handelt es sich auf jeden Fall um ein...
|type="()"}
+ ... Normales Gut
- ... Giffen Gut
- ... Luxusgut
- ... Notwendiges Gut
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die inverse Nachfragefunktion ist positiv geneigt. Das bedeutet, dass ...
|type="()"}
+ ... das betrachtende Gut ein Giffen Gut ist.
- ... das Gut ein Luxusgut ist.
- ... das Gut ein Gewöhnliches Gut ist.
- (nicht möglich)
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Nachfrage nach <math> x_1 </math> sei in <math> x_1=\frac{E}{p_1+5} </math> geschrieben, wobei <math> E>0 </math> und <math> p_1=0,5 </math>. Bei <math> x_1 </math> handelt es sich um ein...
|type="()"}
- ... Gewöhnliches Gut und Notwendiges Gut.
- ... Gewöhnliches Gut und Luxusgust.
- ... Giffen Gut und Luxusgut.
+ ... Gewöhnliches Gut und einem Gut, das Homohthetische Präferenzen aufweist.
</quiz>

Güterarten

2025-02-03T12:55:01Z

Okehne: /* Notwendige Güter */

Güter können sich in der Art und Weise unterscheiden, wie sich die optimale Nachfrage bei Preis- oder Einkommensänderungen verändern. Güter sind entweder Giffen Güter oder Gewöhnliche Güter in Bezug auf Preisänderungen und Güter sind entweder inferiore Güter oder normale Güter in Bezug auf Einkommensänderungen.

__TOC__

==Preisänderungen==
===Gewöhnliche Güter===
Die [[Nachfrage]] nach Gewöhnlichen Gütern steigt, wenn der Preis dieser Güter sinkt. Steigt der Preis, dann sinkt die Nachfrage nach dem Gewöhnlichen Gut. Die [[Elastizitäten#Preiselastizität der Nachfrage|Preiselastizität der Nachfrage]] betrachtet die prozentuale Änderung der Nachfrage, bei einer prozentualen Änderung des Preises. Wie verändert sich die nachgefragte Menge, wenn der Preis steigt? Bei Gewöhnlichen Gütern ist die Elastizität (ohne Betragsstriche und ohne negatives Vorzeichen) negativ. 
''Beispiel'': Der Student Sebastian geht bei einem Ticketpreis von 5€ 10-mal in das Kino. Sollte er bei einem Preis von 8€ seltener in das Kino gehen, ist der Kinobesuch für Sebastian ein Gewöhnliches Gut. 
Ob ein Gut ein Gewöhnliches Gut ist oder ein [[Güterarten#Preisänderungen#Giffen Güter|Giffen Gut]], lässt sich sehr gut in der [[Preiskonsumkurve]] identifizieren. Steigt der Preis von dem sich auf der x-Achse befindlichen Gut, dreht sich die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgerade]] nach Innen. Die Preiskonsumkurve verbindet alle optimalen Güternachfragen der jeweiligen Budgetgeraden miteinander und hat eine positive Steigung, wenn es sich um Gewöhnliche Güter handelt. 
[[Datei:Preiskonsumkurve.png|350px|rahmenlos]]

===Giffen Güter===
Die [[Nachfrage]] nach Giffen Gütern steigt, wenn auch der Preis dieser Güter steigt. Sinkt der Preis, sinkt auch die Nachfrage nach ihnen. Die [[Elastizitäten#Preiselastizität der Nachfrage|Preiselastizität der Nachfrage]] von Giffen Gütern (ohne Betragsstriche und ohne negatives Vorzeichen) ist positiv. Diese Eigenschaft wurde erstmals von Robert Giffen im 19. Jahrhundert entdeckt. Dass die Nachfrage nach einem Gut steigt, wenn der Preis steigt, mag im ersten Moment irritierend sein. Zum Verständnis soll ein Modell dienen, in dem ein Haushalt zwei Nahrungsmittel kaufen kann. Der Haushalt muss sich zwischen Reis und einem anderen Lebensmittel entscheiden. Steigt der Preis, kann sich der Haushalt aufgrund der Preiserhöhung von Reis bedeutend weniger vom anderen Lebensmittel leisten. Daher kauft der Haushalt mehr von Reis, um dennoch den Nutzen möglichst hoch zuhalten. Der Tangentialpunkt der Budgetgeraden mit der Indifferenzkurve liegt weiter rechts, je größer der dazugehörige Preis ist (wenn sich das Giffen Gut auf der x-Achse befindet). Die [[Preiskonsumkurve]] weist in diesem Fall eine negative Steigung auf. 
[[Datei:GiffenGut.png|350px|rahmenlos]]

==Einkommensänderungen==
Die Nachfrage nach einem Gut ist abhängig von den Güterpreisen und dem verfügbaren Einkommen. Verändert sich das Einkommen verändert sich auch die Menge, die von einem Gut nachgefragt wird. Im Folgenden soll untersucht werden, wie und in welchem Verhältnis sich die Nachfrage verändert, wenn sich das Einkommen ändert. Es gilt 
<math> \epsilon=\frac{\part x}{\part E}\frac{E}{x} </math> 
<math> \epsilon=1 </math> => Homothetische Präferenz 
<math> \epsilon>1 </math> => Luxusgut 
<math> \epsilon<1 </math> => Notwendiges Gut 
<math> \epsilon<0 </math> => Inferiores Gut 
 
===Normale Güter===
Die [[Nachfrage]] nach normalen Gütern steigt, wenn das Einkommen steigt und sinkt, wenn das Einkommen sinkt. Die [[Elastizitäten#Einkommenselastizität der Nachfrage|Einkommenselastizität der Nachfrage]] ist somit positiv. Bei den normalen Gütern wird zudem nochmal zwischen notwendigen Gütern, homothetischen Präferenzen und Luxusgütern unterschieden. 
Bei Normalen Gütern wird untersucht, ob die Preiselastizität des Einkommens, größer, gleich oder kleiner eins ist.

====Notwendige Güter====
Die Nachfrage nach '''notwendigen Gütern''' steigt unterproportional im Einkommen. Die Nachfrage immer zunimmt, wenn das Einkommen steigt, jedoch um einen immer kleiner werdenden Wert.
Beispiel: Zucker ist für Bettina ein notwendiges Gut. Verdoppelt sich das Einkommen von ihr, fragt sie auch mehr Zucker nach, jedoch weniger als doppelt so viel. Bei einem Einkommen von 10 fragt sie beispielsweise 20 Einheiten Zucker nach und bei einem Einkommen von 20 fragt sie nicht 40, sondern 30 Einheiten nach. 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> und
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part E^2}<0 </math> 
Die Steigung der Engelkurve ist positiv und zunehmend, da es sich bei der Engelkurve um die inverse <math> x_1(E) </math> Funktion handelt. 
 

====Homothetische Präferenzen====
Die Nachfrage nach Gütern, die '''homothetische Präferenzen''' aufweisen, steigt proportional im Einkommen. Verdoppelt sich das Einkommen, dann verdoppelt sich auch die nutzenmaximale Menge dieses Gutes. 
Es muss gelten: 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> und
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part^2 E}=0 </math> 
Die Steigung der Engelkurve ist positiv und konstant. 
 

====Luxusgüter====
Die Nachfrage nach '''Luxusgütern''' steigt überproportional im Einkommen. Das heißt die Nachfrage nach Luxusgütern steigt bei wachsendem Einkommen stärker an als das Einkommen selbst. Verdoppelt sich das Einkommen, ist die nutzenmaximale Nachfrage nach diesem Gut mehr als doppelt so groß. 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> und
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part^2 E}>0 </math> 
''Beispiel'': Für Christian sind Champagnerflaschen Luxusgüter. Er kauft für gewöhnlich eine Champagnerflasche im Jahr. Nachdem sich sein Einkommen verdoppelt hat, kauft er sich drei Champagnerflaschen im Jahr, was größer als eine bloße Verdopplung ist. 
Die Steigung der Engelkurve ist positiv und abnehmend, da es sich bei der Engelkurve um die inverse <math> x_1(E) </math> Funktion handelt. 
 
Welcher der drei Fälle vorliegt lässt sich am Verlauf der [[Engelkurve]] identifizieren. 
[[Datei:Engelkurve3.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Engelkurve4.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Engelkurve2.png|350px|rahmenlos]]

===Inferiore Güter===
Die [[Nachfrage]] nach inferioren Gütern sinkt bei steigendem Einkommen und steigt, wenn das Einkommen kleiner wird. Die [[Elastizitäten#Einkommenselastizität der Nachfrage|Einkommenselastizität der Nachfrage]] ist somit negativ. 
''Beispiel'': Für Sabine ist Brot vom Discounter ein inferiores Gut. Bei ihrem jetzigen Einkommen kauft sie recht viel Brot beim Discounter, um ihren täglichen Hunger zu stillen. Nach einer Lohnerhöhung hat sie mehr Geld zur Verfügung aber ihr Hunger ändert sich nicht. Statt noch mehr Brot, das sie sowieso nicht essen würde, beim Discounter zu kaufen geht sie zu einem Bäcker, der täglich selbst backt und kauft dort ihr Brot. Obwohl sie mehr Geld zur Verfügung hat, kauft sie von einem Gut (Brot vom Discounter) weniger als vorher. Die [[Engelkurve#Inferiore Güter|Engelkurve]] eines Inferioren Guts hat eine negative Steigung. 
[[Datei:Engelkurve6.png|350px|rahmenlos]]

==Güterart und Gesamteffekt==
Der Gesamteffekt betrachtet das veränderte Verhalten, welches beobachtbar ist. Kauft ein Konsument beispielsweise nach einer Preiserhöhung von Chips weniger Chips, ist der Gesamteffekt negativ und beträgt die Menge, die weniger gekauft wird. Ob der Gesamteffekt positiv oder negativ ist, hängt auch mit der Art des Gutes zusammen. Im Folgenden sollen Preisänderungen betrachtet werden, welche einer Einkommensreduzierung gleichkommt. Erhöht sich ein Preis, kann von dem verfügbaren Einkommen real weniger gekauft werden. Der Gesamteffekt kann auf einen [[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt#Der Einkommenseffekt|Einkommenseffekt]] und einen [[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt#Der Substitutionseffekt|Substitutionseffekt]] aufgeschlüsselt werden. Für die untenstehende Tabelle soll ausreichend sein zu wissen, dass der Substitutionseffekt für das teurer gewordene Gut immer negativ und für das gleich teuer bleibende Gut positiv ist. 
Der Einkommenseffekt für '''normale Güter''' ist bei einer Preisänderung immer negativ, da bei einem reduzierten Einkommen weniger nachgefragt wird. Für inferiore Güter ist der Einkommenseffekt bei einer Preiserhöhung positiv. Steigt der Preis für ein normales Gut, ist der Gesamteffekt negativ, da der Substitutionseffekt und der Einkommenseffekt negativ sind. Steigt der Preis eines anderen Gutes, ist der Einkommenseffekt immer noch negativ und der Substitutionseffekt nun positiv. Die beiden Effekte laufen in entgegengesetzte Richtungen und der Gesamteffekt kann nicht eindeutig bestimmt werden. Um zu bestimmen, ob der Gesamteffekt in diesem Fall positiv oder negativ ist, braucht es ein explizites Zahlenbeispiel. 
Ist das Gut ein '''inferiores Gut''' und der Preis des anderen Gutes steigt, ist der Substitutionseffekt positiv und auch der Einkommenseffekt. Der Gesamteffekt ist in diesem Fall positiv. Steigt jedoch der Preis des eigenen Gutes, ist der Substitutionseffekt negativ und der Einkommenseffekt positiv. Im zweiten Fall ist der Gesamteffekt erneut nicht eindeutig. Ist der Einkommenseffekt betragsmäßig größer als der Substitutionseffekt, ist der Gesamteffekt positiv und es handelt sich um ein Inferiores Gut, das gleichzeitig ein '''Giffen Gut''' ist. 
In der untenstehenden Tabelle sind die Ausführungen oben in einer Matrix dargestellt. Ein Pfeil nach oben (↑) bedeutet, dass die Nachfrage steigt und ein Pfeil nach unten (↓) bedeutet, dass die Nachfrage sinkt. SE: ↓ bedeutet dann, dass aufgrund des Substitutionseffektes weniger von dem Gut nachgefragt wird und der Effekt daher negativ ist.

{| class="wikitable"
! scope="col"|
! scope="col"| X ist ein normales Gut
! scope="col"| X ist ein inferiores Gut
|-
! scope="row"| px↑
| SE: X↓, EE: X↓, GE: X↓
| SE: X↓, EE: X↑, GE: ?
|-
! scope="row"| py↑
| SE: X↑, EE: X↓, GE: ?
| SE: X↑, EE: X↑, GE: X↑
|}
 

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ist die Einkommenselastizität positiv, handelt es sich auf jeden Fall um ein...
|type="()"}
+ ... Normales Gut
- ... Giffen Gut
- ... Luxusgut
- ... Notwendiges Gut
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die inverse Nachfragefunktion ist positiv geneigt. Das bedeutet, dass ...
|type="()"}
+ ... das betrachtende Gut ein Giffen Gut ist.
- ... das Gut ein Luxusgut ist.
- ... das Gut ein Gewöhnliches Gut ist.
- (nicht möglich)
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Nachfrage nach <math> x_1 </math> sei in <math> x_1=\frac{E}{p_1+5} </math> geschrieben, wobei <math> E>0 </math> und <math> p_1=0,5 </math>. Bei <math> x_1 </math> handelt es sich um ein...
|type="()"}
- ... Gewöhnliches Gut und Notwendiges Gut.
- ... Gewöhnliches Gut und Luxusgust.
- ... Giffen Gut und Luxusgut.
+ ... Gewöhnliches Gut und einem Gut, das Homohthetische Präferenzen aufweist.
</quiz>

Engelkurve

2024-12-12T08:37:42Z

Okehne: /* Luxusgüter */

==Definition==
Die Engel-Kurve bildet die Effekte einer Einkommensvariation auf die individuelle Güternachfrage ab. Das heißt sie beschreibt den Zusammenhang zwischen der Güternachfrage <math> x_1 </math> beziehungsweise <math> x_2 </math> und dem Einkommen E. Sie stellt als Funktion die veränderte nutzenmaximale Nachfrage nach einem Gut bei variierendem Einkommen dar.

__TOC__

==Die Engel-Kurve==
Das [[Haushaltsoptimum]] stellt die optimale Nachfrage nach beiden Gütern da. Bei den Gütern <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ergeben sich die beiden optimalen Nachfragen <math> x_1(p_1,p_2,E) </math> und <math> x_2(p_1,p_2,E) </math>. Die Nachfrage nach dem Gut <math> x_1 </math> ist abhängig von den beiden Preisen und dem Einkommen E. Verändert sich das Einkommen E, verschiebt sich die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgerade]] parallel nach außen. Es entsteht ein neues Haushaltsoptimum mit einem höheren Nutzenniveau. Rechnerisch ergibt sich durch das Einsetzen des neuen Einkommens in die Nachfragefunktion die neue optimale Nachfrage nach <math> x_1 </math>. 
Die Nachfragefunktion lässt sich nach E umstellen, sodass die neue Funktion von <math> x_1 </math> und den neuen Preisen abhängig ist <math> E(p_1,p_2,x_1) </math>. Diese Funktion gibt an welches Budget E nötig ist um ein bestimmtes Level von <math> x_1 </math> zu erreichen. Die neue Funktion ist die Funktionsgleichung der Engel-Kurve. Man beachte dabei, dass wie oft üblich in der Ökonomie, die endogene Variable (<math> x_1 </math>) auf der X-Achse steht und sich die unabhängige Variable (E) auf der Y-Achse. Daher ergibt sich eine Funktionsgleichung für die Engelkurve (<math>E(x)</math>), die suggeriert, dass das Einkommen abhängig von der nachgefragten Menge ist. Tatsächlich ist die nachgefragte Menge abhängig von dem Einkommen, weshalb die Untersuchung welche Art Gut vorliegt, mit der <math> x(E)</math> Funktion stattfindet.
 
''Beispiel'': Die Nachfrage nach Pizza (<math> x_1 </math>) lautet 
<math> x_1(p_1,p_2,E)=\frac{E+p_2-p_1}{p_1} </math> 
wobei <math> x_2 </math> das Gut Döner ist. Die Funktion nach E umgestellt ergibt <math> E=p_1x_1-p_2+p_1 </math>. Angenommen Pizza kostet 1€ und Döner kostet 1€. Dann lautet die Funktion der Engel-Kurve <math> E(x_1)=x_1 </math>. 
[[Datei:EinkommenKonsumKurve1.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:Engelkurve1.png|320px|rahmenlos]] 
 
Bei dem vorliegenden Beispiel steigt auch die nutzenmaximale Nachfrage nach dem Gut <math> x_1 </math>, wenn das Einkommen steigt. Dies ist in der Funktionsgleichung und der Abbildungen der Engelkurve und der [[Einkommens-Konsumkurve]] erkennbar.

==Inferiore Güter==
Die Nachfrage nach [[Güterarten|Inferioren Gütern]] sinkt bei steigendem Einkommen. Bei einem steigenden Budget verschiebt sich die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgerade]] parallel nach außen. Je weiter die Budgetgerade vom Ursprung entfernt ist, desto größer ist das Budget/Einkommen. Bei Inferioren Gütern muss der [[Haushaltsoptimum#Tangentialbedingung und Grenznutzen|Tangentialpunkt]] einen numerisch immer kleiner werdenden Wert annehmen als beim nächstkleineren Einkommen. 
[[Datei:EinkommenKonsumKurve2.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:Engelkurve5.png|320px|rahmenlos]] 
 
In dem Beispiel oben ist das Gut <math> x_2 </math> ein inferiores Gut und <math> x_1 </math> ein normales Gut. Je größer das Budget/Einkommen ist, desto weniger wird nutzenmaximal von <math> x_2 </math> nachgefragt. Die Steigung der Engelkurve dieses Gutes ist fallend. 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}<0 </math> 

==Normale Güter==
Die Nachfrage nach [[Güterarten|Normalen Gütern]] steigt bei steigendem Einkommen. Bei ihnen muss der [[Haushaltsoptimum#Tangentialbedingung und Grenznutzen|Tangentialpunkt]] im steigenden Einkommen einen numerisch immer größer werdenden Wert annehmen. Es muss gelten 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> 
 
Die Gleichung oben untersucht, wie sich die Steigung der Nachfragefunktion verhält. In diesem Fall ist die erste Ableitung größer als null, dementsprechend ist die Steigung positiv. Dies ist die [[Marginale Sichtweise|marginale Untersuchung]], wie sich die nachgefragte Menge bei einer Veränderung von E verhält. Im folgenden werden die drei Unterarten von normalen Gütern besprochen: 
 
===Notwendige Güter===
Die Nachfrage nach [[Güterarten|Notwendigen Güter]] muss im steigenden Einkommen langsamer steigen als das Einkommen. Die Nachfrage nach ihnen steigt unterproportional. Das heißt, dass die Nachfrage immer zunimmt, wenn das Einkommen steigt, jedoch um einen immer kleiner werdenden Wert. 
''Beispiel'': Zucker ist für Bettina ein notwendiges Gut. Verdoppelt sich das Einkommen von ihr, fragt sie auch mehr Zucker nach, jedoch weniger als doppelt so viel. Bei einem Einkommen von 10 fragt sie beispielsweise 20 Einheiten von Zucker nach und bei einem Einkommen von 20 fragt sie 30 Einheiten nach. 
Es muss gelten: 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> 
und 
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part E^2}<0 </math> 
[[Datei:Engelkurve3.png|350px|rahmenlos]] 
Es gilt zu beachten, dass die grafische Darstellung der Engelkurve in der <math> E(x) </math>-Form ist, die Ableitungen oben jedoch in der <math> x(E) </math>-Form. Daher ist die grafisch dargestellte Funktion konvex. Beginnend vom Ursprung steigt auch die Menge von <math> x_1 </math>, wenn E steigt. Für jede Einheit von E steigt <math> x_1 </math> weniger stark an. Eine inverse Darstellung der Engelkurve würde auch grafisch eine konkave Funktion ergeben, deren zweite Ableitung kleiner als null ist.
 
 

===Homothetische Präferenzen===
Die Nachfrage nach Gütern, die [[Güterarten|Homothetische Präferenzen]] nachweisen, steigt proportional zum Einkommen. Verdoppelt sich das Einkommen/Budget, dann verdoppelt sich auch die nutzenmaximale Menge dieses Gutes. 
Es muss gelten: 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> 
und 
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part E^2}=0 </math> 
[[Datei:Engelkurve4.png|350px|rahmenlos]] 
Die Engelkurve ist eine Ursprungsgerade, die eine konstante Steigung aufweist, welche nicht zwingend eins entsprechen muss.
 
 

===Luxusgüter===
Die Nachfrage nach [[Güterarten|Luxusgütern]] steigt bei wachsendem Einkommen stärker an, als das Einkommen selbst. Verdoppelt sich das Budget/Einkommen, ist die nutzenmaximale Nachfrage nach diesem Gut mehr als doppelt so groß. 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> 
und 
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part E^2}>0 </math> 
''Beispiel'': Für Christian sind Autos Luxusgüter. Er hat ein Auto und nach dem sich sein Einkommen verdoppelt hat, kauft er sich zwei weitere und hat drei Autos. 
[[Datei:Engelkurve2.png|350px|rahmenlos]] 
Die Engelkurve hat einen konkaven Verlauf. Ist die zweite Ableitung größer als null, ist die Funktion jedoch konvex. Dies liegt daran, dass die grafische Darstellung in der <math> E(x) </math>-Form ist, jedoch <math> x(E) </math> zweimal nach E differenziert wird.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Eine Engelkurve für ein Gut hat eine positive Steigung, wenn das Gut
|type="()"}
- ein inferiores Gut ist
- ein Giffen-Gut ist
+ ein normales Gut ist
- (nicht eindeutig)
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Konsument hat die Wahl zwischen den beiden Gütern <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math>. Angenommen er konsumiert im Optimum nur Gut <math> x_1 </math>, wie lautet die Funktionsgleichung der Engelkurve dieses Gutes?
|type="()"}
+ <math> E(x_1)=x_1p_1 </math>
- <math> E(x_1)=x_1:p_1 </math>
- <math> E(x_1)=x_1-p_1 </math>
- <math> E(x_1)=x_1+p_1 </math>
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Nachfrage nach einem Gut sei durch <math> x_1^*=\sqrt[3]{E+1} </math> beschrieben. Die Engelkurve <math> E(x_1) </math> hat ...
|type="()"}
+ ...eine positive und zunehmende Steigung.
- ...eine positive und abnehmende Steigung.
- ...eine positive und konstante Steigung.
- ...eine negative Steigung.
</quiz>

Engelkurve

2024-12-12T08:37:17Z

Okehne: /* Homothetische Präferenzen */

==Definition==
Die Engel-Kurve bildet die Effekte einer Einkommensvariation auf die individuelle Güternachfrage ab. Das heißt sie beschreibt den Zusammenhang zwischen der Güternachfrage <math> x_1 </math> beziehungsweise <math> x_2 </math> und dem Einkommen E. Sie stellt als Funktion die veränderte nutzenmaximale Nachfrage nach einem Gut bei variierendem Einkommen dar.

__TOC__

==Die Engel-Kurve==
Das [[Haushaltsoptimum]] stellt die optimale Nachfrage nach beiden Gütern da. Bei den Gütern <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ergeben sich die beiden optimalen Nachfragen <math> x_1(p_1,p_2,E) </math> und <math> x_2(p_1,p_2,E) </math>. Die Nachfrage nach dem Gut <math> x_1 </math> ist abhängig von den beiden Preisen und dem Einkommen E. Verändert sich das Einkommen E, verschiebt sich die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgerade]] parallel nach außen. Es entsteht ein neues Haushaltsoptimum mit einem höheren Nutzenniveau. Rechnerisch ergibt sich durch das Einsetzen des neuen Einkommens in die Nachfragefunktion die neue optimale Nachfrage nach <math> x_1 </math>. 
Die Nachfragefunktion lässt sich nach E umstellen, sodass die neue Funktion von <math> x_1 </math> und den neuen Preisen abhängig ist <math> E(p_1,p_2,x_1) </math>. Diese Funktion gibt an welches Budget E nötig ist um ein bestimmtes Level von <math> x_1 </math> zu erreichen. Die neue Funktion ist die Funktionsgleichung der Engel-Kurve. Man beachte dabei, dass wie oft üblich in der Ökonomie, die endogene Variable (<math> x_1 </math>) auf der X-Achse steht und sich die unabhängige Variable (E) auf der Y-Achse. Daher ergibt sich eine Funktionsgleichung für die Engelkurve (<math>E(x)</math>), die suggeriert, dass das Einkommen abhängig von der nachgefragten Menge ist. Tatsächlich ist die nachgefragte Menge abhängig von dem Einkommen, weshalb die Untersuchung welche Art Gut vorliegt, mit der <math> x(E)</math> Funktion stattfindet.
 
''Beispiel'': Die Nachfrage nach Pizza (<math> x_1 </math>) lautet 
<math> x_1(p_1,p_2,E)=\frac{E+p_2-p_1}{p_1} </math> 
wobei <math> x_2 </math> das Gut Döner ist. Die Funktion nach E umgestellt ergibt <math> E=p_1x_1-p_2+p_1 </math>. Angenommen Pizza kostet 1€ und Döner kostet 1€. Dann lautet die Funktion der Engel-Kurve <math> E(x_1)=x_1 </math>. 
[[Datei:EinkommenKonsumKurve1.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:Engelkurve1.png|320px|rahmenlos]] 
 
Bei dem vorliegenden Beispiel steigt auch die nutzenmaximale Nachfrage nach dem Gut <math> x_1 </math>, wenn das Einkommen steigt. Dies ist in der Funktionsgleichung und der Abbildungen der Engelkurve und der [[Einkommens-Konsumkurve]] erkennbar.

==Inferiore Güter==
Die Nachfrage nach [[Güterarten|Inferioren Gütern]] sinkt bei steigendem Einkommen. Bei einem steigenden Budget verschiebt sich die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgerade]] parallel nach außen. Je weiter die Budgetgerade vom Ursprung entfernt ist, desto größer ist das Budget/Einkommen. Bei Inferioren Gütern muss der [[Haushaltsoptimum#Tangentialbedingung und Grenznutzen|Tangentialpunkt]] einen numerisch immer kleiner werdenden Wert annehmen als beim nächstkleineren Einkommen. 
[[Datei:EinkommenKonsumKurve2.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:Engelkurve5.png|320px|rahmenlos]] 
 
In dem Beispiel oben ist das Gut <math> x_2 </math> ein inferiores Gut und <math> x_1 </math> ein normales Gut. Je größer das Budget/Einkommen ist, desto weniger wird nutzenmaximal von <math> x_2 </math> nachgefragt. Die Steigung der Engelkurve dieses Gutes ist fallend. 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}<0 </math> 

==Normale Güter==
Die Nachfrage nach [[Güterarten|Normalen Gütern]] steigt bei steigendem Einkommen. Bei ihnen muss der [[Haushaltsoptimum#Tangentialbedingung und Grenznutzen|Tangentialpunkt]] im steigenden Einkommen einen numerisch immer größer werdenden Wert annehmen. Es muss gelten 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> 
 
Die Gleichung oben untersucht, wie sich die Steigung der Nachfragefunktion verhält. In diesem Fall ist die erste Ableitung größer als null, dementsprechend ist die Steigung positiv. Dies ist die [[Marginale Sichtweise|marginale Untersuchung]], wie sich die nachgefragte Menge bei einer Veränderung von E verhält. Im folgenden werden die drei Unterarten von normalen Gütern besprochen: 
 
===Notwendige Güter===
Die Nachfrage nach [[Güterarten|Notwendigen Güter]] muss im steigenden Einkommen langsamer steigen als das Einkommen. Die Nachfrage nach ihnen steigt unterproportional. Das heißt, dass die Nachfrage immer zunimmt, wenn das Einkommen steigt, jedoch um einen immer kleiner werdenden Wert. 
''Beispiel'': Zucker ist für Bettina ein notwendiges Gut. Verdoppelt sich das Einkommen von ihr, fragt sie auch mehr Zucker nach, jedoch weniger als doppelt so viel. Bei einem Einkommen von 10 fragt sie beispielsweise 20 Einheiten von Zucker nach und bei einem Einkommen von 20 fragt sie 30 Einheiten nach. 
Es muss gelten: 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> 
und 
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part E^2}<0 </math> 
[[Datei:Engelkurve3.png|350px|rahmenlos]] 
Es gilt zu beachten, dass die grafische Darstellung der Engelkurve in der <math> E(x) </math>-Form ist, die Ableitungen oben jedoch in der <math> x(E) </math>-Form. Daher ist die grafisch dargestellte Funktion konvex. Beginnend vom Ursprung steigt auch die Menge von <math> x_1 </math>, wenn E steigt. Für jede Einheit von E steigt <math> x_1 </math> weniger stark an. Eine inverse Darstellung der Engelkurve würde auch grafisch eine konkave Funktion ergeben, deren zweite Ableitung kleiner als null ist.
 
 

===Homothetische Präferenzen===
Die Nachfrage nach Gütern, die [[Güterarten|Homothetische Präferenzen]] nachweisen, steigt proportional zum Einkommen. Verdoppelt sich das Einkommen/Budget, dann verdoppelt sich auch die nutzenmaximale Menge dieses Gutes. 
Es muss gelten: 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> 
und 
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part E^2}=0 </math> 
[[Datei:Engelkurve4.png|350px|rahmenlos]] 
Die Engelkurve ist eine Ursprungsgerade, die eine konstante Steigung aufweist, welche nicht zwingend eins entsprechen muss.
 
 

===Luxusgüter===
Die Nachfrage nach [[Güterarten|Luxusgütern]] steigt bei wachsendem Einkommen stärker an, als das Einkommen selbst. Verdoppelt sich das Budget/Einkommen, ist die nutzenmaximale Nachfrage nach diesem Gut mehr als doppelt so groß. 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> 
und 
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part^2 E}>0 </math> 
''Beispiel'': Für Christian sind Autos Luxusgüter. Er hat ein Auto und nach dem sich sein Einkommen verdoppelt hat, kauft er sich zwei weitere und hat drei Autos. 
[[Datei:Engelkurve2.png|350px|rahmenlos]] 
Die Engelkurve hat einen konkaven Verlauf. Ist die zweite Ableitung größer als null, ist die Funktion jedoch konvex. Dies liegt daran, dass die grafische Darstellung in der <math> E(x) </math>-Form ist, jedoch <math> x(E) </math> zweimal nach E differenziert wird.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Eine Engelkurve für ein Gut hat eine positive Steigung, wenn das Gut
|type="()"}
- ein inferiores Gut ist
- ein Giffen-Gut ist
+ ein normales Gut ist
- (nicht eindeutig)
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Konsument hat die Wahl zwischen den beiden Gütern <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math>. Angenommen er konsumiert im Optimum nur Gut <math> x_1 </math>, wie lautet die Funktionsgleichung der Engelkurve dieses Gutes?
|type="()"}
+ <math> E(x_1)=x_1p_1 </math>
- <math> E(x_1)=x_1:p_1 </math>
- <math> E(x_1)=x_1-p_1 </math>
- <math> E(x_1)=x_1+p_1 </math>
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Nachfrage nach einem Gut sei durch <math> x_1^*=\sqrt[3]{E+1} </math> beschrieben. Die Engelkurve <math> E(x_1) </math> hat ...
|type="()"}
+ ...eine positive und zunehmende Steigung.
- ...eine positive und abnehmende Steigung.
- ...eine positive und konstante Steigung.
- ...eine negative Steigung.
</quiz>

Engelkurve

2024-12-12T08:37:04Z

Okehne: /* Notwendige Güter */

==Definition==
Die Engel-Kurve bildet die Effekte einer Einkommensvariation auf die individuelle Güternachfrage ab. Das heißt sie beschreibt den Zusammenhang zwischen der Güternachfrage <math> x_1 </math> beziehungsweise <math> x_2 </math> und dem Einkommen E. Sie stellt als Funktion die veränderte nutzenmaximale Nachfrage nach einem Gut bei variierendem Einkommen dar.

__TOC__

==Die Engel-Kurve==
Das [[Haushaltsoptimum]] stellt die optimale Nachfrage nach beiden Gütern da. Bei den Gütern <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ergeben sich die beiden optimalen Nachfragen <math> x_1(p_1,p_2,E) </math> und <math> x_2(p_1,p_2,E) </math>. Die Nachfrage nach dem Gut <math> x_1 </math> ist abhängig von den beiden Preisen und dem Einkommen E. Verändert sich das Einkommen E, verschiebt sich die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgerade]] parallel nach außen. Es entsteht ein neues Haushaltsoptimum mit einem höheren Nutzenniveau. Rechnerisch ergibt sich durch das Einsetzen des neuen Einkommens in die Nachfragefunktion die neue optimale Nachfrage nach <math> x_1 </math>. 
Die Nachfragefunktion lässt sich nach E umstellen, sodass die neue Funktion von <math> x_1 </math> und den neuen Preisen abhängig ist <math> E(p_1,p_2,x_1) </math>. Diese Funktion gibt an welches Budget E nötig ist um ein bestimmtes Level von <math> x_1 </math> zu erreichen. Die neue Funktion ist die Funktionsgleichung der Engel-Kurve. Man beachte dabei, dass wie oft üblich in der Ökonomie, die endogene Variable (<math> x_1 </math>) auf der X-Achse steht und sich die unabhängige Variable (E) auf der Y-Achse. Daher ergibt sich eine Funktionsgleichung für die Engelkurve (<math>E(x)</math>), die suggeriert, dass das Einkommen abhängig von der nachgefragten Menge ist. Tatsächlich ist die nachgefragte Menge abhängig von dem Einkommen, weshalb die Untersuchung welche Art Gut vorliegt, mit der <math> x(E)</math> Funktion stattfindet.
 
''Beispiel'': Die Nachfrage nach Pizza (<math> x_1 </math>) lautet 
<math> x_1(p_1,p_2,E)=\frac{E+p_2-p_1}{p_1} </math> 
wobei <math> x_2 </math> das Gut Döner ist. Die Funktion nach E umgestellt ergibt <math> E=p_1x_1-p_2+p_1 </math>. Angenommen Pizza kostet 1€ und Döner kostet 1€. Dann lautet die Funktion der Engel-Kurve <math> E(x_1)=x_1 </math>. 
[[Datei:EinkommenKonsumKurve1.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:Engelkurve1.png|320px|rahmenlos]] 
 
Bei dem vorliegenden Beispiel steigt auch die nutzenmaximale Nachfrage nach dem Gut <math> x_1 </math>, wenn das Einkommen steigt. Dies ist in der Funktionsgleichung und der Abbildungen der Engelkurve und der [[Einkommens-Konsumkurve]] erkennbar.

==Inferiore Güter==
Die Nachfrage nach [[Güterarten|Inferioren Gütern]] sinkt bei steigendem Einkommen. Bei einem steigenden Budget verschiebt sich die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgerade]] parallel nach außen. Je weiter die Budgetgerade vom Ursprung entfernt ist, desto größer ist das Budget/Einkommen. Bei Inferioren Gütern muss der [[Haushaltsoptimum#Tangentialbedingung und Grenznutzen|Tangentialpunkt]] einen numerisch immer kleiner werdenden Wert annehmen als beim nächstkleineren Einkommen. 
[[Datei:EinkommenKonsumKurve2.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:Engelkurve5.png|320px|rahmenlos]] 
 
In dem Beispiel oben ist das Gut <math> x_2 </math> ein inferiores Gut und <math> x_1 </math> ein normales Gut. Je größer das Budget/Einkommen ist, desto weniger wird nutzenmaximal von <math> x_2 </math> nachgefragt. Die Steigung der Engelkurve dieses Gutes ist fallend. 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}<0 </math> 

==Normale Güter==
Die Nachfrage nach [[Güterarten|Normalen Gütern]] steigt bei steigendem Einkommen. Bei ihnen muss der [[Haushaltsoptimum#Tangentialbedingung und Grenznutzen|Tangentialpunkt]] im steigenden Einkommen einen numerisch immer größer werdenden Wert annehmen. Es muss gelten 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> 
 
Die Gleichung oben untersucht, wie sich die Steigung der Nachfragefunktion verhält. In diesem Fall ist die erste Ableitung größer als null, dementsprechend ist die Steigung positiv. Dies ist die [[Marginale Sichtweise|marginale Untersuchung]], wie sich die nachgefragte Menge bei einer Veränderung von E verhält. Im folgenden werden die drei Unterarten von normalen Gütern besprochen: 
 
===Notwendige Güter===
Die Nachfrage nach [[Güterarten|Notwendigen Güter]] muss im steigenden Einkommen langsamer steigen als das Einkommen. Die Nachfrage nach ihnen steigt unterproportional. Das heißt, dass die Nachfrage immer zunimmt, wenn das Einkommen steigt, jedoch um einen immer kleiner werdenden Wert. 
''Beispiel'': Zucker ist für Bettina ein notwendiges Gut. Verdoppelt sich das Einkommen von ihr, fragt sie auch mehr Zucker nach, jedoch weniger als doppelt so viel. Bei einem Einkommen von 10 fragt sie beispielsweise 20 Einheiten von Zucker nach und bei einem Einkommen von 20 fragt sie 30 Einheiten nach. 
Es muss gelten: 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> 
und 
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part E^2}<0 </math> 
[[Datei:Engelkurve3.png|350px|rahmenlos]] 
Es gilt zu beachten, dass die grafische Darstellung der Engelkurve in der <math> E(x) </math>-Form ist, die Ableitungen oben jedoch in der <math> x(E) </math>-Form. Daher ist die grafisch dargestellte Funktion konvex. Beginnend vom Ursprung steigt auch die Menge von <math> x_1 </math>, wenn E steigt. Für jede Einheit von E steigt <math> x_1 </math> weniger stark an. Eine inverse Darstellung der Engelkurve würde auch grafisch eine konkave Funktion ergeben, deren zweite Ableitung kleiner als null ist.
 
 

===Homothetische Präferenzen===
Die Nachfrage nach Gütern, die [[Güterarten|Homothetische Präferenzen]] nachweisen, steigt proportional zum Einkommen. Verdoppelt sich das Einkommen/Budget, dann verdoppelt sich auch die nutzenmaximale Menge dieses Gutes. 
Es muss gelten: 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> 
und 
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part^2 E}=0 </math> 
[[Datei:Engelkurve4.png|350px|rahmenlos]] 
Die Engelkurve ist eine Ursprungsgerade, die eine konstante Steigung aufweist, welche nicht zwingend eins entsprechen muss.
 
 
===Luxusgüter===
Die Nachfrage nach [[Güterarten|Luxusgütern]] steigt bei wachsendem Einkommen stärker an, als das Einkommen selbst. Verdoppelt sich das Budget/Einkommen, ist die nutzenmaximale Nachfrage nach diesem Gut mehr als doppelt so groß. 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> 
und 
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part^2 E}>0 </math> 
''Beispiel'': Für Christian sind Autos Luxusgüter. Er hat ein Auto und nach dem sich sein Einkommen verdoppelt hat, kauft er sich zwei weitere und hat drei Autos. 
[[Datei:Engelkurve2.png|350px|rahmenlos]] 
Die Engelkurve hat einen konkaven Verlauf. Ist die zweite Ableitung größer als null, ist die Funktion jedoch konvex. Dies liegt daran, dass die grafische Darstellung in der <math> E(x) </math>-Form ist, jedoch <math> x(E) </math> zweimal nach E differenziert wird.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Eine Engelkurve für ein Gut hat eine positive Steigung, wenn das Gut
|type="()"}
- ein inferiores Gut ist
- ein Giffen-Gut ist
+ ein normales Gut ist
- (nicht eindeutig)
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Konsument hat die Wahl zwischen den beiden Gütern <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math>. Angenommen er konsumiert im Optimum nur Gut <math> x_1 </math>, wie lautet die Funktionsgleichung der Engelkurve dieses Gutes?
|type="()"}
+ <math> E(x_1)=x_1p_1 </math>
- <math> E(x_1)=x_1:p_1 </math>
- <math> E(x_1)=x_1-p_1 </math>
- <math> E(x_1)=x_1+p_1 </math>
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Nachfrage nach einem Gut sei durch <math> x_1^*=\sqrt[3]{E+1} </math> beschrieben. Die Engelkurve <math> E(x_1) </math> hat ...
|type="()"}
+ ...eine positive und zunehmende Steigung.
- ...eine positive und abnehmende Steigung.
- ...eine positive und konstante Steigung.
- ...eine negative Steigung.
</quiz>

Präferenzen und Indifferenzkurven

2024-11-04T13:09:27Z

Okehne: /* Präferenzen und Nutzenfunktion */

Die Präferenzen von Individuen bilden ihre Wünsche und Vorlieben ab. Diese Präferenzen werden durch eine Nutzenfunktionen beschrieben. Diese beschreibt den Nutzen den ein Individuum aus dem Konsum von Güterkombinationen erhält. Nutzenfunktionen zwischen Individuen können sich unterscheiden.

__TOC__

==Präferenzen und Nutzenfunktion==
Eine jede Marktteilnehmerin und ein jeder Marktteilnehmer verfügen über Präferenzen. Ein Mensch der Vegetarier ist, kauft zum Beispiel kein Fleisch. Für ein Filmabend gibt es Menschen, die lediglich salzige Snacks konsumieren, oder auch welche, für die nur süße Snacks in Frage kommen. Es gibt jedoch auch sicherlich Menschen, denen es egal ist welche Art der Snacks zu sich nehmen. 
Um all diese Präferenzen abbilden zu können werden Nutzenfunktionen modelliert. Hierfür wird sich der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie|Ordinalen Nutzentheorie]] und nicht der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Kardinale Nutzentheorie|kardinalen Nutzentheorie]] bedient. Je nach Präferenzen sehen die Nutzenfunktionen unterschiedlich aus. In jedem Fall sind sie jedoch abhängig von jedem zu betrachteten Gut und der Anzahl der davon konsumierten Einheiten <math display="inline"> U(x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n}) </math>. Der Einfachheit halber, und um die Nutzenfunktion grafisch darstellen zu können, beschränken wir uns auf den Zwei-Güter-Fall <math display="inline"> U(x_{1}, x_{2}) </math>. Als Beispiel sollen uns die beiden Güter C und F dienen, die mit folgender Nutzenfunktion abgebildet werden sollen: 
<math display="inline"> U(F,C)=F^{1/3}*C^{2/3} </math> 
Die Nutzenfunktion kann als normale bivariate Funktion gelesen werden. Anders als im univariaten Fall ist die Funktion von zwei Variablen abhängig. 
[[Datei:Nutzenfunktion.jpg|600px|rahmenlos]]
<!-- <iframe src="https://www.marius-liebald.de/cobbdouglas.html" width="600" height="400" name="iFrame" title="Das ist mein Video"></iframe> --!>

==Indifferenzkurven==
Eine veränderte Möglichkeit der Darstellung von Nutzenfunktionen sind Indifferenzkurven. Wie der Name bereits aussagt, sind Konsumenten entlang dieser Kurve indifferent in der Konsumentscheidung. Sie erfahren aus den Güterkombinationen, die auf der Indifferenzkurve liegen einen konstant gleich großen Nutzen. Je nach Nutzenniveau liegen die Indifferenzkurven verschoben. Im Beispiel von oben sehen die Indifferenzkurven wie folgt aus: 
[[Datei:Nutzenfunktion2.jpg|600px|rahmenlos]] 
 
In der Grafik oben sind verschiedene Farbverläufe zu sehen, die an verschobene konvexe Funktionen erinnern. Mathematisch erlangt man die Indifferenzkurven, in dem der Nutzen U konstant gehalten (<math> \bar{U} </math>) und nach einer Variablen umgestellt wird (welche auf der horizontale Achse abgebildet werden soll). In der Nutzenfunktion von eben sieht das wie folgt aus: 
<big><math display="inline"> \bar{U}=F^{1/3}*C^{2/3} </math> |: <math display="inline"> F^{1/3} </math> 
<math display="inline"> \frac{\bar{U}}{F^{1/3}}=C^{2/3} </math> |<math> (...)^{3/2} </math> 
<math display="inline"> C=(\frac{\bar{U}}{F^{1/3}})^{3/2} </math> 
<math display="inline"> C=\frac{\bar{U}^{3/2}}{F^{1/2}} </math> </big> 
 
Je nach Nutzenniveau ergibt sich für jeden F Wert einen anderen C Wert. In der untenstehenden Grafik wurden die Indifferenzkurven der ganzzahligen Nutzenniveaus von 1 bis 8 geplotet. 
[[Datei:IndifferenzkurvenRechnung.png|500px|rahmenlos]]

==Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution==
Die Grenzrate der Substitution (GRS) beschreibt das Austauschverhältnis, zu dem ein Konsument bereit ist eine marginale Einheit eines Gutes aufzugeben, um ein anderes Gut zu erhalten. Die Bereitschaft das eine Gut für das andere Gut aufzugeben, rührt von einem konstanten Nutzenniveau. Die GRS ist dementsprechend eine Rate in einem Punkt, zu der das Nutzenniveau konstant bleibt. Zur Veranschaulichung sollen die folgenden zwei Grafiken dienen: 
[[Datei:GRS1.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:GRS2.png|400px|rahmenlos]]
 
 
Um herauszufinden, wie viele Einheiten des einen Gutes benötigt werden, um den Verlust von Einheiten des anderen Gutes zu kompensieren, müssen zwei Punkte auf der Indifferenzkurve miteinander verbunden werden. Damit das Nutenniveau konstant bleibt braucht es für <math> \Delta x_1 </math> Einheiten weniger <math> \Delta x_2 </math> Einheiten mehr. Umformuliert bedeutet dies, dass <math> \frac{\Delta x_2}{\Delta x_1} </math> Einheiten von <math> x_2 </math> benötigt sind, um eine Einheit von <math> x_1 </math> zu kompensieren. Entlang der Indifferenzkurve muss das Nutzenniveau konstant sein. Jegliche Veränderung von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> muss zum selben U führen. Das totale Differential des Nutzens beträgt dann null: 
<math> dU(x_1,x_2)=\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_1}dx_1+\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_2}dx_2=0 </math> 
In der linken Abbildung ist die Veränderung eine numerische Zahl. In der rechten Abbildung soll die Veränderung in einem Punkt betrachtet werden. <math> dx_1 </math> und <math> dx_2 </math> soll gegen null streben. Das totale Differential ergibt umgestellt die GRS: 
<math> GRS_{x_1,x_2}=-\frac{\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_1}}{\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_2}} </math>
Die GRS wird häufig im Betrag betrachtet. 
 
Die rechte Abbildung verdeutlicht die abnehmende Grenzrate der Substitution. Die GRS ist sehr steil und wird immer flacher, je größer <math> x_1 </math> wird. Dies hängt mit dem abnehmenden [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] zusammen. Bei einem geringen Niveau von <math> x_1 </math> ist der Grenznutzen von <math> x_1 </math> im Vergleich zum Grenznutzen von <math> x_2 </math> groß. Es benötigt dementsprechend eine große Menge von <math> x_2 </math>, um eine Einheit weniger von <math> x_1 </math> zu kompensieren. Die GRS ist bei kleinem <math> x_1 </math> steiler, als bei einem gro0en <math> x_2 </math>. 
 
''Beispiel'': Bei einer Indifferenzkurve hat eine Tangente in einem Punkt A die Steigung -2. In diesem Punkt beträgt die <math> GRS_{x_1,x_2} </math> somit -2 und der Konsument würde im Konsumpunkt A 2 marginale Einheiten von <math> x_2 </math> verlangen, um eine marginale Einheit von <math> x_1 </math> weniger zu kompensieren.

==Indifferenzkurven der Güterarten==
Die Indifferenzkurven der verschiedenen Güterarten unterscheiden sich je nach Präferenzen. Häufig wird zwischen den folgenden Güterarten und ihren Indifferenzkurven unterschieden:

'''Perfekte Substitute''' 
Die Nutzenfunktion von [[Präferenzenarten#Substitute#Perfekten Substituten|Perfekten Substituten]] kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=ax_{1}+bx_{2} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. Indifferenzkurven von Perfekten Substituten weisen als Eigenschaft auf, dass sie die Achsen berühren und einen linearen Verlauf haben. Das bedeutet: sie haben eine konstante GRS, da der Grenznutzen beider Güter konstant ist. 
[[Datei:Perfekte Substitute.png|351px|rahmenlos]] 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>
 
 
'''Perfekte Komplemente''' 
Die Nutzenfunktion von [[Präferenzenarten#Perfekte Komplemente|Perfekten Komplementen]] kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=min\{ax_{1},bx_{2}\} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. Grafisch sind die Indifferenzkurven in L Form, es wird auch häufig von Leontief Präferenzen gesprochen. Diese Güter stiften nur einen Nutzen, wenn sie in einem festen Verhältnis konsumiert werden. Klassische Beispiele sind Schuhe, Socken oder Handschuhe. 
[[Datei:Perfekte Komplemente.png|351px|rahmenlos]] 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>
 
 
'''Imperfekte Subtitute''' 
Die Nutzenfunktion von [[Präferenzenarten#Substitute#Imperfekte Substitute|Imperfekte Substitute]], deren zentrale Eigenschaft ist, dass die Indifferenzkurven nicht die Achsen schneiden, kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=x_{1}^{a}*x_{2}^{b} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. 
[[Datei:ImperfekteSubstitute.png|350px|rahmenlos]]
 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie könnte die Nutzenfunktion von Brigitte aussehen, wenn sie immer 3 Packungen Gummibärchen (G) mit einer Packung Chips (C) konsumiert?
|type="()"}
- <math> U(G,C)=min\{G,\frac{1}{3}C\} </math>.
+ <math> U(G,C)=min\{\frac{1}{3}G,C\} </math>.
- <math> U(G,C)=3G+C </math>.
- <math> U(G,C)=G*3C </math>.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen Peter hat folgende Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^{2}+2y </math>. Welche der folgenden Konsumbündel liegt nicht auf der selben Indifferenzkurve wie die restlichen?
|type="()"}
+ (x, y)=(4, 8).
- (x, y)=(3, 7.5).
- (x, y)=(4.75, 0.71875).
- (x, y)=(2, 10).
- (x, y)=(0, 12).
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Philipp hat eine Nutzenfunktion <math>U(x,y)=x^{0,4}*y^{\frac{3}{5}} </math>. Welche Präferenzen bilden sie ab und welche Eigenschaften haben die Indifferenzkurven?
|type="()"}
+ Imperfekte Substitute, sie berührt die Achsen nicht.
- Perfekte Komplemente, sie berühren die Achsen.
- Perfekte Substitute, sie berühren die Achsen.
- Imperfekte Substitute, sie berühren die Achsen.
- Perfekte Komplemente, alle Eigenschaften dieser Indifferenzkurven sind erfüllt.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen Sigmar hat folgende Nutzenfunktion: <math> U(x,y(x))=x^{0,5}*e^{y(x)} </math>. Wie lautet seine Grenzrate der Substitution (<math>GRS_{x,y}</math>)?
|type="()"}
+ <math>GRS_{x,y}=y'(x)+\frac{1}{2x}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{0,5x^{-0,5}*e^{y(x)}}{x^{0,5}*e^{y(x)}}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{x^{0,5}}{e^{y(x)}}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{1}{2x}</math>.
</quiz>

Lagrange

2024-10-07T16:19:18Z

Okehne: /* Lösung des Maximierungsproblems */

Das Langrangeverfahren ist eine Möglichkeit Funktionen mit einer Nebenbedingung zu maximieren oder zu minimieren. In diesem Verfahren wird davon ausgegangen, dass die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt sein muss.

__TOC__

==Das Problem==
Es treten häufig Fragestellungen auf, wie ein Haushalt den Konsum so wählt, dass der Nutzen möglichst groß (maximiert) ist. Oder der Kostenminimale Produktionspunkt eines Unternehmens wird gesucht. Im Weiteren liegt der Fokus auf dem Maximierungsproblem. 
Im Falle der Nutzenmaximierung soll der Nutzen möglichst groß sein. In einem Beispiel hat ein Haushalt die Möglichkeit Güter <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> zu konsumieren. Der Haushalt muss dementsprechend sein Nutzen in Bezug auf den Konsum von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> maximieren: <math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> 
Unter der Annahme der [[Axiome der Nutzentheorie#Monotonie|Monotonie]] ("Mehr ist besser"), maximiert der Haushalt seinen Nutzen, indem er möglichst viel von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> konsumiert. Kann ein Haushalt sehr unendlich viel, von beiden Gütern konsumiert und Monotonie gilt, ist die Maximierungsaufgabe schon gelöst. In den meisten Fällen ist dies jedoch nicht möglich. Zum einen existieren nicht unendlich viele Einheiten der Güter (dies spielt in der [[Edgeworth-Box]] eine große Rolle) und zum anderen hat ein Haushalt auch nicht das Einkommen zur Verfügung, um sich unendlich viele Güter leisten zu können. Im Normalfall unterliegen Haushalte einer [[Budgetrestriktion und Budgetgerade|Budgetrestriktion]]. Die Budgetrestriktion ist in <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math> beschrieben, wobei E das Budget darstellt. Die eigentliche Maximierungsaufgabe besteht dementsprechend darin den Nutzen zu maximieren und das Budget einzuhalten. (u.d.NB.=unter der Nebenbedingung) 
<math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> u.d.NB <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math>

==Langrangefunktion==
Die Lagrangefunktion wird aufgestellt, indem von der Nutzenfunktion ein zweiter Term abgezogen wird. Der zweite Term besteht aus der Budgetrestriktion, die nach null umgestellt und mit einer Variablen (dem Langrange Multiplikator) multipliziert wird. Die Langrangefunktion ist damit abhängig von <math> x_1 </math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>: 
<math> \mathcal{L}(x_1,x_2, \lambda)=U(x_1,x_2)-\lambda(p_1x_1+p_2x_2-E) </math> (I) 
<math> \mathcal{L}(x_1,x_2, \lambda)=U(x_1,x_2)+\lambda(E-p_1x_1-p_2x_2) </math> (II) 
Für die richtige Interpretation des Ergebnisses ist es durchaus relevant, ob vor dem <math> \lambda </math> ein + oder ein - steht. Merkhilfe bietet hier [[Lagrange#Die Bedeutung von Lambda|die Bedeutung von Lambda]]. Streng genommen ist die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetrestriktion|Budgetrestriktion]] eine Ungleichung. Es ist durchaus möglich weniger als das vollständige Budget auszugeben, daher lautet die Restriktion <math display="inline> p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}</math>≤<math display="inline">E</math>. Umgestellt nach null ergibt sich entweder 
<math> p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}-E</math>≤<math display="inline">0</math> (i) 
oder 
<math> 0</math>≤<math display="inline">E-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}</math> (ii) 
In beiden Fällen der Budgetrestriktion gilt die gleiche Intuition. Wenn der Haushalt mehr ausgibt als er mit seinem Budget E könnte, soll er dafür bestraft werden. Der Nutzen, gegeben durch die Nutzenfunktion), muss sich verringern, wenn er mehr ausgibt, als er kann. Im Fall (i) ist dies der Fall, wenn die Ungleichung positiv ist. Da <math> \lambda </math> immer positiv ist, muss vor das <math> \lambda </math> ein negatives Vorzeichen. Analog gilt die Intuition bei Fall (ii).

==Bedingungen erster Ordnung==
Die Langrangefunktion beschreibt das Maximierungsproblem in einer Art, die aufgrund des <math> \lambda </math> nur schwer grafisch vorstellbar ist. Die Vorgehensweise ist im ersten Schritt jedoch ähnlich zu einem simplen [[Maximieren|univariaten Maximierungsproblem]]. Es muss die Funktion nach den Variablen abgeleitet werden, für die der Nutzen maximiert werden soll. Die erste Ableitung muss gleich null sein (Bedingung erster Ordnung oder FOC=First order condition). Zudem muss weitergehend beachtet werden, dass die Budgetrestriktion eingehalten werden muss. Die FOCs stellen ein Gleichungssystem dar, das es zu lösen gilt. 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_1}=\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_1}-\lambda p_1 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_2}=\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_2}-\lambda p_2 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> p_1x_1+p_2x_2-E \stackrel{!}{=}0 </math>

==Lösung des Maximierungsproblems==
Die [[Lagrange#FOC|First order Conditions]] stellen ein Gleichungsystem dar. Es existieren drei unbekannte (<math> x_1</math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>) und drei Gleichungen. Zum Lösen des Systems gibt es verschiedene Wege. Eine der ersten beiden Gleichungen kann nach <math> \lambda </math> umgestellt und in die andere der oberen beiden Gleichungen eingesetzt werden. Es ist auch möglich die oberen beiden Gleichungen beide nach <math> \lambda </math> umzustellen und anschließend gleichzusetzen. Es kann auch direkt die erste durch die zweite Gleichung dividiert werden. 
Als Beispiel sollen die ersten beiden Gleichungen nach <math> \lambda </math> ugestellt werden. Es ergibt sich: 
<math> \lambda=\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1 </math> 
<math> \lambda=\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> 
Da <math> \lambda=\lambda </math> ergibt sich: 
<math> \frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1=\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> oder weiter umgestellt 
<math> \frac{\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_1}}{\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_2}}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Die linke Seite des Ausdrucks entspricht der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution|GRS]]. Dieser Ausdruck kann wiederum nach <math> x_1 </math> oder <math> x_2 </math> umgestellt werden, welche beide im [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] stecken. Es ergibt sich beispielweise ein Ausdruck,<math> x_1(x_2) </math> , der abhängig von der anderen variable <math> x_2 </math> ist. Dieser lässt sich in die Budgetrestriktion einsetzen, die vorher <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> beinhaltete. Nach der Substitution ist in der Budgetrestriktion nur noch eine Unbekannte <math> x_2 </math> vorhanden, nach der umgestellt werden kann. Es ergibt sich beispielsweise mit der Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=x_1x_2 </math> folgende Gleichung: 
<math> \frac{x_2}{x_1}=\frac{p_1}{p_2} </math> umgestellt nach <math> x_2 </math> ergibt sich <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math>. 
Dieser Ausdruck kann in die Budgetrestriktion für <math> x_2 </math> eingesetzt werden: 
<math> p_1x_1+p_2(\frac{p_1}{p_2}x_1)=E </math> 
Nun kann für eine Lösung nach <math> x^*_1 </math> umgestellt werden. Das Ergebnis eingesetzt in <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math> ergibt das optimale Konsumniveau von <math> x^*_2 </math>.

==Die Bedeutung von Lambda==
Die [[Lagrange#Langrangefunktion|Langrangefunktion]] unterstellt, dass für <math> \lambda </math> die Nebenbedingung erfüllt ist. Sie sucht also Wert <math> x^*_1 </math> und <math> x^*_2 </math>, für die das Budget nicht überschritten wird. Dafür führt das Langrangeverfahren den Lagrange Mutiplikator <math> \lambda </math> als eine Art Schattenpreis ein, den der Haushalt zahlen muss, wenn das Budget nicht eingehalten wird. Dies hat auch den Grund, warum für die richtige Interpretation von <math> \lambda </math> die Notation wichtig ist. Der Schattenpreis ist positiv. Sind die Konsumausgaben größer als das Budget, gilt <math> p_1x_1+p_2x_2>E </math> und dementsprechend <math> p_1x_1+p_2x_2-E>0 </math>. Da vor <math> \lambda </math> eine negatives Vorzeichen steht, wird von dem Nutzen etwas abgezogen, wenn die Konsumausgaben größer sind als das Budget. Gleichzeitig wird zum Nutzen etwas addiert, wenn die Konsumausgaben kleiner sind als das Budget. Im [[Haushaltsoptimum]] ist der Schattenpreis so gewählt, dass die Budgetrestriktion mit Gleichheit erfüllt ist. <math> \lambda </math> lässt sich berechnen, indem die Ausgerechneten optimalen Konsumniveaus in einer der beiden FOC Gleichungen eingesetzt und nach <math> \lambda </math> aufgelöst wird. 

Es lässt sich außerdem zeigen, dass <math> \lambda </math> der Grenznutzen des Einkommens ist. Steigt das Einkommen, steigt auch das Nutzenniveau im Optimum um <math> \lambda </math> Einheiten. (Für den Beweis siehe [[https://www.dropbox.com/scl/fi/r08jdx96k34h0sezg6jdc/Derivation_of_the_meaning_of_Lambda.pdf?rlkey=sq0futxbzz539dlg5dispw990&dl=0|hier]])

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage muss basierend auf den FOCs des Lagrangeverfahrens immer stimmen? Ein Konsument konsumiert zwei Güter (A und B). Im optimalen Konsumpunkt...
|type="()"}
+ ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von A dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von B
- ... entspricht der Grenznutzen von A dem Grenznutzen von B.
- ... entspricht der Grenznutzen von A mal dem Preis von A dem Grenznutzen von B mal dem Preis von B.
- ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von B dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von A.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{In welchem der Fälle ist das Lagrangeverfahren ohne Weiteres anwendbar?
|type="()"}
+ Wenn die Nutzenfunktion konvex ist.
- Wenn die Nutzenfunktion nicht differenzierbar ist.
- Wenn im optimalen Punkt nicht das gesammte Budget ausgeben wird.
- Wenn die Nebenbedingung nicht differenzierbar ist.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der Aussagen ist wahr?
|type="()"}
+ Das Lagrangeverfahren ist auch mit meheren Nebenbedingungen möglich.
- Die Hinreichende Bedingung zur Überprüfung auf ein Maximum ist bei einem Nutzenmaximierung-Probem mathematisch korrekt nie notwendig, da es sich rein formal immer nur um ein Maximum handeln kann.
- Der Lagrangemutiplikator <math> \lambda </math> hat keine Bedeutung.
- Ungeachtet des Preisverhältnisses ist eine rechnerische Lösung des Lagrangeverfahrens mit negativen Mengen nicht möglich.
</quiz>

Lagrange

2024-10-07T16:17:15Z

Okehne: /* Bedingungen erster Ordnung */

Das Langrangeverfahren ist eine Möglichkeit Funktionen mit einer Nebenbedingung zu maximieren oder zu minimieren. In diesem Verfahren wird davon ausgegangen, dass die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt sein muss.

__TOC__

==Das Problem==
Es treten häufig Fragestellungen auf, wie ein Haushalt den Konsum so wählt, dass der Nutzen möglichst groß (maximiert) ist. Oder der Kostenminimale Produktionspunkt eines Unternehmens wird gesucht. Im Weiteren liegt der Fokus auf dem Maximierungsproblem. 
Im Falle der Nutzenmaximierung soll der Nutzen möglichst groß sein. In einem Beispiel hat ein Haushalt die Möglichkeit Güter <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> zu konsumieren. Der Haushalt muss dementsprechend sein Nutzen in Bezug auf den Konsum von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> maximieren: <math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> 
Unter der Annahme der [[Axiome der Nutzentheorie#Monotonie|Monotonie]] ("Mehr ist besser"), maximiert der Haushalt seinen Nutzen, indem er möglichst viel von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> konsumiert. Kann ein Haushalt sehr unendlich viel, von beiden Gütern konsumiert und Monotonie gilt, ist die Maximierungsaufgabe schon gelöst. In den meisten Fällen ist dies jedoch nicht möglich. Zum einen existieren nicht unendlich viele Einheiten der Güter (dies spielt in der [[Edgeworth-Box]] eine große Rolle) und zum anderen hat ein Haushalt auch nicht das Einkommen zur Verfügung, um sich unendlich viele Güter leisten zu können. Im Normalfall unterliegen Haushalte einer [[Budgetrestriktion und Budgetgerade|Budgetrestriktion]]. Die Budgetrestriktion ist in <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math> beschrieben, wobei E das Budget darstellt. Die eigentliche Maximierungsaufgabe besteht dementsprechend darin den Nutzen zu maximieren und das Budget einzuhalten. (u.d.NB.=unter der Nebenbedingung) 
<math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> u.d.NB <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math>

==Langrangefunktion==
Die Lagrangefunktion wird aufgestellt, indem von der Nutzenfunktion ein zweiter Term abgezogen wird. Der zweite Term besteht aus der Budgetrestriktion, die nach null umgestellt und mit einer Variablen (dem Langrange Multiplikator) multipliziert wird. Die Langrangefunktion ist damit abhängig von <math> x_1 </math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>: 
<math> \mathcal{L}(x_1,x_2, \lambda)=U(x_1,x_2)-\lambda(p_1x_1+p_2x_2-E) </math> (I) 
<math> \mathcal{L}(x_1,x_2, \lambda)=U(x_1,x_2)+\lambda(E-p_1x_1-p_2x_2) </math> (II) 
Für die richtige Interpretation des Ergebnisses ist es durchaus relevant, ob vor dem <math> \lambda </math> ein + oder ein - steht. Merkhilfe bietet hier [[Lagrange#Die Bedeutung von Lambda|die Bedeutung von Lambda]]. Streng genommen ist die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetrestriktion|Budgetrestriktion]] eine Ungleichung. Es ist durchaus möglich weniger als das vollständige Budget auszugeben, daher lautet die Restriktion <math display="inline> p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}</math>≤<math display="inline">E</math>. Umgestellt nach null ergibt sich entweder 
<math> p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}-E</math>≤<math display="inline">0</math> (i) 
oder 
<math> 0</math>≤<math display="inline">E-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}</math> (ii) 
In beiden Fällen der Budgetrestriktion gilt die gleiche Intuition. Wenn der Haushalt mehr ausgibt als er mit seinem Budget E könnte, soll er dafür bestraft werden. Der Nutzen, gegeben durch die Nutzenfunktion), muss sich verringern, wenn er mehr ausgibt, als er kann. Im Fall (i) ist dies der Fall, wenn die Ungleichung positiv ist. Da <math> \lambda </math> immer positiv ist, muss vor das <math> \lambda </math> ein negatives Vorzeichen. Analog gilt die Intuition bei Fall (ii).

==Bedingungen erster Ordnung==
Die Langrangefunktion beschreibt das Maximierungsproblem in einer Art, die aufgrund des <math> \lambda </math> nur schwer grafisch vorstellbar ist. Die Vorgehensweise ist im ersten Schritt jedoch ähnlich zu einem simplen [[Maximieren|univariaten Maximierungsproblem]]. Es muss die Funktion nach den Variablen abgeleitet werden, für die der Nutzen maximiert werden soll. Die erste Ableitung muss gleich null sein (Bedingung erster Ordnung oder FOC=First order condition). Zudem muss weitergehend beachtet werden, dass die Budgetrestriktion eingehalten werden muss. Die FOCs stellen ein Gleichungssystem dar, das es zu lösen gilt. 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_1}=\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_1}-\lambda p_1 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_2}=\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_2}-\lambda p_2 \stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> p_1x_1+p_2x_2-E \stackrel{!}{=}0 </math>

==Lösung des Maximierungsproblems==
Die [[Lagrange#FOC|First order Conditions]] stellen ein Gleichungsystem dar. Es existieren drei unbekannte (<math> x_1</math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>) und drei Gleichungen. Zum Lösen des Systems gibt es verschiedene Wege. Eine der ersten beiden Gleichungen kann nach <math> \lambda </math> umgestellt und in die andere der oberen beiden Gleichungen eingesetzt werden. Es ist auch möglich die oberen beiden Gleichungen beide nach <math> \lambda </math> umzustellen und anschließend gleichzusetzen. Es kann auch direkt die erste durch die zweite Gleichung dividiert werden. 
Als Beispiel sollen die ersten beiden Gleichungen nach <math> \lambda </math> ugestellt werden. Es ergibt sich: 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1 </math> 
<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> 
Da <math> \lambda=\lambda </math> ergibt sich: 
<math> \frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> oder weiter umgestellt 
<math> \frac{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}}{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}}=\frac{p_1}{p_2} </math> 
Die linke Seite des Ausdrucks entspricht der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution|GRS]]. Dieser Ausdruck kann wiederum nach <math> x_1 </math> oder <math> x_2 </math> umgestellt werden, welche beide im [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] stecken. Es ergibt sich beispielweise ein Ausdruck,<math> x_1(x_2) </math> , der abhängig von der anderen variable <math> x_2 </math> ist. Dieser lässt sich in die Budgetrestriktion einsetzen, die vorher <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> beinhaltete. Nach der Substitution ist in der Budgetrestriktion nur noch eine Unbekannte <math> x_2 </math> vorhanden, nach der umgestellt werden kann. Es ergibt sich beispielsweise mit der Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=x_1x_2 </math> folgende Gleichung: 
<math> \frac{x_2}{x_1}=\frac{p_1}{p_2} </math> umgestellt nach <math> x_2 </math> ergibt sich <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math>. 
Dieser Ausdruck kann in die Budgetrestriktion für <math> x_2 </math> eingesetzt werden: 
<math> p_1x_1+p_2(\frac{p_1}{p_2}x_1)=E </math> 
Nun kann für eine Lösung nach <math> x^*_1 </math> umgestellt werden. Das Ergebnis eingesetzt in <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math> ergibt das optimale Konsumniveau von <math> x^*_2 </math>.

==Die Bedeutung von Lambda==
Die [[Lagrange#Langrangefunktion|Langrangefunktion]] unterstellt, dass für <math> \lambda </math> die Nebenbedingung erfüllt ist. Sie sucht also Wert <math> x^*_1 </math> und <math> x^*_2 </math>, für die das Budget nicht überschritten wird. Dafür führt das Langrangeverfahren den Lagrange Mutiplikator <math> \lambda </math> als eine Art Schattenpreis ein, den der Haushalt zahlen muss, wenn das Budget nicht eingehalten wird. Dies hat auch den Grund, warum für die richtige Interpretation von <math> \lambda </math> die Notation wichtig ist. Der Schattenpreis ist positiv. Sind die Konsumausgaben größer als das Budget, gilt <math> p_1x_1+p_2x_2>E </math> und dementsprechend <math> p_1x_1+p_2x_2-E>0 </math>. Da vor <math> \lambda </math> eine negatives Vorzeichen steht, wird von dem Nutzen etwas abgezogen, wenn die Konsumausgaben größer sind als das Budget. Gleichzeitig wird zum Nutzen etwas addiert, wenn die Konsumausgaben kleiner sind als das Budget. Im [[Haushaltsoptimum]] ist der Schattenpreis so gewählt, dass die Budgetrestriktion mit Gleichheit erfüllt ist. <math> \lambda </math> lässt sich berechnen, indem die Ausgerechneten optimalen Konsumniveaus in einer der beiden FOC Gleichungen eingesetzt und nach <math> \lambda </math> aufgelöst wird. 

Es lässt sich außerdem zeigen, dass <math> \lambda </math> der Grenznutzen des Einkommens ist. Steigt das Einkommen, steigt auch das Nutzenniveau im Optimum um <math> \lambda </math> Einheiten. (Für den Beweis siehe [[https://www.dropbox.com/scl/fi/r08jdx96k34h0sezg6jdc/Derivation_of_the_meaning_of_Lambda.pdf?rlkey=sq0futxbzz539dlg5dispw990&dl=0|hier]])

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage muss basierend auf den FOCs des Lagrangeverfahrens immer stimmen? Ein Konsument konsumiert zwei Güter (A und B). Im optimalen Konsumpunkt...
|type="()"}
+ ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von A dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von B
- ... entspricht der Grenznutzen von A dem Grenznutzen von B.
- ... entspricht der Grenznutzen von A mal dem Preis von A dem Grenznutzen von B mal dem Preis von B.
- ... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von B dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von A.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{In welchem der Fälle ist das Lagrangeverfahren ohne Weiteres anwendbar?
|type="()"}
+ Wenn die Nutzenfunktion konvex ist.
- Wenn die Nutzenfunktion nicht differenzierbar ist.
- Wenn im optimalen Punkt nicht das gesammte Budget ausgeben wird.
- Wenn die Nebenbedingung nicht differenzierbar ist.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der Aussagen ist wahr?
|type="()"}
+ Das Lagrangeverfahren ist auch mit meheren Nebenbedingungen möglich.
- Die Hinreichende Bedingung zur Überprüfung auf ein Maximum ist bei einem Nutzenmaximierung-Probem mathematisch korrekt nie notwendig, da es sich rein formal immer nur um ein Maximum handeln kann.
- Der Lagrangemutiplikator <math> \lambda </math> hat keine Bedeutung.
- Ungeachtet des Preisverhältnisses ist eine rechnerische Lösung des Lagrangeverfahrens mit negativen Mengen nicht möglich.
</quiz>

Karush-Kuhn-Tucker (KKT)

2024-10-07T09:30:39Z

Okehne:

Die Karush-Kuhn-Tucker Bedingungen sind ein notwendiges Optimalitätskriterium zur Bestimmung des Extremums einer Zielfunktion mit Nebenbedingungen. Das KKT Verfahren ist ein allgemeinerer Lösungsansatz verglichen mit dem [[Lagrange|Lagrange Verfahren]], da auch Randlösungen betrachtet werden.

__TOC__

==Randlösungen==
Das [[Lagrange|Lagrange Verfahren]] findet als Optimalitätsbedingung den Tangentialpunkt der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurve]] und der [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgeraden]]. In der Grafik unten wird das damit einhergehende Problem deutlich: Der Tangentialpunkt kann auch im negativen Bereich von einer der beiden Variablen sein. Dies liegt beispielweise an der Steigung der Budgetgeraden oder dem Verlauf der Indifferenzkurve. Im Falle der [[Maximieren|Nutzenmaximierung]] würde dies den Konsum einer negativen Menge bedeuten, was äußerst unrealistisch ist. Im grafischen Beispiel wäre das Ergebnis des Lagrange Verfahrens, dass der Konsument eine negative Menge von <math> x_1 </math> konsumieren sollte. Da dies nicht möglich ist, wäre es nutzenmaximal einen möglichen Punkt (<math> x_1 \geq 0 </math> und <math> x_2\geq 0 </math>) zu konsumieren, der auf einer möglichst hohen Indifferenzkurve liegt. In dem grafischen Fall liegt der Punkt aufgrund der [[Axiome der Nutzentheorie| Annahmen über die Präferenzen]] auf der Budgetgeraden. Die höchste Indifferenzkurve die erreicht wird führt zu einem Konsumniveau von <math> x_1=0</math> (zweite Abbildung). Dies ist eine Randlösung. Das KKT Verfahren findet den Punkt sofort, ohne dass die Lösung vom Lagrange Verfahren händisch korrigiert werden muss. 
[[Datei:KKT1.png|500px|rahmenlos]]
[[Datei:KKT2.png|500px|rahmenlos]]

==Nebenbedingungen==
Das KKT Verfahren betrachtet mehrere Nebenbedingungen, um eine Lösung für das Maximierungsproblem zu finden. Diese sind häufig die Budgetbedingung und die Nichtnegativitätsbedingung. Die Budgetbedingung ist identisch zum Lagrange Verfahren. Ein Konsument kann sein komplettes Budget oder weniger ausgaben. Neu sind die anderen Nichtnegativitätsbedingung, die im folgenden Beispiel sicherstellen, dass die konsumierten Mengen positiv sind: 
<math> p_1x_1+p_2x_2 \leq E </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> E-p_1x_1-p_2x_2 \geq 0 </math> 
<math> x_1 \geq 0 </math> 
<math> x_2 \geq 0 </math> 
Das Maximierungsproblem ergibt sich dann analog zum [[Lagrange|Lagrangeverfahren]]. Die Zielfunktion muss entweder maximiert oder minimiert werden und die Nebenbedingungen sollen gelten. In diesem Fall soll die Zielfunktion (Nutzenfunktion) maximiert werden: 
<math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> u.d.NB <math> E-p_1x_1-p_2x_2 \geq 0 </math>; <math> x_1 \geq 0 </math>; <math> x_2 \geq 0 </math>
Um das ganze Problem in eine Funktion zu schreiben, werden die Nebenbedingungen werden jeweils mit einem Lagrangemultiplikator zu der Zielfunktion addiert: 
<math> \mathcal{L}(x_1,x_2,\lambda) =U(x_1,x_2)+\lambda_1(E-p_1x_1-p_2x_2)+\lambda_2 x_1+\lambda_3x_2 </math>

==Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen==
Das KKT Verfahren nutzt mehrere Bedingungen, um die Lösung für das Problem zu finden: 
FOC für alle Variablen, von denen die Zielfunktion abhängt: 
<math> (i) \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1}\stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> (ii) \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2}\stackrel{!}{=}0 </math> 

Die Ungleichungen selbst mit der Nichtnegativitätsbedingung der Lagrangemultiplikatoren: 
<math> (iii) \quad E-p_1x_1-p_2x_2 \geq 0 </math>; <math> \lambda_1 \geq 0</math> 
<math> (iv) \quad x_1 \geq 0 </math>; <math> \lambda_2 \geq 0</math> 
<math> (v) \quad x_2 \geq 0 </math>; <math> \lambda_3 \geq 0</math> 

Die Komplementaritätsbedingungen 
<math> (vi) \quad \lambda_1(E-p_1x_1-p_2x_2)=0 </math> 
<math> (vii) \quad \lambda_2 x_1=0 </math> 
<math> (viii) \quad \lambda_3 x_2=0 </math> 

Die Lagrangemultiplikatoren müssen im Optimum schwach positiv, also null oder größer als null, sein. Durch die Komplementaritätsbedingungen wird deutlich, dass die Nebenbedingung größer gleich null ist, wenn der Lagrangemultiplikator null ist und gleich null, wenn der Multiplikator größer als null ist. Ist die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt (gleich null), ist sie "bindend", wenn sie mit strikter Ungleichheit erfüllt ist, ist sie "nicht-bindend". Im grafischen Beispiel von oben ist die Nebenbedingung <math> x_1 </math> mit Gleichheit erfüllt und der Multiplikator <math> \lambda_2 </math> größer als null. Nur wenn der Tangentialpunkt auch gleichzeitig die Randlösung ist, sind sowohl der Lagrangemultiplikator, als auch die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt. In allen anderen Fällen ist der Multiplikator beispielweise größer null und die Nebenbedingung gleich null. Dies gilt natürlich auch andersherum. Ist die Nebenbedingung größer als null, ist der Multiplikator gleich null. 
Als Beispiel soll <math> (vii) \quad \lambda_2 x_1=0 </math> gelten. Wenn <math> x_1>0 </math> gilt, muss der Multiplikator <math> \lambda_2 </math> gleich null sein. Die gleiche Logik gilt auch für die Gleichung <math> (viii) </math>. Soll das Problem auf eine innere Lösung untersucht werden, so muss in dem vorliegenden Fall <math> \lambda_2=0 </math> und <math> \lambda_3=0 </math> gelten, da <math> \lambda_2 </math> und <math> \lambda_3 </math> nur beide gleichzeitig größer als 0 sein können, wenn von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> jeweils nichts konsumiert würde. 
Um die jeweiligen Randlösungen zu untersuchen müssen die Multiplikatoren <math> \lambda_2 </math> und <math> \lambda_3 </math> jweils getrennt voneinander gleich null gesetzt werden. Es gilt zu beachten, dass diese Logik so nur für das grafische Beispiel gilt. Es gibt durchaus auch andere Beispiele, bei denen Möglichkeiten nicht von vornherein ausgeschlossen werden können. Bei einer anderen Zielfunktion und anderen Nebenbedingungen kann zum Beispiel, nicht direkt gesagt werden, dass <math> \lambda_1>0 </math> gelten und die Budgetungleichung damit mit Gleichheit erfüllt sein muss. 
 

Zur Lösung des Problems werden die KKT Bedingungen herangezogen und die verschiedenen Fälle werden untersucht. Jeder der Lagrangemultiplikatoren kann entweder gleich null oder größer als null sein. Bei drei Lagrangemultiplikatoren würde das <math> 2^3 </math> Fälle bedeuten.

==Beispiel==
Es soll die Funktion <math> U(x_1,x_2)=x^2+xy+4y </math> auf Maxima untersucht werden. Hierbei sollen <math> x+y \leq 2 </math>, <math> x \geq 0 </math> und <math> y \geq 0 </math> erfüllt sein. Es ergibt sich folgende Funktion: 
<math>
\mathcal{L}(x_1,x_2,\lambda)= x^2+xy+4y +\lambda_1(2-x-y)+\lambda_2x+\lambda_3y </math> 
Aufgrund der Übersichtlickeit kann das Beispiel hier [https://www.dropbox.com/scl/fi/fp55nhye6j1jff331c9nv/KKT.pdf?rlkey=jen6szl2sxg4ezl6hawylenye&dl=0] als pdf Dokument eingesehen werden.

==MC Fragen==
Für die folgenden Aufgaben sei immer folgende Lagrangefunktion gegeben: 
<math> \mathcal{L}(x,y,\lambda)=x+ln(y)+\lambda(E-x-y)+\alpha x+\beta y </math>
<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Was muss gelten, damit die Lösung des Maximierungsproblems eine Randlösung ist?
|type="()"}
- a) Die Steigung der Budgetgeraden muss strikt kleiner als die GRS für <math> x,y \geq0 </math> sein.
- b) Die Steigung der Budgetgeraden muss strikt größer als die GRS für <math> x,y \geq0 </math> sein.
- c) Die Steigung der Budgetgeraden muss gleich die der GRS für <math> x,y \geq0 </math> sein.
+ d) Antwortmöglichkeiten a) und b) sind beide korrekt
- e) Antwortmöglichkeiten a) und c) sind korrekt
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Werte muss <math> \beta </math> annehmen, damit alle KKT Bedingungen erfüllt sind?
|type="()"}
+ <math> \beta =0 </math>
- <math> \beta < 0 </math>
- <math> \beta > 0 </math>
- <math> \beta </math> kann alle Werte annehmen
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welcher der folgenden Bedingungen sorgt dafür, dass die Lösung eine innere Lösung ist?
|type="()"}
+ <math> \alpha x=0 </math>
- <math> \beta y=0 </math>
- <math> \lambda(E-x-y)=0 </math>
- Es gibt keine Innere Lösung
</quiz>

Karush-Kuhn-Tucker (KKT)

2024-10-07T09:24:28Z

Okehne: /* Nebenbedingungen */

Die Karush-Kuhn-Tucker Bedingungen sind ein notwendiges Optimalitätskriterium zur Bestimmung des Extremums einer Zielfunktion mit Nebenbedingungen. Das KKT Verfahren ist ein allgemeinerer Lösungsansatz verglichen mit dem [[Lagrange|Lagrange Verfahren]], da auch Randlösungen betrachtet werden.

__TOC__

==Randlösungen==
Das [[Lagrange|Lagrange Verfahren]] findet als Optimalitätsbedingung den Tangentialpunkt der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurve]] und der [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgeraden]]. In der Grafik unten wird das damit einhergehende Problem deutlich: Der Tangentialpunkt kann auch im negativen Bereich von einer der beiden Variablen sein. Dies liegt beispielweise an der Steigung der Budgetgeraden oder dem Verlauf der Indifferenzkurve. Im Falle der [[Maximieren|Nutzenmaximierung]] würde dies den Konsum einer negativen Menge bedeuten, was äußerst unrealistisch ist. Im grafischen Beispiel wäre das Ergebnis des Lagrange Verfahrens, dass der Konsument eine negative Menge von <math> x_1 </math> konsumieren sollte. Da dies nicht möglich ist, wäre es nutzenmaximal einen möglichen Punkt (<math> x_1 \geq 0 </math> und <math> x_2\geq 0 </math>) zu konsumieren, der auf einer möglichst hohen Indifferenzkurve liegt. In dem grafischen Fall liegt der Punkt aufgrund der [[Axiome der Nutzentheorie| Annahmen über die Präferenzen]] auf der Budgetgeraden. Die höchste Indifferenzkurve die erreicht wird führt zu einem Konsumniveau von <math> x_1=0</math> (zweite Abbildung). Dies ist eine Randlösung. Das KKT Verfahren findet den Punkt sofort, ohne dass die Lösung vom Lagrange Verfahren händisch korrigiert werden muss. 
[[Datei:KKT1.png|500px|rahmenlos]]
[[Datei:KKT2.png|500px|rahmenlos]]

==Nebenbedingungen==
Das KKT Verfahren betrachtet mehrere Nebenbedingungen, um eine Lösung für das Maximierungsproblem zu finden. Diese sind häufig die Budgetbedingung und die Nichtnegativitätsbedingung. Die Budgetbedingung ist identisch zum Lagrange Verfahren. Ein Konsument kann sein komplettes Budget oder weniger ausgaben. Neu sind die anderen Nichtnegativitätsbedingung, die im folgenden Beispiel sicherstellen, dass die konsumierten Mengen positiv sind: 
<math> p_1x_1+p_2x_2 \leq E </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> E-p_1x_1-p_2x_2 \geq 0 </math> 
<math> x_1 \geq 0 </math> 
<math> x_2 \geq 0 </math> 
Die Nebenbedingungen werden jeweils mit einem Lagrangemultiplikator zu der Zielfunktion addiert: 
<math> \mathcal{L}(x_1,x_2,\lambda) =U(x_1,x_2)+\lambda_1(E-p_1x_1-p_2x_2)+\lambda_2 x_1+\lambda_3x_2 </math>

==Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen==
Das KKT Verfahren nutzt mehrere Bedingungen, um die Lösung für das Problem zu finden: 
FOC für alle Variablen, von denen die Zielfunktion abhängt: 
<math> (i) \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1}\stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> (ii) \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2}\stackrel{!}{=}0 </math> 

Die Ungleichungen selbst mit der Nichtnegativitätsbedingung der Lagrangemultiplikatoren: 
<math> (iii) \quad E-p_1x_1-p_2x_2 \geq 0 </math>; <math> \lambda_1 \geq 0</math> 
<math> (iv) \quad x_1 \geq 0 </math>; <math> \lambda_2 \geq 0</math> 
<math> (v) \quad x_2 \geq 0 </math>; <math> \lambda_3 \geq 0</math> 

Die Komplementaritätsbedingungen 
<math> (vi) \quad \lambda_1(E-p_1x_1-p_2x_2)=0 </math> 
<math> (vii) \quad \lambda_2 x_1=0 </math> 
<math> (viii) \quad \lambda_3 x_2=0 </math> 

Die Lagrangemultiplikatoren müssen im Optimum schwach positiv, also null oder größer als null, sein. Durch die Komplementaritätsbedingungen wird deutlich, dass die Nebenbedingung größer gleich null ist, wenn der Lagrangemultiplikator null ist und gleich null, wenn der Multiplikator größer als null ist. Ist die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt (gleich null), ist sie "bindend", wenn sie mit strikter Ungleichheit erfüllt ist, ist sie "nicht-bindend". Im grafischen Beispiel von oben ist die Nebenbedingung <math> x_1 </math> mit Gleichheit erfüllt und der Multiplikator <math> \lambda_2 </math> größer als null. Nur wenn der Tangentialpunkt auch gleichzeitig die Randlösung ist, sind sowohl der Lagrangemultiplikator, als auch die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt. In allen anderen Fällen ist der Multiplikator beispielweise größer null und die Nebenbedingung gleich null. Dies gilt natürlich auch andersherum. Ist die Nebenbedingung größer als null, ist der Multiplikator gleich null. 
Als Beispiel soll <math> (vii) \quad \lambda_2 x_1=0 </math> gelten. Wenn <math> x_1>0 </math> gilt, muss der Multiplikator <math> \lambda_2 </math> gleich null sein. Die gleiche Logik gilt auch für die Gleichung <math> (viii) </math>. Soll das Problem auf eine innere Lösung untersucht werden, so muss in dem vorliegenden Fall <math> \lambda_2=0 </math> und <math> \lambda_3=0 </math> gelten, da <math> \lambda_2 </math> und <math> \lambda_3 </math> nur beide gleichzeitig größer als 0 sein können, wenn von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> jeweils nichts konsumiert würde. 
Um die jeweiligen Randlösungen zu untersuchen müssen die Multiplikatoren <math> \lambda_2 </math> und <math> \lambda_3 </math> jweils getrennt voneinander gleich null gesetzt werden. Es gilt zu beachten, dass diese Logik so nur für das grafische Beispiel gilt. Es gibt durchaus auch andere Beispiele, bei denen Möglichkeiten nicht von vornherein ausgeschlossen werden können. Bei einer anderen Zielfunktion und anderen Nebenbedingungen kann zum Beispiel, nicht direkt gesagt werden, dass <math> \lambda_1>0 </math> gelten und die Budgetungleichung damit mit Gleichheit erfüllt sein muss. 
 

Zur Lösung des Problems werden die KKT Bedingungen herangezogen und die verschiedenen Fälle werden untersucht. Jeder der Lagrangemultiplikatoren kann entweder gleich null oder größer als null sein. Bei drei Lagrangemultiplikatoren würde das <math> 2^3 </math> Fälle bedeuten.

==Beispiel==
Es soll die Funktion <math> U(x_1,x_2)=x^2+xy+4y </math> auf Maxima untersucht werden. Hierbei sollen <math> x+y \leq 2 </math>, <math> x \geq 0 </math> und <math> y \geq 0 </math> erfüllt sein. Es ergibt sich folgende Funktion: 
<math>
\mathcal{L}(x_1,x_2,\lambda)= x^2+xy+4y +\lambda_1(2-x-y)+\lambda_2x+\lambda_3y </math> 
Aufgrund der Übersichtlickeit kann das Beispiel hier [https://www.dropbox.com/scl/fi/fp55nhye6j1jff331c9nv/KKT.pdf?rlkey=jen6szl2sxg4ezl6hawylenye&dl=0] als pdf Dokument eingesehen werden.

==MC Fragen==
Für die folgenden Aufgaben sei immer folgende Lagrangefunktion gegeben: 
<math> \mathcal{L}(x,y,\lambda)=x+ln(y)+\lambda(E-x-y)+\alpha x+\beta y </math>
<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Was muss gelten, damit die Lösung des Maximierungsproblems eine Randlösung ist?
|type="()"}
- a) Die Steigung der Budgetgeraden muss strikt kleiner als die GRS für <math> x,y \geq0 </math> sein.
- b) Die Steigung der Budgetgeraden muss strikt größer als die GRS für <math> x,y \geq0 </math> sein.
- c) Die Steigung der Budgetgeraden muss gleich die der GRS für <math> x,y \geq0 </math> sein.
+ d) Antwortmöglichkeiten a) und b) sind beide korrekt
- e) Antwortmöglichkeiten a) und c) sind korrekt
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Werte muss <math> \beta </math> annehmen, damit alle KKT Bedingungen erfüllt sind?
|type="()"}
+ <math> \beta =0 </math>
- <math> \beta < 0 </math>
- <math> \beta > 0 </math>
- <math> \beta </math> kann alle Werte annehmen
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welcher der folgenden Bedingungen sorgt dafür, dass die Lösung eine innere Lösung ist?
|type="()"}
+ <math> \alpha x=0 </math>
- <math> \beta y=0 </math>
- <math> \lambda(E-x-y)=0 </math>
- Es gibt keine Innere Lösung
</quiz>

Karush-Kuhn-Tucker (KKT)

2024-10-07T09:24:02Z

Okehne: /* Beispiel */

Die Karush-Kuhn-Tucker Bedingungen sind ein notwendiges Optimalitätskriterium zur Bestimmung des Extremums einer Zielfunktion mit Nebenbedingungen. Das KKT Verfahren ist ein allgemeinerer Lösungsansatz verglichen mit dem [[Lagrange|Lagrange Verfahren]], da auch Randlösungen betrachtet werden.

__TOC__

==Randlösungen==
Das [[Lagrange|Lagrange Verfahren]] findet als Optimalitätsbedingung den Tangentialpunkt der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurve]] und der [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgeraden]]. In der Grafik unten wird das damit einhergehende Problem deutlich: Der Tangentialpunkt kann auch im negativen Bereich von einer der beiden Variablen sein. Dies liegt beispielweise an der Steigung der Budgetgeraden oder dem Verlauf der Indifferenzkurve. Im Falle der [[Maximieren|Nutzenmaximierung]] würde dies den Konsum einer negativen Menge bedeuten, was äußerst unrealistisch ist. Im grafischen Beispiel wäre das Ergebnis des Lagrange Verfahrens, dass der Konsument eine negative Menge von <math> x_1 </math> konsumieren sollte. Da dies nicht möglich ist, wäre es nutzenmaximal einen möglichen Punkt (<math> x_1 \geq 0 </math> und <math> x_2\geq 0 </math>) zu konsumieren, der auf einer möglichst hohen Indifferenzkurve liegt. In dem grafischen Fall liegt der Punkt aufgrund der [[Axiome der Nutzentheorie| Annahmen über die Präferenzen]] auf der Budgetgeraden. Die höchste Indifferenzkurve die erreicht wird führt zu einem Konsumniveau von <math> x_1=0</math> (zweite Abbildung). Dies ist eine Randlösung. Das KKT Verfahren findet den Punkt sofort, ohne dass die Lösung vom Lagrange Verfahren händisch korrigiert werden muss. 
[[Datei:KKT1.png|500px|rahmenlos]]
[[Datei:KKT2.png|500px|rahmenlos]]

==Nebenbedingungen==
Das KKT Verfahren betrachtet mehrere Nebenbedingungen, um eine Lösung für das Maximierungsproblem zu finden. Diese sind häufig die Budgetbedingung und die Nichtnegativitätsbedingung. Die Budgetbedingung ist identisch zum Lagrange Verfahren. Ein Konsument kann sein komplettes Budget oder weniger ausgaben. Neu sind die anderen Nichtnegativitätsbedingung, die im folgenden Beispiel sicherstellen, dass die konsumierten Mengen positiv sind: 
<math> p_1x_1+p_2x_2 \leq E </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> E-p_1x_1-p_2x_2 \geq 0 </math> 
<math> x_1 \geq 0 </math> 
<math> x_2 \geq 0 </math> 
Die Nebenbedingungen werden jeweils mit einem Lagrangemultiplikator zu der Zielfunktion addiert: 
<math> \mathcal{L} =U(x_1,x_2)+\lambda_1(E-p_1x_1-p_2x_2)+\lambda_2 x_1+\lambda_3x_2 </math>

==Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen==
Das KKT Verfahren nutzt mehrere Bedingungen, um die Lösung für das Problem zu finden: 
FOC für alle Variablen, von denen die Zielfunktion abhängt: 
<math> (i) \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1}\stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> (ii) \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2}\stackrel{!}{=}0 </math> 

Die Ungleichungen selbst mit der Nichtnegativitätsbedingung der Lagrangemultiplikatoren: 
<math> (iii) \quad E-p_1x_1-p_2x_2 \geq 0 </math>; <math> \lambda_1 \geq 0</math> 
<math> (iv) \quad x_1 \geq 0 </math>; <math> \lambda_2 \geq 0</math> 
<math> (v) \quad x_2 \geq 0 </math>; <math> \lambda_3 \geq 0</math> 

Die Komplementaritätsbedingungen 
<math> (vi) \quad \lambda_1(E-p_1x_1-p_2x_2)=0 </math> 
<math> (vii) \quad \lambda_2 x_1=0 </math> 
<math> (viii) \quad \lambda_3 x_2=0 </math> 

Die Lagrangemultiplikatoren müssen im Optimum schwach positiv, also null oder größer als null, sein. Durch die Komplementaritätsbedingungen wird deutlich, dass die Nebenbedingung größer gleich null ist, wenn der Lagrangemultiplikator null ist und gleich null, wenn der Multiplikator größer als null ist. Ist die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt (gleich null), ist sie "bindend", wenn sie mit strikter Ungleichheit erfüllt ist, ist sie "nicht-bindend". Im grafischen Beispiel von oben ist die Nebenbedingung <math> x_1 </math> mit Gleichheit erfüllt und der Multiplikator <math> \lambda_2 </math> größer als null. Nur wenn der Tangentialpunkt auch gleichzeitig die Randlösung ist, sind sowohl der Lagrangemultiplikator, als auch die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt. In allen anderen Fällen ist der Multiplikator beispielweise größer null und die Nebenbedingung gleich null. Dies gilt natürlich auch andersherum. Ist die Nebenbedingung größer als null, ist der Multiplikator gleich null. 
Als Beispiel soll <math> (vii) \quad \lambda_2 x_1=0 </math> gelten. Wenn <math> x_1>0 </math> gilt, muss der Multiplikator <math> \lambda_2 </math> gleich null sein. Die gleiche Logik gilt auch für die Gleichung <math> (viii) </math>. Soll das Problem auf eine innere Lösung untersucht werden, so muss in dem vorliegenden Fall <math> \lambda_2=0 </math> und <math> \lambda_3=0 </math> gelten, da <math> \lambda_2 </math> und <math> \lambda_3 </math> nur beide gleichzeitig größer als 0 sein können, wenn von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> jeweils nichts konsumiert würde. 
Um die jeweiligen Randlösungen zu untersuchen müssen die Multiplikatoren <math> \lambda_2 </math> und <math> \lambda_3 </math> jweils getrennt voneinander gleich null gesetzt werden. Es gilt zu beachten, dass diese Logik so nur für das grafische Beispiel gilt. Es gibt durchaus auch andere Beispiele, bei denen Möglichkeiten nicht von vornherein ausgeschlossen werden können. Bei einer anderen Zielfunktion und anderen Nebenbedingungen kann zum Beispiel, nicht direkt gesagt werden, dass <math> \lambda_1>0 </math> gelten und die Budgetungleichung damit mit Gleichheit erfüllt sein muss. 
 

Zur Lösung des Problems werden die KKT Bedingungen herangezogen und die verschiedenen Fälle werden untersucht. Jeder der Lagrangemultiplikatoren kann entweder gleich null oder größer als null sein. Bei drei Lagrangemultiplikatoren würde das <math> 2^3 </math> Fälle bedeuten.

==Beispiel==
Es soll die Funktion <math> U(x_1,x_2)=x^2+xy+4y </math> auf Maxima untersucht werden. Hierbei sollen <math> x+y \leq 2 </math>, <math> x \geq 0 </math> und <math> y \geq 0 </math> erfüllt sein. Es ergibt sich folgende Funktion: 
<math>
\mathcal{L}(x_1,x_2,\lambda)= x^2+xy+4y +\lambda_1(2-x-y)+\lambda_2x+\lambda_3y </math> 
Aufgrund der Übersichtlickeit kann das Beispiel hier [https://www.dropbox.com/scl/fi/fp55nhye6j1jff331c9nv/KKT.pdf?rlkey=jen6szl2sxg4ezl6hawylenye&dl=0] als pdf Dokument eingesehen werden.

==MC Fragen==
Für die folgenden Aufgaben sei immer folgende Lagrangefunktion gegeben: 
<math> \mathcal{L}(x,y,\lambda)=x+ln(y)+\lambda(E-x-y)+\alpha x+\beta y </math>
<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Was muss gelten, damit die Lösung des Maximierungsproblems eine Randlösung ist?
|type="()"}
- a) Die Steigung der Budgetgeraden muss strikt kleiner als die GRS für <math> x,y \geq0 </math> sein.
- b) Die Steigung der Budgetgeraden muss strikt größer als die GRS für <math> x,y \geq0 </math> sein.
- c) Die Steigung der Budgetgeraden muss gleich die der GRS für <math> x,y \geq0 </math> sein.
+ d) Antwortmöglichkeiten a) und b) sind beide korrekt
- e) Antwortmöglichkeiten a) und c) sind korrekt
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Werte muss <math> \beta </math> annehmen, damit alle KKT Bedingungen erfüllt sind?
|type="()"}
+ <math> \beta =0 </math>
- <math> \beta < 0 </math>
- <math> \beta > 0 </math>
- <math> \beta </math> kann alle Werte annehmen
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welcher der folgenden Bedingungen sorgt dafür, dass die Lösung eine innere Lösung ist?
|type="()"}
+ <math> \alpha x=0 </math>
- <math> \beta y=0 </math>
- <math> \lambda(E-x-y)=0 </math>
- Es gibt keine Innere Lösung
</quiz>

Karush-Kuhn-Tucker (KKT)

2024-10-07T09:23:43Z

Okehne: /* MC Fragen */

Die Karush-Kuhn-Tucker Bedingungen sind ein notwendiges Optimalitätskriterium zur Bestimmung des Extremums einer Zielfunktion mit Nebenbedingungen. Das KKT Verfahren ist ein allgemeinerer Lösungsansatz verglichen mit dem [[Lagrange|Lagrange Verfahren]], da auch Randlösungen betrachtet werden.

__TOC__

==Randlösungen==
Das [[Lagrange|Lagrange Verfahren]] findet als Optimalitätsbedingung den Tangentialpunkt der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurve]] und der [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgeraden]]. In der Grafik unten wird das damit einhergehende Problem deutlich: Der Tangentialpunkt kann auch im negativen Bereich von einer der beiden Variablen sein. Dies liegt beispielweise an der Steigung der Budgetgeraden oder dem Verlauf der Indifferenzkurve. Im Falle der [[Maximieren|Nutzenmaximierung]] würde dies den Konsum einer negativen Menge bedeuten, was äußerst unrealistisch ist. Im grafischen Beispiel wäre das Ergebnis des Lagrange Verfahrens, dass der Konsument eine negative Menge von <math> x_1 </math> konsumieren sollte. Da dies nicht möglich ist, wäre es nutzenmaximal einen möglichen Punkt (<math> x_1 \geq 0 </math> und <math> x_2\geq 0 </math>) zu konsumieren, der auf einer möglichst hohen Indifferenzkurve liegt. In dem grafischen Fall liegt der Punkt aufgrund der [[Axiome der Nutzentheorie| Annahmen über die Präferenzen]] auf der Budgetgeraden. Die höchste Indifferenzkurve die erreicht wird führt zu einem Konsumniveau von <math> x_1=0</math> (zweite Abbildung). Dies ist eine Randlösung. Das KKT Verfahren findet den Punkt sofort, ohne dass die Lösung vom Lagrange Verfahren händisch korrigiert werden muss. 
[[Datei:KKT1.png|500px|rahmenlos]]
[[Datei:KKT2.png|500px|rahmenlos]]

==Nebenbedingungen==
Das KKT Verfahren betrachtet mehrere Nebenbedingungen, um eine Lösung für das Maximierungsproblem zu finden. Diese sind häufig die Budgetbedingung und die Nichtnegativitätsbedingung. Die Budgetbedingung ist identisch zum Lagrange Verfahren. Ein Konsument kann sein komplettes Budget oder weniger ausgaben. Neu sind die anderen Nichtnegativitätsbedingung, die im folgenden Beispiel sicherstellen, dass die konsumierten Mengen positiv sind: 
<math> p_1x_1+p_2x_2 \leq E </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> E-p_1x_1-p_2x_2 \geq 0 </math> 
<math> x_1 \geq 0 </math> 
<math> x_2 \geq 0 </math> 
Die Nebenbedingungen werden jeweils mit einem Lagrangemultiplikator zu der Zielfunktion addiert: 
<math> \mathcal{L} =U(x_1,x_2)+\lambda_1(E-p_1x_1-p_2x_2)+\lambda_2 x_1+\lambda_3x_2 </math>

==Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen==
Das KKT Verfahren nutzt mehrere Bedingungen, um die Lösung für das Problem zu finden: 
FOC für alle Variablen, von denen die Zielfunktion abhängt: 
<math> (i) \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1}\stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> (ii) \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2}\stackrel{!}{=}0 </math> 

Die Ungleichungen selbst mit der Nichtnegativitätsbedingung der Lagrangemultiplikatoren: 
<math> (iii) \quad E-p_1x_1-p_2x_2 \geq 0 </math>; <math> \lambda_1 \geq 0</math> 
<math> (iv) \quad x_1 \geq 0 </math>; <math> \lambda_2 \geq 0</math> 
<math> (v) \quad x_2 \geq 0 </math>; <math> \lambda_3 \geq 0</math> 

Die Komplementaritätsbedingungen 
<math> (vi) \quad \lambda_1(E-p_1x_1-p_2x_2)=0 </math> 
<math> (vii) \quad \lambda_2 x_1=0 </math> 
<math> (viii) \quad \lambda_3 x_2=0 </math> 

Die Lagrangemultiplikatoren müssen im Optimum schwach positiv, also null oder größer als null, sein. Durch die Komplementaritätsbedingungen wird deutlich, dass die Nebenbedingung größer gleich null ist, wenn der Lagrangemultiplikator null ist und gleich null, wenn der Multiplikator größer als null ist. Ist die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt (gleich null), ist sie "bindend", wenn sie mit strikter Ungleichheit erfüllt ist, ist sie "nicht-bindend". Im grafischen Beispiel von oben ist die Nebenbedingung <math> x_1 </math> mit Gleichheit erfüllt und der Multiplikator <math> \lambda_2 </math> größer als null. Nur wenn der Tangentialpunkt auch gleichzeitig die Randlösung ist, sind sowohl der Lagrangemultiplikator, als auch die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt. In allen anderen Fällen ist der Multiplikator beispielweise größer null und die Nebenbedingung gleich null. Dies gilt natürlich auch andersherum. Ist die Nebenbedingung größer als null, ist der Multiplikator gleich null. 
Als Beispiel soll <math> (vii) \quad \lambda_2 x_1=0 </math> gelten. Wenn <math> x_1>0 </math> gilt, muss der Multiplikator <math> \lambda_2 </math> gleich null sein. Die gleiche Logik gilt auch für die Gleichung <math> (viii) </math>. Soll das Problem auf eine innere Lösung untersucht werden, so muss in dem vorliegenden Fall <math> \lambda_2=0 </math> und <math> \lambda_3=0 </math> gelten, da <math> \lambda_2 </math> und <math> \lambda_3 </math> nur beide gleichzeitig größer als 0 sein können, wenn von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> jeweils nichts konsumiert würde. 
Um die jeweiligen Randlösungen zu untersuchen müssen die Multiplikatoren <math> \lambda_2 </math> und <math> \lambda_3 </math> jweils getrennt voneinander gleich null gesetzt werden. Es gilt zu beachten, dass diese Logik so nur für das grafische Beispiel gilt. Es gibt durchaus auch andere Beispiele, bei denen Möglichkeiten nicht von vornherein ausgeschlossen werden können. Bei einer anderen Zielfunktion und anderen Nebenbedingungen kann zum Beispiel, nicht direkt gesagt werden, dass <math> \lambda_1>0 </math> gelten und die Budgetungleichung damit mit Gleichheit erfüllt sein muss. 
 

Zur Lösung des Problems werden die KKT Bedingungen herangezogen und die verschiedenen Fälle werden untersucht. Jeder der Lagrangemultiplikatoren kann entweder gleich null oder größer als null sein. Bei drei Lagrangemultiplikatoren würde das <math> 2^3 </math> Fälle bedeuten.

==Beispiel==
Es soll die Funktion <math> U(x_1,x_2)=x^2+xy+4y </math> auf Maxima untersucht werden. Hierbei sollen <math> x+y \leq 2 </math>, <math> x \geq 0 </math> und <math> y \geq 0 </math> erfüllt sein. Es ergibt sich folgende Funktion: 
<math>
\mathcal{L}= x^2+xy+4y +\lambda_1(2-x-y)+\lambda_2x+\lambda_3y </math> 
Aufgrund der Übersichtlickeit kann das Beispiel hier [https://www.dropbox.com/scl/fi/fp55nhye6j1jff331c9nv/KKT.pdf?rlkey=jen6szl2sxg4ezl6hawylenye&dl=0] als pdf Dokument eingesehen werden.

==MC Fragen==
Für die folgenden Aufgaben sei immer folgende Lagrangefunktion gegeben: 
<math> \mathcal{L}(x,y,\lambda)=x+ln(y)+\lambda(E-x-y)+\alpha x+\beta y </math>
<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Was muss gelten, damit die Lösung des Maximierungsproblems eine Randlösung ist?
|type="()"}
- a) Die Steigung der Budgetgeraden muss strikt kleiner als die GRS für <math> x,y \geq0 </math> sein.
- b) Die Steigung der Budgetgeraden muss strikt größer als die GRS für <math> x,y \geq0 </math> sein.
- c) Die Steigung der Budgetgeraden muss gleich die der GRS für <math> x,y \geq0 </math> sein.
+ d) Antwortmöglichkeiten a) und b) sind beide korrekt
- e) Antwortmöglichkeiten a) und c) sind korrekt
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Werte muss <math> \beta </math> annehmen, damit alle KKT Bedingungen erfüllt sind?
|type="()"}
+ <math> \beta =0 </math>
- <math> \beta < 0 </math>
- <math> \beta > 0 </math>
- <math> \beta </math> kann alle Werte annehmen
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welcher der folgenden Bedingungen sorgt dafür, dass die Lösung eine innere Lösung ist?
|type="()"}
+ <math> \alpha x=0 </math>
- <math> \beta y=0 </math>
- <math> \lambda(E-x-y)=0 </math>
- Es gibt keine Innere Lösung
</quiz>

Karush-Kuhn-Tucker (KKT)

2024-10-07T09:23:32Z

Okehne: /* MC Fragen */

Die Karush-Kuhn-Tucker Bedingungen sind ein notwendiges Optimalitätskriterium zur Bestimmung des Extremums einer Zielfunktion mit Nebenbedingungen. Das KKT Verfahren ist ein allgemeinerer Lösungsansatz verglichen mit dem [[Lagrange|Lagrange Verfahren]], da auch Randlösungen betrachtet werden.

__TOC__

==Randlösungen==
Das [[Lagrange|Lagrange Verfahren]] findet als Optimalitätsbedingung den Tangentialpunkt der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurve]] und der [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgeraden]]. In der Grafik unten wird das damit einhergehende Problem deutlich: Der Tangentialpunkt kann auch im negativen Bereich von einer der beiden Variablen sein. Dies liegt beispielweise an der Steigung der Budgetgeraden oder dem Verlauf der Indifferenzkurve. Im Falle der [[Maximieren|Nutzenmaximierung]] würde dies den Konsum einer negativen Menge bedeuten, was äußerst unrealistisch ist. Im grafischen Beispiel wäre das Ergebnis des Lagrange Verfahrens, dass der Konsument eine negative Menge von <math> x_1 </math> konsumieren sollte. Da dies nicht möglich ist, wäre es nutzenmaximal einen möglichen Punkt (<math> x_1 \geq 0 </math> und <math> x_2\geq 0 </math>) zu konsumieren, der auf einer möglichst hohen Indifferenzkurve liegt. In dem grafischen Fall liegt der Punkt aufgrund der [[Axiome der Nutzentheorie| Annahmen über die Präferenzen]] auf der Budgetgeraden. Die höchste Indifferenzkurve die erreicht wird führt zu einem Konsumniveau von <math> x_1=0</math> (zweite Abbildung). Dies ist eine Randlösung. Das KKT Verfahren findet den Punkt sofort, ohne dass die Lösung vom Lagrange Verfahren händisch korrigiert werden muss. 
[[Datei:KKT1.png|500px|rahmenlos]]
[[Datei:KKT2.png|500px|rahmenlos]]

==Nebenbedingungen==
Das KKT Verfahren betrachtet mehrere Nebenbedingungen, um eine Lösung für das Maximierungsproblem zu finden. Diese sind häufig die Budgetbedingung und die Nichtnegativitätsbedingung. Die Budgetbedingung ist identisch zum Lagrange Verfahren. Ein Konsument kann sein komplettes Budget oder weniger ausgaben. Neu sind die anderen Nichtnegativitätsbedingung, die im folgenden Beispiel sicherstellen, dass die konsumierten Mengen positiv sind: 
<math> p_1x_1+p_2x_2 \leq E </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> E-p_1x_1-p_2x_2 \geq 0 </math> 
<math> x_1 \geq 0 </math> 
<math> x_2 \geq 0 </math> 
Die Nebenbedingungen werden jeweils mit einem Lagrangemultiplikator zu der Zielfunktion addiert: 
<math> \mathcal{L} =U(x_1,x_2)+\lambda_1(E-p_1x_1-p_2x_2)+\lambda_2 x_1+\lambda_3x_2 </math>

==Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen==
Das KKT Verfahren nutzt mehrere Bedingungen, um die Lösung für das Problem zu finden: 
FOC für alle Variablen, von denen die Zielfunktion abhängt: 
<math> (i) \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1}\stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> (ii) \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2}\stackrel{!}{=}0 </math> 

Die Ungleichungen selbst mit der Nichtnegativitätsbedingung der Lagrangemultiplikatoren: 
<math> (iii) \quad E-p_1x_1-p_2x_2 \geq 0 </math>; <math> \lambda_1 \geq 0</math> 
<math> (iv) \quad x_1 \geq 0 </math>; <math> \lambda_2 \geq 0</math> 
<math> (v) \quad x_2 \geq 0 </math>; <math> \lambda_3 \geq 0</math> 

Die Komplementaritätsbedingungen 
<math> (vi) \quad \lambda_1(E-p_1x_1-p_2x_2)=0 </math> 
<math> (vii) \quad \lambda_2 x_1=0 </math> 
<math> (viii) \quad \lambda_3 x_2=0 </math> 

Die Lagrangemultiplikatoren müssen im Optimum schwach positiv, also null oder größer als null, sein. Durch die Komplementaritätsbedingungen wird deutlich, dass die Nebenbedingung größer gleich null ist, wenn der Lagrangemultiplikator null ist und gleich null, wenn der Multiplikator größer als null ist. Ist die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt (gleich null), ist sie "bindend", wenn sie mit strikter Ungleichheit erfüllt ist, ist sie "nicht-bindend". Im grafischen Beispiel von oben ist die Nebenbedingung <math> x_1 </math> mit Gleichheit erfüllt und der Multiplikator <math> \lambda_2 </math> größer als null. Nur wenn der Tangentialpunkt auch gleichzeitig die Randlösung ist, sind sowohl der Lagrangemultiplikator, als auch die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt. In allen anderen Fällen ist der Multiplikator beispielweise größer null und die Nebenbedingung gleich null. Dies gilt natürlich auch andersherum. Ist die Nebenbedingung größer als null, ist der Multiplikator gleich null. 
Als Beispiel soll <math> (vii) \quad \lambda_2 x_1=0 </math> gelten. Wenn <math> x_1>0 </math> gilt, muss der Multiplikator <math> \lambda_2 </math> gleich null sein. Die gleiche Logik gilt auch für die Gleichung <math> (viii) </math>. Soll das Problem auf eine innere Lösung untersucht werden, so muss in dem vorliegenden Fall <math> \lambda_2=0 </math> und <math> \lambda_3=0 </math> gelten, da <math> \lambda_2 </math> und <math> \lambda_3 </math> nur beide gleichzeitig größer als 0 sein können, wenn von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> jeweils nichts konsumiert würde. 
Um die jeweiligen Randlösungen zu untersuchen müssen die Multiplikatoren <math> \lambda_2 </math> und <math> \lambda_3 </math> jweils getrennt voneinander gleich null gesetzt werden. Es gilt zu beachten, dass diese Logik so nur für das grafische Beispiel gilt. Es gibt durchaus auch andere Beispiele, bei denen Möglichkeiten nicht von vornherein ausgeschlossen werden können. Bei einer anderen Zielfunktion und anderen Nebenbedingungen kann zum Beispiel, nicht direkt gesagt werden, dass <math> \lambda_1>0 </math> gelten und die Budgetungleichung damit mit Gleichheit erfüllt sein muss. 
 

Zur Lösung des Problems werden die KKT Bedingungen herangezogen und die verschiedenen Fälle werden untersucht. Jeder der Lagrangemultiplikatoren kann entweder gleich null oder größer als null sein. Bei drei Lagrangemultiplikatoren würde das <math> 2^3 </math> Fälle bedeuten.

==Beispiel==
Es soll die Funktion <math> U(x_1,x_2)=x^2+xy+4y </math> auf Maxima untersucht werden. Hierbei sollen <math> x+y \leq 2 </math>, <math> x \geq 0 </math> und <math> y \geq 0 </math> erfüllt sein. Es ergibt sich folgende Funktion: 
<math>
\mathcal{L}= x^2+xy+4y +\lambda_1(2-x-y)+\lambda_2x+\lambda_3y </math> 
Aufgrund der Übersichtlickeit kann das Beispiel hier [https://www.dropbox.com/scl/fi/fp55nhye6j1jff331c9nv/KKT.pdf?rlkey=jen6szl2sxg4ezl6hawylenye&dl=0] als pdf Dokument eingesehen werden.

==MC Fragen==
Für die folgenden Aufgaben sei immer folgende Lagrangefunktion gegeben: 
<math> \mathcal{L}(x,y\lambda)=x+ln(y)+\lambda(E-x-y)+\alpha x+\beta y </math>
<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Was muss gelten, damit die Lösung des Maximierungsproblems eine Randlösung ist?
|type="()"}
- a) Die Steigung der Budgetgeraden muss strikt kleiner als die GRS für <math> x,y \geq0 </math> sein.
- b) Die Steigung der Budgetgeraden muss strikt größer als die GRS für <math> x,y \geq0 </math> sein.
- c) Die Steigung der Budgetgeraden muss gleich die der GRS für <math> x,y \geq0 </math> sein.
+ d) Antwortmöglichkeiten a) und b) sind beide korrekt
- e) Antwortmöglichkeiten a) und c) sind korrekt
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Werte muss <math> \beta </math> annehmen, damit alle KKT Bedingungen erfüllt sind?
|type="()"}
+ <math> \beta =0 </math>
- <math> \beta < 0 </math>
- <math> \beta > 0 </math>
- <math> \beta </math> kann alle Werte annehmen
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welcher der folgenden Bedingungen sorgt dafür, dass die Lösung eine innere Lösung ist?
|type="()"}
+ <math> \alpha x=0 </math>
- <math> \beta y=0 </math>
- <math> \lambda(E-x-y)=0 </math>
- Es gibt keine Innere Lösung
</quiz>

Erwartungswert und Varianz

2024-10-04T14:21:13Z

Okehne: /* Varianz */

Statistische Maßzahlen wie der Erwartungswert und die Varianz haben auch in der Mikroökonomie eine nicht unwichtige Bedeutung. Sie spielen zum Beispiel bei Entscheidungen unter Risiko eine Rolle.

__TOC__

==Erwartungswert (Durchschnitt/Mittelwert)==
Der Erwartungswert ist eine Maßzahl und beschreibt welche Beobachtung im Durchschnitt auftritt. Es gilt hierbei zwischen dem Mittelwert einer Beobachtung und dem Durchschnitt der "Population" zu unterscheiden. Um den Unterschied zu verdeutlichen sollen Münzwürfe dienen. Es ist möglich den Mittelwert von beispielsweise 10 Münzwürfen auszurechnen. Dann lautet die Berechnung des realisierten Mittelwertes: μ<math>= 1/10(x_1 + x_2 + \ldots + x_{10}) </math>. <math> x_1 </math> ist hier die Ausprägung des ersten Münzwurfs (Kopf oder Zahl). Der Durchschnitt der "Bevölkerung" lässt sich simulieren, in dem die Anzahl der Münzwürfe immer weiter vergrößert wird und letztlich gegen unendlich strebt. An dieser Stelle spielen Wahrscheinlichkeiten eine Rolle. In unserem Beispiel soll von einer fairen Münze ausgegangen werden, sodass beide Seiten gleich wahrscheinlich sind. Wird dementsprechend eine Münze geworfen fällt mit Wahrscheinlichkeit 0,5 Kopf und mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 Zahl. Wenn 10 Mal Münzen geworfen werden, so kann erwartet werden, dass bei 5 der Würfen Kopf und bei 5 der Würfen Zahl fällt. Ein weiteres Beispiel ist ein fairer Würfel, bei dem jede Seite mit der Wahrscheinlichkeit 1/6 fällt. Für den Erwartungswert eines Wurfes lässt sich die Augenzahl mit der Wahrscheinlichkeit multiplizieren: <math> E[X]=1/6*1+1/6*2+...1/6*6 </math>, wobei <math> X </math> die Augenzahl ist. Für einen allgemeinen Fall lässt sich die Formel wie folgt beschreiben: 
<math> E[X]=\sum_{i=1}^{n}x_i \cdot p_i </math>
<math> p_i </math> ist die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Ausprägung, <math> x_i </math> ist die Ausprägung selbst und <math> n </math> ist die Anzahl der möglichen Ausprägungen. Beispiel Augenzahl 2: <math> x_2=2 </math>, <math> p_2=1/6 </math> und <math> n=6 </math> 
''Beispiel:'' In einem Casino werden zwei Münzen geworfen. Beide Münzen sind identisch und auf einer Seite steht jeweils "1" und auf der anderen Seite "2". Besucher des Casinos können auf die Summer der Münzseiten wetten, die nach oben zeigen. Um eine bessere Wette platzieren zu können, berechnet Max den Erwartungswert aus. Die Summe der Münzen beträgt 2, wenn beide Münzen die 1 aufweisen. Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt <math> 1/2 \cdot 1/2=1/4 </math>. Analog verhält es sich für die Summe 4. Die Summe drei liegt, wenn einer der Münzen eine 1 und die andere eine 2 aufweist. Es gibt also zwei Events, bei der die Summe 3 eintritt. Beide Events treten mit der Wahrscheinlichkeit <math> 1/4 </math> auf. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit für 3 als Summe <math> 1/4+1/4=1/2 </math>. Die erwartete Summe baträgt somit <math> 1/4 \cdot 2+1/2 \cdot 3 + 1/4 \cdot 4=3 </math> 
In der Mikroökonomie wird vor allem der Durchschnitt der Population betrachtet. Im Fall der Entscheidung unter [[Risiko und Risikoeinstellung|Risiko]], werden Wahrscheinlichkeiten zur Berechnung eines Erwartungswertes herangezogen.

==Varianz==
Die Varianz (auch "Mittlere quadratische Streuung") ist eine Maßzahl die angibt, wie sehr Beobachtungen um den Mittelwert streuen. Um zu erklären was damit gemeint ist sollen die folgenden Grafiken als Beispiel dienen. Sowohl im roten, als auch im grünen Fall werden 150 Ausprägungen beobachtet. In beiden ist der Mittelwert die 4, was sich daran erkennen lässt, das der Balken bei 4 in beiden Balkendiagrammen am höchsten ist und die Werte alle nahe an der 4 liegen. Dies lässt sich jedoch auch an den Grafiken mit den Punkten erkenne: Die 4 scheint am nächsten an allen Punkten dran zu sein. Dennoch ist auch erkennbar, dass die Punkte im grünen Fall deutlich näher an der 4 liegen, als im roten Fall, bei dem die Punkte deutlich gestreuter erscheinen. Eben diese Streuung lässt sich in der Varianz berechnen. Hierfür wird über die Differenz zwischen dem Mittelwert und der einzelnen Ausprägung aufsummiert, nachdem sie quadriert wurde. Um die Varianz als Maßzahl besser mit anderen Varianzen zu vergleichen, werden die Summen durch die Anzahl der Beobachtungen geteilt. 
<math> d^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 </math>, wobei <math> \bar{x} </math> der Mittelwert ist
[[Datei:Verteilung1.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Verteilung2.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Dichte.png|500px|rahmenlos]] 
In dem grafischen Beispiel wird ersichtlich, dass die Werte alle nahe an der vier liegen und die vier auch am wahrscheinlichsten ist. Es kann aber auch unter anderem Fälle geben, bei denen alle Ausprägungen gleich wahrscheinlich sind, bei einer Verteilung jedoch weitaus extremere Beobachtungen auftreten. Auch hier kann der Erwartungswert in beiden Verteilungen identisch und die Varianz unterschiedlich sein. 
Angenommen die Dichtefunktionen sind die Wahrscheinlichkeiten von jeweils einer Lotterie. Wenn ein Konsument dazu aufgefordert wird für beide Lotterien eine Zahl zu nennen und abhängig von dem Ergebnis erhält er eine Auszahlung, dann sollte er in beiden Fällen die 4 auswählen. Wird er zusätzlich aufgefordert zwischen einer der beiden Lotterien zu wählen, dann sollte er die grüne Lotterie wählen, da dort die 4 wahrscheinlicher, bzw. die Varianz kleiner ist.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Wenn zwei Lotterien einen identischen Erwartungswert haben, sind die beiden Lotterien auch gleich risikoreich.
|type="()"}
- Wahr
+ Falsch
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Werden zu einer Auswertung immer mehr Beobachtungen hinzugefügt, so steigt der Erwartungswert immer an.
|type="()"}
- Wahr
+ Falsch
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Spieler wirft zwei Würfel, wie lautet die Wahrscheinlicheit, dass die Summe aus beiden Augenziffern 2 beträgt?
|type="()"}
+ <math> \frac{1}{36} </math>
- <math> \frac{2}{6} </math>
- <math> \frac{1}{6} </math>
- <math> \frac{2}{36} </math>
</quiz>

Erwartungswert und Varianz

2024-10-04T14:20:37Z

Okehne: /* Erwartungswert (Durchschnitt/Mittelwert) */

Statistische Maßzahlen wie der Erwartungswert und die Varianz haben auch in der Mikroökonomie eine nicht unwichtige Bedeutung. Sie spielen zum Beispiel bei Entscheidungen unter Risiko eine Rolle.

__TOC__

==Erwartungswert (Durchschnitt/Mittelwert)==
Der Erwartungswert ist eine Maßzahl und beschreibt welche Beobachtung im Durchschnitt auftritt. Es gilt hierbei zwischen dem Mittelwert einer Beobachtung und dem Durchschnitt der "Population" zu unterscheiden. Um den Unterschied zu verdeutlichen sollen Münzwürfe dienen. Es ist möglich den Mittelwert von beispielsweise 10 Münzwürfen auszurechnen. Dann lautet die Berechnung des realisierten Mittelwertes: μ<math>= 1/10(x_1 + x_2 + \ldots + x_{10}) </math>. <math> x_1 </math> ist hier die Ausprägung des ersten Münzwurfs (Kopf oder Zahl). Der Durchschnitt der "Bevölkerung" lässt sich simulieren, in dem die Anzahl der Münzwürfe immer weiter vergrößert wird und letztlich gegen unendlich strebt. An dieser Stelle spielen Wahrscheinlichkeiten eine Rolle. In unserem Beispiel soll von einer fairen Münze ausgegangen werden, sodass beide Seiten gleich wahrscheinlich sind. Wird dementsprechend eine Münze geworfen fällt mit Wahrscheinlichkeit 0,5 Kopf und mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 Zahl. Wenn 10 Mal Münzen geworfen werden, so kann erwartet werden, dass bei 5 der Würfen Kopf und bei 5 der Würfen Zahl fällt. Ein weiteres Beispiel ist ein fairer Würfel, bei dem jede Seite mit der Wahrscheinlichkeit 1/6 fällt. Für den Erwartungswert eines Wurfes lässt sich die Augenzahl mit der Wahrscheinlichkeit multiplizieren: <math> E[X]=1/6*1+1/6*2+...1/6*6 </math>, wobei <math> X </math> die Augenzahl ist. Für einen allgemeinen Fall lässt sich die Formel wie folgt beschreiben: 
<math> E[X]=\sum_{i=1}^{n}x_i \cdot p_i </math>
<math> p_i </math> ist die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Ausprägung, <math> x_i </math> ist die Ausprägung selbst und <math> n </math> ist die Anzahl der möglichen Ausprägungen. Beispiel Augenzahl 2: <math> x_2=2 </math>, <math> p_2=1/6 </math> und <math> n=6 </math> 
''Beispiel:'' In einem Casino werden zwei Münzen geworfen. Beide Münzen sind identisch und auf einer Seite steht jeweils "1" und auf der anderen Seite "2". Besucher des Casinos können auf die Summer der Münzseiten wetten, die nach oben zeigen. Um eine bessere Wette platzieren zu können, berechnet Max den Erwartungswert aus. Die Summe der Münzen beträgt 2, wenn beide Münzen die 1 aufweisen. Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt <math> 1/2 \cdot 1/2=1/4 </math>. Analog verhält es sich für die Summe 4. Die Summe drei liegt, wenn einer der Münzen eine 1 und die andere eine 2 aufweist. Es gibt also zwei Events, bei der die Summe 3 eintritt. Beide Events treten mit der Wahrscheinlichkeit <math> 1/4 </math> auf. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit für 3 als Summe <math> 1/4+1/4=1/2 </math>. Die erwartete Summe baträgt somit <math> 1/4 \cdot 2+1/2 \cdot 3 + 1/4 \cdot 4=3 </math> 
In der Mikroökonomie wird vor allem der Durchschnitt der Population betrachtet. Im Fall der Entscheidung unter [[Risiko und Risikoeinstellung|Risiko]], werden Wahrscheinlichkeiten zur Berechnung eines Erwartungswertes herangezogen.

==Varianz==
Die Varianz (auch "Mittlere quadratische Streuung") ist eine Maßzahl die angibt, wie häufig, wie sehr Beobachtungen um den Mittelwert streuen. Um zu erklären was damit gemeint ist sollen die folgenden Grafiken als Beispiel dienen. Sowohl im roten, als auch im grünen Fall werden 150 Ausprägungen beobachtet. In beiden ist der Mittelwert die 4, was sich daran erkennen lässt, das der Balken bei 4 in beiden Balkendiagrammen am höchsten ist und die Werte alle nahe an der 4 liegen. Dies lässt sich jedoch auch an den Grafiken mit den Punkten erkenne: Die 4 scheint am nächsten an allen Punkten dran zu sein. Dennoch ist auch erkennbar, dass die Punkte im grünen Fall deutlich näher an der 4 liegen, als im roten Fall, bei dem die Punkte deutlich gestreuter erscheinen. Eben diese Streuung lässt sich in der Varianz berechnen. Hierfür wird über die Differenz zwischen dem Mittelwert und der einzelnen Ausprägung aufsummiert, nachdem sie quadriert wurde. Um die Varianz als Maßzahl besser mit anderen Varianzen zu vergleichen, werden die Summen durch die Anzahl der Beobachtungen geteilt. 
<math> d^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 </math>, wobei <math> \bar{x} </math> der Mittelwert ist
[[Datei:Verteilung1.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Verteilung2.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Dichte.png|500px|rahmenlos]] 
In dem grafischen Beispiel wird ersichtlich, dass die Werte alle nahe an der vier liegen und die vier auch am wahrscheinlichsten ist. Es kann aber auch unter anderem Fälle geben, bei denen alle Ausprägungen gleich wahrscheinlich sind, bei einer Verteilung jedoch weitaus extremere Beobachtungen auftreten. Auch hier kann der Erwartungswert in beiden Verteilungen identisch und die Varianz unterschiedlich sein. 
Angenommen die Dichtefunktionen sind die Wahrscheinlichkeiten von jeweils einer Lotterie. Wenn ein Konsument dazu aufgefordert wird für beide Lotterien eine Zahl zu nennen und abhängig von dem Ergebnis erhält er eine Auszahlung, dann sollte er in beiden Fällen die 4 auswählen. Wird er zusätzlich aufgefordert zwischen einer der beiden Lotterien zu wählen, dann sollte er die grüne Lotterie wählen, da dort die 4 wahrscheinlicher, bzw. die Varianz kleiner ist.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Wenn zwei Lotterien einen identischen Erwartungswert haben, sind die beiden Lotterien auch gleich risikoreich.
|type="()"}
- Wahr
+ Falsch
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Werden zu einer Auswertung immer mehr Beobachtungen hinzugefügt, so steigt der Erwartungswert immer an.
|type="()"}
- Wahr
+ Falsch
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Spieler wirft zwei Würfel, wie lautet die Wahrscheinlicheit, dass die Summe aus beiden Augenziffern 2 beträgt?
|type="()"}
+ <math> \frac{1}{36} </math>
- <math> \frac{2}{6} </math>
- <math> \frac{1}{6} </math>
- <math> \frac{2}{36} </math>
</quiz>

Erwartungswert und Varianz

2024-10-04T13:30:26Z

Okehne: /* MC Fragen */

Statistische Maßzahlen wie der Erwartungswert und die Varianz haben auch in der Mikroökonomie eine nicht unwichtige Bedeutung. Sie spielen zum Beispiel bei Entscheidungen unter Risiko eine Rolle.

__TOC__

==Erwartungswert (Durchschnitt/Mittelwert)==
Der Erwartungswert ist eine Maßzahl und beschreibt welche Beobachtung im Durchschnitt auftritt. Hierbei ist von wesentlicher Bedeutung, wie viele Beobachtungen möglich sind und wie wahrscheinlich sie sind. Wird Beispielsweise eine Münze geworfen, so lässt sich entweder Kopf oder Zahl beobachten. Der Münzwurf hat somit zwei Ausprägungen. Die Wahrscheinlichkeit für "Kopf" ist genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit für "Zahl" und beträgt jeweils 0,5. Bei einem Würfel gibt es in der Regel 6 Seiten, die von 1 bis 6 durchnummeriert sind. Es lassen sich also bis zu 6 verschiedene Fälle beobachten, wenn ein Würfel geworfen wird. 
Der Erwartungswert betrachtet in allen Fällen, welche der n Ausprägungen im Durchschnitt auftritt. Bei einer Münze beträgt <math> n=2 </math>. Wird die Münze einmal geworfen, so fällt mit Wahrscheinlichkeit 0,5 "Kopf" (<math> 0 </math>) und mit Wahrscheinlichkeit 0,5 "Zahl" (<math> 1 </math>). In 50 % der Fällen fällt <math> 0 </math> und in 50 % der Fällen <math> 1 </math>. Im Durschnitt fällt demnach <math> 0,5 \cdot 0 + 0,5 \cdot 1= 0,5 </math>. 
Auf einen allgemeinen Fall lässt sich folgende Formel anwenden: 
<math> E[X]=\sum_{i=1}^{n}x_i \cdot p_i </math> 
Die Ausprägung <math> x_1 </math> tritt mit Wahrscheinlichkeit <math> p_1 </math> auf, <math> x_2 </math> mit <math> p_2 </math> usw.

==Varianz==
Die Varianz (auch "Mittlere quadratische Streuung") ist eine Maßzahl die angibt, wie häufig, wie sehr Beobachtungen um den Mittelwert streuen. Um zu erklären was damit gemeint ist sollen die folgenden Grafiken als Beispiel dienen. Sowohl im roten, als auch im grünen Fall werden 150 Ausprägungen beobachtet. In beiden ist der Mittelwert die 4, was sich daran erkennen lässt, das der Balken bei 4 in beiden Balkendiagrammen am höchsten ist und die Werte alle nahe an der 4 liegen. Dies lässt sich jedoch auch an den Grafiken mit den Punkten erkenne: Die 4 scheint am nächsten an allen Punkten dran zu sein. Dennoch ist auch erkennbar, dass die Punkte im grünen Fall deutlich näher an der 4 liegen, als im roten Fall, bei dem die Punkte deutlich gestreuter erscheinen. Eben diese Streuung lässt sich in der Varianz berechnen. Hierfür wird über die Differenz zwischen dem Mittelwert und der einzelnen Ausprägung aufsummiert, nachdem sie quadriert wurde. Um die Varianz als Maßzahl besser mit anderen Varianzen zu vergleichen, werden die Summen durch die Anzahl der Beobachtungen geteilt. 
<math> d^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 </math>, wobei <math> \bar{x} </math> der Mittelwert ist
[[Datei:Verteilung1.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Verteilung2.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Dichte.png|500px|rahmenlos]] 
In dem grafischen Beispiel wird ersichtlich, dass die Werte alle nahe an der vier liegen und die vier auch am wahrscheinlichsten ist. Es kann aber auch unter anderem Fälle geben, bei denen alle Ausprägungen gleich wahrscheinlich sind, bei einer Verteilung jedoch weitaus extremere Beobachtungen auftreten. Auch hier kann der Erwartungswert in beiden Verteilungen identisch und die Varianz unterschiedlich sein. 
Angenommen die Dichtefunktionen sind die Wahrscheinlichkeiten von jeweils einer Lotterie. Wenn ein Konsument dazu aufgefordert wird für beide Lotterien eine Zahl zu nennen und abhängig von dem Ergebnis erhält er eine Auszahlung, dann sollte er in beiden Fällen die 4 auswählen. Wird er zusätzlich aufgefordert zwischen einer der beiden Lotterien zu wählen, dann sollte er die grüne Lotterie wählen, da dort die 4 wahrscheinlicher, bzw. die Varianz kleiner ist.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Wenn zwei Lotterien einen identischen Erwartungswert haben, sind die beiden Lotterien auch gleich risikoreich.
|type="()"}
- Wahr
+ Falsch
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Werden zu einer Auswertung immer mehr Beobachtungen hinzugefügt, so steigt der Erwartungswert immer an.
|type="()"}
- Wahr
+ Falsch
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Spieler wirft zwei Würfel, wie lautet die Wahrscheinlicheit, dass die Summe aus beiden Augenziffern 2 beträgt?
|type="()"}
+ <math> \frac{1}{36} </math>
- <math> \frac{2}{6} </math>
- <math> \frac{1}{6} </math>
- <math> \frac{2}{36} </math>
</quiz>

Erwartungswert und Varianz

2024-10-04T13:29:34Z

Okehne: /* Erwartungswert (Durchschnitt/Mittelwert) */

Statistische Maßzahlen wie der Erwartungswert und die Varianz haben auch in der Mikroökonomie eine nicht unwichtige Bedeutung. Sie spielen zum Beispiel bei Entscheidungen unter Risiko eine Rolle.

__TOC__

==Erwartungswert (Durchschnitt/Mittelwert)==
Der Erwartungswert ist eine Maßzahl und beschreibt welche Beobachtung im Durchschnitt auftritt. Hierbei ist von wesentlicher Bedeutung, wie viele Beobachtungen möglich sind und wie wahrscheinlich sie sind. Wird Beispielsweise eine Münze geworfen, so lässt sich entweder Kopf oder Zahl beobachten. Der Münzwurf hat somit zwei Ausprägungen. Die Wahrscheinlichkeit für "Kopf" ist genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit für "Zahl" und beträgt jeweils 0,5. Bei einem Würfel gibt es in der Regel 6 Seiten, die von 1 bis 6 durchnummeriert sind. Es lassen sich also bis zu 6 verschiedene Fälle beobachten, wenn ein Würfel geworfen wird. 
Der Erwartungswert betrachtet in allen Fällen, welche der n Ausprägungen im Durchschnitt auftritt. Bei einer Münze beträgt <math> n=2 </math>. Wird die Münze einmal geworfen, so fällt mit Wahrscheinlichkeit 0,5 "Kopf" (<math> 0 </math>) und mit Wahrscheinlichkeit 0,5 "Zahl" (<math> 1 </math>). In 50 % der Fällen fällt <math> 0 </math> und in 50 % der Fällen <math> 1 </math>. Im Durschnitt fällt demnach <math> 0,5 \cdot 0 + 0,5 \cdot 1= 0,5 </math>. 
Auf einen allgemeinen Fall lässt sich folgende Formel anwenden: 
<math> E[X]=\sum_{i=1}^{n}x_i \cdot p_i </math> 
Die Ausprägung <math> x_1 </math> tritt mit Wahrscheinlichkeit <math> p_1 </math> auf, <math> x_2 </math> mit <math> p_2 </math> usw.

==Varianz==
Die Varianz (auch "Mittlere quadratische Streuung") ist eine Maßzahl die angibt, wie häufig, wie sehr Beobachtungen um den Mittelwert streuen. Um zu erklären was damit gemeint ist sollen die folgenden Grafiken als Beispiel dienen. Sowohl im roten, als auch im grünen Fall werden 150 Ausprägungen beobachtet. In beiden ist der Mittelwert die 4, was sich daran erkennen lässt, das der Balken bei 4 in beiden Balkendiagrammen am höchsten ist und die Werte alle nahe an der 4 liegen. Dies lässt sich jedoch auch an den Grafiken mit den Punkten erkenne: Die 4 scheint am nächsten an allen Punkten dran zu sein. Dennoch ist auch erkennbar, dass die Punkte im grünen Fall deutlich näher an der 4 liegen, als im roten Fall, bei dem die Punkte deutlich gestreuter erscheinen. Eben diese Streuung lässt sich in der Varianz berechnen. Hierfür wird über die Differenz zwischen dem Mittelwert und der einzelnen Ausprägung aufsummiert, nachdem sie quadriert wurde. Um die Varianz als Maßzahl besser mit anderen Varianzen zu vergleichen, werden die Summen durch die Anzahl der Beobachtungen geteilt. 
<math> d^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 </math>, wobei <math> \bar{x} </math> der Mittelwert ist
[[Datei:Verteilung1.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Verteilung2.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Dichte.png|500px|rahmenlos]] 
In dem grafischen Beispiel wird ersichtlich, dass die Werte alle nahe an der vier liegen und die vier auch am wahrscheinlichsten ist. Es kann aber auch unter anderem Fälle geben, bei denen alle Ausprägungen gleich wahrscheinlich sind, bei einer Verteilung jedoch weitaus extremere Beobachtungen auftreten. Auch hier kann der Erwartungswert in beiden Verteilungen identisch und die Varianz unterschiedlich sein. 
Angenommen die Dichtefunktionen sind die Wahrscheinlichkeiten von jeweils einer Lotterie. Wenn ein Konsument dazu aufgefordert wird für beide Lotterien eine Zahl zu nennen und abhängig von dem Ergebnis erhält er eine Auszahlung, dann sollte er in beiden Fällen die 4 auswählen. Wird er zusätzlich aufgefordert zwischen einer der beiden Lotterien zu wählen, dann sollte er die grüne Lotterie wählen, da dort die 4 wahrscheinlicher, bzw. die Varianz kleiner ist.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Wenn zwei Lotterien einen identischen Erwartungswert haben, sind die beiden Lotterien auch gleich risikoreich.
|type="()"}
- Wahr
+ Falsch
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Werden zu einer Auswertung immer mehr Beobachtungen hinzugefügt, so steigt die immer an.
|type="()"}
- Wahr
+ Falsch
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Spieler wirft zwei Würfel, wie lautet die Wahrscheinlicheit, dass die Summe aus beiden Augenziffern 2 beträgt?
|type="()"}
+ <math> \frac{1}{36} </math>
- <math> \frac{2}{6} </math>
- <math> \frac{1}{6} </math>
- <math> \frac{2}{36} </math>
</quiz>

Moral Hazard und Anreize

2024-10-02T15:58:49Z

Okehne: /* Theorie optimaler Verträge */

==Definition==
Moral Hazard beschreibt eine Inforamtionsasymmetrie nach Vertragsabschluss und stellt eine Art des [[Zusammenfassung Marktversagen|Marktversagens]] dar. Sie entsteht, da das Verhalten nach Vertragsabschluss nicht beobachtbar ist. Dies wird als ''hidden action'' bezeichnet und kann dazu führen, dass sich die Verhaltensmuster nach Vertragsabschluss verändern. Die Partei, die einen oder mehreren Agenten beauftragt, ein Ziel zu verfolgen, wird Prinzipal genannt. Die Partei, die von einem Prinzipal beauftragt wird, dessen Ziele zu verfolgen, wird Agent genannt.

__TOC__

==Moral Hazard==
Moral Hazard beschreibt die Inforamtionsasymmetrie nach Vertragsabschluss. Unter der Annahme, dass vor Abschluss des Vertrages beide Seiten dieselben Informationen haben, ändert sich diese Prämisse häufig nach Vertragsabschluss. 
''Beispiel'': Ein Autofahrer ist sehr vorsichtig und ein Versicherer kann dieses Verhalten perfekt beobachten. Entsprechend seiner Unfallwahrscheinlichkeit bietet der Versicherer dem Autofahrer eine Autoversicherung an. Der Autofahrer schließt die Versicherung ab und zahlt monatlich eine Versicherungsprämie, die zuvor vertraglich festgehalten wurde. Da der Autofahrer eine Versicherung hat, trägt er ein geringeres Risiko als ohne Versicherung. Im Falle eines Unfalls zahlt die Versicherung den Schaden. Der Autofahrer hat durch die Versicherung keinen Grund mehr vorsichtig zu fahren, was sein Fahrverhalten verändert. Durch die Versicherung verändert sich das Verhalten des Autofahrers, der Versicherer würde die Versicherung so nicht nochmal anbieten und es kommt zu einem [[Zusammenfassung Marktversagen|Marktversagen]]. Der Versicherer ist der Prinzipal und der Autofahrer der Agent. 
''Ein weiteres Beispiel'': Auf dem Arbeitsmarkt werden Verträge nach Arbeitszeit geschlossen. Nach dem Abschluss des Vertrages bekommen Arbeitnehmer ihr Gehalt vom Arbeitgeber ungeachtet dessen, wie produktiv sie in der vorgegebenen Zeit arbeiten. Dies verleitet Arbeitnehmer dazu möglichst geringe Anstrengungskosten zu haben. Der Arbeitnehmer ist der Agent und der Arbeitgeber der Prinzipal. 
 
Andere Beispiele sind: 
-Mit '''gemieteten Wohnungen''' wird anders umgegangen als mit eigenen Wohnungen ("Don't be gentle it's a rental") 
-'''Finanzkrise''': Fehlanreize an Eigenkapitalgeber von Banken mit hohem Fremd- zu Eigenkapitalanteil (bei etlichen Banken 30:1) insbesondere bei staatlicher Absicherung des Fremdkapitals (Einlagensicherung); Anreiz zu hoher Risikowahl; Anreiz wird an Bankmanager weitergegeben. 
-'''Staatsschuldenkrise''': Bailout-Zusage für Staaten reduziert Sparanreize

==Theorie optimaler Verträge==
Optimal ausgestaltete Verträge sind der Versuch das veränderte Verhalten nach Vertragsabschluss zu verhindern. Ziel ist die Verträge derart auszugestalten, dass Anreize für Agenten entstehen die Verhaltensmuster für alle optimal anzupassen. Zur Erläuterung soll ein Beispiel aus dem Finanzwesen dienen: die Kreditrationierung, welche sowohl das Moral Hazard, als auch das [[Adverse Selektion und Signale|Adverse Selektion]]-Problem beinhaltet. 
 
'''Die Projekte''': 
In dem Beispiel stehen zwei Projekte zur Auswahl, die ein Unternehmer realisieren kann. Hierfür leiht er sich Geld von einer Bank in Höhe von I (I ist eine reelle Zahl). Beide Projekte (A und B) bringen mit einer jeweiligen Wahrscheinlichkeit einen unterschiedlichen Ertrag. Die Wahrscheinlichkeit, dass Projekt A erfolgreich ist wird <math> p_a </math> bezeichnet. Der Ertrag von Projekt A ist <math> X_a </math>, wobei X eine reelle Zahl ist (z.B. 10). Das gleiche gilt für Projekt B mit dem Index b. 
 
<math> \tilde{X}=\begin{cases}
X_a, & \text{mit Wahrscheinlichkeit } p_a; \\
0, & \text{mit Wahrscheinlichkeit } 1-p_a;
\end{cases}</math>

<math> \tilde{X}=\begin{cases}
X_b, & \text{mit Wahrscheinlichkeit } \, p_b; \\
0, & \text{mit Wahrscheinlichkeit } \, 1-p_b;
\end{cases}</math> 
 
Es soll gelten <math> X_b>X_a </math>. Der Ertrag des Projektes B soll größer sein als der von Unternehmen A. Außerdem soll <math> 1>p_a>p_b>0 </math> gelten. Projekt B hat also einen höheren Ertrag, der dafür aber unwahrscheinlicher als der von Projekt A ist. Insgesamt soll gelten <math> p_aX_a>p_bX_b>I </math>. Der erwartete Payoff von Projekt A ist größer als von Projekt B und beide sind größer als die Höhe des Kredits. Den Kredit muss der Unternehmer im Falle des Erfolgs samt Zinsen (<math> R=I(1+r)</math>) zurückzahlen. Stellt sich der Erfolg des Projektes nicht ein, kann er auch nichts zurückzahlen und der Gläubiger erhält kein Geld. 
Der Nutzen des Unternehmers sei daher beschrieben durch <math> U(R,i)=P_i(X_i-R) </math> 
: ''Beispiel: Projekt A hat eine Erfolgschance von 0,5 und bringt im Falle des Erfolgs einen Ertrag von 100. Der Kredit wurde in Höhe von 10 zu einem Zinssatz <math> r=10%</math> eingeräumt. <math> R </math> beträgt <math> R=10(1+0,1)=11 </math> Im Falle des Erfolgs muss der Unternehmer 11 zurückzahlen. Insgesamt bleibt ihm dementsprechend <math> X_a-R=100-11=89 </math>. Der Nutzen entspricht <math> U(R,p_a)=0,5(100-11)=44,5</math>'' 
Die Bank/der Gläubiger erhält im Erfolgsfall mit der Wahrscheinlichkeit <math> p_i</math> <math> R </math>, musste jedoch vorher I abgeben. Der erwartete Gewinn der Bank lautet <math> \pi(R,i)=p_i(R-I) </math> Die Summe I gibt die Bank auf jeden Fall ab, <math> R </math> erhält sie nur im Erfolgsfall. 
: ''Im Beispiel bietet das Projekt A einen erwarteten Gewinn der Bank von 0,5, der sich wie folgt berechnen lässt <math> \pi(R,i)=0,5*(11-10)=0,5</math>'' 
'''Der kritische Zinssatz''': 
Unter der Annahme der symmetrischen Informationen würde jedes Projekt entsprechend seinem Risiko einen spezifischen Zinssatz bekommen, sodass <math> R_a \neq R_b</math>. Liegen jedoch asymmetrische Informationen vor, kann die Bank nicht kontrollieren welcher Kredit für welches Projekt verwendet wird. Es hängt von der Größe von <math> R </math> ab, welches Projekt von dem Unternehmer präferiert wird. Ist <math> R </math> sehr klein, wird Projekt A bevorzugt, da dieser einen höheren Ertrag bietet und relativ niedrige Zinskosten entstehen. Ist <math> R </math> jedoch sehr groß, würde vom Ertrag von Projekt A immer weniger für den Unternehmer übrigbleiben. Daher steigt er bei einem kritischen Zinssatz <math> \hat{R} </math> auf Projekt B um, das zwar unwahrscheinlicher ist, jedoch einen höheren Ertrag liefert. 
Bei dem kritischen Zins <math> \hat{R} </math> ist der Unternehmer indifferent: 
<math> p_a(X_a-\hat{R})=p_b(X_b-\hat{R}) </math> 
<math> \hat{R}=\frac{p_aX_a-p_bX_b}{p_a-p_b} </math> 
Ist <math> R \leq \hat{R}</math> wird Projekt A gewählt und ist <math> R>\hat{R}</math> wird Projekt B gewählt. 
 
'''Die Gewinnfunktion der Bank''': 
Aus dem Ergebnis oben resultiert eine Gewinnfunktion für die Bank: 
 
<math> \pi^*(R)=\begin{cases}
P_aR-I, & \text{wenn } 0\leq R \leq \hat{R}; \\
P_bR-I, & \text{wenn } \hat{R} < R < X-b;
\end{cases}</math> 
 
Dies kann durch Umstellen auch grafisch dargestellt werden. Der Gewinn der Bank resultiert bis zu dem kritischen Zinssatz (Grenze in rot dargestellt) von den Zinserträgen bezahlt durch den Erfolg von Projekt A (in grün). Ab einem Zinssatz <math> \hat{R} </math> entscheidet sich der Unternehmer für Projekt B und der Gewinn wird durch die Gerade in lila beschrieben. Die Bank sollte einen Zinssatz <math> R=\hat{R} </math> (oder ganz leicht darunter) wählen, denn liegt der Zinssatz darüber ist der Gewinn geringer oder sogar negativ. Alle diejenige, die ein Kredit nachfragen, bekommen ihn nur noch zu <math> \hat{R} </math>, sodass der Payoff aller Kreditnachfrager <math> U(\hat{R},a)=p_a*(X_a-\hat{R})>0 </math> 
[[Datei:Kreditrationierung.png|420px|rahmenlos]] 
 
'''Die Rationierung''': 
Alle Kreditnehmer fragen einen Kredit zu den Konditionen <math> (I,\hat{R})</math> nach. Ist aber das Kreditangebot bei diesem Zinssatz geringer als die Nachfrage, kommt es zu einer nicht-preislichen Kreditrationierung. Die folgende Abbildung veranschaulicht die Situation, wobei <math> K_D </math> die Kreditnachfrage und <math> K_S </math> das Kreditangebot widerspiegeln: 
[[Datei:Kreditrationierung2.png|400px|rahmenlos]]

==MC Aufgaben==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Was ist '''kein''' Beispiel für Moral Hazard?
|type="()"}
+ Ein Student mit dem Spitznamen scaredy schließt eine Versicherung gegen alle möglichen Gründe ab, da er besonders ängstlich ist.
- Eine Autovermietung namens AmeriCar bietet eine Vollkasko mit 0€ Selbstbeteiligung, deshalb fahren die Mieterinnen und Mieter der Autos unvorsichtiger.
- Im Unternehmen Careless werden Manager direkt am Gewinn beteiligt und versuchen daher den Gewinn auf Kosten des zukünftigen Gewinns zu steigern
- Der Besitzer des Restaurants OnFire, der eine Feuerversicherung besitzt, zündet sein Restaurant an.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Eigenschaft zeichnet Moral Hazard '''nicht''' aus?
|type="()"}
+ Konsumenten und/oder Produzenten handeln irrational
- Es existiert eine Grundlage für einen erwerbsmäßigen Austausch
- Interessenkonflikt
- Nicht alles kann vertraglich festgehalten werden
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Langfristige Aktienoptionen für Führungskräfte in börsenorientierten Unternehmen:
|type="()"}
- 1) geben Managern mit geringem Privatvermögen die Möglichkeit einer größeren Beteiligung am Unternehmen.
- 2) bringen die Interessen von Managern und Aktionären in Einklang.
- 3) bilden einen Anreiz für Manager, sich nicht auf kurzfristige Erfolge zu konzentrieren
- Antworten 1 und 3 sind richtig
+ Antworten1, 2 und 3 sind richtig
</quiz>

Datei:Kreditrationierung.png

2024-10-02T15:57:57Z

Okehne: Okehne lud eine neue Version von Datei:Kreditrationierung.png hoch

Kreditrationierung

Moral Hazard und Anreize

2024-10-02T15:57:29Z

Okehne: /* Theorie optimaler Verträge */

==Definition==
Moral Hazard beschreibt eine Inforamtionsasymmetrie nach Vertragsabschluss und stellt eine Art des [[Zusammenfassung Marktversagen|Marktversagens]] dar. Sie entsteht, da das Verhalten nach Vertragsabschluss nicht beobachtbar ist. Dies wird als ''hidden action'' bezeichnet und kann dazu führen, dass sich die Verhaltensmuster nach Vertragsabschluss verändern. Die Partei, die einen oder mehreren Agenten beauftragt, ein Ziel zu verfolgen, wird Prinzipal genannt. Die Partei, die von einem Prinzipal beauftragt wird, dessen Ziele zu verfolgen, wird Agent genannt.

__TOC__

==Moral Hazard==
Moral Hazard beschreibt die Inforamtionsasymmetrie nach Vertragsabschluss. Unter der Annahme, dass vor Abschluss des Vertrages beide Seiten dieselben Informationen haben, ändert sich diese Prämisse häufig nach Vertragsabschluss. 
''Beispiel'': Ein Autofahrer ist sehr vorsichtig und ein Versicherer kann dieses Verhalten perfekt beobachten. Entsprechend seiner Unfallwahrscheinlichkeit bietet der Versicherer dem Autofahrer eine Autoversicherung an. Der Autofahrer schließt die Versicherung ab und zahlt monatlich eine Versicherungsprämie, die zuvor vertraglich festgehalten wurde. Da der Autofahrer eine Versicherung hat, trägt er ein geringeres Risiko als ohne Versicherung. Im Falle eines Unfalls zahlt die Versicherung den Schaden. Der Autofahrer hat durch die Versicherung keinen Grund mehr vorsichtig zu fahren, was sein Fahrverhalten verändert. Durch die Versicherung verändert sich das Verhalten des Autofahrers, der Versicherer würde die Versicherung so nicht nochmal anbieten und es kommt zu einem [[Zusammenfassung Marktversagen|Marktversagen]]. Der Versicherer ist der Prinzipal und der Autofahrer der Agent. 
''Ein weiteres Beispiel'': Auf dem Arbeitsmarkt werden Verträge nach Arbeitszeit geschlossen. Nach dem Abschluss des Vertrages bekommen Arbeitnehmer ihr Gehalt vom Arbeitgeber ungeachtet dessen, wie produktiv sie in der vorgegebenen Zeit arbeiten. Dies verleitet Arbeitnehmer dazu möglichst geringe Anstrengungskosten zu haben. Der Arbeitnehmer ist der Agent und der Arbeitgeber der Prinzipal. 
 
Andere Beispiele sind: 
-Mit '''gemieteten Wohnungen''' wird anders umgegangen als mit eigenen Wohnungen ("Don't be gentle it's a rental") 
-'''Finanzkrise''': Fehlanreize an Eigenkapitalgeber von Banken mit hohem Fremd- zu Eigenkapitalanteil (bei etlichen Banken 30:1) insbesondere bei staatlicher Absicherung des Fremdkapitals (Einlagensicherung); Anreiz zu hoher Risikowahl; Anreiz wird an Bankmanager weitergegeben. 
-'''Staatsschuldenkrise''': Bailout-Zusage für Staaten reduziert Sparanreize

==Theorie optimaler Verträge==
Optimal ausgestaltete Verträge sind der Versuch das veränderte Verhalten nach Vertragsabschluss zu verhindern. Ziel ist die Verträge derart auszugestalten, dass Anreize für Agenten entstehen die Verhaltensmuster für alle optimal anzupassen. Zur Erläuterung soll ein Beispiel aus dem Finanzwesen dienen: die Kreditrationierung, welche sowohl das Moral Hazard, als auch das [[Adverse Selektion und Signale|Adverse Selektion]]-Problem beinhaltet. 
 
'''Die Projekte''': 
In dem Beispiel stehen zwei Projekte zur Auswahl, die ein Unternehmer realisieren kann. Hierfür leiht er sich Geld von einer Bank in Höhe von I (I ist eine reelle Zahl). Beide Projekte (A und B) bringen mit einer jeweiligen Wahrscheinlichkeit einen unterschiedlichen Ertrag. Die Wahrscheinlichkeit, dass Projekt A erfolgreich ist wird <math> p_a </math> bezeichnet. Der Ertrag von Projekt A ist <math> X_a </math>, wobei X eine reelle Zahl ist (z.B. 10). Das gleiche gilt für Projekt B mit dem Index b. 
 
<math> \tilde{X}=\begin{cases}
X_a, & \text{mit Wahrscheinlichkeit } p_a; \\
0, & \text{mit Wahrscheinlichkeit } 1-p_a;
\end{cases}</math>

<math> \tilde{X}=\begin{cases}
X_b, & \text{mit Wahrscheinlichkeit } \, p_b; \\
0, & \text{mit Wahrscheinlichkeit } \, 1-p_b;
\end{cases}</math> 
 
Es soll gelten <math> X_b>X_a </math>. Der Ertrag des Projektes B soll größer sein als der von Unternehmen A. Außerdem soll <math> 1>p_a>p_b>0 </math> gelten. Projekt B hat also einen höheren Ertrag, der dafür aber unwahrscheinlicher als der von Projekt A ist. Insgesamt soll gelten <math> p_aX_a>p_bX_b>I </math>. Der erwartete Payoff von Projekt A ist größer als von Projekt B und beide sind größer als die Höhe des Kredits. Den Kredit muss der Unternehmer im Falle des Erfolgs samt Zinsen (<math> R=I(1+r)</math>) zurückzahlen. Stellt sich der Erfolg des Projektes nicht ein, kann er auch nichts zurückzahlen und der Gläubiger erhält kein Geld. 
Der Nutzen des Unternehmers sei daher beschrieben durch <math> U(R,i)=P_i(X_i-R) </math> 
: ''Beispiel: Projekt A hat eine Erfolgschance von 0,5 und bringt im Falle des Erfolgs einen Ertrag von 100. Der Kredit wurde in Höhe von 10 zu einem Zinssatz <math> r=10%</math> eingeräumt. <math> R </math> beträgt <math> R=10(1+0,1)=11 </math> Im Falle des Erfolgs muss der Unternehmer 11 zurückzahlen. Insgesamt bleibt ihm dementsprechend <math> X_a-R=100-11=89 </math>. Der Nutzen entspricht <math> U(R,p_a)=0,5(100-11)=44,5</math>'' 
Die Bank/der Gläubiger erhält im Erfolgsfall mit der Wahrscheinlichkeit <math> p_i</math> <math> R </math>, musste jedoch vorher I abgeben. Der erwartete Gewinn der Bank lautet <math> \pi(R,i)=p_i(R-I) </math> Die Summe I gibt die Bank auf jeden Fall ab, <math> R </math> erhält sie nur im Erfolgsfall. 
: ''Im Beispiel bietet das Projekt A einen erwarteten Gewinn der Bank von 0,5, der sich wie folgt berechnen lässt <math> \pi(R,i)=0,5*(11-10)=0,5</math>'' 
'''Der kritische Zinssatz''': 
Unter der Annahme der symmetrischen Informationen würde jedes Projekt entsprechend seinem Risiko einen spezifischen Zinssatz bekommen, sodass <math> R_a \neq R_b</math>. Liegen jedoch asymmetrische Informationen vor, kann die Bank nicht kontrollieren welcher Kredit für welches Projekt verwendet wird. Es hängt von der Größe von <math> R </math> ab, welches Projekt von dem Unternehmer präferiert wird. Ist <math> R </math> sehr klein, wird Projekt A bevorzugt, da dieser einen höheren Ertrag bietet und relativ niedrige Zinskosten entstehen. Ist <math> R </math> jedoch sehr groß, würde vom Ertrag von Projekt A immer weniger für den Unternehmer übrigbleiben. Daher steigt er bei einem kritischen Zinssatz <math> \hat{R} </math> auf Projekt B um, das zwar unwahrscheinlicher ist, jedoch einen höheren Ertrag liefert. 
Bei dem kritischen Zins <math> \hat{R} </math> ist der Unternehmer indifferent: 
<math> p_a(X_a-\hat{R})=p_b(X_b-\hat{R}) </math> 
<math> \hat{R}=\frac{p_aX_a-p_bX_b}{p_a-p_b} </math> 
Ist <math> R \leq \hat{R}</math> wird Projekt A gewählt und ist <math> R>\hat{R}</math> wird Projekt B gewählt. 
 
'''Die Gewinnfunktion der Bank''': 
Aus dem Ergebnis oben resultiert eine Gewinnfunktion für die Bank: 
 
<math> \pi^*(R)=\begin{cases}
P_aR-I, & \text{wenn } 0\leq R \leq \hat{R}; \\
P_bR-I, & \text{wenn } \hat{R} < R < X-b;
\end{cases}</math> 
 
Dies kann durch Umstellen auch grafisch dargestellt werden. Der Gewinn der Bank resultiert bis zu dem kritischen Zinssatz (Grenze in rot dargestellt) von den Zinserträgen bezahlt durch den Erfolg von Projekt A (in grün). Ab einem Zinssatz <math> \hat{R} </math> entscheidet sich der Unternehmer für Projekt B und der Gewinn wird durch die Gerade in lila beschrieben. Die Bank sollte einen Zinssatz <math> R=\hat{R} </math> (oder ganz leicht darunter) wählen, denn liegt der Zinssatz darüber ist der Gewinn geringer oder sogar negativ. Alle diejenige, die ein Kredit nachfragen, bekommen ihn nur noch zu <math> \hat{R} </math>, sodass der Payoff aller Kreditnachfrager <math> U(\hat{R},a)=p_a*(X_a-\hat{R})>0 </math> 
Datei:Kreditrationierung.png|401px|rahmenlos 
 
'''Die Rationierung''': 
Alle Kreditnehmer fragen einen Kredit zu den Konditionen <math> (I,\hat{R})</math> nach. Ist aber das Kreditangebot bei diesem Zinssatz geringer als die Nachfrage, kommt es zu einer nicht-preislichen Kreditrationierung. Die folgende Abbildung veranschaulicht die Situation, wobei <math> K_D </math> die Kreditnachfrage und <math> K_S </math> das Kreditangebot widerspiegeln: 
[[Datei:Kreditrationierung2.png|400px|rahmenlos]]

==MC Aufgaben==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Was ist '''kein''' Beispiel für Moral Hazard?
|type="()"}
+ Ein Student mit dem Spitznamen scaredy schließt eine Versicherung gegen alle möglichen Gründe ab, da er besonders ängstlich ist.
- Eine Autovermietung namens AmeriCar bietet eine Vollkasko mit 0€ Selbstbeteiligung, deshalb fahren die Mieterinnen und Mieter der Autos unvorsichtiger.
- Im Unternehmen Careless werden Manager direkt am Gewinn beteiligt und versuchen daher den Gewinn auf Kosten des zukünftigen Gewinns zu steigern
- Der Besitzer des Restaurants OnFire, der eine Feuerversicherung besitzt, zündet sein Restaurant an.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Eigenschaft zeichnet Moral Hazard '''nicht''' aus?
|type="()"}
+ Konsumenten und/oder Produzenten handeln irrational
- Es existiert eine Grundlage für einen erwerbsmäßigen Austausch
- Interessenkonflikt
- Nicht alles kann vertraglich festgehalten werden
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Langfristige Aktienoptionen für Führungskräfte in börsenorientierten Unternehmen:
|type="()"}
- 1) geben Managern mit geringem Privatvermögen die Möglichkeit einer größeren Beteiligung am Unternehmen.
- 2) bringen die Interessen von Managern und Aktionären in Einklang.
- 3) bilden einen Anreiz für Manager, sich nicht auf kurzfristige Erfolge zu konzentrieren
- Antworten 1 und 3 sind richtig
+ Antworten1, 2 und 3 sind richtig
</quiz>

Datei:Kreditrationierung.png

2024-10-02T15:55:14Z

Okehne: Okehne lud eine neue Version von Datei:Kreditrationierung.png hoch

Kreditrationierung

Moral Hazard und Anreize

2024-10-02T15:54:31Z

Okehne: /* Theorie optimaler Verträge */

==Definition==
Moral Hazard beschreibt eine Inforamtionsasymmetrie nach Vertragsabschluss und stellt eine Art des [[Zusammenfassung Marktversagen|Marktversagens]] dar. Sie entsteht, da das Verhalten nach Vertragsabschluss nicht beobachtbar ist. Dies wird als ''hidden action'' bezeichnet und kann dazu führen, dass sich die Verhaltensmuster nach Vertragsabschluss verändern. Die Partei, die einen oder mehreren Agenten beauftragt, ein Ziel zu verfolgen, wird Prinzipal genannt. Die Partei, die von einem Prinzipal beauftragt wird, dessen Ziele zu verfolgen, wird Agent genannt.

__TOC__

==Moral Hazard==
Moral Hazard beschreibt die Inforamtionsasymmetrie nach Vertragsabschluss. Unter der Annahme, dass vor Abschluss des Vertrages beide Seiten dieselben Informationen haben, ändert sich diese Prämisse häufig nach Vertragsabschluss. 
''Beispiel'': Ein Autofahrer ist sehr vorsichtig und ein Versicherer kann dieses Verhalten perfekt beobachten. Entsprechend seiner Unfallwahrscheinlichkeit bietet der Versicherer dem Autofahrer eine Autoversicherung an. Der Autofahrer schließt die Versicherung ab und zahlt monatlich eine Versicherungsprämie, die zuvor vertraglich festgehalten wurde. Da der Autofahrer eine Versicherung hat, trägt er ein geringeres Risiko als ohne Versicherung. Im Falle eines Unfalls zahlt die Versicherung den Schaden. Der Autofahrer hat durch die Versicherung keinen Grund mehr vorsichtig zu fahren, was sein Fahrverhalten verändert. Durch die Versicherung verändert sich das Verhalten des Autofahrers, der Versicherer würde die Versicherung so nicht nochmal anbieten und es kommt zu einem [[Zusammenfassung Marktversagen|Marktversagen]]. Der Versicherer ist der Prinzipal und der Autofahrer der Agent. 
''Ein weiteres Beispiel'': Auf dem Arbeitsmarkt werden Verträge nach Arbeitszeit geschlossen. Nach dem Abschluss des Vertrages bekommen Arbeitnehmer ihr Gehalt vom Arbeitgeber ungeachtet dessen, wie produktiv sie in der vorgegebenen Zeit arbeiten. Dies verleitet Arbeitnehmer dazu möglichst geringe Anstrengungskosten zu haben. Der Arbeitnehmer ist der Agent und der Arbeitgeber der Prinzipal. 
 
Andere Beispiele sind: 
-Mit '''gemieteten Wohnungen''' wird anders umgegangen als mit eigenen Wohnungen ("Don't be gentle it's a rental") 
-'''Finanzkrise''': Fehlanreize an Eigenkapitalgeber von Banken mit hohem Fremd- zu Eigenkapitalanteil (bei etlichen Banken 30:1) insbesondere bei staatlicher Absicherung des Fremdkapitals (Einlagensicherung); Anreiz zu hoher Risikowahl; Anreiz wird an Bankmanager weitergegeben. 
-'''Staatsschuldenkrise''': Bailout-Zusage für Staaten reduziert Sparanreize

==Theorie optimaler Verträge==
Optimal ausgestaltete Verträge sind der Versuch das veränderte Verhalten nach Vertragsabschluss zu verhindern. Ziel ist die Verträge derart auszugestalten, dass Anreize für Agenten entstehen die Verhaltensmuster für alle optimal anzupassen. Zur Erläuterung soll ein Beispiel aus dem Finanzwesen dienen: die Kreditrationierung, welche sowohl das Moral Hazard, als auch das [[Adverse Selektion und Signale|Adverse Selektion]]-Problem beinhaltet. 
 
'''Die Projekte''': 
In dem Beispiel stehen zwei Projekte zur Auswahl, die ein Unternehmer realisieren kann. Hierfür leiht er sich Geld von einer Bank in Höhe von I (I ist eine reelle Zahl). Beide Projekte (A und B) bringen mit einer jeweiligen Wahrscheinlichkeit einen unterschiedlichen Ertrag. Die Wahrscheinlichkeit, dass Projekt A erfolgreich ist wird <math> p_a </math> bezeichnet. Der Ertrag von Projekt A ist <math> X_a </math>, wobei X eine reelle Zahl ist (z.B. 10). Das gleiche gilt für Projekt B mit dem Index b. 
 
<math> \tilde{X}=\begin{cases}
X_a, & \text{mit Wahrscheinlichkeit } p_a; \\
0, & \text{mit Wahrscheinlichkeit } 1-p_a;
\end{cases}</math>

<math> \tilde{X}=\begin{cases}
X_b, & \text{mit Wahrscheinlichkeit } \, p_b; \\
0, & \text{mit Wahrscheinlichkeit } \, 1-p_b;
\end{cases}</math> 
 
Es soll gelten <math> X_b>X_a </math>. Der Ertrag des Projektes B soll größer sein als der von Unternehmen A. Außerdem soll <math> 1>p_a>p_b>0 </math> gelten. Projekt B hat also einen höheren Ertrag, der dafür aber unwahrscheinlicher als der von Projekt A ist. Insgesamt soll gelten <math> p_aX_a>p_bX_b>I </math>. Der erwartete Payoff von Projekt A ist größer als von Projekt B und beide sind größer als die Höhe des Kredits. Den Kredit muss der Unternehmer im Falle des Erfolgs samt Zinsen (<math> R=I(1+r)</math>) zurückzahlen. Stellt sich der Erfolg des Projektes nicht ein, kann er auch nichts zurückzahlen und der Gläubiger erhält kein Geld. 
Der Nutzen des Unternehmers sei daher beschrieben durch <math> U(R,i)=P_i(X_i-R) </math> 
: ''Beispiel: Projekt A hat eine Erfolgschance von 0,5 und bringt im Falle des Erfolgs einen Ertrag von 100. Der Kredit wurde in Höhe von 10 zu einem Zinssatz <math> r=10%</math> eingeräumt. <math> R </math> beträgt <math> R=10(1+0,1)=11 </math> Im Falle des Erfolgs muss der Unternehmer 11 zurückzahlen. Insgesamt bleibt ihm dementsprechend <math> X_a-R=100-11=89 </math>. Der Nutzen entspricht <math> U(R,p_a)=0,5(100-11)=44,5</math>'' 
Die Bank/der Gläubiger erhält im Erfolgsfall mit der Wahrscheinlichkeit <math> p_i</math> <math> R </math>, musste jedoch vorher I abgeben. Der erwartete Gewinn der Bank lautet <math> \pi(R,i)=p_i(R-I) </math> Die Summe I gibt die Bank auf jeden Fall ab, <math> R </math> erhält sie nur im Erfolgsfall. 
: ''Im Beispiel bietet das Projekt A einen erwarteten Gewinn der Bank von 0,5, der sich wie folgt berechnen lässt <math> \pi(R,i)=0,5*(11-10)=0,5</math>'' 
'''Der kritische Zinssatz''': 
Unter der Annahme der symmetrischen Informationen würde jedes Projekt entsprechend seinem Risiko einen spezifischen Zinssatz bekommen, sodass <math> R_a \neq R_b</math>. Liegen jedoch asymmetrische Informationen vor, kann die Bank nicht kontrollieren welcher Kredit für welches Projekt verwendet wird. Es hängt von der Größe von <math> R </math> ab, welches Projekt von dem Unternehmer präferiert wird. Ist <math> R </math> sehr klein, wird Projekt A bevorzugt, da dieser einen höheren Ertrag bietet und relativ niedrige Zinskosten entstehen. Ist <math> R </math> jedoch sehr groß, würde vom Ertrag von Projekt A immer weniger für den Unternehmer übrigbleiben. Daher steigt er bei einem kritischen Zinssatz <math> \hat{R} </math> auf Projekt B um, das zwar unwahrscheinlicher ist, jedoch einen höheren Ertrag liefert. 
Bei dem kritischen Zins <math> \hat{R} </math> ist der Unternehmer indifferent: 
<math> p_a(X_a-\hat{R})=p_b(X_b-\hat{R}) </math> 
<math> \hat{R}=\frac{p_aX_a-p_bX_b}{p_a-p_b} </math> 
Ist <math> R \leq \hat{R}</math> wird Projekt A gewählt und ist <math> R>\hat{R}</math> wird Projekt B gewählt. 
 
'''Die Gewinnfunktion der Bank''': 
Aus dem Ergebnis oben resultiert eine Gewinnfunktion für die Bank: 
 
<math> \pi^*(R)=\begin{cases}
P_aR-I, & \text{wenn } 0\leq R \leq \hat{R}; \\
P_bR-I, & \text{wenn } \hat{R} < R < X-b;
\end{cases}</math> 
 
Dies kann durch Umstellen auch grafisch dargestellt werden. Der Gewinn der Bank resultiert bis zu dem kritischen Zinssatz (Grenze in rot dargestellt) von den Zinserträgen bezahlt durch den Erfolg von Projekt A (in grün). Ab einem Zinssatz <math> \hat{R} </math> entscheidet sich der Unternehmer für Projekt B und der Gewinn wird durch die Gerade in lila beschrieben. Die Bank sollte einen Zinssatz <math> R=\hat{R} </math> (oder ganz leicht darunter) wählen, denn liegt der Zinssatz darüber ist der Gewinn geringer oder sogar negativ. Alle diejenige, die ein Kredit nachfragen, bekommen ihn nur noch zu <math> \hat{R} </math>, sodass der Payoff aller Kreditnachfrager <math> U(\hat{R},a)=p_a*(X_a-\hat{R})>0 </math> 
Datei:Kreditrationierung.png|400px|rahmenlos 
 
'''Die Rationierung''': 
Alle Kreditnehmer fragen einen Kredit zu den Konditionen <math> (I,\hat{R})</math> nach. Ist aber das Kreditangebot bei diesem Zinssatz geringer als die Nachfrage, kommt es zu einer nicht-preislichen Kreditrationierung. Die folgende Abbildung veranschaulicht die Situation, wobei <math> K_D </math> die Kreditnachfrage und <math> K_S </math> das Kreditangebot widerspiegeln: 
[[Datei:Kreditrationierung2.png|400px|rahmenlos]]

==MC Aufgaben==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Was ist '''kein''' Beispiel für Moral Hazard?
|type="()"}
+ Ein Student mit dem Spitznamen scaredy schließt eine Versicherung gegen alle möglichen Gründe ab, da er besonders ängstlich ist.
- Eine Autovermietung namens AmeriCar bietet eine Vollkasko mit 0€ Selbstbeteiligung, deshalb fahren die Mieterinnen und Mieter der Autos unvorsichtiger.
- Im Unternehmen Careless werden Manager direkt am Gewinn beteiligt und versuchen daher den Gewinn auf Kosten des zukünftigen Gewinns zu steigern
- Der Besitzer des Restaurants OnFire, der eine Feuerversicherung besitzt, zündet sein Restaurant an.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Eigenschaft zeichnet Moral Hazard '''nicht''' aus?
|type="()"}
+ Konsumenten und/oder Produzenten handeln irrational
- Es existiert eine Grundlage für einen erwerbsmäßigen Austausch
- Interessenkonflikt
- Nicht alles kann vertraglich festgehalten werden
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Langfristige Aktienoptionen für Führungskräfte in börsenorientierten Unternehmen:
|type="()"}
- 1) geben Managern mit geringem Privatvermögen die Möglichkeit einer größeren Beteiligung am Unternehmen.
- 2) bringen die Interessen von Managern und Aktionären in Einklang.
- 3) bilden einen Anreiz für Manager, sich nicht auf kurzfristige Erfolge zu konzentrieren
- Antworten 1 und 3 sind richtig
+ Antworten1, 2 und 3 sind richtig
</quiz>

Karush-Kuhn-Tucker (KKT)

2024-04-10T12:06:34Z

Okehne:

Die Karush-Kuhn-Tucker Bedingungen sind ein notwendiges Optimalitätskriterium zur Bestimmung des Extremums einer Zielfunktion mit Nebenbedingungen. Das KKT Verfahren ist ein allgemeinerer Lösungsansatz verglichen mit dem [[Lagrange|Lagrange Verfahren]], da auch Randlösungen betrachtet werden.

__TOC__

==Randlösungen==
Das [[Lagrange|Lagrange Verfahren]] findet als Optimalitätsbedingung den Tangentialpunkt der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurve]] und der [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgeraden]]. In der Grafik unten wird das damit einhergehende Problem deutlich: Der Tangentialpunkt kann auch im negativen Bereich von einer der beiden Variablen sein. Dies liegt beispielweise an der Steigung der Budgetgeraden oder dem Verlauf der Indifferenzkurve. Im Falle der [[Maximieren|Nutzenmaximierung]] würde dies den Konsum einer negativen Menge bedeuten, was äußerst unrealistisch ist. Im grafischen Beispiel wäre das Ergebnis des Lagrange Verfahrens, dass der Konsument eine negative Menge von <math> x_1 </math> konsumieren sollte. Da dies nicht möglich ist, wäre es nutzenmaximal einen möglichen Punkt (<math> x_1 \geq 0 </math> und <math> x_2\geq 0 </math>) zu konsumieren, der auf einer möglichst hohen Indifferenzkurve liegt. In dem grafischen Fall liegt der Punkt aufgrund der [[Axiome der Nutzentheorie| Annahmen über die Präferenzen]] auf der Budgetgeraden. Die höchste Indifferenzkurve die erreicht wird führt zu einem Konsumniveau von <math> x_1=0</math> (zweite Abbildung). Dies ist eine Randlösung. Das KKT Verfahren findet den Punkt sofort, ohne dass die Lösung vom Lagrange Verfahren händisch korrigiert werden muss. 
[[Datei:KKT1.png|500px|rahmenlos]]
[[Datei:KKT2.png|500px|rahmenlos]]

==Nebenbedingungen==
Das KKT Verfahren betrachtet mehrere Nebenbedingungen, um eine Lösung für das Maximierungsproblem zu finden. Diese sind häufig die Budgetbedingung und die Nichtnegativitätsbedingung. Die Budgetbedingung ist identisch zum Lagrange Verfahren. Ein Konsument kann sein komplettes Budget oder weniger ausgaben. Neu sind die anderen Nichtnegativitätsbedingung, die im folgenden Beispiel sicherstellen, dass die konsumierten Mengen positiv sind: 
<math> p_1x_1+p_2x_2 \leq E </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> E-p_1x_1-p_2x_2 \geq 0 </math> 
<math> x_1 \geq 0 </math> 
<math> x_2 \geq 0 </math> 
Die Nebenbedingungen werden jeweils mit einem Lagrangemultiplikator zu der Zielfunktion addiert: 
<math> \mathcal{L} =U(x_1,x_2)+\lambda_1(E-p_1x_1-p_2x_2)+\lambda_2 x_1+\lambda_3x_2 </math>

==Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen==
Das KKT Verfahren nutzt mehrere Bedingungen, um die Lösung für das Problem zu finden: 
FOC für alle Variablen, von denen die Zielfunktion abhängt: 
<math> (i) \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1}\stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> (ii) \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2}\stackrel{!}{=}0 </math> 

Die Ungleichungen selbst mit der Nichtnegativitätsbedingung der Lagrangemultiplikatoren: 
<math> (iii) \quad E-p_1x_1-p_2x_2 \geq 0 </math>; <math> \lambda_1 \geq 0</math> 
<math> (iv) \quad x_1 \geq 0 </math>; <math> \lambda_2 \geq 0</math> 
<math> (v) \quad x_2 \geq 0 </math>; <math> \lambda_3 \geq 0</math> 

Die Komplementaritätsbedingungen 
<math> (vi) \quad \lambda_1(E-p_1x_1-p_2x_2)=0 </math> 
<math> (vii) \quad \lambda_2 x_1=0 </math> 
<math> (viii) \quad \lambda_3 x_2=0 </math> 

Die Lagrangemultiplikatoren müssen im Optimum schwach positiv, also null oder größer als null, sein. Durch die Komplementaritätsbedingungen wird deutlich, dass die Nebenbedingung größer gleich null ist, wenn der Lagrangemultiplikator null ist und gleich null, wenn der Multiplikator größer als null ist. Ist die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt (gleich null), ist sie "bindend", wenn sie mit strikter Ungleichheit erfüllt ist, ist sie "nicht-bindend". Im grafischen Beispiel von oben ist die Nebenbedingung <math> x_1 </math> mit Gleichheit erfüllt und der Multiplikator <math> \lambda_2 </math> größer als null. Nur wenn der Tangentialpunkt auch gleichzeitig die Randlösung ist, sind sowohl der Lagrangemultiplikator, als auch die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt. In allen anderen Fällen ist der Multiplikator beispielweise größer null und die Nebenbedingung gleich null. Dies gilt natürlich auch andersherum. Ist die Nebenbedingung größer als null, ist der Multiplikator gleich null. 
Als Beispiel soll <math> (vii) \quad \lambda_2 x_1=0 </math> gelten. Wenn <math> x_1>0 </math> gilt, muss der Multiplikator <math> \lambda_2 </math> gleich null sein. Die gleiche Logik gilt auch für die Gleichung <math> (viii) </math>. Soll das Problem auf eine innere Lösung untersucht werden, so muss in dem vorliegenden Fall <math> \lambda_2=0 </math> und <math> \lambda_3=0 </math> gelten, da <math> \lambda_2 </math> und <math> \lambda_3 </math> nur beide gleichzeitig größer als 0 sein können, wenn von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> jeweils nichts konsumiert würde. 
Um die jeweiligen Randlösungen zu untersuchen müssen die Multiplikatoren <math> \lambda_2 </math> und <math> \lambda_3 </math> jweils getrennt voneinander gleich null gesetzt werden. Es gilt zu beachten, dass diese Logik so nur für das grafische Beispiel gilt. Es gibt durchaus auch andere Beispiele, bei denen Möglichkeiten nicht von vornherein ausgeschlossen werden können. Bei einer anderen Zielfunktion und anderen Nebenbedingungen kann zum Beispiel, nicht direkt gesagt werden, dass <math> \lambda_1>0 </math> gelten und die Budgetungleichung damit mit Gleichheit erfüllt sein muss. 
 

Zur Lösung des Problems werden die KKT Bedingungen herangezogen und die verschiedenen Fälle werden untersucht. Jeder der Lagrangemultiplikatoren kann entweder gleich null oder größer als null sein. Bei drei Lagrangemultiplikatoren würde das <math> 2^3 </math> Fälle bedeuten.

==Beispiel==
Es soll die Funktion <math> U(x_1,x_2)=x^2+xy+4y </math> auf Maxima untersucht werden. Hierbei sollen <math> x+y \leq 2 </math>, <math> x \geq 0 </math> und <math> y \geq 0 </math> erfüllt sein. Es ergibt sich folgende Funktion: 
<math>
\mathcal{L}= x^2+xy+4y +\lambda_1(2-x-y)+\lambda_2x+\lambda_3y </math> 
Aufgrund der Übersichtlickeit kann das Beispiel hier [https://www.dropbox.com/scl/fi/fp55nhye6j1jff331c9nv/KKT.pdf?rlkey=jen6szl2sxg4ezl6hawylenye&dl=0] als pdf Dokument eingesehen werden.

==MC Fragen==
Für die folgenden Aufgaben sei immer folgende Lagrangefunktion gegeben: 
<math> \mathcal{L}=x+ln(y)+\lambda(E-x-y)+\alpha x+\beta y </math>
<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Was muss gelten, damit die Lösung des Maximierungsproblems eine Randlösung ist?
|type="()"}
- a) Die Steigung der Budgetgeraden muss strikt kleiner als die GRS für <math> x,y \geq0 </math> sein.
- b) Die Steigung der Budgetgeraden muss strikt größer als die GRS für <math> x,y \geq0 </math> sein.
- c) Die Steigung der Budgetgeraden muss gleich die der GRS für <math> x,y \geq0 </math> sein.
+ d) Antwortmöglichkeiten a) und b) sind beide korrekt
- e) Antwortmöglichkeiten a) und c) sind korrekt
- f) Alle Antwortmöglichkeiten sind korrekt
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Werte muss <math> \beta </math> annehmen, damit alle KKT Bedingungen erfüllt sind?
|type="()"}
+ <math> \beta =0 </math>
- <math> \beta < 0 </math>
- <math> \beta > 0 </math>
- <math> \beta </math> kann alle Werte annehmen
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welcher der folgenden Bedingungen sorgt dafür, dass die Lösung eine innere Lösung ist?
|type="()"}
+ <math> \alpha x=0 </math>
- <math> \beta y=0 </math>
- <math> \lambda(E-x-y)=0 </math>
- Es gibt keine Innere Lösung
</quiz>

Erwartungswert und Varianz

2024-04-05T16:01:30Z

Okehne:

Statistische Maßzahlen wie der Erwartungswert und die Varianz haben auch in der Mikroökonomie eine nicht unwichtige Bedeutung. Sie spielen zum Beispiel bei Entscheidungen unter Risiko eine Rolle.

__TOC__

==Erwartungswert (Durchschnitt/Mittelwert)==
Der Erwartungswert ist eine Maßzahl, beschreibt welche Beobachtung im Durchschnitt auftritt. Hierbei ist von wesentlicher Bedeutung, wie viele Beobachtungen möglich sind und wie wahrscheinlich sie sind. Wird Beispielsweise eine Münze geworfen, so lässt sich entweder Kopf oder Zahl beobachten. Der Münzwurf hat somit zwei Ausprägungen. Die Wahrscheinlichkeit für "Kopf" ist genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit für "Zahl" und beträgt jeweils 0,5. Bei einem Würfel gibt es in der Regel 6 Seiten, die von 1 bis 6 durchnummeriert sind. Es lassen sich also bis zu 6 verschiedene Fälle beobachten, wenn ein Würfel geworfen wird. 
Der Erwartungswert betrachtet in allen Fällen, welche der n Ausprägungen im Durchschnitt auftritt. Bei einer Münze beträgt <math> n=2 </math>. Wird die Münze einmal geworfen, so fällt mit Wahrscheinlichkeit 0,5 "Kopf" (<math> 0 </math>) und mit Wahrscheinlichkeit 0,5 "Zahl" (<math> 1 </math>). In 50 % der Fällen fällt <math> 0 </math> und in 50 % der Fällen <math> 1 </math>. Im Durschnitt fällt demnach <math> 0,5 \cdot 0 + 0,5 \cdot 1= 0,5 </math>. 
Auf einen allgemeinen Fall lässt sich folgende Formel anwenden: 
<math> E[X]=\sum_{i=1}^{n}x_i \cdot p_i </math> 
Die Ausprägung <math> x_1 </math> tritt mit Wahrscheinlichkeit <math> p_1 </math> auf, <math> x_2 </math> mit <math> p_2 </math> usw.

==Varianz==
Die Varianz (auch "Mittlere quadratische Streuung") ist eine Maßzahl die angibt, wie häufig, wie sehr Beobachtungen um den Mittelwert streuen. Um zu erklären was damit gemeint ist sollen die folgenden Grafiken als Beispiel dienen. Sowohl im roten, als auch im grünen Fall werden 150 Ausprägungen beobachtet. In beiden ist der Mittelwert die 4, was sich daran erkennen lässt, das der Balken bei 4 in beiden Balkendiagrammen am höchsten ist und die Werte alle nahe an der 4 liegen. Dies lässt sich jedoch auch an den Grafiken mit den Punkten erkenne: Die 4 scheint am nächsten an allen Punkten dran zu sein. Dennoch ist auch erkennbar, dass die Punkte im grünen Fall deutlich näher an der 4 liegen, als im roten Fall, bei dem die Punkte deutlich gestreuter erscheinen. Eben diese Streuung lässt sich in der Varianz berechnen. Hierfür wird über die Differenz zwischen dem Mittelwert und der einzelnen Ausprägung aufsummiert, nachdem sie quadriert wurde. Um die Varianz als Maßzahl besser mit anderen Varianzen zu vergleichen, werden die Summen durch die Anzahl der Beobachtungen geteilt. 
<math> d^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 </math>, wobei <math> \bar{x} </math> der Mittelwert ist
[[Datei:Verteilung1.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Verteilung2.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Dichte.png|500px|rahmenlos]] 
In dem grafischen Beispiel wird ersichtlich, dass die Werte alle nahe an der vier liegen und die vier auch am wahrscheinlichsten ist. Es kann aber auch unter anderem Fälle geben, bei denen alle Ausprägungen gleich wahrscheinlich sind, bei einer Verteilung jedoch weitaus extremere Beobachtungen auftreten. Auch hier kann der Erwartungswert in beiden Verteilungen identisch und die Varianz unterschiedlich sein. 
Angenommen die Dichtefunktionen sind die Wahrscheinlichkeiten von jeweils einer Lotterie. Wenn ein Konsument dazu aufgefordert wird für beide Lotterien eine Zahl zu nennen und abhängig von dem Ergebnis erhält er eine Auszahlung, dann sollte er in beiden Fällen die 4 auswählen. Wird er zusätzlich aufgefordert zwischen einer der beiden Lotterien zu wählen, dann sollte er die grüne Lotterie wählen, da dort die 4 wahrscheinlicher, bzw. die Varianz kleiner ist.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Wenn zwei Lotterien einen identischen Erwartungswert haben, sind die beiden Lotterien auch gleich risikoreich.
|type="()"}
- Wahr
+ Falsch
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Werden zu einer Auswertung immer mehr Beobachtungen hinzugefügt, so steigt die immer an.
|type="()"}
- Wahr
+ Falsch
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Spieler wirft zwei Würfel, wie lautet die Wahrscheinlicheit, dass die Summe aus beiden Augenziffern 2 beträgt?
|type="()"}
+ <math> \frac{1}{36} </math>
- <math> \frac{2}{6} </math>
- <math> \frac{1}{6} </math>
- <math> \frac{2}{36} </math>
</quiz>

Gradientenmethode

2024-04-05T14:50:52Z

Okehne: /* MC Fragen */

Die Gradientenmethode ist eine Methode zur Bestimmung eines Maximums/Minimus mit einer Nebenbedingung. Hierfür wird das Skalarprodukt zweier Vektoren gebildet. Der erste Vektor ist die Richtung der Budgetgeraden und der andere Vektor ist der Gradient des Nutzenfunktion, welcher in Richtung des steilsten Anstiegs zeigt. Die Gradientenmethode ist neben dem [[Lagrange|Lagrangeverfahren]] eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung eines Tangentialpunktes.

__TOC__

==Gradient==
Der Gradient ist ein Vektor, welcher in Richtung des steilsten Anstiegs zeigt. Er lässt sich bilden, indem eine multivariate Funktion partiell abgeleitet wird. Im Falle einer Nutzenfunktion mit zwei Konsumgütern <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> lässt sich der Gradient wie folgt bestimmen: 
<math> \nabla =(\partial U(x_1,x_2)/\partial x_1, \quad \partial U(x_1,x_2)/\partial x_2)^T </math> 
Je nach Konsumpunkt <math> (x_1,x_2) </math> zeigt der Gradient in eine andere Richtung. Die partielle Ableitung nach <math> x_1 </math> eingesetzt an dem jeweiligen Punkt bestimmt, wie weit der Vektor in die <math> x_1 </math>-Richtung geht. Die partielle Ableitung nach <math> x_2 </math> bestimmt für den jeweiligen Punkt, wie weit der Vektor in die <math> x_2 </math>-Richtung verläuft. 
[[Datei:Gradient1.png|351px|rahmenlos]]

==Vektor der Budgetgeraden==
Die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgerade]] lässt sich in einen Vektor umschreiben. Für die <math> x_1 </math>-Richtung lässt sich beispielsweise die Differenz von <math> x_1=0 </math> und <math> x^{max} </math> nehmen. Für die <math> x_2 </math>-Richtung kann wiederum die Differenz zwischen <math> x_2^{max} </math> und <math> x_2=0 </math> herangezogen werden. 
Es ergibt sich: 
<math> \vec{v}=(x_1^{max}-0, \quad 0-x_2^{max})^T=(x_1^{max}, \quad -x_2^{max})^T </math> 
Der Vektor <math> \vec{v} </math> lässt sich in der Grafik unten erkennen. Es gilt zu beachten, dass der Vektor, anders als der Gradient, nicht variabel in <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ist. 
[[Datei:Gradient2.png|400px|rahmenlos]]

==Tangentialpunkt==
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist gleich null, wenn die zwei Vektoren orthogonal zueinander verlaufen. Exakt diese Eigenschaft liegt im Tangentianlpunkt vor. Der Gradient verläuft im Tangentialpunkt der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurve]] und der [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgeraden]] orthogonal zu dem berechneten Vektor <math>\vec{v} </math> Die Tangentialbedingung lässt sich somit auch durch das Skalarprodukt herleiten: 
<math> \nabla U(x_1,x_2)^T \cdot \vec{v} \stackrel{!}{=}0 </math> 
Die daraus resultierende Relation zwischen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ist dieselbe, wie bei dem Lagrangeverfahren und kann in die Budgetrestriktion eingesetzt werden, um die optimale Nachfrage zu erhalten. 
[[Datei:Gradient3.png|350px|rahmenlos]]

==Beispiel==
Die Nutzenfunktion lautet <math> U(x_1,x_2)=x_1 \cdot x_2 </math>. Die Preise lauten <math> p_1=2 </math> und <math> p_2=4 </math>. Insgesamt steht ein Budget von 20 Euro zur Verfügung
===Gradient===
Der Gradient lautet <math> \nabla =(x_2, \quad x_1) ^T </math>

===Budgetvektor===
Der Budgetvektor lautet <math> \vec{v}=(\frac{20}{2}, \quad -\frac{20}{4})^T=(10,\quad -5)^T </math>

===Tangentialpunkt===
Für den Tangentialpunkt muss das Skalarprodukt null sein: <math> (x_2, \quad x_1) \cdot (10,\quad -5)^T\stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> 10x_2-5x_1=0 </math> 
Die Tangentialbedingung lautet demenstprechend <math> x_1=2x_2 </math>

===Optimale Nachfrage===
Die Tangentialbedingung kann in die Budgetrestriktion eingesetzt werden <math> 2x_1+4x_2=20 \quad \Leftrightarrow \quad 8x_2=20 </math> 
Die optimale Nachfrage lautet <math> (x_1^*,x_2^*)=(5, \quad 2.5) </math>

==Die Bedeutung von <math> \lambda </math>==
Die Gradientenmethode erlaubt die Bedeutung von <math> \lambda </math> mit einem etwas anderem Ansatz zu erläutern. 
Der Preisvektor <math> \vec{p}=(p_1 \quad p_2)^T </math> verläuft orthogonal zu dem Budgetvektor. 
<math> (\frac{E}{p_1}, \quad \frac{E}{p_2}) \cdot (p_1, \quad p_2)^T=0 </math>
Es lässt sich mathematisch zeigen, dass der Preisvektor multipliziert mit dem Grenznutzen des Einkommens identisch zu dem Gradienten der Nutzenfunktion ist. Wenn sich ein Konsument im Optimum <math> (x_1^*,x_2^*) </math> befindet und von beiden Einheiten eine marginale Einheit mehr konsumiert, befindet er sich im selben Konsumpunkt, wenn er den Preisvektor mit dem Grenznutzen des Einkommens skaliert. Der Gradient selbst ist unabhängig von den Preisen und dem Einkommen und verändert sich daher auch nicht, wenn einer der Preise sich beispielsweise erhöht. Was dies bedeutet lässt sich sehr gut an einem Beispiel erkenne, bei dem die [[Nachfrage]] [[Haushaltsoptimum#Homogenität der Nachfrage|homogen im Grad null ist]]. Wenn sich die Preise und das Einkommen um den selben Faktor steigen, verändert sich die optimale Nachfrage des Konsumenten nicht. Auch eine grafische Darstellung sehe nach der Veränderung noch genauso aus, wie vorher. Dennoch hat sich der Preisvektor vergrößert. Der Gradient hat sich jedoch nicht verändert. Dies zeigt, dass der Grenznutzen des Einkommens (<math> \lambda </math>) kleiner geworden ist und der Preisvektor um einen geringeren Faktor skaliert wird. Bei hohen Preisen bringt eine zusätliche verfügbare Einheit des Einkommens einen geringeren zusätzlichen Nutzen, als wenn die Preise kleiner sind. Dies liegt daran, dass ein Konsument sich bei hohen Preisen weniger von einer Einheit des Einkommens kaufen kann, als bei niedrigen Preisen. 
 
Mathematisch lässt sich diese Beziehung auch schon im [[Lagrange|Lagrangeverfahren]] erkennen. Die Bedingung erster Ordnungen für ein Gut i lautet 
<math> \frac{\partial U(x)}{\partial x_i}-\lambda p_i=0 </math> Daraus folgt <math> \frac{\partial U(x)}{\partial x_i}=\lambda p_i </math>, 
was den einzelnen Einträgen der Vektoren entspricht.
In den Grafiken unten wird nochmal gezeigt, dass der Gradient identisch zu dem skalierten Preisvektor ist. 
[[Datei:Gradient3.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Gradient4.png|350px|rahmenlos]]

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der Aussagen ist wahr?
|type="()"}
+ Die Gradientenmethode führt immer zum selben Ergebnis wie das Lagrange Verfahren.
- Die Gradientenmethode kann auch immer Randlösungen finden.
- Die Gradientenmethode führt immer zum selben Ergebnis wie das KKT Verfahren.
- Die Gradientenmethode lässt sich nicht bei Maximierungsproblemen mit mehr als zwei Konsumgütern verwenden.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Gegeben sei folgende Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=\frac{1}{5}x_1^2+x_2^2 </math> 
Wie lautet der Gradient dieser Nutzenfunktion?
|type="()"}
+ <math> \nabla=(\frac{2}{5}x_1, \quad 2x_2)^T </math>
- <math> \nabla=(\frac{1}{5}x_1^2, \quad x_2^2)^T </math>
- <math> \nabla=(\frac{2}{5}x_1 \quad + \quad 2x_2)^T </math>
- <math> \nabla=(\frac{1}{5}x_1^2 \quad + \quad x_2^2)^T </math>
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Haushalt konsumiert zwei Güter. Der Preis für das eine Gut lautet <math>p_1=4 </math> und der Preis für das andere <math> p_2=2</math>. Welcher der folgenden Vektoren lässt sich als Budgetvektor für die Gradientenmethode verwenden?
|type="()"}
+ <math> \vec{v}=(2, \quad -4)^T </math>
- <math> \vec{v}=(4, \quad 2)^T </math>
- <math> \vec{v}=(1, \quad -3)^T </math>
- <math> \vec{v}=(3, \quad 1)^T </math>
</quiz>

Gradientenmethode

2024-04-05T14:42:39Z

Okehne: /* MC Fragen */

Gradientenmethode

2024-04-05T14:36:33Z

Okehne: /* MC Fragen */

Die Gradientenmethode ist eine Methode zur Bestimmung eines Maximums/Minimus mit einer Nebenbedingung. Hierfür wird das Skalarprodukt zweier Vektoren gebildet. Der erste Vektor ist die Richtung der Budgetgeraden und der andere Vektor ist der Gradient des Nutzenfunktion, welcher in Richtung des steilsten Anstiegs zeigt. Die Gradientenmethode ist neben dem [[Lagrange|Lagrangeverfahren]] eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung eines Tangentialpunktes.

__TOC__

==Gradient==
Der Gradient ist ein Vektor, welcher in Richtung des steilsten Anstiegs zeigt. Er lässt sich bilden, indem eine multivariate Funktion partiell abgeleitet wird. Im Falle einer Nutzenfunktion mit zwei Konsumgütern <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> lässt sich der Gradient wie folgt bestimmen: 
<math> \nabla =(\partial U(x_1,x_2)/\partial x_1, \quad \partial U(x_1,x_2)/\partial x_2)^T </math> 
Je nach Konsumpunkt <math> (x_1,x_2) </math> zeigt der Gradient in eine andere Richtung. Die partielle Ableitung nach <math> x_1 </math> eingesetzt an dem jeweiligen Punkt bestimmt, wie weit der Vektor in die <math> x_1 </math>-Richtung geht. Die partielle Ableitung nach <math> x_2 </math> bestimmt für den jeweiligen Punkt, wie weit der Vektor in die <math> x_2 </math>-Richtung verläuft. 
[[Datei:Gradient1.png|351px|rahmenlos]]

==Vektor der Budgetgeraden==
Die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgerade]] lässt sich in einen Vektor umschreiben. Für die <math> x_1 </math>-Richtung lässt sich beispielsweise die Differenz von <math> x_1=0 </math> und <math> x^{max} </math> nehmen. Für die <math> x_2 </math>-Richtung kann wiederum die Differenz zwischen <math> x_2^{max} </math> und <math> x_2=0 </math> herangezogen werden. 
Es ergibt sich: 
<math> \vec{v}=(x_1^{max}-0, \quad 0-x_2^{max})^T=(x_1^{max}, \quad -x_2^{max})^T </math> 
Der Vektor <math> \vec{v} </math> lässt sich in der Grafik unten erkennen. Es gilt zu beachten, dass der Vektor, anders als der Gradient, nicht variabel in <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ist. 
[[Datei:Gradient2.png|400px|rahmenlos]]

==Tangentialpunkt==
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist gleich null, wenn die zwei Vektoren orthogonal zueinander verlaufen. Exakt diese Eigenschaft liegt im Tangentianlpunkt vor. Der Gradient verläuft im Tangentialpunkt der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurve]] und der [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgeraden]] orthogonal zu dem berechneten Vektor <math>\vec{v} </math> Die Tangentialbedingung lässt sich somit auch durch das Skalarprodukt herleiten: 
<math> \nabla U(x_1,x_2)^T \cdot \vec{v} \stackrel{!}{=}0 </math> 
Die daraus resultierende Relation zwischen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ist dieselbe, wie bei dem Lagrangeverfahren und kann in die Budgetrestriktion eingesetzt werden, um die optimale Nachfrage zu erhalten. 
[[Datei:Gradient3.png|350px|rahmenlos]]

==Beispiel==
Die Nutzenfunktion lautet <math> U(x_1,x_2)=x_1 \cdot x_2 </math>. Die Preise lauten <math> p_1=2 </math> und <math> p_2=4 </math>. Insgesamt steht ein Budget von 20 Euro zur Verfügung
===Gradient===
Der Gradient lautet <math> \nabla =(x_2, \quad x_1) ^T </math>

===Budgetvektor===
Der Budgetvektor lautet <math> \vec{v}=(\frac{20}{2}, \quad -\frac{20}{4})^T=(10,\quad -5)^T </math>

===Tangentialpunkt===
Für den Tangentialpunkt muss das Skalarprodukt null sein: <math> (x_2, \quad x_1) \cdot (10,\quad -5)^T\stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> 10x_2-5x_1=0 </math> 
Die Tangentialbedingung lautet demenstprechend <math> x_1=2x_2 </math>

===Optimale Nachfrage===
Die Tangentialbedingung kann in die Budgetrestriktion eingesetzt werden <math> 2x_1+4x_2=20 \quad \Leftrightarrow \quad 8x_2=20 </math> 
Die optimale Nachfrage lautet <math> (x_1^*,x_2^*)=(5, \quad 2.5) </math>

==Die Bedeutung von <math> \lambda </math>==
Die Gradientenmethode erlaubt die Bedeutung von <math> \lambda </math> mit einem etwas anderem Ansatz zu erläutern. 
Der Preisvektor <math> \vec{p}=(p_1 \quad p_2)^T </math> verläuft orthogonal zu dem Budgetvektor. 
<math> (\frac{E}{p_1}, \quad \frac{E}{p_2}) \cdot (p_1, \quad p_2)^T=0 </math>
Es lässt sich mathematisch zeigen, dass der Preisvektor multipliziert mit dem Grenznutzen des Einkommens identisch zu dem Gradienten der Nutzenfunktion ist. Wenn sich ein Konsument im Optimum <math> (x_1^*,x_2^*) </math> befindet und von beiden Einheiten eine marginale Einheit mehr konsumiert, befindet er sich im selben Konsumpunkt, wenn er den Preisvektor mit dem Grenznutzen des Einkommens skaliert. Der Gradient selbst ist unabhängig von den Preisen und dem Einkommen und verändert sich daher auch nicht, wenn einer der Preise sich beispielsweise erhöht. Was dies bedeutet lässt sich sehr gut an einem Beispiel erkenne, bei dem die [[Nachfrage]] [[Haushaltsoptimum#Homogenität der Nachfrage|homogen im Grad null ist]]. Wenn sich die Preise und das Einkommen um den selben Faktor steigen, verändert sich die optimale Nachfrage des Konsumenten nicht. Auch eine grafische Darstellung sehe nach der Veränderung noch genauso aus, wie vorher. Dennoch hat sich der Preisvektor vergrößert. Der Gradient hat sich jedoch nicht verändert. Dies zeigt, dass der Grenznutzen des Einkommens (<math> \lambda </math>) kleiner geworden ist und der Preisvektor um einen geringeren Faktor skaliert wird. Bei hohen Preisen bringt eine zusätliche verfügbare Einheit des Einkommens einen geringeren zusätzlichen Nutzen, als wenn die Preise kleiner sind. Dies liegt daran, dass ein Konsument sich bei hohen Preisen weniger von einer Einheit des Einkommens kaufen kann, als bei niedrigen Preisen. 
 
Mathematisch lässt sich diese Beziehung auch schon im [[Lagrange|Lagrangeverfahren]] erkennen. Die Bedingung erster Ordnungen für ein Gut i lautet 
<math> \frac{\partial U(x)}{\partial x_i}-\lambda p_i=0 </math> Daraus folgt <math> \frac{\partial U(x)}{\partial x_i}=\lambda p_i </math>, 
was den einzelnen Einträgen der Vektoren entspricht.
In den Grafiken unten wird nochmal gezeigt, dass der Gradient identisch zu dem skalierten Preisvektor ist. 
[[Datei:Gradient3.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Gradient4.png|350px|rahmenlos]]

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der Aussagen ist wahr?
|type="()"}
+ Die Gradientenmethode führt immer zum selben Ergebnis wie das Lagrange Verfahren.
- Die Gradientenmethode kann auch immer Randlösungen finden.
- Die Gradientenmethode führt immer zum selben Ergebnis wie das KKT Verfahren.
- Die Gradientenmethode lässt sich nicht bei Maximierungsproblemen mit mehr als zwei Konsumgütern verwenden.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Gegeben sei folgende Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=\frac{1}{5}x_1^2+x_2^2 </math> 
Wie lautet der Gradient dieser Nutzenfunktion?
|type="()"}
+ <math>
-
-
-
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{
|type="()"}
+
-
-
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</quiz>

Erwartungswert und Varianz

2024-04-04T16:38:40Z

Okehne: Die Seite wurde neu angelegt: „rahmenlos rahmenlos rahmenlos“

[[Datei:Verteilung1.png|350px|rahmenlos]]
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2024-04-04T16:38:10Z

Okehne:

Dichte

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2024-04-04T16:37:51Z

Okehne:

2. Verteilung

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2024-04-04T16:37:30Z

Okehne:

1. Verteilung

Hauptseite

2024-04-04T16:36:58Z

Okehne:

__NOTOC____NOEDITSECTION__

{| width="100%"
|-
|style="vertical-align:top;"|
<h2 {{MainpageTopBox}}>
 
<center>
'''Herzlich willkommen im Mikro Wiki'''
</center>
</h2>

<div {{MainpageMidBox}}>
[[Datei:MM.png|300px|]]
Liebe Studierende des Moduls Mikroökonomie I, 
 
herzlich willkommen auf der Seite des Mikro Wikis. Das Mikro Wiki soll Ihnen helfen die in den Vorlesungen, Übungen, Tutorien und Mentorien behandelten Themenfelder besser zu verstehen und bei Bedarf einzelne Themen nachzulesen. Obwohl der Anspruch ist die verschiedenen Themen aus der Mikro I bestmöglich zu erklären und veranschaulichen, ersetzt das Mikro Wiki nicht die anderen Angebote des Lehrstuhls. Sie ist vielmehr ein ergänzendes Angebot zur Themen Vor- und Nachbereitung. 
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Viel Spaß und Erfolg in der Mikro!

<blockquote width=80%; style="background:#F0F8FF; border: 2px solid #000; border-right-width: 2px"> 
{| width="100%"
|-

|style="vertical-align:top, border:2px solid #1874CD;"|

<h2 {{MainpageTopBox}}>
<div style="background-color:#F0F8FF; color:black"> Angebot und Nachfrage </div> 
</h2>
<div {{MainpageMidBox}}>
* [[Nachfrage]] 
* [[Angebot]] 
* [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb]] 
* [[Konsumentenrente und Produzentenrente]] 

 
* [[Eingriffe in das Marktgleichgewicht]]

|style="vertical-align:top, border:2px solid #1874CD;"|
 
<div {{MainpageMidBox}}>
* [[Elastizitäten]] 
* [[Externalitäten und Internalisierung]] 
* [[Öffentliche Güter]]
* [[Zusammenfassung Marktversagen]] 
* [[Marktformen]] 
</div>
|}
</blockquote>

<blockquote width=80%; style="background:#F0F8FF; border: 2px solid #000; border-right-width: 2px"> 
{| width="100%"
|-

|style="vertical-align:top, border:2px solid #1874CD;"|

<h2 {{MainpageTopBox}}>
Haushaltsentscheidungen I (Konsum)
</h2>
<div {{MainpageMidBox}}>
* [[Präferenzen und Indifferenzkurven]]
* [[Präferenzenarten]]
* [[Axiome der Nutzentheorie]]
* [[Budgetrestriktion und Budgetgerade]]
* [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie]]
* [[Haushaltsoptimum]]
* [[Engelkurve]]
* [[Einkommens-Konsumkurve]]
* [[Preiskonsumkurve]]
* [[Güter und Ungüter]]
* [[Güterarten]]
* [[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt]]
* [[Netzwerkeffekte]]
</div>

<h2 {{MainpageTopBox}}>
Haushaltsentscheidungen II
</h2>
<div {{MainpageMidBox}}>
* [[Arbeit-Freizeit Entscheidung]]
* [[Intertemporale Entscheidung]]
* [[Risiko und Risikoeinstellung]]
</div>


| width="50%" style="vertical-align:top" |

<h2 {{MainpageTopBox}}>
Unternehmenstheorie
</h2>
<div {{MainpageMidBox}}>
* [[Kostenarten]]
* [[Produktionsfunktion und Isoquante]]
* [[Produktionsoptimum]]
* [[Angebotsentscheidung bei vollkommener Konkurrenz]]
* [[Vergleich Gewinnmaximum bei unterschiedlichen Marktformen]]
* [[Preisdiskriminierung]]
* [[Skalenerträge]]
</div>
|}
</blockquote>

<blockquote width=80%; style="background:#F0F8FF; border: 2px solid #000; border-right-width: 2px"> 
{| width="100%"
|-

|style="vertical-align:top, border:2px solid #1874CD;"|

<h2 {{MainpageTopBox}}>
Spieltheorie
</h2>
<div {{MainpageMidBox}}>
* [[Spiele]]
* [[Nash Gleichgewicht]]
* [[Oligopole]]
* [[Plattformökonomie und Netzwerkexternalitäten]]
</div>

<h2 {{MainpageTopBox}}>
Wohlfahrtsökonomie/ Tauschökonomie
</h2>
<div {{MainpageMidBox}}>
* [[Coase Theorem]]
* [[Edgeworth-Box]]
* [[Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel]]
</div>

<h2 {{MainpageTopBox}}>
Asymmetrische Informationen
</h2>
<div {{MainpageMidBox}}>
* [[Adverse Selektion und Signale]]
* [[Moral Hazard und Anreize]]
</div>


| width="50%" style="vertical-align:top" |

<h2 {{MainpageTopBox}}>
Allgemeine Prinzipien
</h2>
<div {{MainpageMidBox}}>
* [[Lagrange]]
* [[Karush-Kuhn-Tucker (KKT)]]
* [[Gradientenmethode]]
* [[Maximieren]]
* [[Mathematische Eigenschaften von Funktionen]]
* [[Cobb-Douglas-Funktionen]]
* [[Monotone Transformation]]
* [[Marginale Sichtweise]]
* [[Opportunitätskosten]]
* [[Effizienz]]
* [[Erwartungswert und Varianz]] 
</div>
|}
</blockquote>

Gradientenmethode

2024-04-04T16:35:47Z

Okehne:

Die Gradientenmethode ist eine Methode zur Bestimmung eines Maximums/Minimus mit einer Nebenbedingung. Hierfür wird das Skalarprodukt zweier Vektoren gebildet. Der erste Vektor ist die Richtung der Budgetgeraden und der andere Vektor ist der Gradient des Nutzenfunktion, welcher in Richtung des steilsten Anstiegs zeigt. Die Gradientenmethode ist neben dem [[Lagrange|Lagrangeverfahren]] eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung eines Tangentialpunktes.

__TOC__

==Gradient==
Der Gradient ist ein Vektor, welcher in Richtung des steilsten Anstiegs zeigt. Er lässt sich bilden, indem eine multivariate Funktion partiell abgeleitet wird. Im Falle einer Nutzenfunktion mit zwei Konsumgütern <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> lässt sich der Gradient wie folgt bestimmen: 
<math> \nabla =(\partial U(x_1,x_2)/\partial x_1, \quad \partial U(x_1,x_2)/\partial x_2)^T </math> 
Je nach Konsumpunkt <math> (x_1,x_2) </math> zeigt der Gradient in eine andere Richtung. Die partielle Ableitung nach <math> x_1 </math> eingesetzt an dem jeweiligen Punkt bestimmt, wie weit der Vektor in die <math> x_1 </math>-Richtung geht. Die partielle Ableitung nach <math> x_2 </math> bestimmt für den jeweiligen Punkt, wie weit der Vektor in die <math> x_2 </math>-Richtung verläuft. 
[[Datei:Gradient1.png|351px|rahmenlos]]

==Vektor der Budgetgeraden==
Die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgerade]] lässt sich in einen Vektor umschreiben. Für die <math> x_1 </math>-Richtung lässt sich beispielsweise die Differenz von <math> x_1=0 </math> und <math> x^{max} </math> nehmen. Für die <math> x_2 </math>-Richtung kann wiederum die Differenz zwischen <math> x_2^{max} </math> und <math> x_2=0 </math> herangezogen werden. 
Es ergibt sich: 
<math> \vec{v}=(x_1^{max}-0, \quad 0-x_2^{max})^T=(x_1^{max}, \quad -x_2^{max})^T </math> 
Der Vektor <math> \vec{v} </math> lässt sich in der Grafik unten erkennen. Es gilt zu beachten, dass der Vektor, anders als der Gradient, nicht variabel in <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ist. 
[[Datei:Gradient2.png|400px|rahmenlos]]

==Tangentialpunkt==
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist gleich null, wenn die zwei Vektoren orthogonal zueinander verlaufen. Exakt diese Eigenschaft liegt im Tangentianlpunkt vor. Der Gradient verläuft im Tangentialpunkt der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurve]] und der [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgeraden]] orthogonal zu dem berechneten Vektor <math>\vec{v} </math> Die Tangentialbedingung lässt sich somit auch durch das Skalarprodukt herleiten: 
<math> \nabla U(x_1,x_2)^T \cdot \vec{v} \stackrel{!}{=}0 </math> 
Die daraus resultierende Relation zwischen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ist dieselbe, wie bei dem Lagrangeverfahren und kann in die Budgetrestriktion eingesetzt werden, um die optimale Nachfrage zu erhalten. 
[[Datei:Gradient3.png|350px|rahmenlos]]

==Beispiel==
Die Nutzenfunktion lautet <math> U(x_1,x_2)=x_1 \cdot x_2 </math>. Die Preise lauten <math> p_1=2 </math> und <math> p_2=4 </math>. Insgesamt steht ein Budget von 20 Euro zur Verfügung
===Gradient===
Der Gradient lautet <math> \nabla =(x_2, \quad x_1) ^T </math>

===Budgetvektor===
Der Budgetvektor lautet <math> \vec{v}=(\frac{20}{2}, \quad -\frac{20}{4})^T=(10,\quad -5)^T </math>

===Tangentialpunkt===
Für den Tangentialpunkt muss das Skalarprodukt null sein: <math> (x_2, \quad x_1) \cdot (10,\quad -5)^T\stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> 10x_2-5x_1=0 </math> 
Die Tangentialbedingung lautet demenstprechend <math> x_1=2x_2 </math>

===Optimale Nachfrage===
Die Tangentialbedingung kann in die Budgetrestriktion eingesetzt werden <math> 2x_1+4x_2=20 \quad \Leftrightarrow \quad 8x_2=20 </math> 
Die optimale Nachfrage lautet <math> (x_1^*,x_2^*)=(5, \quad 2.5) </math>

==Die Bedeutung von <math> \lambda </math>==
Die Gradientenmethode erlaubt die Bedeutung von <math> \lambda </math> mit einem etwas anderem Ansatz zu erläutern. 
Der Preisvektor <math> \vec{p}=(p_1 \quad p_2)^T </math> verläuft orthogonal zu dem Budgetvektor. 
<math> (\frac{E}{p_1}, \quad \frac{E}{p_2}) \cdot (p_1, \quad p_2)^T=0 </math>
Es lässt sich mathematisch zeigen, dass der Preisvektor multipliziert mit dem Grenznutzen des Einkommens identisch zu dem Gradienten der Nutzenfunktion ist. Wenn sich ein Konsument im Optimum <math> (x_1^*,x_2^*) </math> befindet und von beiden Einheiten eine marginale Einheit mehr konsumiert, befindet er sich im selben Konsumpunkt, wenn er den Preisvektor mit dem Grenznutzen des Einkommens skaliert. Der Gradient selbst ist unabhängig von den Preisen und dem Einkommen und verändert sich daher auch nicht, wenn einer der Preise sich beispielsweise erhöht. Was dies bedeutet lässt sich sehr gut an einem Beispiel erkenne, bei dem die [[Nachfrage]] [[Haushaltsoptimum#Homogenität der Nachfrage|homogen im Grad null ist]]. Wenn sich die Preise und das Einkommen um den selben Faktor steigen, verändert sich die optimale Nachfrage des Konsumenten nicht. Auch eine grafische Darstellung sehe nach der Veränderung noch genauso aus, wie vorher. Dennoch hat sich der Preisvektor vergrößert. Der Gradient hat sich jedoch nicht verändert. Dies zeigt, dass der Grenznutzen des Einkommens (<math> \lambda </math>) kleiner geworden ist und der Preisvektor um einen geringeren Faktor skaliert wird. Bei hohen Preisen bringt eine zusätliche verfügbare Einheit des Einkommens einen geringeren zusätzlichen Nutzen, als wenn die Preise kleiner sind. Dies liegt daran, dass ein Konsument sich bei hohen Preisen weniger von einer Einheit des Einkommens kaufen kann, als bei niedrigen Preisen. 
 
Mathematisch lässt sich diese Beziehung auch schon im [[Lagrange|Lagrangeverfahren]] erkennen. Die Bedingung erster Ordnungen für ein Gut i lautet 
<math> \frac{\partial U(x)}{\partial x_i}-\lambda p_i=0 </math> Daraus folgt <math> \frac{\partial U(x)}{\partial x_i}=\lambda p_i </math>, 
was den einzelnen Einträgen der Vektoren entspricht.
In den Grafiken unten wird nochmal gezeigt, dass der Gradient identisch zu dem skalierten Preisvektor ist. 
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==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
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</quiz>

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</quiz>

Gradientenmethode

2024-04-04T13:58:58Z

Okehne: /* Die Bedeutung von \lambda */

Gradientenmethode

2024-04-04T13:50:26Z

Okehne:

Die Gradientenmethode ist eine Methode zur Bestimmung eines Maximums/Minimus mit einer Nebenbedingung. Hierfür wird das Skalarprodukt zweier Vektoren gebildet. Der erste Vektor ist die Richtung der Budgetgeraden und der andere Vektor ist der Gradient des Nutzenfunktion, welcher in Richtung des steilsten Anstiegs zeigt. Die Gradientenmethode ist neben dem [[Lagrange|Lagrangeverfahren]] eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung eines Tangentialpunktes.

__TOC__

==Gradient==
Der Gradient ist ein Vektor, welcher in Richtung des steilsten Anstiegs zeigt. Er lässt sich bilden, indem eine multivariate Funktion partiell abgeleitet wird. Im Falle einer Nutzenfunktion mit zwei Konsumgütern <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> lässt sich der Gradient wie folgt bestimmen: 
<math> \nabla =(\partial U(x_1,x_2)/\partial x_1, \quad \partial U(x_1,x_2)/\partial x_2)^T </math> 
Je nach Konsumpunkt <math> (x_1,x_2) </math> zeigt der Gradient in eine andere Richtung. Die partielle Ableitung nach <math> x_1 </math> eingesetzt an dem jeweiligen Punkt bestimmt, wie weit der Vektor in die <math> x_1 </math>-Richtung geht. Die partielle Ableitung nach <math> x_2 </math> bestimmt für den jeweiligen Punkt, wie weit der Vektor in die <math> x_2 </math>-Richtung verläuft. 
[[Datei:Gradient1.png|351px|rahmenlos]]

==Vektor der Budgetgeraden==
Die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgerade]] lässt sich in einen Vektor umschreiben. Für die <math> x_1 </math>-Richtung lässt sich beispielsweise die Differenz von <math> x_1=0 </math> und <math> x^{max} </math> nehmen. Für die <math> x_2 </math>-Richtung kann wiederum die Differenz zwischen <math> x_2^{max} </math> und <math> x_2=0 </math> herangezogen werden. 
Es ergibt sich: 
<math> \vec{v}=(x_1^{max}-0, \quad 0-x_2^{max})^T=(x_1^{max}, \quad -x_2^{max})^T </math> 
Der Vektor <math> \vec{v} </math> lässt sich in der Grafik unten erkennen. Es gilt zu beachten, dass der Vektor, anders als der Gradient, nicht variabel in <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ist. 
[[Datei:Gradient2.png|400px|rahmenlos]]

==Tangentialpunkt==
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist gleich null, wenn die zwei Vektoren orthogonal zueinander verlaufen. Exakt diese Eigenschaft liegt im Tangentianlpunkt vor. Der Gradient verläuft im Tangentialpunkt der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurve]] und der [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgeraden]] orthogonal zu dem berechneten Vektor <math>\vec{v} </math> Die Tangentialbedingung lässt sich somit auch durch das Skalarprodukt herleiten: 
<math> \nabla U(x_1,x_2)^T \cdot \vec{v} \stackrel{!}{=}0 </math> 
Die daraus resultierende Relation zwischen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ist dieselbe, wie bei dem Lagrangeverfahren und kann in die Budgetrestriktion eingesetzt werden, um die optimale Nachfrage zu erhalten. 
[[Datei:Gradient3.png|350px|rahmenlos]]

==Beispiel==
Die Nutzenfunktion lautet <math> U(x_1,x_2)=x_1 \cdot x_2 </math>. Die Preise lauten <math> p_1=2 </math> und <math> p_2=4 </math>. Insgesamt steht ein Budget von 20 Euro zur Verfügung
===Gradient===
Der Gradient lautet <math> \nabla =(x_2, \quad x_1) ^T </math>

===Budgetvektor===
Der Budgetvektor lautet <math> \vec{v}=(\frac{20}{2}, \quad -\frac{20}{4})^T=(10,\quad -5)^T </math>

===Tangentialpunkt===
Für den Tangentialpunkt muss das Skalarprodukt null sein: <math> (x_2, \quad x_1) \cdot (10,\quad -5)^T\stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> 10x_2-5x_1=0 </math> 
Die Tangentialbedingung lautet demenstprechend <math> x_1=2x_2 </math>

===Optimale Nachfrage===
Die Tangentialbedingung kann in die Budgetrestriktion eingesetzt werden <math> 2x_1+4x_2=20 \quad \Leftrightarrow \quad 8x_2=20 </math> 
Die optimale Nachfrage lautet <math> (x_1^*,x_2^*)=(5, \quad 2.5) </math>

==Die Bedeutung von <math> \lambda </math>==
Die Gradientenmethode erlaubt die Bedeutung von <math> \lambda </math> mit einem etwas anderem Ansatz zu erläutern. 
Der Preisvektor <math> \vec{p}=(p_1 \quad p_2)^T </math> verläuft orthogonal zu dem Budgetvektor. 
<math> (\frac{E}{p_1}, \quad \frac{E}{p_2}) \cdot (p_1, \quad p_2)^T=0 </math>
Es lässt sich mathematisch zeigen, dass der Preisvektor multipliziert mit dem Grenznutzen des Einkommens identisch zu dem Gradienten der Nutzenfunktion ist. Wenn sich ein Konsument im Optimum <math> (x_1^*,x_2^*) </math> befindet und von beiden Einheiten eine marginale Einheit mehr konsumiert, befindet er sich im selben Konsumpunkt, wenn er den Preisvektor mit dem Grenznutzen des Einkommens skaliert. Der Gradient selbst ist unabhängig von den Preisen und dem Einkommen und verändert sich daher auch nicht, wenn einer der Preise sich beispielsweise erhöht. Was dies bedeutet lässt sich sehr gut an einem Beispiel erkenne, bei dem die [[Nachfrage]] [[Haushaltsoptimum#Homogenität der Nachfrage|homogen im Grad null ist]]. Wenn sich die Preise und das Einkommen um den selben Faktor steigen, verändert sich die optimale Nachfrage des Konsumenten nicht. Auch eine grafische Darstellung sehe nach der Veränderung noch genauso aus, wie vorher. Dennoch hat sich der Preisvektor vergrößert. Der Gradient hat sich jedoch nicht verändert. Dies zeigt, dass der Grenznutzen des Einkommens (<math> \lambda </math>) kleiner geworden ist und der Preisvektor um einen geringeren Faktor skaliert wird. Bei hohen Preisen bringt eine zusätliche verfügbare Einheit des Einkommens einen geringeren zusätzlichen Nutzen, als wenn die Preise kleiner sind. Dies liegt daran, dass ein Konsument sich bei hohen Preisen weniger von einer Einheit des Einkommens kaufen kann, als bei niedrigen Preisen. 
In den Grafiken unten wird nochmal gezeigt, dass der Gradient identisch zu dem skalierten Preisvektor ist. 
[[Datei:Gradient3.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Gradient4.png|350px|rahmenlos]]

==MC Fragen==

Datei:Gradient4.png

2024-04-04T13:48:33Z

Okehne:

Grenznutzen des Einkommens

Gradientenmethode

2024-04-04T13:46:53Z

Okehne: /* Die Bedeutung von \lambda */

Die Gradientenmethode ist eine Methode zur Bestimmung eines Maximums/Minimus mit einer Nebenbedingung. Hierfür wird das Skalarprodukt zweier Vektoren gebildet. Der erste Vektor ist die Richtung der Budgetgeraden und der andere Vektor ist der Gradient des Nutzenfunktion, welcher in Richtung des steilsten Anstiegs zeigt. Die Gradientenmethode ist neben dem [[Lagrange|Lagrangeverfahren]] eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung eines Tangentialpunktes.

__TOC__

==Gradient==
Der Gradient ist ein Vektor, welcher in Richtung des steilsten Anstiegs zeigt. Er lässt sich bilden, indem eine multivariate Funktion partiell abgeleitet wird. Im Falle einer Nutzenfunktion mit zwei Konsumgütern <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> lässt sich der Gradient wie folgt bestimmen: 
<math> \nabla =(\partial U(x_1,x_2)/\partial x_1, \quad \partial U(x_1,x_2)/\partial x_2)^T </math> 
Je nach Konsumpunkt <math> (x_1,x_2) </math> zeigt der Gradient in eine andere Richtung. Die partielle Ableitung nach <math> x_1 </math> eingesetzt an dem jeweiligen Punkt bestimmt, wie weit der Vektor in die <math> x_1 </math>-Richtung geht. Die partielle Ableitung nach <math> x_2 </math> bestimmt für den jeweiligen Punkt, wie weit der Vektor in die <math> x_2 </math>-Richtung verläuft. 
[[Datei:Gradient1.png|351px|rahmenlos]]

==Vektor der Budgetgeraden==
Die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgerade]] lässt sich in einen Vektor umschreiben. Für die <math> x_1 </math>-Richtung lässt sich beispielsweise die Differenz von <math> x_1=0 </math> und <math> x^{max} </math> nehmen. Für die <math> x_2 </math>-Richtung kann wiederum die Differenz zwischen <math> x_2^{max} </math> und <math> x_2=0 </math> herangezogen werden. 
Es ergibt sich: 
<math> \vec{v}=(x_1^{max}-0, \quad 0-x_2^{max})^T=(x_1^{max}, \quad -x_2^{max})^T </math> 
Der Vektor <math> \vec{v} </math> lässt sich in der Grafik unten erkennen. Es gilt zu beachten, dass der Vektor, anders als der Gradient, nicht variabel in <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ist. 
[[Datei:Gradient2.png|400px|rahmenlos]]

==Tangentialpunkt==
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist gleich null, wenn die zwei Vektoren orthogonal zueinander verlaufen. Exakt diese Eigenschaft liegt im Tangentianlpunkt vor. Der Gradient verläuft im Tangentialpunkt der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurve]] und der [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgeraden]] orthogonal zu dem berechneten Vektor <math>\vec{v} </math> Die Tangentialbedingung lässt sich somit auch durch das Skalarprodukt herleiten: 
<math> \nabla U(x_1,x_2)^T \cdot \vec{v} \stackrel{!}{=}0 </math> 
Die daraus resultierende Relation zwischen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ist dieselbe, wie bei dem Lagrangeverfahren und kann in die Budgetrestriktion eingesetzt werden, um die optimale Nachfrage zu erhalten. 
[[Datei:Gradient3.png|350px|rahmenlos]]

==Beispiel==
Die Nutzenfunktion lautet <math> U(x_1,x_2)=x_1 \cdot x_2 </math>. Die Preise lauten <math> p_1=2 </math> und <math> p_2=4 </math>. Insgesamt steht ein Budget von 20 Euro zur Verfügung
===Gradient===
Der Gradient lautet <math> \nabla =(x_2, \quad x_1) ^T </math>

===Budgetvektor===
Der Budgetvektor lautet <math> \vec{v}=(\frac{20}{2}, \quad -\frac{20}{4})^T=(10,\quad -5)^T </math>

===Tangentialpunkt===
Für den Tangentialpunkt muss das Skalarprodukt null sein: <math> (x_2, \quad x_1) \cdot (10,\quad -5)^T\stackrel{!}{=}0 </math> 
<math> 10x_2-5x_1=0 </math> 
Die Tangentialbedingung lautet demenstprechend <math> x_1=2x_2 </math>

===Optimale Nachfrage===
Die Tangentialbedingung kann in die Budgetrestriktion eingesetzt werden <math> 2x_1+4x_2=20 \quad \Leftrightarrow \quad 8x_2=20 </math> 
Die optimale Nachfrage lautet <math> (x_1^*,x_2^*)=(5, \quad 2.5) </math>

==Die Bedeutung von <math> \lambda </math>==
Die Gradientenmethode erlaubt die Bedeutung von <math> \lambda </math> mit einem etwas anderem Ansatz zu erläutern. 
Der Preisvektor <math> \vec{p}=(p_1 \quad p_2)^T </math> verläuft orthogonal zu dem Budgetvektor. 
<math> (\frac{E}{p_1}, \quad \frac{E}{p_2}) \cdot (p_1, \quad p_2)^T=0 </math>
Es lässt sich mathematisch zeigen, dass der Preisvektor multipliziert mit dem Grenznutzen des Einkommens identisch zu dem Gradienten der Nutzenfunktion ist. Wenn sich ein Konsument im Optimum <math> (x_1^*,x_2^*) </math> befindet und von beiden Einheiten eine marginale Einheit mehr konsumiert, befindet er sich im selben Konsumpunkt, wenn er den Preisvektor mit dem Grenznutzen des Einkommens skaliert. Der Gradient selbst ist unabhängig von den Preisen und dem Einkommen und verändert sich daher auch nicht, wenn einer der Preise sich beispielsweise erhöht. Was dies bedeutet lässt sich sehr gut an einem Beispiel erkenne, bei dem die [[Nachfrage]] [[Haushaltsoptimum#Homogenität der Nachfrage|homogen im Grad null ist]]. Wenn sich die Preise und das Einkommen um den selben Faktor steigen, verändert sich die optimale Nachfrage des Konsumenten nicht. Auch eine grafische Darstellung sehe nach der Veränderung noch genauso aus, wie vorher. Dennoch hat sich der Preisvektor vergrößert. Der Gradient hat sich jedoch nicht verändert. Dies zeigt, dass der Grenznutzen des Einkommens (<math> \lambda </math>) kleiner geworden ist und der Preisvektor um einen geringeren Faktor skaliert wird. 
In den Grafiken unten wird nochmal gezeigt, dass der Gradient identisch zu dem skalierten Preisvektor ist. 

==MC Fragen==

Gradientenmethode

2024-04-04T13:17:33Z

Okehne:

Datei:Gradient3.png

2024-04-04T13:02:13Z

Okehne:

Tangentialpunkt