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Preisdiskriminierung

2023-09-21T15:42:45Z

Uwalz: /* Preisdiskriminierung zweiten Grades */

==Definition==
Preisdiskriminierung ist die unterschiedliche Behandlung von Konsumenten seitens der Produzenten durch eine unterschiedliche Bepreisung. Der Grad der Diskriminierung hängt mit der Möglichkeit zusammen, wie genau die Produzenten identifizieren können, wer mit welcher individuellen Zahlungsbereitschaft sein Gut nachfragt und ob unterschiedliche Preise für dasselbe Gut erlaubt sind. Außerdem muß von Seiten des Produzenten sichergestellt werden können, dass die Konsumenten nicht durch Handel untereinander die Preisdiskriminierung aushebeln können (Bedingung der Arbitragefreiheit). Preisdiskriminierung ist nur mit Marktmacht möglich.

__TOC__

==Preisdiskriminierung ersten Grades==
Die Preisdiskriminierung ersten Grades wird auch als '''perfekte Preisdiskriminierung''' bezeichnet und beschreibt die vollständige Abschöpfung der [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Die Konsumentenrente|Konsumentenrente]]. Jeder Konsument muss seine marginale Zahlungsbereitschaft, den '''Reservationspreis''', für das Gut zahlen. 
''Beispiel'': Angenommen ein Konsument ist bereit für ein Gut 10€ zu zahlen. Liegt der Marktpreis unterhalb des Reservationspreises, entsteht dem Konsumenten durch die Differenz eine Rente. Mit perfekter Preisdiskriminierung muss der Konsument für das Gut 10€ zahlen und die vorherige [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Die Konsumentenrente|Konsumentenrente]] wird Teil der [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Die Produzentenrente|Produzentenrente]]. Für diese Form der Diskriminierung muss der Produzent entsprechend genau wissen welcher Konsument das Gut nachfragt und was sein Reservationspreis ist. Außerdem muss Abitrage ausgeschlossen werden. Das heißt es darf nicht möglich sein das Gut günstig zu kaufen und an einen anderen Konsumenten mit einer höheren Zahlungsbereitschaft weiterzuverkaufen. 
Haben alle Konsumenten dieselbe fallende [[Nachfrage|Nachfragefunktion]], liegt der jeweilige Preis für die Konsumenten genau auf der aggregierten Nachfragefunktion. 
[[Datei:PD1.Grades.png|300px|rahmenlos]] 
 
Ein Konsument muss beispielsweise genau <math> p_1 </math> bezahlen und die Fläche zwischen diesem Punkt auf der Nachfragefunktion und der [[Angebot|Angebotsfunktion]] entspricht der Produzentenrente dieser Transaktion. Die Möglichkeit die [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Die Produzentenrente|Produzentenrente]] selbst zu berechnen, bleibt unverändert: Die Fläche zwischen dem Preis und der Angebotsfunktion. Jedoch ist der Preis nicht mehr einheitlich, sondern von Konsument zu Konsument und von Menge zu Menge unterschiedlich. Diese Art der Preisdiskriminierung erzeugt keinen Wohlfahrtsverlust und stellt weiterhin ein [[Effizienz|effizientes]] [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewicht]] dar. 
Es ist recht offensichtlich, dass diese Form der Preisdiskriminierung schwer umzusetzen ist. Jedoch wird in der Realität durchaus versucht diesen Grad zu erreichen. Zum Beispiel: Unterscheiden sich die Preise beim online Bestellen abhängig davon wer wann auf welchem Gerät ein Gut kaufen möchte. Dabei versuchen Algorithmen auf Grund des Gerätes (PC,Laptop etc.) und anderer Informationen (Browserverlauf) den Reservationswert zu schätzen.

==Preisdiskriminierung zweiten Grades==
Die Preisdiskriminierung zweiten Grades ist eine unvollkommene Preisdiskriminierung und wird angewendet, wenn der Anbieter die Nachfrager nicht in Gruppen einordnen und auch nicht die marginale Zahlungsbereitschaft erkennen kann. Der Anbieter bildet mehrere Preistarife, in die sich die Nachfrager selbst hinein selektieren. Hierbei muss der Anbieter darauf achten, dass die Tarife so gebildet werden, dass kein Nachfrager einen Anreiz hat sich in einen anderes Tarif zu wählen der nicht ihm zugedacht ist. 
Beispiel sind Gasanbieter, die häufig einen Basispreis haben, der gezahlt werden muss, egal welche Leistung genutzt wird und ein Preis, der sich je nach genutzter Leistung verändert. Alle Nachfrager müssen den Basispreis bezahlen und zusätzlich pro Kilowattsunde einen Preis <math> p_1 </math>, sollte die Leistung in einer Spanne 1 liegen, einen Preis <math> p_2 </math> wenn in Spanne 2 und so weiter. 
Ein weiteres Beispiel sind Flugtickets mit unterschiedlicher Flexibilität: Konsumenten, die viel Flexibilität wünschen (z.B. Geschäftsreisende) werden Tickets mit hoher Flexibilität wählen (und höheren Preisen), andere mit viel Zeit billige Tickets mit wenig Flexibilität.

==Preisdiskriminierung dritten Grades==
Die Preisdiskriminierung dritten Grades ist eine unvollkommene Preisdiskriminierung und wird an Nachfragegruppen angewendet. Sie findet Anwendung, wenn die Produzenten die Nachfrager klar einer Gruppe zuordnen können, jedoch nicht den genauen Reservationspreis der Nachfrager kennen. Angenommen es gibt nur zwei Nachfragegruppen mit einer Nachfragegruppen-spezifischen [[Nachfrage|Nachfragefunktion]], dann maximiert der Anbieter (Monopolist) seinen Gewinn, indem er von beiden Nachfragergruppen einen unterschiedlichen Preis verlangt. 
<math> \Pi=(p_1*Q_1(P)-C_1(Q_1))+(p_2*Q_2(P)-C_2(Q_2)) </math> 
Das Maximieren des Gewinns nach <math> p_1 </math> und <math> p_2 </math> ergibt 
<math> MR_1=GK </math> und
<math> MR_2=GK </math> 
Dementsprechend muss gelten <math> MR_1=MR_2=GK </math> 
[[Datei:PD3.Grades.png|600px|rahmenlos]] 
 
Dass die [[Elastizitäten|elastischere Nachfragegruppe]] einen niedrigeren Preis zahlen muss, kann neben der grafischen Darstellung oben auch rechnerisch bewiesen werden. Nach den ersten Ableitungen und Erweiterungen ergibt sich 
<math> P=C'\biggl(\frac{1}{1-\frac{1}{\epsilon}}\biggr) </math> bei einer positiv definierten Elastizität und 
<math> P=C'\biggl(\frac{1}{1+\frac{1}{\epsilon}}\biggr) </math> bei einer negativ definierten Elastizität. In beiden Fällen ist der Preis größer, je unelastischer die Nachfrage ist (vorausgesetzt <math> C'>0 </math>). Diese Rechnung zeigt ebenfalls, dass ein [[Vergleich Gewinnmaximum bei unterschiedlichen Marktformen|Monopolist]] niemals im unelastischen Bereich produziert, denn dort ist die Elastizität betragsmäßig kleiner als eins und es käme ein Preis geringer als die Grenzkosten heraus. 
<math> \frac{p_1}{p_2}=\frac{1-\frac{1}{\epsilon_2}}{1-\frac{1}{\epsilon_1}} </math> beziehungsweise 
<math> \frac{p_1}{p_2}=\frac{1+\frac{1}{\epsilon_2}}{1+\frac{1}{\epsilon_1}} </math> 
zeigt, dass aus <math> |\epsilon_2|>|\epsilon_1| </math>, <math> p_1>p_2 </math> folgt. 
Die Preisdiskriminierung dritten Grades ist nur anwendbar, wenn Abitrage ausgeschlossen werden kann. 
''Beispiel'': Ein Kino kann Studentinnen und Studenten anhand der Ausweise ihrer Universität als solche identifizieren. Außerdem nimmt es an, dass diese Nachfragegruppe eine geringere Zahlungsbereitschaft hat, beziehungsweise elastischer ist. Daher verlangt es für jedes Ticket nach Vorlage eines Studierendenausweises einen geringeren Preis. Bei Popcorn kann das Kino nicht ausschließen, dass die Studierenden Popcorn vergünstigt kaufen und dann teurer weiterverkaufen. Daher vergibt es auf Popcorn keinen Studierendenrabatt, aber auf die Kinotickets selbst schon.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Bäcker setzt keinen festen Preis für seine Brötchen. Stattdessen entscheidet er wie viel jedem Käufer ein Brötchen Wert ist und berechnet dies als Preis. Der Bäcker betreibt Preisdiskriminierung
|type="()"}
+ ersten Grades.
- zweiten Grades
- dritten Grades
- Keine Antwort ist richtig
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{In einem Markt hat ein Produzent eine Kostenfunktion von <math> C(Q)=\frac{1}{4}Q^2-\frac{1}{2}Q </math>. Gleichzeitig existiert eine aggregierte Nachfragefunktion von <math> Q_D=10-P </math>. Wie groß ist die Produzentenrente, die der Produzent maximal erreichen kann, vorrausgesetzt er kennt den individuellen Reservationspreis eines jeden Nachfrager und Abitrage ist ausgeschlossen?
|type="()"}
+ 31,5
- 7
- 24,5
- 28,5
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Monopolist verkauft Pizza auf zwei verschiedenen Märkten mit unterschiedlichen Nachfragefunktionen. Die Nachfragefunktion lauten <math> P_1=200-Q_1 </math> und <math> P_2=190-3Q_2 </math>. Die Kostenfunktion für Pizzaproduktion lautet <math> C(Q)=500+40Q </math>, wobei <math> Q=Q_1+Q_2 </math>. Wie lauten die gewinnmaximierenden Preise und Mengen des Monopolisten, wenn er auf den beiden Märkten zu unterschiedlichen Preisen verkaufen kann?
|type="()"}
+ <math> P_1^*=120 </math> und <math> P_2^*=115 </math>
- <math> P_1^*=110 </math> und <math> P_2^*=110 </math>
- <math> P_1^*=100 </math> und <math> P_2^*=115 </math>
- <math> P_1^*=90 </math> und <math> P_2^*=70 </math>
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie lautet der Gewinnmaximale Preis des Monopolisten, wenn er Pizza nur auf einem Markt zu einem Preis verkaufen kann?
|type="()"}
+ <math> P^*=118,75 </math>
- <math> P^*=115 </math>
- <math> P^*=120 </math>
- <math> P^*=90 </math>
</quiz>

Preisdiskriminierung

2023-09-21T15:36:17Z

Uwalz: /* Definition */

==Definition==
Preisdiskriminierung ist die unterschiedliche Behandlung von Konsumenten seitens der Produzenten durch eine unterschiedliche Bepreisung. Der Grad der Diskriminierung hängt mit der Möglichkeit zusammen, wie genau die Produzenten identifizieren können, wer mit welcher individuellen Zahlungsbereitschaft sein Gut nachfragt und ob unterschiedliche Preise für dasselbe Gut erlaubt sind. Außerdem muß von Seiten des Produzenten sichergestellt werden können, dass die Konsumenten nicht durch Handel untereinander die Preisdiskriminierung aushebeln können (Bedingung der Arbitragefreiheit). Preisdiskriminierung ist nur mit Marktmacht möglich.

__TOC__

==Preisdiskriminierung ersten Grades==
Die Preisdiskriminierung ersten Grades wird auch als '''perfekte Preisdiskriminierung''' bezeichnet und beschreibt die vollständige Abschöpfung der [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Die Konsumentenrente|Konsumentenrente]]. Jeder Konsument muss seine marginale Zahlungsbereitschaft, den '''Reservationspreis''', für das Gut zahlen. 
''Beispiel'': Angenommen ein Konsument ist bereit für ein Gut 10€ zu zahlen. Liegt der Marktpreis unterhalb des Reservationspreises, entsteht dem Konsumenten durch die Differenz eine Rente. Mit perfekter Preisdiskriminierung muss der Konsument für das Gut 10€ zahlen und die vorherige [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Die Konsumentenrente|Konsumentenrente]] wird Teil der [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Die Produzentenrente|Produzentenrente]]. Für diese Form der Diskriminierung muss der Produzent entsprechend genau wissen welcher Konsument das Gut nachfragt und was sein Reservationspreis ist. Außerdem muss Abitrage ausgeschlossen werden. Das heißt es darf nicht möglich sein das Gut günstig zu kaufen und an einen anderen Konsumenten mit einer höheren Zahlungsbereitschaft weiterzuverkaufen. 
Haben alle Konsumenten dieselbe fallende [[Nachfrage|Nachfragefunktion]], liegt der jeweilige Preis für die Konsumenten genau auf der aggregierten Nachfragefunktion. 
[[Datei:PD1.Grades.png|300px|rahmenlos]] 
 
Ein Konsument muss beispielsweise genau <math> p_1 </math> bezahlen und die Fläche zwischen diesem Punkt auf der Nachfragefunktion und der [[Angebot|Angebotsfunktion]] entspricht der Produzentenrente dieser Transaktion. Die Möglichkeit die [[Konsumentenrente und Produzentenrente#Die Produzentenrente|Produzentenrente]] selbst zu berechnen, bleibt unverändert: Die Fläche zwischen dem Preis und der Angebotsfunktion. Jedoch ist der Preis nicht mehr einheitlich, sondern von Konsument zu Konsument und von Menge zu Menge unterschiedlich. Diese Art der Preisdiskriminierung erzeugt keinen Wohlfahrtsverlust und stellt weiterhin ein [[Effizienz|effizientes]] [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewicht]] dar. 
Es ist recht offensichtlich, dass diese Form der Preisdiskriminierung schwer umzusetzen ist. Jedoch wird in der Realität durchaus versucht diesen Grad zu erreichen. Zum Beispiel: Unterscheiden sich die Preise beim online Bestellen abhängig davon wer wann auf welchem Gerät ein Gut kaufen möchte. Dabei versuchen Algorithmen auf Grund des Gerätes (PC,Laptop etc.) und anderer Informationen (Browserverlauf) den Reservationswert zu schätzen.

==Preisdiskriminierung zweiten Grades==
Die Preisdiskriminierung zweiten Grades ist eine unvollkommene Preisdiskriminierung und wird angewendet, wenn der Anbieter die Nachfrager nicht in Gruppen einordnen und auch nicht die marginale Zahlungsbereitschaft erkennen kann. Der Anbieter bildet mehrere Preistarife, in die sich die Nachfrager selbst reinselektieren. Hierbei muss der Anbieter darauf achten, dass die Tarife so gebildet werden, dass kein Nachfrager einen Anreiz hat sich entgegen seinen tatsächlichen Präferenzen in einen anderes Tarif zu wählen. 
Beispiel sind Gasanbieter, die häufig einen Basispreis haben, der gezahlt werden muss, egal welche Leistung genutzt wird und ein Preis, der sich je nach genutzter Leistung verändert. Alle Nachfrager müssen den Basispreis bezahlen und zusätzlich pro Kilowattsunde einen Preis <math> p_1 </math>, sollte die Leistung in einer Spanne 1 liegen, einen Preis <math> p_2 </math> wenn in Spanne 2 und so weiter. 

==Preisdiskriminierung dritten Grades==
Die Preisdiskriminierung dritten Grades ist eine unvollkommene Preisdiskriminierung und wird an Nachfragegruppen angewendet. Sie findet Anwendung, wenn die Produzenten die Nachfrager klar einer Gruppe zuordnen können, jedoch nicht den genauen Reservationspreis der Nachfrager kennen. Angenommen es gibt nur zwei Nachfragegruppen mit einer Nachfragegruppen-spezifischen [[Nachfrage|Nachfragefunktion]], dann maximiert der Anbieter (Monopolist) seinen Gewinn, indem er von beiden Nachfragergruppen einen unterschiedlichen Preis verlangt. 
<math> \Pi=(p_1*Q_1(P)-C_1(Q_1))+(p_2*Q_2(P)-C_2(Q_2)) </math> 
Das Maximieren des Gewinns nach <math> p_1 </math> und <math> p_2 </math> ergibt 
<math> MR_1=GK </math> und
<math> MR_2=GK </math> 
Dementsprechend muss gelten <math> MR_1=MR_2=GK </math> 
[[Datei:PD3.Grades.png|600px|rahmenlos]] 
 
Dass die [[Elastizitäten|elastischere Nachfragegruppe]] einen niedrigeren Preis zahlen muss, kann neben der grafischen Darstellung oben auch rechnerisch bewiesen werden. Nach den ersten Ableitungen und Erweiterungen ergibt sich 
<math> P=C'\biggl(\frac{1}{1-\frac{1}{\epsilon}}\biggr) </math> bei einer positiv definierten Elastizität und 
<math> P=C'\biggl(\frac{1}{1+\frac{1}{\epsilon}}\biggr) </math> bei einer negativ definierten Elastizität. In beiden Fällen ist der Preis größer, je unelastischer die Nachfrage ist (vorausgesetzt <math> C'>0 </math>). Diese Rechnung zeigt ebenfalls, dass ein [[Vergleich Gewinnmaximum bei unterschiedlichen Marktformen|Monopolist]] niemals im unelastischen Bereich produziert, denn dort ist die Elastizität betragsmäßig kleiner als eins und es käme ein Preis geringer als die Grenzkosten heraus. 
<math> \frac{p_1}{p_2}=\frac{1-\frac{1}{\epsilon_2}}{1-\frac{1}{\epsilon_1}} </math> beziehungsweise 
<math> \frac{p_1}{p_2}=\frac{1+\frac{1}{\epsilon_2}}{1+\frac{1}{\epsilon_1}} </math> 
zeigt, dass aus <math> |\epsilon_2|>|\epsilon_1| </math>, <math> p_1>p_2 </math> folgt. 
Die Preisdiskriminierung dritten Grades ist nur anwendbar, wenn Abitrage ausgeschlossen werden kann. 
''Beispiel'': Ein Kino kann Studentinnen und Studenten anhand der Ausweise ihrer Universität als solche identifizieren. Außerdem nimmt es an, dass diese Nachfragegruppe eine geringere Zahlungsbereitschaft hat, beziehungsweise elastischer ist. Daher verlangt es für jedes Ticket nach Vorlage eines Studierendenausweises einen geringeren Preis. Bei Popcorn kann das Kino nicht ausschließen, dass die Studierenden Popcorn vergünstigt kaufen und dann teurer weiterverkaufen. Daher vergibt es auf Popcorn keinen Studierendenrabatt, aber auf die Kinotickets selbst schon.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Bäcker setzt keinen festen Preis für seine Brötchen. Stattdessen entscheidet er wie viel jedem Käufer ein Brötchen Wert ist und berechnet dies als Preis. Der Bäcker betreibt Preisdiskriminierung
|type="()"}
+ ersten Grades.
- zweiten Grades
- dritten Grades
- Keine Antwort ist richtig
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{In einem Markt hat ein Produzent eine Kostenfunktion von <math> C(Q)=\frac{1}{4}Q^2-\frac{1}{2}Q </math>. Gleichzeitig existiert eine aggregierte Nachfragefunktion von <math> Q_D=10-P </math>. Wie groß ist die Produzentenrente, die der Produzent maximal erreichen kann, vorrausgesetzt er kennt den individuellen Reservationspreis eines jeden Nachfrager und Abitrage ist ausgeschlossen?
|type="()"}
+ 31,5
- 7
- 24,5
- 28,5
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Monopolist verkauft Pizza auf zwei verschiedenen Märkten mit unterschiedlichen Nachfragefunktionen. Die Nachfragefunktion lauten <math> P_1=200-Q_1 </math> und <math> P_2=190-3Q_2 </math>. Die Kostenfunktion für Pizzaproduktion lautet <math> C(Q)=500+40Q </math>, wobei <math> Q=Q_1+Q_2 </math>. Wie lauten die gewinnmaximierenden Preise und Mengen des Monopolisten, wenn er auf den beiden Märkten zu unterschiedlichen Preisen verkaufen kann?
|type="()"}
+ <math> P_1^*=120 </math> und <math> P_2^*=115 </math>
- <math> P_1^*=110 </math> und <math> P_2^*=110 </math>
- <math> P_1^*=100 </math> und <math> P_2^*=115 </math>
- <math> P_1^*=90 </math> und <math> P_2^*=70 </math>
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie lautet der Gewinnmaximale Preis des Monopolisten, wenn er Pizza nur auf einem Markt zu einem Preis verkaufen kann?
|type="()"}
+ <math> P^*=118,75 </math>
- <math> P^*=115 </math>
- <math> P^*=120 </math>
- <math> P^*=90 </math>
</quiz>

Angebotsentscheidung bei vollkommener Konkurrenz

2023-09-21T15:32:54Z

Uwalz: /* Kurzfristige Angebotsentscheidung */

Unternehmen sind im Falle der vollkommenen Konkurrenz Preisnehmer und können den Preis nicht beeinflussen. Die einzigen Entscheidungen, die Unternehmen treffen, sind, ob und wie viele Güter sie auf dem Markt anbieten. Hierbei muss zwischen der langfristigen und der kurzfristigen Angebotsentscheidung differenziert werden.

__TOC__

==Angebotskurve==
Unternehmen sind im [[Marktformen|Perfekten Wettbewerb]] Preisnehmer und können unter den Standardannahmen keinen Preis über ihren [[Kostenarten#Grenzkosten|Grenzkosten]] verlangen. Sollte ein Unternehmen dennoch einen Preis oberhalb der Grenzkosten verlangen, haben die anderen Unternehmen einen Anreiz den Preis nur etwas darunter zu setzen. Dadurch erhalten sie die ganze Marktnachfrage. Das Unterbieten findet solange statt, bis der Preis gleich den Grenzkosten ist. 
Der Marktpreis ist daher exogen P. Die [[Vergleich Gewinnmaximum bei unterschiedlichen Marktformen#Gewinnmaximierung im perfekten Wettbewerb|Gewinnmaximierung]] ergibt die [[Angebot|Angebotsfunktion]] 
<math> P(q_i)=GK_i(q_i) </math>. Dies resultiert aus der Maximierung der Gewinnfunktion <math> P(q_i)q_i-K_i(q_i) </math> nach der Menge. Aufgrund der Bedingung zweiter Ordnung des Gewinnmaximierungsproblems wird das Unternehmen nur im ansteigenden Ast der Grenzkostenkurve produzieren. 
Bietet ein Unternehmen auf einem Markt an, entspricht die individuelle Angebotsfunktion der Grenzkostenkurve. Das Unternehmen bietet eine Menge <math> q </math> an, bei der die Grenzkosten gleich dem Marktpreis ist.

==Kurzfristige Angebotsentscheidung==
Die kurzfristige Angebotsentscheidung ist von der Frage geprägt, ob es sich für ein Unternehmen lohnt kurzfristig Güter anzubieten. Oder anders formuliert: Bei welchem Preis fängt ein Unternehmen kurzfristig an anzubieten? Damit es sich für ein Unternehmen kurzfristig lohnt Güter anzubieten, müssen die Variablen Kosten gedeckelt sein. Zur Analyse hilft die [[Marginale Sichtweise]]. Gilt DVK > GK, kostet es das Unternehmen die marginale Einheit zu produzieren weniger, als die Einheit durchschnittlich kostet. Wäre der Preis gleich den Grenzkosten, wie es im perfekten Wettbewerb der Fall ist, macht das Unternehmen mit der Produktion dieser Menge Verlust, da die vorherigen Einheiten in der Produktion durchschnittlich teurer waren, als ihr Preis. Grafisch befindet sich das Unternehmen in der Abbildung unten links vom Schnittpunkt. Bei DVK>GK und der Annahme der steigenden Grenzkosten, sinken die DVK und steigen die GK. Sind die Grenzkosten größer als die DVK, kann das Unternehmen einen Preis P=GK verlangen, bei dem die marginale Einheit teurer ist als sie im Durchschnitt kostet. Durch GK=P erzielt die letzte produzierte Einheit einen zusätzlichen Gewinn von Null. Da die vorherigen Einheiten jedoch günstiger waren, profitiert das Unternehmen davon. Sobald gilt 
<math> DVK \leq GK </math> 
fängt das Unternehmen an mit seiner P=GK Angebotsfunktion Güter zu produzieren und zu verkaufen. 
[[Datei:KurzfristigesAngebot.png|400px|rahmenlos]] 
 
Ein Unternehmen bleibt kurzfristig konkurrenzfähig, wenn der Preis oberhalb der DVK liegt. Damit können trotzdem kurzfristig negative Gewinne eingefahren werden, da die Fixkosten in der kurzfristigen Angebotsentscheidung nicht betrachtet werden. Der Schnittpunkt der GK Kurve mit der DVK Kurve (p=DVK) beschreibt das '''Betriebsminimum'''.

==Langfristige Angebotsentscheidung==
Die langfristige Angebotsentscheidung ist von der Frage geprägt, bei welchem Preis Unternehmen langfristig Nullgewinne oder sogar positive Gewinne einfahren können. In der langen Frist sind in der Regel auch die [[Kostenarten#Fixkosten|Fixkosten]] strategisch variabel. Zur grafischen Darstellung soll jedoch davon ausgegangen werden, dass sich die Fixkosten auch langfristig nicht verändert haben. Die Vorgehensweise ist vergleichbar wie bei der [[Angebotsentscheidung bei vollkommener Konkurrenz#Kurzfristige Angebotsentscheidung|Kurzfristigen Angebotsentscheidung]] mit dem Unterschied, dass nicht die DVK, sondern die durchschnittlichen [[Kostenarten#Gesamtkosten|Gesamtkosten]] (DTK) betrachtet werden. Langfristig bieten Unternehmen an, sobald der Preis oberhalb der DTK liegt. Aufgrund der steigenden Grenzkosten machen Unternehmen mit jeder Einheit durchschnittlich einen Gewinn. 
[[Datei:LangfristigesAngebot.png|400px|rahmenlos]] 
 
Langfristig bietet ein Unternehmen im Markt an, wenn der Preis oberhalb der DVK liegt. Der Schnittpunkt der GK Kurve mit der DTK Kurve (p=DTK) beschreibt das '''Betriebsoptimum''':

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Ein Unternehmen hat die Angebotsfunktion <math> Q(p)=-2,5+\frac{1}{8}p </math> und Kostenfunktion <math> C(x)=4x^2+20x+1000 </math>. Welcher der folgenden Preise ist der niedrigste Preis, zu dem das Unternehmen anbieten würde?
|type="()"}
- 14
- 16
- 18
+ 20
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welcher der folgenden Preise ist der niedrigste, bei dem ein Unternehmen mit einer Kostenfunktion <math> C(y)=5x^2+1000</math> langfristig anbietet (Keine negativen Gewinne hat)?
|type="()"}
- 1.
- 11.
+ 111.
- 1111.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wenn ein Marktpreis größer ist als die DVK, aber kleiner als die DTK, bietet ein Unternehmen langfristig nicht an, da es so Verluste machen würde. 
Diese Aussage ist
|type="()"}
- Wahr
+ Falsch
</quiz>

Angebotsentscheidung bei vollkommener Konkurrenz

2023-09-21T15:30:57Z

Uwalz: /* Angebotskurve */

Unternehmen sind im Falle der vollkommenen Konkurrenz Preisnehmer und können den Preis nicht beeinflussen. Die einzigen Entscheidungen, die Unternehmen treffen, sind, ob und wie viele Güter sie auf dem Markt anbieten. Hierbei muss zwischen der langfristigen und der kurzfristigen Angebotsentscheidung differenziert werden.

__TOC__

==Angebotskurve==
Unternehmen sind im [[Marktformen|Perfekten Wettbewerb]] Preisnehmer und können unter den Standardannahmen keinen Preis über ihren [[Kostenarten#Grenzkosten|Grenzkosten]] verlangen. Sollte ein Unternehmen dennoch einen Preis oberhalb der Grenzkosten verlangen, haben die anderen Unternehmen einen Anreiz den Preis nur etwas darunter zu setzen. Dadurch erhalten sie die ganze Marktnachfrage. Das Unterbieten findet solange statt, bis der Preis gleich den Grenzkosten ist. 
Der Marktpreis ist daher exogen P. Die [[Vergleich Gewinnmaximum bei unterschiedlichen Marktformen#Gewinnmaximierung im perfekten Wettbewerb|Gewinnmaximierung]] ergibt die [[Angebot|Angebotsfunktion]] 
<math> P(q_i)=GK_i(q_i) </math>. Dies resultiert aus der Maximierung der Gewinnfunktion <math> P(q_i)q_i-K_i(q_i) </math> nach der Menge. Aufgrund der Bedingung zweiter Ordnung des Gewinnmaximierungsproblems wird das Unternehmen nur im ansteigenden Ast der Grenzkostenkurve produzieren. 
Bietet ein Unternehmen auf einem Markt an, entspricht die individuelle Angebotsfunktion der Grenzkostenkurve. Das Unternehmen bietet eine Menge <math> q </math> an, bei der die Grenzkosten gleich dem Marktpreis ist.

==Kurzfristige Angebotsentscheidung==
Die kurzfristige Angebotsentscheidung ist von der Frage geprägt, ob es sich für ein Unternehmen lohnt kurzfristig Güter anzubieten. Oder anders formuliert: Bei welchem Preis fängt ein Unternehmen kurzfristig an anzubieten? Damit es sich für ein Unternehmen kurzfristig lohnt Güter anzubieten, müssen die Variablen Kosten gedeckelt sein. Zur Analyse hilft die [[Marginale Sichtweise]]. Gilt DVK > GK, kostet es das Unternehmen die marginale Einheit zu produzieren weniger, als die Einheit durchschnittlich kostet. Wäre der Preis gleich den Grenzkosten, wie es im perfekten Wettbewerb der Fall ist, macht das Unternehmen mit der Produktion dieser Menge Verlust, da die vorherigen Einheiten in der Produktion durchschnittlich teurer waren, als ihr Preis. Grafisch befindet sich das Unternehmen in der Abbildung unten links vom Schnittpunkt. Bei DVK>GK und der Annahme der steigenden Grenzkosten, sinken die DVK und steigen die GK. Sind die Grenzkosten größer als die DVK, kann das Unternehmen einen Preis P=GK verlangen, bei dem die marginale Einheit teurer ist als sie im Durchschnitt kostet. Durch GK=P bringt die marginale Einheit einen Nullgewinn. Da die vorherigen Einheiten jedoch günstiger waren, profitiert das Unternehmen davon. Sobald gilt 
<math> DVK \leq GK </math> 
fängt das Unternehmen an mit seiner P=GK Angebotsfunktion Güter zu produzieren und zu verkaufen. 
[[Datei:KurzfristigesAngebot.png|400px|rahmenlos]] 
 
Ein Unternehmen bleibt kurzfristig konkurrenzfähig, wenn der Preis oberhalb der DVK liegt. Damit können trotzdem kurzfristig negative Gewinne eingefahren werden, da die Fixkosten in der kurzfristigen Angebotsentscheidung nicht betrachtet werden. Der Schnittpunkt der GK Kurve mit der DVK Kurve (p=DVK) beschreibt das '''Betriebsminimum'''.

==Langfristige Angebotsentscheidung==
Die langfristige Angebotsentscheidung ist von der Frage geprägt, bei welchem Preis Unternehmen langfristig Nullgewinne oder sogar positive Gewinne einfahren können. In der langen Frist sind in der Regel auch die [[Kostenarten#Fixkosten|Fixkosten]] strategisch variabel. Zur grafischen Darstellung soll jedoch davon ausgegangen werden, dass sich die Fixkosten auch langfristig nicht verändert haben. Die Vorgehensweise ist vergleichbar wie bei der [[Angebotsentscheidung bei vollkommener Konkurrenz#Kurzfristige Angebotsentscheidung|Kurzfristigen Angebotsentscheidung]] mit dem Unterschied, dass nicht die DVK, sondern die durchschnittlichen [[Kostenarten#Gesamtkosten|Gesamtkosten]] (DTK) betrachtet werden. Langfristig bieten Unternehmen an, sobald der Preis oberhalb der DTK liegt. Aufgrund der steigenden Grenzkosten machen Unternehmen mit jeder Einheit durchschnittlich einen Gewinn. 
[[Datei:LangfristigesAngebot.png|400px|rahmenlos]] 
 
Langfristig bietet ein Unternehmen im Markt an, wenn der Preis oberhalb der DVK liegt. Der Schnittpunkt der GK Kurve mit der DTK Kurve (p=DTK) beschreibt das '''Betriebsoptimum''':

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Ein Unternehmen hat die Angebotsfunktion <math> Q(p)=-2,5+\frac{1}{8}p </math> und Kostenfunktion <math> C(x)=4x^2+20x+1000 </math>. Welcher der folgenden Preise ist der niedrigste Preis, zu dem das Unternehmen anbieten würde?
|type="()"}
- 14
- 16
- 18
+ 20
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welcher der folgenden Preise ist der niedrigste, bei dem ein Unternehmen mit einer Kostenfunktion <math> C(y)=5x^2+1000</math> langfristig anbietet (Keine negativen Gewinne hat)?
|type="()"}
- 1.
- 11.
+ 111.
- 1111.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wenn ein Marktpreis größer ist als die DVK, aber kleiner als die DTK, bietet ein Unternehmen langfristig nicht an, da es so Verluste machen würde. 
Diese Aussage ist
|type="()"}
- Wahr
+ Falsch
</quiz>

Angebotsentscheidung bei vollkommener Konkurrenz

2023-09-21T15:30:30Z

Uwalz: /* Angebotskurve */

Unternehmen sind im Falle der vollkommenen Konkurrenz Preisnehmer und können den Preis nicht beeinflussen. Die einzigen Entscheidungen, die Unternehmen treffen, sind, ob und wie viele Güter sie auf dem Markt anbieten. Hierbei muss zwischen der langfristigen und der kurzfristigen Angebotsentscheidung differenziert werden.

__TOC__

==Angebotskurve==
Unternehmen sind im [[Marktformen|Perfekten Wettbewerb]] Preisnehmer und können unter den Standardannahmen keinen Preis über ihren [[Kostenarten#Grenzkosten|Grenzkosten]] verlangen. Sollte ein Unternehmen dennoch einen Preis oberhalb der Grenzkosten verlangen, haben die anderen Unternehmen einen Anreiz den Preis nur etwas darunter zu setzen. Dadurch erhalten sie die ganze Marktnachfrage. Das Unterbieten findet solange statt, bis der Preis gleich den Grenzkosten ist. 
Der Marktpreis ist daher exogen P. Die [[Vergleich Gewinnmaximum bei unterschiedlichen Marktformen#Gewinnmaximierung im perfekten Wettbewerb|Gewinnmaximierung]] ergibt die [[Angebot|Angebotsfunktion]] 
<math> P(q_i)=GK_i(q_i) </math> . Dies resultiert aus der Maximierung der Gewinnfunktion <math> P(q_i)q_i-K_i(q_i) </math> nach der Menge. Aufgrund der Bedingung zweiter Ordnung des Gewinnmaximierungsproblems wird das Unternehmen nur im ansteigenden Ast der Grenzkostenkurve produzieren. 
Bietet ein Unternehmen auf einem Markt an, entspricht die individuelle Angebotsfunktion der Grenzkostenkurve. Das Unternehmen bietet eine Menge <math> q </math> an, bei der die Grenzkosten gleich dem Marktpreis ist.

==Kurzfristige Angebotsentscheidung==
Die kurzfristige Angebotsentscheidung ist von der Frage geprägt, ob es sich für ein Unternehmen lohnt kurzfristig Güter anzubieten. Oder anders formuliert: Bei welchem Preis fängt ein Unternehmen kurzfristig an anzubieten? Damit es sich für ein Unternehmen kurzfristig lohnt Güter anzubieten, müssen die Variablen Kosten gedeckelt sein. Zur Analyse hilft die [[Marginale Sichtweise]]. Gilt DVK > GK, kostet es das Unternehmen die marginale Einheit zu produzieren weniger, als die Einheit durchschnittlich kostet. Wäre der Preis gleich den Grenzkosten, wie es im perfekten Wettbewerb der Fall ist, macht das Unternehmen mit der Produktion dieser Menge Verlust, da die vorherigen Einheiten in der Produktion durchschnittlich teurer waren, als ihr Preis. Grafisch befindet sich das Unternehmen in der Abbildung unten links vom Schnittpunkt. Bei DVK>GK und der Annahme der steigenden Grenzkosten, sinken die DVK und steigen die GK. Sind die Grenzkosten größer als die DVK, kann das Unternehmen einen Preis P=GK verlangen, bei dem die marginale Einheit teurer ist als sie im Durchschnitt kostet. Durch GK=P bringt die marginale Einheit einen Nullgewinn. Da die vorherigen Einheiten jedoch günstiger waren, profitiert das Unternehmen davon. Sobald gilt 
<math> DVK \leq GK </math> 
fängt das Unternehmen an mit seiner P=GK Angebotsfunktion Güter zu produzieren und zu verkaufen. 
[[Datei:KurzfristigesAngebot.png|400px|rahmenlos]] 
 
Ein Unternehmen bleibt kurzfristig konkurrenzfähig, wenn der Preis oberhalb der DVK liegt. Damit können trotzdem kurzfristig negative Gewinne eingefahren werden, da die Fixkosten in der kurzfristigen Angebotsentscheidung nicht betrachtet werden. Der Schnittpunkt der GK Kurve mit der DVK Kurve (p=DVK) beschreibt das '''Betriebsminimum'''.

==Langfristige Angebotsentscheidung==
Die langfristige Angebotsentscheidung ist von der Frage geprägt, bei welchem Preis Unternehmen langfristig Nullgewinne oder sogar positive Gewinne einfahren können. In der langen Frist sind in der Regel auch die [[Kostenarten#Fixkosten|Fixkosten]] strategisch variabel. Zur grafischen Darstellung soll jedoch davon ausgegangen werden, dass sich die Fixkosten auch langfristig nicht verändert haben. Die Vorgehensweise ist vergleichbar wie bei der [[Angebotsentscheidung bei vollkommener Konkurrenz#Kurzfristige Angebotsentscheidung|Kurzfristigen Angebotsentscheidung]] mit dem Unterschied, dass nicht die DVK, sondern die durchschnittlichen [[Kostenarten#Gesamtkosten|Gesamtkosten]] (DTK) betrachtet werden. Langfristig bieten Unternehmen an, sobald der Preis oberhalb der DTK liegt. Aufgrund der steigenden Grenzkosten machen Unternehmen mit jeder Einheit durchschnittlich einen Gewinn. 
[[Datei:LangfristigesAngebot.png|400px|rahmenlos]] 
 
Langfristig bietet ein Unternehmen im Markt an, wenn der Preis oberhalb der DVK liegt. Der Schnittpunkt der GK Kurve mit der DTK Kurve (p=DTK) beschreibt das '''Betriebsoptimum''':

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Ein Unternehmen hat die Angebotsfunktion <math> Q(p)=-2,5+\frac{1}{8}p </math> und Kostenfunktion <math> C(x)=4x^2+20x+1000 </math>. Welcher der folgenden Preise ist der niedrigste Preis, zu dem das Unternehmen anbieten würde?
|type="()"}
- 14
- 16
- 18
+ 20
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welcher der folgenden Preise ist der niedrigste, bei dem ein Unternehmen mit einer Kostenfunktion <math> C(y)=5x^2+1000</math> langfristig anbietet (Keine negativen Gewinne hat)?
|type="()"}
- 1.
- 11.
+ 111.
- 1111.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wenn ein Marktpreis größer ist als die DVK, aber kleiner als die DTK, bietet ein Unternehmen langfristig nicht an, da es so Verluste machen würde. 
Diese Aussage ist
|type="()"}
- Wahr
+ Falsch
</quiz>

Angebotsentscheidung bei vollkommener Konkurrenz

2023-09-21T15:26:54Z

Uwalz: /* Angebotskurve */

Unternehmen sind im Falle der vollkommenen Konkurrenz Preisnehmer und können den Preis nicht beeinflussen. Die einzigen Entscheidungen, die Unternehmen treffen, sind, ob und wie viele Güter sie auf dem Markt anbieten. Hierbei muss zwischen der langfristigen und der kurzfristigen Angebotsentscheidung differenziert werden.

__TOC__

==Angebotskurve==
Unternehmen sind im [[Marktformen|Perfekten Wettbewerb]] Preisnehmer und können unter den Standardannahmen keinen Preis über ihren [[Kostenarten#Grenzkosten|Grenzkosten]] verlangen. Sollte ein Unternehmen dennoch einen Preis oberhalb der Grenzkosten verlangen, haben die anderen Unternehmen einen Anreiz den Preis nur etwas darunter zu setzen. Dadurch erhalten sie die ganze Marktnachfrage. Das Unterbieten findet solange statt, bis der Preis gleich den Grenzkosten ist. 
Der Marktpreis ist daher exogen P. Die [[Vergleich Gewinnmaximum bei unterschiedlichen Marktformen#Gewinnmaximierung im perfekten Wettbewerb|Gewinnmaximierung]] ergibt die [[Angebot|Angebotsfunktion]] 
<math> P(q_i)=GK_i(q_i) </math> 
Bietet ein Unternehmen auf einem Markt an, entspricht die individuelle Angebotsfunktion der Grenzkostenkurve. Das Unternehmen bietet eine Menge <math> q </math> an, bei der die Grenzkosten gleich dem Marktpreis ist.

==Kurzfristige Angebotsentscheidung==
Die kurzfristige Angebotsentscheidung ist von der Frage geprägt, ob es sich für ein Unternehmen lohnt kurzfristig Güter anzubieten. Oder anders formuliert: Bei welchem Preis fängt ein Unternehmen kurzfristig an anzubieten? Damit es sich für ein Unternehmen kurzfristig lohnt Güter anzubieten, müssen die Variablen Kosten gedeckelt sein. Zur Analyse hilft die [[Marginale Sichtweise]]. Gilt DVK > GK, kostet es das Unternehmen die marginale Einheit zu produzieren weniger, als die Einheit durchschnittlich kostet. Wäre der Preis gleich den Grenzkosten, wie es im perfekten Wettbewerb der Fall ist, macht das Unternehmen mit der Produktion dieser Menge Verlust, da die vorherigen Einheiten in der Produktion durchschnittlich teurer waren, als ihr Preis. Grafisch befindet sich das Unternehmen in der Abbildung unten links vom Schnittpunkt. Bei DVK>GK und der Annahme der steigenden Grenzkosten, sinken die DVK und steigen die GK. Sind die Grenzkosten größer als die DVK, kann das Unternehmen einen Preis P=GK verlangen, bei dem die marginale Einheit teurer ist als sie im Durchschnitt kostet. Durch GK=P bringt die marginale Einheit einen Nullgewinn. Da die vorherigen Einheiten jedoch günstiger waren, profitiert das Unternehmen davon. Sobald gilt 
<math> DVK \leq GK </math> 
fängt das Unternehmen an mit seiner P=GK Angebotsfunktion Güter zu produzieren und zu verkaufen. 
[[Datei:KurzfristigesAngebot.png|400px|rahmenlos]] 
 
Ein Unternehmen bleibt kurzfristig konkurrenzfähig, wenn der Preis oberhalb der DVK liegt. Damit können trotzdem kurzfristig negative Gewinne eingefahren werden, da die Fixkosten in der kurzfristigen Angebotsentscheidung nicht betrachtet werden. Der Schnittpunkt der GK Kurve mit der DVK Kurve (p=DVK) beschreibt das '''Betriebsminimum'''.

==Langfristige Angebotsentscheidung==
Die langfristige Angebotsentscheidung ist von der Frage geprägt, bei welchem Preis Unternehmen langfristig Nullgewinne oder sogar positive Gewinne einfahren können. In der langen Frist sind in der Regel auch die [[Kostenarten#Fixkosten|Fixkosten]] strategisch variabel. Zur grafischen Darstellung soll jedoch davon ausgegangen werden, dass sich die Fixkosten auch langfristig nicht verändert haben. Die Vorgehensweise ist vergleichbar wie bei der [[Angebotsentscheidung bei vollkommener Konkurrenz#Kurzfristige Angebotsentscheidung|Kurzfristigen Angebotsentscheidung]] mit dem Unterschied, dass nicht die DVK, sondern die durchschnittlichen [[Kostenarten#Gesamtkosten|Gesamtkosten]] (DTK) betrachtet werden. Langfristig bieten Unternehmen an, sobald der Preis oberhalb der DTK liegt. Aufgrund der steigenden Grenzkosten machen Unternehmen mit jeder Einheit durchschnittlich einen Gewinn. 
[[Datei:LangfristigesAngebot.png|400px|rahmenlos]] 
 
Langfristig bietet ein Unternehmen im Markt an, wenn der Preis oberhalb der DVK liegt. Der Schnittpunkt der GK Kurve mit der DTK Kurve (p=DTK) beschreibt das '''Betriebsoptimum''':

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Ein Unternehmen hat die Angebotsfunktion <math> Q(p)=-2,5+\frac{1}{8}p </math> und Kostenfunktion <math> C(x)=4x^2+20x+1000 </math>. Welcher der folgenden Preise ist der niedrigste Preis, zu dem das Unternehmen anbieten würde?
|type="()"}
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+ 20
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welcher der folgenden Preise ist der niedrigste, bei dem ein Unternehmen mit einer Kostenfunktion <math> C(y)=5x^2+1000</math> langfristig anbietet (Keine negativen Gewinne hat)?
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- 1.
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- 1111.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wenn ein Marktpreis größer ist als die DVK, aber kleiner als die DTK, bietet ein Unternehmen langfristig nicht an, da es so Verluste machen würde. 
Diese Aussage ist
|type="()"}
- Wahr
+ Falsch
</quiz>

Angebotsentscheidung bei vollkommener Konkurrenz

2023-09-21T15:21:02Z

Uwalz: /* Angebotskurve */

Unternehmen sind im Falle der vollkommenen Konkurrenz Preisnehmer und können den Preis nicht beeinflussen. Die einzigen Entscheidungen, die Unternehmen treffen, sind, ob und wie viele Güter sie auf dem Markt anbieten. Hierbei muss zwischen der langfristigen und der kurzfristigen Angebotsentscheidung differenziert werden.

__TOC__

==Angebotskurve==
Unternehmen sind im [[Marktformen|Perfekten Wettbewerb]] Preisnehmer und können unter den Standardannahmen keinen Preis über ihren [[Kostenarten#Grenzkosten|Grenzkosten]] verlangen. Sollte ein Unternehmen dennoch einen Preis oberhalb der Grenzkosten verlangen, haben die anderen Unternehmen einen Anreiz den Preis nur etwas darunter zu setzen. Dadurch erhalten sie die ganze Marktnachfrage. Das Unterbieten findet solange statt, bis der Preis gleich den Grenzkosten ist (siehe hierfür auch [[Oligopole#Bertrand Wettbewerb#Homogene Güter|Bertrand Homogene Güter]]). 
Der Marktpreis ist daher exogen P. Die [[Vergleich Gewinnmaximum bei unterschiedlichen Marktformen#Gewinnmaximierung im perfekten Wettbewerb|Gewinnmaximierung]] ergibt die [[Angebot|Angebotsfunktion]] 
<math> P(q_i)=GK_i(q_i) </math> 
Bietet ein Unternehmen auf einem Markt an, entspricht die individuelle Angebotsfunktion der Grenzkostenkurve. Das Unternehmen bietet eine Menge <math> q </math> an, bei der die Grenzkosten gleich dem Marktpreis ist.

==Kurzfristige Angebotsentscheidung==
Die kurzfristige Angebotsentscheidung ist von der Frage geprägt, ob es sich für ein Unternehmen lohnt kurzfristig Güter anzubieten. Oder anders formuliert: Bei welchem Preis fängt ein Unternehmen kurzfristig an anzubieten? Damit es sich für ein Unternehmen kurzfristig lohnt Güter anzubieten, müssen die Variablen Kosten gedeckelt sein. Zur Analyse hilft die [[Marginale Sichtweise]]. Gilt DVK > GK, kostet es das Unternehmen die marginale Einheit zu produzieren weniger, als die Einheit durchschnittlich kostet. Wäre der Preis gleich den Grenzkosten, wie es im perfekten Wettbewerb der Fall ist, macht das Unternehmen mit der Produktion dieser Menge Verlust, da die vorherigen Einheiten in der Produktion durchschnittlich teurer waren, als ihr Preis. Grafisch befindet sich das Unternehmen in der Abbildung unten links vom Schnittpunkt. Bei DVK>GK und der Annahme der steigenden Grenzkosten, sinken die DVK und steigen die GK. Sind die Grenzkosten größer als die DVK, kann das Unternehmen einen Preis P=GK verlangen, bei dem die marginale Einheit teurer ist als sie im Durchschnitt kostet. Durch GK=P bringt die marginale Einheit einen Nullgewinn. Da die vorherigen Einheiten jedoch günstiger waren, profitiert das Unternehmen davon. Sobald gilt 
<math> DVK \leq GK </math> 
fängt das Unternehmen an mit seiner P=GK Angebotsfunktion Güter zu produzieren und zu verkaufen. 
[[Datei:KurzfristigesAngebot.png|400px|rahmenlos]] 
 
Ein Unternehmen bleibt kurzfristig konkurrenzfähig, wenn der Preis oberhalb der DVK liegt. Damit können trotzdem kurzfristig negative Gewinne eingefahren werden, da die Fixkosten in der kurzfristigen Angebotsentscheidung nicht betrachtet werden. Der Schnittpunkt der GK Kurve mit der DVK Kurve (p=DVK) beschreibt das '''Betriebsminimum'''.

==Langfristige Angebotsentscheidung==
Die langfristige Angebotsentscheidung ist von der Frage geprägt, bei welchem Preis Unternehmen langfristig Nullgewinne oder sogar positive Gewinne einfahren können. In der langen Frist sind in der Regel auch die [[Kostenarten#Fixkosten|Fixkosten]] strategisch variabel. Zur grafischen Darstellung soll jedoch davon ausgegangen werden, dass sich die Fixkosten auch langfristig nicht verändert haben. Die Vorgehensweise ist vergleichbar wie bei der [[Angebotsentscheidung bei vollkommener Konkurrenz#Kurzfristige Angebotsentscheidung|Kurzfristigen Angebotsentscheidung]] mit dem Unterschied, dass nicht die DVK, sondern die durchschnittlichen [[Kostenarten#Gesamtkosten|Gesamtkosten]] (DTK) betrachtet werden. Langfristig bieten Unternehmen an, sobald der Preis oberhalb der DTK liegt. Aufgrund der steigenden Grenzkosten machen Unternehmen mit jeder Einheit durchschnittlich einen Gewinn. 
[[Datei:LangfristigesAngebot.png|400px|rahmenlos]] 
 
Langfristig bietet ein Unternehmen im Markt an, wenn der Preis oberhalb der DVK liegt. Der Schnittpunkt der GK Kurve mit der DTK Kurve (p=DTK) beschreibt das '''Betriebsoptimum''':

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Ein Unternehmen hat die Angebotsfunktion <math> Q(p)=-2,5+\frac{1}{8}p </math> und Kostenfunktion <math> C(x)=4x^2+20x+1000 </math>. Welcher der folgenden Preise ist der niedrigste Preis, zu dem das Unternehmen anbieten würde?
|type="()"}
- 14
- 16
- 18
+ 20
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Welcher der folgenden Preise ist der niedrigste, bei dem ein Unternehmen mit einer Kostenfunktion <math> C(y)=5x^2+1000</math> langfristig anbietet (Keine negativen Gewinne hat)?
|type="()"}
- 1.
- 11.
+ 111.
- 1111.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wenn ein Marktpreis größer ist als die DVK, aber kleiner als die DTK, bietet ein Unternehmen langfristig nicht an, da es so Verluste machen würde. 
Diese Aussage ist
|type="()"}
- Wahr
+ Falsch
</quiz>

Produktionsfunktion und Isoquante

2023-09-21T15:10:35Z

Uwalz: /* Die Produktionsfunktion */

==Definition==
Die Produktionsfunktion gibt an, wie groß die Produktionsmenge ist, die mit gegeben Kombinationen der Inputs produziert werden kann. Die Umwandlung aller Inputs zu den produzierten Gütern wird als Produktionstechnologie bezeichnet. Die Inputs selbst werden auch als Inputfaktoren bezeichnet. Typische Inputfaktoren sind Arbeit (L) und Kapital (K).

__TOC__

==Die Produktionsfunktion==
Die Produktionsfunktion gibt an, mit welchen Inputfaktoren welche Menge produziert werden kann. Abhängig von der gewählten Technologie kann die Anzahl der Inputfaktoren und die Funktion selbst variieren. In der Literatur wird sich häufig auf zwei Inputfaktoren, Kapital (K) und Arbeit (L) beschränkt, doch können in anderen Produktionen durchaus eine veränderte Anzahl von Inputfaktoren benötigt werden. 
<math> Q=F(K,L)</math>
beschreibt, dass eine Menge Q mit einer Produktionsfunktion F produziert wird, die abhängig ist von den beiden Inputs K und L. 
''Beispiel'': Ein Unternehmen produziert mit einer Produktionsfunktion von <math> F(K,L)=K L </math>. Mit einem Kapitaleinsatz von 5 und 2 Einheiten von L, kann das Unternehmen 10 Einheiten produzieren.

==Durchschnittsprodukt und Grenzprodukt==
In der Analyse wie groß die Produktionsmenge pro Einheit eines bestimmten Inputfaktors durchschnittlich ist, muss die Produktionsmenge durch die Inputmenge geteilt werden. Werden mit 5 Arbeitern 50 Einheiten produziert, so produziert jeder Arbeiter im Durchschnitt 10 Einheiten. Allgemein lässt sich die Produktionsfunktion, die die Produktionsmenge beschreibt, durch die Inputmenge teilen. 
Durchschnittsprodukt der Arbeit: <math>DPL=\frac{F(K,L)}{L} </math> 
Soll das Durchschnittsprodukt der Arbeit berechnet werden, kann die Produktionsfunktion durch eine allgemeine Menge der Arbeit geteilt werden. Das Ergebnis ist eine Funktion, die das Durchschnittsprodukt für ein allgemeines L angibt. Ist das DPL beispielsweise gleich 10/L, so ist das DPL für 5 Arbeiter 2 und für 2 Arbeiter 5. Es kann auch Fälle geben, für die das Durchschnittsprodukt der Arbeit eine konstante Zahl ist. In dem Fall ist das DPL konstant und unabhängig von L. 
Das Durchschnittsprodukt lässt sich für sämtliche Inputfaktoren auf dieselbe Art berechnen und ist aus der Berechnung der [[Kostenarten#Durchschnittliche Kosten|durchschnittlichen Kosten]] bekannt. 
 
Das Grenzprodukt betrachtet um wie viel eine [[Marginale Sichtweise|marginale Einheit]] eines Inputfaktors ceteris paribus die Produktionsmenge verändert. Diese marginale Änderung ist in der Ableitung der Produktionsfunktion nach dem zu betrachtenden Inputfaktor beschrieben. Ist zum Beispiel das Grenzprodukt der Arbeit von Interesse, so wird die Produktionsfunktion nach L abgeleitet (<math> \frac{\part F(K,L)}{\part L}</math>). 
 
 
[[Datei:GP und DP.png|250px|rahmenlos|links]]
Die Relation zwischen dem Durchschnittsprodukt und dem Grenzprodukt wird in der Abbildung links deutlich. Seien alle Inputfaktoren konstant, verändert ein steigendes Level von L den Output. Ohne Arbeit findet keine Produktion statt und je mehr L eingesetzt wird, desto größer wird anfangs die Produktionsmenge. Dabei steigt die Menge nicht nur, sie steigt auch immer stärker. Jede einzelne Einheit von L erhöht die Produktionsmenge stärker als die Einheit vorher. Das Grenzprodukt ist demnach positiv und steigend. Bei einer Menge <math> L_1 </math> steigt der Output am stärksten an, das Grenzprodukt hat hier sein Maximum. Nach diesem sinkt das Grenzprodukt und bleibt dabei positiv. Die Produktionsmenge steigt demnach weiter, jedoch sind zusätzliche Einheiten Arbeit weniger effektiv als die vorigen. Sobald das Grenzprodukt negativ wird, reduziert jede weitere Einheit die Produktionsmenge, daher hat die Produktionsfunktion bei <math> L_3 </math> ein Maximum. 
Die Steigung der gestrichelten Linie, die durch den Ursprung und einen Punkt auf der Produktionsfunktion verläuft, stellt das Durchschnittsprodukt für die jeweilige Menge von L dar. Startend bei L=0 steigt das Durchschnittsprodukt, ehe es nach <math> L_2 </math> wieder anfängt zu sinken. Die DPL-Funktion besitzt bei dieser Menge ein Maximum. Es kann allgemein bewiesen werden, dass die GP-Funktion durch das lokale Maximum verläuft. 
<math> \frac{\part DPL}{\part L}=\frac{\part[\frac{F(K,L)}{L}]}{\part L}=\frac{F_L(K,L)*L-F(K,L)*1}{L^2}=0 </math> 
<math> F_L(K,L)*L-F(K,L)=0 </math> 
<math> F_L(K,L)*L=F(K,L) </math> 
<math> F_L(K,L)=\frac{F(K,L)}{L} </math> 
<math> GPL=DPL </math> 
Im Extrempunkt des Durchschnittsprodukt ist dieses gleich dem Grenzprodukt.

 

==Isoquante==
Die Isoquante gibt alle möglichen Kombinationen der Inputfaktoren an, bei denen die Produktionsmenge konstant bleibt <math> \bar{Q}=F(K,L) </math>. Zu grafischen Darstellung muss nach einer der beiden Inputfaktoren umgestellt werden. Sei beispielsweise <math>F(K,L)=K^{0,5}L^{0,5}</math> die Produktionsfunktion. Ein konstantes Produktionslevel führt zu 
<math> K=\frac{\bar{Q}^2}{L} </math> 
Analog zu den [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurven]], können die Isoquanten grafisch dargestellt werden. 
[[Datei:Isoquante.png|300px|rahmenlos]] 
Unbeachtet dessen, dass Isoquanten auch anders verlaufen können, sind die obigen typisch, da sie ein abnehmendes Grenzprodukt implizieren. Ein abnehmendes Grenzprodukt beschreibt das Phänomen, dass der [[Marginale Sichtweise|marginale Nutzen]] einer Einheit bei einem steigen des Inputleveles kleiner wird. Wenn in einer Pizzeria ein Arbeiter anfängt, ist das Grenzprodukt dieses Arbeiters sehr groß. Ein weiterer Arbeiter produziert selbst nicht mehr so viele Pizzen wie der erste, aber immer noch mehr als der dritte. Je mehr Pizzabäcker eingestellt werden, desto kleiner wird das Grenzprodukt. Ist die unterste Isoquante Teil der Betrachtung und in der derzeitigen Güterkombination wird sie mit einem geringen Kapitaleinsatz und sehr hohen Arbeitseinsatz erreicht, benötigt es einen sehr großen zusätzlichen Arbeitseinsatz, um nur eine Einheit des Kapitals einsparen zu können.

==Grenzrate der technischen Substitution==
Die Grenzrate der technischen Substitution beschreibt das marginale Austauschverhältnis der beiden Inputs, um das Produktionsniveau beizubehalten (vgl. MRS). Angenommen <math> \Delta L </math> soll eingespart werden. Damit weiterhin <math> Q_1 </math> erreicht wird benötigt es <math> \Delta K </math>. In ein Verhältnis zueinander gesetzt sagt die GRTS aus, wie viele Einheiten von K es benötigt, um eine Einheit von L einzusparen. 
<math> GRTS_{K,L}=\frac{\Delta K}{\Delta L} </math> 
Eine marginale Sichtweise lässt <math> \Delta </math> gegen null streben. Dafür ergibt sich: 
<math> GRTS_{K,L}=\frac{\frac{\part F(K,L)}{\part K}}{\frac{\part F(K,L)}{\part L}} </math>
[[Datei:GRTS.png|300px|rahmenlos]]

==Spezialfälle der Isoquante==
Isoquanten können entgegen der Darstellung oben durchaus auch anders verlaufen. Beispiele wären Produktionen, in denen die Inputfaktoren beliebig miteinander substituiert werden können (links). Eine Produktion, bei der die Inputfaktoren nur in einem festen Verhältnis zueinander effizient eingesetzt werden, ist ebenfalls denkbar (rechts). 
[[Datei:Isoquante2.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Isoquante3.png|300px|rahmenlos]] 

==Die kurze und die lange Frist==
In der kurzen Frist kann es vorkommen, dass nicht alle Produktionsfaktoren variabel sind. Es dauert beispielsweise seine Zeit ein weiteres Fabrikgebäude zu bauen. Daher sind einige Inputfaktoren nur langfristig variabel. Diese sind in der kurzen Sichtweise Teil der [[Kostenarten#Fixkosten|Fixkosten]], während sie in der langen Sicht Teil der [[Kostenarten# Variable Kosten|variablen Kosten]] sind. Typischerweise wird in der kurzen Frist angenommen, dass nur die Anzahl an Arbeit (L) verändert werden kann, wo hingegen Kapital (K) fix angenommen wird.

==MC Fragen==

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Die Produktionsfunktion eines Unternehmens beschreibt
|type="()"}
- die Menge, die zur Gewinnmaximierung produziert werden sollte
+ was technisch machbar ist, wenn das Unternehmen effizient produziert
- den von einem effizient produzierenden Unternehmen erzielten Erlös
- die tatsächliche Produktion des Unternehmens mit gegebenen Inputs
- (alle Antwortmöglichkeiten sind richtig)
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wenn Arbeit der einzig variable Input ist, erreicht das Grenzprodukt sein Maximum
|type="()"}
+ im Punkt der Beugung der Gesamtproduktkurve.
- in dem Punkt, in dem die Durchschnittsproduktkurve horizontal verläuft.
- in dem Punkt, in dem das Durchschnittsprodukt gleich dem Grenzprodukt ist.
- in dem Punkt, in dem sich die Gesamtproduktkurve nach unten neigt.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen das Unternehmen Burger Paradise produziert mit folgender Produktionsfunktion: <math> F(K,L)=ln(L)+\sqrt{K} </math>. Wie lautet die GRTS?
|type="()"}
- <math> GRTS_{K,L}=\frac{2\sqrt{K}}{L} </math>
+ <math> GRTS_{L,K}=\frac{2\sqrt{K}}{L} </math>
- <math> GRTS_{K,L}=\frac{2L}{\sqrt{K}} </math>
- <math> GRTS_{L,K}=\frac{ln(L)}{2K} </math>
</quiz>

Kostenarten

2023-09-21T14:37:06Z

Uwalz: /* Fixkosten */

Mit Blick auf die Kosten von Unternehmen lassen sich verschiedene Begriffspaare unterscheiden.
Zum einen wird zwischen Fixkosten und variablen Kosten unterschieden. Weitere Begriffspaare sind Durchschnitts- und Grenzkosten sowie kurz- und langfristige Kosten.

__TOC__

==Fixkosten==
Beginnen wir zunächst mit der Unterscheidung zwischen fixen und variablen Kosten.
Fixkosten (FK) sind Kosten, die sich nicht mit dem Outputniveau verändern. Hierbei muss zwischen '''Sunk costs''' ([[Opportunitätskosten#Versunkene Kosten|versunkene Kosten]]) und Fixkosten differenziert werden. Fixkosten können nur vermieden werden, wenn das Produktionsniveau auf null fällt. beispielsweise Gehaltskosten vom CEO, der unabhängig von der Produktionsmenge sein Gehalt verdient- wird die Produktion eingestellt wird kein CEO benötigt und die Kosten fallen weg. Sunk costs hingegen sind Kosten, die nicht rückgängig gemacht werden können. Wird zum Beispiel ein Loch für die Lagerhalle gebuddelt und die Produktion findet plötzlich doch nicht statt, wäre das Loch nicht notwendig gewesen- die Kosten sind dennoch angefallen (sie sind versunken). 
Grafisch können die Fixkosten wie folgt in ein Diagramm eingezeichnet werden: 
 
[[Datei:Fixkosten.png|400px|rahmenlos]]

==Variable Kosten==
Variable Kosten (VK) sind Kosten, die sich mit der Produktionsmenge verändern. Bei positiven Kosten nehmen die variablen Kosten mit größerer Outputmenge zu. Die Variablen Kosten sind die Kosten, die mit der Produktion selbst anfallen. Für sie werden die Kosten, die bei der Produktion jeder einzelnen Einheit anfallen ([[Grenzkosten]]), aufsummiert. Je nach Kostenstruktur kann der Verlauf der VK unterschiedlich sein. Kostet jede Einheit gleich viel, so nehmen die Variablen Kosten linear zu. Sind die Kosten pro Einheit unterschiedlich, so verlaufen die Variablen Kosten nicht linear. In der grafischen Abbildung unten wird zur Vereinfachung von gleichbleibenden Kosten (konstante Grenzkosten) ausgegangen: 
[[Datei:Variable Kosten.png|400px|rahmenlos]]

==Gesamtkosten==
Die gesamten ökonomischen Kosten (TK) der Produktion bestehen aus den variablen Kosten und den Fixkosten. 
TK = FK + VK 
[[Datei:Totale Kosten.png|400px|rahmenlos]]

==Durchschnittliche Kosten==
Bei der Betrachtung der Kosten im Durchschnitt wird ermittelt, wie viel jede einzelne produzierte Menge im Durchschnitt kostet. Je nach Kostenstruktur kann sich dies mit veränderter Outputmenge ändern. 
Die durchschnittlichen Gesamtkosten lassen sich berechnen, in dem die Gesamtkosten durch die Produktionsmenge geteilt wird: 
<math> DTK=\frac{TK}{Q}=\frac{FK+VK}{Q}=\frac{FK}{Q}+\frac{VK}{Q} </math> 
Die DTK stellen sich somit aus den durchschnittlichen Fixkosten (DFK) und den durchschnittlichen variablen Kosten (DVK) zusammen. Zu betrachten ist, dass die Fixkosten eine konstante Zahl sind und die DFK daher mit wachsendem Output kleiner werden. Sie nähern sich immer weiter null an, werden jedoch niemals gänzlich null. Die DVK verlaufen je nach Kostenstruktur anders. Die Grafik zeigt die DVK, DFK und DTK für eine typische Kostenfunktion. 
[[Datei:Durchschnittliche Kosten.png|400px|rahmenlos]]
 
Der Tiefpunkt der DTK ist für eine größere Outputmenge, als der Tiefpunkt der DVK, erreicht (weiter rechts). Bei einer geringen Outputmenge sinken sowohl die DVK als auch die DFK, weshalb die DTK sinken. Ab dem Tiefpunkt der DVK steigen diese wieder, die DFK sinken jedoch weiterhin, weshalb die DTK weiterhin sinken, dies jedoch weitaus weniger als vor dem Tiefpunkt der DVK. Erst sobald die DVK stärker steigen als die DFK sinken, steigen auch die DTK. Die DTK und die DVK schneiden sich nie, die durchschnittlichen variablen Kosten sind immer geringer als die durchschnittlichen Gesamtkosten. Sind die Fixkosten null, würden die DTK und die DVK aufeinander liegen.

==Grenzkosten==
Analog zum [[Marginale Sichtweise|Grenznutzen]] liegt die Überlegung bei den Grenzkosten darin, welche zusätzliche Kosten eine marginale Einheit mehr bedeuten. Werden sich die Grenzkosten der 20. Einheit angeschaut, so wird überlegt welche Gesamtkosten bei 20 Einheiten verglichen mit den Gesamtkosten bei 19 Einheiten anfallen. Die Frage lautet: Wie stark steigen die Gesamtkosten bei einer bestimmten Produktionsmenge. Um die Antwort zu bekommen, wird die Gesamtkostenfunktion (TK=FK+VK) nach der Produktionsmenge abgeleitet. Da für eine weitere Einheit keine zusätzlichen Fixkosten anfallen entsprechen die Grenzkosten der Ableitung der VK. 
<math> GK=\frac{\part TK}{\part Q}=\frac{\part FK+VK}{\part Q}=\frac{\part VK}{\part Q} </math> 
[[Datei:Grenzkosten.png|400px|rahmenlos]] 
Die GK schneiden die DVK und die DTK jeweils in deren Minimum. Sind die DVK oberhalb der GK, so ist in eine zusätzliche Einheit in der Produktion günstiger als die vorherigen Einheiten im Durchschnitt- die zusätzliche Einheit reduziert den Durchschnitt und die DVK sinken. Sobald die DVK mit den GK übereinstimmen, sie gleich groß sind, bleiben die DVK konstant (im Minimum). Sobald die GK größer sind als die DVK, steigt der Durchschnitt und damit die DVK. 
Die Interpretation des Minimums der DTK verhält sich dazu analog.

==Langfristige Kosten==
Es kann vorkommen, dass von allen Inputfaktoren der [[Produktionsfunktion]] einige nicht kurzfristig, sondern nur langfristig variabel sind. Für den Fall sind die Kosten des konstanten Inputfaktors Teil der (kurzfristigen) Fixkosten. In der langen Frist sind sie jedoch auch variabel und Teil der variablen Kosten. Dies ist der Grund, warum bei den Kosten zwischen der kurzen und langen Frist unterschieden werden. In der langen Frist ergeben sich andere Kostenverläufe. Typischerweise ist in der kurzen Frist der Faktor Kapital (K) konstant und nur der Faktor Arbeit (L) variabel. 
[[Datei:Langfristige Kosten.png|500px|rahmenlos]] 
Je nach [[Skalenerträge]] kann in der langen Frist durch die Veränderung der vorher nicht variablen Inputfaktoren Kostenvorteile erlangt werden. Sind die [[Skalenerträge|Skalenerträge positiv]], so liegt das Minimum der durchschnittlichen Gesamtkosten in der langen Frist (LDTK) bei einer größeren Produktionsmenge Q und einem geringeren Kostenniveau als in der kurzen Frist (SDTK). 
''Beispiel'': Angenommen es produziert ein Unternehmen mit einer Fabrik. Die Anzahl der Mitarbeitenden kann es flexibel ändern, doch ist die Fabrik räumlich begrenzt und daher nicht flexibel. Würde das Unternehmen auf das Erdgeschoss ein weiteres Stockwerk aufbauen (das Kapital verdoppelt sich und ist auch flexibel) würde sich ein neuer Kostenverlauf ergeben.

==MC Fragen==

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Wenn GK > DVK
|type="()"}
- a) muss DFK mit dem Output zunehmen.
- b) muss DTK mit dem Output zunehmen.
+ c) muss DVK mit dem Output zunehmen.
- b) und c).
- a), b) und c).
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie groß sind die Grenzosten bei folgender Kostenfunktion: <math> C(x)=5000+2(x^{2}+2)^{2} </math>?
|type="()"}
+ <math> GK=8x^{3}+16x </math>.
- <math> GK=4(x^{2}+2) </math>.
- <math> GK=\frac{5000}{x}+\frac{2(x^{2}+2)^{2}}{x} </math>.
- <math> GK=2x </math>.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ist die Steigung der DVK negativ, so ...
|type="()"}
+ ... sind die GK geringer als die DVK.
- ... steigen die DFK.
- ... ist auch die Steigung der GK negativ.
- ... sinkt das Kostenniveau bei dieser Produktionsmenge .
</quiz>

Kostenarten

2023-09-21T14:36:09Z

Uwalz: /* Fixkosten */

Mit Blick auf die Kosten von Unternehmen lassen sich verschiedene Begriffspaare unterscheiden.
Zum einen wird zwischen Fixkosten und variablen Kosten unterschieden. Weitere Begriffspaare sind Durchschnitts- und Grenzkosten sowie kurz- und langfristige Kosten.

__TOC__

==Fixkosten==
Beginnen wir zunächst mit der Unterscheidung zwischen fixen und variablen Kosten.
Die Fixkosten (FK) sind Kosten, die sich nicht mit dem Outputniveau verändern. Hierbei muss zwischen '''Sunk costs''' ([[Opportunitätskosten#Versunkene Kosten|versunkene Kosten]]) und Fixkosten differenziert werden. Fixkosten können nur vermieden werden, wenn das Produktionsniveau auf null fällt. beispielsweise Gehaltskosten vom CEO, der unabhängig von der Produktionsmenge sein Gehalt verdient- wird die Produktion eingestellt wird kein CEO benötigt und die Kosten fallen weg. Sunk costs hingegen sind Kosten, die nicht rückgängig gemacht werden können. Wird zum Beispiel ein Loch für die Lagerhalle gebuddelt und die Produktion findet plötzlich doch nicht statt, wäre das Loch nicht notwendig gewesen- die Kosten sind dennoch angefallen (sie sind versunken). 
Grafisch können die Fixkosten wie folgt in ein Diagramm eingezeichnet werden: 
 
[[Datei:Fixkosten.png|400px|rahmenlos]]

==Variable Kosten==
Variable Kosten (VK) sind Kosten, die sich mit der Produktionsmenge verändern. Bei positiven Kosten nehmen die variablen Kosten mit größerer Outputmenge zu. Die Variablen Kosten sind die Kosten, die mit der Produktion selbst anfallen. Für sie werden die Kosten, die bei der Produktion jeder einzelnen Einheit anfallen ([[Grenzkosten]]), aufsummiert. Je nach Kostenstruktur kann der Verlauf der VK unterschiedlich sein. Kostet jede Einheit gleich viel, so nehmen die Variablen Kosten linear zu. Sind die Kosten pro Einheit unterschiedlich, so verlaufen die Variablen Kosten nicht linear. In der grafischen Abbildung unten wird zur Vereinfachung von gleichbleibenden Kosten (konstante Grenzkosten) ausgegangen: 
[[Datei:Variable Kosten.png|400px|rahmenlos]]

==Gesamtkosten==
Die gesamten ökonomischen Kosten (TK) der Produktion bestehen aus den variablen Kosten und den Fixkosten. 
TK = FK + VK 
[[Datei:Totale Kosten.png|400px|rahmenlos]]

==Durchschnittliche Kosten==
Bei der Betrachtung der Kosten im Durchschnitt wird ermittelt, wie viel jede einzelne produzierte Menge im Durchschnitt kostet. Je nach Kostenstruktur kann sich dies mit veränderter Outputmenge ändern. 
Die durchschnittlichen Gesamtkosten lassen sich berechnen, in dem die Gesamtkosten durch die Produktionsmenge geteilt wird: 
<math> DTK=\frac{TK}{Q}=\frac{FK+VK}{Q}=\frac{FK}{Q}+\frac{VK}{Q} </math> 
Die DTK stellen sich somit aus den durchschnittlichen Fixkosten (DFK) und den durchschnittlichen variablen Kosten (DVK) zusammen. Zu betrachten ist, dass die Fixkosten eine konstante Zahl sind und die DFK daher mit wachsendem Output kleiner werden. Sie nähern sich immer weiter null an, werden jedoch niemals gänzlich null. Die DVK verlaufen je nach Kostenstruktur anders. Die Grafik zeigt die DVK, DFK und DTK für eine typische Kostenfunktion. 
[[Datei:Durchschnittliche Kosten.png|400px|rahmenlos]]
 
Der Tiefpunkt der DTK ist für eine größere Outputmenge, als der Tiefpunkt der DVK, erreicht (weiter rechts). Bei einer geringen Outputmenge sinken sowohl die DVK als auch die DFK, weshalb die DTK sinken. Ab dem Tiefpunkt der DVK steigen diese wieder, die DFK sinken jedoch weiterhin, weshalb die DTK weiterhin sinken, dies jedoch weitaus weniger als vor dem Tiefpunkt der DVK. Erst sobald die DVK stärker steigen als die DFK sinken, steigen auch die DTK. Die DTK und die DVK schneiden sich nie, die durchschnittlichen variablen Kosten sind immer geringer als die durchschnittlichen Gesamtkosten. Sind die Fixkosten null, würden die DTK und die DVK aufeinander liegen.

==Grenzkosten==
Analog zum [[Marginale Sichtweise|Grenznutzen]] liegt die Überlegung bei den Grenzkosten darin, welche zusätzliche Kosten eine marginale Einheit mehr bedeuten. Werden sich die Grenzkosten der 20. Einheit angeschaut, so wird überlegt welche Gesamtkosten bei 20 Einheiten verglichen mit den Gesamtkosten bei 19 Einheiten anfallen. Die Frage lautet: Wie stark steigen die Gesamtkosten bei einer bestimmten Produktionsmenge. Um die Antwort zu bekommen, wird die Gesamtkostenfunktion (TK=FK+VK) nach der Produktionsmenge abgeleitet. Da für eine weitere Einheit keine zusätzlichen Fixkosten anfallen entsprechen die Grenzkosten der Ableitung der VK. 
<math> GK=\frac{\part TK}{\part Q}=\frac{\part FK+VK}{\part Q}=\frac{\part VK}{\part Q} </math> 
[[Datei:Grenzkosten.png|400px|rahmenlos]] 
Die GK schneiden die DVK und die DTK jeweils in deren Minimum. Sind die DVK oberhalb der GK, so ist in eine zusätzliche Einheit in der Produktion günstiger als die vorherigen Einheiten im Durchschnitt- die zusätzliche Einheit reduziert den Durchschnitt und die DVK sinken. Sobald die DVK mit den GK übereinstimmen, sie gleich groß sind, bleiben die DVK konstant (im Minimum). Sobald die GK größer sind als die DVK, steigt der Durchschnitt und damit die DVK. 
Die Interpretation des Minimums der DTK verhält sich dazu analog.

==Langfristige Kosten==
Es kann vorkommen, dass von allen Inputfaktoren der [[Produktionsfunktion]] einige nicht kurzfristig, sondern nur langfristig variabel sind. Für den Fall sind die Kosten des konstanten Inputfaktors Teil der (kurzfristigen) Fixkosten. In der langen Frist sind sie jedoch auch variabel und Teil der variablen Kosten. Dies ist der Grund, warum bei den Kosten zwischen der kurzen und langen Frist unterschieden werden. In der langen Frist ergeben sich andere Kostenverläufe. Typischerweise ist in der kurzen Frist der Faktor Kapital (K) konstant und nur der Faktor Arbeit (L) variabel. 
[[Datei:Langfristige Kosten.png|500px|rahmenlos]] 
Je nach [[Skalenerträge]] kann in der langen Frist durch die Veränderung der vorher nicht variablen Inputfaktoren Kostenvorteile erlangt werden. Sind die [[Skalenerträge|Skalenerträge positiv]], so liegt das Minimum der durchschnittlichen Gesamtkosten in der langen Frist (LDTK) bei einer größeren Produktionsmenge Q und einem geringeren Kostenniveau als in der kurzen Frist (SDTK). 
''Beispiel'': Angenommen es produziert ein Unternehmen mit einer Fabrik. Die Anzahl der Mitarbeitenden kann es flexibel ändern, doch ist die Fabrik räumlich begrenzt und daher nicht flexibel. Würde das Unternehmen auf das Erdgeschoss ein weiteres Stockwerk aufbauen (das Kapital verdoppelt sich und ist auch flexibel) würde sich ein neuer Kostenverlauf ergeben.

==MC Fragen==

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Wenn GK > DVK
|type="()"}
- a) muss DFK mit dem Output zunehmen.
- b) muss DTK mit dem Output zunehmen.
+ c) muss DVK mit dem Output zunehmen.
- b) und c).
- a), b) und c).
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie groß sind die Grenzosten bei folgender Kostenfunktion: <math> C(x)=5000+2(x^{2}+2)^{2} </math>?
|type="()"}
+ <math> GK=8x^{3}+16x </math>.
- <math> GK=4(x^{2}+2) </math>.
- <math> GK=\frac{5000}{x}+\frac{2(x^{2}+2)^{2}}{x} </math>.
- <math> GK=2x </math>.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ist die Steigung der DVK negativ, so ...
|type="()"}
+ ... sind die GK geringer als die DVK.
- ... steigen die DFK.
- ... ist auch die Steigung der GK negativ.
- ... sinkt das Kostenniveau bei dieser Produktionsmenge .
</quiz>

Kostenarten

2023-09-21T14:33:29Z

Uwalz:

Mit Blick auf die Kosten von Unternehmen lassen sich verschiedene Begriffspaare unterscheiden.
Zum einen wird zwischen Fixkosten und variablen Kosten unterschieden. Weitere Begriffspaare sind Durchschnitts- und Grenzkosten sowie kurz- und langfristige Kosten.

__TOC__

==Fixkosten==
Beginnen wir zunächst mit der Unterscheidung zwischen fixen und variablen Kosten. Während Fixkosten unabhängig von der Outputmenge sind, verändern sich die variablen Kosten mit der Outputmenge.
Die Fixkosten (FK) sind Kosten, die sich nicht mit dem Outputniveau verändern. Hierbei muss zwischen '''Sunk costs''' ([[Opportunitätskosten#Versunkene Kosten|versunkene Kosten]]) und Fixkosten differenziert werden. Fixkosten können nur vermieden werden, wenn das Produktionsniveau auf null fällt. beispielsweise Gehaltskosten vom CEO, der unabhängig von der Produktionsmenge sein Gehalt verdient- wird die Produktion eingestellt wird kein CEO benötigt und die Kosten fallen weg. Sunk costs hingegen sind Kosten, die nicht rückgängig gemacht werden können. Wird zum Beispiel ein Loch für die Lagerhalle gebuddelt und die Produktion findet plötzlich doch nicht statt, wäre das Loch nicht notwendig gewesen- die Kosten sind dennoch angefallen (sie sind versunken). 
Grafisch können die Fixkosten wie folgt in ein Diagramm eingezeichnet werden: 
 
[[Datei:Fixkosten.png|400px|rahmenlos]]

==Variable Kosten==
Variable Kosten (VK) sind Kosten, die sich mit der Produktionsmenge verändern. Bei positiven Kosten nehmen die variablen Kosten mit größerer Outputmenge zu. Die Variablen Kosten sind die Kosten, die mit der Produktion selbst anfallen. Für sie werden die Kosten, die bei der Produktion jeder einzelnen Einheit anfallen ([[Grenzkosten]]), aufsummiert. Je nach Kostenstruktur kann der Verlauf der VK unterschiedlich sein. Kostet jede Einheit gleich viel, so nehmen die Variablen Kosten linear zu. Sind die Kosten pro Einheit unterschiedlich, so verlaufen die Variablen Kosten nicht linear. In der grafischen Abbildung unten wird zur Vereinfachung von gleichbleibenden Kosten (konstante Grenzkosten) ausgegangen: 
[[Datei:Variable Kosten.png|400px|rahmenlos]]

==Gesamtkosten==
Die gesamten ökonomischen Kosten (TK) der Produktion bestehen aus den variablen Kosten und den Fixkosten. 
TK = FK + VK 
[[Datei:Totale Kosten.png|400px|rahmenlos]]

==Durchschnittliche Kosten==
Bei der Betrachtung der Kosten im Durchschnitt wird ermittelt, wie viel jede einzelne produzierte Menge im Durchschnitt kostet. Je nach Kostenstruktur kann sich dies mit veränderter Outputmenge ändern. 
Die durchschnittlichen Gesamtkosten lassen sich berechnen, in dem die Gesamtkosten durch die Produktionsmenge geteilt wird: 
<math> DTK=\frac{TK}{Q}=\frac{FK+VK}{Q}=\frac{FK}{Q}+\frac{VK}{Q} </math> 
Die DTK stellen sich somit aus den durchschnittlichen Fixkosten (DFK) und den durchschnittlichen variablen Kosten (DVK) zusammen. Zu betrachten ist, dass die Fixkosten eine konstante Zahl sind und die DFK daher mit wachsendem Output kleiner werden. Sie nähern sich immer weiter null an, werden jedoch niemals gänzlich null. Die DVK verlaufen je nach Kostenstruktur anders. Die Grafik zeigt die DVK, DFK und DTK für eine typische Kostenfunktion. 
[[Datei:Durchschnittliche Kosten.png|400px|rahmenlos]]
 
Der Tiefpunkt der DTK ist für eine größere Outputmenge, als der Tiefpunkt der DVK, erreicht (weiter rechts). Bei einer geringen Outputmenge sinken sowohl die DVK als auch die DFK, weshalb die DTK sinken. Ab dem Tiefpunkt der DVK steigen diese wieder, die DFK sinken jedoch weiterhin, weshalb die DTK weiterhin sinken, dies jedoch weitaus weniger als vor dem Tiefpunkt der DVK. Erst sobald die DVK stärker steigen als die DFK sinken, steigen auch die DTK. Die DTK und die DVK schneiden sich nie, die durchschnittlichen variablen Kosten sind immer geringer als die durchschnittlichen Gesamtkosten. Sind die Fixkosten null, würden die DTK und die DVK aufeinander liegen.

==Grenzkosten==
Analog zum [[Marginale Sichtweise|Grenznutzen]] liegt die Überlegung bei den Grenzkosten darin, welche zusätzliche Kosten eine marginale Einheit mehr bedeuten. Werden sich die Grenzkosten der 20. Einheit angeschaut, so wird überlegt welche Gesamtkosten bei 20 Einheiten verglichen mit den Gesamtkosten bei 19 Einheiten anfallen. Die Frage lautet: Wie stark steigen die Gesamtkosten bei einer bestimmten Produktionsmenge. Um die Antwort zu bekommen, wird die Gesamtkostenfunktion (TK=FK+VK) nach der Produktionsmenge abgeleitet. Da für eine weitere Einheit keine zusätzlichen Fixkosten anfallen entsprechen die Grenzkosten der Ableitung der VK. 
<math> GK=\frac{\part TK}{\part Q}=\frac{\part FK+VK}{\part Q}=\frac{\part VK}{\part Q} </math> 
[[Datei:Grenzkosten.png|400px|rahmenlos]] 
Die GK schneiden die DVK und die DTK jeweils in deren Minimum. Sind die DVK oberhalb der GK, so ist in eine zusätzliche Einheit in der Produktion günstiger als die vorherigen Einheiten im Durchschnitt- die zusätzliche Einheit reduziert den Durchschnitt und die DVK sinken. Sobald die DVK mit den GK übereinstimmen, sie gleich groß sind, bleiben die DVK konstant (im Minimum). Sobald die GK größer sind als die DVK, steigt der Durchschnitt und damit die DVK. 
Die Interpretation des Minimums der DTK verhält sich dazu analog.

==Langfristige Kosten==
Es kann vorkommen, dass von allen Inputfaktoren der [[Produktionsfunktion]] einige nicht kurzfristig, sondern nur langfristig variabel sind. Für den Fall sind die Kosten des konstanten Inputfaktors Teil der (kurzfristigen) Fixkosten. In der langen Frist sind sie jedoch auch variabel und Teil der variablen Kosten. Dies ist der Grund, warum bei den Kosten zwischen der kurzen und langen Frist unterschieden werden. In der langen Frist ergeben sich andere Kostenverläufe. Typischerweise ist in der kurzen Frist der Faktor Kapital (K) konstant und nur der Faktor Arbeit (L) variabel. 
[[Datei:Langfristige Kosten.png|500px|rahmenlos]] 
Je nach [[Skalenerträge]] kann in der langen Frist durch die Veränderung der vorher nicht variablen Inputfaktoren Kostenvorteile erlangt werden. Sind die [[Skalenerträge|Skalenerträge positiv]], so liegt das Minimum der durchschnittlichen Gesamtkosten in der langen Frist (LDTK) bei einer größeren Produktionsmenge Q und einem geringeren Kostenniveau als in der kurzen Frist (SDTK). 
''Beispiel'': Angenommen es produziert ein Unternehmen mit einer Fabrik. Die Anzahl der Mitarbeitenden kann es flexibel ändern, doch ist die Fabrik räumlich begrenzt und daher nicht flexibel. Würde das Unternehmen auf das Erdgeschoss ein weiteres Stockwerk aufbauen (das Kapital verdoppelt sich und ist auch flexibel) würde sich ein neuer Kostenverlauf ergeben.

==MC Fragen==

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Wenn GK > DVK
|type="()"}
- a) muss DFK mit dem Output zunehmen.
- b) muss DTK mit dem Output zunehmen.
+ c) muss DVK mit dem Output zunehmen.
- b) und c).
- a), b) und c).
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie groß sind die Grenzosten bei folgender Kostenfunktion: <math> C(x)=5000+2(x^{2}+2)^{2} </math>?
|type="()"}
+ <math> GK=8x^{3}+16x </math>.
- <math> GK=4(x^{2}+2) </math>.
- <math> GK=\frac{5000}{x}+\frac{2(x^{2}+2)^{2}}{x} </math>.
- <math> GK=2x </math>.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ist die Steigung der DVK negativ, so ...
|type="()"}
+ ... sind die GK geringer als die DVK.
- ... steigen die DFK.
- ... ist auch die Steigung der GK negativ.
- ... sinkt das Kostenniveau bei dieser Produktionsmenge .
</quiz>

Kostenarten

2023-09-21T14:31:28Z

Uwalz:

Mit Blick auf die Kosten von Unternehmen lassen sich verschiedene Begriffspaare unterscheiden.
Zum einen wird zwischen Fixkosten und variablen Kosten unterschieden. Während Fixkosten unabhängig von der Outputmenge sind, verändern sich die variablen Kosten mit der Outputmenge.

__TOC__

==Fixkosten==
Die Fixkosten (FK) sind Kosten, die sich nicht mit dem Outputniveau verändern. Hierbei muss zwischen '''Sunk costs''' ([[Opportunitätskosten#Versunkene Kosten|versunkene Kosten]]) und Fixkosten differenziert werden. Fixkosten können nur vermieden werden, wenn das Produktionsniveau auf null fällt. beispielsweise Gehaltskosten vom CEO, der unabhängig von der Produktionsmenge sein Gehalt verdient- wird die Produktion eingestellt wird kein CEO benötigt und die Kosten fallen weg. Sunk costs hingegen sind Kosten, die nicht rückgängig gemacht werden können. Wird zum Beispiel ein Loch für die Lagerhalle gebuddelt und die Produktion findet plötzlich doch nicht statt, wäre das Loch nicht notwendig gewesen- die Kosten sind dennoch angefallen (sie sind versunken). 
Grafisch können die Fixkosten wie folgt in ein Diagramm eingezeichnet werden: 
 
[[Datei:Fixkosten.png|400px|rahmenlos]]

==Variable Kosten==
Variable Kosten (VK) sind Kosten, die sich mit der Produktionsmenge verändern. Bei positiven Kosten nehmen die variablen Kosten mit größerer Outputmenge zu. Die Variablen Kosten sind die Kosten, die mit der Produktion selbst anfallen. Für sie werden die Kosten, die bei der Produktion jeder einzelnen Einheit anfallen ([[Grenzkosten]]), aufsummiert. Je nach Kostenstruktur kann der Verlauf der VK unterschiedlich sein. Kostet jede Einheit gleich viel, so nehmen die Variablen Kosten linear zu. Sind die Kosten pro Einheit unterschiedlich, so verlaufen die Variablen Kosten nicht linear. In der grafischen Abbildung unten wird zur Vereinfachung von gleichbleibenden Kosten (konstante Grenzkosten) ausgegangen: 
[[Datei:Variable Kosten.png|400px|rahmenlos]]

==Gesamtkosten==
Die gesamten ökonomischen Kosten (TK) der Produktion bestehen aus den variablen Kosten und den Fixkosten. 
TK = FK + VK 
[[Datei:Totale Kosten.png|400px|rahmenlos]]

==Durchschnittliche Kosten==
Bei der Betrachtung der Kosten im Durchschnitt wird ermittelt, wie viel jede einzelne produzierte Menge im Durchschnitt kostet. Je nach Kostenstruktur kann sich dies mit veränderter Outputmenge ändern. 
Die durchschnittlichen Gesamtkosten lassen sich berechnen, in dem die Gesamtkosten durch die Produktionsmenge geteilt wird: 
<math> DTK=\frac{TK}{Q}=\frac{FK+VK}{Q}=\frac{FK}{Q}+\frac{VK}{Q} </math> 
Die DTK stellen sich somit aus den durchschnittlichen Fixkosten (DFK) und den durchschnittlichen variablen Kosten (DVK) zusammen. Zu betrachten ist, dass die Fixkosten eine konstante Zahl sind und die DFK daher mit wachsendem Output kleiner werden. Sie nähern sich immer weiter null an, werden jedoch niemals gänzlich null. Die DVK verlaufen je nach Kostenstruktur anders. Die Grafik zeigt die DVK, DFK und DTK für eine typische Kostenfunktion. 
[[Datei:Durchschnittliche Kosten.png|400px|rahmenlos]]
 
Der Tiefpunkt der DTK ist für eine größere Outputmenge, als der Tiefpunkt der DVK, erreicht (weiter rechts). Bei einer geringen Outputmenge sinken sowohl die DVK als auch die DFK, weshalb die DTK sinken. Ab dem Tiefpunkt der DVK steigen diese wieder, die DFK sinken jedoch weiterhin, weshalb die DTK weiterhin sinken, dies jedoch weitaus weniger als vor dem Tiefpunkt der DVK. Erst sobald die DVK stärker steigen als die DFK sinken, steigen auch die DTK. Die DTK und die DVK schneiden sich nie, die durchschnittlichen variablen Kosten sind immer geringer als die durchschnittlichen Gesamtkosten. Sind die Fixkosten null, würden die DTK und die DVK aufeinander liegen.

==Grenzkosten==
Analog zum [[Marginale Sichtweise|Grenznutzen]] liegt die Überlegung bei den Grenzkosten darin, welche zusätzliche Kosten eine marginale Einheit mehr bedeuten. Werden sich die Grenzkosten der 20. Einheit angeschaut, so wird überlegt welche Gesamtkosten bei 20 Einheiten verglichen mit den Gesamtkosten bei 19 Einheiten anfallen. Die Frage lautet: Wie stark steigen die Gesamtkosten bei einer bestimmten Produktionsmenge. Um die Antwort zu bekommen, wird die Gesamtkostenfunktion (TK=FK+VK) nach der Produktionsmenge abgeleitet. Da für eine weitere Einheit keine zusätzlichen Fixkosten anfallen entsprechen die Grenzkosten der Ableitung der VK. 
<math> GK=\frac{\part TK}{\part Q}=\frac{\part FK+VK}{\part Q}=\frac{\part VK}{\part Q} </math> 
[[Datei:Grenzkosten.png|400px|rahmenlos]] 
Die GK schneiden die DVK und die DTK jeweils in deren Minimum. Sind die DVK oberhalb der GK, so ist in eine zusätzliche Einheit in der Produktion günstiger als die vorherigen Einheiten im Durchschnitt- die zusätzliche Einheit reduziert den Durchschnitt und die DVK sinken. Sobald die DVK mit den GK übereinstimmen, sie gleich groß sind, bleiben die DVK konstant (im Minimum). Sobald die GK größer sind als die DVK, steigt der Durchschnitt und damit die DVK. 
Die Interpretation des Minimums der DTK verhält sich dazu analog.

==Langfristige Kosten==
Es kann vorkommen, dass von allen Inputfaktoren der [[Produktionsfunktion]] einige nicht kurzfristig, sondern nur langfristig variabel sind. Für den Fall sind die Kosten des konstanten Inputfaktors Teil der (kurzfristigen) Fixkosten. In der langen Frist sind sie jedoch auch variabel und Teil der variablen Kosten. Dies ist der Grund, warum bei den Kosten zwischen der kurzen und langen Frist unterschieden werden. In der langen Frist ergeben sich andere Kostenverläufe. Typischerweise ist in der kurzen Frist der Faktor Kapital (K) konstant und nur der Faktor Arbeit (L) variabel. 
[[Datei:Langfristige Kosten.png|500px|rahmenlos]] 
Je nach [[Skalenerträge]] kann in der langen Frist durch die Veränderung der vorher nicht variablen Inputfaktoren Kostenvorteile erlangt werden. Sind die [[Skalenerträge|Skalenerträge positiv]], so liegt das Minimum der durchschnittlichen Gesamtkosten in der langen Frist (LDTK) bei einer größeren Produktionsmenge Q und einem geringeren Kostenniveau als in der kurzen Frist (SDTK). 
''Beispiel'': Angenommen es produziert ein Unternehmen mit einer Fabrik. Die Anzahl der Mitarbeitenden kann es flexibel ändern, doch ist die Fabrik räumlich begrenzt und daher nicht flexibel. Würde das Unternehmen auf das Erdgeschoss ein weiteres Stockwerk aufbauen (das Kapital verdoppelt sich und ist auch flexibel) würde sich ein neuer Kostenverlauf ergeben.

==MC Fragen==

<quiz display=simple shuffleanswers=false>
{Wenn GK > DVK
|type="()"}
- a) muss DFK mit dem Output zunehmen.
- b) muss DTK mit dem Output zunehmen.
+ c) muss DVK mit dem Output zunehmen.
- b) und c).
- a), b) und c).
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie groß sind die Grenzosten bei folgender Kostenfunktion: <math> C(x)=5000+2(x^{2}+2)^{2} </math>?
|type="()"}
+ <math> GK=8x^{3}+16x </math>.
- <math> GK=4(x^{2}+2) </math>.
- <math> GK=\frac{5000}{x}+\frac{2(x^{2}+2)^{2}}{x} </math>.
- <math> GK=2x </math>.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ist die Steigung der DVK negativ, so ...
|type="()"}
+ ... sind die GK geringer als die DVK.
- ... steigen die DFK.
- ... ist auch die Steigung der GK negativ.
- ... sinkt das Kostenniveau bei dieser Produktionsmenge .
</quiz>

Zusammenfassung Marktversagen

2023-09-21T14:23:56Z

Uwalz: /* Externalitäten */

Es gibt hauptsächlich vier Gründe (Marktmacht, Unvollständige Informationen, Externalitäten und Öffentliche Güter), warum Wettbewerbsmärkte versagen.

__TOC__

==Marktmacht==
Produzenten verfügen über Marktmacht, sobald sie Güter dauerhaft zu einem Preis oberhalb der [[Kostentarten#Grenzkosten|Grenzkosten]] verkaufen können. Der Grad der Marktmacht unterscheidet sich je nach [[Marktformen|Marktform]]. Durch Marktmacht entstehen ökonomische Gewinne, die im perfekten Wettbewerb unter der Annahme der konvexen Gesamtkostenverläufe gewöhnlich gleich null sind. Zudem wird eine geringere Menge als die [[Effizienz|effiziente]] Gleichgewichtsmenge zu einem höheren Preis als dem Markträumungspreis produziert. Als Beispiel soll die Unternehmensentscheidung des Monopolisten dienen. Dieser maximiert seinen Gewinn in der Menge, in der die [[Kostentarten#Grenzkosten|Grenzkosten]] dem [[Grenzerlös]] entsprechen (siehe hierfür auch [[Vergleich Gewinnmaximum bei unterschiedlichen Marktformen]]). 
[[Datei:Monopolist.png|500px|rahmenlos]] 

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie Marktmacht entstehen kann. Eine entscheidende Rolle sind häufig die Anzahl der am Markt produzierenden Unternehmen und wie leicht andere Unternehmen in den Markt einsteigen können. Aber auch differenzierte Güter können zusammen mit den Präferenzen der Nachfrager zu Marktmacht führen. Auf dem Markt der Sportklamotten gibt es zum Beispiel recht viele Anbieter, dennoch existiert hier viel Marktmacht. Ein Grund liegt hier selbstverständlich im Design der verschiedenen Produkte. Doch auch der Markenname an sich hat sich schon als Grund für Marktmacht etabliert. Nicht jeder, der Nike trägt würde auch adidas tragen und andersherum. Ein anderes Beispiel ist hier Coca Cola und Pepsi. 
Doch auch Nachfrager können über Marktmacht verfügen, insbesondere wenn es viele Anbieter und wenige Nachfrager gibt, haben diese die Möglichkeit in der Preisbildung Einfluss zu nehmen.

==Unvollständige Informationen==
Wenn mindestens eine Marktseite über keine vollständigen Informationen verfügt, kommt es zum Marktversagen. Das erste und wahrscheinlich berühmteste Beispiel ist der "Market for "Lemons" ", den George Akerlof 1970 in einem Paper beschreibt (siehe für das Paper [https://www.jstor.org/stable/1879431?searchText=market+for+lemons&searchUri=%2Faction%2FdoBasicSearch%3FQuery%3Dmarket%2Bfor%2Blemons&ab_segments=0%2Fbasic_search_gsv2%2Fcontrol&refreqid=fastly-default%3Aea7a5adb571ddc0479c67ff76b70b703 hier]). In diesem skizziert er ein Gebrauchtwagenmarkt mit einer Güterart in zwei unterschiedlichen Qualitätsausführungen. Nehmen wir Autos als Beispiel. Es gibt Autos guter und schlechter Qualität, die der guten Qualität kosten 15.000€, die der schlechten kosten 5.000€. Die Nachfrager können den Autos ihre Qualität nicht ansehen. Die Anbieter der Autos mit guter Qualität würden bei einem Preis unter 15.000€ Verlust machen und wären daher nicht bereit günstiger zu verkaufen. Die Anbieter mit den Autos der schlechten Qualität hätten aber einen großen Anreiz ihren Preis über Wert (den 5.000€) zu setzen, da die Nachfrager die Qualität nicht bewerten können. Sollte sich also ein Preis von 15.000€ für beide Autos einstellen, wüssten die Nachfrager nicht mehr, ob sie ein Auto guter Qualität oder ein Auto schlechter Qualität über Wert kaufen. Ein Handel käme in diesem Szenario also nicht zustande. 
Siehe für Spezifikationen [[Asymmetrische Informationen]].

==Externalitäten==
[[Externalitäten und Internalisierung|Externalitäten]] können positiv oder negativ sein. In beiden Fällen sind sie im [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewicht]] nicht eingepreist, man spricht daher auch von nicht-pekuniären externen Effekten. Der Gleichgewichtspreis entspricht daher nicht dem [[Effizienz|effizienten]] Preis und die Menge nicht der effizienten Menge. 
Im Falle von negativen Externalitäten würden Kosten, die pro produzierte Einheit entstehen, nicht von dem Anbieter bezahlt bzw. betrachtet werden. Als Beispiel soll eine Firma dienen, die in ihrer Produktion Abgase in die Luft stößt. In der Produktion selbst entstehen neben den Fixkosten auch Kosten aufgrund der Inputfaktoren, die als Grenzkosten Teil der Angebotsfunktion sind. Die Kosten, die zum Beispiel von den umliegenden Haushalten gezahlt werden, um die Abgase wieder aus der Luft zu filtern, sind jedoch kein Teil der Angebotskurve. In Wahrheit müsste sie also um die zusätzlichen Grenzkosten der Filterung nach oben verschoben werden. Grafisch sehe das wie folgt aus: 
[[Datei:NegativeExternalitäten.png|500px|rahmenlos]]

==Öffentliche Güter==
[[Öffentliche Güter]] zeichnen sich durch eine nicht Ausschließbarkeit und nicht Rivalität aus. Wird ein öffentliches Gut bereitgestellt, können andere Nachfrager nicht daran gehindert werden es zu konsumieren. Ein Beispiel ist die Landesverteidigung. Würde die Landesverteidigung durch private Haushalte finanziert werden, würden auch die Haushalte von ihr profitieren, die sie nicht mitfinanziert haben. Dies führt zu einem Anreiz für die Landesverteidigung selbst nicht zu zahlen. Insgesamt führt das zu einer zu geringeren Bereitstellung des öffentlichen Gutes. Grafisch lässt sich das Szenario wie folgt darstellen: 
[[Datei:Öffentliches Gut.png|500px|rahmenlos]] 
Im Beispiel gibt es zwei Nachfrager nach dem öffentlichen Gut, wobei ihr Nutzen in diesem Fall in Euro bemessen werden können. Der Nachfrager <math display="inline> D_{1} </math> erfährt einen zu niedrigen Nutzen, als dass er zu dem Preis des öffentlichen Gutes etwas nachfragen würde. Nachfrager <math display="inline> D_{2} </math> erfährt einen größeren Nutzen aus dem öffentlichen Gut. Er würde im Schnittpunkt mit der Grenzkostenkurve das öffentliche Gut nachfragen, was allerdings eine geringere Menge als gesamtgesellschaftlich optimal wäre. Denn betrachtet man die Gesellschaft als eins, müssen die Nutzenfunktionen aller Nachfrager aufsummiert werden. Der Schnittpunkt der gesellschaftlichen Nachfragekurve mit der Grenzkostenkurve führt zu einer höheren Menge als in der Betrachtung der einzelnen Individuen. Dies führt dazu, dass Märkte versagen können. 
Um Öffentliche Güter klar abgrenzen zu können soll folgende Übersicht helfen: 
{| class="wikitable"
! scope="col"|
! scope="col"| Ausschließbarkeit
! scope="col"| Nicht Ausschließbarkeit
|-
! scope="row"| Rivalität
| '''Private Güter''' Private Autobahn mit Stau
| '''Allmende Güter''' Öffentliche Autobahn mit Stau
|-
! scope="row"| Nicht Rivalität
| '''Klubgüter''' Private Autobahn ohne Stau
| '''Öffentliche Güter''' Öffentliche AUtobahn ohne Stau
|}

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Bei welchen der folgenden Möglichkeiten handelt es sich um eine positive Externalität
|type="()"}
+ Anpflanzen eines schönen Gartens.
- Rauchen in einem befüllten Aufzug.
- Kleidung chemisch reinigen lassen.
- Abspielen zu lauter und störender Musik am Strand.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Mit einer Emissionsgebühr wird ein Unternehmen solange Emissionen einsparen, bis:
|type="()"}
+ die Gebühr geringer ist als die Kosten, die bei der Reduzierung entstehen.
- die Gebühr den gesamtgesellschaftlichen Grenzkosten entspricht.
- die Gebühr dem Produktpreis entspricht.
- (das Unternehmen wird immer Emissionen einsparen, da das Ausstoßen eine Gebühr kostet und dies den Gewinn schmälert).
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie groß ist der Wohlfahrtsverlust auf einem Markt mit einem Monopolisten mit Grenzkosten gleich null? Der Monopolist maximiert seinen Gewinn und sieht sich einer Nachfrage von <math> Q_{D}(P)=10-2P </math> gegenüber.
|type="()"}
+ 6,25.
- 12,5.
- 6,75.
- 9,5.
</quiz>

Zusammenfassung Marktversagen

2023-09-21T14:21:02Z

Uwalz: /* Unvollständige Informationen */

Es gibt hauptsächlich vier Gründe (Marktmacht, Unvollständige Informationen, Externalitäten und Öffentliche Güter), warum Wettbewerbsmärkte versagen.

__TOC__

==Marktmacht==
Produzenten verfügen über Marktmacht, sobald sie Güter dauerhaft zu einem Preis oberhalb der [[Kostentarten#Grenzkosten|Grenzkosten]] verkaufen können. Der Grad der Marktmacht unterscheidet sich je nach [[Marktformen|Marktform]]. Durch Marktmacht entstehen ökonomische Gewinne, die im perfekten Wettbewerb unter der Annahme der konvexen Gesamtkostenverläufe gewöhnlich gleich null sind. Zudem wird eine geringere Menge als die [[Effizienz|effiziente]] Gleichgewichtsmenge zu einem höheren Preis als dem Markträumungspreis produziert. Als Beispiel soll die Unternehmensentscheidung des Monopolisten dienen. Dieser maximiert seinen Gewinn in der Menge, in der die [[Kostentarten#Grenzkosten|Grenzkosten]] dem [[Grenzerlös]] entsprechen (siehe hierfür auch [[Vergleich Gewinnmaximum bei unterschiedlichen Marktformen]]). 
[[Datei:Monopolist.png|500px|rahmenlos]] 

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie Marktmacht entstehen kann. Eine entscheidende Rolle sind häufig die Anzahl der am Markt produzierenden Unternehmen und wie leicht andere Unternehmen in den Markt einsteigen können. Aber auch differenzierte Güter können zusammen mit den Präferenzen der Nachfrager zu Marktmacht führen. Auf dem Markt der Sportklamotten gibt es zum Beispiel recht viele Anbieter, dennoch existiert hier viel Marktmacht. Ein Grund liegt hier selbstverständlich im Design der verschiedenen Produkte. Doch auch der Markenname an sich hat sich schon als Grund für Marktmacht etabliert. Nicht jeder, der Nike trägt würde auch adidas tragen und andersherum. Ein anderes Beispiel ist hier Coca Cola und Pepsi. 
Doch auch Nachfrager können über Marktmacht verfügen, insbesondere wenn es viele Anbieter und wenige Nachfrager gibt, haben diese die Möglichkeit in der Preisbildung Einfluss zu nehmen.

==Unvollständige Informationen==
Wenn mindestens eine Marktseite über keine vollständigen Informationen verfügt, kommt es zum Marktversagen. Das erste und wahrscheinlich berühmteste Beispiel ist der "Market for "Lemons" ", den George Akerlof 1970 in einem Paper beschreibt (siehe für das Paper [https://www.jstor.org/stable/1879431?searchText=market+for+lemons&searchUri=%2Faction%2FdoBasicSearch%3FQuery%3Dmarket%2Bfor%2Blemons&ab_segments=0%2Fbasic_search_gsv2%2Fcontrol&refreqid=fastly-default%3Aea7a5adb571ddc0479c67ff76b70b703 hier]). In diesem skizziert er ein Gebrauchtwagenmarkt mit einer Güterart in zwei unterschiedlichen Qualitätsausführungen. Nehmen wir Autos als Beispiel. Es gibt Autos guter und schlechter Qualität, die der guten Qualität kosten 15.000€, die der schlechten kosten 5.000€. Die Nachfrager können den Autos ihre Qualität nicht ansehen. Die Anbieter der Autos mit guter Qualität würden bei einem Preis unter 15.000€ Verlust machen und wären daher nicht bereit günstiger zu verkaufen. Die Anbieter mit den Autos der schlechten Qualität hätten aber einen großen Anreiz ihren Preis über Wert (den 5.000€) zu setzen, da die Nachfrager die Qualität nicht bewerten können. Sollte sich also ein Preis von 15.000€ für beide Autos einstellen, wüssten die Nachfrager nicht mehr, ob sie ein Auto guter Qualität oder ein Auto schlechter Qualität über Wert kaufen. Ein Handel käme in diesem Szenario also nicht zustande. 
Siehe für Spezifikationen [[Asymmetrische Informationen]].

==Externalitäten==
[[Externalitäten und Internalisierung|Externalitäten]] können positiv oder negativ sein. In beiden Fällen sind sie im [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewicht]] nicht eingepreist. Der Gleichgewichtspreis entspricht daher nicht dem [[Effizienz|effizienten]] Preis und die Menge nicht der effizienten Menge. 
Im Falle von negativen Externalitäten würden Kosten, die pro produzierte Einheit entstehen, nicht von dem Anbieter bezahlt bzw. betrachtet werden. Als Beispiel soll eine Firma dienen, die in ihrer Produktion Abgase in die Luft stößt. In der Produktion selbst entstehen neben den Fixkosten auch Kosten aufgrund der Inputfaktoren, die als Grenzkosten Teil der Angebotsfunktion sind. Die Kosten, die zum Beispiel von den umliegenden Haushalten gezahlt werden, um die Abgase wieder aus der Luft zu filtern, sind jedoch kein Teil der Angebotskurve. In Wahrheit müsste sie also um die zusätzlichen Grenzkosten der Filterung nach oben verschoben werden. Grafisch sehe das wie folgt aus: 
[[Datei:NegativeExternalitäten.png|500px|rahmenlos]]

==Öffentliche Güter==
[[Öffentliche Güter]] zeichnen sich durch eine nicht Ausschließbarkeit und nicht Rivalität aus. Wird ein öffentliches Gut bereitgestellt, können andere Nachfrager nicht daran gehindert werden es zu konsumieren. Ein Beispiel ist die Landesverteidigung. Würde die Landesverteidigung durch private Haushalte finanziert werden, würden auch die Haushalte von ihr profitieren, die sie nicht mitfinanziert haben. Dies führt zu einem Anreiz für die Landesverteidigung selbst nicht zu zahlen. Insgesamt führt das zu einer zu geringeren Bereitstellung des öffentlichen Gutes. Grafisch lässt sich das Szenario wie folgt darstellen: 
[[Datei:Öffentliches Gut.png|500px|rahmenlos]] 
Im Beispiel gibt es zwei Nachfrager nach dem öffentlichen Gut, wobei ihr Nutzen in diesem Fall in Euro bemessen werden können. Der Nachfrager <math display="inline> D_{1} </math> erfährt einen zu niedrigen Nutzen, als dass er zu dem Preis des öffentlichen Gutes etwas nachfragen würde. Nachfrager <math display="inline> D_{2} </math> erfährt einen größeren Nutzen aus dem öffentlichen Gut. Er würde im Schnittpunkt mit der Grenzkostenkurve das öffentliche Gut nachfragen, was allerdings eine geringere Menge als gesamtgesellschaftlich optimal wäre. Denn betrachtet man die Gesellschaft als eins, müssen die Nutzenfunktionen aller Nachfrager aufsummiert werden. Der Schnittpunkt der gesellschaftlichen Nachfragekurve mit der Grenzkostenkurve führt zu einer höheren Menge als in der Betrachtung der einzelnen Individuen. Dies führt dazu, dass Märkte versagen können. 
Um Öffentliche Güter klar abgrenzen zu können soll folgende Übersicht helfen: 
{| class="wikitable"
! scope="col"|
! scope="col"| Ausschließbarkeit
! scope="col"| Nicht Ausschließbarkeit
|-
! scope="row"| Rivalität
| '''Private Güter''' Private Autobahn mit Stau
| '''Allmende Güter''' Öffentliche Autobahn mit Stau
|-
! scope="row"| Nicht Rivalität
| '''Klubgüter''' Private Autobahn ohne Stau
| '''Öffentliche Güter''' Öffentliche AUtobahn ohne Stau
|}

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Bei welchen der folgenden Möglichkeiten handelt es sich um eine positive Externalität
|type="()"}
+ Anpflanzen eines schönen Gartens.
- Rauchen in einem befüllten Aufzug.
- Kleidung chemisch reinigen lassen.
- Abspielen zu lauter und störender Musik am Strand.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Mit einer Emissionsgebühr wird ein Unternehmen solange Emissionen einsparen, bis:
|type="()"}
+ die Gebühr geringer ist als die Kosten, die bei der Reduzierung entstehen.
- die Gebühr den gesamtgesellschaftlichen Grenzkosten entspricht.
- die Gebühr dem Produktpreis entspricht.
- (das Unternehmen wird immer Emissionen einsparen, da das Ausstoßen eine Gebühr kostet und dies den Gewinn schmälert).
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie groß ist der Wohlfahrtsverlust auf einem Markt mit einem Monopolisten mit Grenzkosten gleich null? Der Monopolist maximiert seinen Gewinn und sieht sich einer Nachfrage von <math> Q_{D}(P)=10-2P </math> gegenüber.
|type="()"}
+ 6,25.
- 12,5.
- 6,75.
- 9,5.
</quiz>

Netzwerkeffekte

2023-09-21T14:16:22Z

Uwalz: /* Positive Netzwerkeffekte */

==Definition==
Netzwerkeffekte (auch Netzwerk[[Externalitäten und Internalisierung|externalitäten]]) bestehen bei Gütern, wenn der durch Konsum dieser Güter entstehende Nutzen auch von der Anzahl der Konsumenten abhängt.

__TOC__

==Positive Netzwerkeffekte==
Der positive Netzwerkeffekt besteht, wenn ein Konsument ein Gut teilweise deshalb konsumieren möchte, weil andere es auch konsumieren. Die eigene Kaufbereitschaft steigt, wenn mehr Konsumenten das Gut konsumieren. 
''Beispiel'': Vor einiger Zeit hat WhatsApp für Android Nutzer Geld gekostet. Je mehr Freunde WhatsApp nutzten, desto größer war der eigene Nutzen, der sich auch in der Zahlungsbereitschaft widerspiegelt. Hätte keiner der eigenen Freunde WhatsApp, hätte man selbst nie Geld dafür gezahlt. Hätte wiederum jeder außer man selbst WhatsApp genutzt, wäre man mehr oder weniger unter Druck geraten sich doch WhatsApp zu kaufen. Dies ist auch der Grund, warum positive Netzwerkeffekte als '''Mitläufereffekt''' beschrieben werden. Wir entscheiden dabei zwischen direkten Netzeffekten (aufgrund von Kommunikationsvorteilen) und indirekten Netzeffekten (aufgrund der Existenz von komplementären Gütern, etwa bei Betriebssystemen und der komplementären Anwednungssoftware). 
 
Die [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Nutzenfunktion]] ist neben des Konsumniveaus (<math>x_i</math>) auch von der Anzahl der anderen Käufer abhängig (<math> N </math>). 
<math> U(x_i,N) </math> mit <math> \frac{\part U}{\part x_i}>0 </math>, <math> \frac{\part U}{\part N}>0 </math> und <math> \frac{\part^2 U}{\part x_i \part N}>0 </math> 
Dies bedeutet, dass der Nutzen steigt, wenn das Konsumniveau steigt, genauso, wenn die Anzahl der anderen Nutzer steigt. Auch der Grenznutzen steigt, wenn mehr Konsumenten das Gut kaufen. Im Zwei-Güter-Modell ergibt sich die Bedingung erster Ordnung 
<math> \frac{\part U(x_i,N)}{\part x_i}-\lambda P_i=0 </math> 
Zur Vereinfachung soll <math> \lambda=1 </math> gelten. Daraus ergibt sich die inverse [[Nachfrage|Nachfragefunktion]] 
<math> P_i=\frac{\part U(x_i,N)}{\part x_i} </math> 
Wie viel der Konsument marginal für eine Einheit bereit ist zu zahlen hängt von dem Konsumniveau ab und von <math> N </math>. Je größer <math> N </math>, desto größer ist die Zahlungsbereitschaft für jedes Konsumniveau. 
[[Datei:Netzwerkeffektpositiv.png|400px|rahmenlos]] 
 
Angenommen die Konsumenten fragen alle maximal eine Einheit des Gutes nach, dann ergeben sich die [[Nachfrage#Aggregierte Nachfrage|Aggregierte Nachfragefunktionen]] wie oben dargestellt. Die etwas blasser dargestellten Nachfragefunktionen sind die Funktionen bei konstantem <math> N </math>. Fragen immer nur 10 Leute ein Gut nach, bewegt sich die aggregierte Nachfrage entlang <math> D_{10} </math>. Dies ist jedoch nur fiktiv, denn sinkt der Preis, fragen mehr Konsumente das Gut nach, es erhöht sich der individuelle Nutzen durch den Konsum des einen Gutes und die marginale Zahlungsbereitschaft steigt. Daher gibt es für jedes <math> N </math> eine eigene aggregierte Nachfragefunktion. Um eine einzige aggregierte Nachfragefunktion zu erhalten, müssen einzelne Punkte auf den unterschiedlichen Nachfragefunktionen miteinander verbunden werden. Wo genau die Punkte liegen hängt damit zusammen wie viele zu den jeweiligen Preisen ein Gut kaufen. Bei einem Preis <math> p' </math> fragen beispielsweise 10 Konsumenten nach und bei einem Preis <math> p'' </math> 20 Konsumenten. Die beiden Punkte werden mit den ganzen anderen Punkten der jeweiligen Preise miteinander verbunden und es ergibt sich die Nachfragefunktion <math> D </math> (kräftiger in blau eingezeichnet). 
Es zeigt sich, dass die Marktnachfrage deutlich flacher und damit [[Elastizitäten| elastischer]] als die Nachfragen mit konstanten <math> N </math> ist. Dies liegt am Mitläufereffekt. Sinkt der Preis, steigt nicht nur die Menge der nachgefragten Menge der Käufer, sondern auch die Anzahl der Käufer. Der Effekt der Preisreduzierung wird verstärkt.

==Negative Netzwerkeffekte==
Der negative Netzwerkeffekt besteht, wenn der Nutzen durch den Konsum eines Gutes sinkt, wenn auch andere Konsumenten dieses Gut nutzen. 
''Beispiel'': An einem Strand muss Eintritt gezahlt werden. Wenn wenige andere Urlauber am Strand sind ist der Nutzen durch den Strandbesuch deutlich größer, als wenn sehr viele am Strand sind und zum Beispiel gar keine freie Platzwahl möglich ist. Je größer der Nutzen ist, desto größer ist auch die marginae Zahlungsbereitschaft. Dies zeigt sich auch in der Bedingung erster Ordnung im Zwei-Güter-Modell. 
<math> \frac{\part U(x_i,N)}{\part x_i}-\lambda P_i=0 </math> <=> <math> P_i=\frac{U(x_i,N)}{\part x_i} </math> bei <math> \lambda=1 </math> 
Bei negativen Netzwerkeffekten nimmt der Nutzen und Grenznutzen in <math> N </math> jedoch ab, es gilt: 
<math> \frac{\part U}{\part N}<0 </math> und <math> \frac{\part^2 U}{\part x_i \part N}<0 </math> 
[[Datei:Netzwerkeffektnegativ.png|400px|rahmenlos]] 
 
Je mehr Konsumenten ein Gut nachfragen, desto weniger sind die einzelnen Nachfrager bereit für dieses Gut zu zahlen. Wo 20 Konsumenten für 20 Einheiten jeweils <math> p'' </math> bereit sind zu zahlen, liegt die Zahlungsbereitschaft bei 10 Konsumenten für dieselbe Menge deutlich höher. Bei einem Preis <math> p' </math> fragen 10 Konsumenten 10 Einheiten nach. Bei <math>p'' </math> fragen 20 Konsumenten 20 Einheiten nach. Die Verbindungslinie der Nachfragemengen zu den jeweiligen Preisen stellt die [[Nachfrage#Aggregierte Nachfrage|aggregierte Nachfragefunktionen]] dar. Sie ist deutlich steiler als die Nachfragefunktionen bei konstantem <math> N </math> und somit auch [[Elastizitäten| unelastischer]]. Dies liegt daran, dass zwei Effekte entgegenwirken. Eine Preiserhöhung reduziert die Menge, die nachgefragt wird und gleichzeitig erhöht der Rückgang der Nachfrager den Nutzen und damit die Zahlungsbereitschaft für jede marginale Einheit. Jeder Konsument strebt danach, als möglichst einziger ein Gut zu besitzen. Dies ist der Grund, weshalb negative Netzwerkeffekte auch als '''Snobeffekt''' bezeichnet werden.

==Indirekte Netzwerkeffekte==
Die bisher geschilderten Netzwerkeffekte sind direkte Netzwerkeffekte. Der Netzwerkeffekt ist direkt mit dem Nutzen verbunden. Steigt die Anzahl der Konsumenten eines Gutes, sinkt oder steigt der Nutzen eines Konsumenten unmittelbar. Indirekte Netzwerkeffekte sind eng verknüpft mit der Existenz komplementärer Güter. Gibt es beispielsweise viele Nutzer, die die neuste Spielekonsole haben, profitieren diese nicht direkt durch die anderen Nutzer. Sie profitieren lediglich mittelbar von vielen Nutzern, da viele Nutzer den Anreiz für Programmieren erhöhen die neusten Spiele auch für die neue Spielekonsole zu verkaufen. 
''Beispiel'': Die direkten Netzwerkeffekte für eine social media App liegen darin, dass die eigenen Beiträge bei vielen Nutzern der App auch viele Leute erreichen. Die indirekte Netzwerkeffekte liegen darin, dass der Entwickler bei vielen Nutzern die Notwendigkeit sieht, die App stetig zu verbessern.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Felix zieht aus dem Konsum von drei Gütern einen Nutzen. Die Nutzenfuntion lautet <math> U(x_1,x_2,x_3,N)=\frac{x_1N+N^2x_2+x_3}{N} </math>. Welche Aussage ist wahr?
|type="()"}
+ Das Gut <math> x_2 </math> weist positive Netzwerkexternalitäten auf, das Gut <math> x_3 </math> negative.
- Die Güter <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> weisen positive Netzwerkeffekte auf.
- Die Güter <math> x_2 </math> und <math> x_3 </math> weisen negative Netzwerkeffekte auf.
- Das Gut <math> x_1 </math> und das Gut <math> x_2 </math> weisen negative Netzwerkeffekte auf.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wählen Sie alle Antwortmöglichkeiten aus, bei denen positive Netzwerkeffekte vorliegen.
|type="[]"}
+ Dating App Nutzer, die Interesse an allen Geschlechtern haben.
- Pendler, die mit dem Auto zur Arbeit fahren.
- Bib Plätze in der Klausurenphase.
+ Leute, die online Broker Nutzen.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wozu können Netzwerkeffekte führen (mehrere Antwortmöglichkeite richtig)?
|type="[]"}
+ Bei einem Gut, das viele Nutzer benötigt, kann es sein, dass sich dieses Gut nicht durchsetzt, obwohl es besser als ein bestehendes Gut ist, das wiederum derzeit von allen genutzt wird.
- Industrien mit positiven Netzwerkeffekten bieten Start-ups sehr leicht und sehr schnell groß zu werden, obwohl bereits sehr viele Unternehmen in ihnen aktiv sind.
+ Positive Netzwerkeffekte können leicht dazu führen, dass Marktmacht entsteht.
- Negative Netzwerkeffekte führen dazu, dass viele Nachfrager danach streben das Gut zu konsumieren, das auch viele andere haben.
</quiz>

Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt

2023-09-21T14:13:48Z

Uwalz:

Eine Preisänderung wirkt sich auf die Konsumentscheidung aus. Hierbei lässt sich der Gesamteffekt, die Veränderung der Konsumentscheidung, in zwei Effekte aufgliedern: In den Substitutionseffekt und den Einkommenseffekt. Dies ist in vielen Situationen sehr hilfreich, etwa wenn bei wirtschaftspolitischen Entscheidungen nur die Änderung der relativen Preise (etwa bei Änderungen der Energiepreise) zum Tragen kommen soll, nicht aber der Kaufkrafteffekt der Preisänderung (den wir hier im Folgenden als Einkommenseffekt bezeichnen wollen).

==Der Substitutionseffekt==
Der Substitutionseffekt umfasst die Auswirkungen, die alleinig die Preisveränderung mit sich führt und hält dabei das reale Einkommen ([[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt#Nach Slutsky|Nach Slutsky]]) oder den Nutzen ([[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt#Nach Hicks|Nach Hicks]]) konstant. Der Substitutionseffekt besteht darin, dass Konsumenten das relativ teurer gewordene Gut mit dem relativ günstiger gewordenen Gut substituieren.

 
''Beispiel:'' Ein Lebensmittel kostet 6€ und ein Kleidungsstück 2€. Aktuell gibt ein Konsument sein Budget vollständig aus. Würde der Konsument ein Lebensmittel mehr konsumieren wollen, so müsste er auf drei Kleidungsstücke verzichten. 
Kommt es nun zu einer Preissenkung der Lebensmittel, sodass eine Einheit nur noch 4€ kostet, so müsste der Konsument nur noch auf zwei Kleidungsstücke verzichten. Relativ zu Lebensmitteln sind die Kleidungsstücke also günstiger geworden und relativ zu den Lebensmitteln die Kleidungsstücke teurer. Was zu einem höheren Konsum von Lebensmittel führen kann. 

==Der Einkommenseffekt==
Der Einkommenseffekt umfasst die Änderung des Konsumverhaltens aufgrund der Veränderung der realen Kaufkraft. Hierbei bleiben die relativen Preise konstant.
 
Im ''Beispiel'' bedeutet das, dass durch die Veränderung des Lebensmittelpreises an Kaufkraft dazugewonnen wird. Da Lebensmittel günstiger werden kann der Konsument von seinem nominal gleichbleibenden Budget real mehr kaufen. Um den Effekt, der sich verändernden Preise zu ignorieren und lediglich den Effekt durch das Einkommen zu betrachten, wird das Preisverhältnis auf dem neuen Niveau konstant gehalten und sich der Sprung vom alten Punkt mit konstanter Kaufkraft ([[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt#Nach Slutsky|Nach Slutsky]]) oder vom konstanten alten Nutzen ([[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt#Nach Hicks|Nach Hicks]]) zum neuen optimalen Konsumpunkt angeschaut. Ob der Einkommenseffekt positiv oder negativ ist, hängt damit zusammen, welche Art der Güter vorliegen.

==Der Gesamteffekt==
Der Gesamteffekt ist die Summe aus dem Substitutionseffekt und dem Einkommenseffekt (GE=SE+EE) 
 
Der Gesamteffekt lässt sich als verändertes Konsumverhalten beobachten. Er beschreibt den Sprung vom optimalen Konsumpunkt vor der Preisveränderung zum optimalen Konsumpunkt nach der Preisänderung.

==Nach Slutsky==
Um die Aufgliederung des Gesamteffekts nach Slutsky zu betrachten, soll uns ein Beispiel mit einem Gut F und einem Gut C dienen. In unserem Beispiel wird das Gut F günstiger, die Budgetgerade dreht sich also nach außen. Vorher lag der optimaler Konsumpunkt in A. Slutsky schaut sich in der Aufgliederung des '''Substitutionseffekts''' die neue Budgetgerade an, um das neue Preisverhältnis (den Effekt den die neuen Preise haben) einzubeziehen. Hierbei verschiebt er nun die neue Budgetgerade parallel nach unten, die Steigung, also das neue Preisverhältnis verändert sich dabei nicht. Diese fiktive Budgetgerade wird durch den alten Konsumpunkt gezogen, da wir nun in der Budgetgeraden ein Budget haben, das die reale Kaufkraft konstant hält. Die neue Budgetgerade führt nun durch den Punkt A. Der Punkt A ist nun nicht mehr optimal. Es lässt sich ein neuer Punkt D finden, der auf einer Indifferenzkurve liegt, die fiktive Budgetgerade tangiert. Der Sprung von A zu D ist der Substitutionseffekt. In der Differenz der beiden Konsumniveaus spielen nur die veränderten Preise und nicht das veränderte Einkommen eine Rolle. 
Mathematisch lässt sich das wie folgt berechnen: <math display="inline"> SE_{F}=Q_{F}(p_{F}',p_{C}, E')-Q_{F}(p_{F},p_{C}, E) </math>, wobei <math display="inline"> p_{F}'</math> der neue Preis von F ist und <math display="inline"> E'</math> das fiktive neue Einkommen, das die Budgetgerade durch den Punkt A führen lässt. 
 
[[Datei:Hicks4.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Slutsky4.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Slutsky3.png|300px|rahmenlos]]
 
 
Um den Effekt, den das veränderte Einkommen hat, separat zu betrachten, nimmt Slutsky den Punkt D und schaut sich den Sprung zum neuen optimalen Konsumpunkt mit dem neuen Einkommen und dem neuen Preisverhältnis an (Punkt B). Da im Punkt D bereits auch das neue Preisverhältnis steckt, haben wir so den Effekt, den die Einkommensänderung mit sich führt. 
Mathematisch lässt sich der '''Einkommenseffekt''' wie folgt berechnen: <math display="inline"> EE_{F}=Q_{F}(p_{F}',p_{C}, E)-Q_{F}(p_{F}',p_{C}, E') </math>.
 
 
[[Datei:Slutsky2.png|300px|rahmenlos]]
 
 
Der '''Gesamteffekt''' ist der Sprung von A zu B: 
 
[[Datei:Slutsky1.png|351px|rahmenlos]]

==Nach Hicks==
Als Unterscheidung zu [[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt#Nach Slutsky|Slutsky]] hält Hicks nicht das Einkommen konstant, sondern den Nutzen, um den Substitutionseffekt herauszufiltern. Dabei nimmt Hicks das neue Preisverhältnis in Form der Steigung der neuen Budgetgeraden und verschiebt die parallel, bis die Indifferenzkurve des alten Konsumpunkts A tangiert wird. Die Differenz zwischen dem darauf resultierenden Güterbündel (Punkt D) und dem alten optimalen Bündel (Punkt A) ist der '''Substitutionseffekt''' nach Hicks. 
 
[[Datei:Hicks4.png|300px|rahmenlos]]
[[Datei:Hicks3.png|331px|rahmenlos]]
 
 
Um nun den Effekt herauszufiltern, den das Einkommen mit sich führt, nimmt Hicks den optimalen Punkt der fiktiven Bugetgerade mit dem neuen Preisverhältnis und vergleicht diesen mit dem neuen optimalen Konsumpunkt der tatsächlich neu entstandenen Budgetgerade. So wird das Preisverhältnis konstant gehalten und der Effekt ist lediglich durch die Veränderung des Einkommens bedingt, dem '''Einkommenseffekt''': 
 
[[Datei:Hicks2.png|301px|rahmenlos]]
 
 
Auch hier ergeben die Summe der beiden Effekte den '''Gesamteffekt'''. Ungeachtet dessen welche der beiden Verfahren man nutzt, ist in beiden Fällen der Gesamteffekt gleich groß. 
 
[[Datei:Hicks1.png|351px|rahmenlos]]

==Richtung der Effekte==
Um die Richtung der Effekte deuten zu können soll folgende Matrix dienen: 
{| class="wikitable"
! scope="col"|
! scope="col"| X ist ein normales Gut
! scope="col"| X ist ein inferiores Gut
|-
! scope="row"| px↑
| SE: X↓, EE: X↓, GE: X↓
| SE: X↓, EE: X↑, GE: ?
|-
! scope="row"| py↑
| SE: X↑, EE: X↓, GE: ?
| SE: X↑, EE: X↑, GE: X↑
|}
 
Es ist deutlich zu sehen, dass der Substitutionseffekt immer für das Gut positiv ist, dass relativ zum anderen Gut günstiger geworden und für das Gut negativ, das relativ zum anderen Gut teurer geworden ist. Die Nachfrage nach [[Normalen Güter]] steigt im steigenden Einkommen und sinkt bei [[inferioren Gütern]]. Sind die beiden Effekte gegenläufig, so ist der Gesamteffekt nicht eindeutig. Sollte X ein [[Giffen Gut]] sein, so ist bei einer Preiserhöhung von Gut X jedoch der EE betragsmäßig größer als der SE und der Gesamteffekt daher positiv.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{[[Datei:HicksGiffengut.png|251px|rahmenlos]] 
Bei der obigen Abbildung ist das Gut F ein
|type="()"}
+ Giffen Gut.
- Luxusgut.
- Normales Gut.
- Gewöhnliches Gut.
</quiz>

<quiz display=simple>
{ In einem zwei Gütermodell gebe es ein Gut X und ein Gut Y. Die Nachfrage nach Gut X sei gegeben durch folgende Funktion: <math display="inline"> X=\frac{0,5*E}{p_{x}} </math>. Bei einem Preis von <math display="inline"> p_{x}=2 </math> und einem Preis von <math display="inline"> p_{y}=10 </math> werden 15 Einheiten von X und 10 Einheiten von Y nachgefragt.
|type="{}"}
Wie groß ist der Substitutionseffekt nach Slutsky, wenn <math display="inline"> p_{x} </math> auf 4 steigt? { -3,75 }
</quiz>

<quiz display=simple>
{ In einem zwei Gütermodell gebe es ein Gut X und ein Gut Y. Die Nachfrage nach Gut X sei gegeben durch folgende Funktion: <math display="inline"> X=\frac{0,5*E}{p_{x}} </math>. Bei einem Preis von <math display="inline"> p_{x}=2 </math> und einem Preis von <math display="inline"> p_{y}=10 </math> werden 15 Einheiten von X und 10 Einheiten von Y nachgefragt.
|type="{}"}
Wie groß ist der Einkommenseffekt nach Slutsky, wenn <math display="inline"> p_{x} </math> auf 4 steigt? { -3,75 }
</quiz>

Güterarten

2023-09-21T14:08:36Z

Uwalz: /* Güterart und Gesamteffekt */

Güter können sich in der Art und Weise unterscheiden, wie sich die optimale Nachfrage bei Preis- oder Einkommensänderungen verändern. Güter sind entweder Giffen Güter oder Gewöhnliche Güter in Bezug auf Preisänderungen und Güter sind entweder inferiore Güter oder normale Güter in Bezug auf Einkommensänderungen.

__TOC__

==Preisänderungen==
===Gewöhnliche Güter===
Die [[Nachfrage]] nach gewöhnlichen Gütern steigt, wenn der Preis dieser Güter sinkt. Steigt der Preis, dann sinkt die Nachfrage nach dem gewöhnlichen Gut. Die [[Elastizitäten#Preiselastizität der Nachfrage|Preiselastizität der Nachfrage]] betrachtet die prozentuale Änderung der Nachfrage, bei einer prozentualen Änderung des Preises. Wie verändert sich die nachgefragte Menge, wenn der Preis steigt? Bei Gewöhnlichen Gütern ist die Elastizität (ohne Betragsstriche und ohne negatives Vorzeichen) negativ. 
''Beispiel'': Der Student Sebastian geht bei einem Ticketpreis von 5€ 10-mal in das Kino. Sollte er bei einem Preis von 8€ seltener in das Kino gehen, ist der Kinobesuch für Sebastian ein Gewöhnliches Gut. 
Ob ein Gut ein Gewöhnliches Gut ist oder ein [[Güterarten#Preisänderungen#Giffen Güter|Giffen Gut]], lässt sich sehr gut in der [[Preiskonsumkurve]] identifizieren. Steigt der Preis von dem sich auf der x-Achse befindlichen Gut, dreht sich die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgerade]] nach Innen. Die Preiskonsumkurve verbindet alle optimalen Güternachfragen der jeweiligen Budgetgeraden miteinander und hat eine positive Steigung, wenn es sich um gewöhnliche Güter handelt. 
[[Datei:Preiskonsumkurve.png|350px|rahmenlos]]

===Giffen Güter===
Die [[Nachfrage]] nach Giffen Gütern steigt, wenn auch der Preis dieser Güter steigt. Sinkt der Preis, sinkt auch die Nachfrage nach ihnen. Die [[Elastizitäten#Preiselastizität der Nachfrage|Preiselastizität der Nachfrage]] von Giffen Gütern (ohne Betragsstriche und ohne negatives Vorzeichen) ist positiv. Diese Eigenschaft wurde erstmals von Robert Giffen im 19. Jahrhundert entdeckt. Dass die Nachfrage nach einem Gut steigt, wenn der Preis steigt, mag im ersten Moment irritierend sein. Zum Verständnis soll ein Modell dienen, in dem ein Haushalt zwei Nahrungsmittel kaufen kann. Der Haushalt muss sich zwischen Reis und einem anderen Lebensmittel entscheiden. Steigt der Preis, kann sich der Haushalt aufgrund der Preiserhöhung von Reis bedeutend weniger vom anderen Lebensmittel leisten. Daher kauft der Haushalt mehr von Reis, um dennoch den Nutzen möglichst hoch zuhalten. Der Tangentialpunkt der Budgetgeraden mit der Indifferenzkurve liegt weiter rechts, je größer der dazugehörige Preis ist (wenn sich das Giffen Gut auf der x-Achse befindet). Die [[Preiskonsumkurve]] weist in diesem Fall eine negative Steigung auf. 
[[Datei:GiffenGut.png|350px|rahmenlos]]

==Einkommensänderungen==
Die Nachfrage nach einem Gut ist abhängig von den Güterpreisen und dem verfügbaren Einkommen. Verändert sich das Einkommen verändert sich auch die Menge, die von einem Gut nachgefragt wird. Im Folgenden soll untersucht werden, wie und in welchem Verhältnis sich die Nachfrage verändert, wenn sich das Einkommen ändert. Es gilt 
<math> \epsilon=\frac{\part x}{\part E}\frac{E}{x} </math> 
<math> \epsilon=1 </math> => Homothetische Präferenz 
<math> \epsilon>1 </math> => Luxusgut 
<math> \epsilon<1 </math> => Notwendiges Gut 
<math> \epsilon<0 </math> => Inferiores Gut 
 
===Normale Güter===
Die [[Nachfrage]] nach normalen Gütern steigt, wenn das Einkommen steigt und sinkt, wenn das Einkommen sinkt. Die [[Elastizitäten#Einkommenselastizität der Nachfrage|Einkommenselastizität der Nachfrage]] ist somit positiv. Bei den normalen Gütern wird zudem nochmal zwischen notwendigen Gütern, homothetischen Präferenzen und Luxusgütern unterschieden. 
Bei Normalen Gütern wird untersucht, ob die Preiselastizität des Einkommens, größer, gleich oder kleiner eins ist.

====Notwendige Güter====
Die Nachfrage nach '''notwendigen Gütern''' steigt unterproportional im Einkommen. Die Nachfrage immer zunimmt, wenn das Einkommen steigt, jedoch um einen immer kleiner werdenden Wert.
Beispiel: Zucker ist für Bettina ein notwendiges Gut. Verdoppelt sich das Einkommen von ihr, fragt sie auch mehr Zucker nach, jedoch weniger als doppelt so viel. Bei einem Einkommen von 10 fragt sie beispielsweise 20 Einheiten Zucker nach und bei einem Einkommen von 20 fragt sie nicht 40, sondern 30 Einheiten nach. 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> und
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part^2 E}<0 </math> 
Die Steigung der Engelkurve ist positiv und zunehmend, da es sich bei der Engelkurve um die inverse <math> x_1(E) </math> Funktion handelt. 
 

====Homothetische Präferenzen====
Die Nachfrage nach Gütern, die '''homothetische Präferenzen''' aufweisen, steigt proportional im Einkommen. Verdoppelt sich das Einkommen, dann verdoppelt sich auch die nutzenmaximale Menge dieses Gutes. 
Es muss gelten: 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> und
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part^2 E}=0 </math> 
Die Steigung der Engelkurve ist positiv und konstant. 
 

====Luxusgüter====
Die Nachfrage nach '''Luxusgütern''' steigt überproportional im Einkommen. Das heißt die Nachfrage nach Luxusgütern steigt bei wachsendem Einkommen stärker an als das Einkommen selbst. Verdoppelt sich das Einkommen, ist die nutzenmaximale Nachfrage nach diesem Gut mehr als doppelt so groß. 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> und
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part^2 E}>0 </math> 
''Beispiel'': Für Christian sind Autos Luxusgüter. Er hat ein Auto und nach dem sich sein Einkommen verdoppelt hat, kauft er sich zwei weitere und hat drei Autos. 
Die Steigung der Engelkurve ist positiv und abnehmend, da es sich bei der Engelkurve um die inverse <math> x_1(E) </math> Funktion handelt. 
 
Welcher der drei Fälle vorliegt lässt sich am Verlauf der [[Engelkurve]] identifizieren. 
[[Datei:Engelkurve3.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Engelkurve4.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Engelkurve2.png|350px|rahmenlos]]

===Inferiore Güter===
Die [[Nachfrage]] nach inferioren Gütern sinkt bei steigendem Einkommen und steigt, wenn das Einkommen kleiner wird. Die [[Elastizitäten#Einkommenselastizität der Nachfrage|Einkommenselastizität der Nachfrage]] ist somit negativ. 
''Beispiel'': Für Sabine ist Brot vom Discounter ein inferiores Gut. Bei ihrem jetzigen Einkommen kauft sie recht viel Brot beim Discounter, um ihren täglichen Hunger zu stillen. Nach einer Lohnerhöhung hat sie mehr Geld zur Verfügung aber ihr Hunger ändert sich nicht. Statt noch mehr Brot beim Discounter zu kaufen, das sie sowieso nicht essen würde, geht sie zu einem Bäcker, der täglich selbst backt und kauft dort ihr Brot. Obwohl sie mehr Geld zur Verfügung hat, kauft sie von einem Gut (Brot vom Discounter) weniger als vorher.

==Güterart und Gesamteffekt==
Der [[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt#Der Einkommenseffekt|Einkommenseffekt]] weist für das Gut dessen Preis sich ändert bei '''normalen Gütern''' (d.h. wenn das Gut ein normales Gut ist) in die gleiche Richtung wie der [[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt#Der Substitutionseffekt|Substitutionseffekt]]. Steigt der Preis, ist der Substitutionseffekt negativ und der Einkommenseffekt auch. Der Gesamteffekt ist dementsprechend negativ. 
Der [[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt#Der Einkommenseffekt|Einkommenseffekt]] läuft bei '''inferioren Gütern''' für das Gut dessen Preis sich ändert, entgegengesetzt zum [[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt#Der Substitutionseffekt|Substitutionseffekt]]. Das inferiore Gut wird teurer, deshalb ist der Substitutionseffekt negativ, weshalb das reale Einkommen sinkt. Die Nachfrage nach Inferioren Gütern steigt jedoch, wenn das Einkommen sinkt. Daher ist der Einkommenseffekt positiv. Der Gesamteffekt ist unklar. Ist der Einkommenseffekt betragsmäßig größer als der Substitutionseffekt, ist der Gesamteffekt positiv und es handelt sich um ein Inferiores Gut, das gleichzeitig ein '''Giffen Gut''' ist.
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==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ist die Einkommenselastizität positiv, handelt es sich auf jeden Fall um ein...
|type="()"}
+ ... Normales Gut
- ... Giffen Gut
- ... Luxusgut
- ... Notwendiges Gut
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die inverse Nachfragefunktion ist positiv geneigt. Das bedeutet, dass ...
|type="()"}
+ ... das betrachtende Gut ein Giffen Gut ist.
- ... das Gut ein Luxusgut ist.
- ... das Gut ein Gewöhnliches Gut ist.
- (nicht möglich)
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Nachfrage nach <math> x_1 </math> sei in <math> x_1=\frac{E+p_2}{p_1} </math> geschrieben, wobei <math> E>0 </math>, <math> p_2>0 </math> und <math> p_1=0,5 </math>. Bei <math> x_1 </math> handelt es sich um ein...
|type="()"}
+ ... Gewöhnliches Gut und Notwendiges Gut.
- ... Gewöhnliches Gut und Luxusgust.
- ... Giffen Gut und Luxusgut.
- ... Gewöhnliches Gut und einem Gut, das Homohthetische Präferenzen aufweist.
</quiz>

Güterarten

2023-09-21T14:07:27Z

Uwalz: /* Güterart und Gesamteffekt */

Güter können sich in der Art und Weise unterscheiden, wie sich die optimale Nachfrage bei Preis- oder Einkommensänderungen verändern. Güter sind entweder Giffen Güter oder Gewöhnliche Güter in Bezug auf Preisänderungen und Güter sind entweder inferiore Güter oder normale Güter in Bezug auf Einkommensänderungen.

__TOC__

==Preisänderungen==
===Gewöhnliche Güter===
Die [[Nachfrage]] nach gewöhnlichen Gütern steigt, wenn der Preis dieser Güter sinkt. Steigt der Preis, dann sinkt die Nachfrage nach dem gewöhnlichen Gut. Die [[Elastizitäten#Preiselastizität der Nachfrage|Preiselastizität der Nachfrage]] betrachtet die prozentuale Änderung der Nachfrage, bei einer prozentualen Änderung des Preises. Wie verändert sich die nachgefragte Menge, wenn der Preis steigt? Bei Gewöhnlichen Gütern ist die Elastizität (ohne Betragsstriche und ohne negatives Vorzeichen) negativ. 
''Beispiel'': Der Student Sebastian geht bei einem Ticketpreis von 5€ 10-mal in das Kino. Sollte er bei einem Preis von 8€ seltener in das Kino gehen, ist der Kinobesuch für Sebastian ein Gewöhnliches Gut. 
Ob ein Gut ein Gewöhnliches Gut ist oder ein [[Güterarten#Preisänderungen#Giffen Güter|Giffen Gut]], lässt sich sehr gut in der [[Preiskonsumkurve]] identifizieren. Steigt der Preis von dem sich auf der x-Achse befindlichen Gut, dreht sich die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgerade]] nach Innen. Die Preiskonsumkurve verbindet alle optimalen Güternachfragen der jeweiligen Budgetgeraden miteinander und hat eine positive Steigung, wenn es sich um gewöhnliche Güter handelt. 
[[Datei:Preiskonsumkurve.png|350px|rahmenlos]]

===Giffen Güter===
Die [[Nachfrage]] nach Giffen Gütern steigt, wenn auch der Preis dieser Güter steigt. Sinkt der Preis, sinkt auch die Nachfrage nach ihnen. Die [[Elastizitäten#Preiselastizität der Nachfrage|Preiselastizität der Nachfrage]] von Giffen Gütern (ohne Betragsstriche und ohne negatives Vorzeichen) ist positiv. Diese Eigenschaft wurde erstmals von Robert Giffen im 19. Jahrhundert entdeckt. Dass die Nachfrage nach einem Gut steigt, wenn der Preis steigt, mag im ersten Moment irritierend sein. Zum Verständnis soll ein Modell dienen, in dem ein Haushalt zwei Nahrungsmittel kaufen kann. Der Haushalt muss sich zwischen Reis und einem anderen Lebensmittel entscheiden. Steigt der Preis, kann sich der Haushalt aufgrund der Preiserhöhung von Reis bedeutend weniger vom anderen Lebensmittel leisten. Daher kauft der Haushalt mehr von Reis, um dennoch den Nutzen möglichst hoch zuhalten. Der Tangentialpunkt der Budgetgeraden mit der Indifferenzkurve liegt weiter rechts, je größer der dazugehörige Preis ist (wenn sich das Giffen Gut auf der x-Achse befindet). Die [[Preiskonsumkurve]] weist in diesem Fall eine negative Steigung auf. 
[[Datei:GiffenGut.png|350px|rahmenlos]]

==Einkommensänderungen==
Die Nachfrage nach einem Gut ist abhängig von den Güterpreisen und dem verfügbaren Einkommen. Verändert sich das Einkommen verändert sich auch die Menge, die von einem Gut nachgefragt wird. Im Folgenden soll untersucht werden, wie und in welchem Verhältnis sich die Nachfrage verändert, wenn sich das Einkommen ändert. Es gilt 
<math> \epsilon=\frac{\part x}{\part E}\frac{E}{x} </math> 
<math> \epsilon=1 </math> => Homothetische Präferenz 
<math> \epsilon>1 </math> => Luxusgut 
<math> \epsilon<1 </math> => Notwendiges Gut 
<math> \epsilon<0 </math> => Inferiores Gut 
 
===Normale Güter===
Die [[Nachfrage]] nach normalen Gütern steigt, wenn das Einkommen steigt und sinkt, wenn das Einkommen sinkt. Die [[Elastizitäten#Einkommenselastizität der Nachfrage|Einkommenselastizität der Nachfrage]] ist somit positiv. Bei den normalen Gütern wird zudem nochmal zwischen notwendigen Gütern, homothetischen Präferenzen und Luxusgütern unterschieden. 
Bei Normalen Gütern wird untersucht, ob die Preiselastizität des Einkommens, größer, gleich oder kleiner eins ist.

====Notwendige Güter====
Die Nachfrage nach '''notwendigen Gütern''' steigt unterproportional im Einkommen. Die Nachfrage immer zunimmt, wenn das Einkommen steigt, jedoch um einen immer kleiner werdenden Wert.
Beispiel: Zucker ist für Bettina ein notwendiges Gut. Verdoppelt sich das Einkommen von ihr, fragt sie auch mehr Zucker nach, jedoch weniger als doppelt so viel. Bei einem Einkommen von 10 fragt sie beispielsweise 20 Einheiten Zucker nach und bei einem Einkommen von 20 fragt sie nicht 40, sondern 30 Einheiten nach. 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> und
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part^2 E}<0 </math> 
Die Steigung der Engelkurve ist positiv und zunehmend, da es sich bei der Engelkurve um die inverse <math> x_1(E) </math> Funktion handelt. 
 

====Homothetische Präferenzen====
Die Nachfrage nach Gütern, die '''homothetische Präferenzen''' aufweisen, steigt proportional im Einkommen. Verdoppelt sich das Einkommen, dann verdoppelt sich auch die nutzenmaximale Menge dieses Gutes. 
Es muss gelten: 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> und
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part^2 E}=0 </math> 
Die Steigung der Engelkurve ist positiv und konstant. 
 

====Luxusgüter====
Die Nachfrage nach '''Luxusgütern''' steigt überproportional im Einkommen. Das heißt die Nachfrage nach Luxusgütern steigt bei wachsendem Einkommen stärker an als das Einkommen selbst. Verdoppelt sich das Einkommen, ist die nutzenmaximale Nachfrage nach diesem Gut mehr als doppelt so groß. 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> und
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part^2 E}>0 </math> 
''Beispiel'': Für Christian sind Autos Luxusgüter. Er hat ein Auto und nach dem sich sein Einkommen verdoppelt hat, kauft er sich zwei weitere und hat drei Autos. 
Die Steigung der Engelkurve ist positiv und abnehmend, da es sich bei der Engelkurve um die inverse <math> x_1(E) </math> Funktion handelt. 
 
Welcher der drei Fälle vorliegt lässt sich am Verlauf der [[Engelkurve]] identifizieren. 
[[Datei:Engelkurve3.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Engelkurve4.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:Engelkurve2.png|350px|rahmenlos]]

===Inferiore Güter===
Die [[Nachfrage]] nach inferioren Gütern sinkt bei steigendem Einkommen und steigt, wenn das Einkommen kleiner wird. Die [[Elastizitäten#Einkommenselastizität der Nachfrage|Einkommenselastizität der Nachfrage]] ist somit negativ. 
''Beispiel'': Für Sabine ist Brot vom Discounter ein inferiores Gut. Bei ihrem jetzigen Einkommen kauft sie recht viel Brot beim Discounter, um ihren täglichen Hunger zu stillen. Nach einer Lohnerhöhung hat sie mehr Geld zur Verfügung aber ihr Hunger ändert sich nicht. Statt noch mehr Brot beim Discounter zu kaufen, das sie sowieso nicht essen würde, geht sie zu einem Bäcker, der täglich selbst backt und kauft dort ihr Brot. Obwohl sie mehr Geld zur Verfügung hat, kauft sie von einem Gut (Brot vom Discounter) weniger als vorher.

==Güterart und Gesamteffekt==
Der [[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt#Der Einkommenseffekt|Einkommenseffekt]] weist für das Gut dessen Preis sich ändert bei '''Normalen Gütern''' (d.h. wenn das Gut ein normales Gut ist) in die gleiche Richtung wie der [[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt#Der Substitutionseffekt|Substitutionseffekt]]. Steigt der Preis, ist der Substitutionseffekt negativ und der Einkommenseffekt auch. Der Gesamteffekt ist dementsprechend negativ. 
Der [[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt#Der Einkommenseffekt|Einkommenseffekt]] läuft bei '''Inferioren Gütern''' für das Gut dessen Preis sich ändert, entgegengesetzt zum [[Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und Gesamteffekt#Der Substitutionseffekt|Substitutionseffekt]]. Das inferiore Gut wird teurer, deshalb ist der Substitutionseffekt negativ, weshalb das reale Einkommen sinkt. Die Nachfrage nach Inferioren Gütern steigt jedoch, wenn das Einkommen sinkt. Daher ist der Einkommenseffekt positiv. Der Gesamteffekt ist unklar. Ist der Einkommenseffekt betragsmäßig größer als der Substitutionseffekt, ist der Gesamteffekt positiv und es handelt sich um ein Inferiores Gut, das gleichzeitig ein '''Giffen Gut''' ist.
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|}
 

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ist die Einkommenselastizität positiv, handelt es sich auf jeden Fall um ein...
|type="()"}
+ ... Normales Gut
- ... Giffen Gut
- ... Luxusgut
- ... Notwendiges Gut
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die inverse Nachfragefunktion ist positiv geneigt. Das bedeutet, dass ...
|type="()"}
+ ... das betrachtende Gut ein Giffen Gut ist.
- ... das Gut ein Luxusgut ist.
- ... das Gut ein Gewöhnliches Gut ist.
- (nicht möglich)
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Nachfrage nach <math> x_1 </math> sei in <math> x_1=\frac{E+p_2}{p_1} </math> geschrieben, wobei <math> E>0 </math>, <math> p_2>0 </math> und <math> p_1=0,5 </math>. Bei <math> x_1 </math> handelt es sich um ein...
|type="()"}
+ ... Gewöhnliches Gut und Notwendiges Gut.
- ... Gewöhnliches Gut und Luxusgust.
- ... Giffen Gut und Luxusgut.
- ... Gewöhnliches Gut und einem Gut, das Homohthetische Präferenzen aufweist.
</quiz>

Preiskonsumkurve

2023-09-21T14:02:09Z

Uwalz: /* Preiskonsumkurve */

==Definition==
Die Preiskonsumkurve (auch Preiskonsumlinie) ist die Verbindungslinie aller nutzenmaximalen Güterkombinationen, für unterschiedliche Preise eines Gutes.

__TOC__

==Preisänderung==
Die Preiskonsumkurve betrachtet die veränderte Konsumentscheidung bei der Variation eines Preises. Wie sich die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgerade]] verändert, wenn sich ein Preis verändert, lässt sich sehr gut in den Achsenabschnitten der Budgetgeraden sehen. Die Achsenabschnitte stellen den maximalen Konsum eines Gutes bei gleichzeitigem Nichtkonsum des anderen Gutes dar. Eine Preisänderung von Gut x1 verändert dabei nur den Achsenabschnitt auf der X-Achse. Der Achsenabschnitt auf der Y-Achse bleibt identisch, da sich der Preis von Gut x2 nicht verändert hat. Wenn sich nur der Preis eines Gutes verändert, führt dies zu einer Drehung der Budgetgeraden. In der Abbildung gilt: <math dispay="inline"> p''_1 > p'_1 > p_1 </math> 
 
[[Datei:Budgetgerade2.png|350px|rahmenlos]] 
 

==Preiskonsum- und Nachfragekurve==
Die nutzenmaximale Nachfrage ist in der Regel abhängig von dem Einkommen und den Güterpreisen <math> x_1^*(p_1,p_2,E) </math>. Verändern sich der Preis <math> p_1 </math>, verändert sich auch die optimale Nachfrage und damit das [[Haushaltsoptimum]]. Für jeden Preis <math> p_1 </math> existiert ein Tangentialpunkt der jeweiligen Budgetgeraden mit einer [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurve]]. Die Verbindungslinie aller Haushaltsoptima ist die Preiskonsumkurve. 
[[Datei:Preiskonsumkurve.png|351px|rahmenlos]]
[[Datei:PreiskonsumkurveNachfrage.png|351px|rahmenlos]]
 
 
Die optimale Nachfrage bei konstantem Preis <math> \bar{p_2} </matH> und Einkommen <math> \bar{E} </math> ist nur noch abhängig von Preis <math> p_1 </math>. Die Nachfrage <math> x_1^*(p_1) </math> umgestellt nach <math> p_1 </math> ergibt die (inverse) [[Nachfrage|Nachfragefunktion]] (rechte Abbildung). Die Preiskonsumkruve hat eine positive Steigung, wenn es sich um ein [[Güterarten#Preisänderungen#Gewöhnliche Güter|Gewöhnliches Gut]] handelt.

==Preiskonsumkurve eines Giffen Guts==
Die [[Nachfrage]] nach einem [[Güterarten#Preisänderungen#Giffen Güter|Giffen Gut]] sinkt, wenn der Preis eines Gutes sinkt. Je näher die Budgetgerade zum Ursprung geneigt ist, desto größer ist der Preis. Definitionsgemäß muss sich der Tangentialpunkt bei einem steigenden Preis nach links verschieben, wenn das Giffen Gut auf der X-Achse abgetragen wird. Die Preiskonsumkurve eines Giffen Gutes hat eine negative Steigung. 
[[Datei:GiffenGut.png|350px|rahmenlos]]

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Nachfrage nach <math> x_1 </math> lautet <math> x_1^*=\frac{E-p_1+p_2}{p_1}</math>. Wie lautet die Funktionsgleichung der Preiskonsumkurve bei einem Einkommen von 10 und <math> p_2=5 </math>?
|type="()"}
+ <math> p_1(x_1)=15(x_1+1) </math>
- <math> p_1(x_1)=15x_1+1 </math>
- <math> p_1(x_1)=15-x_1 </math>
- <math> p_1(x_1)=\frac{10-x_1}{x_1} </math>
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Nachfrage nach <math> x_1 </math> lautet <math> x_1^*=\frac{E-p_1+p_2}{p_1}</math>. Wie unterscheiden sich die Preiskonsumkurven, wenn das Einkommen ein anderes ist und der Preis des anderen Gutes konstant bleibt?
|type="()"}
+ Die Steigung ist eine andere und die Kurve ist verschoben.
- Die Steigung ist eine andere und die Kurve bleibt am selben Achsenabschnitt.
- Die Steigung ist die gleiche und die Kurve ist verschoben.
- Die Steigung ist die gleiche und die Kurve bleibt am selben Achsenabschnitt.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Steigung hat die Preiskonsumkurve, wenn beide Güter Giffen Güter sind
|type="()"}
- positiv, wachsend
- negativ, fallend
+ nicht möglich
- konstant, positiv
</quiz>

Engelkurve

2023-09-21T13:53:59Z

Uwalz: /* Die Engel-Kurve */

==Definition==
Die Engel-Kurve bildet die Effekte einer Einkommensvariation auf die individuelle Güternachfrage ab. Das heißt sie beschreibt den Zusammenhang zwischen der Güternachfrage <math> x_1 </math> beziehungsweise <math> x_2 </math> und dem Einkommen E. Sie stellt als Funktion die veränderte nutzenmaximale Nachfrage nach einem Gut bei variierendem Einkommen dar.

__TOC__

==Die Engel-Kurve==
Das [[Haushaltsoptimum]] stellt die optimale Nachfrage nach beiden Gütern da. Bei den Gütern <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ergeben sich die beiden optimalen Nachfragen <math> x_1(p_1,p_2,E) </math> und <math> x_2(p_1,p_2,E) </math>. Die Nachfrage nach dem Gut <math> x_1 </math> ist abhängig von den beiden Preisen und dem Einkommen E. Verändert sich das Einkommen E, verschiebt sich die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgerade]] parallel nach außen. Es entsteht ein neues Haushaltsoptimum mit einem höheren Nutzenniveau. Rechnerisch ergibt sich durch das Einsetzen des neuen Einkommens in die Nachfragefunktion die neue optimale Nachfrage nach <math> x_1 </math>. 
Die Nachfragefunktion lässt sich nach E umstellen, sodass die neue Funktion von <math> x_1 </math> und den neuen Preisen abhängig ist <math> E(p_1,p_2,x_1) </math>. Diese Funktion gibt an welches Budget E nötig ist um ein bestimmtes Level von <math> x_1 </math> zu erreichen. Die neue Funktion ist die Funktionsgleichung der Engel-Kurve. Man beachte dabei, dass wie oft üblich in der Ökonomie, die endogene Variable (<math> x_1 </math>) auf der X-Achse steht und sich die unabhängige Variable (E) auf der Y-Achse.
 
''Beispiel'': Die Nachfrage nach Pizza (<math> x_1 </math>) lautet 
<math> x_1(p_1,p_2,E)=\frac{E+p_2-p_1}{p_1} </math> 
wobei <math> x_2 </math> das Gut Döner ist. Die Funktion nach E umgestellt ergibt <math> E=p_1x_1-p_2+p_1 </math>. Angenommen Pizza kostet 1€ und Döner kostet 1€. Dann lautet die Funktion der Engel-Kurve <math> E=x_1 </math>. 
[[Datei:EinkommenKonsumKurve1.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:Engelkurve1.png|320px|rahmenlos]] 
 
Bei dem vorliegenden Beispiel steigt auch die nutzenmaximale Nachfrage nach dem Gut <math> x_1 </math>, wenn das Einkommen steigt. Dies ist in der Funktionsgleichung und der Abbildungen der Engelkurve und der [[Einkommens-Konsumkurve]] erkennbar.

==Inferiore Güter==
Die Nachfrage nach [[Güterarten|Inferioren Gütern]] sinkt bei steigendem Einkommen. Bei einem steigenden Budget verschiebt sich die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgerade]] parallel nach außen. Je weiter die Budgetgerade vom Ursprung entfernt ist, desto größer ist das Budget/Einkommen. Bei Inferioren Gütern muss der [[Haushaltsoptimum#Tangentialbedingung und Grenznutzen|Tangentialpunkt]] einen numerisch immer kleiner werdenden Wert annehmen als beim nächstkleineren Einkommen. 
[[Datei:EinkommenKonsumKurve2.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:Engelkurve5.png|320px|rahmenlos]] 
 
In dem Beispiel oben ist das Gut <math> x_2 </math> ein inferiores Gut und <math> x_1 </math>. Je größer das Budget/Einkommen ist, desto weniger wird nutzenmaximal von <math> x_2 </math> nachgefragt. Die Steigung der Engelkurve dieses Gutes ist fallend. 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}<0 </math> 

==Normale Güter==
Die Nachfrage nach [[Güterarten|Normalen Gütern]] steigt bei steigendem Einkommen. Bei ihnen muss der [[Haushaltsoptimum#Tangentialbedingung und Grenznutzen|Tangentialpunkt]] im steigenden Einkommen einen numerisch immer größer werdenden Wert annehmen. Es muss gelten 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> 
 
Die Gleichung oben untersucht, wie sich die Steigung der Nachfragefunktion verhält. In diesem Fall ist die erste Ableitung größer als null, dementsprechend ist die Steigung positiv. Dies ist die [[Marginale Sichtweise|marginale Untersuchung]], wie sich die nachgefragte Menge bei einer Veränderung von E verhält. 
 
===Notwendige Güter===
Die Nachfrage nach [[Güterarten|Notwendigen Güter]] muss im steigenden Einkommen langsamer steigen als das Einkommen. Die Nachfrage nach ihnen steigt unterproportional. Das heißt, dass die Nachfrage immer zunimmt, wenn das Einkommen steigt, jedoch um einen immer kleiner werdenden Wert. 
''Beispiel'': Zucker ist für Bettina ein notwendiges Gut. Verdoppelt sich das Einkommen von ihr, fragt sie auch mehr Zucker nach, jedoch weniger als doppelt so viel. Bei einem Einkommen von 10 fragt sie beispielsweise 20 Einheiten von Zucker nach und bei einem Einkommen von 20 fragt sie 30 Einheiten nach. 
Es muss gelten: 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> 
und 
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part^2 E}<0 </math> 
[[Datei:Engelkurve3.png|350px|rahmenlos]] 
Es gilt zu beachten, dass die grafische Darstellung der Engelkurve in der <math> E(x) </math>-Form ist, die Ableitungen oben jedoch in der <math> x(E) </math>-Form. Daher ist die grafisch dargestellte Funktion konvex. Beginnend vom Ursprung steigt auch die Menge von <math> x_1 </math>, wenn E steigt. Für jede Einheit von E steigt <math> x_1 </math> weniger stark an. Eine inverse Darstellung der Engelkurve würde auch grafisch eine konkave Funktion ergeben, deren zweite Ableitung kleiner als null ist.
 
 
===Homothetische Präferenzen===
Die Nachfrage nach Gütern, die [[Güterarten|Homothetische Präferenzen]] nachweisen, steigt proportional zum Einkommen. Verdoppelt sich das Einkommen/Budget, dann verdoppelt sich auch die nutzenmaximale Menge dieses Gutes. 
Es muss gelten: 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> 
und 
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part^2 E}=0 </math> 
[[Datei:Engelkurve4.png|350px|rahmenlos]] 
Die Engelkurve ist eine Ursprungsgerade, die eine konstante Steigung aufweist, welche nicht zwingend eins entsprechen muss.
 
 
===Luxusgüter===
Die Nachfrage nach [[Güterarten|Luxusgütern]] steigt bei wachsendem Einkommen stärker an, als das Einkommen selbst. Verdoppelt sich das Budget/Einkommen, ist die nutzenmaximale Nachfrage nach diesem Gut mehr als doppelt so groß. 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> 
und 
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part^2 E}>0 </math> 
''Beispiel'': Für Christian sind Autos Luxusgüter. Er hat ein Auto und nach dem sich sein Einkommen verdoppelt hat, kauft er sich zwei weitere und hat drei Autos. 
[[Datei:Engelkurve2.png|350px|rahmenlos]] 
Die Engelkurve hat einen konkaven Verlauf. Ist die zweite Ableitung größer als null, ist die Funktion jedoch konvex. Dies liegt daran, dass die grafische Darstellung in der <math> E(x) </math>-Form ist, jedoch <math> x(E) </math> zweimal nach E differenziert wird.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Eine Engelkurve für ein Gut hat eine positive Steigung, wenn das Gut
|type="()"}
- ein inferiores Gut ist
- ein Giffen-Gut ist
+ ein normales Gut ist
- (nicht eindeutig)
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Konsument hat die Wahl zwischen den beiden Gütern <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math>. Angenommen er konsumiert nur Gut <math> x_1 </math>, wie lautet die Funktionsgleichung der Engelkurve dieses Gutes?
|type="()"}
+ <math> E(x_1)=x_1p_1 </math>
- <math> E(x_1)=x_1:p_1 </math>
- <math> E(x_1)=x_1-p_1 </math>
- <math> E(x_1)=x_1+p_1 </math>
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Nachfrage nach einem Gut sei durch <math> x_1^*=\sqrt[3]{E^2+1} </math> beschrieben. Die Engelkurve <math> E(x_1) </math>
|type="()"}
+ hat eine positive und zunehmende Steigung.
- hat eine positive und abnehmende Steigung.
- hat eine positive und konstante Steigung.
- hat eine negative Steigung.
</quiz>

Engelkurve

2023-09-21T13:50:09Z

Uwalz: /* Definition */

==Definition==
Die Engel-Kurve bildet die Effekte einer Einkommensvariation auf die individuelle Güternachfrage ab. Das heißt sie beschreibt den Zusammenhang zwischen der Güternachfrage <math> x_1 </math> beziehungsweise <math> x_2 </math> und dem Einkommen E. Sie stellt als Funktion die veränderte nutzenmaximale Nachfrage nach einem Gut bei variierendem Einkommen dar.

__TOC__

==Die Engel-Kurve==
Das [[Haushaltsoptimum]] stellt die optimale Nachfrage nach beiden Gütern da. Bei den Gütern <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ergeben sich die beiden optimalen Nachfragen <math> x_1(p_1,p_2,E) </math> und <math> x_2(p_1,p_2,E) </math>. Die Nachfrage nach dem Gut <math> x_1 </math> ist abhängig von den beiden Preisen und dem Einkommen E. Verändert sich das Einkommen E, verschiebt sich die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgerade]] parallel nach außen. Es entsteht ein neues Haushaltsoptimum mit einem höheren Nutzenniveau. Rechnerisch ergibt sich durch das Einsetzen des neuen Einkommens in die Nachfragefunktion die neue optimale Nachfrage nach <math> x_1 </math>. 
Die Nachfragefunktion lässt sich nach E umstellen, sodass die neue Funktion von <math> x_1 </math> und den neuen Preisen abhängig ist <math> E(p_1,p_2,x_1) </math>. Diese Funktion gibt an welches Budget E nötig ist um ein bestimmtes Level von <math> x_1 </math> zu erreichen. Die neue Funktion ist die Funktionsgleichung der Engel-Kurve. 
''Beispiel'': Die Nachfrage nach Pizza (<math> x_1 </math>) lautet 
<math> x_1(p_1,p_2,E)=\frac{E+p_2-p_1}{p_1} </math> 
wobei <math> x_2 </math> das Gut Döner ist. Die Funktion nach E umgestellt ergibt <math> E=p_1x_1-p_2+p_1 </math>. Angenommen Pizza kostet 1€ und Döner kostet 1€. Dann lautet die Funktion der Engel-Kurve <math> E=x_1 </math>. 
[[Datei:EinkommenKonsumKurve1.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:Engelkurve1.png|320px|rahmenlos]] 
 
Bei dem vorliegenden Beispiel steigt auch die nutzenmaximale Nachfrage nach dem Gut <math> x_1 </math>, wenn das Einkommen steigt. Dies ist in der Funktionsgleichung und der Abbildungen der Engelkurve und der [[Einkommens-Konsumkurve]] erkennbar.

==Inferiore Güter==
Die Nachfrage nach [[Güterarten|Inferioren Gütern]] sinkt bei steigendem Einkommen. Bei einem steigenden Budget verschiebt sich die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgerade]] parallel nach außen. Je weiter die Budgetgerade vom Ursprung entfernt ist, desto größer ist das Budget/Einkommen. Bei Inferioren Gütern muss der [[Haushaltsoptimum#Tangentialbedingung und Grenznutzen|Tangentialpunkt]] einen numerisch immer kleiner werdenden Wert annehmen als beim nächstkleineren Einkommen. 
[[Datei:EinkommenKonsumKurve2.png|400px|rahmenlos]]
[[Datei:Engelkurve5.png|320px|rahmenlos]] 
 
In dem Beispiel oben ist das Gut <math> x_2 </math> ein inferiores Gut und <math> x_1 </math>. Je größer das Budget/Einkommen ist, desto weniger wird nutzenmaximal von <math> x_2 </math> nachgefragt. Die Steigung der Engelkurve dieses Gutes ist fallend. 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}<0 </math> 

==Normale Güter==
Die Nachfrage nach [[Güterarten|Normalen Gütern]] steigt bei steigendem Einkommen. Bei ihnen muss der [[Haushaltsoptimum#Tangentialbedingung und Grenznutzen|Tangentialpunkt]] im steigenden Einkommen einen numerisch immer größer werdenden Wert annehmen. Es muss gelten 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> 
 
Die Gleichung oben untersucht, wie sich die Steigung der Nachfragefunktion verhält. In diesem Fall ist die erste Ableitung größer als null, dementsprechend ist die Steigung positiv. Dies ist die [[Marginale Sichtweise|marginale Untersuchung]], wie sich die nachgefragte Menge bei einer Veränderung von E verhält. 
 
===Notwendige Güter===
Die Nachfrage nach [[Güterarten|Notwendigen Güter]] muss im steigenden Einkommen langsamer steigen als das Einkommen. Die Nachfrage nach ihnen steigt unterproportional. Das heißt, dass die Nachfrage immer zunimmt, wenn das Einkommen steigt, jedoch um einen immer kleiner werdenden Wert. 
''Beispiel'': Zucker ist für Bettina ein notwendiges Gut. Verdoppelt sich das Einkommen von ihr, fragt sie auch mehr Zucker nach, jedoch weniger als doppelt so viel. Bei einem Einkommen von 10 fragt sie beispielsweise 20 Einheiten von Zucker nach und bei einem Einkommen von 20 fragt sie 30 Einheiten nach. 
Es muss gelten: 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> 
und 
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part^2 E}<0 </math> 
[[Datei:Engelkurve3.png|350px|rahmenlos]] 
Es gilt zu beachten, dass die grafische Darstellung der Engelkurve in der <math> E(x) </math>-Form ist, die Ableitungen oben jedoch in der <math> x(E) </math>-Form. Daher ist die grafisch dargestellte Funktion konvex. Beginnend vom Ursprung steigt auch die Menge von <math> x_1 </math>, wenn E steigt. Für jede Einheit von E steigt <math> x_1 </math> weniger stark an. Eine inverse Darstellung der Engelkurve würde auch grafisch eine konkave Funktion ergeben, deren zweite Ableitung kleiner als null ist.
 
 
===Homothetische Präferenzen===
Die Nachfrage nach Gütern, die [[Güterarten|Homothetische Präferenzen]] nachweisen, steigt proportional zum Einkommen. Verdoppelt sich das Einkommen/Budget, dann verdoppelt sich auch die nutzenmaximale Menge dieses Gutes. 
Es muss gelten: 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> 
und 
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part^2 E}=0 </math> 
[[Datei:Engelkurve4.png|350px|rahmenlos]] 
Die Engelkurve ist eine Ursprungsgerade, die eine konstante Steigung aufweist, welche nicht zwingend eins entsprechen muss.
 
 
===Luxusgüter===
Die Nachfrage nach [[Güterarten|Luxusgütern]] steigt bei wachsendem Einkommen stärker an, als das Einkommen selbst. Verdoppelt sich das Budget/Einkommen, ist die nutzenmaximale Nachfrage nach diesem Gut mehr als doppelt so groß. 
<math> \frac{\part x(E)}{\part E}>0 </math> 
und 
<math> \frac{\part^2 x(E)}{\part^2 E}>0 </math> 
''Beispiel'': Für Christian sind Autos Luxusgüter. Er hat ein Auto und nach dem sich sein Einkommen verdoppelt hat, kauft er sich zwei weitere und hat drei Autos. 
[[Datei:Engelkurve2.png|350px|rahmenlos]] 
Die Engelkurve hat einen konkaven Verlauf. Ist die zweite Ableitung größer als null, ist die Funktion jedoch konvex. Dies liegt daran, dass die grafische Darstellung in der <math> E(x) </math>-Form ist, jedoch <math> x(E) </math> zweimal nach E differenziert wird.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Eine Engelkurve für ein Gut hat eine positive Steigung, wenn das Gut
|type="()"}
- ein inferiores Gut ist
- ein Giffen-Gut ist
+ ein normales Gut ist
- (nicht eindeutig)
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Konsument hat die Wahl zwischen den beiden Gütern <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math>. Angenommen er konsumiert nur Gut <math> x_1 </math>, wie lautet die Funktionsgleichung der Engelkurve dieses Gutes?
|type="()"}
+ <math> E(x_1)=x_1p_1 </math>
- <math> E(x_1)=x_1:p_1 </math>
- <math> E(x_1)=x_1-p_1 </math>
- <math> E(x_1)=x_1+p_1 </math>
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Nachfrage nach einem Gut sei durch <math> x_1^*=\sqrt[3]{E^2+1} </math> beschrieben. Die Engelkurve <math> E(x_1) </math>
|type="()"}
+ hat eine positive und zunehmende Steigung.
- hat eine positive und abnehmende Steigung.
- hat eine positive und konstante Steigung.
- hat eine negative Steigung.
</quiz>

Haushaltsoptimum

2023-09-21T13:29:28Z

Uwalz: /* Tangentialbedingung und Grenznutzen */

==Definition==
Die Konsumgüterbündel eines Konsumenten, das er gegeben seiner Budgetrestriktion am stärksten präferiert, heißt Haushaltsoptimum. Der Nutzen ist in diesem Konsumbündel maximiert und ein höheres Nutzenniveau kann aufgrund der Budgetrestriktion nicht erreicht werden.

__TOC__

==Das Haushaltsoptimum grafisch==
Das Haushaltsoptimum liegt im Tangentialpunkt der [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgeraden]] und der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurve]]. Dies hängt mit den [[Axiome der Nutzentheorie|Axiomen der Nutzentheorie]] zusammen. Aufgrund der [[Axiome der Nutzentheorie|Monotonie/Lokale nicht Sättigung]] ist es für den Konsumenten besser mehr von beiden Gütern zu konsumieren. Deshalb gilt <math> U_1<U_2<U_3 </math>. Der Konsument ist in seinem [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetrestriktion|Budget]] limitiert. Er kann lediglich sein Einkommen E für seinen Konsum ausgeben. Der Konsum unterhalb der Budgetgeraden ist genauso möglich, wie der Konsum auf der Budgetgerade. Der Konsum oberhalb der Budgetgerade ist nicht möglich, da hierfür ein größeres Budget nötig wäre. 
[[Datei:Haushaltsoptimum.png|401px|rahmenlos]] 
 
Der nutzenmaximale Punkt kann nicht unterhalb der Budgetgeraden liegen. Befindet sich der aktuelle Konsumpunkt doch unterhalb der Budgetgeraden, erhöht sich der Nutzen, sobald der Konsument von mindestens einem der beiden Gütern mehr konsumiert. Dementsprechend muss im Optimum dieses Modells das gesamte Budget aufgebraucht werden. Wo genau das Optimum auf der Budgetgerade liegt, hängt von dem Verlauf der Indifferenzkurven ab. Der Nutzen ist unter den Standardannahmen maximiert, wenn eine Indifferenzkurve die Budgetgerade tangiert. Jede Indifferenzkurve, die die Budgetgerade schneidet, bildet nicht das Maximum ab, da durch eine Änderung im Konsumverhalten ein höheres Nutzenniveau erreicht werden kann. Liegt der momentane Konsumpunkt beispielsweise mit Schnittpunkt der Budgetgeraden und auf der Indifferenzkurve <math> U_1 </math>, kann noch die Indifferenzkurve <math> U_2 </math> erreicht werden. Ausgehend von diesem neuen Punkt ist kein Punkt auf einer höheren Indifferenzkurve (<math> U_3 </math> ) erreichbar.

==Das Haushaltsoptimum analytisch ==
Im Haushaltsoptimum maximiert der Haushalt seinen Nutzen, sprich er maximiert seine Nutzenfunktion unter der Maßgabe, dass seine Budgetgleichung erfüllt ist. Zur Maximierung mit Nebenbedingung dient das [[Lagrangeverfahren]]. Alternativ kann auch die [[Gradientenmethode]] genutzt oder die [[Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen]] aufgestellt werden. Jedes Verfahren bringt jedoch dasselbe Ergebnis, vorausgesetzt es existiert eine innere Lösung. Das Lagrangeverfahren bringt im zwei Güter Modell (x,y) folgende notwendige Bedingungen: 
<math> \frac{\part U(x,y)}{\part x}-\lambda p_x=0 </math> 
<math> \frac{\part U(x,y)}{\part y}-\lambda p_y=0 </math> 
<math> p_xx+p_yy-E=0 </math> 
Nach umstellen der beiden ersten Gleichungen ergibt sich die '''Tangentialbedingung''': 
<math> \frac{\frac{\part U(x,y)}{\part x}}{\frac{\part U(x,y)}{\part y}}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
beziehungsweise 
<math> \frac{MU_x}{MU_y}=GRS_{x,y}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
In der Tangentialbedingung wird erkennbar, dass sie unabhängig von dem Budget E ist. Sie gibt ein allgemeines Verhältnis an, dass für die beiden Grenznutzen immer gelten muss. Die Steigung der Indifferenzkurve (die Grenzrate der Substitution) entspricht gerade der Steigung der Budgetgeraden (dem relativen Preisverhältnis der beiden Güter). Ist diese Bedingung nicht erfüllt, kann der Haushalt durch Anpassung seines Konsumgüterbündels ein höheres Nutzenniveau erreichen.

Die Tangentialbedingung umgestellt ergibt auch 
<math> \frac{MU_x}{p_x}=\frac{MU_y}{p_y} </math> 
Der Grenznutzen pro bezahlten Preis der beiden Güter muss also im Optimum gleich sein. Die Tangentialbedingung nach einem der beiden Güter umgestellt und in die dritte Gleichung eingesetzt ergibt die Nachfrage nach den beiden Gütern in Abhängigkeit von den Preisen und dem Budget. 

==Tangentialbedingung und Grenznutzen==
Die Tangentialbedingung zeigt, ob ein Konsument optimal konsumiert oder nicht. Wenn die GRS nicht gleich dem Preisverhältnis ist, muss der Konsument sein Konsumverhalten ändern, damit die Gleichung erfüllt ist. Die Preise sind für den Konsumenten fix (er ist Preisnehmer), daher ist es das Grenznutzenverhältnis das angepasst werden muss. Ist das Preisverhältnis beispielsweise 2 und das Grenznutzenverhältnis nur 1, muss er das Grenznutzenverhältnis erhöhen. Da gilt 
<math> GRS_{x,y}=\frac{MU_x}{MU_y} </math>, 
muss der Grenznutzen von x erhöht und/oder der Grenznutzen von y gesenkt werden. Wie das gelingt, wird aus den folgenden Grafiken deutlich: 
[[Datei:AbnehmenderGrenznutzen.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:MU.png|360px|rahmenlos]] 
 
Ausgehend vom [[Marginale Sichtweise|Grenznutzen]], sinkt der zusätzliche Nutzen, den eine Einheit mehr bringt. Der zusätzliche Nutzen einer zweiten Einheit ist größer als der zusätzliche Nutzen der achten Einheit. Dies ist der Grund, warum die Grenznutzenfunktion (rechte Grafik), fallend ist. Damit der Grenznutzen eines Gutes steigt, muss der Konsument weniger von diesem Gut konsumieren. Gilt 
<math> GRS_{x,y}<\frac{p_x}{p_y} </math>, 
dann ist der Grenznutzen von x zu klein und der Grenznutzen von y zu groß. Das Konsumniveau von x muss sinken und das Konsumniveau von y steigt. Gilt die Ungleichung oben, liegt der derzeitige Konsumpunkt rechts vom Tangentialpunkt (ausgehend von einem x-y-Diagramm).

==Homogenität der Nachfrage==
Eine Funktion ist im Grad t homogen, wenn gilt <math> f(\lambda x)=\lambda ^tf(x) </math>. In der Untersuchung, ob die Nachfrage nach einem Gut x homogen in den einzelnen abhängigen Variablen ist, kann dies auf die Nachfragefunktion angewendet werden. 
Eine Nachfrage ist beispielsweise homogen im Einkommen, wenn <math> x(p_x,p_y,\lambda E)=\lambda^tx(p_x,p_y,E) </math> gilt. 
''Beispiel'': Die Nachfrage nach dem Gut x sei <math> x(p_x,p_y,E)=p_yE-p_xE </math>. Zur Überprüfung auf Homogenität im Einkommen wird das Einkommen mit einem Faktor <math> \lambda </math> versehen: <math> x(p_x,p_y,\lambda E)=p_y(\lambda E)-p_x(\lambda E)=(p_yE-p_xE)\lambda </math>. Es gilt <math> x(p_x,p_y,\lambda E)=\lambda^1x(p_x,p_y,E) </math>. Die Nachfrage nach x ist im Grad 1 homogen im Einkommen.

==Hicks'sche und Marshall'sche Nachfrage==
Das Verfahren, das in der rechnerischen Optimierung geschildert wurde, ergibt die Marshall'sche Nachfrage. Es ist die nutzenmaximale Nachfrage nach einem Gut, bei gegebenem Einkommen (<math> x^M(p_x,p_y,E)</math>). Alternativ lässt sich auch die Kostenfunktion minimieren mit der Nebenbedingung das optimale Nutzenniveau <math> U^* </math> zu erreichen. 
[[Datei:Hicks'scheNachfrage.png|401px|rahmenlos]] 
 
Ziel ist es den Nutzen mit einem möglichst minimalen Budget E beizubehalten. Die Budgetgerade muss linear verschoben werden, bis zum einen die Indifferenzkurve <math> U_2 </math> erreicht wird und zum anderen die Budgetgerade möglichst nahe am Ursprung liegt. Es ergibt sich ein Tangentialpunkt, der identisch zu dem aus der Vorgehensweise der Nutzenmaximierung ist. Rechnerisch ist die Vorgehensweise identisch zur Marschall'schen Nachfrage. Die Lagrangefunktion wird aufgestellt mit der Zielfunktion, der Ausgaben für den Konsum der beiden Güter, und der Nebenbedingung, der Nutzenfunktion, die gleich <math> U^* </math> sein muss. Das Maximieren nach x und y ergibt zusammen mit der Nebenbedingung drei notwendige Bedingungen. Nach Aufstellen der Tangentialbedingung und Einsetzen in die Nebenbedingung folgt eine Nachfrage nach beiden Gütern, die abhängig von den Preisen und dem Nutzenniveau <math> U^* </math> ist (<math> x^H(p_x,p_y,U^*)</math>. 
Die beiden Nachfragen ergeben ceteris paribus dieselben Werte. Dies wird auch als Dualität verstanden: 
<math> X(p_x,p_y,U^*)=X(p_x,p_y,E(p_x,p_y,U^*)) </math>

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen Sigmar erfährt in seinem aktuellen Nutzenniveau von Gummibärchen einen Grenznutzen von 3 und von Büchern einen Grenznutzen von 5. Angenommen eine Einheit Schokolade kostet 1€ und ein Buch kostet 2€ . Wie könnte Sigmar sein Nutzen erhöhen, wenn er bereits sein Budget vollständig ausgibt? (Sichtweise marginal)
|type="()"}
+ Sigmar sollte mehr Schokolade und weniger Bücher konsumieren.
- Sigmar sollte mehr Schokolade und mehr Bücher konsumieren.
- Sigmar sollte weniger Schokolade und weniger Bücher konsumieren.
- Sigmar sollte weniger Schokolade und mehr Bücher konsumieren.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Konsument gibt für nur eins der beiden Güter Geld aus, welche der folgenden Möglichkeiten kann '''kein''' Grund hierfür sein?
|type="()"}
+ Die beiden Güter werden von dem Konsumenten als Imperfekte Substitute wahrgenommen und er befindet sich im Optimum.
- Für den Konsumenten sind die Güter perfekte Substitute und die Preise unterscheiden sich. Der Konsument befindet sich in einer Randlösung.
- Der Konsument zieht aus dem einen Gut keinen Nutzen.
- Der Konsument befindet sich nicht im Haushaltsoptimum.
</quiz>

<quiz display=simple>
{ Lisa hat ein Budget von 100 und eine Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^2+e^y </math>. Der Preis für x lautet 2 und y kostet 1 pro Einheit.
|type="{}"}
Wie lautet die nutzenmaximale Nachfrage nach y (Gerundet auf vier Nachkommastellen)? { 3,5066 | 3.5066 }
</quiz>

Haushaltsoptimum

2023-09-21T13:28:12Z

Uwalz: /* Das Haushaltsoptimum analytisch */

==Definition==
Die Konsumgüterbündel eines Konsumenten, das er gegeben seiner Budgetrestriktion am stärksten präferiert, heißt Haushaltsoptimum. Der Nutzen ist in diesem Konsumbündel maximiert und ein höheres Nutzenniveau kann aufgrund der Budgetrestriktion nicht erreicht werden.

__TOC__

==Das Haushaltsoptimum grafisch==
Das Haushaltsoptimum liegt im Tangentialpunkt der [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgeraden]] und der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurve]]. Dies hängt mit den [[Axiome der Nutzentheorie|Axiomen der Nutzentheorie]] zusammen. Aufgrund der [[Axiome der Nutzentheorie|Monotonie/Lokale nicht Sättigung]] ist es für den Konsumenten besser mehr von beiden Gütern zu konsumieren. Deshalb gilt <math> U_1<U_2<U_3 </math>. Der Konsument ist in seinem [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetrestriktion|Budget]] limitiert. Er kann lediglich sein Einkommen E für seinen Konsum ausgeben. Der Konsum unterhalb der Budgetgeraden ist genauso möglich, wie der Konsum auf der Budgetgerade. Der Konsum oberhalb der Budgetgerade ist nicht möglich, da hierfür ein größeres Budget nötig wäre. 
[[Datei:Haushaltsoptimum.png|401px|rahmenlos]] 
 
Der nutzenmaximale Punkt kann nicht unterhalb der Budgetgeraden liegen. Befindet sich der aktuelle Konsumpunkt doch unterhalb der Budgetgeraden, erhöht sich der Nutzen, sobald der Konsument von mindestens einem der beiden Gütern mehr konsumiert. Dementsprechend muss im Optimum dieses Modells das gesamte Budget aufgebraucht werden. Wo genau das Optimum auf der Budgetgerade liegt, hängt von dem Verlauf der Indifferenzkurven ab. Der Nutzen ist unter den Standardannahmen maximiert, wenn eine Indifferenzkurve die Budgetgerade tangiert. Jede Indifferenzkurve, die die Budgetgerade schneidet, bildet nicht das Maximum ab, da durch eine Änderung im Konsumverhalten ein höheres Nutzenniveau erreicht werden kann. Liegt der momentane Konsumpunkt beispielsweise mit Schnittpunkt der Budgetgeraden und auf der Indifferenzkurve <math> U_1 </math>, kann noch die Indifferenzkurve <math> U_2 </math> erreicht werden. Ausgehend von diesem neuen Punkt ist kein Punkt auf einer höheren Indifferenzkurve (<math> U_3 </math> ) erreichbar.

==Das Haushaltsoptimum analytisch ==
Im Haushaltsoptimum maximiert der Haushalt seinen Nutzen, sprich er maximiert seine Nutzenfunktion unter der Maßgabe, dass seine Budgetgleichung erfüllt ist. Zur Maximierung mit Nebenbedingung dient das [[Lagrangeverfahren]]. Alternativ kann auch die [[Gradientenmethode]] genutzt oder die [[Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen]] aufgestellt werden. Jedes Verfahren bringt jedoch dasselbe Ergebnis, vorausgesetzt es existiert eine innere Lösung. Das Lagrangeverfahren bringt im zwei Güter Modell (x,y) folgende notwendige Bedingungen: 
<math> \frac{\part U(x,y)}{\part x}-\lambda p_x=0 </math> 
<math> \frac{\part U(x,y)}{\part y}-\lambda p_y=0 </math> 
<math> p_xx+p_yy-E=0 </math> 
Nach umstellen der beiden ersten Gleichungen ergibt sich die '''Tangentialbedingung''': 
<math> \frac{\frac{\part U(x,y)}{\part x}}{\frac{\part U(x,y)}{\part y}}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
beziehungsweise 
<math> \frac{MU_x}{MU_y}=GRS_{x,y}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
In der Tangentialbedingung wird erkennbar, dass sie unabhängig von dem Budget E ist. Sie gibt ein allgemeines Verhältnis an, dass für die beiden Grenznutzen immer gelten muss. Die Steigung der Indifferenzkurve (die Grenzrate der Substitution) entspricht gerade der Steigung der Budgetgeraden (dem relativen Preisverhältnis der beiden Güter). Ist diese Bedingung nicht erfüllt, kann der Haushalt durch Anpassung seines Konsumgüterbündels ein höheres Nutzenniveau erreichen.

Die Tangentialbedingung umgestellt ergibt auch 
<math> \frac{MU_x}{p_x}=\frac{MU_y}{p_y} </math> 
Der Grenznutzen pro bezahlten Preis der beiden Güter muss also im Optimum gleich sein. Die Tangentialbedingung nach einem der beiden Güter umgestellt und in die dritte Gleichung eingesetzt ergibt die Nachfrage nach den beiden Gütern in Abhängigkeit von den Preisen und dem Budget. 

==Tangentialbedingung und Grenznutzen==
Die Tangentialbedingung zeigt, ob ein Konsument optimal konsumiert oder nicht. Wenn die GRS nicht gleich dem Preisverhältnis ist, muss der Konsument sein Konsumverhalten ändern, damit die Gleichung erfüllt ist. Die Preise sind für den Konsumenten fix, daher ist es das Grenznutzenverhältnis das angepasst werden muss. Ist das Preisverhältnis beispielsweise 2 und das Grenznutzenverhältnis nur 1, muss er das Grenznutzenverhältnis erhöhen. Da gilt 
<math> GRS_{x,y}=\frac{MU_x}{MU_y} </math>, 
muss der Grenznutzen von x erhöht und/oder der Grenznutzen von y gesenkt werden. Wie das gelingt, wird aus den folgenden Grafiken deutlich: 
[[Datei:AbnehmenderGrenznutzen.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:MU.png|360px|rahmenlos]] 
 
Ausgehend vom [[Marginale Sichtweise|Grenznutzen]], sinkt der zusätzliche Nutzen, den eine Einheit mehr bringt. Der zusätzliche Nutzen einer zweiten Einheit ist größer als der zusätzliche Nutzen der achten Einheit. Dies ist der Grund, warum die Grenznutzenfunktion (rechte Grafik), fallend ist. Damit der Grenznutzen eines Gutes steigt, muss der Konsument weniger von diesem Gut konsumieren. Gilt 
<math> GRS_{x,y}<\frac{p_x}{p_y} </math>, 
dann ist der Grenznutzen von x zu klein und der Grenznutzen von y zu groß. Das Konsumniveau von x muss sinken und das Konsumniveau von y steigt. Gilt die Ungleichung oben, liegt der derzeitige Konsumpunkt rechts vom Tangentialpunkt (ausgehend von einem x-y-Diagramm).

==Homogenität der Nachfrage==
Eine Funktion ist im Grad t homogen, wenn gilt <math> f(\lambda x)=\lambda ^tf(x) </math>. In der Untersuchung, ob die Nachfrage nach einem Gut x homogen in den einzelnen abhängigen Variablen ist, kann dies auf die Nachfragefunktion angewendet werden. 
Eine Nachfrage ist beispielsweise homogen im Einkommen, wenn <math> x(p_x,p_y,\lambda E)=\lambda^tx(p_x,p_y,E) </math> gilt. 
''Beispiel'': Die Nachfrage nach dem Gut x sei <math> x(p_x,p_y,E)=p_yE-p_xE </math>. Zur Überprüfung auf Homogenität im Einkommen wird das Einkommen mit einem Faktor <math> \lambda </math> versehen: <math> x(p_x,p_y,\lambda E)=p_y(\lambda E)-p_x(\lambda E)=(p_yE-p_xE)\lambda </math>. Es gilt <math> x(p_x,p_y,\lambda E)=\lambda^1x(p_x,p_y,E) </math>. Die Nachfrage nach x ist im Grad 1 homogen im Einkommen.

==Hicks'sche und Marshall'sche Nachfrage==
Das Verfahren, das in der rechnerischen Optimierung geschildert wurde, ergibt die Marshall'sche Nachfrage. Es ist die nutzenmaximale Nachfrage nach einem Gut, bei gegebenem Einkommen (<math> x^M(p_x,p_y,E)</math>). Alternativ lässt sich auch die Kostenfunktion minimieren mit der Nebenbedingung das optimale Nutzenniveau <math> U^* </math> zu erreichen. 
[[Datei:Hicks'scheNachfrage.png|401px|rahmenlos]] 
 
Ziel ist es den Nutzen mit einem möglichst minimalen Budget E beizubehalten. Die Budgetgerade muss linear verschoben werden, bis zum einen die Indifferenzkurve <math> U_2 </math> erreicht wird und zum anderen die Budgetgerade möglichst nahe am Ursprung liegt. Es ergibt sich ein Tangentialpunkt, der identisch zu dem aus der Vorgehensweise der Nutzenmaximierung ist. Rechnerisch ist die Vorgehensweise identisch zur Marschall'schen Nachfrage. Die Lagrangefunktion wird aufgestellt mit der Zielfunktion, der Ausgaben für den Konsum der beiden Güter, und der Nebenbedingung, der Nutzenfunktion, die gleich <math> U^* </math> sein muss. Das Maximieren nach x und y ergibt zusammen mit der Nebenbedingung drei notwendige Bedingungen. Nach Aufstellen der Tangentialbedingung und Einsetzen in die Nebenbedingung folgt eine Nachfrage nach beiden Gütern, die abhängig von den Preisen und dem Nutzenniveau <math> U^* </math> ist (<math> x^H(p_x,p_y,U^*)</math>. 
Die beiden Nachfragen ergeben ceteris paribus dieselben Werte. Dies wird auch als Dualität verstanden: 
<math> X(p_x,p_y,U^*)=X(p_x,p_y,E(p_x,p_y,U^*)) </math>

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen Sigmar erfährt in seinem aktuellen Nutzenniveau von Gummibärchen einen Grenznutzen von 3 und von Büchern einen Grenznutzen von 5. Angenommen eine Einheit Schokolade kostet 1€ und ein Buch kostet 2€ . Wie könnte Sigmar sein Nutzen erhöhen, wenn er bereits sein Budget vollständig ausgibt? (Sichtweise marginal)
|type="()"}
+ Sigmar sollte mehr Schokolade und weniger Bücher konsumieren.
- Sigmar sollte mehr Schokolade und mehr Bücher konsumieren.
- Sigmar sollte weniger Schokolade und weniger Bücher konsumieren.
- Sigmar sollte weniger Schokolade und mehr Bücher konsumieren.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Konsument gibt für nur eins der beiden Güter Geld aus, welche der folgenden Möglichkeiten kann '''kein''' Grund hierfür sein?
|type="()"}
+ Die beiden Güter werden von dem Konsumenten als Imperfekte Substitute wahrgenommen und er befindet sich im Optimum.
- Für den Konsumenten sind die Güter perfekte Substitute und die Preise unterscheiden sich. Der Konsument befindet sich in einer Randlösung.
- Der Konsument zieht aus dem einen Gut keinen Nutzen.
- Der Konsument befindet sich nicht im Haushaltsoptimum.
</quiz>

<quiz display=simple>
{ Lisa hat ein Budget von 100 und eine Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^2+e^y </math>. Der Preis für x lautet 2 und y kostet 1 pro Einheit.
|type="{}"}
Wie lautet die nutzenmaximale Nachfrage nach y (Gerundet auf vier Nachkommastellen)? { 3,5066 | 3.5066 }
</quiz>

Haushaltsoptimum

2023-09-21T13:24:09Z

Uwalz: /* Das Haushaltsoptimum rechnerisch */

==Definition==
Die Konsumgüterbündel eines Konsumenten, das er gegeben seiner Budgetrestriktion am stärksten präferiert, heißt Haushaltsoptimum. Der Nutzen ist in diesem Konsumbündel maximiert und ein höheres Nutzenniveau kann aufgrund der Budgetrestriktion nicht erreicht werden.

__TOC__

==Das Haushaltsoptimum grafisch==
Das Haushaltsoptimum liegt im Tangentialpunkt der [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgeraden]] und der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurve]]. Dies hängt mit den [[Axiome der Nutzentheorie|Axiomen der Nutzentheorie]] zusammen. Aufgrund der [[Axiome der Nutzentheorie|Monotonie/Lokale nicht Sättigung]] ist es für den Konsumenten besser mehr von beiden Gütern zu konsumieren. Deshalb gilt <math> U_1<U_2<U_3 </math>. Der Konsument ist in seinem [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetrestriktion|Budget]] limitiert. Er kann lediglich sein Einkommen E für seinen Konsum ausgeben. Der Konsum unterhalb der Budgetgeraden ist genauso möglich, wie der Konsum auf der Budgetgerade. Der Konsum oberhalb der Budgetgerade ist nicht möglich, da hierfür ein größeres Budget nötig wäre. 
[[Datei:Haushaltsoptimum.png|401px|rahmenlos]] 
 
Der nutzenmaximale Punkt kann nicht unterhalb der Budgetgeraden liegen. Befindet sich der aktuelle Konsumpunkt doch unterhalb der Budgetgeraden, erhöht sich der Nutzen, sobald der Konsument von mindestens einem der beiden Gütern mehr konsumiert. Dementsprechend muss im Optimum dieses Modells das gesamte Budget aufgebraucht werden. Wo genau das Optimum auf der Budgetgerade liegt, hängt von dem Verlauf der Indifferenzkurven ab. Der Nutzen ist unter den Standardannahmen maximiert, wenn eine Indifferenzkurve die Budgetgerade tangiert. Jede Indifferenzkurve, die die Budgetgerade schneidet, bildet nicht das Maximum ab, da durch eine Änderung im Konsumverhalten ein höheres Nutzenniveau erreicht werden kann. Liegt der momentane Konsumpunkt beispielsweise mit Schnittpunkt der Budgetgeraden und auf der Indifferenzkurve <math> U_1 </math>, kann noch die Indifferenzkurve <math> U_2 </math> erreicht werden. Ausgehend von diesem neuen Punkt ist kein Punkt auf einer höheren Indifferenzkurve (<math> U_3 </math> ) erreichbar.

==Das Haushaltsoptimum analytisch ==
Im Haushaltsoptimum maximiert der Haushalt seinen Nutzen, sprich er maximiert seine Nutzenfunktion unter der Maßgabe, dass seine Budgetgleichung erfüllt ist. Zur Maximierung mit Nebenbedingung dient das [[Lagrangeverfahren]]. Alternativ kann auch die [[Gradientenmethode]] genutzt oder die [[Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen]] aufgestellt werden. Jedes Verfahren bringt jedoch dasselbe Ergebnis, vorausgesetzt es existiert eine innere Lösung. Das Lagrangeverfahren bringt im zwei Güter Modell (x,y) folgende notwendige Bedingungen: 
<math> \frac{\part U(x,y)}{\part x}-\lambda p_x=0 </math> 
<math> \frac{\part U(x,y)}{\part y}-\lambda p_y=0 </math> 
<math> p_xx+p_yy-E=0 </math> 
Nach umstellen der beiden ersten Gleichungen ergibt sich die '''Tangentialbedingung''': 
<math> \frac{\frac{\part U(x,y)}{\part x}}{\frac{\part U(x,y)}{\part y}}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
beziehungsweise 
<math> \frac{MU_x}{MU_y}=GRS_{x,y}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
In der Tangentialbedingung wird erkennbar, dass sie unabhängig von dem Budget E ist. Sie gibt ein allgemeines Verhältnis an, dass für die beiden Grenznutzen immer gelten muss. Die Tangentialbedingung umgestellt ergibt 
<math> \frac{MU_x}{p_x}=\frac{MU_y}{p_y} </math> 
Der Grenznutzen pro bezahlten Preis der beiden Güter muss im Optimum gleich sein. Die Tangentialbedingung nach einem der beiden Güter umgestellt und in die dritte Gleichung eingesetzt ergibt die Nachfrage nach den beiden Gütern in Abhängigkeit von den Preisen und dem Budget. 

==Tangentialbedingung und Grenznutzen==
Die Tangentialbedingung zeigt, ob ein Konsument optimal konsumiert oder nicht. Wenn die GRS nicht gleich dem Preisverhältnis ist, muss der Konsument sein Konsumverhalten ändern, damit die Gleichung erfüllt ist. Die Preise sind für den Konsumenten fix, daher ist es das Grenznutzenverhältnis das angepasst werden muss. Ist das Preisverhältnis beispielsweise 2 und das Grenznutzenverhältnis nur 1, muss er das Grenznutzenverhältnis erhöhen. Da gilt 
<math> GRS_{x,y}=\frac{MU_x}{MU_y} </math>, 
muss der Grenznutzen von x erhöht und/oder der Grenznutzen von y gesenkt werden. Wie das gelingt, wird aus den folgenden Grafiken deutlich: 
[[Datei:AbnehmenderGrenznutzen.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:MU.png|360px|rahmenlos]] 
 
Ausgehend vom [[Marginale Sichtweise|Grenznutzen]], sinkt der zusätzliche Nutzen, den eine Einheit mehr bringt. Der zusätzliche Nutzen einer zweiten Einheit ist größer als der zusätzliche Nutzen der achten Einheit. Dies ist der Grund, warum die Grenznutzenfunktion (rechte Grafik), fallend ist. Damit der Grenznutzen eines Gutes steigt, muss der Konsument weniger von diesem Gut konsumieren. Gilt 
<math> GRS_{x,y}<\frac{p_x}{p_y} </math>, 
dann ist der Grenznutzen von x zu klein und der Grenznutzen von y zu groß. Das Konsumniveau von x muss sinken und das Konsumniveau von y steigt. Gilt die Ungleichung oben, liegt der derzeitige Konsumpunkt rechts vom Tangentialpunkt (ausgehend von einem x-y-Diagramm).

==Homogenität der Nachfrage==
Eine Funktion ist im Grad t homogen, wenn gilt <math> f(\lambda x)=\lambda ^tf(x) </math>. In der Untersuchung, ob die Nachfrage nach einem Gut x homogen in den einzelnen abhängigen Variablen ist, kann dies auf die Nachfragefunktion angewendet werden. 
Eine Nachfrage ist beispielsweise homogen im Einkommen, wenn <math> x(p_x,p_y,\lambda E)=\lambda^tx(p_x,p_y,E) </math> gilt. 
''Beispiel'': Die Nachfrage nach dem Gut x sei <math> x(p_x,p_y,E)=p_yE-p_xE </math>. Zur Überprüfung auf Homogenität im Einkommen wird das Einkommen mit einem Faktor <math> \lambda </math> versehen: <math> x(p_x,p_y,\lambda E)=p_y(\lambda E)-p_x(\lambda E)=(p_yE-p_xE)\lambda </math>. Es gilt <math> x(p_x,p_y,\lambda E)=\lambda^1x(p_x,p_y,E) </math>. Die Nachfrage nach x ist im Grad 1 homogen im Einkommen.

==Hicks'sche und Marshall'sche Nachfrage==
Das Verfahren, das in der rechnerischen Optimierung geschildert wurde, ergibt die Marshall'sche Nachfrage. Es ist die nutzenmaximale Nachfrage nach einem Gut, bei gegebenem Einkommen (<math> x^M(p_x,p_y,E)</math>). Alternativ lässt sich auch die Kostenfunktion minimieren mit der Nebenbedingung das optimale Nutzenniveau <math> U^* </math> zu erreichen. 
[[Datei:Hicks'scheNachfrage.png|401px|rahmenlos]] 
 
Ziel ist es den Nutzen mit einem möglichst minimalen Budget E beizubehalten. Die Budgetgerade muss linear verschoben werden, bis zum einen die Indifferenzkurve <math> U_2 </math> erreicht wird und zum anderen die Budgetgerade möglichst nahe am Ursprung liegt. Es ergibt sich ein Tangentialpunkt, der identisch zu dem aus der Vorgehensweise der Nutzenmaximierung ist. Rechnerisch ist die Vorgehensweise identisch zur Marschall'schen Nachfrage. Die Lagrangefunktion wird aufgestellt mit der Zielfunktion, der Ausgaben für den Konsum der beiden Güter, und der Nebenbedingung, der Nutzenfunktion, die gleich <math> U^* </math> sein muss. Das Maximieren nach x und y ergibt zusammen mit der Nebenbedingung drei notwendige Bedingungen. Nach Aufstellen der Tangentialbedingung und Einsetzen in die Nebenbedingung folgt eine Nachfrage nach beiden Gütern, die abhängig von den Preisen und dem Nutzenniveau <math> U^* </math> ist (<math> x^H(p_x,p_y,U^*)</math>. 
Die beiden Nachfragen ergeben ceteris paribus dieselben Werte. Dies wird auch als Dualität verstanden: 
<math> X(p_x,p_y,U^*)=X(p_x,p_y,E(p_x,p_y,U^*)) </math>

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen Sigmar erfährt in seinem aktuellen Nutzenniveau von Gummibärchen einen Grenznutzen von 3 und von Büchern einen Grenznutzen von 5. Angenommen eine Einheit Schokolade kostet 1€ und ein Buch kostet 2€ . Wie könnte Sigmar sein Nutzen erhöhen, wenn er bereits sein Budget vollständig ausgibt? (Sichtweise marginal)
|type="()"}
+ Sigmar sollte mehr Schokolade und weniger Bücher konsumieren.
- Sigmar sollte mehr Schokolade und mehr Bücher konsumieren.
- Sigmar sollte weniger Schokolade und weniger Bücher konsumieren.
- Sigmar sollte weniger Schokolade und mehr Bücher konsumieren.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Konsument gibt für nur eins der beiden Güter Geld aus, welche der folgenden Möglichkeiten kann '''kein''' Grund hierfür sein?
|type="()"}
+ Die beiden Güter werden von dem Konsumenten als Imperfekte Substitute wahrgenommen und er befindet sich im Optimum.
- Für den Konsumenten sind die Güter perfekte Substitute und die Preise unterscheiden sich. Der Konsument befindet sich in einer Randlösung.
- Der Konsument zieht aus dem einen Gut keinen Nutzen.
- Der Konsument befindet sich nicht im Haushaltsoptimum.
</quiz>

<quiz display=simple>
{ Lisa hat ein Budget von 100 und eine Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^2+e^y </math>. Der Preis für x lautet 2 und y kostet 1 pro Einheit.
|type="{}"}
Wie lautet die nutzenmaximale Nachfrage nach y (Gerundet auf vier Nachkommastellen)? { 3,5066 | 3.5066 }
</quiz>

Haushaltsoptimum

2023-09-21T11:49:46Z

Uwalz: /* Definition */

==Definition==
Die Konsumgüterbündel eines Konsumenten, das er gegeben seiner Budgetrestriktion am stärksten präferiert, heißt Haushaltsoptimum. Der Nutzen ist in diesem Konsumbündel maximiert und ein höheres Nutzenniveau kann aufgrund der Budgetrestriktion nicht erreicht werden.

__TOC__

==Das Haushaltsoptimum grafisch==
Das Haushaltsoptimum liegt im Tangentialpunkt der [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgeraden]] und der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurve]]. Dies hängt mit den [[Axiome der Nutzentheorie|Axiomen der Nutzentheorie]] zusammen. Aufgrund der [[Axiome der Nutzentheorie|Monotonie/Lokale nicht Sättigung]] ist es für den Konsumenten besser mehr von beiden Gütern zu konsumieren. Deshalb gilt <math> U_1<U_2<U_3 </math>. Der Konsument ist in seinem [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetrestriktion|Budget]] limitiert. Er kann lediglich sein Einkommen E für seinen Konsum ausgeben. Der Konsum unterhalb der Budgetgeraden ist genauso möglich, wie der Konsum auf der Budgetgerade. Der Konsum oberhalb der Budgetgerade ist nicht möglich, da hierfür ein größeres Budget nötig wäre. 
[[Datei:Haushaltsoptimum.png|401px|rahmenlos]] 
 
Der nutzenmaximale Punkt kann nicht unterhalb der Budgetgeraden liegen. Befindet sich der aktuelle Konsumpunkt doch unterhalb der Budgetgeraden, erhöht sich der Nutzen, sobald der Konsument von mindestens einem der beiden Gütern mehr konsumiert. Dementsprechend muss im Optimum dieses Modells das gesamte Budget aufgebraucht werden. Wo genau das Optimum auf der Budgetgerade liegt, hängt von dem Verlauf der Indifferenzkurven ab. Der Nutzen ist unter den Standardannahmen maximiert, wenn eine Indifferenzkurve die Budgetgerade tangiert. Jede Indifferenzkurve, die die Budgetgerade schneidet, bildet nicht das Maximum ab, da durch eine Änderung im Konsumverhalten ein höheres Nutzenniveau erreicht werden kann. Liegt der momentane Konsumpunkt beispielsweise mit Schnittpunkt der Budgetgeraden und auf der Indifferenzkurve <math> U_1 </math>, kann noch die Indifferenzkurve <math> U_2 </math> erreicht werden. Ausgehend von diesem neuen Punkt ist kein Punkt auf einer höheren Indifferenzkurve (<math> U_3 </math> ) erreichbar.

==Das Haushaltsoptimum rechnerisch==
Das Haushaltsoptimum maximiert den Nutzen. Daher muss die Nutzenfunktion zunächst maximiert werden. Ähnlich zur grafischen Herangehensweise muss jedoch beachtet werden, dass durch das Budget eine Nebenbedingung besteht. Die Nutzenfunktion als Zielfunktion hat die Nebenbedingung, dass das Budget eingehalten werden muss. Zur Maximierung mit Nebenbedingung dient das [[Lagrangeverfahren]]. Alternativ kann auch die [[Gradientenmethode]] genutzt oder die [[Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen]] aufgestellt werden. Jedes Verfahren bringt jedoch dasselbe Ergebnis, vorausgesetzt es existiert eine innere Lösung. Das Lagrangeverfahren bringt im zwei Güter Modell (x,y) folgende notwendige Bedingungen: 
<math> \frac{\part U(x,y)}{\part x}-\lambda p_x=0 </math> 
<math> \frac{\part U(x,y)}{\part y}-\lambda p_y=0 </math> 
<math> p_xx+p_yy-E=0 </math> 
Nach umstellen der beiden ersten Gleichungen ergibt sich die '''Tangentialbedingung''': 
<math> \frac{\frac{\part U(x,y)}{\part x}}{\frac{\part U(x,y)}{\part y}}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
beziehungsweise 
<math> \frac{MU_x}{MU_y}=GRS_{x,y}=\frac{p_x}{p_y} </math> 
In der Tangentialbedingung wird erkennbar, dass sie unabhängig von dem Budget E ist. Sie gibt ein allgemeines Verhältnis an, dass für die beiden Grenznutzen immer gelten muss. Die Tangentialbedingung umgestellt ergibt 
<math> \frac{MU_x}{p_x}=\frac{MU_y}{p_y} </math> 
Der Grenznuten pro bezahlten Preis der beiden Güter muss im Optimum gleich sein. Die Tangentialbedingung nach einem der beiden Güter umgestellt und in die dritte Gleichung eingesetzt ergibt die Nachfrage nach den beiden Gütern in Abhängigkeit von den Preisen und dem Budget. 

==Tangentialbedingung und Grenznutzen==
Die Tangentialbedingung zeigt, ob ein Konsument optimal konsumiert oder nicht. Wenn die GRS nicht gleich dem Preisverhältnis ist, muss der Konsument sein Konsumverhalten ändern, damit die Gleichung erfüllt ist. Die Preise sind für den Konsumenten fix, daher ist es das Grenznutzenverhältnis das angepasst werden muss. Ist das Preisverhältnis beispielsweise 2 und das Grenznutzenverhältnis nur 1, muss er das Grenznutzenverhältnis erhöhen. Da gilt 
<math> GRS_{x,y}=\frac{MU_x}{MU_y} </math>, 
muss der Grenznutzen von x erhöht und/oder der Grenznutzen von y gesenkt werden. Wie das gelingt, wird aus den folgenden Grafiken deutlich: 
[[Datei:AbnehmenderGrenznutzen.png|350px|rahmenlos]]
[[Datei:MU.png|360px|rahmenlos]] 
 
Ausgehend vom [[Marginale Sichtweise|Grenznutzen]], sinkt der zusätzliche Nutzen, den eine Einheit mehr bringt. Der zusätzliche Nutzen einer zweiten Einheit ist größer als der zusätzliche Nutzen der achten Einheit. Dies ist der Grund, warum die Grenznutzenfunktion (rechte Grafik), fallend ist. Damit der Grenznutzen eines Gutes steigt, muss der Konsument weniger von diesem Gut konsumieren. Gilt 
<math> GRS_{x,y}<\frac{p_x}{p_y} </math>, 
dann ist der Grenznutzen von x zu klein und der Grenznutzen von y zu groß. Das Konsumniveau von x muss sinken und das Konsumniveau von y steigt. Gilt die Ungleichung oben, liegt der derzeitige Konsumpunkt rechts vom Tangentialpunkt (ausgehend von einem x-y-Diagramm).

==Homogenität der Nachfrage==
Eine Funktion ist im Grad t homogen, wenn gilt <math> f(\lambda x)=\lambda ^tf(x) </math>. In der Untersuchung, ob die Nachfrage nach einem Gut x homogen in den einzelnen abhängigen Variablen ist, kann dies auf die Nachfragefunktion angewendet werden. 
Eine Nachfrage ist beispielsweise homogen im Einkommen, wenn <math> x(p_x,p_y,\lambda E)=\lambda^tx(p_x,p_y,E) </math> gilt. 
''Beispiel'': Die Nachfrage nach dem Gut x sei <math> x(p_x,p_y,E)=p_yE-p_xE </math>. Zur Überprüfung auf Homogenität im Einkommen wird das Einkommen mit einem Faktor <math> \lambda </math> versehen: <math> x(p_x,p_y,\lambda E)=p_y(\lambda E)-p_x(\lambda E)=(p_yE-p_xE)\lambda </math>. Es gilt <math> x(p_x,p_y,\lambda E)=\lambda^1x(p_x,p_y,E) </math>. Die Nachfrage nach x ist im Grad 1 homogen im Einkommen.

==Hicks'sche und Marshall'sche Nachfrage==
Das Verfahren, das in der rechnerischen Optimierung geschildert wurde, ergibt die Marshall'sche Nachfrage. Es ist die nutzenmaximale Nachfrage nach einem Gut, bei gegebenem Einkommen (<math> x^M(p_x,p_y,E)</math>). Alternativ lässt sich auch die Kostenfunktion minimieren mit der Nebenbedingung das optimale Nutzenniveau <math> U^* </math> zu erreichen. 
[[Datei:Hicks'scheNachfrage.png|401px|rahmenlos]] 
 
Ziel ist es den Nutzen mit einem möglichst minimalen Budget E beizubehalten. Die Budgetgerade muss linear verschoben werden, bis zum einen die Indifferenzkurve <math> U_2 </math> erreicht wird und zum anderen die Budgetgerade möglichst nahe am Ursprung liegt. Es ergibt sich ein Tangentialpunkt, der identisch zu dem aus der Vorgehensweise der Nutzenmaximierung ist. Rechnerisch ist die Vorgehensweise identisch zur Marschall'schen Nachfrage. Die Lagrangefunktion wird aufgestellt mit der Zielfunktion, der Ausgaben für den Konsum der beiden Güter, und der Nebenbedingung, der Nutzenfunktion, die gleich <math> U^* </math> sein muss. Das Maximieren nach x und y ergibt zusammen mit der Nebenbedingung drei notwendige Bedingungen. Nach Aufstellen der Tangentialbedingung und Einsetzen in die Nebenbedingung folgt eine Nachfrage nach beiden Gütern, die abhängig von den Preisen und dem Nutzenniveau <math> U^* </math> ist (<math> x^H(p_x,p_y,U^*)</math>. 
Die beiden Nachfragen ergeben ceteris paribus dieselben Werte. Dies wird auch als Dualität verstanden: 
<math> X(p_x,p_y,U^*)=X(p_x,p_y,E(p_x,p_y,U^*)) </math>

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen Sigmar erfährt in seinem aktuellen Nutzenniveau von Gummibärchen einen Grenznutzen von 3 und von Büchern einen Grenznutzen von 5. Angenommen eine Einheit Schokolade kostet 1€ und ein Buch kostet 2€ . Wie könnte Sigmar sein Nutzen erhöhen, wenn er bereits sein Budget vollständig ausgibt? (Sichtweise marginal)
|type="()"}
+ Sigmar sollte mehr Schokolade und weniger Bücher konsumieren.
- Sigmar sollte mehr Schokolade und mehr Bücher konsumieren.
- Sigmar sollte weniger Schokolade und weniger Bücher konsumieren.
- Sigmar sollte weniger Schokolade und mehr Bücher konsumieren.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Ein Konsument gibt für nur eins der beiden Güter Geld aus, welche der folgenden Möglichkeiten kann '''kein''' Grund hierfür sein?
|type="()"}
+ Die beiden Güter werden von dem Konsumenten als Imperfekte Substitute wahrgenommen und er befindet sich im Optimum.
- Für den Konsumenten sind die Güter perfekte Substitute und die Preise unterscheiden sich. Der Konsument befindet sich in einer Randlösung.
- Der Konsument zieht aus dem einen Gut keinen Nutzen.
- Der Konsument befindet sich nicht im Haushaltsoptimum.
</quiz>

<quiz display=simple>
{ Lisa hat ein Budget von 100 und eine Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^2+e^y </math>. Der Preis für x lautet 2 und y kostet 1 pro Einheit.
|type="{}"}
Wie lautet die nutzenmaximale Nachfrage nach y (Gerundet auf vier Nachkommastellen)? { 3,5066 | 3.5066 }
</quiz>

Ordinale und Kardinale Nutzentheorie

2023-09-21T11:47:06Z

Uwalz:

In der Nutzentheorie wird zwischen Kardinaler und Ordinaler Nutzentheorie unterschieden. Während die Kardinale Nutzentheorie numerische Werte verwendet, um zu beschreiben wie viel besser oder schlechter ein gewisser Nutzen ist, nutzt die ordinale Nutzentheorie die numerischen Werte um zu beschreiben welcher Nutzen größer oder kleiner ist, es geht also nur um eine Rangfolge.

__TOC__

==Ordinale Nutzentheorie==
In der ordinalen Nutzentheorie wird verglichen welcher Nutzen größer oder kleiner ist. Bei einer Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x+y </math> ergeben x=1 und y=1 einen Nutzen von 2; x=2 und y=2 ergeben einen Nutzen von 4. Der Nutzen vom ersten Güterbündel bringt einen geringeren Nutzen als das zweite Güterbündel . Ein Konsument [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|präferiert]] dementsprechend das erste Güterbündel gegenüber dem zweiten Bündel. Eine Beschreibung als wie viel besser er das erste Bündel gegenüber dem zweiten Bündel bewertet, lässt sich mit der Ordinalen Nutzentheorie nicht sagen. Bei [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Indifferenzkurven|Indifferenzkurven]] kann somit lediglich gesagt werden, dass alle Güterkombinationen auf der Indifferenzkurve <math> U_{2} </math> allen möglichen Kombinationen auf der Indifferenzkurve <math> U_{1} </math> präferiert werden, falls <math> U_{1} < U_{2} < U_{3} </math> gilt. 
[[Datei:Unvollkommene Substitute.png|500px|rahmenlos]]
 
 
Ordinale Nutzenfunktionen bringen alle Warenkörbe vom beliebtesten zum unbeliebtesten Warenkorb in eine Rangfolge ("Ordnung"). 
Es ist jedoch nicht möglich zwischen dem Nutzen verschiedener Konsumenten zu vergleichen. Erfährt Konsument 1 von einem Gut einen Nutzen von 5 und Konsument 2 von demselben Gut einen Nutzen von 6, ist es nicht möglich zu sagen welcher Konsument besser gestellt ist. Der Nutzen von Konsument 1 kann in kein Verhältnis zu dem Nutzen von Konsument 2 gestellt werden.

==Ordinale Nutzentorie und monotone Präferenzen==
In der ordinalen Nutzentheorie geht es um die Darstellung der Präferenzen in einer Rangordnung, weshalb es möglich ist etwaige Nutzenfunktionen [[Monotone Transformation|monoton zu transformieren]] soweit die Rangordnung nicht verändert wird. 
''Beispiel'': Gegeben sei die Nutzenfunktion von oben <math> U(x,y)=x+y </math>. Eine monotone Transformation könnte wie folgt aussehen: <math> \hat{U}(x,y)=2(x+y)=2x+2y </math>. Ein Bündel von (x,y)=(2,2) wird auch nach der Transformation gegenüber einem Bündel (x,y)=(1,1) präferiert. Das (x,y)=(1,1) Bündel bringt einmal einen Nutzen von 2 und einmal einen Nutzen von 4. Das (x,y)=(2,2) Bündel bringt einen Nutzen von 4 beziehungsweise 8. 2 < 4 und 4 < 8. Dieses Beispiel zeigt, dass das numerische Nutzenniveau im Grunde lediglich eine Kennzahl zur Einordung im Vergleich mit einem anderen Nutzen dient. Die Präferenzen selbst werden mit einer monoton transformierten Nutzenfunktion unverändert dargestellt.

==Kardinale Nutzentheorie==
Die kardinale Nutzentheorie wurde vorrangig in der Vergangenheit verwendet. In der kardinalen Nutzentheorie wird dem numerischen Nutzenniveau ein Wert beigemessen. Demnach ist ein Nutzen von 2 nicht nur größer als ein Nutzen von 1, sondern auch doppelt so gut. 
In der Abbildung von oben bedeutet dies, dass alle Güterkombinationen auf der Indifferenzkurve <math> U_{1} </math> als halb so gut angesehen werden als alle Güterkombinationen auf der Indifferenzkurve <math> U_{2} </math> (angenommen <math> U_{2} </math> ist doppelt so groß wie <math> U_{1} </math>).

==MC Aufgaben==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Konsument 1 und Konsument 2 besitzen jeweils eine Nutzenfunktion <math> U_{1}(x,y)=\sqrt{x}y </math> und <math> U_{2}(x,y)=\frac{1}{x^{2}}+y </math>. Angenommen beide konsumieren das gleiche Güterbündel (x.y)=(4,5). Welcher der beiden Konsumenten erfahren der ordinalen Nutzentheorie nach einen größeren Nutzen?
|type="()"}
+ Kann mit den vorliegenden Informationen nicht ermittelt werden.
- Konsument 1.
- Konsument 2.
- Beide erfahren einen gleich großen Nutzen.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Nutzenfunktionen stellen '''nicht''' die selben Präferenzen wie die folgende Nutzenfunktion dar: <math> U(x,y)=x^{2} \sqrt{y} </math>
|type="()"}
+ <math> \hat{U}(x,y)=(1-x)+\frac{1}{2}y </math>.
- <math> \hat{U}(x,y)=2ln(x)+\frac{1}{2}ln(y) </math>.
- <math> \hat{U}(x,y)=x^{2} \sqrt{y}+5 </math>.
- <math> \hat{U}(x,y)=2x^{2} \sqrt{y} </math>.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{
{| class="wikitable"
! scope="col"|
! scope="col"| <math> S_{1} </math>
! scope="col"| <math> S_{2} </math>
! scope="col"| <math> S_{3} </math>
! scope="col"| <math> S_{4} </math>
|-
! scope="row"| <math> A_{1} </math>
| 3
| 7
| 2
| 0
|-
! scope="row"| <math> A_{2} </math>
| 2
| 1
| 2
| -1
|-
! scope="row"| <math> A_{3} </math>
| 4
| 6
| 5
| 0
|}
Angenommen ein Konsument kann sich zwischen drei Optionen entscheiden <math> A_{1} </math>, <math> A_{2} </math> oder <math> A_{3} </math>. Die Drei Optionen bingen je nach <math> S_{i} </math>, <math> i \in </math> {1,2,3,4}, einen unterschiedlichen Nutzen. Was kann auf Basis der in der Tabelle stehenden Nutzenwerte gesagt werden?
|type="()"}
+ Die Option <math> A_{2} </math> wird nie gegenüber den anderen beiden Optionen präferiert.
- Die Option <math> A_{1} </math> wird immer gegenüber den beiden anderen Optionen präferiert.
- Die Option <math> A_{3} </math> wird immer gegenüber Optionen <math> A_{1} </math> präferiert.
- Es lässt sich aufgrund der ordinalen Nutzentheorie keine Aussage treffen.
</quiz>

Konsumentenrente und Produzentenrente

2023-09-21T11:39:22Z

Uwalz: /* Die Gesamtwohlfahrt beim Monopol */

==Definition==
Die '''Konsumentenrente''' (KR) ist das Geldäquivalent für den Nutzengewinn aus allen durchgeführten Transaktionen auf einem Markt. Sie entsteht, da (manche) Konsumenten bereits bei einem höheren Preis bereit sind Güter zu kaufen. Sie ist die Differenz zwischen dem maximalen Betrag, den eine Person für ein Produkt zahlen würde, und dem Marktpreis. 
Die '''Produzentenrente''' (PR) ist die über alle produzierten Einheiten gebildete Summe der Differenzen zwischen dem Marktpreis des Gutes und der Summe der Grenzkosten der Produktion über alle positiven Mengen bis zur jeweiligen abgesetzten Menge. 
Die Summe aus Konsumenten und Produzentenrente beschreibt die '''Gesamtwohlfahrt''' (staatliche Eingriffe müssen zusätzlich berücksichtigt werden), also die Wohlfahrt aller Marktteilnehmer zusammen

__TOC__

==Die Konsumentenrente==
Grafisch ist die Konsumentenrente die Fläche zwischen der [[Nachfrage|Nachfragefunktion]] und dem Preis, den die Konsumenten zahlen müssen. Die Konsumentenrente bzw. die Veränderung von ihr lässt sich zusammen mit der Produzentenrente als ein möglicher Indikator zur Bewertung wirtschaftspolitischer Maßnahmen nutzen. Hierbei stellt man einen Vergleich zwischen der Konsumentenrente vor und nach der Umsetzung einer Maßnahme an. 
''Beispiel'': An heißen Sommertagen können Kinder jeweils eine Kugel Eis kaufen. Da die Kinder unterschiedlich viel Taschengeld bekommen, können sie auch nur unterschiedlich viel ausgeben. Manche Kinder bekommen z.B. 5 Euro in der Woche und wären bereit für eine Kugel 5 Euro zu bezahlen. Andere Kinder bekommen andere Summen. Angenommen eine Kugel Eis kostet nun 2 Euro, so können die Kinder, die weniger für die Kugel Eis zahlen möchten/können, kein Eis kaufen. Die Kinder, die jedoch 5 Euro bereit wären zu zahlen, müssen nur 2 Euro zahlen und erhalten einen Nutzengewinn von (5-2=3). Die aggregierten Nutzengewinne definieren die Konsumentenrente.
 
Als Beispiel soll folgende Grafik dienen. Der Preis liegt bei <math display="inline"> p_{1} </math>. Durch eine exogene Änderung des Preises hat sich dieser verringert und liegt nun bei <math display="inline"> p_{2} </math>. Die Fläche zwischen der Nachfragefunktion und dem zu zahlenden Preis ist größer geworden. Damit hat sich auch die Konsumentenrente (eingezeichnet in hellblau) vergrößert. Wäre die Preissenkung auf eine politische Maßnahme zurückzuführen, so wäre ein mögliches Résumé, dass die Maßnahme vorteilhaft für die Konsumenten ist (nicht aber notwendigerweise für die Produzenten bzw. die Gesamtwohlfahrt), da sich die Konsumentenrente vergrößert hat. 
[[Datei:KR1.png|250px|rahmenlos]]
[[Datei:KR2.png|250px|rahmenlos]]

==Die Produzentenrente==
Grafisch ist die Produzentenrente zwischen der [[Angebot|Angebotsfunktion]] und dem Preis. Die kurzfristige Angebotsfunktion besteht aus der [[Kostenarten#Grenzkosten|Grenzkostenkurve]] oberhalb der [[Kostenarten#Durchschnittliche Kosten|durchschnittlichen variablen Kosten]] (siehe auch [[Angebotsentscheidung bei vollkommener Konkurrenz#Kurzfristige ANgebotsentscheidung|Betriebsminimum]]). Sie stellt den Preis dar, bei dem ein Unternehmen mit der marginalen Einheit keinen Verlust macht. Wenn die 20te Einheit in der Produktion 10€ kostet, muss der Preis für alle 20 Einheiten 10€ betragen. Andernfalls wird gar nichts, oder nur eine geringere Menge angeboten. Dies bedeutet bei einer steigenden [[Kostenarten#Grenzkosten|Grenzkostenkurve]], dass die Einheiten zuvor in der Produktion günstiger sind. Die Summe der Differenzen zwischen den Grenzkosten und dem Preis wird Produzentenrente genannt. Die Intuition bei der Veränderung der Rente verhält sich identisch zur Konsumentenrente. 
Grafisch zeigt sich die Produzentenrente in der rot eingezeichneten Fläche. 
[[Datei:Produzentenrente.png|500px|rahmenlos]] 
 
Da die Angebotskurve den Grenzkosten entspricht, ist die Fläche unter der Angebotskurve die aufsummierten Grenzkosten und damit die [[Kostenarten#Variable Kosten|Variablen Kosten]]. Stellen wir uns zum Beispiel eine Angebotsfunktion vor, die durch den Ursprung verläuft und eine Steigung von 1 aufweist. Bei der ersten Einheit sind die Grenzkosten also 1, bei der zweiten Einheit 2. Schauen wir uns hier die Variablen Kosten bei der Produktion von 2 Einheiten an, so belaufen die sich auf die Grenzkosten der ersten Einheit plus den Grenzkosten von der zweiten Einheit. Die variablen Kosten entsprechen 3 (1+2), oder anders: die aufsummierten Grenzkosten, die in der Fläche unter der Angebotskurve zu finden sind. Die Produzenten würden mit jeder Einheit einen Gewinn machen, solange der Preis größer als die Grenzkosten ist. Jedoch sind auch die Fixkosten Teil der Gewinnbetrachtung. In unserem Modell des [[perfekten Wettbewerbs]] gehen wir von Nullgewinnen aus. In diesem Fall müssen die Fixkosten genauso groß wie die Produzentenrente sein.

==Gesamtwohlfahrt==
Die Produzentenrente und die Konsumentenrente sind Teil der Gesamtwohlfahrt und damit wichtiger Bestandteil des [[Effizienz|Effizienzbegriffs]]. In einem Fall ohne staatlichen Eingriff und einem Markt im [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewicht]] ist die Gesamtwohlfahrt die Summe der Produzentenrente und der Konsumentenrente. Grafisch entspricht die Gesamtwohlfahrt der roten plus der blauen Fläche. 
[[Datei:Gesamtwohlfahrt.png|400px|rahmenlos]]

==Die Gesamtwohlfahrt beim Monopol==
Ein Monopolist wählt, anders als ein Produzent im [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb]], seinen Preis mit <math display="inline"> p_{M} </math> [[Effizienz|gewinnmaximal]]. Die abgesetzte Menge verringert sich hierdurch auf <math display="inline"> Q_{M} </math>. Daher gewinnt der Produzent an Rente und die Konsumenten verlieren Rente. Zur Betrachtung, ob die Marktmacht für die Gesamtwohlfahrt zuträglich ist, wird sie mit dem Fall des perfekten Wettbewerbs verglichen. Im perfekten Wettbewerb würde sich ein Preis von <math display="inline"> p^{*} </math> und eine Menge <math display="inline"> Q^{*} </math> einstellen. Die Produzentenrente wäre das CDG Dreieck und die Konsumentenrente das ACG Dreieck. Die Gesamtrente beträgt also ADG. 
Im Monopolfall ist die Konsumentenrente wie sonst auch die Fläche zwischen dem Preis und der Nachfragefunktion, beziehungsweise die Produzentenrente die Fläche zwischen dem Preis und der Angebotsfunktion. Der gewinnmaximale Monopolpreis ist jedoch <math display="inline"> p_{M} </math>. Die Konsumentenrente ist in dem blauen Dreieck sichtbar (ABE) und die Produzentenrente in der roten Fläche (BEFD). Die Gesamtwohlfahrt lautet AEFD, was verglichen mit der Gesamtrente im vollkommenen Wettbewerb um EGF (graue Fläche) geringer ist. Die Marktmacht des Monopolisten bedeutet daher ein Wohlfahrtsverlust und [[Effizienz|Ineffizienz]]. 
[[Datei:RenteMonopol.png|500px|rahmenlos]]

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Auf einem Markt für Proteinlimo existieren 6 Nachfrager, die für den Erwerb einer einzigen Limo folgende unterschiedliche Kaufbereitschaften haben: 20€, 18€, 16€ 14€, 12€ und 10€. Wie groß ist die Konsumentenrente, wenn der Preis für eine Limo 13€ beträgt?
|type="()"}
+ 16.
- 68.
- 20.
- 52.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie groß ist die Produzentenrente mit der Angebotsfunktion <math display="inline"> x_{S}=\frac{1}{2}p-2,5 </math> bei einem Marktpreis von 25€?
|type="()"}
+ 100.
- 125.
- 75.
- Nicht ausreichend Informationen.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie groß ist die Gesamtwohlfahrt bei einer Marktangebotsfunktion von <math display="inline"> p(x_{S})=\frac{1}{2}x_{S} </math> und einer Marktnachfragefunktion von <math display="inline"> p(x_{D})=9-x_{D} </math> im perfekten Wettbewerb?
|type="()"}
+ 27.
- 18.
- 36.
- 9.
</quiz>

Konsumentenrente und Produzentenrente

2023-09-21T11:34:50Z

Uwalz: /* Definition */

==Definition==
Die '''Konsumentenrente''' (KR) ist das Geldäquivalent für den Nutzengewinn aus allen durchgeführten Transaktionen auf einem Markt. Sie entsteht, da (manche) Konsumenten bereits bei einem höheren Preis bereit sind Güter zu kaufen. Sie ist die Differenz zwischen dem maximalen Betrag, den eine Person für ein Produkt zahlen würde, und dem Marktpreis. 
Die '''Produzentenrente''' (PR) ist die über alle produzierten Einheiten gebildete Summe der Differenzen zwischen dem Marktpreis des Gutes und der Summe der Grenzkosten der Produktion über alle positiven Mengen bis zur jeweiligen abgesetzten Menge. 
Die Summe aus Konsumenten und Produzentenrente beschreibt die '''Gesamtwohlfahrt''' (staatliche Eingriffe müssen zusätzlich berücksichtigt werden), also die Wohlfahrt aller Marktteilnehmer zusammen

__TOC__

==Die Konsumentenrente==
Grafisch ist die Konsumentenrente die Fläche zwischen der [[Nachfrage|Nachfragefunktion]] und dem Preis, den die Konsumenten zahlen müssen. Die Konsumentenrente bzw. die Veränderung von ihr lässt sich zusammen mit der Produzentenrente als ein möglicher Indikator zur Bewertung wirtschaftspolitischer Maßnahmen nutzen. Hierbei stellt man einen Vergleich zwischen der Konsumentenrente vor und nach der Umsetzung einer Maßnahme an. 
''Beispiel'': An heißen Sommertagen können Kinder jeweils eine Kugel Eis kaufen. Da die Kinder unterschiedlich viel Taschengeld bekommen, können sie auch nur unterschiedlich viel ausgeben. Manche Kinder bekommen z.B. 5 Euro in der Woche und wären bereit für eine Kugel 5 Euro zu bezahlen. Andere Kinder bekommen andere Summen. Angenommen eine Kugel Eis kostet nun 2 Euro, so können die Kinder, die weniger für die Kugel Eis zahlen möchten/können, kein Eis kaufen. Die Kinder, die jedoch 5 Euro bereit wären zu zahlen, müssen nur 2 Euro zahlen und erhalten einen Nutzengewinn von (5-2=3). Die aggregierten Nutzengewinne definieren die Konsumentenrente.
 
Als Beispiel soll folgende Grafik dienen. Der Preis liegt bei <math display="inline"> p_{1} </math>. Durch eine exogene Änderung des Preises hat sich dieser verringert und liegt nun bei <math display="inline"> p_{2} </math>. Die Fläche zwischen der Nachfragefunktion und dem zu zahlenden Preis ist größer geworden. Damit hat sich auch die Konsumentenrente (eingezeichnet in hellblau) vergrößert. Wäre die Preissenkung auf eine politische Maßnahme zurückzuführen, so wäre ein mögliches Résumé, dass die Maßnahme vorteilhaft für die Konsumenten ist (nicht aber notwendigerweise für die Produzenten bzw. die Gesamtwohlfahrt), da sich die Konsumentenrente vergrößert hat. 
[[Datei:KR1.png|250px|rahmenlos]]
[[Datei:KR2.png|250px|rahmenlos]]

==Die Produzentenrente==
Grafisch ist die Produzentenrente zwischen der [[Angebot|Angebotsfunktion]] und dem Preis. Die kurzfristige Angebotsfunktion besteht aus der [[Kostenarten#Grenzkosten|Grenzkostenkurve]] oberhalb der [[Kostenarten#Durchschnittliche Kosten|durchschnittlichen variablen Kosten]] (siehe auch [[Angebotsentscheidung bei vollkommener Konkurrenz#Kurzfristige ANgebotsentscheidung|Betriebsminimum]]). Sie stellt den Preis dar, bei dem ein Unternehmen mit der marginalen Einheit keinen Verlust macht. Wenn die 20te Einheit in der Produktion 10€ kostet, muss der Preis für alle 20 Einheiten 10€ betragen. Andernfalls wird gar nichts, oder nur eine geringere Menge angeboten. Dies bedeutet bei einer steigenden [[Kostenarten#Grenzkosten|Grenzkostenkurve]], dass die Einheiten zuvor in der Produktion günstiger sind. Die Summe der Differenzen zwischen den Grenzkosten und dem Preis wird Produzentenrente genannt. Die Intuition bei der Veränderung der Rente verhält sich identisch zur Konsumentenrente. 
Grafisch zeigt sich die Produzentenrente in der rot eingezeichneten Fläche. 
[[Datei:Produzentenrente.png|500px|rahmenlos]] 
 
Da die Angebotskurve den Grenzkosten entspricht, ist die Fläche unter der Angebotskurve die aufsummierten Grenzkosten und damit die [[Kostenarten#Variable Kosten|Variablen Kosten]]. Stellen wir uns zum Beispiel eine Angebotsfunktion vor, die durch den Ursprung verläuft und eine Steigung von 1 aufweist. Bei der ersten Einheit sind die Grenzkosten also 1, bei der zweiten Einheit 2. Schauen wir uns hier die Variablen Kosten bei der Produktion von 2 Einheiten an, so belaufen die sich auf die Grenzkosten der ersten Einheit plus den Grenzkosten von der zweiten Einheit. Die variablen Kosten entsprechen 3 (1+2), oder anders: die aufsummierten Grenzkosten, die in der Fläche unter der Angebotskurve zu finden sind. Die Produzenten würden mit jeder Einheit einen Gewinn machen, solange der Preis größer als die Grenzkosten ist. Jedoch sind auch die Fixkosten Teil der Gewinnbetrachtung. In unserem Modell des [[perfekten Wettbewerbs]] gehen wir von Nullgewinnen aus. In diesem Fall müssen die Fixkosten genauso groß wie die Produzentenrente sein.

==Gesamtwohlfahrt==
Die Produzentenrente und die Konsumentenrente sind Teil der Gesamtwohlfahrt und damit wichtiger Bestandteil des [[Effizienz|Effizienzbegriffs]]. In einem Fall ohne staatlichen Eingriff und einem Markt im [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewicht]] ist die Gesamtwohlfahrt die Summe der Produzentenrente und der Konsumentenrente. Grafisch entspricht die Gesamtwohlfahrt der roten plus der blauen Fläche. 
[[Datei:Gesamtwohlfahrt.png|400px|rahmenlos]]

==Die Gesamtwohlfahrt beim Monopol==
Ein Monopolist wählt, anders als ein Produzent im [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb]], seinen Preis mit <math display="inline"> p_{M} </math> [[Effizienz|gewinnmaximal]]. Die abgesetzte Menge verringert sich hierdurch auf <math display="inline"> Q_{M} </math>. Daher gewinnt der Produzent an Rente und die Konsumenten verlieren Rente. Zur Betrachtung, ob die Marktmacht für die Gesamtwohlfahrt zuträglich ist, wird sie mit dem Fall des perfekten Wettbewerbs verglichen. Im perfekten Wettbewerb würde sich ein Preis von <math display="inline"> p^{*} </math> und eine Menge <math display="inline"> Q^{*} </math> einstellen. Die Produzentenrente wäre das CDG Dreieck und die Konsumentenrente das ACG Dreieck. Die Gesamtrente beträgt also ADG. 
Im Monopolfall ist die Konsumentenrente wie sonst auch die Fläche zwischen dem Preis und der Nachfragefunktion, beziehungsweise die Produzentenrente die Fläche zwischen dem Preis und der Angebotsfunktion. Jetzt lautet der Preis jedoch <math display="inline"> p_{M} </math>. Die Konsumentenrente ist in dem blauen Dreieck sichtbar (ABE) und die Produzentenrente in der roten Fläche (BEFD). Die Gesamtwohlfahrt lautet AEFD, was verglichen mit der Gesamtrente im perfekten Wettbewerb um EGF (graue Fläche) geringer ist. Die Marktmacht des Monopolisten bedeutet daher ein Wohlfahrtsverlust und [[Effizienz|Ineffizienz]]. 
[[Datei:RenteMonopol.png|500px|rahmenlos]]

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Auf einem Markt für Proteinlimo existieren 6 Nachfrager, die für den Erwerb einer einzigen Limo folgende unterschiedliche Kaufbereitschaften haben: 20€, 18€, 16€ 14€, 12€ und 10€. Wie groß ist die Konsumentenrente, wenn der Preis für eine Limo 13€ beträgt?
|type="()"}
+ 16.
- 68.
- 20.
- 52.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie groß ist die Produzentenrente mit der Angebotsfunktion <math display="inline"> x_{S}=\frac{1}{2}p-2,5 </math> bei einem Marktpreis von 25€?
|type="()"}
+ 100.
- 125.
- 75.
- Nicht ausreichend Informationen.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie groß ist die Gesamtwohlfahrt bei einer Marktangebotsfunktion von <math display="inline"> p(x_{S})=\frac{1}{2}x_{S} </math> und einer Marktnachfragefunktion von <math display="inline"> p(x_{D})=9-x_{D} </math> im perfekten Wettbewerb?
|type="()"}
+ 27.
- 18.
- 36.
- 9.
</quiz>

Risiko und Risikoeinstellung

2023-09-20T20:16:55Z

Uwalz: /* Entscheidung unter Unsicherheit */

==Definition==
Risiko bezieht sich auf Situationen, in denen unterschiedlich mögliche Ergebnisse eintreten können. Im Standardfall sind hierbei die Wahrscheinlichkeit des Eintretens aller Ergebnisse bekannt. Demnach wird im Folgenden zwischen der subjektiven und der objektiven Wahrscheinlichkeit differenziert und die objektive Wahrscheinlichkeit als Kennziffer herangezogen.

__TOC__

==Risiko==
Eine Lotterie stellt eine Situation mit Risiko dar. Ein Beispiel einer Lotterie ist der Münzwurf mit Wetteinsatz. Die Wahrscheinlichkeiten für Kopf und Zahl sind mit jeweils 0.5 bekannt. Fällt die zuvor gewählte Seite wird der Einsatz gewonnen, fällt er auf die andere Seite ist der Einsatz verloren. 
''Beispiel:'' Daniel und Oskar wetten auf das Ergebnis eines Münzwurfs. Daniel tippt auf Kopf und Oskar auf Zahl. Derjenige dessen Seite oben liegt erhält von dem anderen den Wetteinsatz von 10€. Allgemein kann eine solche Lotterie X in folgender Form dargestellt werden: <math> X=(x_{1}, p_{1};x_{2}, p_{2};...x_{n}, p_{n}) </math>, wobei <math> n = 1,2,3.. </math> und <math> p_{i} > 0 </math> . <math> x_{i} </math> stellt die Auszahlung dar, die mit einer Wahrscheinlichkeit <math> p_{i} </math> eintritt. In dem Fall des Münzwurfs würde dies folgende Lotterie bedeuten X=(0, 0.5; 10, 0.5).

==Entscheidung unter Unsicherheit==
Um Entscheidungen unter Unsicherheit genauer zu verstehen, wird auf das Beispiel einer Anlageoption, die mit bekannten Wahrscheinlichkeiten unterschiedliche Werte auszahlt, zurück gegriffen. Nehmen wir, der Entscheidungsträger hat die Alternative nichts zu tun (was eine Auszahlung von Null nach sich zieht) oder in eine Anlage die investieren, in der mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 ein Gewinn von 6 und mit der Gegenwahrscheinlichkeit ein Verlust von -5 auftritt. Wird der Entscheidungsträger die riskante Alternative wählen?. Bei der Beantwortung dieser Frage ist Risikoeinstellung der Entscheidungsträger entscheidend.
Die grundsätzliche Idee ist es, die Entscheidungsträger als Erwartungsnutzenmaximierer aufzufassen.
Zentral für die Einschätzung von Entscheidungen unter Unsicherheit ist demzufolge nicht die erwartete Auszahlung, sondern der erwartete Nutzen. Mit dem Konzept des Erwartungsnutzens lässt sich die Risikoeinstellung des Individuums abbilden. Der '''Erwartungsnutzen''' betrachtet nicht die Überlegung welche erwartete Auszahlung, sondern welcher Nutzen von der gewählten Alternative erwartet wird. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 erfährt das Individuum einen Nutzen von der Auszahlung -5 [U(-5)] und mit einer Wahrscheinlichkeit 0.5 einen Nutzen von der Auszahlung 6 [U(6)]. Der erwartete Nutzen wird nunmehr über verschiedene Alternativen verglichen. Diese ist die grundlegende Logik der Erwartungsnutzentheorie. Zentral ist dabei die Gestalt der Nutzenfunktion, oder anders formuliert die Risikopräferenz des Entscheidungsträger, die wir uns im Folgenden ansehen werden.

==Risikofreude==
Risikofreude ist die Präferenz für ein risikoreiches Einkommen gegenüber einem sicheren Einkommen mit dem gleichen Erwartungswert. Ein solches rationales Individuum erfährt demnach aus der unsicheren Lotterie einen größeren Nutzen als aus der Auszahlung des Erwartungswertes. Der Erwartungsnutzen ist größer als der Nutzen des Erwartungswertes. 
 
E[U] > U[E] 
 
Grafisch ist dies durch eine konvexe Nutzenfunktion möglich. Mathematisch ist die zweite Ableitung der Nutzenfunktion größer 0: 
 
<big> <math display="inline"> \frac{\part^{2} U(x)}{\part^{2} x} </math> > 0 </big> 
 
[[Datei:Risikofreude.png|500px|rahmenlos]] 
 
In dem grafischen Beispiel wird eine Lotterie X, X=(0.5, 10; 0.5, 30), betrachtet. Der Erwartungswert der Lotterie lautet 20 und der Nutzen des Erwartungswert liegt auf der grünen [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Nutzenfunktion]]. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 erfährt das Individuum einen Nutzen von 10, U(10), und mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 einen Nutzen von 30, U(30). Der erwartete Nutzen der Lotterie liegt auf der gestrichelten Verbindungslinie von U(10) zu U(30) und ist größer als der Nutzen des Erwartungswertes. Ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der beiden Auszahlungen verändert, so liegt der Erwartungsnutzen weiterhin auf der gestrichelten Verbindungslinie und ist in die Richtung der größeren Wahrscheinlichkeit verschoben. Die Risikoeinstellung des Individuums ist davon nicht betroffen.
Risikofreudige Personen haben einen [[Marginale Sichtweise| zunehmenden Grenznutzen des Einkommens]]. Jede Einheit des Einkommens mehr erhöht das Nutzenniveau und dies stärker als die Einheit vorher. Die Chance auf ein deutlich größeres Einkommen wiegt schwerer als die Gefahr weniger Einkommen zu erhalten.

==Risikoneutralität==
Personen, die risikoneutral sind, sind indifferent zwischen dem unsicheren Einkommen und dem sicheren Einkommen mit demselben Erwartungswert. Der Erwartungsnutzen, also der Nutzen, der von der Lotterie erwartet werden kann, ist genauso groß wie der Nutzen des Erwartungswertes. 
 
E[U] = U[E] 
 
Mathematisch müssen die beiden Werte identisch sein und auf der Nutzenfunktion liegen. Dies kommt durch eine lineare Nutzenfunktion zustande. Die zweite Ableitung der Nutzenfunktion muss gleich null sein: 
 
<big> <math display="inline"> \frac{\part^{2} U(x)}{\part^{2} x} </math> = 0 </big> 
 
[[Datei:Risikoneutralität.png|500px|rahmenlos]] 
 
Dieselbe Lotterie X, die bereits bei der [[Risiko und Risikoeinstellung#Risikofreude|Risikofreude]] eine Rolle spielte, sieht mit der Nutzenfunktion einer risikoneutralen Person wie oben ersichtlich aus. Der Erwartungsnutzen ist genauso groß wie der Nutzen des Erwartungswertes (die Nutzenniveaus liegen aufeinander) und für die Person spielt es keine Rolle, ob sie den Erwartungswert der Lotterie ausgezahlt bekommt oder ob sie an der Lotterie teilnimmt.

==Risikoaversion==
Risikoaversion ist die Präferenz für ein sicheres Einkommen gegenüber einem risikobehafteten Einkommen mit demselben Erwartungswert. Eine risikoaverse Person erfährt demnach einen größeren Nutzen aus dem sicheren Einkommen als aus der Lotterie, die im Erwartungswert dasselbe Einkommen auszahlt. Der Nutzen des Erwartungswertes ist größer als der Erwartungsnutzen, die Nutzenfunktion ist somit konkav. 
 
E[U] < U[E] 
 
<big> <math display="inline"> \frac{\part^{2} U(x)}{\part^{2} x} </math> < 0 </big> 
 
[[Datei:Risikoaversion.png|500px|rahmenlos]] 
 
Der Erwartungsnutzen der Lotterie, der je nach Wahrscheinlichkeitsverteilung irgendwo auf der gestrichelten Verbindungslinie der beiden Nutzenniveaus liegt, liegt unter dem Nutzen, den der Erwartungswert der Lotterie bedeutet. Die Gefahr weniger zu erhalten, wiegt schwerer als die Chance mehr zu erhalten. Dies liegt am [[Marginale Sichtweise|abnehmenden Grenznutzen des Einkommens]]. Zusätzliches Einkommen erhöht das Nutzenniveau, dies jedoch weniger als die Einheit vorher.

==Sicherheitsäquivalent==
Das Sicherheitsäquivalent (SÄ) ist das (sichere) Einkommen, dessen Nutzen äquivalent zu dem erwarteten Nutzen der Lotterie ist. Dementsprechend gilt U(SÄ)=E(U). Um das Sicherheitsäquivalent mathematisch herauszufinden, gilt es die Nutzenfunktion mit dem erwarteten Nutzen des unsicheren Einkommens gleichzusetzen und nach der unabhängigen Variable umzustellen. Grafisch kann das Sicherheitsäquivalent wie folgt dargestellt werden: 
 
[[Datei:SÄ.png|500px|rahmenlos]] 
 
Aus den unterschiedlichen Nutzenfunktionen ergeben sich folgende Zusammenhänge: 
SÄ - E[X] < 0 risikoavers 
SÄ - E[X] = 0 risikoneutral 
SÄ - E[X] > 0 risikofreudig 
 
''Beispiel'': In einer Lohnverhandlung für einen Nebenjob wird dem Bewerber ein Gehaltsmodell vorgestellt. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 erhält er ein Jahresgehalt von 10 und mit der Wahrscheinlichkeit von 0.5 erhält er ein Jahresgehalt von 30. Alternativ wird er gefragt, ob er dieses Gehaltsmodell gegen ein Gehalt von sicheren 5 pro Jahr eintauschen möchte. Sehr wahrscheinlich lautet seine Antwort nein. Auch bei sicheren 10 lautet seine Antwort vermutlich nein. Das Sicherheitsäquivalent ist die erste Summe, bei der der Bewerber ja sagt, da er bei dieser Summe einen gleich großen Nutzen wie durch das unsichere Gehaltsmodell erfährt.

==Risikoprämie==
Die Risikoprämie (RP) ist die maximale Geldsumme, die eine risikoaverse Person zur Vermeidung eines Risikos zu zahlen bereit ist. Die maximale Geldsumme ist die Differenz des Erwartungswert der Auszahlung und dem [[Risiko und Risikoeinstellung#Sicherheitsäquivalenz|Sicherheitsäquivalent]] einer risikoaversen Person.
 
Im ''Beispiel'' von oben ist der Erwartungswert der beiden Gehaltsmöglichkeiten 20. Im Beispiel ist der Bewerber eine risikoaverse Person, weshalb die Differenz E[X] - SÄ größer null und daher positiv ist. Das Sicherheitsäquivalent ist das sichere Gehalt, das einen identisch großen Nutzen wie das unsichere Gehaltsmodell liefert (das sichere Äquivalent zur unsicheren Option). Der Bewerber ist bereit die Differenz zu zahlen, um der Unsicherheit zu entgehen und bleibt gleichzeitig auf demselben Nutzenniveau.

==Versicherungsprämie==
Die Versicherungsprämie ist eine Prämie, die gezahlt werden muss, um sich gegen die Unsicherheit zu versichern. Die maximale Zahlungsbereitschaft für eine solche Versicherung hängt von dem erwarteten Schaden und der Risikoeinstellung ab. Eine Person die risikoneutral ist, ist maximal bereit den erwarteten Schaden als Versicherungsprämie zu zahlen. Eine risikoaverse Person ist zum erwarteten Schaden zusätzlich bereit die Risikoprämie, also die Summe, um das Risiko zu vermeiden, zu zahlen. 
VP = RP + erwarteter Schaden 
Eine weitere Möglichkeit die maximale Zahlungsbereitschaft zu berechnen ist vom günstigsten Fall (das größte mögliche Einkommen) das Sicherheitsäquivalent abzuziehen. 
 
Ein ''Beispiel'' für die Berechnung der maximalen Zahlungsbereitschaft lautet: Ein Auto kostet 100. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.9 baut der Autofahrer keinen Unfall und das Auto verliert lediglich Wert aufgrund der täglichen Nutzung; der Wiederverkaufswert liegt dann bei 60. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.1 baut der Autofahrer ein Unfall und das Auto verliert vollständig seinen Wert. Angenommen das Sicherheitsäquivalent liegt bei 20, wie viel würde der Autofahrer maximal für eine Versicherung zahlen? 
Die erste Möglichkeit lautet VP = RP + erwarteter Schaden. Die RP berechnet sich aus der Differenz des erwarteten Vermögens und dem Sicherheitsäquivalents (54 - 20 = 34). Der erwartete Schaden berechnet sich aus 0.1 * 60 und lautet 6. Daher 34 + 6 = 40 
Bei der zweiten Möglichkeit muss vom günstigsten Fall (60) das SÄ (20) abgezogen werden. Die maximale Zahlungsbereitschaft lautet 40.

==MC Fragen==

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Nutzenfunktionen bilden risikoaverse Präferenzen ab?
|type="()"}
+ <math> U(x)=ln(x) </math>.
- <math> U(x)=16x+27 </math>.
- <math> U(x)=e^{2x^{2}} </math>.
- <math> U(x)=16x^{2} </math>.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Linda hat zwei Lotterien zur Auswahl. Lotterie A zahlt sicher 8 aus und und Lotterie B zahlt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.75 10 aus, beziehungsweise mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.25 6. Angenommen Linda entscheidet sich für Lotterie B und handelt dabei rational, welche Risikopräferenzen hat Linda?
|type="()"}
+ Lässt sich nicht eindeutig bestimmen.
- Linda ist risikoavers.
- Linda ist risikoneutral.
- Linda ist risikofreudig.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Risikopräferenzen hat eine Person mit folgender Nutzenfunktion für X Werte größer 1? <math> \frac{x^{2}}{e^{x}} </math>
|type="()"}
+ Die Person ist risikoavers.
- Die Person ist risikoneutral.
- Die Person ist risikofreudig.
- Die Risikopräferenzen variieren in x, wobei x > 1.
</quiz>

Risiko und Risikoeinstellung

2023-09-20T20:06:15Z

Uwalz: /* Entscheidung unter Unsicherheit */

==Definition==
Risiko bezieht sich auf Situationen, in denen unterschiedlich mögliche Ergebnisse eintreten können. Im Standardfall sind hierbei die Wahrscheinlichkeit des Eintretens aller Ergebnisse bekannt. Demnach wird im Folgenden zwischen der subjektiven und der objektiven Wahrscheinlichkeit differenziert und die objektive Wahrscheinlichkeit als Kennziffer herangezogen.

__TOC__

==Risiko==
Eine Lotterie stellt eine Situation mit Risiko dar. Ein Beispiel einer Lotterie ist der Münzwurf mit Wetteinsatz. Die Wahrscheinlichkeiten für Kopf und Zahl sind mit jeweils 0.5 bekannt. Fällt die zuvor gewählte Seite wird der Einsatz gewonnen, fällt er auf die andere Seite ist der Einsatz verloren. 
''Beispiel:'' Daniel und Oskar wetten auf das Ergebnis eines Münzwurfs. Daniel tippt auf Kopf und Oskar auf Zahl. Derjenige dessen Seite oben liegt erhält von dem anderen den Wetteinsatz von 10€. Allgemein kann eine solche Lotterie X in folgender Form dargestellt werden: <math> X=(x_{1}, p_{1};x_{2}, p_{2};...x_{n}, p_{n}) </math>, wobei <math> n = 1,2,3.. </math> und <math> p_{i} > 0 </math> . <math> x_{i} </math> stellt die Auszahlung dar, die mit einer Wahrscheinlichkeit <math> p_{i} </math> eintritt. In dem Fall des Münzwurfs würde dies folgende Lotterie bedeuten X=(0, 0.5; 10, 0.5).

==Entscheidung unter Unsicherheit==
In der Untersuchung, wie Individuen unter Unsicherheit agieren muss von dem Münzwurf Beispiel abstrahiert werden. Als Beispiel dient nun eine Anlageoption, die mit bekannten Wahrscheinlichkeiten unterschiedliche Werte auszahlt. In der Frage wie das Individuum mit dem Risiko umgeht sind verschiedene Kennzahlen entscheidend. Die zentrale Frage, der im Folgenden nachzugehen ist, ist die Frage nach der Risikoeinstellung der Entscheidungsträger.
Die grundsätzliche Idee ist es, die Entscheidungsträger als Erwartungsnutzenmaximierer aufzufassen.
Zentral für die Einschätzung von Entscheidungen unter Unsicherheit ist nicht die erwartete Auszahlung (etwas einer Lotterie), sondern der erwartete Nutzen. Mit dem Konzept des Erwartungsnutzens lässt sich die Risikoeinstellung des Individuums abbilden. Der '''Erwartungsnutzen''' betrachtet nicht die Überlegung welche erwartete Auszahlung, sondern welcher Nutzen von der Lotterie erwartet wird. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 erfährt das Individuum einen Nutzen von der Auszahlung -5 [U(-5)] und mit einer Wahrscheinlichkeit 0.5 einen Nutzen von der Auszahlung 5 [U(5)]. Ist der Nutzen des Erwartungswertes 0, U(0), kleiner (größer) als der Erwartungsnutzen, sollte das Individuum zum Beispiel (nicht) in die Anlage investieren. Diese ist die grundlegende Logik der Erwartungsnutzentheorie.
 
 
Im Grunde werden in dem Beispiel zwei Anlagemöglichkeiten miteinander verglichen. Zum einen die Lotterie X=(0.5, -5; 0.5, 5) und zum anderen die Lotterie Y=(0, 1). Eine unsichere Anlagemöglichkeit mit einer sicheren, deren beider Erwartungswerte identisch bei 0 liegen. Dementsprechend können auch andere Lotterien miteinander verglichen werden, deren Erwartungswerte nicht identisch sind. Je nach Modellierung muss jedoch auf den Kontext geachtet werden um etwas über die Risikopräferenzen, die in der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Nutzenfunktion]] dargestellt sind, sagen zu können. Entscheidet sich ein Individuum beispielsweise für eine Lotterie mit einem größeren Erwartungswert, so kann unter der Annahme der Rationalität keine Aussage über die Risikopräferenzen getätigt werden. Entscheidet sich jedoch ein Individuum für eine sicherere Option mit einem geringeren Erwartungswert und handelt dabei rational, ist diese Person [[Risiko und Risikoeinstellung#Risikoaversion|risikoavers]].

==Risikofreude==
Risikofreude ist die Präferenz für ein risikoreiches Einkommen gegenüber einem sicheren Einkommen mit dem gleichen Erwartungswert. Ein solches rationales Individuum erfährt demnach aus der unsicheren Lotterie einen größeren Nutzen als aus der Auszahlung des Erwartungswertes. Der Erwartungsnutzen ist größer als der Nutzen des Erwartungswertes. 
 
E[U] > U[E] 
 
Grafisch ist dies durch eine konvexe Nutzenfunktion möglich. Mathematisch ist die zweite Ableitung der Nutzenfunktion größer 0: 
 
<big> <math display="inline"> \frac{\part^{2} U(x)}{\part^{2} x} </math> > 0 </big> 
 
[[Datei:Risikofreude.png|500px|rahmenlos]] 
 
In dem grafischen Beispiel wird eine Lotterie X, X=(0.5, 10; 0.5, 30), betrachtet. Der Erwartungswert der Lotterie lautet 20 und der Nutzen des Erwartungswert liegt auf der grünen [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Nutzenfunktion]]. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 erfährt das Individuum einen Nutzen von 10, U(10), und mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 einen Nutzen von 30, U(30). Der erwartete Nutzen der Lotterie liegt auf der gestrichelten Verbindungslinie von U(10) zu U(30) und ist größer als der Nutzen des Erwartungswertes. Ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der beiden Auszahlungen verändert, so liegt der Erwartungsnutzen weiterhin auf der gestrichelten Verbindungslinie und ist in die Richtung der größeren Wahrscheinlichkeit verschoben. Die Risikoeinstellung des Individuums ist davon nicht betroffen.
Risikofreudige Personen haben einen [[Marginale Sichtweise| zunehmenden Grenznutzen des Einkommens]]. Jede Einheit des Einkommens mehr erhöht das Nutzenniveau und dies stärker als die Einheit vorher. Die Chance auf ein deutlich größeres Einkommen wiegt schwerer als die Gefahr weniger Einkommen zu erhalten.

==Risikoneutralität==
Personen, die risikoneutral sind, sind indifferent zwischen dem unsicheren Einkommen und dem sicheren Einkommen mit demselben Erwartungswert. Der Erwartungsnutzen, also der Nutzen, der von der Lotterie erwartet werden kann, ist genauso groß wie der Nutzen des Erwartungswertes. 
 
E[U] = U[E] 
 
Mathematisch müssen die beiden Werte identisch sein und auf der Nutzenfunktion liegen. Dies kommt durch eine lineare Nutzenfunktion zustande. Die zweite Ableitung der Nutzenfunktion muss gleich null sein: 
 
<big> <math display="inline"> \frac{\part^{2} U(x)}{\part^{2} x} </math> = 0 </big> 
 
[[Datei:Risikoneutralität.png|500px|rahmenlos]] 
 
Dieselbe Lotterie X, die bereits bei der [[Risiko und Risikoeinstellung#Risikofreude|Risikofreude]] eine Rolle spielte, sieht mit der Nutzenfunktion einer risikoneutralen Person wie oben ersichtlich aus. Der Erwartungsnutzen ist genauso groß wie der Nutzen des Erwartungswertes (die Nutzenniveaus liegen aufeinander) und für die Person spielt es keine Rolle, ob sie den Erwartungswert der Lotterie ausgezahlt bekommt oder ob sie an der Lotterie teilnimmt.

==Risikoaversion==
Risikoaversion ist die Präferenz für ein sicheres Einkommen gegenüber einem risikobehafteten Einkommen mit demselben Erwartungswert. Eine risikoaverse Person erfährt demnach einen größeren Nutzen aus dem sicheren Einkommen als aus der Lotterie, die im Erwartungswert dasselbe Einkommen auszahlt. Der Nutzen des Erwartungswertes ist größer als der Erwartungsnutzen, die Nutzenfunktion ist somit konkav. 
 
E[U] < U[E] 
 
<big> <math display="inline"> \frac{\part^{2} U(x)}{\part^{2} x} </math> < 0 </big> 
 
[[Datei:Risikoaversion.png|500px|rahmenlos]] 
 
Der Erwartungsnutzen der Lotterie, der je nach Wahrscheinlichkeitsverteilung irgendwo auf der gestrichelten Verbindungslinie der beiden Nutzenniveaus liegt, liegt unter dem Nutzen, den der Erwartungswert der Lotterie bedeutet. Die Gefahr weniger zu erhalten, wiegt schwerer als die Chance mehr zu erhalten. Dies liegt am [[Marginale Sichtweise|abnehmenden Grenznutzen des Einkommens]]. Zusätzliches Einkommen erhöht das Nutzenniveau, dies jedoch weniger als die Einheit vorher.

==Sicherheitsäquivalent==
Das Sicherheitsäquivalent (SÄ) ist das (sichere) Einkommen, dessen Nutzen äquivalent zu dem erwarteten Nutzen der Lotterie ist. Dementsprechend gilt U(SÄ)=E(U). Um das Sicherheitsäquivalent mathematisch herauszufinden, gilt es die Nutzenfunktion mit dem erwarteten Nutzen des unsicheren Einkommens gleichzusetzen und nach der unabhängigen Variable umzustellen. Grafisch kann das Sicherheitsäquivalent wie folgt dargestellt werden: 
 
[[Datei:SÄ.png|500px|rahmenlos]] 
 
Aus den unterschiedlichen Nutzenfunktionen ergeben sich folgende Zusammenhänge: 
SÄ - E[X] < 0 risikoavers 
SÄ - E[X] = 0 risikoneutral 
SÄ - E[X] > 0 risikofreudig 
 
''Beispiel'': In einer Lohnverhandlung für einen Nebenjob wird dem Bewerber ein Gehaltsmodell vorgestellt. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 erhält er ein Jahresgehalt von 10 und mit der Wahrscheinlichkeit von 0.5 erhält er ein Jahresgehalt von 30. Alternativ wird er gefragt, ob er dieses Gehaltsmodell gegen ein Gehalt von sicheren 5 pro Jahr eintauschen möchte. Sehr wahrscheinlich lautet seine Antwort nein. Auch bei sicheren 10 lautet seine Antwort vermutlich nein. Das Sicherheitsäquivalent ist die erste Summe, bei der der Bewerber ja sagt, da er bei dieser Summe einen gleich großen Nutzen wie durch das unsichere Gehaltsmodell erfährt.

==Risikoprämie==
Die Risikoprämie (RP) ist die maximale Geldsumme, die eine risikoaverse Person zur Vermeidung eines Risikos zu zahlen bereit ist. Die maximale Geldsumme ist die Differenz des Erwartungswert der Auszahlung und dem [[Risiko und Risikoeinstellung#Sicherheitsäquivalenz|Sicherheitsäquivalent]] einer risikoaversen Person.
 
Im ''Beispiel'' von oben ist der Erwartungswert der beiden Gehaltsmöglichkeiten 20. Im Beispiel ist der Bewerber eine risikoaverse Person, weshalb die Differenz E[X] - SÄ größer null und daher positiv ist. Das Sicherheitsäquivalent ist das sichere Gehalt, das einen identisch großen Nutzen wie das unsichere Gehaltsmodell liefert (das sichere Äquivalent zur unsicheren Option). Der Bewerber ist bereit die Differenz zu zahlen, um der Unsicherheit zu entgehen und bleibt gleichzeitig auf demselben Nutzenniveau.

==Versicherungsprämie==
Die Versicherungsprämie ist eine Prämie, die gezahlt werden muss, um sich gegen die Unsicherheit zu versichern. Die maximale Zahlungsbereitschaft für eine solche Versicherung hängt von dem erwarteten Schaden und der Risikoeinstellung ab. Eine Person die risikoneutral ist, ist maximal bereit den erwarteten Schaden als Versicherungsprämie zu zahlen. Eine risikoaverse Person ist zum erwarteten Schaden zusätzlich bereit die Risikoprämie, also die Summe, um das Risiko zu vermeiden, zu zahlen. 
VP = RP + erwarteter Schaden 
Eine weitere Möglichkeit die maximale Zahlungsbereitschaft zu berechnen ist vom günstigsten Fall (das größte mögliche Einkommen) das Sicherheitsäquivalent abzuziehen. 
 
Ein ''Beispiel'' für die Berechnung der maximalen Zahlungsbereitschaft lautet: Ein Auto kostet 100. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.9 baut der Autofahrer keinen Unfall und das Auto verliert lediglich Wert aufgrund der täglichen Nutzung; der Wiederverkaufswert liegt dann bei 60. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.1 baut der Autofahrer ein Unfall und das Auto verliert vollständig seinen Wert. Angenommen das Sicherheitsäquivalent liegt bei 20, wie viel würde der Autofahrer maximal für eine Versicherung zahlen? 
Die erste Möglichkeit lautet VP = RP + erwarteter Schaden. Die RP berechnet sich aus der Differenz des erwarteten Vermögens und dem Sicherheitsäquivalents (54 - 20 = 34). Der erwartete Schaden berechnet sich aus 0.1 * 60 und lautet 6. Daher 34 + 6 = 40 
Bei der zweiten Möglichkeit muss vom günstigsten Fall (60) das SÄ (20) abgezogen werden. Die maximale Zahlungsbereitschaft lautet 40.

==MC Fragen==

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Nutzenfunktionen bilden risikoaverse Präferenzen ab?
|type="()"}
+ <math> U(x)=ln(x) </math>.
- <math> U(x)=16x+27 </math>.
- <math> U(x)=e^{2x^{2}} </math>.
- <math> U(x)=16x^{2} </math>.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Linda hat zwei Lotterien zur Auswahl. Lotterie A zahlt sicher 8 aus und und Lotterie B zahlt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.75 10 aus, beziehungsweise mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.25 6. Angenommen Linda entscheidet sich für Lotterie B und handelt dabei rational, welche Risikopräferenzen hat Linda?
|type="()"}
+ Lässt sich nicht eindeutig bestimmen.
- Linda ist risikoavers.
- Linda ist risikoneutral.
- Linda ist risikofreudig.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Risikopräferenzen hat eine Person mit folgender Nutzenfunktion für X Werte größer 1? <math> \frac{x^{2}}{e^{x}} </math>
|type="()"}
+ Die Person ist risikoavers.
- Die Person ist risikoneutral.
- Die Person ist risikofreudig.
- Die Risikopräferenzen variieren in x, wobei x > 1.
</quiz>

Risiko und Risikoeinstellung

2023-09-20T13:24:44Z

Uwalz: /* Entscheidung unter Unsicherheit */

==Definition==
Risiko bezieht sich auf Situationen, in denen unterschiedlich mögliche Ergebnisse eintreten können. Im Standardfall sind hierbei die Wahrscheinlichkeit des Eintretens aller Ergebnisse bekannt. Demnach wird im Folgenden zwischen der subjektiven und der objektiven Wahrscheinlichkeit differenziert und die objektive Wahrscheinlichkeit als Kennziffer herangezogen.

__TOC__

==Risiko==
Eine Lotterie stellt eine Situation mit Risiko dar. Ein Beispiel einer Lotterie ist der Münzwurf mit Wetteinsatz. Die Wahrscheinlichkeiten für Kopf und Zahl sind mit jeweils 0.5 bekannt. Fällt die zuvor gewählte Seite wird der Einsatz gewonnen, fällt er auf die andere Seite ist der Einsatz verloren. 
''Beispiel:'' Daniel und Oskar wetten auf das Ergebnis eines Münzwurfs. Daniel tippt auf Kopf und Oskar auf Zahl. Derjenige dessen Seite oben liegt erhält von dem anderen den Wetteinsatz von 10€. Allgemein kann eine solche Lotterie X in folgender Form dargestellt werden: <math> X=(x_{1}, p_{1};x_{2}, p_{2};...x_{n}, p_{n}) </math>, wobei <math> n = 1,2,3.. </math> und <math> p_{i} > 0 </math> . <math> x_{i} </math> stellt die Auszahlung dar, die mit einer Wahrscheinlichkeit <math> p_{i} </math> eintritt. In dem Fall des Münzwurfs würde dies folgende Lotterie bedeuten X=(0, 0.5; 10, 0.5).

==Entscheidung unter Unsicherheit==
In der Untersuchung, wie Individuen unter Unsicherheit agieren muss von dem Münzwurf Beispiel abstrahiert werden. Als Beispiel dient nun eine Anlageoption, die mit bekannten Wahrscheinlichkeiten unterschiedliche Werte auszahlt. In der Frage wie das Individuum mit dem Risiko umgeht sind verschiedene Kennzahlen entscheidend. Die zentrale Frage, der im Folgenden nachzugehen ist, ist die Frage nach der Risikoeinstellung der Entscheidungsträger.
Eine Kennzahl bildet hier der '''Erwartungswert''', beziehungsweise der '''Nutzen des Erwartungswertes'''.
''Beispiel'': Die Anlage bringt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 einen Gewinn von 5 und mit der Gegenwahrscheinlichkeit gehen die investierten 5 verloren, der Gewinn beträgt also -5. Die Anlage hat demnach einen Erwartungswert von 0. Genauso gut könnte das Individuum also vermeintlich gar nicht investieren und sich dem Risiko nicht aussetzen. Die Investition in die Anlage ist jedoch nicht grundsätzlich irrational. Dafür ist der erwartete Nutzen aus der Lotterie wesentlich mit dessen Hilfe sich die Risikoeinstellung des Individuums abbilden lässt. Der '''Erwartungsnutzen''' betrachtet nicht die Überlegung welche erwartete Auszahlung, sondern welcher Nutzen von der Lotterie erwartet wird. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 erfährt das Individuum einen Nutzen von der Auszahlung -5 [U(-5)] und mit einer Wahrscheinlichkeit 0.5 einen Nutzen von der Auszahlung 5 [U(5)]. Ist der Nutzen des Erwartungswertes U(0) kleiner (größer) als der Erwartungsnutzen, sollte das Individuum zum Beispiel (nicht) in die Anlage investieren. Diese ist die grundlegende Logik der Erwartungsnutzentheorie.
 
 
Im Grunde werden in dem Beispiel zwei Anlagemöglichkeiten miteinander verglichen. Zum einen die Lotterie X=(0.5, -5; 0.5, 5) und zum anderen die Lotterie Y=(0, 1). Eine unsichere Anlagemöglichkeit mit einer sicheren, deren beider Erwartungswerte identisch bei 0 liegen. Dementsprechend können auch andere Lotterien miteinander verglichen werden, deren Erwartungswerte nicht identisch sind. Je nach Modellierung muss jedoch auf den Kontext geachtet werden um etwas über die Risikopräferenzen, die in der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Nutzenfunktion]] dargestellt sind, sagen zu können. Entscheidet sich ein Individuum beispielsweise für eine Lotterie mit einem größeren Erwartungswert, so kann unter der Annahme der Rationalität keine Aussage über die Risikopräferenzen getätigt werden. Entscheidet sich jedoch ein Individuum für eine sicherere Option mit einem geringeren Erwartungswert und handelt dabei rational, ist diese Person [[Risiko und Risikoeinstellung#Risikoaversion|risikoavers]].

==Risikofreude==
Risikofreude ist die Präferenz für ein risikoreiches Einkommen gegenüber einem sicheren Einkommen mit dem gleichen Erwartungswert. Ein solches rationales Individuum erfährt demnach aus der unsicheren Lotterie einen größeren Nutzen als aus der Auszahlung des Erwartungswertes. Der Erwartungsnutzen ist größer als der Nutzen des Erwartungswertes. 
 
E[U] > U[E] 
 
Grafisch ist dies durch eine konvexe Nutzenfunktion möglich. Mathematisch ist die zweite Ableitung der Nutzenfunktion größer 0: 
 
<big> <math display="inline"> \frac{\part^{2} U(x)}{\part^{2} x} </math> > 0 </big> 
 
[[Datei:Risikofreude.png|500px|rahmenlos]] 
 
In dem grafischen Beispiel wird eine Lotterie X, X=(0.5, 10; 0.5, 30), betrachtet. Der Erwartungswert der Lotterie lautet 20 und der Nutzen des Erwartungswert liegt auf der grünen [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Nutzenfunktion]]. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 erfährt das Individuum einen Nutzen von 10, U(10), und mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 einen Nutzen von 30, U(30). Der erwartete Nutzen der Lotterie liegt auf der gestrichelten Verbindungslinie von U(10) zu U(30) und ist größer als der Nutzen des Erwartungswertes. Ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der beiden Auszahlungen verändert, so liegt der Erwartungsnutzen weiterhin auf der gestrichelten Verbindungslinie und ist in die Richtung der größeren Wahrscheinlichkeit verschoben. Die Risikoeinstellung des Individuums ist davon nicht betroffen.
Risikofreudige Personen haben einen [[Marginale Sichtweise| zunehmenden Grenznutzen des Einkommens]]. Jede Einheit des Einkommens mehr erhöht das Nutzenniveau und dies stärker als die Einheit vorher. Die Chance auf ein deutlich größeres Einkommen wiegt schwerer als die Gefahr weniger Einkommen zu erhalten.

==Risikoneutralität==
Personen, die risikoneutral sind, sind indifferent zwischen dem unsicheren Einkommen und dem sicheren Einkommen mit demselben Erwartungswert. Der Erwartungsnutzen, also der Nutzen, der von der Lotterie erwartet werden kann, ist genauso groß wie der Nutzen des Erwartungswertes. 
 
E[U] = U[E] 
 
Mathematisch müssen die beiden Werte identisch sein und auf der Nutzenfunktion liegen. Dies kommt durch eine lineare Nutzenfunktion zustande. Die zweite Ableitung der Nutzenfunktion muss gleich null sein: 
 
<big> <math display="inline"> \frac{\part^{2} U(x)}{\part^{2} x} </math> = 0 </big> 
 
[[Datei:Risikoneutralität.png|500px|rahmenlos]] 
 
Dieselbe Lotterie X, die bereits bei der [[Risiko und Risikoeinstellung#Risikofreude|Risikofreude]] eine Rolle spielte, sieht mit der Nutzenfunktion einer risikoneutralen Person wie oben ersichtlich aus. Der Erwartungsnutzen ist genauso groß wie der Nutzen des Erwartungswertes (die Nutzenniveaus liegen aufeinander) und für die Person spielt es keine Rolle, ob sie den Erwartungswert der Lotterie ausgezahlt bekommt oder ob sie an der Lotterie teilnimmt.

==Risikoaversion==
Risikoaversion ist die Präferenz für ein sicheres Einkommen gegenüber einem risikobehafteten Einkommen mit demselben Erwartungswert. Eine risikoaverse Person erfährt demnach einen größeren Nutzen aus dem sicheren Einkommen als aus der Lotterie, die im Erwartungswert dasselbe Einkommen auszahlt. Der Nutzen des Erwartungswertes ist größer als der Erwartungsnutzen, die Nutzenfunktion ist somit konkav. 
 
E[U] < U[E] 
 
<big> <math display="inline"> \frac{\part^{2} U(x)}{\part^{2} x} </math> < 0 </big> 
 
[[Datei:Risikoaversion.png|500px|rahmenlos]] 
 
Der Erwartungsnutzen der Lotterie, der je nach Wahrscheinlichkeitsverteilung irgendwo auf der gestrichelten Verbindungslinie der beiden Nutzenniveaus liegt, liegt unter dem Nutzen, den der Erwartungswert der Lotterie bedeutet. Die Gefahr weniger zu erhalten, wiegt schwerer als die Chance mehr zu erhalten. Dies liegt am [[Marginale Sichtweise|abnehmenden Grenznutzen des Einkommens]]. Zusätzliches Einkommen erhöht das Nutzenniveau, dies jedoch weniger als die Einheit vorher.

==Sicherheitsäquivalent==
Das Sicherheitsäquivalent (SÄ) ist das (sichere) Einkommen, dessen Nutzen äquivalent zu dem erwarteten Nutzen der Lotterie ist. Dementsprechend gilt U(SÄ)=E(U). Um das Sicherheitsäquivalent mathematisch herauszufinden, gilt es die Nutzenfunktion mit dem erwarteten Nutzen des unsicheren Einkommens gleichzusetzen und nach der unabhängigen Variable umzustellen. Grafisch kann das Sicherheitsäquivalent wie folgt dargestellt werden: 
 
[[Datei:SÄ.png|500px|rahmenlos]] 
 
Aus den unterschiedlichen Nutzenfunktionen ergeben sich folgende Zusammenhänge: 
SÄ - E[X] < 0 risikoavers 
SÄ - E[X] = 0 risikoneutral 
SÄ - E[X] > 0 risikofreudig 
 
''Beispiel'': In einer Lohnverhandlung für einen Nebenjob wird dem Bewerber ein Gehaltsmodell vorgestellt. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 erhält er ein Jahresgehalt von 10 und mit der Wahrscheinlichkeit von 0.5 erhält er ein Jahresgehalt von 30. Alternativ wird er gefragt, ob er dieses Gehaltsmodell gegen ein Gehalt von sicheren 5 pro Jahr eintauschen möchte. Sehr wahrscheinlich lautet seine Antwort nein. Auch bei sicheren 10 lautet seine Antwort vermutlich nein. Das Sicherheitsäquivalent ist die erste Summe, bei der der Bewerber ja sagt, da er bei dieser Summe einen gleich großen Nutzen wie durch das unsichere Gehaltsmodell erfährt.

==Risikoprämie==
Die Risikoprämie (RP) ist die maximale Geldsumme, die eine risikoaverse Person zur Vermeidung eines Risikos zu zahlen bereit ist. Die maximale Geldsumme ist die Differenz des Erwartungswert der Auszahlung und dem [[Risiko und Risikoeinstellung#Sicherheitsäquivalenz|Sicherheitsäquivalent]] einer risikoaversen Person.
 
Im ''Beispiel'' von oben ist der Erwartungswert der beiden Gehaltsmöglichkeiten 20. Im Beispiel ist der Bewerber eine risikoaverse Person, weshalb die Differenz E[X] - SÄ größer null und daher positiv ist. Das Sicherheitsäquivalent ist das sichere Gehalt, das einen identisch großen Nutzen wie das unsichere Gehaltsmodell liefert (das sichere Äquivalent zur unsicheren Option). Der Bewerber ist bereit die Differenz zu zahlen, um der Unsicherheit zu entgehen und bleibt gleichzeitig auf demselben Nutzenniveau.

==Versicherungsprämie==
Die Versicherungsprämie ist eine Prämie, die gezahlt werden muss, um sich gegen die Unsicherheit zu versichern. Die maximale Zahlungsbereitschaft für eine solche Versicherung hängt von dem erwarteten Schaden und der Risikoeinstellung ab. Eine Person die risikoneutral ist, ist maximal bereit den erwarteten Schaden als Versicherungsprämie zu zahlen. Eine risikoaverse Person ist zum erwarteten Schaden zusätzlich bereit die Risikoprämie, also die Summe, um das Risiko zu vermeiden, zu zahlen. 
VP = RP + erwarteter Schaden 
Eine weitere Möglichkeit die maximale Zahlungsbereitschaft zu berechnen ist vom günstigsten Fall (das größte mögliche Einkommen) das Sicherheitsäquivalent abzuziehen. 
 
Ein ''Beispiel'' für die Berechnung der maximalen Zahlungsbereitschaft lautet: Ein Auto kostet 100. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.9 baut der Autofahrer keinen Unfall und das Auto verliert lediglich Wert aufgrund der täglichen Nutzung; der Wiederverkaufswert liegt dann bei 60. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.1 baut der Autofahrer ein Unfall und das Auto verliert vollständig seinen Wert. Angenommen das Sicherheitsäquivalent liegt bei 20, wie viel würde der Autofahrer maximal für eine Versicherung zahlen? 
Die erste Möglichkeit lautet VP = RP + erwarteter Schaden. Die RP berechnet sich aus der Differenz des erwarteten Vermögens und dem Sicherheitsäquivalents (54 - 20 = 34). Der erwartete Schaden berechnet sich aus 0.1 * 60 und lautet 6. Daher 34 + 6 = 40 
Bei der zweiten Möglichkeit muss vom günstigsten Fall (60) das SÄ (20) abgezogen werden. Die maximale Zahlungsbereitschaft lautet 40.

==MC Fragen==

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Nutzenfunktionen bilden risikoaverse Präferenzen ab?
|type="()"}
+ <math> U(x)=ln(x) </math>.
- <math> U(x)=16x+27 </math>.
- <math> U(x)=e^{2x^{2}} </math>.
- <math> U(x)=16x^{2} </math>.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Linda hat zwei Lotterien zur Auswahl. Lotterie A zahlt sicher 8 aus und und Lotterie B zahlt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.75 10 aus, beziehungsweise mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.25 6. Angenommen Linda entscheidet sich für Lotterie B und handelt dabei rational, welche Risikopräferenzen hat Linda?
|type="()"}
+ Lässt sich nicht eindeutig bestimmen.
- Linda ist risikoavers.
- Linda ist risikoneutral.
- Linda ist risikofreudig.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Risikopräferenzen hat eine Person mit folgender Nutzenfunktion für X Werte größer 1? <math> \frac{x^{2}}{e^{x}} </math>
|type="()"}
+ Die Person ist risikoavers.
- Die Person ist risikoneutral.
- Die Person ist risikofreudig.
- Die Risikopräferenzen variieren in x, wobei x > 1.
</quiz>

Risiko und Risikoeinstellung

2023-09-20T13:21:21Z

Uwalz: /* Entscheidung unter Unsicherheit */

==Definition==
Risiko bezieht sich auf Situationen, in denen unterschiedlich mögliche Ergebnisse eintreten können. Im Standardfall sind hierbei die Wahrscheinlichkeit des Eintretens aller Ergebnisse bekannt. Demnach wird im Folgenden zwischen der subjektiven und der objektiven Wahrscheinlichkeit differenziert und die objektive Wahrscheinlichkeit als Kennziffer herangezogen.

__TOC__

==Risiko==
Eine Lotterie stellt eine Situation mit Risiko dar. Ein Beispiel einer Lotterie ist der Münzwurf mit Wetteinsatz. Die Wahrscheinlichkeiten für Kopf und Zahl sind mit jeweils 0.5 bekannt. Fällt die zuvor gewählte Seite wird der Einsatz gewonnen, fällt er auf die andere Seite ist der Einsatz verloren. 
''Beispiel:'' Daniel und Oskar wetten auf das Ergebnis eines Münzwurfs. Daniel tippt auf Kopf und Oskar auf Zahl. Derjenige dessen Seite oben liegt erhält von dem anderen den Wetteinsatz von 10€. Allgemein kann eine solche Lotterie X in folgender Form dargestellt werden: <math> X=(x_{1}, p_{1};x_{2}, p_{2};...x_{n}, p_{n}) </math>, wobei <math> n = 1,2,3.. </math> und <math> p_{i} > 0 </math> . <math> x_{i} </math> stellt die Auszahlung dar, die mit einer Wahrscheinlichkeit <math> p_{i} </math> eintritt. In dem Fall des Münzwurfs würde dies folgende Lotterie bedeuten X=(0, 0.5; 10, 0.5).

==Entscheidung unter Unsicherheit==
In der Untersuchung, wie Individuen unter Unsicherheit agieren muss von dem Münzwurf Beispiel abstrahiert werden. Als Beispiel dient nun eine Anlageoption, die mit bekannten Wahrscheinlichkeiten unterschiedliche Werte auszahlt. In der Frage wie das Individuum mit dem Risiko umgeht sind verschiedene Kennzahlen entscheidend. Die zentrale Frage, der im Folgenden nachzugehen ist, ist die Frage nach der Risikoeinstellung der Entscheidungsträger.
Eine Kennzahl bildet hier der '''Erwartungswert''', beziehungsweise der '''Nutzen des Erwartungswertes'''.
''Beispiel'': Die Anlage bringt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 einen Gewinn von 5 und mit der Gegenwahrscheinlichkeit gehen die investierten 5 verloren, der Gewinn beträgt also -5. Die Anlage hat demnach einen Erwartungswert von 0. Genauso gut könnte das Individuum also vermeintlich gar nicht investieren und sich dem Risiko nicht aussetzen. Die Investition in die Anlage ist jedoch nicht grundsätzlich irrational. Dafür ist der erwartete Nutzen aus der Lotterie wesentlich. Der '''Erwartungsnutzen''' betrachtet nicht die Überlegung welche Auszahlung, sondern welcher Nutzen von der Lotterie erwartet wird. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 erfährt das Individuum einen Nutzen von der Auszahlung -5 [U(-5)] und mit einer Wahrscheinlichkeit 0.5 einen Nutzen von der Auszahlung 5 [U(5)]. Ist der Nutzen des Erwartungswertes U(0) größer als der Erwartungsnutzen, sollte das Individuum zum Beispiel nicht in die Anlage investieren.
 
 
Im Grunde werden in dem Beispiel zwei Anlagemöglichkeiten miteinander verglichen. Zum einen die Lotterie X=(0.5, -5; 0.5, 5) und zum anderen die Lotterie Y=(0, 1). Eine unsichere Anlagemöglichkeit mit einer sicheren, deren beider Erwartungswerte identisch bei 0 liegen. Dementsprechend können auch andere Lotterien miteinander verglichen werden, deren Erwartungswerte nicht identisch sind. Je nach Modellierung muss jedoch auf den Kontext geachtet werden um etwas über die Risikopräferenzen, die in der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Nutzenfunktion]] dargestellt sind, sagen zu können. Entscheidet sich ein Individuum beispielsweise für eine Lotterie mit einem größeren Erwartungswert, so kann unter der Annahme der Rationalität keine Aussage über die Risikopräferenzen getätigt werden. Entscheidet sich jedoch ein Individuum für eine sicherere Option mit einem geringeren Erwartungswert und handelt dabei rational, ist diese Person [[Risiko und Risikoeinstellung#Risikoaversion|risikoavers]].

==Risikofreude==
Risikofreude ist die Präferenz für ein risikoreiches Einkommen gegenüber einem sicheren Einkommen mit dem gleichen Erwartungswert. Ein solches rationales Individuum erfährt demnach aus der unsicheren Lotterie einen größeren Nutzen als aus der Auszahlung des Erwartungswertes. Der Erwartungsnutzen ist größer als der Nutzen des Erwartungswertes. 
 
E[U] > U[E] 
 
Grafisch ist dies durch eine konvexe Nutzenfunktion möglich. Mathematisch ist die zweite Ableitung der Nutzenfunktion größer 0: 
 
<big> <math display="inline"> \frac{\part^{2} U(x)}{\part^{2} x} </math> > 0 </big> 
 
[[Datei:Risikofreude.png|500px|rahmenlos]] 
 
In dem grafischen Beispiel wird eine Lotterie X, X=(0.5, 10; 0.5, 30), betrachtet. Der Erwartungswert der Lotterie lautet 20 und der Nutzen des Erwartungswert liegt auf der grünen [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Nutzenfunktion]]. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 erfährt das Individuum einen Nutzen von 10, U(10), und mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 einen Nutzen von 30, U(30). Der erwartete Nutzen der Lotterie liegt auf der gestrichelten Verbindungslinie von U(10) zu U(30) und ist größer als der Nutzen des Erwartungswertes. Ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der beiden Auszahlungen verändert, so liegt der Erwartungsnutzen weiterhin auf der gestrichelten Verbindungslinie und ist in die Richtung der größeren Wahrscheinlichkeit verschoben. Die Risikoeinstellung des Individuums ist davon nicht betroffen.
Risikofreudige Personen haben einen [[Marginale Sichtweise| zunehmenden Grenznutzen des Einkommens]]. Jede Einheit des Einkommens mehr erhöht das Nutzenniveau und dies stärker als die Einheit vorher. Die Chance auf ein deutlich größeres Einkommen wiegt schwerer als die Gefahr weniger Einkommen zu erhalten.

==Risikoneutralität==
Personen, die risikoneutral sind, sind indifferent zwischen dem unsicheren Einkommen und dem sicheren Einkommen mit demselben Erwartungswert. Der Erwartungsnutzen, also der Nutzen, der von der Lotterie erwartet werden kann, ist genauso groß wie der Nutzen des Erwartungswertes. 
 
E[U] = U[E] 
 
Mathematisch müssen die beiden Werte identisch sein und auf der Nutzenfunktion liegen. Dies kommt durch eine lineare Nutzenfunktion zustande. Die zweite Ableitung der Nutzenfunktion muss gleich null sein: 
 
<big> <math display="inline"> \frac{\part^{2} U(x)}{\part^{2} x} </math> = 0 </big> 
 
[[Datei:Risikoneutralität.png|500px|rahmenlos]] 
 
Dieselbe Lotterie X, die bereits bei der [[Risiko und Risikoeinstellung#Risikofreude|Risikofreude]] eine Rolle spielte, sieht mit der Nutzenfunktion einer risikoneutralen Person wie oben ersichtlich aus. Der Erwartungsnutzen ist genauso groß wie der Nutzen des Erwartungswertes (die Nutzenniveaus liegen aufeinander) und für die Person spielt es keine Rolle, ob sie den Erwartungswert der Lotterie ausgezahlt bekommt oder ob sie an der Lotterie teilnimmt.

==Risikoaversion==
Risikoaversion ist die Präferenz für ein sicheres Einkommen gegenüber einem risikobehafteten Einkommen mit demselben Erwartungswert. Eine risikoaverse Person erfährt demnach einen größeren Nutzen aus dem sicheren Einkommen als aus der Lotterie, die im Erwartungswert dasselbe Einkommen auszahlt. Der Nutzen des Erwartungswertes ist größer als der Erwartungsnutzen, die Nutzenfunktion ist somit konkav. 
 
E[U] < U[E] 
 
<big> <math display="inline"> \frac{\part^{2} U(x)}{\part^{2} x} </math> < 0 </big> 
 
[[Datei:Risikoaversion.png|500px|rahmenlos]] 
 
Der Erwartungsnutzen der Lotterie, der je nach Wahrscheinlichkeitsverteilung irgendwo auf der gestrichelten Verbindungslinie der beiden Nutzenniveaus liegt, liegt unter dem Nutzen, den der Erwartungswert der Lotterie bedeutet. Die Gefahr weniger zu erhalten, wiegt schwerer als die Chance mehr zu erhalten. Dies liegt am [[Marginale Sichtweise|abnehmenden Grenznutzen des Einkommens]]. Zusätzliches Einkommen erhöht das Nutzenniveau, dies jedoch weniger als die Einheit vorher.

==Sicherheitsäquivalent==
Das Sicherheitsäquivalent (SÄ) ist das (sichere) Einkommen, dessen Nutzen äquivalent zu dem erwarteten Nutzen der Lotterie ist. Dementsprechend gilt U(SÄ)=E(U). Um das Sicherheitsäquivalent mathematisch herauszufinden, gilt es die Nutzenfunktion mit dem erwarteten Nutzen des unsicheren Einkommens gleichzusetzen und nach der unabhängigen Variable umzustellen. Grafisch kann das Sicherheitsäquivalent wie folgt dargestellt werden: 
 
[[Datei:SÄ.png|500px|rahmenlos]] 
 
Aus den unterschiedlichen Nutzenfunktionen ergeben sich folgende Zusammenhänge: 
SÄ - E[X] < 0 risikoavers 
SÄ - E[X] = 0 risikoneutral 
SÄ - E[X] > 0 risikofreudig 
 
''Beispiel'': In einer Lohnverhandlung für einen Nebenjob wird dem Bewerber ein Gehaltsmodell vorgestellt. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 erhält er ein Jahresgehalt von 10 und mit der Wahrscheinlichkeit von 0.5 erhält er ein Jahresgehalt von 30. Alternativ wird er gefragt, ob er dieses Gehaltsmodell gegen ein Gehalt von sicheren 5 pro Jahr eintauschen möchte. Sehr wahrscheinlich lautet seine Antwort nein. Auch bei sicheren 10 lautet seine Antwort vermutlich nein. Das Sicherheitsäquivalent ist die erste Summe, bei der der Bewerber ja sagt, da er bei dieser Summe einen gleich großen Nutzen wie durch das unsichere Gehaltsmodell erfährt.

==Risikoprämie==
Die Risikoprämie (RP) ist die maximale Geldsumme, die eine risikoaverse Person zur Vermeidung eines Risikos zu zahlen bereit ist. Die maximale Geldsumme ist die Differenz des Erwartungswert der Auszahlung und dem [[Risiko und Risikoeinstellung#Sicherheitsäquivalenz|Sicherheitsäquivalent]] einer risikoaversen Person.
 
Im ''Beispiel'' von oben ist der Erwartungswert der beiden Gehaltsmöglichkeiten 20. Im Beispiel ist der Bewerber eine risikoaverse Person, weshalb die Differenz E[X] - SÄ größer null und daher positiv ist. Das Sicherheitsäquivalent ist das sichere Gehalt, das einen identisch großen Nutzen wie das unsichere Gehaltsmodell liefert (das sichere Äquivalent zur unsicheren Option). Der Bewerber ist bereit die Differenz zu zahlen, um der Unsicherheit zu entgehen und bleibt gleichzeitig auf demselben Nutzenniveau.

==Versicherungsprämie==
Die Versicherungsprämie ist eine Prämie, die gezahlt werden muss, um sich gegen die Unsicherheit zu versichern. Die maximale Zahlungsbereitschaft für eine solche Versicherung hängt von dem erwarteten Schaden und der Risikoeinstellung ab. Eine Person die risikoneutral ist, ist maximal bereit den erwarteten Schaden als Versicherungsprämie zu zahlen. Eine risikoaverse Person ist zum erwarteten Schaden zusätzlich bereit die Risikoprämie, also die Summe, um das Risiko zu vermeiden, zu zahlen. 
VP = RP + erwarteter Schaden 
Eine weitere Möglichkeit die maximale Zahlungsbereitschaft zu berechnen ist vom günstigsten Fall (das größte mögliche Einkommen) das Sicherheitsäquivalent abzuziehen. 
 
Ein ''Beispiel'' für die Berechnung der maximalen Zahlungsbereitschaft lautet: Ein Auto kostet 100. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.9 baut der Autofahrer keinen Unfall und das Auto verliert lediglich Wert aufgrund der täglichen Nutzung; der Wiederverkaufswert liegt dann bei 60. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.1 baut der Autofahrer ein Unfall und das Auto verliert vollständig seinen Wert. Angenommen das Sicherheitsäquivalent liegt bei 20, wie viel würde der Autofahrer maximal für eine Versicherung zahlen? 
Die erste Möglichkeit lautet VP = RP + erwarteter Schaden. Die RP berechnet sich aus der Differenz des erwarteten Vermögens und dem Sicherheitsäquivalents (54 - 20 = 34). Der erwartete Schaden berechnet sich aus 0.1 * 60 und lautet 6. Daher 34 + 6 = 40 
Bei der zweiten Möglichkeit muss vom günstigsten Fall (60) das SÄ (20) abgezogen werden. Die maximale Zahlungsbereitschaft lautet 40.

==MC Fragen==

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Nutzenfunktionen bilden risikoaverse Präferenzen ab?
|type="()"}
+ <math> U(x)=ln(x) </math>.
- <math> U(x)=16x+27 </math>.
- <math> U(x)=e^{2x^{2}} </math>.
- <math> U(x)=16x^{2} </math>.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Linda hat zwei Lotterien zur Auswahl. Lotterie A zahlt sicher 8 aus und und Lotterie B zahlt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.75 10 aus, beziehungsweise mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.25 6. Angenommen Linda entscheidet sich für Lotterie B und handelt dabei rational, welche Risikopräferenzen hat Linda?
|type="()"}
+ Lässt sich nicht eindeutig bestimmen.
- Linda ist risikoavers.
- Linda ist risikoneutral.
- Linda ist risikofreudig.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Risikopräferenzen hat eine Person mit folgender Nutzenfunktion für X Werte größer 1? <math> \frac{x^{2}}{e^{x}} </math>
|type="()"}
+ Die Person ist risikoavers.
- Die Person ist risikoneutral.
- Die Person ist risikofreudig.
- Die Risikopräferenzen variieren in x, wobei x > 1.
</quiz>

Risiko und Risikoeinstellung

2023-09-20T13:19:39Z

Uwalz: /* Risiko */

==Definition==
Risiko bezieht sich auf Situationen, in denen unterschiedlich mögliche Ergebnisse eintreten können. Im Standardfall sind hierbei die Wahrscheinlichkeit des Eintretens aller Ergebnisse bekannt. Demnach wird im Folgenden zwischen der subjektiven und der objektiven Wahrscheinlichkeit differenziert und die objektive Wahrscheinlichkeit als Kennziffer herangezogen.

__TOC__

==Risiko==
Eine Lotterie stellt eine Situation mit Risiko dar. Ein Beispiel einer Lotterie ist der Münzwurf mit Wetteinsatz. Die Wahrscheinlichkeiten für Kopf und Zahl sind mit jeweils 0.5 bekannt. Fällt die zuvor gewählte Seite wird der Einsatz gewonnen, fällt er auf die andere Seite ist der Einsatz verloren. 
''Beispiel:'' Daniel und Oskar wetten auf das Ergebnis eines Münzwurfs. Daniel tippt auf Kopf und Oskar auf Zahl. Derjenige dessen Seite oben liegt erhält von dem anderen den Wetteinsatz von 10€. Allgemein kann eine solche Lotterie X in folgender Form dargestellt werden: <math> X=(x_{1}, p_{1};x_{2}, p_{2};...x_{n}, p_{n}) </math>, wobei <math> n = 1,2,3.. </math> und <math> p_{i} > 0 </math> . <math> x_{i} </math> stellt die Auszahlung dar, die mit einer Wahrscheinlichkeit <math> p_{i} </math> eintritt. In dem Fall des Münzwurfs würde dies folgende Lotterie bedeuten X=(0, 0.5; 10, 0.5).

==Entscheidung unter Unsicherheit==
In der Untersuchung, wie Individuen unter Unsicherheit agieren muss von dem Münzwurf Beispiel abstrahiert werden. Als Beispiel dient nun eine Anlageoption, die mit bekannten Wahrscheinlichkeiten unterschiedliche Werte auszahlt. In der Frage wie das Individuum mit dem Risiko umgeht sind verschiedene Kennzahlen entscheidend.
Eine Kennzahl bildet hier der '''Erwartungswert''', beziehungsweise der '''Nutzen des Erwartungswertes'''.
''Beispiel'': Die Anlage bringt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 einen Gewinn von 5 und mit der Gegenwahrscheinlichkeit gehen die investierten 5 verloren, der Gewinn beträgt also -5. Die Anlage hat demnach einen Erwartungswert von 0. Genauso gut könnte das Individuum also vermeintlich gar nicht investieren und sich dem Risiko nicht aussetzen. Die Investition in die Anlage ist jedoch nicht grundsätzlich irrational. Dafür ist der erwartete Nutzen aus der Lotterie wesentlich. Der '''Erwartungsnutzen''' betrachtet nicht die Überlegung welche Auszahlung, sondern welcher Nutzen von der Lotterie erwartet wird. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 erfährt das Individuum einen Nutzen von der Auszahlung -5 [U(-5)] und mit einer Wahrscheinlichkeit 0.5 einen Nutzen von der Auszahlung 5 [U(5)]. Ist der Nutzen des Erwartungswertes U(0) größer als der Erwartungsnutzen, sollte das Individuum zum Beispiel nicht in die Anlage investieren.
 
 
Im Grunde werden in dem Beispiel zwei Anlagemöglichkeiten miteinander verglichen. Zum einen die Lotterie X=(0.5, -5; 0.5, 5) und zum anderen die Lotterie Y=(0, 1). Eine unsichere Anlagemöglichkeit mit einer sicheren, deren beider Erwartungswerte identisch bei 0 liegen. Dementsprechend können auch andere Lotterien miteinander verglichen werden, deren Erwartungswerte nicht identisch sind. Je nach Modellierung muss jedoch auf den Kontext geachtet werden um etwas über die Risikopräferenzen, die in der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Nutzenfunktion]] dargestellt sind, sagen zu können. Entscheidet sich ein Individuum beispielsweise für eine Lotterie mit einem größeren Erwartungswert, so kann unter der Annahme der Rationalität keine Aussage über die Risikopräferenzen getätigt werden. Entscheidet sich jedoch ein Individuum für eine sicherere Option mit einem geringeren Erwartungswert und handelt dabei rational, ist diese Person [[Risiko und Risikoeinstellung#Risikoaversion|risikoavers]].

==Risikofreude==
Risikofreude ist die Präferenz für ein risikoreiches Einkommen gegenüber einem sicheren Einkommen mit dem gleichen Erwartungswert. Ein solches rationales Individuum erfährt demnach aus der unsicheren Lotterie einen größeren Nutzen als aus der Auszahlung des Erwartungswertes. Der Erwartungsnutzen ist größer als der Nutzen des Erwartungswertes. 
 
E[U] > U[E] 
 
Grafisch ist dies durch eine konvexe Nutzenfunktion möglich. Mathematisch ist die zweite Ableitung der Nutzenfunktion größer 0: 
 
<big> <math display="inline"> \frac{\part^{2} U(x)}{\part^{2} x} </math> > 0 </big> 
 
[[Datei:Risikofreude.png|500px|rahmenlos]] 
 
In dem grafischen Beispiel wird eine Lotterie X, X=(0.5, 10; 0.5, 30), betrachtet. Der Erwartungswert der Lotterie lautet 20 und der Nutzen des Erwartungswert liegt auf der grünen [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Nutzenfunktion]]. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 erfährt das Individuum einen Nutzen von 10, U(10), und mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 einen Nutzen von 30, U(30). Der erwartete Nutzen der Lotterie liegt auf der gestrichelten Verbindungslinie von U(10) zu U(30) und ist größer als der Nutzen des Erwartungswertes. Ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der beiden Auszahlungen verändert, so liegt der Erwartungsnutzen weiterhin auf der gestrichelten Verbindungslinie und ist in die Richtung der größeren Wahrscheinlichkeit verschoben. Die Risikoeinstellung des Individuums ist davon nicht betroffen.
Risikofreudige Personen haben einen [[Marginale Sichtweise| zunehmenden Grenznutzen des Einkommens]]. Jede Einheit des Einkommens mehr erhöht das Nutzenniveau und dies stärker als die Einheit vorher. Die Chance auf ein deutlich größeres Einkommen wiegt schwerer als die Gefahr weniger Einkommen zu erhalten.

==Risikoneutralität==
Personen, die risikoneutral sind, sind indifferent zwischen dem unsicheren Einkommen und dem sicheren Einkommen mit demselben Erwartungswert. Der Erwartungsnutzen, also der Nutzen, der von der Lotterie erwartet werden kann, ist genauso groß wie der Nutzen des Erwartungswertes. 
 
E[U] = U[E] 
 
Mathematisch müssen die beiden Werte identisch sein und auf der Nutzenfunktion liegen. Dies kommt durch eine lineare Nutzenfunktion zustande. Die zweite Ableitung der Nutzenfunktion muss gleich null sein: 
 
<big> <math display="inline"> \frac{\part^{2} U(x)}{\part^{2} x} </math> = 0 </big> 
 
[[Datei:Risikoneutralität.png|500px|rahmenlos]] 
 
Dieselbe Lotterie X, die bereits bei der [[Risiko und Risikoeinstellung#Risikofreude|Risikofreude]] eine Rolle spielte, sieht mit der Nutzenfunktion einer risikoneutralen Person wie oben ersichtlich aus. Der Erwartungsnutzen ist genauso groß wie der Nutzen des Erwartungswertes (die Nutzenniveaus liegen aufeinander) und für die Person spielt es keine Rolle, ob sie den Erwartungswert der Lotterie ausgezahlt bekommt oder ob sie an der Lotterie teilnimmt.

==Risikoaversion==
Risikoaversion ist die Präferenz für ein sicheres Einkommen gegenüber einem risikobehafteten Einkommen mit demselben Erwartungswert. Eine risikoaverse Person erfährt demnach einen größeren Nutzen aus dem sicheren Einkommen als aus der Lotterie, die im Erwartungswert dasselbe Einkommen auszahlt. Der Nutzen des Erwartungswertes ist größer als der Erwartungsnutzen, die Nutzenfunktion ist somit konkav. 
 
E[U] < U[E] 
 
<big> <math display="inline"> \frac{\part^{2} U(x)}{\part^{2} x} </math> < 0 </big> 
 
[[Datei:Risikoaversion.png|500px|rahmenlos]] 
 
Der Erwartungsnutzen der Lotterie, der je nach Wahrscheinlichkeitsverteilung irgendwo auf der gestrichelten Verbindungslinie der beiden Nutzenniveaus liegt, liegt unter dem Nutzen, den der Erwartungswert der Lotterie bedeutet. Die Gefahr weniger zu erhalten, wiegt schwerer als die Chance mehr zu erhalten. Dies liegt am [[Marginale Sichtweise|abnehmenden Grenznutzen des Einkommens]]. Zusätzliches Einkommen erhöht das Nutzenniveau, dies jedoch weniger als die Einheit vorher.

==Sicherheitsäquivalent==
Das Sicherheitsäquivalent (SÄ) ist das (sichere) Einkommen, dessen Nutzen äquivalent zu dem erwarteten Nutzen der Lotterie ist. Dementsprechend gilt U(SÄ)=E(U). Um das Sicherheitsäquivalent mathematisch herauszufinden, gilt es die Nutzenfunktion mit dem erwarteten Nutzen des unsicheren Einkommens gleichzusetzen und nach der unabhängigen Variable umzustellen. Grafisch kann das Sicherheitsäquivalent wie folgt dargestellt werden: 
 
[[Datei:SÄ.png|500px|rahmenlos]] 
 
Aus den unterschiedlichen Nutzenfunktionen ergeben sich folgende Zusammenhänge: 
SÄ - E[X] < 0 risikoavers 
SÄ - E[X] = 0 risikoneutral 
SÄ - E[X] > 0 risikofreudig 
 
''Beispiel'': In einer Lohnverhandlung für einen Nebenjob wird dem Bewerber ein Gehaltsmodell vorgestellt. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 erhält er ein Jahresgehalt von 10 und mit der Wahrscheinlichkeit von 0.5 erhält er ein Jahresgehalt von 30. Alternativ wird er gefragt, ob er dieses Gehaltsmodell gegen ein Gehalt von sicheren 5 pro Jahr eintauschen möchte. Sehr wahrscheinlich lautet seine Antwort nein. Auch bei sicheren 10 lautet seine Antwort vermutlich nein. Das Sicherheitsäquivalent ist die erste Summe, bei der der Bewerber ja sagt, da er bei dieser Summe einen gleich großen Nutzen wie durch das unsichere Gehaltsmodell erfährt.

==Risikoprämie==
Die Risikoprämie (RP) ist die maximale Geldsumme, die eine risikoaverse Person zur Vermeidung eines Risikos zu zahlen bereit ist. Die maximale Geldsumme ist die Differenz des Erwartungswert der Auszahlung und dem [[Risiko und Risikoeinstellung#Sicherheitsäquivalenz|Sicherheitsäquivalent]] einer risikoaversen Person.
 
Im ''Beispiel'' von oben ist der Erwartungswert der beiden Gehaltsmöglichkeiten 20. Im Beispiel ist der Bewerber eine risikoaverse Person, weshalb die Differenz E[X] - SÄ größer null und daher positiv ist. Das Sicherheitsäquivalent ist das sichere Gehalt, das einen identisch großen Nutzen wie das unsichere Gehaltsmodell liefert (das sichere Äquivalent zur unsicheren Option). Der Bewerber ist bereit die Differenz zu zahlen, um der Unsicherheit zu entgehen und bleibt gleichzeitig auf demselben Nutzenniveau.

==Versicherungsprämie==
Die Versicherungsprämie ist eine Prämie, die gezahlt werden muss, um sich gegen die Unsicherheit zu versichern. Die maximale Zahlungsbereitschaft für eine solche Versicherung hängt von dem erwarteten Schaden und der Risikoeinstellung ab. Eine Person die risikoneutral ist, ist maximal bereit den erwarteten Schaden als Versicherungsprämie zu zahlen. Eine risikoaverse Person ist zum erwarteten Schaden zusätzlich bereit die Risikoprämie, also die Summe, um das Risiko zu vermeiden, zu zahlen. 
VP = RP + erwarteter Schaden 
Eine weitere Möglichkeit die maximale Zahlungsbereitschaft zu berechnen ist vom günstigsten Fall (das größte mögliche Einkommen) das Sicherheitsäquivalent abzuziehen. 
 
Ein ''Beispiel'' für die Berechnung der maximalen Zahlungsbereitschaft lautet: Ein Auto kostet 100. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.9 baut der Autofahrer keinen Unfall und das Auto verliert lediglich Wert aufgrund der täglichen Nutzung; der Wiederverkaufswert liegt dann bei 60. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.1 baut der Autofahrer ein Unfall und das Auto verliert vollständig seinen Wert. Angenommen das Sicherheitsäquivalent liegt bei 20, wie viel würde der Autofahrer maximal für eine Versicherung zahlen? 
Die erste Möglichkeit lautet VP = RP + erwarteter Schaden. Die RP berechnet sich aus der Differenz des erwarteten Vermögens und dem Sicherheitsäquivalents (54 - 20 = 34). Der erwartete Schaden berechnet sich aus 0.1 * 60 und lautet 6. Daher 34 + 6 = 40 
Bei der zweiten Möglichkeit muss vom günstigsten Fall (60) das SÄ (20) abgezogen werden. Die maximale Zahlungsbereitschaft lautet 40.

==MC Fragen==

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Nutzenfunktionen bilden risikoaverse Präferenzen ab?
|type="()"}
+ <math> U(x)=ln(x) </math>.
- <math> U(x)=16x+27 </math>.
- <math> U(x)=e^{2x^{2}} </math>.
- <math> U(x)=16x^{2} </math>.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Linda hat zwei Lotterien zur Auswahl. Lotterie A zahlt sicher 8 aus und und Lotterie B zahlt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.75 10 aus, beziehungsweise mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.25 6. Angenommen Linda entscheidet sich für Lotterie B und handelt dabei rational, welche Risikopräferenzen hat Linda?
|type="()"}
+ Lässt sich nicht eindeutig bestimmen.
- Linda ist risikoavers.
- Linda ist risikoneutral.
- Linda ist risikofreudig.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Risikopräferenzen hat eine Person mit folgender Nutzenfunktion für X Werte größer 1? <math> \frac{x^{2}}{e^{x}} </math>
|type="()"}
+ Die Person ist risikoavers.
- Die Person ist risikoneutral.
- Die Person ist risikofreudig.
- Die Risikopräferenzen variieren in x, wobei x > 1.
</quiz>

Risiko und Risikoeinstellung

2023-09-20T13:18:49Z

Uwalz: /* Risiko */

==Definition==
Risiko bezieht sich auf Situationen, in denen unterschiedlich mögliche Ergebnisse eintreten können. Im Standardfall sind hierbei die Wahrscheinlichkeit des Eintretens aller Ergebnisse bekannt. Demnach wird im Folgenden zwischen der subjektiven und der objektiven Wahrscheinlichkeit differenziert und die objektive Wahrscheinlichkeit als Kennziffer herangezogen.

__TOC__

==Risiko==
Eine Lotterie stellt eine Situation mit Risiko dar. Ein Beispiel einer Lotterie ist der Münzwurf mit Wetteinsatz. Die Wahrscheinlichkeiten für Kopf und Zahl sind mit jeweils 0.5 bekannt. Fällt die zuvor gewählte Seite wird der Einsatz gewonnen, fällt er auf die andere Seite ist der Einsatz verloren. 
''Beispiel:'' Daniel und Oskar wetten auf das Ergebnis eines Münzwurfs. Daniel tippt auf Kopf und Oskar auf Zahl. Derjenige dessen Seite oben liegt erhält von dem anderen den Wetteinsatz von 10€. Allgemein kann eine solche Lotterie X in folgender Form dargestellt werden: <math> X=(x_{1}, p_{1};x_{2}, p_{2};...x_{n}, p_{n}) </math>, wobei <math> n \in \mathbb{R} </math> und <math> p_{i} > 0 </math> . <math> x_{i} </math> stellt die Auszahlung dar, die mit einer Wahrscheinlichkeit <math> p_{i} </math> eintritt. In dem Fall des Münzwurfs würde dies folgende Lotterie bedeuten X=(0, 0.5; 10, 0.5).

==Entscheidung unter Unsicherheit==
In der Untersuchung, wie Individuen unter Unsicherheit agieren muss von dem Münzwurf Beispiel abstrahiert werden. Als Beispiel dient nun eine Anlageoption, die mit bekannten Wahrscheinlichkeiten unterschiedliche Werte auszahlt. In der Frage wie das Individuum mit dem Risiko umgeht sind verschiedene Kennzahlen entscheidend.
Eine Kennzahl bildet hier der '''Erwartungswert''', beziehungsweise der '''Nutzen des Erwartungswertes'''.
''Beispiel'': Die Anlage bringt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 einen Gewinn von 5 und mit der Gegenwahrscheinlichkeit gehen die investierten 5 verloren, der Gewinn beträgt also -5. Die Anlage hat demnach einen Erwartungswert von 0. Genauso gut könnte das Individuum also vermeintlich gar nicht investieren und sich dem Risiko nicht aussetzen. Die Investition in die Anlage ist jedoch nicht grundsätzlich irrational. Dafür ist der erwartete Nutzen aus der Lotterie wesentlich. Der '''Erwartungsnutzen''' betrachtet nicht die Überlegung welche Auszahlung, sondern welcher Nutzen von der Lotterie erwartet wird. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 erfährt das Individuum einen Nutzen von der Auszahlung -5 [U(-5)] und mit einer Wahrscheinlichkeit 0.5 einen Nutzen von der Auszahlung 5 [U(5)]. Ist der Nutzen des Erwartungswertes U(0) größer als der Erwartungsnutzen, sollte das Individuum zum Beispiel nicht in die Anlage investieren.
 
 
Im Grunde werden in dem Beispiel zwei Anlagemöglichkeiten miteinander verglichen. Zum einen die Lotterie X=(0.5, -5; 0.5, 5) und zum anderen die Lotterie Y=(0, 1). Eine unsichere Anlagemöglichkeit mit einer sicheren, deren beider Erwartungswerte identisch bei 0 liegen. Dementsprechend können auch andere Lotterien miteinander verglichen werden, deren Erwartungswerte nicht identisch sind. Je nach Modellierung muss jedoch auf den Kontext geachtet werden um etwas über die Risikopräferenzen, die in der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Nutzenfunktion]] dargestellt sind, sagen zu können. Entscheidet sich ein Individuum beispielsweise für eine Lotterie mit einem größeren Erwartungswert, so kann unter der Annahme der Rationalität keine Aussage über die Risikopräferenzen getätigt werden. Entscheidet sich jedoch ein Individuum für eine sicherere Option mit einem geringeren Erwartungswert und handelt dabei rational, ist diese Person [[Risiko und Risikoeinstellung#Risikoaversion|risikoavers]].

==Risikofreude==
Risikofreude ist die Präferenz für ein risikoreiches Einkommen gegenüber einem sicheren Einkommen mit dem gleichen Erwartungswert. Ein solches rationales Individuum erfährt demnach aus der unsicheren Lotterie einen größeren Nutzen als aus der Auszahlung des Erwartungswertes. Der Erwartungsnutzen ist größer als der Nutzen des Erwartungswertes. 
 
E[U] > U[E] 
 
Grafisch ist dies durch eine konvexe Nutzenfunktion möglich. Mathematisch ist die zweite Ableitung der Nutzenfunktion größer 0: 
 
<big> <math display="inline"> \frac{\part^{2} U(x)}{\part^{2} x} </math> > 0 </big> 
 
[[Datei:Risikofreude.png|500px|rahmenlos]] 
 
In dem grafischen Beispiel wird eine Lotterie X, X=(0.5, 10; 0.5, 30), betrachtet. Der Erwartungswert der Lotterie lautet 20 und der Nutzen des Erwartungswert liegt auf der grünen [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Nutzenfunktion]]. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 erfährt das Individuum einen Nutzen von 10, U(10), und mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 einen Nutzen von 30, U(30). Der erwartete Nutzen der Lotterie liegt auf der gestrichelten Verbindungslinie von U(10) zu U(30) und ist größer als der Nutzen des Erwartungswertes. Ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der beiden Auszahlungen verändert, so liegt der Erwartungsnutzen weiterhin auf der gestrichelten Verbindungslinie und ist in die Richtung der größeren Wahrscheinlichkeit verschoben. Die Risikoeinstellung des Individuums ist davon nicht betroffen.
Risikofreudige Personen haben einen [[Marginale Sichtweise| zunehmenden Grenznutzen des Einkommens]]. Jede Einheit des Einkommens mehr erhöht das Nutzenniveau und dies stärker als die Einheit vorher. Die Chance auf ein deutlich größeres Einkommen wiegt schwerer als die Gefahr weniger Einkommen zu erhalten.

==Risikoneutralität==
Personen, die risikoneutral sind, sind indifferent zwischen dem unsicheren Einkommen und dem sicheren Einkommen mit demselben Erwartungswert. Der Erwartungsnutzen, also der Nutzen, der von der Lotterie erwartet werden kann, ist genauso groß wie der Nutzen des Erwartungswertes. 
 
E[U] = U[E] 
 
Mathematisch müssen die beiden Werte identisch sein und auf der Nutzenfunktion liegen. Dies kommt durch eine lineare Nutzenfunktion zustande. Die zweite Ableitung der Nutzenfunktion muss gleich null sein: 
 
<big> <math display="inline"> \frac{\part^{2} U(x)}{\part^{2} x} </math> = 0 </big> 
 
[[Datei:Risikoneutralität.png|500px|rahmenlos]] 
 
Dieselbe Lotterie X, die bereits bei der [[Risiko und Risikoeinstellung#Risikofreude|Risikofreude]] eine Rolle spielte, sieht mit der Nutzenfunktion einer risikoneutralen Person wie oben ersichtlich aus. Der Erwartungsnutzen ist genauso groß wie der Nutzen des Erwartungswertes (die Nutzenniveaus liegen aufeinander) und für die Person spielt es keine Rolle, ob sie den Erwartungswert der Lotterie ausgezahlt bekommt oder ob sie an der Lotterie teilnimmt.

==Risikoaversion==
Risikoaversion ist die Präferenz für ein sicheres Einkommen gegenüber einem risikobehafteten Einkommen mit demselben Erwartungswert. Eine risikoaverse Person erfährt demnach einen größeren Nutzen aus dem sicheren Einkommen als aus der Lotterie, die im Erwartungswert dasselbe Einkommen auszahlt. Der Nutzen des Erwartungswertes ist größer als der Erwartungsnutzen, die Nutzenfunktion ist somit konkav. 
 
E[U] < U[E] 
 
<big> <math display="inline"> \frac{\part^{2} U(x)}{\part^{2} x} </math> < 0 </big> 
 
[[Datei:Risikoaversion.png|500px|rahmenlos]] 
 
Der Erwartungsnutzen der Lotterie, der je nach Wahrscheinlichkeitsverteilung irgendwo auf der gestrichelten Verbindungslinie der beiden Nutzenniveaus liegt, liegt unter dem Nutzen, den der Erwartungswert der Lotterie bedeutet. Die Gefahr weniger zu erhalten, wiegt schwerer als die Chance mehr zu erhalten. Dies liegt am [[Marginale Sichtweise|abnehmenden Grenznutzen des Einkommens]]. Zusätzliches Einkommen erhöht das Nutzenniveau, dies jedoch weniger als die Einheit vorher.

==Sicherheitsäquivalent==
Das Sicherheitsäquivalent (SÄ) ist das (sichere) Einkommen, dessen Nutzen äquivalent zu dem erwarteten Nutzen der Lotterie ist. Dementsprechend gilt U(SÄ)=E(U). Um das Sicherheitsäquivalent mathematisch herauszufinden, gilt es die Nutzenfunktion mit dem erwarteten Nutzen des unsicheren Einkommens gleichzusetzen und nach der unabhängigen Variable umzustellen. Grafisch kann das Sicherheitsäquivalent wie folgt dargestellt werden: 
 
[[Datei:SÄ.png|500px|rahmenlos]] 
 
Aus den unterschiedlichen Nutzenfunktionen ergeben sich folgende Zusammenhänge: 
SÄ - E[X] < 0 risikoavers 
SÄ - E[X] = 0 risikoneutral 
SÄ - E[X] > 0 risikofreudig 
 
''Beispiel'': In einer Lohnverhandlung für einen Nebenjob wird dem Bewerber ein Gehaltsmodell vorgestellt. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 erhält er ein Jahresgehalt von 10 und mit der Wahrscheinlichkeit von 0.5 erhält er ein Jahresgehalt von 30. Alternativ wird er gefragt, ob er dieses Gehaltsmodell gegen ein Gehalt von sicheren 5 pro Jahr eintauschen möchte. Sehr wahrscheinlich lautet seine Antwort nein. Auch bei sicheren 10 lautet seine Antwort vermutlich nein. Das Sicherheitsäquivalent ist die erste Summe, bei der der Bewerber ja sagt, da er bei dieser Summe einen gleich großen Nutzen wie durch das unsichere Gehaltsmodell erfährt.

==Risikoprämie==
Die Risikoprämie (RP) ist die maximale Geldsumme, die eine risikoaverse Person zur Vermeidung eines Risikos zu zahlen bereit ist. Die maximale Geldsumme ist die Differenz des Erwartungswert der Auszahlung und dem [[Risiko und Risikoeinstellung#Sicherheitsäquivalenz|Sicherheitsäquivalent]] einer risikoaversen Person.
 
Im ''Beispiel'' von oben ist der Erwartungswert der beiden Gehaltsmöglichkeiten 20. Im Beispiel ist der Bewerber eine risikoaverse Person, weshalb die Differenz E[X] - SÄ größer null und daher positiv ist. Das Sicherheitsäquivalent ist das sichere Gehalt, das einen identisch großen Nutzen wie das unsichere Gehaltsmodell liefert (das sichere Äquivalent zur unsicheren Option). Der Bewerber ist bereit die Differenz zu zahlen, um der Unsicherheit zu entgehen und bleibt gleichzeitig auf demselben Nutzenniveau.

==Versicherungsprämie==
Die Versicherungsprämie ist eine Prämie, die gezahlt werden muss, um sich gegen die Unsicherheit zu versichern. Die maximale Zahlungsbereitschaft für eine solche Versicherung hängt von dem erwarteten Schaden und der Risikoeinstellung ab. Eine Person die risikoneutral ist, ist maximal bereit den erwarteten Schaden als Versicherungsprämie zu zahlen. Eine risikoaverse Person ist zum erwarteten Schaden zusätzlich bereit die Risikoprämie, also die Summe, um das Risiko zu vermeiden, zu zahlen. 
VP = RP + erwarteter Schaden 
Eine weitere Möglichkeit die maximale Zahlungsbereitschaft zu berechnen ist vom günstigsten Fall (das größte mögliche Einkommen) das Sicherheitsäquivalent abzuziehen. 
 
Ein ''Beispiel'' für die Berechnung der maximalen Zahlungsbereitschaft lautet: Ein Auto kostet 100. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.9 baut der Autofahrer keinen Unfall und das Auto verliert lediglich Wert aufgrund der täglichen Nutzung; der Wiederverkaufswert liegt dann bei 60. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.1 baut der Autofahrer ein Unfall und das Auto verliert vollständig seinen Wert. Angenommen das Sicherheitsäquivalent liegt bei 20, wie viel würde der Autofahrer maximal für eine Versicherung zahlen? 
Die erste Möglichkeit lautet VP = RP + erwarteter Schaden. Die RP berechnet sich aus der Differenz des erwarteten Vermögens und dem Sicherheitsäquivalents (54 - 20 = 34). Der erwartete Schaden berechnet sich aus 0.1 * 60 und lautet 6. Daher 34 + 6 = 40 
Bei der zweiten Möglichkeit muss vom günstigsten Fall (60) das SÄ (20) abgezogen werden. Die maximale Zahlungsbereitschaft lautet 40.

==MC Fragen==

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche der folgenden Nutzenfunktionen bilden risikoaverse Präferenzen ab?
|type="()"}
+ <math> U(x)=ln(x) </math>.
- <math> U(x)=16x+27 </math>.
- <math> U(x)=e^{2x^{2}} </math>.
- <math> U(x)=16x^{2} </math>.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Linda hat zwei Lotterien zur Auswahl. Lotterie A zahlt sicher 8 aus und und Lotterie B zahlt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.75 10 aus, beziehungsweise mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.25 6. Angenommen Linda entscheidet sich für Lotterie B und handelt dabei rational, welche Risikopräferenzen hat Linda?
|type="()"}
+ Lässt sich nicht eindeutig bestimmen.
- Linda ist risikoavers.
- Linda ist risikoneutral.
- Linda ist risikofreudig.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Risikopräferenzen hat eine Person mit folgender Nutzenfunktion für X Werte größer 1? <math> \frac{x^{2}}{e^{x}} </math>
|type="()"}
+ Die Person ist risikoavers.
- Die Person ist risikoneutral.
- Die Person ist risikofreudig.
- Die Risikopräferenzen variieren in x, wobei x > 1.
</quiz>

Präferenzen und Indifferenzkurven

2023-09-14T19:21:08Z

Uwalz: /* Indifferenzkurven der Güterarten */

Die Präferenzen von Individuen bilden ihre Wünsche und Vorlieben ab. Diese Präferenzen werden durch eine Nutzenfunktionen beschrieben. Diese beschreibt den Nutzen den ein Individuum aus dem Konsum von Güterkombinationen erhält. Nutzenfunktionen zwischen Individuen können sich unterscheiden.

__TOC__

==Präferenzen und Nutzenfunktion==
Eine jede Marktteilnehmerin und ein jeder Marktteilnehmer verfügen über Präferenzen. Ein Mensch der Vegetarier ist, kauft zum Beispiel kein Fleisch. Für ein Filmabend gibt es Menschen, die lediglich salzige Snacks konsumieren, oder auch welche, für die nur süße Snacks in Frage kommen. Es gibt jedoch auch sicherlich Menschen, denen es egal ist welche Art der Snacks zu sich nehmen. 
Um all diese Präferenzen abbilden zu können werden Nutzenfunktionen modelliert. Hierfür wird sich der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie|Ordinalen Nutzentheorie]] und nicht der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Kardinale Nutzentheorie|kardinalen Nutzentheorie]] bedient. Je nach Präferenzen sehen die Nutzenfunktionen unterschiedlich aus. In jedem Fall sind sie jedoch abhängig von jedem zu betrachteten Gut und der Anzahl der davon konsumierten Einheiten <math display="inline"> U(x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n}) </math>. Der Einfachheit halber, und um die Nutzenfunktion grafisch darstellen zu können, beschränken wir uns auf den Zwei-Güter-Fall <math display="inline"> U(x_{1}, x_{2}) </math>. Als Beispiel sollen uns die beiden Güter C und F dienen, die mit folgender Nutzenfunktion abgebildet werden sollen: 
<math display="inline"> U(F,C)=F^{1/3}*C^{2/3} </math> 
Die Nutzenfunktion kann als normale bivariate Funktion gelesen werden. Anders als im univariaten Fall ist die Funktion von zwei Variablen abhängig. 
[[Datei:Nutzenfunktion.jpg|600px|rahmenlos]]

==Indifferenzkurven==
Eine veränderte Möglichkeit der Darstellung von Nutzenfunktionen sind Indifferenzkurven. Wie der Name bereits aussagt, sind Konsumenten entlang dieser Kurve indifferent in der Konsumentscheidung. Sie erfahren aus den Güterkombinationen, die auf der Indifferenzkurve liegen einen konstant gleich großen Nutzen. Je nach Nutzenniveau liegen die Indifferenzkurven verschoben. Im Beispiel von oben sehen die Indifferenzkurven wie folgt aus: 
[[Datei:Nutzenfunktion2.jpg|600px|rahmenlos]] 
 
In der Grafik oben sind verschiedene Farbverläufe zu sehen, die an verschobene konvexe Funktionen erinnern. Mathematisch erlangt man die Indifferenzkurven, in dem der Nutzen U konstant gehalten (<math> \bar{U} </math>) und nach einer Variablen umgestellt wird (welche auf der horizontale Achse abgebildet werden soll). In der Nutzenfunktion von eben sieht das wie folgt aus: 
<big><math display="inline"> \bar{U}=F^{1/3}*C^{2/3} </math> |: <math display="inline"> F^{1/3} </math> 
<math display="inline"> \frac{\bar{U}}{F^{1/3}}=C^{2/3} </math> |<math> (...)^{3/2} </math> 
<math display="inline"> C=(\frac{\bar{U}}{F^{1/3}})^{3/2} </math> 
<math display="inline"> C=\frac{\bar{U}^{3/2}}{F^{1/2}} </math> </big> 
 
Je nach Nutzenniveau ergibt sich für jeden F Wert einen anderen C Wert. In der untenstehenden Grafik wurden die Indifferenzkurven der ganzzahligen Nutzenniveaus von 1 bis 8 geplotet. 
[[Datei:IndifferenzkurvenRechnung.png|500px|rahmenlos]]

==Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution==
Entlang einer konvexen Indifferenzkurve verändert sich die Steigung der Indifferenzkurve. Für den weiteren Verlauf soll folgende Indifferenzkurven als Beispiel dienen: 
[[Datei:GRS.png|350px|rahmenlos]]
 
 
Bei einem geringen <math> x_{1} </math> Wert ist der <math> x_{2} </math> Wert hoch. Das dazugehörige Konsumgüterbündel befindet sich nahe der <math> x_{2} </math> Achse. Hier ist die Funktion stark fallend (betragsmäßig sehr steil), da beide Güter einen abnehmenden Grenznutzen haben. Je größer der <math> x_{1} </math> Wert wird, desto weniger stark fällt die Funktion. Die Steigung der Indifferenzkurve nimmt betragsmäßig also ab. 
Um die Steigung interpretieren zu könne muss die Definition der Indifferenzkurve herangezogen werden. Entlang der Indifferenzkurve ist der Nutzen konstant. In dem Punkt ist ein Konsument bereit die Güter im Verhältnis der Steigung auszutauschen, ohne sein Nutzenniveau zu verändern.. Ist die Steigung beispielsweise -2, ist er bereit eine marginale Einheit von <math> x_{1} </math> für zwei Einheiten von <math> x_{2} </math> zu tauschen. Je nach Position auf der Indifferenzkurve verändert sich auch das Verhältnis, das der Konsument verlangt. Die Steigung der Indifferenzkurve entspricht dem Verhältnis, zu dem ein Konsument bereit ist, die Güter zu tauschen (Austauschverhältnis). Dies wird auch Grenzrate der Substitution (GRS), beziehungsweise Marginal Rate of Substitution (MRS) genannt. 
Mathematisch kann bei der Bestimmung des [[Haushaltsoptimum|Haushaltsoptimums]] gezeigt werden (durch die totale Differentiation der Nutzenfunktion für ein gegebenes Nutzenniveau), dass die GRS dem Grenznutzenverhältnis der beiden Gütern entspricht. 
<math> GRS_{x_{1},x_{2}}=\frac{\frac{\partial U}{\partial x_{1}}}{\frac{\partial U}{\partial x_{2}}} </math>

==Indifferenzkurven der Güterarten==
Die Indifferenzkurven der verschiedenen Güterarten unterscheiden sich je nach Präferenzen. Häufig wird zwischen den folgenden Güterarten und ihren Indifferenzkurven unterschieden:

'''Perfekte Substitute''' 
Die Nutzenfunktion von [[Perfekten Substituten]] kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=ax_{1}+bx_{2} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. Indifferenzkurven von Perfekten Substituten weisen als Eigenschaft auf, dass sie die Achsen berühren und einen linearen Verlauf haben. Das bedeutet: sie haben eine konstante GRS, da der Grenznutzen beider Güter konstant ist. Wir sprechen auch von perfekten Substituten (i.w.S.) wenn nur die erste Eigenschaft erfüllt ist. 
[[Datei:Perfekte Substitute.png|351px|rahmenlos]] 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>
 
 
'''Perfekte Komplemente''' 
Die Nutzenfunktion von [[Perfekten Komplementen]] kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=min\{ax_{1},bx_{2}\} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. Grafisch sind die Indifferenzkurven in L Form, es wird auch häufig von Leontief Präferenzen gesprochen. Diese Güter stiften nur einen Nutzen, wenn sie in einem festen Verhältnis konsumiert werden. Klassische Beispiele sind Schuhe, Socken oder Handschuhe. 
[[Datei:Perfekte Komplemente.png|351px|rahmenlos]] 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>
 
 
'''Imperfekte Subtitute''' 
Die Nutzenfunktion von [[Imperfekte Substitute]], deren zentrale Eigenschaft ist, dass die Indifferenzkurven nicht die Achsen schneiden, kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=x_{1}^{a}*x_{2}^{b} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. 
[[Datei:ImperfekteSubstitute.png|350px|rahmenlos]]
 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie könnte die Nutzenfunktion von Brigitte aussehen, wenn sie immer 3 Packungen Gummibärchen (G) mit einer Packung Chips (C) konsumiert?
|type="()"}
- <math> U(G,C)=min\{G,\frac{1}{3}C\} </math>.
+ <math> U(G,C)=min\{\frac{1}{3}G,C\} </math>.
- <math> U(G,C)=3G+C </math>.
- <math> U(G,C)=G*3C </math>.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen Peter hat folgende Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^{2}+2y </math>. Welche der folgenden Konsumbündel liegt nicht auf der selben Indifferenzkurve wie die restlichen?
|type="()"}
+ (x, y)=(4, 8).
- (x, y)=(3, 7.5).
- (x, y)=(4.75, 0.71875).
- (x, y)=(2, 10).
- (x, y)=(0, 12).
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Philipp hat eine Nutzenfunktion <math>U(x,y)=x^{0,4}*y^{\frac{3}{5}} </math>. Welche Präferenzen bilden sie ab und welche Eigenschaften haben die Indifferenzkurven?
|type="()"}
+ Imperfekte Substitute, sie berührt die Achsen nicht.
- Perfekte Komplemente, sie berühren die Achsen.
- Perfekte Substitute, sie berühren die Achsen.
- Imperfekte Substitute, sie berühren die Achsen.
- Perfekte Komplemente, alle Eigenschaften dieser Indifferenzkurven sind erfüllt.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen Sigmar hat folgende Nutzenfunktion: <math> U(x,y(x))=x^{0,5}*e^{y(x)} </math>. Wie lautet seine Grenzrate der Substitution (<math>GRS_{x,y}</math>)?
|type="()"}
+ <math>GRS_{x,y}=y'(x)+\frac{1}{2x}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{0,5x^{-0,5}*e^{y(x)}}{x^{0,5}*e^{y(x)}}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{x^{0,5}}{e^{y(x)}}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{1}{2x}</math>.
</quiz>

Präferenzen und Indifferenzkurven

2023-09-14T19:20:37Z

Uwalz: /* Indifferenzkurven der Güterarten */

Die Präferenzen von Individuen bilden ihre Wünsche und Vorlieben ab. Diese Präferenzen werden durch eine Nutzenfunktionen beschrieben. Diese beschreibt den Nutzen den ein Individuum aus dem Konsum von Güterkombinationen erhält. Nutzenfunktionen zwischen Individuen können sich unterscheiden.

__TOC__

==Präferenzen und Nutzenfunktion==
Eine jede Marktteilnehmerin und ein jeder Marktteilnehmer verfügen über Präferenzen. Ein Mensch der Vegetarier ist, kauft zum Beispiel kein Fleisch. Für ein Filmabend gibt es Menschen, die lediglich salzige Snacks konsumieren, oder auch welche, für die nur süße Snacks in Frage kommen. Es gibt jedoch auch sicherlich Menschen, denen es egal ist welche Art der Snacks zu sich nehmen. 
Um all diese Präferenzen abbilden zu können werden Nutzenfunktionen modelliert. Hierfür wird sich der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie|Ordinalen Nutzentheorie]] und nicht der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Kardinale Nutzentheorie|kardinalen Nutzentheorie]] bedient. Je nach Präferenzen sehen die Nutzenfunktionen unterschiedlich aus. In jedem Fall sind sie jedoch abhängig von jedem zu betrachteten Gut und der Anzahl der davon konsumierten Einheiten <math display="inline"> U(x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n}) </math>. Der Einfachheit halber, und um die Nutzenfunktion grafisch darstellen zu können, beschränken wir uns auf den Zwei-Güter-Fall <math display="inline"> U(x_{1}, x_{2}) </math>. Als Beispiel sollen uns die beiden Güter C und F dienen, die mit folgender Nutzenfunktion abgebildet werden sollen: 
<math display="inline"> U(F,C)=F^{1/3}*C^{2/3} </math> 
Die Nutzenfunktion kann als normale bivariate Funktion gelesen werden. Anders als im univariaten Fall ist die Funktion von zwei Variablen abhängig. 
[[Datei:Nutzenfunktion.jpg|600px|rahmenlos]]

==Indifferenzkurven==
Eine veränderte Möglichkeit der Darstellung von Nutzenfunktionen sind Indifferenzkurven. Wie der Name bereits aussagt, sind Konsumenten entlang dieser Kurve indifferent in der Konsumentscheidung. Sie erfahren aus den Güterkombinationen, die auf der Indifferenzkurve liegen einen konstant gleich großen Nutzen. Je nach Nutzenniveau liegen die Indifferenzkurven verschoben. Im Beispiel von oben sehen die Indifferenzkurven wie folgt aus: 
[[Datei:Nutzenfunktion2.jpg|600px|rahmenlos]] 
 
In der Grafik oben sind verschiedene Farbverläufe zu sehen, die an verschobene konvexe Funktionen erinnern. Mathematisch erlangt man die Indifferenzkurven, in dem der Nutzen U konstant gehalten (<math> \bar{U} </math>) und nach einer Variablen umgestellt wird (welche auf der horizontale Achse abgebildet werden soll). In der Nutzenfunktion von eben sieht das wie folgt aus: 
<big><math display="inline"> \bar{U}=F^{1/3}*C^{2/3} </math> |: <math display="inline"> F^{1/3} </math> 
<math display="inline"> \frac{\bar{U}}{F^{1/3}}=C^{2/3} </math> |<math> (...)^{3/2} </math> 
<math display="inline"> C=(\frac{\bar{U}}{F^{1/3}})^{3/2} </math> 
<math display="inline"> C=\frac{\bar{U}^{3/2}}{F^{1/2}} </math> </big> 
 
Je nach Nutzenniveau ergibt sich für jeden F Wert einen anderen C Wert. In der untenstehenden Grafik wurden die Indifferenzkurven der ganzzahligen Nutzenniveaus von 1 bis 8 geplotet. 
[[Datei:IndifferenzkurvenRechnung.png|500px|rahmenlos]]

==Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution==
Entlang einer konvexen Indifferenzkurve verändert sich die Steigung der Indifferenzkurve. Für den weiteren Verlauf soll folgende Indifferenzkurven als Beispiel dienen: 
[[Datei:GRS.png|350px|rahmenlos]]
 
 
Bei einem geringen <math> x_{1} </math> Wert ist der <math> x_{2} </math> Wert hoch. Das dazugehörige Konsumgüterbündel befindet sich nahe der <math> x_{2} </math> Achse. Hier ist die Funktion stark fallend (betragsmäßig sehr steil), da beide Güter einen abnehmenden Grenznutzen haben. Je größer der <math> x_{1} </math> Wert wird, desto weniger stark fällt die Funktion. Die Steigung der Indifferenzkurve nimmt betragsmäßig also ab. 
Um die Steigung interpretieren zu könne muss die Definition der Indifferenzkurve herangezogen werden. Entlang der Indifferenzkurve ist der Nutzen konstant. In dem Punkt ist ein Konsument bereit die Güter im Verhältnis der Steigung auszutauschen, ohne sein Nutzenniveau zu verändern.. Ist die Steigung beispielsweise -2, ist er bereit eine marginale Einheit von <math> x_{1} </math> für zwei Einheiten von <math> x_{2} </math> zu tauschen. Je nach Position auf der Indifferenzkurve verändert sich auch das Verhältnis, das der Konsument verlangt. Die Steigung der Indifferenzkurve entspricht dem Verhältnis, zu dem ein Konsument bereit ist, die Güter zu tauschen (Austauschverhältnis). Dies wird auch Grenzrate der Substitution (GRS), beziehungsweise Marginal Rate of Substitution (MRS) genannt. 
Mathematisch kann bei der Bestimmung des [[Haushaltsoptimum|Haushaltsoptimums]] gezeigt werden (durch die totale Differentiation der Nutzenfunktion für ein gegebenes Nutzenniveau), dass die GRS dem Grenznutzenverhältnis der beiden Gütern entspricht. 
<math> GRS_{x_{1},x_{2}}=\frac{\frac{\partial U}{\partial x_{1}}}{\frac{\partial U}{\partial x_{2}}} </math>

==Indifferenzkurven der Güterarten==
Die Indifferenzkurven der verschiedenen Güterarten unterscheiden sich je nach Präferenzen. Häufig wird zwischen den folgenden Güterarten und ihren Indifferenzkurven unterschieden:

'''Perfekte Substitute''' 
Die Nutzenfunktion von [[Perfekten Substituten]] kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=ax_{1}+bx_{2} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. Indifferenzkurven von Perfekten Substituten weisen als Eigenschaft auf, dass sie die Achsen berühren und einen linearen Verlauf haben. Das bedeutet: sie haben eine konstante GRS, da der Grenznutzen beider Güter konstant ist. Wir sprechen auch von perfekten Substituten (i.w.S.) wenn nur die erste Eigenschaft erfüllt ist. 
[[Datei:Perfekte Substitute.png|351px|rahmenlos]] 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>
 
 
'''Perfekte Komplemente''' 
Die Nutzenfunktion von [[Perfekten Komplementen]] kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=min\{ax_{1},bx_{2}\} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. Grafisch sind die Indifferenzkurven in L Form, es wird auch häufig von Leontief Präferenzen gesprochen. Diese Güter stiften nur einen Nutzen, wenn sie in einem festen Verhältnis konsumiert werden. Klassische Beispiele sind Schuhe, Socken oder Handschuhe. 
[[Datei:Perfekte Komplemente.png|351px|rahmenlos]] 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>
 
 
'''Imperfekte Subtitute''' 
Die Nutzenfunktion von [[Imperfekte Substitute]], deren entrale Eigenschaft ist, dass die Indifferenzkurven nicht die Achsen schneiden, kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=x_{1}^{a}*x_{2}^{b} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. 
[[Datei:ImperfekteSubstitute.png|350px|rahmenlos]]
 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie könnte die Nutzenfunktion von Brigitte aussehen, wenn sie immer 3 Packungen Gummibärchen (G) mit einer Packung Chips (C) konsumiert?
|type="()"}
- <math> U(G,C)=min\{G,\frac{1}{3}C\} </math>.
+ <math> U(G,C)=min\{\frac{1}{3}G,C\} </math>.
- <math> U(G,C)=3G+C </math>.
- <math> U(G,C)=G*3C </math>.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen Peter hat folgende Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^{2}+2y </math>. Welche der folgenden Konsumbündel liegt nicht auf der selben Indifferenzkurve wie die restlichen?
|type="()"}
+ (x, y)=(4, 8).
- (x, y)=(3, 7.5).
- (x, y)=(4.75, 0.71875).
- (x, y)=(2, 10).
- (x, y)=(0, 12).
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Philipp hat eine Nutzenfunktion <math>U(x,y)=x^{0,4}*y^{\frac{3}{5}} </math>. Welche Präferenzen bilden sie ab und welche Eigenschaften haben die Indifferenzkurven?
|type="()"}
+ Imperfekte Substitute, sie berührt die Achsen nicht.
- Perfekte Komplemente, sie berühren die Achsen.
- Perfekte Substitute, sie berühren die Achsen.
- Imperfekte Substitute, sie berühren die Achsen.
- Perfekte Komplemente, alle Eigenschaften dieser Indifferenzkurven sind erfüllt.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen Sigmar hat folgende Nutzenfunktion: <math> U(x,y(x))=x^{0,5}*e^{y(x)} </math>. Wie lautet seine Grenzrate der Substitution (<math>GRS_{x,y}</math>)?
|type="()"}
+ <math>GRS_{x,y}=y'(x)+\frac{1}{2x}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{0,5x^{-0,5}*e^{y(x)}}{x^{0,5}*e^{y(x)}}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{x^{0,5}}{e^{y(x)}}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{1}{2x}</math>.
</quiz>

Präferenzen und Indifferenzkurven

2023-09-14T19:18:46Z

Uwalz: /* Indifferenzkurven der Güterarten */

Die Präferenzen von Individuen bilden ihre Wünsche und Vorlieben ab. Diese Präferenzen werden durch eine Nutzenfunktionen beschrieben. Diese beschreibt den Nutzen den ein Individuum aus dem Konsum von Güterkombinationen erhält. Nutzenfunktionen zwischen Individuen können sich unterscheiden.

__TOC__

==Präferenzen und Nutzenfunktion==
Eine jede Marktteilnehmerin und ein jeder Marktteilnehmer verfügen über Präferenzen. Ein Mensch der Vegetarier ist, kauft zum Beispiel kein Fleisch. Für ein Filmabend gibt es Menschen, die lediglich salzige Snacks konsumieren, oder auch welche, für die nur süße Snacks in Frage kommen. Es gibt jedoch auch sicherlich Menschen, denen es egal ist welche Art der Snacks zu sich nehmen. 
Um all diese Präferenzen abbilden zu können werden Nutzenfunktionen modelliert. Hierfür wird sich der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie|Ordinalen Nutzentheorie]] und nicht der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Kardinale Nutzentheorie|kardinalen Nutzentheorie]] bedient. Je nach Präferenzen sehen die Nutzenfunktionen unterschiedlich aus. In jedem Fall sind sie jedoch abhängig von jedem zu betrachteten Gut und der Anzahl der davon konsumierten Einheiten <math display="inline"> U(x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n}) </math>. Der Einfachheit halber, und um die Nutzenfunktion grafisch darstellen zu können, beschränken wir uns auf den Zwei-Güter-Fall <math display="inline"> U(x_{1}, x_{2}) </math>. Als Beispiel sollen uns die beiden Güter C und F dienen, die mit folgender Nutzenfunktion abgebildet werden sollen: 
<math display="inline"> U(F,C)=F^{1/3}*C^{2/3} </math> 
Die Nutzenfunktion kann als normale bivariate Funktion gelesen werden. Anders als im univariaten Fall ist die Funktion von zwei Variablen abhängig. 
[[Datei:Nutzenfunktion.jpg|600px|rahmenlos]]

==Indifferenzkurven==
Eine veränderte Möglichkeit der Darstellung von Nutzenfunktionen sind Indifferenzkurven. Wie der Name bereits aussagt, sind Konsumenten entlang dieser Kurve indifferent in der Konsumentscheidung. Sie erfahren aus den Güterkombinationen, die auf der Indifferenzkurve liegen einen konstant gleich großen Nutzen. Je nach Nutzenniveau liegen die Indifferenzkurven verschoben. Im Beispiel von oben sehen die Indifferenzkurven wie folgt aus: 
[[Datei:Nutzenfunktion2.jpg|600px|rahmenlos]] 
 
In der Grafik oben sind verschiedene Farbverläufe zu sehen, die an verschobene konvexe Funktionen erinnern. Mathematisch erlangt man die Indifferenzkurven, in dem der Nutzen U konstant gehalten (<math> \bar{U} </math>) und nach einer Variablen umgestellt wird (welche auf der horizontale Achse abgebildet werden soll). In der Nutzenfunktion von eben sieht das wie folgt aus: 
<big><math display="inline"> \bar{U}=F^{1/3}*C^{2/3} </math> |: <math display="inline"> F^{1/3} </math> 
<math display="inline"> \frac{\bar{U}}{F^{1/3}}=C^{2/3} </math> |<math> (...)^{3/2} </math> 
<math display="inline"> C=(\frac{\bar{U}}{F^{1/3}})^{3/2} </math> 
<math display="inline"> C=\frac{\bar{U}^{3/2}}{F^{1/2}} </math> </big> 
 
Je nach Nutzenniveau ergibt sich für jeden F Wert einen anderen C Wert. In der untenstehenden Grafik wurden die Indifferenzkurven der ganzzahligen Nutzenniveaus von 1 bis 8 geplotet. 
[[Datei:IndifferenzkurvenRechnung.png|500px|rahmenlos]]

==Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution==
Entlang einer konvexen Indifferenzkurve verändert sich die Steigung der Indifferenzkurve. Für den weiteren Verlauf soll folgende Indifferenzkurven als Beispiel dienen: 
[[Datei:GRS.png|350px|rahmenlos]]
 
 
Bei einem geringen <math> x_{1} </math> Wert ist der <math> x_{2} </math> Wert hoch. Das dazugehörige Konsumgüterbündel befindet sich nahe der <math> x_{2} </math> Achse. Hier ist die Funktion stark fallend (betragsmäßig sehr steil), da beide Güter einen abnehmenden Grenznutzen haben. Je größer der <math> x_{1} </math> Wert wird, desto weniger stark fällt die Funktion. Die Steigung der Indifferenzkurve nimmt betragsmäßig also ab. 
Um die Steigung interpretieren zu könne muss die Definition der Indifferenzkurve herangezogen werden. Entlang der Indifferenzkurve ist der Nutzen konstant. In dem Punkt ist ein Konsument bereit die Güter im Verhältnis der Steigung auszutauschen, ohne sein Nutzenniveau zu verändern.. Ist die Steigung beispielsweise -2, ist er bereit eine marginale Einheit von <math> x_{1} </math> für zwei Einheiten von <math> x_{2} </math> zu tauschen. Je nach Position auf der Indifferenzkurve verändert sich auch das Verhältnis, das der Konsument verlangt. Die Steigung der Indifferenzkurve entspricht dem Verhältnis, zu dem ein Konsument bereit ist, die Güter zu tauschen (Austauschverhältnis). Dies wird auch Grenzrate der Substitution (GRS), beziehungsweise Marginal Rate of Substitution (MRS) genannt. 
Mathematisch kann bei der Bestimmung des [[Haushaltsoptimum|Haushaltsoptimums]] gezeigt werden (durch die totale Differentiation der Nutzenfunktion für ein gegebenes Nutzenniveau), dass die GRS dem Grenznutzenverhältnis der beiden Gütern entspricht. 
<math> GRS_{x_{1},x_{2}}=\frac{\frac{\partial U}{\partial x_{1}}}{\frac{\partial U}{\partial x_{2}}} </math>

==Indifferenzkurven der Güterarten==
Die Indifferenzkurven der verschiedenen Güterarten unterscheiden sich je nach Präferenzen. Häufig wird zwischen den folgenden Güterarten und ihren Indifferenzkurven unterschieden:

'''Perfekte Substitute''' 
Die Nutzenfunktion von [[Perfekten Substituten]] kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=ax_{1}+bx_{2} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. Indifferenzkurven von Perfekten Substituten weisen als Eigenschaft auf, dass sie die Achsen berühren und einen linearen Verlauf haben. Das bedeutet: sie haben eine konstante GRS, da der Grenznutzen beider Güter konstant ist. Wir sprechen auch von perfekten Substituten (i.w.S.) wenn nur die erste Eigenschaft erfüllt ist. 
[[Datei:Perfekte Substitute.png|351px|rahmenlos]] 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>
 
 
'''Perfekte Komplemente''' 
Die Nutzenfunktion von [[Perfekten Komplementen]] kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=min\{ax_{1},bx_{2}\} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. Grafisch sind die Indifferenzkurven in L Form, es wird auch häufig von Leontief Präferenzen gesprochen. Diese Güter stiften nur einen Nutzen, wenn sie in einem festen Verhältnis konsumiert werden. Klassische Beispiele sind Schuhe, Socken oder Handschuhe. 
[[Datei:Perfekte Komplemente.png|351px|rahmenlos]] 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>
 
 
'''Imperfekte Subtitute''' 
Die Nutzenfunktion von [[Imperfekte Substitute]] kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=x_{1}^{a}*x_{2}^{b} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. Die zentrale Eigenschaft ist, dass die Indifferenzkurven nicht die Achsen schneiden. 
[[Datei:ImperfekteSubstitute.png|350px|rahmenlos]]
 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie könnte die Nutzenfunktion von Brigitte aussehen, wenn sie immer 3 Packungen Gummibärchen (G) mit einer Packung Chips (C) konsumiert?
|type="()"}
- <math> U(G,C)=min\{G,\frac{1}{3}C\} </math>.
+ <math> U(G,C)=min\{\frac{1}{3}G,C\} </math>.
- <math> U(G,C)=3G+C </math>.
- <math> U(G,C)=G*3C </math>.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen Peter hat folgende Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^{2}+2y </math>. Welche der folgenden Konsumbündel liegt nicht auf der selben Indifferenzkurve wie die restlichen?
|type="()"}
+ (x, y)=(4, 8).
- (x, y)=(3, 7.5).
- (x, y)=(4.75, 0.71875).
- (x, y)=(2, 10).
- (x, y)=(0, 12).
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Philipp hat eine Nutzenfunktion <math>U(x,y)=x^{0,4}*y^{\frac{3}{5}} </math>. Welche Präferenzen bilden sie ab und welche Eigenschaften haben die Indifferenzkurven?
|type="()"}
+ Imperfekte Substitute, sie berührt die Achsen nicht.
- Perfekte Komplemente, sie berühren die Achsen.
- Perfekte Substitute, sie berühren die Achsen.
- Imperfekte Substitute, sie berühren die Achsen.
- Perfekte Komplemente, alle Eigenschaften dieser Indifferenzkurven sind erfüllt.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen Sigmar hat folgende Nutzenfunktion: <math> U(x,y(x))=x^{0,5}*e^{y(x)} </math>. Wie lautet seine Grenzrate der Substitution (<math>GRS_{x,y}</math>)?
|type="()"}
+ <math>GRS_{x,y}=y'(x)+\frac{1}{2x}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{0,5x^{-0,5}*e^{y(x)}}{x^{0,5}*e^{y(x)}}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{x^{0,5}}{e^{y(x)}}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{1}{2x}</math>.
</quiz>

Präferenzen und Indifferenzkurven

2023-09-14T19:16:56Z

Uwalz: /* Indifferenzkurven der Güterarten */

Die Präferenzen von Individuen bilden ihre Wünsche und Vorlieben ab. Diese Präferenzen werden durch eine Nutzenfunktionen beschrieben. Diese beschreibt den Nutzen den ein Individuum aus dem Konsum von Güterkombinationen erhält. Nutzenfunktionen zwischen Individuen können sich unterscheiden.

__TOC__

==Präferenzen und Nutzenfunktion==
Eine jede Marktteilnehmerin und ein jeder Marktteilnehmer verfügen über Präferenzen. Ein Mensch der Vegetarier ist, kauft zum Beispiel kein Fleisch. Für ein Filmabend gibt es Menschen, die lediglich salzige Snacks konsumieren, oder auch welche, für die nur süße Snacks in Frage kommen. Es gibt jedoch auch sicherlich Menschen, denen es egal ist welche Art der Snacks zu sich nehmen. 
Um all diese Präferenzen abbilden zu können werden Nutzenfunktionen modelliert. Hierfür wird sich der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie|Ordinalen Nutzentheorie]] und nicht der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Kardinale Nutzentheorie|kardinalen Nutzentheorie]] bedient. Je nach Präferenzen sehen die Nutzenfunktionen unterschiedlich aus. In jedem Fall sind sie jedoch abhängig von jedem zu betrachteten Gut und der Anzahl der davon konsumierten Einheiten <math display="inline"> U(x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n}) </math>. Der Einfachheit halber, und um die Nutzenfunktion grafisch darstellen zu können, beschränken wir uns auf den Zwei-Güter-Fall <math display="inline"> U(x_{1}, x_{2}) </math>. Als Beispiel sollen uns die beiden Güter C und F dienen, die mit folgender Nutzenfunktion abgebildet werden sollen: 
<math display="inline"> U(F,C)=F^{1/3}*C^{2/3} </math> 
Die Nutzenfunktion kann als normale bivariate Funktion gelesen werden. Anders als im univariaten Fall ist die Funktion von zwei Variablen abhängig. 
[[Datei:Nutzenfunktion.jpg|600px|rahmenlos]]

==Indifferenzkurven==
Eine veränderte Möglichkeit der Darstellung von Nutzenfunktionen sind Indifferenzkurven. Wie der Name bereits aussagt, sind Konsumenten entlang dieser Kurve indifferent in der Konsumentscheidung. Sie erfahren aus den Güterkombinationen, die auf der Indifferenzkurve liegen einen konstant gleich großen Nutzen. Je nach Nutzenniveau liegen die Indifferenzkurven verschoben. Im Beispiel von oben sehen die Indifferenzkurven wie folgt aus: 
[[Datei:Nutzenfunktion2.jpg|600px|rahmenlos]] 
 
In der Grafik oben sind verschiedene Farbverläufe zu sehen, die an verschobene konvexe Funktionen erinnern. Mathematisch erlangt man die Indifferenzkurven, in dem der Nutzen U konstant gehalten (<math> \bar{U} </math>) und nach einer Variablen umgestellt wird (welche auf der horizontale Achse abgebildet werden soll). In der Nutzenfunktion von eben sieht das wie folgt aus: 
<big><math display="inline"> \bar{U}=F^{1/3}*C^{2/3} </math> |: <math display="inline"> F^{1/3} </math> 
<math display="inline"> \frac{\bar{U}}{F^{1/3}}=C^{2/3} </math> |<math> (...)^{3/2} </math> 
<math display="inline"> C=(\frac{\bar{U}}{F^{1/3}})^{3/2} </math> 
<math display="inline"> C=\frac{\bar{U}^{3/2}}{F^{1/2}} </math> </big> 
 
Je nach Nutzenniveau ergibt sich für jeden F Wert einen anderen C Wert. In der untenstehenden Grafik wurden die Indifferenzkurven der ganzzahligen Nutzenniveaus von 1 bis 8 geplotet. 
[[Datei:IndifferenzkurvenRechnung.png|500px|rahmenlos]]

==Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution==
Entlang einer konvexen Indifferenzkurve verändert sich die Steigung der Indifferenzkurve. Für den weiteren Verlauf soll folgende Indifferenzkurven als Beispiel dienen: 
[[Datei:GRS.png|350px|rahmenlos]]
 
 
Bei einem geringen <math> x_{1} </math> Wert ist der <math> x_{2} </math> Wert hoch. Das dazugehörige Konsumgüterbündel befindet sich nahe der <math> x_{2} </math> Achse. Hier ist die Funktion stark fallend (betragsmäßig sehr steil), da beide Güter einen abnehmenden Grenznutzen haben. Je größer der <math> x_{1} </math> Wert wird, desto weniger stark fällt die Funktion. Die Steigung der Indifferenzkurve nimmt betragsmäßig also ab. 
Um die Steigung interpretieren zu könne muss die Definition der Indifferenzkurve herangezogen werden. Entlang der Indifferenzkurve ist der Nutzen konstant. In dem Punkt ist ein Konsument bereit die Güter im Verhältnis der Steigung auszutauschen, ohne sein Nutzenniveau zu verändern.. Ist die Steigung beispielsweise -2, ist er bereit eine marginale Einheit von <math> x_{1} </math> für zwei Einheiten von <math> x_{2} </math> zu tauschen. Je nach Position auf der Indifferenzkurve verändert sich auch das Verhältnis, das der Konsument verlangt. Die Steigung der Indifferenzkurve entspricht dem Verhältnis, zu dem ein Konsument bereit ist, die Güter zu tauschen (Austauschverhältnis). Dies wird auch Grenzrate der Substitution (GRS), beziehungsweise Marginal Rate of Substitution (MRS) genannt. 
Mathematisch kann bei der Bestimmung des [[Haushaltsoptimum|Haushaltsoptimums]] gezeigt werden (durch die totale Differentiation der Nutzenfunktion für ein gegebenes Nutzenniveau), dass die GRS dem Grenznutzenverhältnis der beiden Gütern entspricht. 
<math> GRS_{x_{1},x_{2}}=\frac{\frac{\partial U}{\partial x_{1}}}{\frac{\partial U}{\partial x_{2}}} </math>

==Indifferenzkurven der Güterarten==
Die Indifferenzkurven der verschiedenen Güterarten unterscheiden sich je nach Präferenzen. Häufig wird zwischen den folgenden Güterarten und ihren Indifferenzkurven unterschieden:

'''Perfekte Substitute''' 
Die Nutzenfunktion von [[Perfekten Substituten]] kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=ax_{1}+bx_{2} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. Indifferenzkurven von Perfekten Substituten weisen als Eigenschaft auf, dass sie die Achsen berühren und einen linearen Verlauf haben. Das bedeutet: sie haben eine konstante GRS, da der Grenznutzen beider Güter konstant ist. Wir sprechen auch von perfekten Substituten (i.w.S.) wenn nur die erste Eigenschaft erfüllt ist. 
[[Datei:Perfekte Substitute.png|351px|rahmenlos]] 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>
 
 
'''Perfekte Komplemente''' 
Die Nutzenfunktion von [[Perfekten Komplementen]] kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=min\{ax_{1},bx_{2}\} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. Grafisch sind die Indifferenzkurven in L Form, es wird auch häufig von Leontief Präferenzen gesprochen. Diese Güter stiften nur einen Nutzen, wenn sie in einem festen Verhältnis konsumiert werden. Klassische Beispiele sind Schuhe, Socken oder Handschuhe. 
[[Datei:Perfekte Komplemente.png|351px|rahmenlos]] 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>
 
 
'''Imperfekte Subtitute''' 
Die Nutzenfunktion von [[Imperfekte Substitute]] kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=x_{1}^{a}*x_{2}^{b} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. 
[[Datei:ImperfekteSubstitute.png|350px|rahmenlos]]
 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie könnte die Nutzenfunktion von Brigitte aussehen, wenn sie immer 3 Packungen Gummibärchen (G) mit einer Packung Chips (C) konsumiert?
|type="()"}
- <math> U(G,C)=min\{G,\frac{1}{3}C\} </math>.
+ <math> U(G,C)=min\{\frac{1}{3}G,C\} </math>.
- <math> U(G,C)=3G+C </math>.
- <math> U(G,C)=G*3C </math>.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen Peter hat folgende Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^{2}+2y </math>. Welche der folgenden Konsumbündel liegt nicht auf der selben Indifferenzkurve wie die restlichen?
|type="()"}
+ (x, y)=(4, 8).
- (x, y)=(3, 7.5).
- (x, y)=(4.75, 0.71875).
- (x, y)=(2, 10).
- (x, y)=(0, 12).
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Philipp hat eine Nutzenfunktion <math>U(x,y)=x^{0,4}*y^{\frac{3}{5}} </math>. Welche Präferenzen bilden sie ab und welche Eigenschaften haben die Indifferenzkurven?
|type="()"}
+ Imperfekte Substitute, sie berührt die Achsen nicht.
- Perfekte Komplemente, sie berühren die Achsen.
- Perfekte Substitute, sie berühren die Achsen.
- Imperfekte Substitute, sie berühren die Achsen.
- Perfekte Komplemente, alle Eigenschaften dieser Indifferenzkurven sind erfüllt.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen Sigmar hat folgende Nutzenfunktion: <math> U(x,y(x))=x^{0,5}*e^{y(x)} </math>. Wie lautet seine Grenzrate der Substitution (<math>GRS_{x,y}</math>)?
|type="()"}
+ <math>GRS_{x,y}=y'(x)+\frac{1}{2x}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{0,5x^{-0,5}*e^{y(x)}}{x^{0,5}*e^{y(x)}}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{x^{0,5}}{e^{y(x)}}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{1}{2x}</math>.
</quiz>

Präferenzen und Indifferenzkurven

2023-09-14T19:14:41Z

Uwalz: /* Indifferenzkurven der Güterarten */

Die Präferenzen von Individuen bilden ihre Wünsche und Vorlieben ab. Diese Präferenzen werden durch eine Nutzenfunktionen beschrieben. Diese beschreibt den Nutzen den ein Individuum aus dem Konsum von Güterkombinationen erhält. Nutzenfunktionen zwischen Individuen können sich unterscheiden.

__TOC__

==Präferenzen und Nutzenfunktion==
Eine jede Marktteilnehmerin und ein jeder Marktteilnehmer verfügen über Präferenzen. Ein Mensch der Vegetarier ist, kauft zum Beispiel kein Fleisch. Für ein Filmabend gibt es Menschen, die lediglich salzige Snacks konsumieren, oder auch welche, für die nur süße Snacks in Frage kommen. Es gibt jedoch auch sicherlich Menschen, denen es egal ist welche Art der Snacks zu sich nehmen. 
Um all diese Präferenzen abbilden zu können werden Nutzenfunktionen modelliert. Hierfür wird sich der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie|Ordinalen Nutzentheorie]] und nicht der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Kardinale Nutzentheorie|kardinalen Nutzentheorie]] bedient. Je nach Präferenzen sehen die Nutzenfunktionen unterschiedlich aus. In jedem Fall sind sie jedoch abhängig von jedem zu betrachteten Gut und der Anzahl der davon konsumierten Einheiten <math display="inline"> U(x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n}) </math>. Der Einfachheit halber, und um die Nutzenfunktion grafisch darstellen zu können, beschränken wir uns auf den Zwei-Güter-Fall <math display="inline"> U(x_{1}, x_{2}) </math>. Als Beispiel sollen uns die beiden Güter C und F dienen, die mit folgender Nutzenfunktion abgebildet werden sollen: 
<math display="inline"> U(F,C)=F^{1/3}*C^{2/3} </math> 
Die Nutzenfunktion kann als normale bivariate Funktion gelesen werden. Anders als im univariaten Fall ist die Funktion von zwei Variablen abhängig. 
[[Datei:Nutzenfunktion.jpg|600px|rahmenlos]]

==Indifferenzkurven==
Eine veränderte Möglichkeit der Darstellung von Nutzenfunktionen sind Indifferenzkurven. Wie der Name bereits aussagt, sind Konsumenten entlang dieser Kurve indifferent in der Konsumentscheidung. Sie erfahren aus den Güterkombinationen, die auf der Indifferenzkurve liegen einen konstant gleich großen Nutzen. Je nach Nutzenniveau liegen die Indifferenzkurven verschoben. Im Beispiel von oben sehen die Indifferenzkurven wie folgt aus: 
[[Datei:Nutzenfunktion2.jpg|600px|rahmenlos]] 
 
In der Grafik oben sind verschiedene Farbverläufe zu sehen, die an verschobene konvexe Funktionen erinnern. Mathematisch erlangt man die Indifferenzkurven, in dem der Nutzen U konstant gehalten (<math> \bar{U} </math>) und nach einer Variablen umgestellt wird (welche auf der horizontale Achse abgebildet werden soll). In der Nutzenfunktion von eben sieht das wie folgt aus: 
<big><math display="inline"> \bar{U}=F^{1/3}*C^{2/3} </math> |: <math display="inline"> F^{1/3} </math> 
<math display="inline"> \frac{\bar{U}}{F^{1/3}}=C^{2/3} </math> |<math> (...)^{3/2} </math> 
<math display="inline"> C=(\frac{\bar{U}}{F^{1/3}})^{3/2} </math> 
<math display="inline"> C=\frac{\bar{U}^{3/2}}{F^{1/2}} </math> </big> 
 
Je nach Nutzenniveau ergibt sich für jeden F Wert einen anderen C Wert. In der untenstehenden Grafik wurden die Indifferenzkurven der ganzzahligen Nutzenniveaus von 1 bis 8 geplotet. 
[[Datei:IndifferenzkurvenRechnung.png|500px|rahmenlos]]

==Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution==
Entlang einer konvexen Indifferenzkurve verändert sich die Steigung der Indifferenzkurve. Für den weiteren Verlauf soll folgende Indifferenzkurven als Beispiel dienen: 
[[Datei:GRS.png|350px|rahmenlos]]
 
 
Bei einem geringen <math> x_{1} </math> Wert ist der <math> x_{2} </math> Wert hoch. Das dazugehörige Konsumgüterbündel befindet sich nahe der <math> x_{2} </math> Achse. Hier ist die Funktion stark fallend (betragsmäßig sehr steil), da beide Güter einen abnehmenden Grenznutzen haben. Je größer der <math> x_{1} </math> Wert wird, desto weniger stark fällt die Funktion. Die Steigung der Indifferenzkurve nimmt betragsmäßig also ab. 
Um die Steigung interpretieren zu könne muss die Definition der Indifferenzkurve herangezogen werden. Entlang der Indifferenzkurve ist der Nutzen konstant. In dem Punkt ist ein Konsument bereit die Güter im Verhältnis der Steigung auszutauschen, ohne sein Nutzenniveau zu verändern.. Ist die Steigung beispielsweise -2, ist er bereit eine marginale Einheit von <math> x_{1} </math> für zwei Einheiten von <math> x_{2} </math> zu tauschen. Je nach Position auf der Indifferenzkurve verändert sich auch das Verhältnis, das der Konsument verlangt. Die Steigung der Indifferenzkurve entspricht dem Verhältnis, zu dem ein Konsument bereit ist, die Güter zu tauschen (Austauschverhältnis). Dies wird auch Grenzrate der Substitution (GRS), beziehungsweise Marginal Rate of Substitution (MRS) genannt. 
Mathematisch kann bei der Bestimmung des [[Haushaltsoptimum|Haushaltsoptimums]] gezeigt werden (durch die totale Differentiation der Nutzenfunktion für ein gegebenes Nutzenniveau), dass die GRS dem Grenznutzenverhältnis der beiden Gütern entspricht. 
<math> GRS_{x_{1},x_{2}}=\frac{\frac{\partial U}{\partial x_{1}}}{\frac{\partial U}{\partial x_{2}}} </math>

==Indifferenzkurven der Güterarten==
Die Indifferenzkurven der verschiedenen Güterarten unterscheiden sich je nach Präferenzen. Häufig wird zwischen den folgenden Güterarten und ihren Indifferenzkurven unterschieden:

'''Perfekte Substitute''' 
Die Nutzenfunktion von [[Perfekten Substituten]] kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=ax_{1}+bx_{2} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. Indifferenzkurven von Perfekten Substituten weisen als Eigenschaft auf, dass sie die Achsen berühren und einen linearen Verlauf haben. Das bedeutet: sie haben eine konstante GRS, da der Grenznutzen beider Güter konstant ist. Wir sprechen auch von perfekten Substituten (i.w.S.) wenn nur die erste Eigenschaft hält. 
[[Datei:Perfekte Substitute.png|351px|rahmenlos]] 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>
 
 
'''Perfekte Komplemente''' 
Die Nutzenfunktion von [[Perfekten Komplementen]] kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=min\{ax_{1},bx_{2}\} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. Grafisch sind die Indifferenzkurven in L Form, es wird auch häufig von Leontief Präferenzen gesprochen. Diese Güter stiften nur einen Nutzen, wenn sie in einem festen Verhältnis konsumiert werden. Klassische Beispiele sind Schuhe, Socken oder Handschuhe. 
[[Datei:Perfekte Komplemente.png|351px|rahmenlos]] 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>
 
 
'''Imperfekte Subtitute''' 
Die Nutzenfunktion von [[Imperfekte Substitute]] kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=x_{1}^{a}*x_{2}^{b} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. 
[[Datei:ImperfekteSubstitute.png|350px|rahmenlos]]
 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie könnte die Nutzenfunktion von Brigitte aussehen, wenn sie immer 3 Packungen Gummibärchen (G) mit einer Packung Chips (C) konsumiert?
|type="()"}
- <math> U(G,C)=min\{G,\frac{1}{3}C\} </math>.
+ <math> U(G,C)=min\{\frac{1}{3}G,C\} </math>.
- <math> U(G,C)=3G+C </math>.
- <math> U(G,C)=G*3C </math>.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen Peter hat folgende Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^{2}+2y </math>. Welche der folgenden Konsumbündel liegt nicht auf der selben Indifferenzkurve wie die restlichen?
|type="()"}
+ (x, y)=(4, 8).
- (x, y)=(3, 7.5).
- (x, y)=(4.75, 0.71875).
- (x, y)=(2, 10).
- (x, y)=(0, 12).
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Philipp hat eine Nutzenfunktion <math>U(x,y)=x^{0,4}*y^{\frac{3}{5}} </math>. Welche Präferenzen bilden sie ab und welche Eigenschaften haben die Indifferenzkurven?
|type="()"}
+ Imperfekte Substitute, sie berührt die Achsen nicht.
- Perfekte Komplemente, sie berühren die Achsen.
- Perfekte Substitute, sie berühren die Achsen.
- Imperfekte Substitute, sie berühren die Achsen.
- Perfekte Komplemente, alle Eigenschaften dieser Indifferenzkurven sind erfüllt.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen Sigmar hat folgende Nutzenfunktion: <math> U(x,y(x))=x^{0,5}*e^{y(x)} </math>. Wie lautet seine Grenzrate der Substitution (<math>GRS_{x,y}</math>)?
|type="()"}
+ <math>GRS_{x,y}=y'(x)+\frac{1}{2x}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{0,5x^{-0,5}*e^{y(x)}}{x^{0,5}*e^{y(x)}}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{x^{0,5}}{e^{y(x)}}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{1}{2x}</math>.
</quiz>

Präferenzen und Indifferenzkurven

2023-09-14T19:11:27Z

Uwalz: /* Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution */

Die Präferenzen von Individuen bilden ihre Wünsche und Vorlieben ab. Diese Präferenzen werden durch eine Nutzenfunktionen beschrieben. Diese beschreibt den Nutzen den ein Individuum aus dem Konsum von Güterkombinationen erhält. Nutzenfunktionen zwischen Individuen können sich unterscheiden.

__TOC__

==Präferenzen und Nutzenfunktion==
Eine jede Marktteilnehmerin und ein jeder Marktteilnehmer verfügen über Präferenzen. Ein Mensch der Vegetarier ist, kauft zum Beispiel kein Fleisch. Für ein Filmabend gibt es Menschen, die lediglich salzige Snacks konsumieren, oder auch welche, für die nur süße Snacks in Frage kommen. Es gibt jedoch auch sicherlich Menschen, denen es egal ist welche Art der Snacks zu sich nehmen. 
Um all diese Präferenzen abbilden zu können werden Nutzenfunktionen modelliert. Hierfür wird sich der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie|Ordinalen Nutzentheorie]] und nicht der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Kardinale Nutzentheorie|kardinalen Nutzentheorie]] bedient. Je nach Präferenzen sehen die Nutzenfunktionen unterschiedlich aus. In jedem Fall sind sie jedoch abhängig von jedem zu betrachteten Gut und der Anzahl der davon konsumierten Einheiten <math display="inline"> U(x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n}) </math>. Der Einfachheit halber, und um die Nutzenfunktion grafisch darstellen zu können, beschränken wir uns auf den Zwei-Güter-Fall <math display="inline"> U(x_{1}, x_{2}) </math>. Als Beispiel sollen uns die beiden Güter C und F dienen, die mit folgender Nutzenfunktion abgebildet werden sollen: 
<math display="inline"> U(F,C)=F^{1/3}*C^{2/3} </math> 
Die Nutzenfunktion kann als normale bivariate Funktion gelesen werden. Anders als im univariaten Fall ist die Funktion von zwei Variablen abhängig. 
[[Datei:Nutzenfunktion.jpg|600px|rahmenlos]]

==Indifferenzkurven==
Eine veränderte Möglichkeit der Darstellung von Nutzenfunktionen sind Indifferenzkurven. Wie der Name bereits aussagt, sind Konsumenten entlang dieser Kurve indifferent in der Konsumentscheidung. Sie erfahren aus den Güterkombinationen, die auf der Indifferenzkurve liegen einen konstant gleich großen Nutzen. Je nach Nutzenniveau liegen die Indifferenzkurven verschoben. Im Beispiel von oben sehen die Indifferenzkurven wie folgt aus: 
[[Datei:Nutzenfunktion2.jpg|600px|rahmenlos]] 
 
In der Grafik oben sind verschiedene Farbverläufe zu sehen, die an verschobene konvexe Funktionen erinnern. Mathematisch erlangt man die Indifferenzkurven, in dem der Nutzen U konstant gehalten (<math> \bar{U} </math>) und nach einer Variablen umgestellt wird (welche auf der horizontale Achse abgebildet werden soll). In der Nutzenfunktion von eben sieht das wie folgt aus: 
<big><math display="inline"> \bar{U}=F^{1/3}*C^{2/3} </math> |: <math display="inline"> F^{1/3} </math> 
<math display="inline"> \frac{\bar{U}}{F^{1/3}}=C^{2/3} </math> |<math> (...)^{3/2} </math> 
<math display="inline"> C=(\frac{\bar{U}}{F^{1/3}})^{3/2} </math> 
<math display="inline"> C=\frac{\bar{U}^{3/2}}{F^{1/2}} </math> </big> 
 
Je nach Nutzenniveau ergibt sich für jeden F Wert einen anderen C Wert. In der untenstehenden Grafik wurden die Indifferenzkurven der ganzzahligen Nutzenniveaus von 1 bis 8 geplotet. 
[[Datei:IndifferenzkurvenRechnung.png|500px|rahmenlos]]

==Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution==
Entlang einer konvexen Indifferenzkurve verändert sich die Steigung der Indifferenzkurve. Für den weiteren Verlauf soll folgende Indifferenzkurven als Beispiel dienen: 
[[Datei:GRS.png|350px|rahmenlos]]
 
 
Bei einem geringen <math> x_{1} </math> Wert ist der <math> x_{2} </math> Wert hoch. Das dazugehörige Konsumgüterbündel befindet sich nahe der <math> x_{2} </math> Achse. Hier ist die Funktion stark fallend (betragsmäßig sehr steil), da beide Güter einen abnehmenden Grenznutzen haben. Je größer der <math> x_{1} </math> Wert wird, desto weniger stark fällt die Funktion. Die Steigung der Indifferenzkurve nimmt betragsmäßig also ab. 
Um die Steigung interpretieren zu könne muss die Definition der Indifferenzkurve herangezogen werden. Entlang der Indifferenzkurve ist der Nutzen konstant. In dem Punkt ist ein Konsument bereit die Güter im Verhältnis der Steigung auszutauschen, ohne sein Nutzenniveau zu verändern.. Ist die Steigung beispielsweise -2, ist er bereit eine marginale Einheit von <math> x_{1} </math> für zwei Einheiten von <math> x_{2} </math> zu tauschen. Je nach Position auf der Indifferenzkurve verändert sich auch das Verhältnis, das der Konsument verlangt. Die Steigung der Indifferenzkurve entspricht dem Verhältnis, zu dem ein Konsument bereit ist, die Güter zu tauschen (Austauschverhältnis). Dies wird auch Grenzrate der Substitution (GRS), beziehungsweise Marginal Rate of Substitution (MRS) genannt. 
Mathematisch kann bei der Bestimmung des [[Haushaltsoptimum|Haushaltsoptimums]] gezeigt werden (durch die totale Differentiation der Nutzenfunktion für ein gegebenes Nutzenniveau), dass die GRS dem Grenznutzenverhältnis der beiden Gütern entspricht. 
<math> GRS_{x_{1},x_{2}}=\frac{\frac{\partial U}{\partial x_{1}}}{\frac{\partial U}{\partial x_{2}}} </math>

==Indifferenzkurven der Güterarten==
Die Indifferenzkurven der verschiedenen Güterarten unterscheiden sich je nach Präferenzen. Häufig wird zwischen den folgenden Güterarten und ihren Indifferenzkurven unterschieden:

'''Perfekte Substitute''' 
Die Nutzenfunktion von [[Perfekten Substituten]] kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=ax_{1}+bx_{2} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. Indifferenzkurven von Perfekten Substituten weisen als Eigenschaft auf, dass sie die Achsen berühren und einen linearen Verlauf haben. Das bedeutet: sie haben eine konstante GRS, da der Grenznutzen beider Güter konstant ist. 
[[Datei:Perfekte Substitute.png|351px|rahmenlos]] 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>
 
 
'''Perfekte Komplemente''' 
Die Nutzenfunktion von [[Perfekten Komplementen]] kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=min\{ax_{1},bx_{2}\} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. Grafisch sind die Indifferenzkurven in L Form, es wird auch häufig von Leontief Präferenzen gesprochen. Diese Güter stiften nur einen Nutzen, wenn sie in einem festen Verhältnis konsumiert werden. Klassische Beispiele sind Schuhe, Socken oder Handschuhe. 
[[Datei:Perfekte Komplemente.png|351px|rahmenlos]] 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>
 
 
'''Imperfekte Subtitute''' 
Die Nutzenfunktion von [[Imperfekte Substitute]] kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=x_{1}^{a}*x_{2}^{b} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. 
[[Datei:ImperfekteSubstitute.png|350px|rahmenlos]]
 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie könnte die Nutzenfunktion von Brigitte aussehen, wenn sie immer 3 Packungen Gummibärchen (G) mit einer Packung Chips (C) konsumiert?
|type="()"}
- <math> U(G,C)=min\{G,\frac{1}{3}C\} </math>.
+ <math> U(G,C)=min\{\frac{1}{3}G,C\} </math>.
- <math> U(G,C)=3G+C </math>.
- <math> U(G,C)=G*3C </math>.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen Peter hat folgende Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^{2}+2y </math>. Welche der folgenden Konsumbündel liegt nicht auf der selben Indifferenzkurve wie die restlichen?
|type="()"}
+ (x, y)=(4, 8).
- (x, y)=(3, 7.5).
- (x, y)=(4.75, 0.71875).
- (x, y)=(2, 10).
- (x, y)=(0, 12).
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Philipp hat eine Nutzenfunktion <math>U(x,y)=x^{0,4}*y^{\frac{3}{5}} </math>. Welche Präferenzen bilden sie ab und welche Eigenschaften haben die Indifferenzkurven?
|type="()"}
+ Imperfekte Substitute, sie berührt die Achsen nicht.
- Perfekte Komplemente, sie berühren die Achsen.
- Perfekte Substitute, sie berühren die Achsen.
- Imperfekte Substitute, sie berühren die Achsen.
- Perfekte Komplemente, alle Eigenschaften dieser Indifferenzkurven sind erfüllt.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen Sigmar hat folgende Nutzenfunktion: <math> U(x,y(x))=x^{0,5}*e^{y(x)} </math>. Wie lautet seine Grenzrate der Substitution (<math>GRS_{x,y}</math>)?
|type="()"}
+ <math>GRS_{x,y}=y'(x)+\frac{1}{2x}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{0,5x^{-0,5}*e^{y(x)}}{x^{0,5}*e^{y(x)}}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{x^{0,5}}{e^{y(x)}}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{1}{2x}</math>.
</quiz>

Präferenzen und Indifferenzkurven

2023-09-14T19:08:57Z

Uwalz: /* Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution */

Die Präferenzen von Individuen bilden ihre Wünsche und Vorlieben ab. Diese Präferenzen werden durch eine Nutzenfunktionen beschrieben. Diese beschreibt den Nutzen den ein Individuum aus dem Konsum von Güterkombinationen erhält. Nutzenfunktionen zwischen Individuen können sich unterscheiden.

__TOC__

==Präferenzen und Nutzenfunktion==
Eine jede Marktteilnehmerin und ein jeder Marktteilnehmer verfügen über Präferenzen. Ein Mensch der Vegetarier ist, kauft zum Beispiel kein Fleisch. Für ein Filmabend gibt es Menschen, die lediglich salzige Snacks konsumieren, oder auch welche, für die nur süße Snacks in Frage kommen. Es gibt jedoch auch sicherlich Menschen, denen es egal ist welche Art der Snacks zu sich nehmen. 
Um all diese Präferenzen abbilden zu können werden Nutzenfunktionen modelliert. Hierfür wird sich der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie|Ordinalen Nutzentheorie]] und nicht der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Kardinale Nutzentheorie|kardinalen Nutzentheorie]] bedient. Je nach Präferenzen sehen die Nutzenfunktionen unterschiedlich aus. In jedem Fall sind sie jedoch abhängig von jedem zu betrachteten Gut und der Anzahl der davon konsumierten Einheiten <math display="inline"> U(x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n}) </math>. Der Einfachheit halber, und um die Nutzenfunktion grafisch darstellen zu können, beschränken wir uns auf den Zwei-Güter-Fall <math display="inline"> U(x_{1}, x_{2}) </math>. Als Beispiel sollen uns die beiden Güter C und F dienen, die mit folgender Nutzenfunktion abgebildet werden sollen: 
<math display="inline"> U(F,C)=F^{1/3}*C^{2/3} </math> 
Die Nutzenfunktion kann als normale bivariate Funktion gelesen werden. Anders als im univariaten Fall ist die Funktion von zwei Variablen abhängig. 
[[Datei:Nutzenfunktion.jpg|600px|rahmenlos]]

==Indifferenzkurven==
Eine veränderte Möglichkeit der Darstellung von Nutzenfunktionen sind Indifferenzkurven. Wie der Name bereits aussagt, sind Konsumenten entlang dieser Kurve indifferent in der Konsumentscheidung. Sie erfahren aus den Güterkombinationen, die auf der Indifferenzkurve liegen einen konstant gleich großen Nutzen. Je nach Nutzenniveau liegen die Indifferenzkurven verschoben. Im Beispiel von oben sehen die Indifferenzkurven wie folgt aus: 
[[Datei:Nutzenfunktion2.jpg|600px|rahmenlos]] 
 
In der Grafik oben sind verschiedene Farbverläufe zu sehen, die an verschobene konvexe Funktionen erinnern. Mathematisch erlangt man die Indifferenzkurven, in dem der Nutzen U konstant gehalten (<math> \bar{U} </math>) und nach einer Variablen umgestellt wird (welche auf der horizontale Achse abgebildet werden soll). In der Nutzenfunktion von eben sieht das wie folgt aus: 
<big><math display="inline"> \bar{U}=F^{1/3}*C^{2/3} </math> |: <math display="inline"> F^{1/3} </math> 
<math display="inline"> \frac{\bar{U}}{F^{1/3}}=C^{2/3} </math> |<math> (...)^{3/2} </math> 
<math display="inline"> C=(\frac{\bar{U}}{F^{1/3}})^{3/2} </math> 
<math display="inline"> C=\frac{\bar{U}^{3/2}}{F^{1/2}} </math> </big> 
 
Je nach Nutzenniveau ergibt sich für jeden F Wert einen anderen C Wert. In der untenstehenden Grafik wurden die Indifferenzkurven der ganzzahligen Nutzenniveaus von 1 bis 8 geplotet. 
[[Datei:IndifferenzkurvenRechnung.png|500px|rahmenlos]]

==Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution==
Entlang einer konvexen Indifferenzkurve verändert sich die Steigung der Indifferenzkurve. Für den weiteren Verlauf soll folgende Indifferenzkurven als Beispiel dienen: 
[[Datei:GRS.png|350px|rahmenlos]]
 
 
Bei einem geringen <math> x_{1} </math> Wert ist der <math> x_{2} </math> Wert hoch. Das dazugehörige Konsumgüterbündel befindet sich nahe der <math> x_{2} </math> Achse. Hier ist die Funktion stark fallend (betragsmäßig sehr steil), da beide Güter einen abnehmenden Grenznutzen haben. Je größer der <math> x_{1} </math> Wert wird, desto weniger stark fällt die Funktion. Die Steigung der Indifferenzkurve nimmt betragsmäßig also ab. 
Um die Steigung interpretieren zu könne muss die Definition der Indifferenzkurve herangezogen werden. Entlang der Indifferenzkurve ist der Nutzen konstant. In dem Punkt ist ein Konsument bereit die Güter im Verhältnis der Steigung auszutauschen, ohne sein Nutzenniveau zu verändern.. Ist die Steigung beispielsweise -2, ist er bereit eine marginale Einheit von <math> x_{1} </math> für zwei Einheiten von <math> x_{2} </math> zu tauschen. Je nach Position auf der Indifferenzkurve verändert sich auch das Verhältnis, das der Konsument verlangt. Die Steigung der Indifferenzkurve entspricht dem Verhältnis, zu dem ein Konsument bereit ist, die Güter zu tauschen (Austauschverhältnis). Dies wird auch Grenzrate der Substitution (GRS), beziehungsweise Marginal Rate of Substitution (MRS) genannt. 
Mathematisch kann bei der Bestimmung des [[Haushaltsoptimum|Haushaltsoptimums]] gezeigt werden, dass die GRS dem Grenznutzenverhältnis der beiden Gütern entspricht. 
<math> GRS_{x_{1},x_{2}}=\frac{\frac{\partial U}{\partial x_{1}}}{\frac{\partial U}{\partial x_{2}}} </math>

==Indifferenzkurven der Güterarten==
Die Indifferenzkurven der verschiedenen Güterarten unterscheiden sich je nach Präferenzen. Häufig wird zwischen den folgenden Güterarten und ihren Indifferenzkurven unterschieden:

'''Perfekte Substitute''' 
Die Nutzenfunktion von [[Perfekten Substituten]] kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=ax_{1}+bx_{2} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. Indifferenzkurven von Perfekten Substituten weisen als Eigenschaft auf, dass sie die Achsen berühren und einen linearen Verlauf haben. Das bedeutet: sie haben eine konstante GRS, da der Grenznutzen beider Güter konstant ist. 
[[Datei:Perfekte Substitute.png|351px|rahmenlos]] 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>
 
 
'''Perfekte Komplemente''' 
Die Nutzenfunktion von [[Perfekten Komplementen]] kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=min\{ax_{1},bx_{2}\} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. Grafisch sind die Indifferenzkurven in L Form, es wird auch häufig von Leontief Präferenzen gesprochen. Diese Güter stiften nur einen Nutzen, wenn sie in einem festen Verhältnis konsumiert werden. Klassische Beispiele sind Schuhe, Socken oder Handschuhe. 
[[Datei:Perfekte Komplemente.png|351px|rahmenlos]] 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>
 
 
'''Imperfekte Subtitute''' 
Die Nutzenfunktion von [[Imperfekte Substitute]] kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=x_{1}^{a}*x_{2}^{b} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. 
[[Datei:ImperfekteSubstitute.png|350px|rahmenlos]]
 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie könnte die Nutzenfunktion von Brigitte aussehen, wenn sie immer 3 Packungen Gummibärchen (G) mit einer Packung Chips (C) konsumiert?
|type="()"}
- <math> U(G,C)=min\{G,\frac{1}{3}C\} </math>.
+ <math> U(G,C)=min\{\frac{1}{3}G,C\} </math>.
- <math> U(G,C)=3G+C </math>.
- <math> U(G,C)=G*3C </math>.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen Peter hat folgende Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^{2}+2y </math>. Welche der folgenden Konsumbündel liegt nicht auf der selben Indifferenzkurve wie die restlichen?
|type="()"}
+ (x, y)=(4, 8).
- (x, y)=(3, 7.5).
- (x, y)=(4.75, 0.71875).
- (x, y)=(2, 10).
- (x, y)=(0, 12).
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Philipp hat eine Nutzenfunktion <math>U(x,y)=x^{0,4}*y^{\frac{3}{5}} </math>. Welche Präferenzen bilden sie ab und welche Eigenschaften haben die Indifferenzkurven?
|type="()"}
+ Imperfekte Substitute, sie berührt die Achsen nicht.
- Perfekte Komplemente, sie berühren die Achsen.
- Perfekte Substitute, sie berühren die Achsen.
- Imperfekte Substitute, sie berühren die Achsen.
- Perfekte Komplemente, alle Eigenschaften dieser Indifferenzkurven sind erfüllt.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen Sigmar hat folgende Nutzenfunktion: <math> U(x,y(x))=x^{0,5}*e^{y(x)} </math>. Wie lautet seine Grenzrate der Substitution (<math>GRS_{x,y}</math>)?
|type="()"}
+ <math>GRS_{x,y}=y'(x)+\frac{1}{2x}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{0,5x^{-0,5}*e^{y(x)}}{x^{0,5}*e^{y(x)}}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{x^{0,5}}{e^{y(x)}}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{1}{2x}</math>.
</quiz>

Präferenzen und Indifferenzkurven

2023-09-14T19:05:03Z

Uwalz: /* Präferenzen und Nutzenfunktion */

Die Präferenzen von Individuen bilden ihre Wünsche und Vorlieben ab. Diese Präferenzen werden durch eine Nutzenfunktionen beschrieben. Diese beschreibt den Nutzen den ein Individuum aus dem Konsum von Güterkombinationen erhält. Nutzenfunktionen zwischen Individuen können sich unterscheiden.

__TOC__

==Präferenzen und Nutzenfunktion==
Eine jede Marktteilnehmerin und ein jeder Marktteilnehmer verfügen über Präferenzen. Ein Mensch der Vegetarier ist, kauft zum Beispiel kein Fleisch. Für ein Filmabend gibt es Menschen, die lediglich salzige Snacks konsumieren, oder auch welche, für die nur süße Snacks in Frage kommen. Es gibt jedoch auch sicherlich Menschen, denen es egal ist welche Art der Snacks zu sich nehmen. 
Um all diese Präferenzen abbilden zu können werden Nutzenfunktionen modelliert. Hierfür wird sich der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie|Ordinalen Nutzentheorie]] und nicht der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Kardinale Nutzentheorie|kardinalen Nutzentheorie]] bedient. Je nach Präferenzen sehen die Nutzenfunktionen unterschiedlich aus. In jedem Fall sind sie jedoch abhängig von jedem zu betrachteten Gut und der Anzahl der davon konsumierten Einheiten <math display="inline"> U(x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n}) </math>. Der Einfachheit halber, und um die Nutzenfunktion grafisch darstellen zu können, beschränken wir uns auf den Zwei-Güter-Fall <math display="inline"> U(x_{1}, x_{2}) </math>. Als Beispiel sollen uns die beiden Güter C und F dienen, die mit folgender Nutzenfunktion abgebildet werden sollen: 
<math display="inline"> U(F,C)=F^{1/3}*C^{2/3} </math> 
Die Nutzenfunktion kann als normale bivariate Funktion gelesen werden. Anders als im univariaten Fall ist die Funktion von zwei Variablen abhängig. 
[[Datei:Nutzenfunktion.jpg|600px|rahmenlos]]

==Indifferenzkurven==
Eine veränderte Möglichkeit der Darstellung von Nutzenfunktionen sind Indifferenzkurven. Wie der Name bereits aussagt, sind Konsumenten entlang dieser Kurve indifferent in der Konsumentscheidung. Sie erfahren aus den Güterkombinationen, die auf der Indifferenzkurve liegen einen konstant gleich großen Nutzen. Je nach Nutzenniveau liegen die Indifferenzkurven verschoben. Im Beispiel von oben sehen die Indifferenzkurven wie folgt aus: 
[[Datei:Nutzenfunktion2.jpg|600px|rahmenlos]] 
 
In der Grafik oben sind verschiedene Farbverläufe zu sehen, die an verschobene konvexe Funktionen erinnern. Mathematisch erlangt man die Indifferenzkurven, in dem der Nutzen U konstant gehalten (<math> \bar{U} </math>) und nach einer Variablen umgestellt wird (welche auf der horizontale Achse abgebildet werden soll). In der Nutzenfunktion von eben sieht das wie folgt aus: 
<big><math display="inline"> \bar{U}=F^{1/3}*C^{2/3} </math> |: <math display="inline"> F^{1/3} </math> 
<math display="inline"> \frac{\bar{U}}{F^{1/3}}=C^{2/3} </math> |<math> (...)^{3/2} </math> 
<math display="inline"> C=(\frac{\bar{U}}{F^{1/3}})^{3/2} </math> 
<math display="inline"> C=\frac{\bar{U}^{3/2}}{F^{1/2}} </math> </big> 
 
Je nach Nutzenniveau ergibt sich für jeden F Wert einen anderen C Wert. In der untenstehenden Grafik wurden die Indifferenzkurven der ganzzahligen Nutzenniveaus von 1 bis 8 geplotet. 
[[Datei:IndifferenzkurvenRechnung.png|500px|rahmenlos]]

==Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution==
Entlang einer konvexen Indifferenzkurve verändert sich die Steigung der Indifferenzkurve. Für den weiteren Verlauf soll folgende Indifferenzkurven als Beispiel dienen: 
[[Datei:GRS.png|350px|rahmenlos]]
 
 
Bei einem geringen <math> x_{1} </math> Wert ist der <math> x_{2} </math> Wert hoch. Das dazugehörige Konsumgüterbündel befindet sich nahe der <math> x_{2} </math> Achse. Hier ist die Funktion stark fallend (betragsmäßig sehr steil), da beide Güter einen abnehmenden Grenznutzen haben. Je größer der <math> x_{1} </math> Wert wird, desto weniger stark fällt die Funktion. Die Steigung der Indifferenzkurve nimmt betragsmäßig also ab. 
Um die Steigung interpretieren zu könne muss die Bedeutung der Indifferenzkurve herangezogen werden. Entlang der Indifferenzkurve ist der Nutzen konstant. In dem marginal zu betrachtenden Punkt ist ein Konsument bereit die Güter im Verhältnis der Steigung auszutauschen, da er so seinen Nutzen behält. Ist die Steigung beispielsweise -2, ist er bereit eine marginale Einheit von <math> x_{1} </math> für zwei Einheiten von <math> x_{2} </math> zu tauschen. Je nach Position auf der Indifferenzkurve verändert sich auch das Verhältnis, das der Konsument verlangt. Die Steigung der Indifferenzkurve entspricht dem Verhältnis, zu dem ein Konsument bereit ist, die Güter zu tauschen (Austauschverhältnis). Dies wird auch Grenzrate der Substitution (GRS), beziehungsweise Marginal Rate of Substitution (MRS) genannt. 
Mathematisch kann bei der Bestimmung des [[Haushaltsoptimum|Haushaltsoptimums]] gezeigt werden, dass die GRS dem Grenznutzenverhältnis der beiden Gütern entspricht. 
<math> GRS_{x_{1},x_{2}}=\frac{\frac{\partial U}{\partial x_{1}}}{\frac{\partial U}{\partial x_{2}}} </math>

==Indifferenzkurven der Güterarten==
Die Indifferenzkurven der verschiedenen Güterarten unterscheiden sich je nach Präferenzen. Häufig wird zwischen den folgenden Güterarten und ihren Indifferenzkurven unterschieden:

'''Perfekte Substitute''' 
Die Nutzenfunktion von [[Perfekten Substituten]] kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=ax_{1}+bx_{2} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. Indifferenzkurven von Perfekten Substituten weisen als Eigenschaft auf, dass sie die Achsen berühren und einen linearen Verlauf haben. Das bedeutet: sie haben eine konstante GRS, da der Grenznutzen beider Güter konstant ist. 
[[Datei:Perfekte Substitute.png|351px|rahmenlos]] 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>
 
 
'''Perfekte Komplemente''' 
Die Nutzenfunktion von [[Perfekten Komplementen]] kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=min\{ax_{1},bx_{2}\} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. Grafisch sind die Indifferenzkurven in L Form, es wird auch häufig von Leontief Präferenzen gesprochen. Diese Güter stiften nur einen Nutzen, wenn sie in einem festen Verhältnis konsumiert werden. Klassische Beispiele sind Schuhe, Socken oder Handschuhe. 
[[Datei:Perfekte Komplemente.png|351px|rahmenlos]] 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>
 
 
'''Imperfekte Subtitute''' 
Die Nutzenfunktion von [[Imperfekte Substitute]] kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=x_{1}^{a}*x_{2}^{b} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. 
[[Datei:ImperfekteSubstitute.png|350px|rahmenlos]]
 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie könnte die Nutzenfunktion von Brigitte aussehen, wenn sie immer 3 Packungen Gummibärchen (G) mit einer Packung Chips (C) konsumiert?
|type="()"}
- <math> U(G,C)=min\{G,\frac{1}{3}C\} </math>.
+ <math> U(G,C)=min\{\frac{1}{3}G,C\} </math>.
- <math> U(G,C)=3G+C </math>.
- <math> U(G,C)=G*3C </math>.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen Peter hat folgende Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^{2}+2y </math>. Welche der folgenden Konsumbündel liegt nicht auf der selben Indifferenzkurve wie die restlichen?
|type="()"}
+ (x, y)=(4, 8).
- (x, y)=(3, 7.5).
- (x, y)=(4.75, 0.71875).
- (x, y)=(2, 10).
- (x, y)=(0, 12).
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Philipp hat eine Nutzenfunktion <math>U(x,y)=x^{0,4}*y^{\frac{3}{5}} </math>. Welche Präferenzen bilden sie ab und welche Eigenschaften haben die Indifferenzkurven?
|type="()"}
+ Imperfekte Substitute, sie berührt die Achsen nicht.
- Perfekte Komplemente, sie berühren die Achsen.
- Perfekte Substitute, sie berühren die Achsen.
- Imperfekte Substitute, sie berühren die Achsen.
- Perfekte Komplemente, alle Eigenschaften dieser Indifferenzkurven sind erfüllt.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen Sigmar hat folgende Nutzenfunktion: <math> U(x,y(x))=x^{0,5}*e^{y(x)} </math>. Wie lautet seine Grenzrate der Substitution (<math>GRS_{x,y}</math>)?
|type="()"}
+ <math>GRS_{x,y}=y'(x)+\frac{1}{2x}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{0,5x^{-0,5}*e^{y(x)}}{x^{0,5}*e^{y(x)}}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{x^{0,5}}{e^{y(x)}}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{1}{2x}</math>.
</quiz>

Präferenzen und Indifferenzkurven

2023-09-14T19:03:39Z

Uwalz:

Die Präferenzen von Individuen bilden ihre Wünsche und Vorlieben ab. Diese Präferenzen werden durch eine Nutzenfunktionen beschrieben. Diese beschreibt den Nutzen den ein Individuum aus dem Konsum von Güterkombinationen erhält. Nutzenfunktionen zwischen Individuen können sich unterscheiden.

__TOC__

==Präferenzen und Nutzenfunktion==
Eine jede Marktteilnehmerin und ein jeder Marktteilnehmer verfügen über Präferenzen. Ein Mensch der Vegetarier ist, kauft zum Beispiel kein Fleisch. Für ein Filmabend gibt es Menschen, die lediglich salzige Snacks konsumieren, oder auch welche, für die nur süße Snacks in Frage kommen. Es gibt jedoch auch sicherlich Menschen, denen es egal ist welche Art der Snacks zu sich nehmen. 
Um all diese Präferenzen abbilden zu können werden Nutzenfunktionen modelliert. Hierfür wird sich der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie|Ordinalen Nutzentheorie]] und nicht der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Kardinale Nutzentheorie|kardinalen Nutzentheorie]] bedient. Je nach Präferenzen sehen die Nutzenfunktionen unterschiedlich aus. In jedem Fall sind sie jedoch abhängig von jedem zu betrachteten Gut und der Anzahl der davon konsumierten Einheiten <math display="inline"> U(x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n}) </math>. Der Einfachheit halber, und um die Nutzenfunktion grafisch darstellen zu können, beschränken wir uns auf den zwei-Güter-Fall <math display="inline"> U(x_{1}, x_{2}) </math>. Als Beispiel sollen uns die beiden Güter C und F dienen, die mit folgender Nutzenfunktion abgebildet werden sollen: 
<math display="inline"> U(F,C)=F^{1/3}*C^{2/3} </math> 
Die Nutzenfunktion kann als normale bivariate Funktion gelesen werden. Anders als im univariaten Fall ist die Funktion von zwei Variablen abhängig. 
[[Datei:Nutzenfunktion.jpg|600px|rahmenlos]]

==Indifferenzkurven==
Eine veränderte Möglichkeit der Darstellung von Nutzenfunktionen sind Indifferenzkurven. Wie der Name bereits aussagt, sind Konsumenten entlang dieser Kurve indifferent in der Konsumentscheidung. Sie erfahren aus den Güterkombinationen, die auf der Indifferenzkurve liegen einen konstant gleich großen Nutzen. Je nach Nutzenniveau liegen die Indifferenzkurven verschoben. Im Beispiel von oben sehen die Indifferenzkurven wie folgt aus: 
[[Datei:Nutzenfunktion2.jpg|600px|rahmenlos]] 
 
In der Grafik oben sind verschiedene Farbverläufe zu sehen, die an verschobene konvexe Funktionen erinnern. Mathematisch erlangt man die Indifferenzkurven, in dem der Nutzen U konstant gehalten (<math> \bar{U} </math>) und nach einer Variablen umgestellt wird (welche auf der horizontale Achse abgebildet werden soll). In der Nutzenfunktion von eben sieht das wie folgt aus: 
<big><math display="inline"> \bar{U}=F^{1/3}*C^{2/3} </math> |: <math display="inline"> F^{1/3} </math> 
<math display="inline"> \frac{\bar{U}}{F^{1/3}}=C^{2/3} </math> |<math> (...)^{3/2} </math> 
<math display="inline"> C=(\frac{\bar{U}}{F^{1/3}})^{3/2} </math> 
<math display="inline"> C=\frac{\bar{U}^{3/2}}{F^{1/2}} </math> </big> 
 
Je nach Nutzenniveau ergibt sich für jeden F Wert einen anderen C Wert. In der untenstehenden Grafik wurden die Indifferenzkurven der ganzzahligen Nutzenniveaus von 1 bis 8 geplotet. 
[[Datei:IndifferenzkurvenRechnung.png|500px|rahmenlos]]

==Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution==
Entlang einer konvexen Indifferenzkurve verändert sich die Steigung der Indifferenzkurve. Für den weiteren Verlauf soll folgende Indifferenzkurven als Beispiel dienen: 
[[Datei:GRS.png|350px|rahmenlos]]
 
 
Bei einem geringen <math> x_{1} </math> Wert ist der <math> x_{2} </math> Wert hoch. Das dazugehörige Konsumgüterbündel befindet sich nahe der <math> x_{2} </math> Achse. Hier ist die Funktion stark fallend (betragsmäßig sehr steil), da beide Güter einen abnehmenden Grenznutzen haben. Je größer der <math> x_{1} </math> Wert wird, desto weniger stark fällt die Funktion. Die Steigung der Indifferenzkurve nimmt betragsmäßig also ab. 
Um die Steigung interpretieren zu könne muss die Bedeutung der Indifferenzkurve herangezogen werden. Entlang der Indifferenzkurve ist der Nutzen konstant. In dem marginal zu betrachtenden Punkt ist ein Konsument bereit die Güter im Verhältnis der Steigung auszutauschen, da er so seinen Nutzen behält. Ist die Steigung beispielsweise -2, ist er bereit eine marginale Einheit von <math> x_{1} </math> für zwei Einheiten von <math> x_{2} </math> zu tauschen. Je nach Position auf der Indifferenzkurve verändert sich auch das Verhältnis, das der Konsument verlangt. Die Steigung der Indifferenzkurve entspricht dem Verhältnis, zu dem ein Konsument bereit ist, die Güter zu tauschen (Austauschverhältnis). Dies wird auch Grenzrate der Substitution (GRS), beziehungsweise Marginal Rate of Substitution (MRS) genannt. 
Mathematisch kann bei der Bestimmung des [[Haushaltsoptimum|Haushaltsoptimums]] gezeigt werden, dass die GRS dem Grenznutzenverhältnis der beiden Gütern entspricht. 
<math> GRS_{x_{1},x_{2}}=\frac{\frac{\partial U}{\partial x_{1}}}{\frac{\partial U}{\partial x_{2}}} </math>

==Indifferenzkurven der Güterarten==
Die Indifferenzkurven der verschiedenen Güterarten unterscheiden sich je nach Präferenzen. Häufig wird zwischen den folgenden Güterarten und ihren Indifferenzkurven unterschieden:

'''Perfekte Substitute''' 
Die Nutzenfunktion von [[Perfekten Substituten]] kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=ax_{1}+bx_{2} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. Indifferenzkurven von Perfekten Substituten weisen als Eigenschaft auf, dass sie die Achsen berühren und einen linearen Verlauf haben. Das bedeutet: sie haben eine konstante GRS, da der Grenznutzen beider Güter konstant ist. 
[[Datei:Perfekte Substitute.png|351px|rahmenlos]] 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>
 
 
'''Perfekte Komplemente''' 
Die Nutzenfunktion von [[Perfekten Komplementen]] kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=min\{ax_{1},bx_{2}\} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. Grafisch sind die Indifferenzkurven in L Form, es wird auch häufig von Leontief Präferenzen gesprochen. Diese Güter stiften nur einen Nutzen, wenn sie in einem festen Verhältnis konsumiert werden. Klassische Beispiele sind Schuhe, Socken oder Handschuhe. 
[[Datei:Perfekte Komplemente.png|351px|rahmenlos]] 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>
 
 
'''Imperfekte Subtitute''' 
Die Nutzenfunktion von [[Imperfekte Substitute]] kann zum Beispiel wie folgt aussehen: <math display="inline"> U(x_{1},x_{2})=x_{1}^{a}*x_{2}^{b} </math>, wobei a und b beliebige Konstanten sind. 
[[Datei:ImperfekteSubstitute.png|350px|rahmenlos]]
 
 
In der Abbildung gilt <math> U_{3} > U_{2} > U_{1} </math>

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie könnte die Nutzenfunktion von Brigitte aussehen, wenn sie immer 3 Packungen Gummibärchen (G) mit einer Packung Chips (C) konsumiert?
|type="()"}
- <math> U(G,C)=min\{G,\frac{1}{3}C\} </math>.
+ <math> U(G,C)=min\{\frac{1}{3}G,C\} </math>.
- <math> U(G,C)=3G+C </math>.
- <math> U(G,C)=G*3C </math>.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen Peter hat folgende Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^{2}+2y </math>. Welche der folgenden Konsumbündel liegt nicht auf der selben Indifferenzkurve wie die restlichen?
|type="()"}
+ (x, y)=(4, 8).
- (x, y)=(3, 7.5).
- (x, y)=(4.75, 0.71875).
- (x, y)=(2, 10).
- (x, y)=(0, 12).
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Philipp hat eine Nutzenfunktion <math>U(x,y)=x^{0,4}*y^{\frac{3}{5}} </math>. Welche Präferenzen bilden sie ab und welche Eigenschaften haben die Indifferenzkurven?
|type="()"}
+ Imperfekte Substitute, sie berührt die Achsen nicht.
- Perfekte Komplemente, sie berühren die Achsen.
- Perfekte Substitute, sie berühren die Achsen.
- Imperfekte Substitute, sie berühren die Achsen.
- Perfekte Komplemente, alle Eigenschaften dieser Indifferenzkurven sind erfüllt.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Angenommen Sigmar hat folgende Nutzenfunktion: <math> U(x,y(x))=x^{0,5}*e^{y(x)} </math>. Wie lautet seine Grenzrate der Substitution (<math>GRS_{x,y}</math>)?
|type="()"}
+ <math>GRS_{x,y}=y'(x)+\frac{1}{2x}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{0,5x^{-0,5}*e^{y(x)}}{x^{0,5}*e^{y(x)}}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{x^{0,5}}{e^{y(x)}}</math>.
- <math>GRS_{x,y}=\frac{1}{2x}</math>.
</quiz>

Öffentliche Güter

2023-09-14T18:56:56Z

Uwalz: /* Öffentliche Güter und Effizienz */

==Definition==
Ein öffentliches Gut ist ein nicht ausschließbares, nicht-rivales Gut. Die Grenzkosten der Bereitstellung an einen zusätzlichen Nachfrager sind Null und niemand kann vom Konsum des Gutes ausgeschlossen werden.

__TOC__

==Nicht Rivalität==
Ein Gut ist nicht rivalisierend im Konsum, wenn die Bereitstellung an einen zusätzlichen Nachfrager keine zusätzlichen Kosten verursacht. Damit ist nicht gemeint, dass ein öffentliches Gut nichts kostet, sondern dass es nicht mehr kostet, eine zusätzliche Person an diesem Gut teilhaben zu lassen.
Beispiel Fernsehsendung: Die Produktion der Fernsehsendung kostet Geld, aber sie wird nicht teurer, wenn nur ein Individuum sie nutzt/ansieht. Die Kosten der Bereitstellung des Gutes "Fernsehsendung" für einen weiteren Zuschauer sind also Null <=> Die Grenzkosten sind Null.
In der Realität sehen wir, dass viele Güter rivalisierend sind. Wenn alle Plätze im Hörsaal besetzt sind, kann sich kein weiterer Studierender in den Hörsaal setzen und der Vorlesung folgen.

==Nicht Ausschließbarkeit==
Ein Gut ist nicht ausschließbar, wenn es nicht möglich ist, die Nachfrager vom Konsum dieses Gutes abzuhalten. Dies bedeutet, dass es schwierig oder sogar unmöglich ist, den Nachfragern etwas für den Konsum in Rechnung zu stellen.
Dies soll am Beispiel eines Leuchtturms verdeutlicht werden. Leuchttürme dienen als Lichtsignal für Schiffe. Schiffe können nicht von der Nutzung des Signals ausgeschlossen werden, wenn sie vorbeifahren. Ein weiteres Beispiel ist ein öffentlicher Park. Da es sich um einen öffentlichen Raum handelt, kann den Menschen die Nutzung nicht verboten werden. Je nach Größe des Parks kann es jedoch zu Rivalitäten kommen, wenn nicht jeder Platz im Park hat.

==Öffentliches Gut Matrix==
Nur Güter, die Nicht Rivalität und Nicht Ausschließbarkeit vereinen sind Öffentliche Güter. Als Beispiel soll uns eine Autobahn dienen.
{| class="wikitable"
! scope="col"|
! scope="col"| Ausschließbarkeit
! scope="col"| Nicht Ausschließbarkeit
|-
! scope="row"| Rivalität
| '''Private Güter''' Private Autobahn mit Stau
| '''Allmende Güter''' Öffentliche Autobahn mit Stau
|-
! scope="row"| Nicht Rivalität
| '''Klubgüter''' Private Autobahn ohne Stau
| '''Öffentliche Güter''' Öffentliche Autobahn ohne Stau
|}
Auf einer öffentlichen Autobahn darf grundsätzlich jeder fahren. Es kann also kein Verbraucher von einer öffentlichen Autobahn ausgeschlossen werden. Wenn es auf einer öffentlichen Autobahn keinen Stau gibt, gibt es auch keine Rivalität, da alle Autofahrer die Autobahn ohne Probleme benutzen können und an ihr Ziel kommen. In diesem Fall sind also Nicht Rivalität und Nicht Ausschließbarkeit gegeben und es handelt sich um ein '''Öffentliches Gut'''. Ähnliches gilt für die Landesverteidigung oder einen frei empfangbaren Fernsehsender.
 
 
Im zweiten Fall befinden wir uns wieder auf einer öffentlichen Autobahn, von deren Benutzung niemand ausgeschlossen werden kann. In diesem Fall gibt es jedoch einen Stau auf der Autobahn, weil es sehr viele Nachfrager gibt, die alle schnell an ihr Ziel kommen wollen und dabei auf zu viele andere Autofahrer treffen. In diesem Fall besteht eine Rivalität, es wollen mehr Autofahrer auf die für alle zugängliche Autobahn als Platz vorhanden ist. Es gibt also Nicht Ausschließbarkeit und Rivalität, wir sprechen in diesem Fall von einem '''Allmendegut'''. Ein anderes Beispiel ist ein sehr großer öffentlicher Badesee. Die Plätze am Strand sind jedoch begrenzt. 
 
Befinden wir uns auf einer privaten Autobahn ohne Stau, so kann der Besitzer der Autobahn einzelne Autofahrer durchaus an der Nutzung hindern. Da kein Stau herrscht haben jedoch alle die die Autobahn nutzen kein Problem an ihr Ziel zu kommen. Es liegt Ausschließbarkeit und Nicht Rivalität vor. In diesem Fall sprechen wir von einem '''Klubgut'''. Ein weiteres Beispiel ist das Pay TV. Nachfrager müssen erst eine Summe zahlen und können dafür die Sendungen schauen, egal wie viele andere ebenfalls den Pay TV Anbieter nutzen. 
 
Im Letzten Fall befinden wir uns wieder auf der privaten Autobahn, von der einzelne Nachfrager ausgeschlossen werden können. Dieses Mal herrscht Stau, also Rivalität darin möglichst schnell an das Ziel zu kommen. In diesem Fall liegt Ausschließbarkeit und Rivalität vor, wir sprechen von einem '''Privaten Gut'''. Ein anderes Beispiel sind Lebensmittel in einem Supermarkt. Nachfrager können nicht ohne weiteres Lebensmittel nutzen, sie müssen dafür zahlen. Außerdem kann ein und das selbe Lebensmittel nicht von zwei Nachfragern genutzt werden, wenn der letzte Apfel im Supermarkt verkauft ist kann kein weiterer Nachfrager mehr einen Apfel kaufen.

==Öffentliche Güter und Effizienz==
Öffentliche Güter werden häufig vom Staat finanziert und bereitgestellt. Der Grund dafür ist, dass diese Güter sonst zu wenig bereitgestellt würden, was [[Effizienz|ineffizient]] wäre. Die grundlegende Logik ist, dass bei Nicht-Ausschliessbarkeit ein Konsument auch ohne Zahlung teilhaben kann und wegen Nicht-Rivalität dies auch ineffizient wäre. Die folgende Grafik soll dies verdeutlichen:
 
[[Datei:Öffentliches Gut.png|500px|rahmenlos]] 
In diesem Beispiel gibt es zwei Nachfrager nach dem öffentlichen Gut, wobei ihre Nutzen in diesem Fall in Euro bemessen werden können. Der Nachfrager <math display="inline> D_{1} </math> erfährt einen zu niedrigen Nutzen, als dass er zu dem Preis des öffentlichen Gutes etwas nachfragen würde. Nachfrager <math display="inline> D_{2} </math> erfährt einen größeren Nutzen aus dem öffentlichen Gut. Er würde im Schnittpunkt mit der Grenzkostenkurve das öffentliche Gut nachfragen, was allerdings eine geringere Menge als gesamtgesellschaftlich optimal wäre. Denn betrachtet man die Gesellschaft als eins, müssen die Nutzenfunktionen aller Nachfrager aufsummiert werden. Der Schnittpunkt der gesellschaftlichen Nachfragekurve mit der Grenzkostenkurve führt zu einer höheren Menge als in der Betrachtung der einzelnen Individuen. Dies führt dazu, dass [[Zusammenfassung Marktversagen|Märkte versagen]] können.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Grenzkosten einer Fabrik, in der Haarspraydosen hergestellt werden, liegen bei GK=2+0,01Q, doch da die Benutzung von Spraydosen die Ozonschicht zerstört, liegen die gesellschaftlichen Grenzkosten bei GGK=2+0,5Q, wobei Q die Anzahl Dosen pro Monat ist. Der Wettbewerbspreis für Haarspray liegt bei 4€ pro Dose. Wie hoch ist das effiziente Produktionsniveau?
|type="()"}
+ 4.
- 0.
- 2.
- 20.
- 200.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Auf einem Markt mit wenig Marktmacht herrscht eine Nachfrage nach einem Gut X von <math display="inline"> p(x_{N})=43-\frac{1}{4}x_{N} </math>. Alle Unternehmen haben zusammen folgende Kostenfunktion <math display="inline"> C(x)=500+4x^{2}+10x </math>. Bei der Produktion fällt insgesamt ein Schaden von <math display="inline"> 8,25x </math> an. Je nachdem wie viele Einheiten von x produziert werden steigt der Gesamtschaden konstant. 
Welche Menge von x werden produziert, wenn der Schaden nicht internalisiert wird?
|type="()"}
+ 4 Einheiten.
- 3 Einheiten.
- 22,5 Einheiten.
- 1 Einheit.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Auf einem Markt mit wenig Marktmacht herrscht eine Nachfrage nach einem Gut X von <math display="inline"> p(x_{N})=43-\frac{1}{4}x_{N} </math>. Alle Unternehmen haben zusammen folgende Kostenfunktion <math display="inline"> C(x)=500+4x^{2}+10x </math>. Bei der Produktion fällt insgesamt ein Schaden von <math display="inline"> 8,25x </math> an. Je nachdem wie viele Einheiten von x produziert werden steigt der Gesamtschaden konstant. 
Welche Menge von x wäre effizient?
|type="()"}
+ 3 Einheiten.
- 4 Einheiten.
- 22,5 Einheiten.
- 1 Einheit.
</quiz>

Öffentliche Güter

2023-09-14T18:54:43Z

Uwalz: /* Nicht Rivalität */

==Definition==
Ein öffentliches Gut ist ein nicht ausschließbares, nicht-rivales Gut. Die Grenzkosten der Bereitstellung an einen zusätzlichen Nachfrager sind Null und niemand kann vom Konsum des Gutes ausgeschlossen werden.

__TOC__

==Nicht Rivalität==
Ein Gut ist nicht rivalisierend im Konsum, wenn die Bereitstellung an einen zusätzlichen Nachfrager keine zusätzlichen Kosten verursacht. Damit ist nicht gemeint, dass ein öffentliches Gut nichts kostet, sondern dass es nicht mehr kostet, eine zusätzliche Person an diesem Gut teilhaben zu lassen.
Beispiel Fernsehsendung: Die Produktion der Fernsehsendung kostet Geld, aber sie wird nicht teurer, wenn nur ein Individuum sie nutzt/ansieht. Die Kosten der Bereitstellung des Gutes "Fernsehsendung" für einen weiteren Zuschauer sind also Null <=> Die Grenzkosten sind Null.
In der Realität sehen wir, dass viele Güter rivalisierend sind. Wenn alle Plätze im Hörsaal besetzt sind, kann sich kein weiterer Studierender in den Hörsaal setzen und der Vorlesung folgen.

==Nicht Ausschließbarkeit==
Ein Gut ist nicht ausschließbar, wenn es nicht möglich ist, die Nachfrager vom Konsum dieses Gutes abzuhalten. Dies bedeutet, dass es schwierig oder sogar unmöglich ist, den Nachfragern etwas für den Konsum in Rechnung zu stellen.
Dies soll am Beispiel eines Leuchtturms verdeutlicht werden. Leuchttürme dienen als Lichtsignal für Schiffe. Schiffe können nicht von der Nutzung des Signals ausgeschlossen werden, wenn sie vorbeifahren. Ein weiteres Beispiel ist ein öffentlicher Park. Da es sich um einen öffentlichen Raum handelt, kann den Menschen die Nutzung nicht verboten werden. Je nach Größe des Parks kann es jedoch zu Rivalitäten kommen, wenn nicht jeder Platz im Park hat.

==Öffentliches Gut Matrix==
Nur Güter, die Nicht Rivalität und Nicht Ausschließbarkeit vereinen sind Öffentliche Güter. Als Beispiel soll uns eine Autobahn dienen.
{| class="wikitable"
! scope="col"|
! scope="col"| Ausschließbarkeit
! scope="col"| Nicht Ausschließbarkeit
|-
! scope="row"| Rivalität
| '''Private Güter''' Private Autobahn mit Stau
| '''Allmende Güter''' Öffentliche Autobahn mit Stau
|-
! scope="row"| Nicht Rivalität
| '''Klubgüter''' Private Autobahn ohne Stau
| '''Öffentliche Güter''' Öffentliche Autobahn ohne Stau
|}
Auf einer öffentlichen Autobahn darf grundsätzlich jeder fahren. Es kann also kein Verbraucher von einer öffentlichen Autobahn ausgeschlossen werden. Wenn es auf einer öffentlichen Autobahn keinen Stau gibt, gibt es auch keine Rivalität, da alle Autofahrer die Autobahn ohne Probleme benutzen können und an ihr Ziel kommen. In diesem Fall sind also Nicht Rivalität und Nicht Ausschließbarkeit gegeben und es handelt sich um ein '''Öffentliches Gut'''. Ähnliches gilt für die Landesverteidigung oder einen frei empfangbaren Fernsehsender.
 
 
Im zweiten Fall befinden wir uns wieder auf einer öffentlichen Autobahn, von deren Benutzung niemand ausgeschlossen werden kann. In diesem Fall gibt es jedoch einen Stau auf der Autobahn, weil es sehr viele Nachfrager gibt, die alle schnell an ihr Ziel kommen wollen und dabei auf zu viele andere Autofahrer treffen. In diesem Fall besteht eine Rivalität, es wollen mehr Autofahrer auf die für alle zugängliche Autobahn als Platz vorhanden ist. Es gibt also Nicht Ausschließbarkeit und Rivalität, wir sprechen in diesem Fall von einem '''Allmendegut'''. Ein anderes Beispiel ist ein sehr großer öffentlicher Badesee. Die Plätze am Strand sind jedoch begrenzt. 
 
Befinden wir uns auf einer privaten Autobahn ohne Stau, so kann der Besitzer der Autobahn einzelne Autofahrer durchaus an der Nutzung hindern. Da kein Stau herrscht haben jedoch alle die die Autobahn nutzen kein Problem an ihr Ziel zu kommen. Es liegt Ausschließbarkeit und Nicht Rivalität vor. In diesem Fall sprechen wir von einem '''Klubgut'''. Ein weiteres Beispiel ist das Pay TV. Nachfrager müssen erst eine Summe zahlen und können dafür die Sendungen schauen, egal wie viele andere ebenfalls den Pay TV Anbieter nutzen. 
 
Im Letzten Fall befinden wir uns wieder auf der privaten Autobahn, von der einzelne Nachfrager ausgeschlossen werden können. Dieses Mal herrscht Stau, also Rivalität darin möglichst schnell an das Ziel zu kommen. In diesem Fall liegt Ausschließbarkeit und Rivalität vor, wir sprechen von einem '''Privaten Gut'''. Ein anderes Beispiel sind Lebensmittel in einem Supermarkt. Nachfrager können nicht ohne weiteres Lebensmittel nutzen, sie müssen dafür zahlen. Außerdem kann ein und das selbe Lebensmittel nicht von zwei Nachfragern genutzt werden, wenn der letzte Apfel im Supermarkt verkauft ist kann kein weiterer Nachfrager mehr einen Apfel kaufen.

==Öffentliche Güter und Effizienz==
Öffentliche Güter werden häufig vom Staat finanziert und bereitgestellt. Der Grund dafür ist, dass diese Güter sonst zu wenig bereitgestellt würden, was [[Effizienz|ineffizient]] wäre. Die folgende Grafik soll dies verdeutlichen:
 
[[Datei:Öffentliches Gut.png|500px|rahmenlos]] 
In diesem Beispiel gibt es zwei Nachfrager nach dem öffentlichen Gut, wobei ihre Nutzen in diesem Fall in Euro bemessen werden können. Der Nachfrager <math display="inline> D_{1} </math> erfährt einen zu niedrigen Nutzen, als dass er zu dem Preis des öffentlichen Gutes etwas nachfragen würde. Nachfrager <math display="inline> D_{2} </math> erfährt einen größeren Nutzen aus dem öffentlichen Gut. Er würde im Schnittpunkt mit der Grenzkostenkurve das öffentliche Gut nachfragen, was allerdings eine geringere Menge als gesamtgesellschaftlich optimal wäre. Denn betrachtet man die Gesellschaft als eins, müssen die Nutzenfunktionen aller Nachfrager aufsummiert werden. Der Schnittpunkt der gesellschaftlichen Nachfragekurve mit der Grenzkostenkurve führt zu einer höheren Menge als in der Betrachtung der einzelnen Individuen. Dies führt dazu, dass [[Zusammenfassung Marktversagen|Märkte versagen]] können.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Grenzkosten einer Fabrik, in der Haarspraydosen hergestellt werden, liegen bei GK=2+0,01Q, doch da die Benutzung von Spraydosen die Ozonschicht zerstört, liegen die gesellschaftlichen Grenzkosten bei GGK=2+0,5Q, wobei Q die Anzahl Dosen pro Monat ist. Der Wettbewerbspreis für Haarspray liegt bei 4€ pro Dose. Wie hoch ist das effiziente Produktionsniveau?
|type="()"}
+ 4.
- 0.
- 2.
- 20.
- 200.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Auf einem Markt mit wenig Marktmacht herrscht eine Nachfrage nach einem Gut X von <math display="inline"> p(x_{N})=43-\frac{1}{4}x_{N} </math>. Alle Unternehmen haben zusammen folgende Kostenfunktion <math display="inline"> C(x)=500+4x^{2}+10x </math>. Bei der Produktion fällt insgesamt ein Schaden von <math display="inline"> 8,25x </math> an. Je nachdem wie viele Einheiten von x produziert werden steigt der Gesamtschaden konstant. 
Welche Menge von x werden produziert, wenn der Schaden nicht internalisiert wird?
|type="()"}
+ 4 Einheiten.
- 3 Einheiten.
- 22,5 Einheiten.
- 1 Einheit.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Auf einem Markt mit wenig Marktmacht herrscht eine Nachfrage nach einem Gut X von <math display="inline"> p(x_{N})=43-\frac{1}{4}x_{N} </math>. Alle Unternehmen haben zusammen folgende Kostenfunktion <math display="inline"> C(x)=500+4x^{2}+10x </math>. Bei der Produktion fällt insgesamt ein Schaden von <math display="inline"> 8,25x </math> an. Je nachdem wie viele Einheiten von x produziert werden steigt der Gesamtschaden konstant. 
Welche Menge von x wäre effizient?
|type="()"}
+ 3 Einheiten.
- 4 Einheiten.
- 22,5 Einheiten.
- 1 Einheit.
</quiz>

Öffentliche Güter

2023-09-14T18:53:52Z

Uwalz: /* Definition */

==Definition==
Ein öffentliches Gut ist ein nicht ausschließbares, nicht-rivales Gut. Die Grenzkosten der Bereitstellung an einen zusätzlichen Nachfrager sind Null und niemand kann vom Konsum des Gutes ausgeschlossen werden.

__TOC__

==Nicht Rivalität==
Ein Gut ist nicht rivalisierend, wenn die Bereitstellung an einen zusätzlichen Nachfrager keine zusätzlichen Kosten verursacht. Damit ist nicht gemeint, dass ein öffentliches Gut nichts kostet, sondern dass es nicht mehr kostet, eine zusätzliche Person an diesem Gut teilhaben zu lassen.
Beispiel Fernsehsendung: Die Produktion der Fernsehsendung kostet Geld, aber sie wird nicht teurer, wenn nur ein Individuum sie nutzt/ansieht. Die Kosten der Bereitstellung des Gutes "Fernsehsendung" für einen weiteren Zuschauer sind also Null <=> Die Grenzkosten sind Null.
In der Realität sehen wir, dass viele Güter rivalisierend sind. Wenn alle Plätze im Hörsaal besetzt sind, kann sich kein weiterer Studierender in den Hörsaal setzen und der Vorlesung folgen.

==Nicht Ausschließbarkeit==
Ein Gut ist nicht ausschließbar, wenn es nicht möglich ist, die Nachfrager vom Konsum dieses Gutes abzuhalten. Dies bedeutet, dass es schwierig oder sogar unmöglich ist, den Nachfragern etwas für den Konsum in Rechnung zu stellen.
Dies soll am Beispiel eines Leuchtturms verdeutlicht werden. Leuchttürme dienen als Lichtsignal für Schiffe. Schiffe können nicht von der Nutzung des Signals ausgeschlossen werden, wenn sie vorbeifahren. Ein weiteres Beispiel ist ein öffentlicher Park. Da es sich um einen öffentlichen Raum handelt, kann den Menschen die Nutzung nicht verboten werden. Je nach Größe des Parks kann es jedoch zu Rivalitäten kommen, wenn nicht jeder Platz im Park hat.

==Öffentliches Gut Matrix==
Nur Güter, die Nicht Rivalität und Nicht Ausschließbarkeit vereinen sind Öffentliche Güter. Als Beispiel soll uns eine Autobahn dienen.
{| class="wikitable"
! scope="col"|
! scope="col"| Ausschließbarkeit
! scope="col"| Nicht Ausschließbarkeit
|-
! scope="row"| Rivalität
| '''Private Güter''' Private Autobahn mit Stau
| '''Allmende Güter''' Öffentliche Autobahn mit Stau
|-
! scope="row"| Nicht Rivalität
| '''Klubgüter''' Private Autobahn ohne Stau
| '''Öffentliche Güter''' Öffentliche Autobahn ohne Stau
|}
Auf einer öffentlichen Autobahn darf grundsätzlich jeder fahren. Es kann also kein Verbraucher von einer öffentlichen Autobahn ausgeschlossen werden. Wenn es auf einer öffentlichen Autobahn keinen Stau gibt, gibt es auch keine Rivalität, da alle Autofahrer die Autobahn ohne Probleme benutzen können und an ihr Ziel kommen. In diesem Fall sind also Nicht Rivalität und Nicht Ausschließbarkeit gegeben und es handelt sich um ein '''Öffentliches Gut'''. Ähnliches gilt für die Landesverteidigung oder einen frei empfangbaren Fernsehsender.
 
 
Im zweiten Fall befinden wir uns wieder auf einer öffentlichen Autobahn, von deren Benutzung niemand ausgeschlossen werden kann. In diesem Fall gibt es jedoch einen Stau auf der Autobahn, weil es sehr viele Nachfrager gibt, die alle schnell an ihr Ziel kommen wollen und dabei auf zu viele andere Autofahrer treffen. In diesem Fall besteht eine Rivalität, es wollen mehr Autofahrer auf die für alle zugängliche Autobahn als Platz vorhanden ist. Es gibt also Nicht Ausschließbarkeit und Rivalität, wir sprechen in diesem Fall von einem '''Allmendegut'''. Ein anderes Beispiel ist ein sehr großer öffentlicher Badesee. Die Plätze am Strand sind jedoch begrenzt. 
 
Befinden wir uns auf einer privaten Autobahn ohne Stau, so kann der Besitzer der Autobahn einzelne Autofahrer durchaus an der Nutzung hindern. Da kein Stau herrscht haben jedoch alle die die Autobahn nutzen kein Problem an ihr Ziel zu kommen. Es liegt Ausschließbarkeit und Nicht Rivalität vor. In diesem Fall sprechen wir von einem '''Klubgut'''. Ein weiteres Beispiel ist das Pay TV. Nachfrager müssen erst eine Summe zahlen und können dafür die Sendungen schauen, egal wie viele andere ebenfalls den Pay TV Anbieter nutzen. 
 
Im Letzten Fall befinden wir uns wieder auf der privaten Autobahn, von der einzelne Nachfrager ausgeschlossen werden können. Dieses Mal herrscht Stau, also Rivalität darin möglichst schnell an das Ziel zu kommen. In diesem Fall liegt Ausschließbarkeit und Rivalität vor, wir sprechen von einem '''Privaten Gut'''. Ein anderes Beispiel sind Lebensmittel in einem Supermarkt. Nachfrager können nicht ohne weiteres Lebensmittel nutzen, sie müssen dafür zahlen. Außerdem kann ein und das selbe Lebensmittel nicht von zwei Nachfragern genutzt werden, wenn der letzte Apfel im Supermarkt verkauft ist kann kein weiterer Nachfrager mehr einen Apfel kaufen.

==Öffentliche Güter und Effizienz==
Öffentliche Güter werden häufig vom Staat finanziert und bereitgestellt. Der Grund dafür ist, dass diese Güter sonst zu wenig bereitgestellt würden, was [[Effizienz|ineffizient]] wäre. Die folgende Grafik soll dies verdeutlichen:
 
[[Datei:Öffentliches Gut.png|500px|rahmenlos]] 
In diesem Beispiel gibt es zwei Nachfrager nach dem öffentlichen Gut, wobei ihre Nutzen in diesem Fall in Euro bemessen werden können. Der Nachfrager <math display="inline> D_{1} </math> erfährt einen zu niedrigen Nutzen, als dass er zu dem Preis des öffentlichen Gutes etwas nachfragen würde. Nachfrager <math display="inline> D_{2} </math> erfährt einen größeren Nutzen aus dem öffentlichen Gut. Er würde im Schnittpunkt mit der Grenzkostenkurve das öffentliche Gut nachfragen, was allerdings eine geringere Menge als gesamtgesellschaftlich optimal wäre. Denn betrachtet man die Gesellschaft als eins, müssen die Nutzenfunktionen aller Nachfrager aufsummiert werden. Der Schnittpunkt der gesellschaftlichen Nachfragekurve mit der Grenzkostenkurve führt zu einer höheren Menge als in der Betrachtung der einzelnen Individuen. Dies führt dazu, dass [[Zusammenfassung Marktversagen|Märkte versagen]] können.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die Grenzkosten einer Fabrik, in der Haarspraydosen hergestellt werden, liegen bei GK=2+0,01Q, doch da die Benutzung von Spraydosen die Ozonschicht zerstört, liegen die gesellschaftlichen Grenzkosten bei GGK=2+0,5Q, wobei Q die Anzahl Dosen pro Monat ist. Der Wettbewerbspreis für Haarspray liegt bei 4€ pro Dose. Wie hoch ist das effiziente Produktionsniveau?
|type="()"}
+ 4.
- 0.
- 2.
- 20.
- 200.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Auf einem Markt mit wenig Marktmacht herrscht eine Nachfrage nach einem Gut X von <math display="inline"> p(x_{N})=43-\frac{1}{4}x_{N} </math>. Alle Unternehmen haben zusammen folgende Kostenfunktion <math display="inline"> C(x)=500+4x^{2}+10x </math>. Bei der Produktion fällt insgesamt ein Schaden von <math display="inline"> 8,25x </math> an. Je nachdem wie viele Einheiten von x produziert werden steigt der Gesamtschaden konstant. 
Welche Menge von x werden produziert, wenn der Schaden nicht internalisiert wird?
|type="()"}
+ 4 Einheiten.
- 3 Einheiten.
- 22,5 Einheiten.
- 1 Einheit.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Auf einem Markt mit wenig Marktmacht herrscht eine Nachfrage nach einem Gut X von <math display="inline"> p(x_{N})=43-\frac{1}{4}x_{N} </math>. Alle Unternehmen haben zusammen folgende Kostenfunktion <math display="inline"> C(x)=500+4x^{2}+10x </math>. Bei der Produktion fällt insgesamt ein Schaden von <math display="inline"> 8,25x </math> an. Je nachdem wie viele Einheiten von x produziert werden steigt der Gesamtschaden konstant. 
Welche Menge von x wäre effizient?
|type="()"}
+ 3 Einheiten.
- 4 Einheiten.
- 22,5 Einheiten.
- 1 Einheit.
</quiz>

Externalitäten und Internalisierung

2023-09-13T07:43:30Z

Uwalz: /* Internalisierung */

==Definition==
Externalitäten beschreiben Handlungen von Produzenten oder Konsumenten, welche anderen Marktteilnehmer betreffen ohne jedoch im [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewicht]] eingepreist zu sein. Wir unterscheiden hierbei zwischen positiven und negativen Externalitäten.

__TOC__

==Positive Externalitäten==
Positive Externalitäten führen dazu, dass zu wenig produziert wird. Ein mögliches Beispiel sind Renovierungsarbeiten an einem Haus. Die Hausbesitzer erfahren einen Nutzen (Utility) aus der Renovierung ihres Hauses. Der Garten, die Einfahrt und auch die komplette Hausfassade müssen modernisiert werden, wodurch Kosten entstehen. Die [[Kostenarten#Grenzkosten|Grenzkosten]] für die Renovierung sollen im Beispiel steigend sein. Je mehr renoviert wird, desto besser ist es für die Hausbesitzer. Aber jede Stunde mehr bringt weniger zusätzlichen Nutzen, es liegt also ein [[Nutzentheorie|abnehmender Grenznutzen]] (Marginal Utility=MU) vor. Die Hausbesitzer beauftragen einen Dienstleister für die Renovierungsarbeiten so lange, bis sie die nächste Stunde Arbeit mehr kostet, als ihnen zusätzlichen Nutzen bringt. Die Hausnachbarn, profitieren allerdings auch von der Renovierung, da sie hierdurch zum Beispiel aufgrund der schöner werdenden Aussicht lieber in ihrem Garten sitzen. Da sie einen Nutzen aus der Renovierung erfahren, bringt ihnen jede zusätzliche Stunde Arbeit des Dienstleisters mehr Nutzen (MU). Dieser Nutzen wird jedoch nicht in der Entscheidung einbezogen, denn nur die Hausbesitzer achten auf ihr Grenzkosten-Grenznutzenverhältnis. Der soziale Nutzen (SU) stellt sich aus dem Nutzen der Hausbesitzer plus dem Nutzen der Nachbarn (Externer Nutzen=EU) zusammen. 
SU = U + EU 
Daraus folgt im sozialen Optimum: 
SMU=GK 
MU + MEU = GK 
Der SMU (Social Marginal Utility) ist der soziale Grenznutzen. Wie in der Abbildung zu sehen ist liegt die produzierte Menge <math display="inline"> q_{1} </math> unter der sozial optimalen Menge <math display="inline"> q^{*} </math>. Im Fall von steigenden Grenzkosten lässt sich sehen, dass der tatsächliche Preis <math> p_1 </math> unter dem sozial optimalen Preis <math display="inline"> p^{*} </math> liegt. Es sind auch Szenrien vorstellbar, in denen der externe Effekt kostant ist. Auch die Grenzkosten könnten theoretisch konstant sein. 
[[Datei:PositiveExternalitäten.png|501px|rahmenlos]]

==Negative Externalitäten==
Negative Externalitäten führen dazu, dass zu einem zu niedrigen Preis eine zu große Menge produziert wird. Ein mögliches Beispiel ist eine Firma, die in ihrer Produktion Abgase unkontrolliert in die Luft stößt. Dadurch entsteht den umliegenden Haushalten ein Disnutzen, beziehungsweise entstehen ihnen Kosten um sich vor den Abgasen zu schützen (z.B. Finanzierung eines Aufforstungsprogramms, damit Bäume die Abgase filtern). Diese Kosten fallen pro produzierter Einheit an und die Reduzierung von jeder weiteren Einheit der Abgase wird immer teurer. In der Abbildung unten soll die EMC (external Marginal Costs) Kurve diese Kosten widerspiegeln. Die Firma selbst zahlt diese Kosten jedoch nicht, sondern zahlt nur die Kosten, die in der Produktion direkt entstehen (MC Kurve). Diese [[Kostenarten#Grenzkosten|Grenzkosten]] bilden die [[Angebot|Angebotsfunktion]], die zusammen mit der [[Nachfrage]] einen Marktpreis <math display="inline"> P_{1} </math> und eine Gleichgewichtsmenge <math display="inline"> Q_{1} </math> bilden. Dieses [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewicht]] ist jedoch nicht effizient, da die Grenzkosten, die in der Bestimmung des Gleichgewichts als Angebotskurve herangezogen werden, in Wahrheit größer sind. Die tatsächliche Grenzkostenkurve ist in der SMC (Social Marginal Costs) Kurve dargestellt. Diese Kurve preist die negative Externalität, die die Haushalte negativ betrifft, ein. Die gesellschaftliche Angebotskurve besteht aus den (privaten) Grenzkosten der Firma und den Grenzkosten der Haushalte. Im alten Marktgleichgewicht wird eine zu große Menge zu einem zu niedrigen Preis produziert, wodurch eine Wohlfahrtsverlust (in der grauen Fläche gekennzeichnet) entsteht; das alte Marktgleichgewicht ist nicht [[Effizienz|effizient]]. 
[[Datei:NegativeExternalitäten.png|501px|rahmenlos]]

==Internalisierung==
Externalitäten führen zu nicht [[Effizienz|effizienten]] [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewichten]], da entweder zu viel (im Falle negativer Externalitäten) oder zu wenig (im Falle positiver Externalitäten) zu einem zu geringen oder zu einem zu hohen Preis produziert wird. Externalitäten stellen also Beispiele für [[Zusammenfassung Marktversagen|Marktversagen]] dar, für die es im Falle von Externalitäten verschiedene Möglichkeiten gibt diese durch Internalisierung zu verhindern. 
 
'''Pigou Steuer (staatliche Eingriffe)''' 
Im Falle von negativen Externlitäten ist die private Gleichgewichtsmenge größer als die soziale Gleichgewichtsmenge und der Preis ist im privaten Gleichgewicht niedriger als im sozialen. Dies liegt an Kosten, die in der Angebotskurve nicht eingepreist sind. Eine [[Eingriffe in das Marktgleichgewicht#Steuern|Mengensteuer]], die die Angebotskurve um genau die nicht eingepreisten Kosten pro Einheit nach oben verschiebt, kann den Markt effizient gestalten. Fällt in der Produktion von einer produzierten Einheit zum Beispiel Abgase an, deren Entfernung aus der Atmosphäre eine Summe t kostet, so kann eine Mengensteuer in der Höhe von t das Gleichgewicht effizient gestalten. Diese Steuer wird Pigou Steuer genannt. 
Hierbei ist allerdings zu beachten, dass die anfallenden Kosten genau bemessbar und die Kostenstruktur der produzierenden Unternehmen bekannt sind. Andernfalls könnte die Mengensteuer häufig zu hoch oder zu niedrig ausfallen. 
[[Datei:PigouSteuer.png|401px|rahmenlos]] 
Um positive Externalitäten in einer ähnlichen Art und Weise zu interalisieren muss es das Ziel sein die Angebotskurve der Unternehmen nach unten zu verschieben. Hierzu können negative Steuern, also [[Eingriffe in das Marktgleichgewicht|Subventionen]], dienen.
 
 
'''Zertifikate''' 
Eine weitere Möglichkeit um negative Externalitäten zu internalisieren sind Zertifikate. Bei den Zertifikaten wird die zum Beispiel maximal zugelassene Menge an ausgestoßenen Abgasen festgelegt und als Zertifikate ausgegeben. Zertifikate erlauben eine gewisse Menge an Abgasen auszustoßen, sollte jedoch mehr ausgestoßen werden drohen wirksame Strafen. Der Vorteil von Zertifikaten gegenüber einfachen Beschränkungen liegt darin, dass sie in der Regel handelbar sind. Sollte ein Unternehmen weniger ausstoßen als sie laut ihren Zertifikaten könnten, kann es die übrigen Zertifikate an andere Unternehmen verkaufen. Wenn die Menge an Abgasen so reglementiert ist, dass alle Unternehmen abgasärmer produzieren müssen, können Zertifikate trotzdem zu einem effizienten Handel führen. ALs Beispiel soll untenstehende Grafik dienen: 
[[Datei:Zertifikate.png|500px|rahmenlos]] 
Die komplette Breite der x-Achse soll der erlaubten Ausstoßmenge an Abgasen entsprechen. Die Ausstoßmenge an Abgasen von Firma X steigt je weiter rechts wir uns befinden, die von Firma Y je weiter links. Je mehr X ausstößt, desto weniger kann jedoch Y ausstoßen. Auf den beiden y-Achsen sind die Kosten der beiden Firmen abgetrafegn, die es ihnen kostet eine Einheit weniger auszustoßen. Nehmen wir hier als Beispiel Firma X: Ganz rechts auf der x-Achse stoßt X viele Abgase aus. An dieser Stelle kostet es X kaum etwas die Abgase zu reduzieren. Je weniger X ausstößt, desto teurer wird es allerdings eine weitere Einheit des Abgases einzusparen. Ähnlich verhält es sich bei Firma Y. Vergleicht man die beiden Kostenfunktionen, so fällt auf, dass die der Firma Y deutlich flacher verläuft. Fimra Y kann also kostengünstiger den Ausstoß von Abgasen reduzieren. 
Gehen wir zur Analyse Zertifikathandels von einem Szenario aus, in dem Firma X alle Zertifikate hat und somit vollständig die erlaute Menge ausstößt. In diesem Fall müsste Firma Y ihren Ausstoß zu hohen Kosten vollständig zu reduzieren. In diesem Punkt wäre Firma Y bereit Firma X bereit maximal so viel für den Ausstoß einer Einheit zu bezahlen, wie es kostet diese einzusparen. Solange Firma X mehr für diese Menge bekommt, als es sie kostet diese Menge einzusparen, würde X tatsächlich eine Einheit Ausstoß "verkaufen". In anderen Worten: Y bezahlt X um eine Einheit ausstoßen zu können und zahlt dafür einen Preis, der kleiner oder gleich den Kosten der Reduktion dieser Einheit ist. Solange die Kosten der Ausstoßeinsparung von Y größer als denen von X ist, reduziert X seinen AUsstoß und wird dafür von Y bezahlt. Dies findet solange statt, bis die Ausstoßeinsparung jeder weiteren Einheit für X genauso teuer ist wie für Y. In diesem Schnittpunkt der beiden Kostenfunktionen entsteht ein Marktpreis für den Zertifikathandel. In der Abbildung zu erkennen ist zudem die [[Effizienz|effiziente]] Ausstoßmenge der beiden Firmen. Firma X hat höhere Reduzierungskosten und stößt im Schnittpunkt daher mehr aus als Y, die geringere Reduzierungskosten hat. 
 
'''[[Coase Theorem]]''' 
Das Coase Theorem besagt, dass unter Abwesenheit von Einkommenseffekten und Transaktionskosten und unter der Annahme der symmetrischen Informationen durch Verhandlungen wenige Parteien zu einer pareto effiziente Allokation kommen können. Dadurch wird das Externalitätenproblem, bei dem die negativen Externalitäten einer Partei die anderen Parteien beeinflussen, gelöst. Die genaue Verteilung der Eigentumsrechte ist aus allokativer Sicht irrelevant (es wird in beiden Fällen gleich viel verschmutzt). Die Verteilung der Eigentumsrechte hat demnach lediglich Verteilungseffekte. Im simpelsten Modell haben zwei Unternehmen einen Gewinn und eines der beiden Unternehmen bekommt Eigentumsrechte zugesprochen. Das Unternehmen mit den Eigentumsrechten kann entscheiden, ob das andere Unternehmen produzieren darf oder nicht. Die Entscheidug beeinflusst den eigenen Gewinn des Unternehmens. Daher nimmt es in den Verhandlungen nur Angebote an, die es nicht schlechter stellen als ohne Verhandlungen. 
{| class="wikitable"
|-
! Eigentumsrecht bei
! Gewinn C
! Gewinn F
! gesamt 
! resultierende Allokation
|-
| C
| 40 
| 60- 40 
| 60
| C schließt 
|-
| F
| 0
| 60
| 60
| C schließt
|}
Angenommen ein Unternehmen C macht einen Gewinn von 40, wenn es produziert und ein Unternehmen F aufgrund von negativen Externalitäten 0. Wenn C nicht produziert, macht F einen Gewinn von 60. Die Tabelle oben verdeutlicht, dass unabhängig wer die Eigentumsrechte hat, rational geführte Verhandlungen zu einer pareto effizienten Allokation führen. 
Für eine ausführlichere Beschreibung und weitere Szenarien, [[Coase Theorem|hier]].

==MC Fragen==

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Auf einem Markt für Honig sind die Nachfrager bereit ihren Grenznutzen für ein Glas Honig zu zahlen. Die Nachfragefunktion lautet <math> Q_D(P)=25-\frac{1}{2}P </math>. Die Angebotsfunktion der Honigbauern lautet <math> Q_S(P)=2P </math>. Da das Bestäuben von Blüten neben der Honigproduktion auch die Früchte von Nutzpflanzen ermöglicht, entsteht ein zusätzlicher Nutzen, der von der Gesellschaft bisher nicht eingepreist wurde. Angenommen durch jedes verkaufte Glas Honig entsteht ein zusätzlicher Nutzen, der mit 4 Euro beziffert werden kann. Wie lautet das soziale Optimum?
|type="()"}
+ <math> P^*=18 </math> und <math> Q^*=36</math>.
- <math> P^*=15 </math> und <math> Q^*=30</math>.
- <math> P^*=21 </math> und <math> Q^*=42</math>.
- <math> P^*=16 </math> und <math> Q^*=32</math>.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die aggregierte Nachfragefunktion für einen Lebkuchenmarkt lautet <math> P(Q_D)=100-8Q_D </math>. Die Angebotsfunktion lautet <math> P(Q_S)=2Q_S </math>. Bei der Produktion von Lebkuchen fallen negative Externalitäten an, die nicht in der Angebotsfunktion inkludiert werden. Ein sozialer optimaler Preis wäre 36. Wie groß muss eine Mengensteuer sein, um die Externalitäten zu internalisieren?
|type="()"}
+ t=20
- t=10
- t=4
- t=16
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage bezüglich dem Handel mit Zertifikaten stimmt '''nicht'''? (Annahme der effizienten Allokation)
|type="()"}
+ Der Zertifikatehandel setzt für ein effizientes Gleichgewicht vorraus, dass die Institution, die die Zertifikate ausgibt, über die Produktionsstruktur der Unternehmen informiert ist.
- Der Preis der Zertifikate beeinflusst nicht, über welchen Rahmen die Zertifikate gehen (Im Kontext der CO2 Zertifikate bestimmt der Preis nicht, wie viel pro Zertifikat ausgestoßen werden darf)
- Im Gleichgewicht des Marktes für Zertifikate, ist der Preis für die Nutzung eines Zertifikates genauso groß wie die Kosten, die durch Verhinderung der Externalitäten entstehen.
- Die effiziente Allokation stellt ein soziales Optimum dar.
</quiz>

Externalitäten und Internalisierung

2023-09-13T07:38:22Z

Uwalz: /* Definition */

==Definition==
Externalitäten beschreiben Handlungen von Produzenten oder Konsumenten, welche anderen Marktteilnehmer betreffen ohne jedoch im [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewicht]] eingepreist zu sein. Wir unterscheiden hierbei zwischen positiven und negativen Externalitäten.

__TOC__

==Positive Externalitäten==
Positive Externalitäten führen dazu, dass zu wenig produziert wird. Ein mögliches Beispiel sind Renovierungsarbeiten an einem Haus. Die Hausbesitzer erfahren einen Nutzen (Utility) aus der Renovierung ihres Hauses. Der Garten, die Einfahrt und auch die komplette Hausfassade müssen modernisiert werden, wodurch Kosten entstehen. Die [[Kostenarten#Grenzkosten|Grenzkosten]] für die Renovierung sollen im Beispiel steigend sein. Je mehr renoviert wird, desto besser ist es für die Hausbesitzer. Aber jede Stunde mehr bringt weniger zusätzlichen Nutzen, es liegt also ein [[Nutzentheorie|abnehmender Grenznutzen]] (Marginal Utility=MU) vor. Die Hausbesitzer beauftragen einen Dienstleister für die Renovierungsarbeiten so lange, bis sie die nächste Stunde Arbeit mehr kostet, als ihnen zusätzlichen Nutzen bringt. Die Hausnachbarn, profitieren allerdings auch von der Renovierung, da sie hierdurch zum Beispiel aufgrund der schöner werdenden Aussicht lieber in ihrem Garten sitzen. Da sie einen Nutzen aus der Renovierung erfahren, bringt ihnen jede zusätzliche Stunde Arbeit des Dienstleisters mehr Nutzen (MU). Dieser Nutzen wird jedoch nicht in der Entscheidung einbezogen, denn nur die Hausbesitzer achten auf ihr Grenzkosten-Grenznutzenverhältnis. Der soziale Nutzen (SU) stellt sich aus dem Nutzen der Hausbesitzer plus dem Nutzen der Nachbarn (Externer Nutzen=EU) zusammen. 
SU = U + EU 
Daraus folgt im sozialen Optimum: 
SMU=GK 
MU + MEU = GK 
Der SMU (Social Marginal Utility) ist der soziale Grenznutzen. Wie in der Abbildung zu sehen ist liegt die produzierte Menge <math display="inline"> q_{1} </math> unter der sozial optimalen Menge <math display="inline"> q^{*} </math>. Im Fall von steigenden Grenzkosten lässt sich sehen, dass der tatsächliche Preis <math> p_1 </math> unter dem sozial optimalen Preis <math display="inline"> p^{*} </math> liegt. Es sind auch Szenrien vorstellbar, in denen der externe Effekt kostant ist. Auch die Grenzkosten könnten theoretisch konstant sein. 
[[Datei:PositiveExternalitäten.png|501px|rahmenlos]]

==Negative Externalitäten==
Negative Externalitäten führen dazu, dass zu einem zu niedrigen Preis eine zu große Menge produziert wird. Ein mögliches Beispiel ist eine Firma, die in ihrer Produktion Abgase unkontrolliert in die Luft stößt. Dadurch entsteht den umliegenden Haushalten ein Disnutzen, beziehungsweise entstehen ihnen Kosten um sich vor den Abgasen zu schützen (z.B. Finanzierung eines Aufforstungsprogramms, damit Bäume die Abgase filtern). Diese Kosten fallen pro produzierter Einheit an und die Reduzierung von jeder weiteren Einheit der Abgase wird immer teurer. In der Abbildung unten soll die EMC (external Marginal Costs) Kurve diese Kosten widerspiegeln. Die Firma selbst zahlt diese Kosten jedoch nicht, sondern zahlt nur die Kosten, die in der Produktion direkt entstehen (MC Kurve). Diese [[Kostenarten#Grenzkosten|Grenzkosten]] bilden die [[Angebot|Angebotsfunktion]], die zusammen mit der [[Nachfrage]] einen Marktpreis <math display="inline"> P_{1} </math> und eine Gleichgewichtsmenge <math display="inline"> Q_{1} </math> bilden. Dieses [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewicht]] ist jedoch nicht effizient, da die Grenzkosten, die in der Bestimmung des Gleichgewichts als Angebotskurve herangezogen werden, in Wahrheit größer sind. Die tatsächliche Grenzkostenkurve ist in der SMC (Social Marginal Costs) Kurve dargestellt. Diese Kurve preist die negative Externalität, die die Haushalte negativ betrifft, ein. Die gesellschaftliche Angebotskurve besteht aus den (privaten) Grenzkosten der Firma und den Grenzkosten der Haushalte. Im alten Marktgleichgewicht wird eine zu große Menge zu einem zu niedrigen Preis produziert, wodurch eine Wohlfahrtsverlust (in der grauen Fläche gekennzeichnet) entsteht; das alte Marktgleichgewicht ist nicht [[Effizienz|effizient]]. 
[[Datei:NegativeExternalitäten.png|501px|rahmenlos]]

==Internalisierung==
Externalitäten führen zu nicht [[Effizienz|effizienten]] [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewichten]], da entweder zu viel oder zu wenig zu einem zu geringen oder zu einem zu hohen Preis produziert wird. Externalitäten stellen also Beispiele für [[Zusammenfassung Marktversagen|Marktversagen]] dar, für die es im Falle von Externalitäten verschiedene Möglichkeiten gibt diese durch Internalisierung zu verhindern. 
 
'''Pigou Steuer (staatliche Eingriffe)''' 
Im Falle von negativen Externlitäten ist die private Gleichgewichtsmenge größer als die soziale Gleichgewichtsmenge und der Preis ist im privaten Gleichgewicht niedriger als im sozialen. Dies liegt an Kosten, die in der Angebotskurve nicht eingepreist sind. Eine [[Eingriffe in das Marktgleichgewicht#Steuern|Mengensteuer]], die die Angebotskurve um genau die nicht eingepreisten Kosten pro Einheit nach oben verschiebt, kann den Markt effizient gestalten. Fällt in der Produktion von einer produzierten Einheit zum Beispiel Abgase an, deren Entfernung aus der Atmosphäre eine Summe t kostet, so kann eine Mengensteuer in der Höhe von t das Gleichgewicht effizient gestalten. Diese Steuer wird Pigou Steuer genannt. 
Hierbei ist allerdings zu beachten, dass die anfallenden Kosten genau bemessbar und die Kostenstruktur der produzierenden Unternehmen bekannt sind. Andernfalls könnte die Mengensteuer häufig zu hoch oder zu niedrig ausfallen. 
[[Datei:PigouSteuer.png|401px|rahmenlos]] 
Um positive Externalitäten in einer ähnlichen Art und Weise zu interalisieren muss es das Ziel sein die Angebotskurve der Unternehmen nach unten zu verschieben. Hierzu können negative Steuern, also [[Eingriffe in das Marktgleichgewicht|Subventionen]], dienen.
 
 
'''Zertifikate''' 
Eine weitere Möglichkeit um negative Externalitäten zu internalisieren sind Zertifikate. Bei den Zertifikaten wird die zum Beispiel maximal zugelassene Menge an ausgestoßenen Abgasen festgelegt und als Zertifikate ausgegeben. Zertifikate erlauben eine gewisse Menge an Abgasen auszustoßen, sollte jedoch mehr ausgestoßen werden drohen wirksame Strafen. Der Vorteil von Zertifikaten gegenüber einfachen Beschränkungen liegt darin, dass sie in der Regel handelbar sind. Sollte ein Unternehmen weniger ausstoßen als sie laut ihren Zertifikaten könnten, kann es die übrigen Zertifikate an andere Unternehmen verkaufen. Wenn die Menge an Abgasen so reglementiert ist, dass alle Unternehmen abgasärmer produzieren müssen, können Zertifikate trotzdem zu einem effizienten Handel führen. ALs Beispiel soll untenstehende Grafik dienen: 
[[Datei:Zertifikate.png|500px|rahmenlos]] 
Die komplette Breite der x-Achse soll der erlaubten Ausstoßmenge an Abgasen entsprechen. Die Ausstoßmenge an Abgasen von Firma X steigt je weiter rechts wir uns befinden, die von Firma Y je weiter links. Je mehr X ausstößt, desto weniger kann jedoch Y ausstoßen. Auf den beiden y-Achsen sind die Kosten der beiden Firmen abgetrafegn, die es ihnen kostet eine Einheit weniger auszustoßen. Nehmen wir hier als Beispiel Firma X: Ganz rechts auf der x-Achse stoßt X viele Abgase aus. An dieser Stelle kostet es X kaum etwas die Abgase zu reduzieren. Je weniger X ausstößt, desto teurer wird es allerdings eine weitere Einheit des Abgases einzusparen. Ähnlich verhält es sich bei Firma Y. Vergleicht man die beiden Kostenfunktionen, so fällt auf, dass die der Firma Y deutlich flacher verläuft. Fimra Y kann also kostengünstiger den Ausstoß von Abgasen reduzieren. 
Gehen wir zur Analyse Zertifikathandels von einem Szenario aus, in dem Firma X alle Zertifikate hat und somit vollständig die erlaute Menge ausstößt. In diesem Fall müsste Firma Y ihren Ausstoß zu hohen Kosten vollständig zu reduzieren. In diesem Punkt wäre Firma Y bereit Firma X bereit maximal so viel für den Ausstoß einer Einheit zu bezahlen, wie es kostet diese einzusparen. Solange Firma X mehr für diese Menge bekommt, als es sie kostet diese Menge einzusparen, würde X tatsächlich eine Einheit Ausstoß "verkaufen". In anderen Worten: Y bezahlt X um eine Einheit ausstoßen zu können und zahlt dafür einen Preis, der kleiner oder gleich den Kosten der Reduktion dieser Einheit ist. Solange die Kosten der Ausstoßeinsparung von Y größer als denen von X ist, reduziert X seinen AUsstoß und wird dafür von Y bezahlt. Dies findet solange statt, bis die Ausstoßeinsparung jeder weiteren Einheit für X genauso teuer ist wie für Y. In diesem Schnittpunkt der beiden Kostenfunktionen entsteht ein Marktpreis für den Zertifikathandel. In der Abbildung zu erkennen ist zudem die [[Effizienz|effiziente]] Ausstoßmenge der beiden Firmen. Firma X hat höhere Reduzierungskosten und stößt im Schnittpunkt daher mehr aus als Y, die geringere Reduzierungskosten hat. 
 
'''[[Coase Theorem]]''' 
Das Coase Theorem besagt, dass unter Abwesenheit von Einkommenseffekten und Transaktionskosten und unter der Annahme der symmetrischen Informationen durch Verhandlungen wenige Parteien zu einer pareto effiziente Allokation kommen können. Dadurch wird das Externalitätenproblem, bei dem die negativen Externalitäten einer Partei die anderen Parteien beeinflussen, gelöst. Die genaue Verteilung der Eigentumsrechte ist aus allokativer Sicht irrelevant (es wird in beiden Fällen gleich viel verschmutzt). Die Verteilung der Eigentumsrechte hat demnach lediglich Verteilungseffekte. Im simpelsten Modell haben zwei Unternehmen einen Gewinn und eines der beiden Unternehmen bekommt Eigentumsrechte zugesprochen. Das Unternehmen mit den Eigentumsrechten kann entscheiden, ob das andere Unternehmen produzieren darf oder nicht. Die Entscheidug beeinflusst den eigenen Gewinn des Unternehmens. Daher nimmt es in den Verhandlungen nur Angebote an, die es nicht schlechter stellen als ohne Verhandlungen. 
{| class="wikitable"
|-
! Eigentumsrecht bei
! Gewinn C
! Gewinn F
! gesamt 
! resultierende Allokation
|-
| C
| 40 
| 60- 40 
| 60
| C schließt 
|-
| F
| 0
| 60
| 60
| C schließt
|}
Angenommen ein Unternehmen C macht einen Gewinn von 40, wenn es produziert und ein Unternehmen F aufgrund von negativen Externalitäten 0. Wenn C nicht produziert, macht F einen Gewinn von 60. Die Tabelle oben verdeutlicht, dass unabhängig wer die Eigentumsrechte hat, rational geführte Verhandlungen zu einer pareto effizienten Allokation führen. 
Für eine ausführlichere Beschreibung und weitere Szenarien, [[Coase Theorem|hier]].

==MC Fragen==

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Auf einem Markt für Honig sind die Nachfrager bereit ihren Grenznutzen für ein Glas Honig zu zahlen. Die Nachfragefunktion lautet <math> Q_D(P)=25-\frac{1}{2}P </math>. Die Angebotsfunktion der Honigbauern lautet <math> Q_S(P)=2P </math>. Da das Bestäuben von Blüten neben der Honigproduktion auch die Früchte von Nutzpflanzen ermöglicht, entsteht ein zusätzlicher Nutzen, der von der Gesellschaft bisher nicht eingepreist wurde. Angenommen durch jedes verkaufte Glas Honig entsteht ein zusätzlicher Nutzen, der mit 4 Euro beziffert werden kann. Wie lautet das soziale Optimum?
|type="()"}
+ <math> P^*=18 </math> und <math> Q^*=36</math>.
- <math> P^*=15 </math> und <math> Q^*=30</math>.
- <math> P^*=21 </math> und <math> Q^*=42</math>.
- <math> P^*=16 </math> und <math> Q^*=32</math>.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die aggregierte Nachfragefunktion für einen Lebkuchenmarkt lautet <math> P(Q_D)=100-8Q_D </math>. Die Angebotsfunktion lautet <math> P(Q_S)=2Q_S </math>. Bei der Produktion von Lebkuchen fallen negative Externalitäten an, die nicht in der Angebotsfunktion inkludiert werden. Ein sozialer optimaler Preis wäre 36. Wie groß muss eine Mengensteuer sein, um die Externalitäten zu internalisieren?
|type="()"}
+ t=20
- t=10
- t=4
- t=16
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage bezüglich dem Handel mit Zertifikaten stimmt '''nicht'''? (Annahme der effizienten Allokation)
|type="()"}
+ Der Zertifikatehandel setzt für ein effizientes Gleichgewicht vorraus, dass die Institution, die die Zertifikate ausgibt, über die Produktionsstruktur der Unternehmen informiert ist.
- Der Preis der Zertifikate beeinflusst nicht, über welchen Rahmen die Zertifikate gehen (Im Kontext der CO2 Zertifikate bestimmt der Preis nicht, wie viel pro Zertifikat ausgestoßen werden darf)
- Im Gleichgewicht des Marktes für Zertifikate, ist der Preis für die Nutzung eines Zertifikates genauso groß wie die Kosten, die durch Verhinderung der Externalitäten entstehen.
- Die effiziente Allokation stellt ein soziales Optimum dar.
</quiz>

Externalitäten und Internalisierung

2023-09-13T07:37:44Z

Uwalz: /* Definition */

==Definition==
Externalitäten beschreiben Handlungen von Produzenten oder Konsumenten, welche anderen Marktteilnehmer betreffen ohne jedoch im [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewicht]] eingepreist zu sein. Wir unterscheiden hierbei zwischen positiven und negativen Externalitäten. Als wichtigstes Beispiel für negative Externalitäten ist Umweltverschmutzung anzusehen.

__TOC__

==Positive Externalitäten==
Positive Externalitäten führen dazu, dass zu wenig produziert wird. Ein mögliches Beispiel sind Renovierungsarbeiten an einem Haus. Die Hausbesitzer erfahren einen Nutzen (Utility) aus der Renovierung ihres Hauses. Der Garten, die Einfahrt und auch die komplette Hausfassade müssen modernisiert werden, wodurch Kosten entstehen. Die [[Kostenarten#Grenzkosten|Grenzkosten]] für die Renovierung sollen im Beispiel steigend sein. Je mehr renoviert wird, desto besser ist es für die Hausbesitzer. Aber jede Stunde mehr bringt weniger zusätzlichen Nutzen, es liegt also ein [[Nutzentheorie|abnehmender Grenznutzen]] (Marginal Utility=MU) vor. Die Hausbesitzer beauftragen einen Dienstleister für die Renovierungsarbeiten so lange, bis sie die nächste Stunde Arbeit mehr kostet, als ihnen zusätzlichen Nutzen bringt. Die Hausnachbarn, profitieren allerdings auch von der Renovierung, da sie hierdurch zum Beispiel aufgrund der schöner werdenden Aussicht lieber in ihrem Garten sitzen. Da sie einen Nutzen aus der Renovierung erfahren, bringt ihnen jede zusätzliche Stunde Arbeit des Dienstleisters mehr Nutzen (MU). Dieser Nutzen wird jedoch nicht in der Entscheidung einbezogen, denn nur die Hausbesitzer achten auf ihr Grenzkosten-Grenznutzenverhältnis. Der soziale Nutzen (SU) stellt sich aus dem Nutzen der Hausbesitzer plus dem Nutzen der Nachbarn (Externer Nutzen=EU) zusammen. 
SU = U + EU 
Daraus folgt im sozialen Optimum: 
SMU=GK 
MU + MEU = GK 
Der SMU (Social Marginal Utility) ist der soziale Grenznutzen. Wie in der Abbildung zu sehen ist liegt die produzierte Menge <math display="inline"> q_{1} </math> unter der sozial optimalen Menge <math display="inline"> q^{*} </math>. Im Fall von steigenden Grenzkosten lässt sich sehen, dass der tatsächliche Preis <math> p_1 </math> unter dem sozial optimalen Preis <math display="inline"> p^{*} </math> liegt. Es sind auch Szenrien vorstellbar, in denen der externe Effekt kostant ist. Auch die Grenzkosten könnten theoretisch konstant sein. 
[[Datei:PositiveExternalitäten.png|501px|rahmenlos]]

==Negative Externalitäten==
Negative Externalitäten führen dazu, dass zu einem zu niedrigen Preis eine zu große Menge produziert wird. Ein mögliches Beispiel ist eine Firma, die in ihrer Produktion Abgase unkontrolliert in die Luft stößt. Dadurch entsteht den umliegenden Haushalten ein Disnutzen, beziehungsweise entstehen ihnen Kosten um sich vor den Abgasen zu schützen (z.B. Finanzierung eines Aufforstungsprogramms, damit Bäume die Abgase filtern). Diese Kosten fallen pro produzierter Einheit an und die Reduzierung von jeder weiteren Einheit der Abgase wird immer teurer. In der Abbildung unten soll die EMC (external Marginal Costs) Kurve diese Kosten widerspiegeln. Die Firma selbst zahlt diese Kosten jedoch nicht, sondern zahlt nur die Kosten, die in der Produktion direkt entstehen (MC Kurve). Diese [[Kostenarten#Grenzkosten|Grenzkosten]] bilden die [[Angebot|Angebotsfunktion]], die zusammen mit der [[Nachfrage]] einen Marktpreis <math display="inline"> P_{1} </math> und eine Gleichgewichtsmenge <math display="inline"> Q_{1} </math> bilden. Dieses [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewicht]] ist jedoch nicht effizient, da die Grenzkosten, die in der Bestimmung des Gleichgewichts als Angebotskurve herangezogen werden, in Wahrheit größer sind. Die tatsächliche Grenzkostenkurve ist in der SMC (Social Marginal Costs) Kurve dargestellt. Diese Kurve preist die negative Externalität, die die Haushalte negativ betrifft, ein. Die gesellschaftliche Angebotskurve besteht aus den (privaten) Grenzkosten der Firma und den Grenzkosten der Haushalte. Im alten Marktgleichgewicht wird eine zu große Menge zu einem zu niedrigen Preis produziert, wodurch eine Wohlfahrtsverlust (in der grauen Fläche gekennzeichnet) entsteht; das alte Marktgleichgewicht ist nicht [[Effizienz|effizient]]. 
[[Datei:NegativeExternalitäten.png|501px|rahmenlos]]

==Internalisierung==
Externalitäten führen zu nicht [[Effizienz|effizienten]] [[Marktgleichgewicht im perfekten Wettbewerb|Marktgleichgewichten]], da entweder zu viel oder zu wenig zu einem zu geringen oder zu einem zu hohen Preis produziert wird. Externalitäten stellen also Beispiele für [[Zusammenfassung Marktversagen|Marktversagen]] dar, für die es im Falle von Externalitäten verschiedene Möglichkeiten gibt diese durch Internalisierung zu verhindern. 
 
'''Pigou Steuer (staatliche Eingriffe)''' 
Im Falle von negativen Externlitäten ist die private Gleichgewichtsmenge größer als die soziale Gleichgewichtsmenge und der Preis ist im privaten Gleichgewicht niedriger als im sozialen. Dies liegt an Kosten, die in der Angebotskurve nicht eingepreist sind. Eine [[Eingriffe in das Marktgleichgewicht#Steuern|Mengensteuer]], die die Angebotskurve um genau die nicht eingepreisten Kosten pro Einheit nach oben verschiebt, kann den Markt effizient gestalten. Fällt in der Produktion von einer produzierten Einheit zum Beispiel Abgase an, deren Entfernung aus der Atmosphäre eine Summe t kostet, so kann eine Mengensteuer in der Höhe von t das Gleichgewicht effizient gestalten. Diese Steuer wird Pigou Steuer genannt. 
Hierbei ist allerdings zu beachten, dass die anfallenden Kosten genau bemessbar und die Kostenstruktur der produzierenden Unternehmen bekannt sind. Andernfalls könnte die Mengensteuer häufig zu hoch oder zu niedrig ausfallen. 
[[Datei:PigouSteuer.png|401px|rahmenlos]] 
Um positive Externalitäten in einer ähnlichen Art und Weise zu interalisieren muss es das Ziel sein die Angebotskurve der Unternehmen nach unten zu verschieben. Hierzu können negative Steuern, also [[Eingriffe in das Marktgleichgewicht|Subventionen]], dienen.
 
 
'''Zertifikate''' 
Eine weitere Möglichkeit um negative Externalitäten zu internalisieren sind Zertifikate. Bei den Zertifikaten wird die zum Beispiel maximal zugelassene Menge an ausgestoßenen Abgasen festgelegt und als Zertifikate ausgegeben. Zertifikate erlauben eine gewisse Menge an Abgasen auszustoßen, sollte jedoch mehr ausgestoßen werden drohen wirksame Strafen. Der Vorteil von Zertifikaten gegenüber einfachen Beschränkungen liegt darin, dass sie in der Regel handelbar sind. Sollte ein Unternehmen weniger ausstoßen als sie laut ihren Zertifikaten könnten, kann es die übrigen Zertifikate an andere Unternehmen verkaufen. Wenn die Menge an Abgasen so reglementiert ist, dass alle Unternehmen abgasärmer produzieren müssen, können Zertifikate trotzdem zu einem effizienten Handel führen. ALs Beispiel soll untenstehende Grafik dienen: 
[[Datei:Zertifikate.png|500px|rahmenlos]] 
Die komplette Breite der x-Achse soll der erlaubten Ausstoßmenge an Abgasen entsprechen. Die Ausstoßmenge an Abgasen von Firma X steigt je weiter rechts wir uns befinden, die von Firma Y je weiter links. Je mehr X ausstößt, desto weniger kann jedoch Y ausstoßen. Auf den beiden y-Achsen sind die Kosten der beiden Firmen abgetrafegn, die es ihnen kostet eine Einheit weniger auszustoßen. Nehmen wir hier als Beispiel Firma X: Ganz rechts auf der x-Achse stoßt X viele Abgase aus. An dieser Stelle kostet es X kaum etwas die Abgase zu reduzieren. Je weniger X ausstößt, desto teurer wird es allerdings eine weitere Einheit des Abgases einzusparen. Ähnlich verhält es sich bei Firma Y. Vergleicht man die beiden Kostenfunktionen, so fällt auf, dass die der Firma Y deutlich flacher verläuft. Fimra Y kann also kostengünstiger den Ausstoß von Abgasen reduzieren. 
Gehen wir zur Analyse Zertifikathandels von einem Szenario aus, in dem Firma X alle Zertifikate hat und somit vollständig die erlaute Menge ausstößt. In diesem Fall müsste Firma Y ihren Ausstoß zu hohen Kosten vollständig zu reduzieren. In diesem Punkt wäre Firma Y bereit Firma X bereit maximal so viel für den Ausstoß einer Einheit zu bezahlen, wie es kostet diese einzusparen. Solange Firma X mehr für diese Menge bekommt, als es sie kostet diese Menge einzusparen, würde X tatsächlich eine Einheit Ausstoß "verkaufen". In anderen Worten: Y bezahlt X um eine Einheit ausstoßen zu können und zahlt dafür einen Preis, der kleiner oder gleich den Kosten der Reduktion dieser Einheit ist. Solange die Kosten der Ausstoßeinsparung von Y größer als denen von X ist, reduziert X seinen AUsstoß und wird dafür von Y bezahlt. Dies findet solange statt, bis die Ausstoßeinsparung jeder weiteren Einheit für X genauso teuer ist wie für Y. In diesem Schnittpunkt der beiden Kostenfunktionen entsteht ein Marktpreis für den Zertifikathandel. In der Abbildung zu erkennen ist zudem die [[Effizienz|effiziente]] Ausstoßmenge der beiden Firmen. Firma X hat höhere Reduzierungskosten und stößt im Schnittpunkt daher mehr aus als Y, die geringere Reduzierungskosten hat. 
 
'''[[Coase Theorem]]''' 
Das Coase Theorem besagt, dass unter Abwesenheit von Einkommenseffekten und Transaktionskosten und unter der Annahme der symmetrischen Informationen durch Verhandlungen wenige Parteien zu einer pareto effiziente Allokation kommen können. Dadurch wird das Externalitätenproblem, bei dem die negativen Externalitäten einer Partei die anderen Parteien beeinflussen, gelöst. Die genaue Verteilung der Eigentumsrechte ist aus allokativer Sicht irrelevant (es wird in beiden Fällen gleich viel verschmutzt). Die Verteilung der Eigentumsrechte hat demnach lediglich Verteilungseffekte. Im simpelsten Modell haben zwei Unternehmen einen Gewinn und eines der beiden Unternehmen bekommt Eigentumsrechte zugesprochen. Das Unternehmen mit den Eigentumsrechten kann entscheiden, ob das andere Unternehmen produzieren darf oder nicht. Die Entscheidug beeinflusst den eigenen Gewinn des Unternehmens. Daher nimmt es in den Verhandlungen nur Angebote an, die es nicht schlechter stellen als ohne Verhandlungen. 
{| class="wikitable"
|-
! Eigentumsrecht bei
! Gewinn C
! Gewinn F
! gesamt 
! resultierende Allokation
|-
| C
| 40 
| 60- 40 
| 60
| C schließt 
|-
| F
| 0
| 60
| 60
| C schließt
|}
Angenommen ein Unternehmen C macht einen Gewinn von 40, wenn es produziert und ein Unternehmen F aufgrund von negativen Externalitäten 0. Wenn C nicht produziert, macht F einen Gewinn von 60. Die Tabelle oben verdeutlicht, dass unabhängig wer die Eigentumsrechte hat, rational geführte Verhandlungen zu einer pareto effizienten Allokation führen. 
Für eine ausführlichere Beschreibung und weitere Szenarien, [[Coase Theorem|hier]].

==MC Fragen==

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Auf einem Markt für Honig sind die Nachfrager bereit ihren Grenznutzen für ein Glas Honig zu zahlen. Die Nachfragefunktion lautet <math> Q_D(P)=25-\frac{1}{2}P </math>. Die Angebotsfunktion der Honigbauern lautet <math> Q_S(P)=2P </math>. Da das Bestäuben von Blüten neben der Honigproduktion auch die Früchte von Nutzpflanzen ermöglicht, entsteht ein zusätzlicher Nutzen, der von der Gesellschaft bisher nicht eingepreist wurde. Angenommen durch jedes verkaufte Glas Honig entsteht ein zusätzlicher Nutzen, der mit 4 Euro beziffert werden kann. Wie lautet das soziale Optimum?
|type="()"}
+ <math> P^*=18 </math> und <math> Q^*=36</math>.
- <math> P^*=15 </math> und <math> Q^*=30</math>.
- <math> P^*=21 </math> und <math> Q^*=42</math>.
- <math> P^*=16 </math> und <math> Q^*=32</math>.
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Die aggregierte Nachfragefunktion für einen Lebkuchenmarkt lautet <math> P(Q_D)=100-8Q_D </math>. Die Angebotsfunktion lautet <math> P(Q_S)=2Q_S </math>. Bei der Produktion von Lebkuchen fallen negative Externalitäten an, die nicht in der Angebotsfunktion inkludiert werden. Ein sozialer optimaler Preis wäre 36. Wie groß muss eine Mengensteuer sein, um die Externalitäten zu internalisieren?
|type="()"}
+ t=20
- t=10
- t=4
- t=16
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Welche Aussage bezüglich dem Handel mit Zertifikaten stimmt '''nicht'''? (Annahme der effizienten Allokation)
|type="()"}
+ Der Zertifikatehandel setzt für ein effizientes Gleichgewicht vorraus, dass die Institution, die die Zertifikate ausgibt, über die Produktionsstruktur der Unternehmen informiert ist.
- Der Preis der Zertifikate beeinflusst nicht, über welchen Rahmen die Zertifikate gehen (Im Kontext der CO2 Zertifikate bestimmt der Preis nicht, wie viel pro Zertifikat ausgestoßen werden darf)
- Im Gleichgewicht des Marktes für Zertifikate, ist der Preis für die Nutzung eines Zertifikates genauso groß wie die Kosten, die durch Verhinderung der Externalitäten entstehen.
- Die effiziente Allokation stellt ein soziales Optimum dar.
</quiz>

Elastizitäten

2023-09-13T06:51:47Z

Uwalz: /* Herleitung über den Differenzenqoutienten */

==Definition==
Elastizitäten betrachten die prozentuale Änderung einer Variablen infolge einer einprozentigen Änderung einer anderen Variablen. Im Falle der Preiselastizität der Nachfrage wird gefragt, um wie viel Prozent sich die nachgefragte Menge verändert, wenn sich der Preis um ein Prozent verändert. Ist die Elastizität betragsmäßig kleiner als eins wird sie unelastisch genannt. Im Falle der Preiselastizität liegt dies daran, dass die prozentuale Änderung des Preises größer ist als die prozentuale Änderung der Menge. Ist die Elastizität betragsmäßig größer als eins wird sie elastisch genannt.

__TOC__

==Herleitung über den Differenzenqoutienten==
An dieser Stelle gilt es die Intuition der Elastizität anhand der Preiselastizität der Nachfrage zu verstehen. Es geht somit um folgende Frage: Wie viel mehr bzw. weniger wird von einem Gut nach einer Preiserhöhung nachgefragt? Hierbei ist es wichtig auf den preislichen Bezugspunkt zu achten. Die Preiserhöhung eines Luxusautos um 5€ wird vermutlich weniger Einfluss auf die nachgefragte Menge haben als eine Erhöhung des Preises von Bleistiften um 5€. Damit die Veränderung vergleichbar wird, schauen wird die Prozentuale Veränderung betrachtet. Diese Überlegung steckt so auch in der Formel: <big> <math display="inline"> \frac{ P_{2}-P_{1}}{P_{1}} </math> </big>, die Absolute Preisänderung relativ zum alten Preis. 
Dieselbe Überlegung wird bei der Änderung der nachgefragten Menge angestellt. Eine Reduktion der nachgefragten Menge um 5 Einheiten ist etwas anderes, wenn vorher sehr viel nachgefragt wird, als wenn wenig nachgefragt wird. <big> <math display="inline"> \frac{ Q_{2}-Q_{1}}{Q_{1}} </math> </big>. 
Im Folgenden werden die absoluten Änderungen als <math display="inline"> \Delta </math> geschrieben: <big> <math display="inline"> \frac{ Q_{2}-Q_{1}}{Q_{1}}=\frac{\Delta Q}{Q} </math> </big> 
Wird die die prozentuale Änderung der Menge im Verhältnis zu der prozentualen Änderung des Preises gesetzt, ensteht eine Kennziffer, die beschreibt um wie viel Prozent sich die Menge ändert, wenn sich der Preis um 1 Prozent ändert: 
<big> <math display="inline"> \frac{\frac{\Delta Q}{Q}}{\frac{\Delta P}{Q_{P}}}=\frac{\Delta Q}{\Delta P} \frac{P}{Q} </math> </big>,
wobei <big> <math display="inline"> \frac{\Delta Q}{\Delta P} </math> </big> die Steigung der Nachfragefunktion beschreibt . Dies führt bei kleinen Preisänderungen zu folgender Gleichung für die Preiselastizität der Nachfrage: <big> <math display="inline"> \epsilon=\frac{\partial Q}{\partial P} \frac{P}{Q} </math> </big> 
[[Datei:ElastizitätDerNachfrage.png|500px|rahmenlos]] 

==Preiselastizität der Nachfrage==
Die Preiselastizität der Nachfrage betrachtet die prozentuale Änderung der nachgefragten Menge auf eine ein prozentige Änderungen des Preises. In der Regel sollte auf eine Preiserhöhung eine Reduzierung der nachgefragten Menge erfolgen. Dies ist der Grund, warum es in mancher Literatur neben unserer bekannten Gleichung auch andere Formeln gibt: 
<big> <math display="inline"> \epsilon=\frac{\partial Q_{D}}{\partial P} \frac{P}{Q} </math> 
<math display="inline"> \epsilon= - \frac{\partial Q_{D}}{\partial P} \frac{P}{Q} </math> 
<math display="inline"> \epsilon=| \frac{\partial Q_{D}}{\partial P} \frac{P}{Q} | </math> </big>
<big> <math display="inline"> \frac{\partial Q_{D}}{\partial P} </math> </big> stellt hier die Ableitung der Nachfragefunktion nach dem Preis dar. Es ist somit die Steigung der Nachfragefunktion. Der gesamte Ausdruck der Elastizität entspricht jedoch nicht der Steigung. Entlang einer linearen Nachfragefunktion verändert sich die Steigung nicht, die Preiselastizität in der Regel schon. Bei einem hohen Preis wird nur eine geringe Menge nachgefragt. Verändert sich der Preis, so ist die prozentuale Änderung eher gering (wir nehmen von sehr viel etwas weg). Die prozentuale Änderung der Menge ist jedoch sehr groß (wir nehmen von sehr wenig etwas weg). Entlang der linearen Nachfragefunktion ändert sich dementsprechend die prozentuale Veränderung und damit auch die Preiselastizität. Folgende Grafik sollte dies verdeutlichen: 
[[Datei:Elastizität.png|500px|rahmenlos]]

==Preiselastizität des Angebots==
Die Preiselastizität des Angebots stellt die Frage, wie sich eine Preisänderung auf die angebotene Menge ändert. Die Intuition und die Formel ist vergleichbar mit der Preiselastizität der [[Nachfrage]]. Aufgrund der in der Regel positiven Relation zwischen dem Preis und der [[Angebot|angebotenen Menge]] erwarten wir jedoch, dass eine Preiserhöhung zu einer Erhöhung der angebotenen Menge führt. Bei der Preiselastizität der [[Nachfrage]] erwarten wir bei einer Preiserhöhung in der Regel einen Rückgang der nachgefragten Menge. Die Formel der Preiselastizität des Angebots sieht wie folgt aus: 
<big> <math display="inline"> \epsilon=\frac{\partial Q_{S}}{\partial P} \frac{P}{Q} </math> </big> 

==Besonderheiten der Preiselastizität==
Die Intuition hinter der Preiselastizität der Nachfrage und des Angebots ist immer die Frage, wie stark die Menge auf eine Preisänderung reagiert. Hierbei ist zu beachten, dass sich die Elastizität entlang einer [[Angebot|Angebots-]] und [[Nachfrage|Nachfragefunktion]] häufig verändert. Es lässt sich jedoch resümieren, dass die Elastizität höher ist, je flacher die Funktion ist. Dies führt zu zwei Extremfälle. 
Der erste Extremfall lässt sich in einer horizontalen Funktion verdeutlichen. Im Falle einer horizontalen Nachfragefunktion wird nur zu einem Preis p nachgefragt. Liegt der Preis nur ein klein wenig darüber, findet also nur eine kleine Preisänderung statt, so geht die nachgefragte Menge auf null zurück. Die Nachfrage ist vollkommen elastisch. 
Der zweite Extremfalle lässt sich in einer vertikalen Funktion verdeutlichen. Bei einer vertikalen Nachfragefunktion wird zu jedem Preis eine bestimmte Menge q nachgefragt. Das heißt eine Preisänderung hat keinen Einfluss auf die nachgefragte Menge. Die Elastizität ist daher null, bzw. die Nachfrage ist vollkommen unelastisch. Ein Beispiel hierfür sind lebenswichtige Medikamente. 
 
[[Datei:Vollkommenelastisch.png|250px|rahmenlos]]
[[Datei:Vollkommenunelastisch.png|270px|rahmenlos]]

==Kreuzpreiselastizität==
Die Kreuzpreiselastizität der Nachfrage bezeichnet die prozentuale Änderung der nachgefragten Menge eines Gutes infolge der Erhöhung eines Preises eines anderen Gutes um ein Prozent. In einem Modell mit zwei Gütern, Gut X und Gut Y sieht die Formel für die Kreuzpreiselastizität wie folgt aus: 
<big> <math display="inline"> \epsilon_{Q_{X},P_{Y}}=\frac{\partial Q_{X}}{\partial P_{Y}} \frac{P_{Y}}{Q_{X}} </math> </big> 
Bezogen auf das Modell wird untersucht, wie sich die nachgefragte Menge nach X verändert, wenn sich der Preis von Gut Y verändert. Durch diese Formel lässt sich sehr gut sehen, ob es sich bei den beiden Gütern um [[Präferenzenarten#Pefekte Substitute|Substitute]] oder um [[Präferenzenarten#Perfekte Komplemente|Komplemente]] handelt. Im Falle der Substitute kann eine positiver Wert für die Kreuzpreiselastizität erwartet werden, da Konsumenten das teurer gewordene Gut mit dem dazu relativ günstiger gewordenen Gut substituieren. Im Falle von Komplementen kann eine negative Kreuzpreiselastizität erwartet werden, da Nutzen nur aus dem gemeinsamen Konsum von X und Y in einem bestimmten Verhältnis gezogen wird. Eine Preiserhöhung von Y führt dazu, dass insgesamt weniger reale Kaufkraft vorhanden ist und die Nachfrage nach dem Gut X sinkt.

==Einkommenselatizität der Nachfrage==
Die Einkommenselastizität der Nachfrage bezeichnet die prozentuale Änderung der nachgefragten Menge infolge einer Erhöhung des Einkommens um ein Prozent. [I=Einkommen]: <big>
<math display="inline"> \epsilon_{I}=\frac{\partial Q}{\partial I} \frac{I}{Q} </math> </big> 
An dieser Stelle lässt sich sehr gut erkennen, ob es sich bei dem Gut um ein [[Güterarten#Einkommensänderungen#Inferiore Güter|inferiores]] oder um ein [[Güterarten#Einkommensänderungen#Normale Güter|normales]] Gut handelt.

==MC Fragen==
<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie lautet die Preiselastizität der Nachfrage betragsmäßig bei einem Preis von 50, wenn die Nachfrage durch folgende Funktion gegeben wird: <math display="inline"> p=100- \frac{1}{2}q </math>?
|type="()"}
+ 1
- 0,1
- 5
- 1,5
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Wie lautet die Preiselastizität der Nachfrage betragsmäßig bei einem Preis von 50, wenn die Nachfrage durch folgende Funktion gegeben wird: <math display="inline"> Q=200-2p </math>?
|type="()"}
+ 1
- 0,1
- 5
- 1,5
</quiz>

<quiz display=simple shuffleanswers=true>
{Was bedeutet eine betragsmäßige Preiselastizität der Nachfrage von 2?
|type="()"}
+ Wird der Preis um 1% erhöht, sinkt die nachgefragte Menge um 2%.
- Wird der Preis um 1€ erhöht, sinkt die nachgefragte Menge um 2€.
- Wird der Preis um 1€ erhöht, steigt die nachgefragte Menge um 2€.
- Wird die Menge um 2% erhöht, sinkt der Preis um 1%.
- Wird die Menge um 2€ erhöht, sinkt der Preis um 1€.
</quiz>