Cobb-Douglas-Funktionen - Versionsgeschichte

Okehne: /* Grenzprodukt */

2024-01-26T09:29:31Z

Grenzprodukt

Okehne: /* Aufbau der Cobb-Douglas-Funktionen */

2024-01-26T09:28:42Z

Aufbau der Cobb-Douglas-Funktionen

Okehne: /* Grenzprodukt */

2023-11-16T16:05:52Z

Grenzprodukt

Lobin: /* Maximum mit Nebenbedingung */

2023-11-15T16:35:42Z

Maximum mit Nebenbedingung

Lobin: /* Maximum mit Nebenbedingung */

2023-11-15T16:35:01Z

Maximum mit Nebenbedingung

Lobin: /* Maximum mit Nebenbedingung */

2023-11-15T16:32:43Z

Maximum mit Nebenbedingung

Lobin: /* Grenzprodukt */

2023-11-15T16:29:10Z

Grenzprodukt

Lobin: /* Grenzprodukt */

2023-11-15T16:28:30Z

Grenzprodukt

Lobin: /* Grenzprodukt */

2023-11-15T16:27:29Z

Grenzprodukt

Lobin: /* Skalenerträge */

2023-11-15T16:26:41Z

Skalenerträge

@@ Zeile 18: / Zeile 18: @@
 ==Grenzprodukt==
-Das Grenzprodukt einer Cobb-Douglas-Funktion lässt sich bestimmen, indem die Funktion nach einer der unabhängigen Variablen abgeleitet wird. Zur Veranschaulichung soll eine Cobb-Douglas-[[Produktionsfunktion und Isoquante|Produktionsfunktion]] dienen, die auf das [[marginale Sichtweise|Grenzprodukt]] des Kapitals untersucht wird. Die Funktion lautet <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math> <br>
+Das Grenzprodukt einer Cobb-Douglas-Funktion lässt sich bestimmen, indem die Funktion nach einer der unabhängigen Variablen abgeleitet wird. Zur Veranschaulichung soll eine Cobb-Douglas-[[Produktionsfunktion und Isoquante|Produktionsfunktion]] dienen, die auf das [[marginale Sichtweise|Grenzprodukt]] des kapitals untersucht wird. Die Funktion lautet <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math> <br>
 Das Grenzprodukt des kapitals lässt sich durch <math> \frac{\part F(K,L)}{\part K}=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta} </math> berechnen. Das Grenzprodukt ist zunehmend oder abnehmend. Das heißt jede weitere Einheit von K bringt entweder mehr oder weniger zusätzlichen Output als die Einheit zuvor. Ist die zweite partielle Ableitung nach K negativ, sinkt die Steigung und es liegt ein abnehmendes Grenzprodukt vor. Bei einer positiven zweiten partiellen Ableitung ist das Grenzprodukt zunehmend. <br>
 <math> \frac{\part^2 F(K,L)}{\part^2 K}=\alpha (1-\alpha)K^{\alpha -2}L^{\beta} </math> <br>

@@ Zeile 8: / Zeile 8: @@
 Für die Anwendung in der Mikro I genügen zwei Variablen. Zudem kann Parameter <math> b </math> auch den Wert 1 annehmen, sodass sich <math> z(x_1,x_2)=x_1^{\alpha}x_2^{\beta} </math> ergibt. Dies kann dreidimensional dargestellt werden. <br>
 [[Datei:CobbDouglas.png|300px|rahmenlos]] <br clear=all>
-Charakterlich ist vor allem, dass die Variablen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> miteinander multipliziert werden. Nimmt einer der beiden Werte null an, ist der z Wert null.
+Ausschlaggebend ist vor allem, dass die Variablen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> miteinander multipliziert werden. Nimmt einer der beiden Werte null an, ist der z Wert null.
 ==Skalenerträge==

@@ Zeile 18: / Zeile 18: @@
 ==Grenzprodukt==
-Das Grenzprodukt einer Cobb-Douglas-Funktion lässt sich bestimmen, indem die Funktion nach einer der unabhängigen Variablen abgeleitet wird. Zur Veranschaulichung soll eine Cobb-Douglas-[[Produktionsfunktion und Isoquante|Produktionsfunktion]] dienen, die auf das [[marginale Sichtweise|Grenzprodukt]] der Arbeit untersucht wird. Die Funktion lautet <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math> <br>
+Das Grenzprodukt einer Cobb-Douglas-Funktion lässt sich bestimmen, indem die Funktion nach einer der unabhängigen Variablen abgeleitet wird. Zur Veranschaulichung soll eine Cobb-Douglas-[[Produktionsfunktion und Isoquante|Produktionsfunktion]] dienen, die auf das [[marginale Sichtweise|Grenzprodukt]] des Kapitals untersucht wird. Die Funktion lautet <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math> <br>
-Das Grenzprodukt der Arbeit lässt sich durch <math> \frac{\part F(K,L)}{\part K}=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta} </math> berechnen. Das Grenzprodukt ist zunehmend oder abnehmend. Das heißt jede weitere Einheit von K bringt entweder mehr oder weniger zusätzlichen Output als die Einheit zuvor. Ist die zweite partielle Ableitung nach K negativ, sinkt die Steigung und es liegt ein abnehmendes Grenzprodukt vor. Bei einer positiven zweiten partiellen Ableitung ist das Grenzprodukt zunehmend. <br>
+Das Grenzprodukt des kapitals lässt sich durch <math> \frac{\part F(K,L)}{\part K}=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta} </math> berechnen. Das Grenzprodukt ist zunehmend oder abnehmend. Das heißt jede weitere Einheit von K bringt entweder mehr oder weniger zusätzlichen Output als die Einheit zuvor. Ist die zweite partielle Ableitung nach K negativ, sinkt die Steigung und es liegt ein abnehmendes Grenzprodukt vor. Bei einer positiven zweiten partiellen Ableitung ist das Grenzprodukt zunehmend. <br>
 <math> \frac{\part^2 F(K,L)}{\part^2 K}=\alpha (1-\alpha)K^{\alpha -2}L^{\beta} </math> <br>
 Der Ausdruck oben ist negativ, wenn <math> \alpha </math> kleiner als 1 ist. Die Empirie zeigt, dass das Grenzprodukt häufig positiv und abnehmend ist. Hierfür muss für den Exponent gelten: <math> 0<\alpha <1 </math>. <br>

@@ Zeile 53: / Zeile 53: @@
 <math> p_xx(1+\frac{\beta}{\alpha}=b </math> <br>
 <math> p_xx(\frac{\alpha +\beta}{\alpha})=b </math> <br>
-<math> x^*=\frac{\alpha}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_x} </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> y^*=\frac{\beta}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_y} </math>
+<math> x^*=\frac{\alpha}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_x} </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> y^*=\frac{\beta}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_y} </math> <br>
 Die optimale Nachfrage der beiden Güter hängt nicht vom Preis des jeweiligen anderen Gutes ab. Es wird immer derselbe Anteil des Budgets für jedes Gut verwendet.

@@ Zeile 54: / Zeile 54: @@
 <math> p_xx(\frac{\alpha +\beta}{\alpha})=b </math> <br>
 <math> x^*=\frac{\alpha}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_x} </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> y^*=\frac{\beta}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_y} </math>
 ==MC Fragen==

@@ Zeile 44: / Zeile 44: @@
 ==Maximum mit Nebenbedingung==
-Cobb-Douglas-Funktionen haben den Vorteil, dass sich aufgrund ihrer For allgemein eine Lösung für das [[Haushaltsoptimum]] bzw. das [[Produktionsoptimum]] aufstellen lässt. Hierfür soll eine Cobb Douglas-Funktion <math> F(x,y)=x^{\alpha}y^{\beta} </math> mit der Nebenbedingung <math> p_xx+p_y=b </math>. Zum Maximieren lässt sich die [[Lagrange|Lagrange Funktion]] aufstellen, oder es wird direkt die GRS bzw. GRTS genutzt. <br>
+Cobb-Douglas-Funktionen haben den Vorteil, dass sich aufgrund ihrer Form allgemein eine Lösung für das [[Haushaltsoptimum]] bzw. das [[Produktionsoptimum]] aufstellen lässt. Hierfür soll eine Cobb Douglas-Funktion <math> F(x,y)=x^{\alpha}y^{\beta} </math> mit der Nebenbedingung <math> p_x x+p_y y=b </math>. Zum Maximieren lässt sich die [[Lagrange|Lagrange Funktion]] aufstellen, oder es wird direkt die GRS bzw. GRTS genutzt. <br>
 <math> \frac{\frac{\part F}{\part x}}{\frac{\part F}{\part y}}=\frac{p_x}{p_y} </math> <br>
 <math> \frac{\alpha x^{\alpha -1}y^{\beta}}{\beta x^{\alpha}y^{\beta -1}}=\frac{p_x}{p_y} </math> <br>

@@ Zeile 19: / Zeile 19: @@
 ==Grenzprodukt==
 Das Grenzprodukt einer Cobb-Douglas-Funktion lässt sich bestimmen, indem die Funktion nach einer der unabhängigen Variablen abgeleitet wird. Zur Veranschaulichung soll eine Cobb-Douglas-[[Produktionsfunktion und Isoquante|Produktionsfunktion]] dienen, die auf das [[marginale Sichtweise|Grenzprodukt]] der Arbeit untersucht wird. Die Funktion lautet <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math> <br>
-Das Grenzprodukt der Arbeit lässt sich durch <math> \frac{\part F(K,L)}{\part K}=\alpha K{\alpha -1}L^{\beta} </math> berechnen. Das Grenzprodukt ist unter Annahme der nicht negativen Mengen immer dann positiv, wenn <math> \alpha </math> positiv, d.h. größer null ist. Das Grenzprodukt ist zunehmend oder abnehmend. Das heißt jede weitere Einheit von K bringt entweder mehr oder weniger zusätzlichen Output als die Einheit zuvor. Ist die zweite partielle Ableitung nach K negativ, sinkt die Steigung und es liegt ein abnehmendes Grenzprodukt vor. Bei einer positiven zweiten partiellen Ableitung ist das Grenzprodukt zunehmend. <br>
+Das Grenzprodukt der Arbeit lässt sich durch <math> \frac{\part F(K,L)}{\part K}=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta} </math> berechnen. Das Grenzprodukt ist unter Annahme der nicht negativen Mengen immer dann positiv, wenn <math> \alpha </math> positiv, d.h. größer null ist. Das Grenzprodukt ist zunehmend oder abnehmend. Das heißt jede weitere Einheit von K bringt entweder mehr oder weniger zusätzlichen Output als die Einheit zuvor. Ist die zweite partielle Ableitung nach K negativ, sinkt die Steigung und es liegt ein abnehmendes Grenzprodukt vor. Bei einer positiven zweiten partiellen Ableitung ist das Grenzprodukt zunehmend. <br>
 <math> \frac{\part^2 F(K,L)}{\part^2 K}=\alpha (1-\alpha)K^{\alpha -2}L^{\beta} </math> <br>
 Der Ausdruck oben ist negativ, wenn <math> \alpha </math> kleiner als 1 ist. Die Empirie zeigt, dass das Grenzprodukt häufig positiv und abnehmend ist. Hierfür muss für den Exponent gelten <math> 0<\alpha <1 </math>. <br>

@@ Zeile 11: / Zeile 11: @@
 ==Skalenerträge==
-Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen haben viele Vorteile, zum Beispiel, dass sie aufgrund ihres Aufbaus leicht auf Skalenerträge untersucht werden können. Für die Untersuchung auf Skalenerträge werden alle Inputfaktoren mit einem allgemeinen Faktor <math> \lambda </math> multipliziert. Sei die Produktionsfunktion beispielsweise <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math>, wird hieraus <math> F(\lambda K, \lambda L)=(\lambda K)^{\alpha}(\lambda L)^{\beta}=\lambda^{\alpha}K^{\alpha}\lambda^{\beta}L^{\beta}=\lambda^{\alpha+\beta}K^{\alpha}L^{\beta} </math>. Dieser Ausdruck wird mit <math> \lambda F(K,L)=\lambda K^{\alpha}L^{\beta} </math> verglichen. Es fällt auf, dass die beiden Ausdrücke identisch sind mit der Ausnahme des  Ausdrucks <math> \lambda^{\alpha+\beta}</math>. In dem einen Fall ist der Exponent <math> \alpha+\beta </math> und in dem anderen Fall <math> 1 </math>. Ist die Summer der beiden Exponenten größer als 1 gilt <math> F(\lambda K, \lambda L)>\lambda F(K,L) </math> <br>
+Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen haben viele Vorteile, zum Beispiel, dass sie aufgrund ihres Aufbaus leicht auf Skalenerträge untersucht werden können. Für die Untersuchung auf Skalenerträge werden alle Inputfaktoren mit einem allgemeinen Faktor <math> \lambda </math> multipliziert. Sei die Produktionsfunktion beispielsweise <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math>, wird hieraus <math> F(\lambda K, \lambda L)=(\lambda K)^{\alpha}(\lambda L)^{\beta}=\lambda^{\alpha}K^{\alpha}\lambda^{\beta}L^{\beta}=\lambda^{\alpha+\beta}K^{\alpha}L^{\beta} </math>. Dieser Ausdruck wird mit <math> \lambda F(K,L)=\lambda K^{\alpha}L^{\beta} </math> verglichen. Es fällt auf, dass die beiden Ausdrücke identisch sind mit der Ausnahme des  Ausdrucks <math> \lambda^{\alpha+\beta}</math>. In dem einen Fall ist der Exponent <math> \alpha+\beta </math> und in dem anderen Fall <math> 1 </math>. Ist die Summer der beiden Exponenten größer als 1 gilt <math> F(\lambda K, \lambda L)>\lambda F(K,L) </math> und es liegen steigende Skalenerträge vor. <br>
 Es gilt: <br>
 <math> \alpha + \beta >1 \Rightarrow </math> steigende Skalenerträge<br>