Gradientenmethode - Versionsgeschichte

Okehne: /* MC Fragen */

2024-04-05T14:50:52Z

MC Fragen

Okehne: /* MC Fragen */

2024-04-05T14:42:39Z

MC Fragen

Okehne: /* MC Fragen */

2024-04-05T14:36:33Z

MC Fragen

Okehne am 4. April 2024 um 16:35 Uhr

2024-04-04T16:35:47Z

Okehne: /* Die Bedeutung von \lambda */

2024-04-04T13:58:58Z

Die Bedeutung von \lambda

Okehne am 4. April 2024 um 13:50 Uhr

2024-04-04T13:50:26Z

Okehne: /* Die Bedeutung von \lambda */

2024-04-04T13:46:53Z

Die Bedeutung von \lambda

Okehne am 4. April 2024 um 13:17 Uhr

2024-04-04T13:17:33Z

Okehne: /* Vektor der Budgetgeraden */

2024-04-04T12:40:31Z

Vektor der Budgetgeraden

Okehne am 4. April 2024 um 12:40 Uhr

2024-04-04T12:40:20Z

@@ Zeile 77: / Zeile 77: @@
 <quiz display=simple shuffleanswers=true>
-{Ein Haushalt konsumiert zwei Güter. Der Preis für das eine lautet <math>
+{Ein Haushalt konsumiert zwei Güter. Der Preis für das eine Gut lautet <math>p_1=4 </math> und der Preis für das andere <math> p_2=2</math>. Welcher der folgenden Vektoren lässt sich als Budgetvektor für die Gradientenmethode verwenden?
 |type="()"}
++ <math> \vec{v}=(2, \quad -4)^T </math>
+- <math> \vec{v}=(4, \quad 2)^T </math>
+- <math> \vec{v}=(1, \quad -3)^T </math>
+- <math> \vec{v}=(3, \quad 1)^T </math>
 </quiz>

@@ Zeile 68: / Zeile 68: @@
 Wie lautet der Gradient dieser Nutzenfunktion?
 |type="()"}
-+ <math>
++ <math> \nabla=(\frac{2}{5}x_1, \quad 2x_2)^T </math>
+- <math> \nabla=(\frac{1}{5}x_1^2, \quad x_2^2)^T </math>
+- <math> \nabla=(\frac{2}{5}x_1 \quad + \quad 2x_2)^T </math>
+- <math> \nabla=(\frac{1}{5}x_1^2 \quad + \quad x_2^2)^T </math>
 </quiz>
@@ Zeile 77: / Zeile 77: @@
 <quiz display=simple shuffleanswers=true>
+{Ein Haushalt konsumiert zwei Güter. Der Preis für das eine lautet <math>
 |type="()"}
++

@@ Zeile 54: / Zeile 54: @@
 ==MC Fragen==
 <quiz display=simple shuffleanswers=true>
+{Welche der Aussagen ist wahr?
 |type="()"}
++ Die Gradientenmethode führt immer zum selben Ergebnis wie das Lagrange Verfahren.
+- Die Gradientenmethode kann auch immer Randlösungen finden.
+- Die Gradientenmethode führt immer zum selben Ergebnis wie das KKT Verfahren.
+- Die Gradientenmethode lässt sich nicht bei Maximierungsproblemen mit mehr als zwei Konsumgütern verwenden.
 </quiz>
@@ Zeile 65: / Zeile 65: @@
 <quiz display=simple shuffleanswers=true>
+{Gegeben sei folgende Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=\frac{1}{5}x_1^2+x_2^2 </math> <br>
 |type="()"}
++ <math>
+-
+-

← Nächstältere Version		Version vom 4. April 2024, 16:35 Uhr
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	==MC Fragen==		==MC Fragen==
		+	<quiz display=simple shuffleanswers=true>
		+	{
		+	\|type="()"}
		+	+
		+	-
		+	-
		+	-
		+	</quiz>
		+
		+
		+
		+	<quiz display=simple shuffleanswers=true>
		+	{
		+	\|type="()"}
		+	+
		+	-
		+	-
		+	-
		+	</quiz>
		+
		+
		+
		+	<quiz display=simple shuffleanswers=true>
		+	{
		+	\|type="()"}
		+	+
		+	-
		+	-
		+	-
		+	</quiz>

@@ Zeile 44: / Zeile 44: @@
   <math> (\frac{E}{p_1}, \quad \frac{E}{p_2}) \cdot (p_1, \quad p_2)^T=0 </math>
 Es lässt sich mathematisch zeigen, dass der Preisvektor multipliziert mit dem Grenznutzen des Einkommens identisch zu dem Gradienten der Nutzenfunktion ist. Wenn sich ein Konsument im Optimum <math> (x_1^*,x_2^*) </math> befindet und von beiden Einheiten eine marginale Einheit mehr konsumiert, befindet er sich im selben Konsumpunkt, wenn er den Preisvektor mit dem Grenznutzen des Einkommens skaliert. Der Gradient selbst ist unabhängig von den Preisen und dem Einkommen und verändert sich daher auch nicht, wenn einer der Preise sich beispielsweise erhöht. Was dies bedeutet lässt sich sehr gut an einem Beispiel erkenne, bei dem die [[Nachfrage]] [[Haushaltsoptimum#Homogenität der Nachfrage|homogen im Grad null ist]]. Wenn sich die Preise und das Einkommen um den selben Faktor steigen, verändert sich die optimale Nachfrage des Konsumenten nicht. Auch eine grafische Darstellung sehe nach der Veränderung noch genauso aus, wie vorher. Dennoch hat sich der Preisvektor vergrößert. Der Gradient hat sich jedoch nicht verändert. Dies zeigt, dass der Grenznutzen des Einkommens (<math> \lambda </math>) kleiner geworden ist und der Preisvektor um einen geringeren Faktor skaliert wird. Bei hohen Preisen bringt eine zusätliche verfügbare Einheit des Einkommens einen geringeren zusätzlichen Nutzen, als wenn die Preise kleiner sind. Dies liegt daran, dass ein Konsument sich bei hohen Preisen weniger von einer Einheit des Einkommens kaufen kann, als bei niedrigen Preisen.<br>
 In den Grafiken unten wird nochmal gezeigt, dass der Gradient identisch zu dem skalierten Preisvektor ist. <br>
 [[Datei:Gradient3.png|350px|rahmenlos]]

← Nächstältere Version		Version vom 4. April 2024, 13:46 Uhr
Zeile 40:		Zeile 40:

	==Die Bedeutung von <math> \lambda </math>==		==Die Bedeutung von <math> \lambda </math>==
		+	Die Gradientenmethode erlaubt die Bedeutung von <math> \lambda </math> mit einem etwas anderem Ansatz zu erläutern. <br>
		+	Der Preisvektor <math> \vec{p}=(p_1 \quad p_2)^T </math> verläuft orthogonal zu dem Budgetvektor. <br>
		+	<math> (\frac{E}{p_1}, \quad \frac{E}{p_2}) \cdot (p_1, \quad p_2)^T=0 </math>
		+	Es lässt sich mathematisch zeigen, dass der Preisvektor multipliziert mit dem Grenznutzen des Einkommens identisch zu dem Gradienten der Nutzenfunktion ist. Wenn sich ein Konsument im Optimum <math> (x_1^,x_2^) </math> befindet und von beiden Einheiten eine marginale Einheit mehr konsumiert, befindet er sich im selben Konsumpunkt, wenn er den Preisvektor mit dem Grenznutzen des Einkommens skaliert. Der Gradient selbst ist unabhängig von den Preisen und dem Einkommen und verändert sich daher auch nicht, wenn einer der Preise sich beispielsweise erhöht. Was dies bedeutet lässt sich sehr gut an einem Beispiel erkenne, bei dem die [[Nachfrage]] [[Haushaltsoptimum#Homogenität der Nachfrage\|homogen im Grad null ist]]. Wenn sich die Preise und das Einkommen um den selben Faktor steigen, verändert sich die optimale Nachfrage des Konsumenten nicht. Auch eine grafische Darstellung sehe nach der Veränderung noch genauso aus, wie vorher. Dennoch hat sich der Preisvektor vergrößert. Der Gradient hat sich jedoch nicht verändert. Dies zeigt, dass der Grenznutzen des Einkommens (<math> \lambda </math>) kleiner geworden ist und der Preisvektor um einen geringeren Faktor skaliert wird. <br>
		+	In den Grafiken unten wird nochmal gezeigt, dass der Gradient identisch zu dem skalierten Preisvektor ist. <br>

	==MC Fragen==		==MC Fragen==

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 ==Tangentialpunkt==
 ==Beispiel==
 ==Die Bedeutung von <math> \lambda </math>==
 ==MC Fragen==

@@ Zeile 14: / Zeile 14: @@
   <math> \vec{v}=(x_1^{max}-0, \quad 0-x_2^{max})^T=(x_1^{max}, \quad -x_2^{max})^T </math> <br>
 Der Vektor <math> \vec{v} </math> lässt sich in der Grafik unten erkennen. Es gilt zu beachten, dass der Vektor, anders als der Gradient, nicht variabel in <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ist.<br>
-[[Datei:Gradient2.png|350px|rahmenlos]]
+[[Datei:Gradient2.png|400px|rahmenlos]]
 ==Tangentialpunkt==

@@ Zeile 7: / Zeile 7: @@
   <math> \nabla =(\partial U(x_1,x_2)/\partial x_1, \quad \partial U(x_1,x_2)/\partial x_2)^T </math> <br>
 Je nach Konsumpunkt <math> (x_1,x_2) </math> zeigt der Gradient in eine andere Richtung. Die partielle Ableitung nach <math> x_1 </math> eingesetzt an dem jeweiligen Punkt bestimmt, wie weit der Vektor in die <math> x_1 </math>-Richtung geht. Die partielle Ableitung nach <math> x_2 </math> bestimmt für den jeweiligen Punkt, wie weit der Vektor in die <math> x_2 </math>-Richtung verläuft. <br>
-Datei:Gradient1.png|350px|rahmenlos
+[[Datei:Gradient1.png|351px|rahmenlos]]
 ==Vektor der Budgetgeraden==
-Die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgerade]] lässt sich in einen Vektor umschreiben. Für die <math> x_1 </math>-Richtung lässt sich beispielsweise die Differenz von <math> x_1=0 </math> und <math> x^{max} </math> nehmen. Für die <math> x_2 </math>-Richtung kann wiederum die Differenz zwischen <math> x_2^{max} </math> und <math> y=0 </math> herangezogen werden. <br>
+Die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgerade]] lässt sich in einen Vektor umschreiben. Für die <math> x_1 </math>-Richtung lässt sich beispielsweise die Differenz von <math> x_1=0 </math> und <math> x^{max} </math> nehmen. Für die <math> x_2 </math>-Richtung kann wiederum die Differenz zwischen <math> x_2^{max} </math> und <math> x_2=0 </math> herangezogen werden. <br>
 Es ergibt sich: <br>
   <math> \vec{v}=(x_1^{max}-0, \quad 0-x_2^{max})^T=(x_1^{max}, \quad -x_2^{max})^T </math> <br>
+Der Vektor <math> \vec{v} </math> lässt sich in der Grafik unten erkennen. Es gilt zu beachten, dass der Vektor, anders als der Gradient, nicht variabel in <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ist.<br>
 ==Tangentialpunkt==