Haushaltsoptimum - Versionsgeschichte

Okehne: /* Das Haushaltsoptimum analytisch */

2024-04-04T11:09:34Z

Das Haushaltsoptimum analytisch

Okehne: /* MC Fragen */

2023-10-10T14:59:55Z

MC Fragen

Okehne: /* MC Fragen */

2023-10-10T14:57:57Z

MC Fragen

Okehne: /* Hicks'sche und Marshall'sche Nachfrage */

2023-10-10T14:52:55Z

Hicks'sche und Marshall'sche Nachfrage

Okehne: /* Definition */

2023-10-10T14:42:47Z

Definition

Okehne: /* Definition */

2023-10-10T14:40:06Z

Definition

Okehne am 10. Oktober 2023 um 13:34 Uhr

2023-10-10T13:34:06Z

Okehne: /* Hicks'sche und Marshall'sche Nachfrage */

2023-10-10T13:19:51Z

Hicks'sche und Marshall'sche Nachfrage

Okehne: /* Homogenität der Nachfrage */

2023-10-10T12:45:44Z

Homogenität der Nachfrage

Okehne: /* Das Haushaltsoptimum analytisch */

2023-10-10T12:43:58Z

Das Haushaltsoptimum analytisch

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 ==Das Haushaltsoptimum analytisch ==
-Im Haushaltsoptimum maximiert der Haushalt seinen Nutzen, sprich er maximiert seine Nutzenfunktion unter der Maßgabe, dass seine Budgetgleichung erfüllt ist. Zur Maximierung mit Nebenbedingung dient das [[Lagrange|Lagrangeverfahren]]. Alternativ kann auch die [[Gradientenmethode]] genutzt oder die [[Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen]] aufgestellt werden. Jedes Verfahren bringt jedoch dasselbe Ergebnis, vorausgesetzt es existiert eine innere Lösung. Das Lagrangeverfahren bringt im zwei Güter Modell <math> (x_1,x_2) </math> folgende notwendige Bedingungen: <br>
+Im Haushaltsoptimum maximiert der Haushalt seinen Nutzen, sprich er maximiert seine Nutzenfunktion unter der Maßgabe, dass seine Budgetgleichung erfüllt ist. Zur Maximierung mit Nebenbedingung dient das [[Lagrange|Lagrangeverfahren]]. Alternativ kann auch die [[Gradientenmethode]] genutzt oder die [[Karush-Kuhn-Tucker (KKT)|Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen]] aufgestellt werden. Jedes Verfahren bringt jedoch dasselbe Ergebnis, vorausgesetzt es existiert eine innere Lösung. Das Lagrangeverfahren bringt im zwei Güter Modell <math> (x_1,x_2) </math> folgende notwendige Bedingungen: <br>
 <math> \frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_1}-\lambda p_1=0 </math> <br>
 <math> \frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_2}-\lambda p_2=0 </math> <br>

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 ==MC Fragen==
 <quiz display=simple shuffleanswers=true>
-{Angenommen Sigmar erfährt in seinem aktuellen Nutzenniveau von Gummibärchen einen Grenznutzen von 3 und von Büchern einen Grenznutzen von 5. Angenommen eine Einheit Schokolade kostet 1€ und ein Buch kostet 2€ . Wie könnte Sigmar sein Nutzen erhöhen, wenn er bereits sein Budget vollständig ausgibt? (Sichtweise marginal)
+{Angenommen Sigmar erfährt in seinem aktuellen Nutzenniveau von Schokolade einen Grenznutzen von 3 und von Büchern einen Grenznutzen von 5. Angenommen eine Einheit Schokolade kostet 1€ und ein Buch kostet 2€ . Wie könnte Sigmar sein Nutzen erhöhen, wenn er bereits sein Budget vollständig ausgibt? (Sichtweise marginal)
 |type="()"}
 + Sigmar sollte mehr Schokolade und weniger Bücher konsumieren.

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 <quiz display=simple>
-{ Lisa hat ein Budget von 100 und eine Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^2+e^y </math>. Der Preis für x lautet 2 und y kostet 1 pro Einheit.
+{ Lisa hat ein Budget von 90 und eine Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^2+\frac{1}{2}y^2 </math>. Der Preis für x lautet 2 und y kostet 1 pro Einheit.
 |type="{}"}
-Wie lautet die nutzenmaximale Nachfrage nach y (Gerundet auf vier Nachkommastellen)? { 3,5066 | 3.5066 }
+Wie lautet die nutzenmaximale Nachfrage nach y? { 30 }
 </quiz>

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 ==Hicks'sche und Marshall'sche Nachfrage==
 Das Verfahren, das in der rechnerischen Optimierung geschildert wurde, ergibt die Marshall'sche Nachfrage. Es ist die nutzenmaximale Nachfrage nach einem Gut, bei gegebenem Einkommen (<math> x^M_1(p_1,p_2,E)</math>). Alternativ lässt sich auch die Kostenfunktion minimieren mit der Nebenbedingung das optimale Nutzenniveau <math> U^* </math> zu erreichen. <br>
-[[Datei:Hicks'scheNachfrage.png|401px|rahmenlos]] <br>
+[[Datei:Hicks'scheNachfrage.png|402px|rahmenlos]] <br>
 <br clear=all>
 Ziel ist es den Nutzen mit einem möglichst minimalen Budget E beizubehalten. Die Budgetgerade muss linear verschoben werden, bis zum einen die Indifferenzkurve <math> U_2 </math> erreicht wird und zum anderen die Budgetgerade möglichst nahe am Ursprung liegt. Es ergibt sich ein Tangentialpunkt, der identisch zu dem aus der Vorgehensweise der Nutzenmaximierung ist. Rechnerisch ist die Vorgehensweise identisch zur Marschall'schen Nachfrage. Die Lagrangefunktion wird aufgestellt mit der Zielfunktion, der Ausgaben für den Konsum der beiden Güter, und der Nebenbedingung, der Nutzenfunktion, die gleich <math> U^* </math> sein muss. Das Maximieren nach <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ergibt zusammen mit der Nebenbedingung drei notwendige Bedingungen. Nach Aufstellen der Tangentialbedingung und Einsetzen in die Nebenbedingung folgt eine Nachfrage nach beiden Gütern, die abhängig von den Preisen und dem Nutzenniveau <math> U^* </math> ist (<math> x^H_1(p_1,p_2,U^*)</math>. <br>

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 ==Definition==
 Die Konsumgüterbündel eines Konsumenten, das er gegeben seiner Budgetrestriktion am stärksten präferiert, heißt Haushaltsoptimum. Der Nutzen ist in diesem Konsumbündel maximiert und ein höheres Nutzenniveau kann aufgrund der Budgetrestriktion nicht erreicht werden. <br>
-Sollte eines der Güter ein [[Ungüter|Ungut/Schlecht]] sein, gilt es dieses im Haushaltsoptimum bei positiven Preisen möglichst nicht zu konsumieren.
+Sollte eines der Güter ein [[Güter und Ungüter#Ungüter|Ungut/Schlecht]] sein, gilt es dieses im Haushaltsoptimum bei positiven Preisen möglichst nicht zu konsumieren.
 __TOC__

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 ==Das Haushaltsoptimum analytisch ==
-Im Haushaltsoptimum maximiert der Haushalt seinen Nutzen, sprich er maximiert seine Nutzenfunktion unter der Maßgabe, dass seine Budgetgleichung erfüllt ist. Zur Maximierung mit Nebenbedingung dient das [[Lagrange|Lagrangeverfahren]]. Alternativ kann auch die [[Gradientenmethode]] genutzt oder die [[Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen]] aufgestellt werden. Jedes Verfahren bringt jedoch dasselbe Ergebnis, vorausgesetzt es existiert eine innere Lösung. Das Lagrangeverfahren bringt im zwei Güter Modell (x_1,x_2) folgende notwendige Bedingungen: <br>
+Im Haushaltsoptimum maximiert der Haushalt seinen Nutzen, sprich er maximiert seine Nutzenfunktion unter der Maßgabe, dass seine Budgetgleichung erfüllt ist. Zur Maximierung mit Nebenbedingung dient das [[Lagrange|Lagrangeverfahren]]. Alternativ kann auch die [[Gradientenmethode]] genutzt oder die [[Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen]] aufgestellt werden. Jedes Verfahren bringt jedoch dasselbe Ergebnis, vorausgesetzt es existiert eine innere Lösung. Das Lagrangeverfahren bringt im zwei Güter Modell <math> (x_1,x_2) </math> folgende notwendige Bedingungen: <br>
 <math> \frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_1}-\lambda p_1=0 </math> <br>
 <math> \frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_2}-\lambda p_2=0 </math> <br>
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 beziehungsweise <br>
   <math> \frac{MU_{x1}}{MU_{x2}}=GRS_{x_1,x_2}=\frac{p_1}{p_2} </math> <br>
-In der Tangentialbedingung wird erkennbar, dass sie unabhängig von dem Budget E ist. Sie gibt ein allgemeines Verhältnis an, dass für die beiden Grenznutzen immer gelten muss. Die Steigung der Indifferenzkurve (die Grenzrate der Substitution) entspricht gerade  der Steigung der Budgetgeraden (dem relativen Preisverhältnis  der beiden Güter). Ist diese Bedingung nicht erfüllt, kann der Haushalt durch Anpassung seines Konsumgüterbündels ein höheres Nutzenniveau erreichen.
+In der Tangentialbedingung wird erkennbar, dass sie unabhängig von dem Budget E ist. Sie gibt ein allgemeines Verhältnis an, dass für die beiden Grenznutzen immer gelten muss. Die Steigung der Indifferenzkurve (die [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution|Grenzrate der Substitution]]) entspricht gerade  der Steigung der Budgetgeraden (dem relativen Preisverhältnis  der beiden Güter). Ist diese Bedingung nicht erfüllt, kann der Haushalt durch Anpassung seines Konsumgüterbündels ein höheres Nutzenniveau erreichen.
 Die Tangentialbedingung umgestellt ergibt auch <br>

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 ==Homogenität der Nachfrage==
 Eine Funktion ist im Grad t homogen, wenn gilt <math> f(\lambda x)=\lambda ^tf(x) </math>. In der Untersuchung, ob die Nachfrage nach einem Gut x homogen in den einzelnen abhängigen Variablen ist, kann dies auf die Nachfragefunktion angewendet werden. <br>
-Eine Nachfrage ist beispielsweise homogen im Einkommen, wenn <math> x(p_x,p_y,\lambda E)=\lambda^tx(p_x,p_y,E) </math> gilt. <br>
+Eine Nachfrage ist beispielsweise homogen im Einkommen, wenn <math> x_1(p_1,p_2,\lambda E)=\lambda^tx_1(p_1,p_2,E) </math> gilt. <br>
-''Beispiel'': Die Nachfrage nach dem Gut x sei <math> x(p_x,p_y,E)=p_yE-p_xE </math>. Zur Überprüfung auf Homogenität im Einkommen wird das Einkommen mit einem Faktor <math> \lambda </math> versehen: <math> x(p_x,p_y,\lambda E)=p_y(\lambda E)-p_x(\lambda E)=(p_yE-p_xE)\lambda </math>. Es gilt <math> x(p_x,p_y,\lambda E)=\lambda^1x(p_x,p_y,E) </math>. Die Nachfrage nach x ist im Grad 1 homogen im Einkommen.
+''Beispiel'': Die Nachfrage nach dem Gut <math> x_1 </matH> sei <math> x_1(p_1,p_2,E)=p_2E-p_1E </math>. Zur Überprüfung auf Homogenität im Einkommen wird das Einkommen mit einem Faktor <math> \lambda </math> versehen: <math> x_1(p_1,p_2,\lambda E)=p_2(\lambda E)-p_1(\lambda E)=(p_2E-p_1E)\lambda </math>. Es gilt <math> x_1(p_1,p_2,\lambda E)=\lambda^1x_1(p_1,p_2,E) </math>. Die Nachfrage nach <math> x_1 </math> ist im Grad 1 homogen im Einkommen.
 ==Hicks'sche und Marshall'sche Nachfrage==

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 <math> \frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_1}-\lambda p_1=0 </math> <br>
 <math> \frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_2}-\lambda p_2=0 </math> <br>
-<math> p_xx+p_yy-E=0 </math> <br>
+<math> p_1x_1+p_2x_2-E=0 </math> <br>
 Nach umstellen der beiden ersten Gleichungen ergibt sich die '''Tangentialbedingung''': <br>
   <math> \frac{\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_1}}{\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_2}}=\frac{p_1}{p_2} </math> <br>