Intertemporale Entscheidung - Versionsgeschichte

Lobin: /* \rho und r */

2023-08-31T10:22:23Z

\rho und r

Lobin: /* \rho und r */

2023-08-31T10:20:27Z

\rho und r

Lobin: /* Intertemporale Nutzenmaximierung */

2023-08-31T10:20:10Z

Intertemporale Nutzenmaximierung

Lobin: /* Intertemporale Nutzenmaximierung */

2023-08-31T10:18:58Z

Intertemporale Nutzenmaximierung

Lobin: /* Mit Kapitalmarkt */

2023-08-31T10:17:08Z

Mit Kapitalmarkt

Lobin: /* Mit Kapitalmarkt */

2023-08-31T10:16:09Z

Mit Kapitalmarkt

Lobin: /* Mit Kapitalmarkt */

2023-08-31T10:15:56Z

Mit Kapitalmarkt

Lobin: /* Mit Kapitalmarkt */

2023-08-31T10:14:27Z

Mit Kapitalmarkt

Lobin: /* Mit Kapitalmarkt */

2023-08-31T10:13:59Z

Mit Kapitalmarkt

Lobin: /* Mit Kapitalmarkt */

2023-08-31T10:12:20Z

Mit Kapitalmarkt

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 <math> \frac{u'(C_0)}{u'(C_1)}=\frac{1+r}{1+ \rho} </math> <br>
 In der neuen Gleichung lässt sich erkennen, wie der Haushalt bei unterschiedlichen Diskontierungsfaktoren und unterschiedlichen Zinssätzen konsumieren sollte. <br>
-Für den Fall, dass <math> \rho </math> größer als der Zinssatz <math> r </math> ist, ist der Zähler kleiner als der Nenner und der Wert ist kleiner als eins. Bei Gleichheit ist demnach der Grenznutzen des Konsums in Periode 0 kleiner als der [[Marginale Sichtweise|Grenznutzen]] des Konsums in Periode 1. Ein größerer Grenznutzen bedeutet, dass eine zusätzliche Einheit einen größeren zusätzlichen Nutzen stiftet, als bei einem geringeren Grenznutzen. Bei einer identischen Nutzenfunktion bedeutet ein größerer Grenznutzen ein geringeres Konsumniveau. Deshalb gilt <math> \rho > r </math> => <math> C_0>C_1 </math>. Inhaltlich bedeutet ein größeres <math> \rho </math>, dass der Zinssatz als Vorteil des Sparens geringer ist, als die Kosten des Sparens (Konsumverzicht). <br>
+Für den Fall, dass <math> \rho </math> größer als der Zinssatz <math> r </math> ist, ist der Zähler kleiner als der Nenner und der Wert ist kleiner als eins. Demnach ist der Grenznutzen des Konsums in Periode 0 kleiner als der [[Marginale Sichtweise|Grenznutzen]] des Konsums in Periode 1. Ein größerer Grenznutzen bedeutet, dass eine zusätzliche Einheit einen größeren zusätzlichen Nutzen stiftet, als bei einem geringeren Grenznutzen. Bei einer identischen Nutzenfunktion bedeutet ein größerer Grenznutzen ein geringeres Konsumniveau. Deshalb gilt <math> \rho > r </math> => <math> C_0>C_1 </math>. Inhaltlich bedeutet ein größeres <math> \rho </math>, dass der Zinssatz als Vorteil des Sparens geringer ist, als die Kosten des Sparens (Konsumverzicht). <br>
 Für den Fall <math> \rho =r </math>, ist die Gleichung erfüllt, wenn der Grenznutzen des Konsums in 0 und 1 gleich groß ist, weshalb gilt <math> \rho=r</math> => <math> C_0=C_1 </math>. <br>
 Aus <math> \rho<r </math> folgt <math> C_0<C_1 </math>.

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 ==<math> \rho </math> und <math> r </math>==
 Das oben errechnete Optimum lässt sich umstellen zu: <br>
-<math> \frac{u'(C_0}{u'(C_1)}=\frac{1+r}{1+ \rho} </math> <br>
+<math> \frac{u'(C_0)}{u'(C_1)}=\frac{1+r}{1+ \rho} </math> <br>
 In der neuen Gleichung lässt sich erkennen, wie der Haushalt bei unterschiedlichen Diskontierungsfaktoren und unterschiedlichen Zinssätzen konsumieren sollte. <br>
 Für den Fall, dass <math> \rho </math> größer als der Zinssatz <math> r </math> ist, ist der Zähler kleiner als der Nenner und der Wert ist kleiner als eins. Bei Gleichheit ist demnach der Grenznutzen des Konsums in Periode 0 kleiner als der [[Marginale Sichtweise|Grenznutzen]] des Konsums in Periode 1. Ein größerer Grenznutzen bedeutet, dass eine zusätzliche Einheit einen größeren zusätzlichen Nutzen stiftet, als bei einem geringeren Grenznutzen. Bei einer identischen Nutzenfunktion bedeutet ein größerer Grenznutzen ein geringeres Konsumniveau. Deshalb gilt <math> \rho > r </math> => <math> C_0>C_1 </math>. Inhaltlich bedeutet ein größeres <math> \rho </math>, dass der Zinssatz als Vorteil des Sparens geringer ist, als die Kosten des Sparens (Konsumverzicht). <br>

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 Rechnerisch muss die Zielfunktion mit der Nebenbedingung maximiert werden. Eine Möglichkeit stellt das [[Lagrange|Langrangeverfahren]] dar. Die Lagrangefunktion lautet: <br>
 <math> \mathcal{L} (C_0,C_1,\lambda)=U(C_0,C_1)+\lambda (M_0+\frac{M_1}{1+r}-C_0-\frac{C_1}{1+r}) </math> <br>
-Je nachdem ob der Nutzenmaximale Konsumpunkt rechts oder links vom Ausstattungspunkt ist, ist der Sparbetrag positiv oder negativ. In der ersten Abbildung liegt der Ausstattungspunkt rechts vom [[Haushaltsoptimum]]. Der Haushalt konsumiert im Optimum in der Periode 0 weniger, als er mit seinem Budget <math> M_0 </math> könnte. Gleichzeitig konsumiert er in Periode 1 mehr als <math> M_1 </math> alleine ermöglicht. In der zweiten Abbildung liegt der Ausstattungspunkt links vom optimalen Bündel. Hier konsumiert der Haushalt durch einen Kredit in Periode 0 mehr, als das Budget <math> M_0 </math> alleine ermöglicht. <br>
+Je nachdem ob der Nutzenmaximale Konsumpunkt rechts oder links vom Ausstattungspunkt ist, ist der Sparbetrag positiv oder negativ. In der ersten Abbildung liegt der Ausstattungspunkt rechts vom [[Haushaltsoptimum]]. Der Haushalt konsumiert im Optimum in der Periode 0 weniger, als er mit seinem Budget <math> M_0 </math> könnte. Gleichzeitig konsumiert er in Periode 1 mehr als <math> M_1 </math> alleine ermöglicht (er spart einen Teil seines Einkommens in Periode 0). In der zweiten Abbildung liegt der Ausstattungspunkt links vom optimalen Bündel. Hier konsumiert der Haushalt durch einen Kredit in Periode 0 mehr, als das Budget <math> M_0 </math> alleine ermöglicht. <br>
 [[Datei:InterSparer.png|350px|rahmenlos]]
 [[Datei:InterKredit.png|350px|rahmenlos]]

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 [[Datei:InterHaushaltsoptimum.png|350px|rahmenlos]] <br>
 <br clear=all>
-Rechnerisch muss die Zielfunktion mit der Nebenbedingung maximiert werden. Eine Möglichkeit stellt das [[Lagrange|Langrangeverfahren]] dar. Die Lagrangefunktion lautet <br>
+Rechnerisch muss die Zielfunktion mit der Nebenbedingung maximiert werden. Eine Möglichkeit stellt das [[Lagrange|Langrangeverfahren]] dar. Die Lagrangefunktion lautet: <br>
 <math> \mathcal{L} (C_0,C_1,\lambda)=U(C_0,C_1)+\lambda (M_0+\frac{M_1}{1+r}-C_0-\frac{C_1}{1+r}) </math> <br>
 Je nachdem ob der Nutzenmaximale Konsumpunkt rechts oder links vom Ausstattungspunkt ist, ist der Sparbetrag positiv oder negativ. In der ersten Abbildung liegt der Ausstattungspunkt rechts vom [[Haushaltsoptimum]]. Der Haushalt konsumiert im Optimum in der Periode 0 weniger, als er mit seinem Budget <math> M_0 </math> könnte. Gleichzeitig konsumiert er in Periode 1 mehr als <math> M_1 </math> alleine ermöglicht. In der zweiten Abbildung liegt der Ausstattungspunkt links vom optimalen Bündel. Hier konsumiert der Haushalt durch einen Kredit in Periode 0 mehr, als das Budget <math> M_0 </math> alleine ermöglicht. <br>

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 <math> M_1+(1+r)M_0=C_1+C_0(1+r) </math> <br>
 <math> M_0+\frac{M_1}{1+r}=C_0+\frac{C_1}{1+r} </math> <br>
-Das mit dem Zinssatz auf die heutige Periode abdiskontierte Vermögen aller Perioden muss gleich den mit dem Zinssatz auf die heutige Periode abdiskontierten Konsumausgaben sein. Oder anders formuliert: Der Present Value des Vermögens entspricht dem Present Value der Konsumausgaben. <br>
+Das mit dem Zinssatz auf die heutige Periode abdiskontierte Budgets aller Perioden muss gleich den mit dem Zinssatz auf die heutige Periode abdiskontierten Konsumausgaben sein. Oder anders formuliert: Der Present Value des Budgets entspricht dem Present Value der Konsumausgaben. <br>
 Für eine grafische Darstellung der Budgetgeraden muss nach <math> C_0 </math> oder <math> C_1 </math> umgestellt werden. <br>
 [[Datei:InterBudget.png|450px|rahmenlos]]

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 '''Periode 1''': <math> Budget +verzinste\,Sparsumme=Konsumausgaben </math> <br>
 (ii) <math> M_1+(1+r)S=p_1C_1 </math> <br>
-Zur Vereinfachung ist der Preis für ein Konsumgut auf 1 normiert und es existiert keine Inflation damit <math> p_o=p_1 </math> gilt <br>
+Zur Vereinfachung ist der Preis für ein Konsumgut auf 1 normiert und es existiert keine Inflation damit <math> p_0=p_1 </math> gilt <br>
 (i) nach S umgestellt ergibt <math> S=M_0-C_0 </math> <br>
 In (ii) eingesetzt: <br>

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 '''Periode 0''': <math> Budget=Konsumausgaben+Sparsumme </math> <br>
 (i) <math> M_o=p_0C_0+S </math> <br>
-In der zweiten Periode bleibt dem Haushalt nur der Konsum des gesamten Vermögens. <br>
+In der zweiten Periode bleibt dem Haushalt nur der Konsum des gesamten Budget. <br>
-'''Periode 1''': <math> Verm \ddot gen+verzinste\,Sparsumme=Konsumausgaben </math> <br>
+'''Periode 1''': <math> Budget +verzinste\,Sparsumme=Konsumausgaben </math> <br>
 (ii) <math> M_1+(1+r)S=p_1C_1 </math> <br>
 Zur Vereinfachung ist der Preis für ein Konsumgut auf 1 normiert und es existiert keine Inflation damit <math> p_o=p_1 </math> gilt <br>

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 ===Mit Kapitalmarkt===
 Der Haushalt hat in beiden Perioden ein Einkommen, das es aufgrund des Kapitalmarktes in eine andere Periode transferieren kann. Mit einem Kapitalmarkt hat der Haushalt somit in der ersten Periode mehr Entscheidungsmöglichkeiten. Neben dem vollständigen Konsum kann er auch einen Teil sparen oder durch einen Kredit Budget aus der Zukunft nutzen. Die Ausgaben des Konsums und die Summe, die gespart wird, muss gleich dem verfügbaren Einkommen sein. Spart ein Haushalt, ist die Sparsumme positiv, nimmt er ein Kredit auf, ist die Sparsumme negativ. <br>
-'''Periode 0''': <math> Verm \ddot gen=Konsumausgaben+Sparsumme </math> <br>
+'''Periode 0''': <math> Budget=Konsumausgaben+Sparsumme </math> <br>
 (i) <math> M_o=p_0C_0+S </math> <br>
 In der zweiten Periode bleibt dem Haushalt nur der Konsum des gesamten Vermögens. <br>