Lagrange - Versionsgeschichte

Okehne: /* Lösung des Maximierungsproblems */

2024-10-07T16:19:18Z

Lösung des Maximierungsproblems

Okehne: /* Bedingungen erster Ordnung */

2024-10-07T16:17:15Z

Bedingungen erster Ordnung

Okehne: /* Die Bedeutung von Lambda */

2024-01-26T09:21:07Z

Die Bedeutung von Lambda

Okehne: Änderung 2474 von Okehne (Diskussion) rückgängig gemacht.

2023-11-23T16:06:24Z

Änderung 2474 von Okehne (Diskussion) rückgängig gemacht.

Okehne am 23. November 2023 um 16:05 Uhr

2023-11-23T16:05:04Z

Lobin: /* Die Bedeutung von Lambda */

2023-11-13T17:08:48Z

Die Bedeutung von Lambda

Lobin: /* Lösung des Maximierungsproblems */

2023-11-13T17:06:48Z

Lösung des Maximierungsproblems

Lobin: /* Lösung des Maximierungsproblems */

2023-11-13T17:06:33Z

Lösung des Maximierungsproblems

Lobin: /* Lösung des Maximierungsproblems */

2023-11-13T17:04:04Z

Lösung des Maximierungsproblems

Lobin: /* Bedingungen erster Ordnung */

2023-11-13T17:03:13Z

Bedingungen erster Ordnung

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 Die [[Lagrange#FOC|First order Conditions]] stellen ein Gleichungsystem dar. Es existieren drei unbekannte (<math> x_1</math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>) und drei Gleichungen. Zum Lösen des Systems gibt es verschiedene Wege. Eine der ersten beiden Gleichungen kann nach <math> \lambda </math> umgestellt und in die andere der oberen beiden Gleichungen eingesetzt werden. Es ist auch möglich die oberen beiden Gleichungen beide nach <math> \lambda </math> umzustellen und anschließend gleichzusetzen. Es kann auch direkt die erste durch die zweite Gleichung dividiert werden. <br>
 Als Beispiel sollen die ersten beiden Gleichungen nach <math> \lambda </math> ugestellt werden. Es ergibt sich: <br>
-<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1 </math> <br>
+<math> \lambda=\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1 </math> <br>
-<math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> <br>
+<math> \lambda=\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> <br>
 Da <math> \lambda=\lambda </math> ergibt sich: <br>
-<math> \frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> oder weiter umgestellt <br>
+<math> \frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1=\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> oder weiter umgestellt <br>
-  <math> \frac{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}}{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}}=\frac{p_1}{p_2} </math> <br>
+  <math> \frac{\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_1}}{\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_2}}=\frac{p_1}{p_2} </math> <br>
 Die linke Seite des Ausdrucks entspricht der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution|GRS]]. Dieser Ausdruck kann wiederum nach <math> x_1 </math> oder <math> x_2 </math> umgestellt werden, welche beide im [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] stecken. Es ergibt sich beispielweise ein Ausdruck,<math> x_1(x_2) </math> , der abhängig von der anderen variable <math> x_2 </math> ist. Dieser lässt sich in die Budgetrestriktion einsetzen, die vorher <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> beinhaltete. Nach der Substitution ist in der Budgetrestriktion nur noch eine Unbekannte <math> x_2 </math> vorhanden, nach der umgestellt werden kann. Es ergibt sich beispielsweise mit der Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=x_1x_2 </math> folgende Gleichung: <br>
 <math> \frac{x_2}{x_1}=\frac{p_1}{p_2} </math> umgestellt nach <math> x_2 </math> ergibt sich <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math>. <br>

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 ==Bedingungen erster Ordnung==
 Die Langrangefunktion beschreibt das Maximierungsproblem in einer Art, die aufgrund des <math> \lambda </math> nur schwer grafisch vorstellbar ist. Die Vorgehensweise ist im ersten Schritt jedoch ähnlich zu einem simplen [[Maximieren|univariaten Maximierungsproblem]]. Es muss die Funktion nach den Variablen abgeleitet werden, für die der Nutzen maximiert werden soll. Die erste Ableitung muss gleich null sein (Bedingung erster Ordnung oder FOC=First order condition). Zudem muss weitergehend beachtet werden, dass die Budgetrestriktion eingehalten werden muss. Die FOCs stellen ein Gleichungssystem dar, das es zu lösen gilt. <br>
-  <math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_1}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}-\lambda p_1 \stackrel{!}{=}0 </math> <br>
+  <math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_1}=\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_1}-\lambda p_1 \stackrel{!}{=}0 </math> <br>
-  <math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_2}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}-\lambda p_2 \stackrel{!}{=}0 </math> <br>
+  <math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_2}=\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_2}-\lambda p_2 \stackrel{!}{=}0 </math> <br>
   <math> p_1x_1+p_2x_2-E \stackrel{!}{=}0 </math>

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 ==Die Bedeutung von Lambda==
-Die [[Lagrange#Langrangefunktion|Langrangefunktion]] unterstellt, dass für <math> \lambda </math> die Nebenbedingung erfüllt ist. Sie sucht also Wert <math> x^*_1 </math> und <math> x^*_2 </math>, für die das Budget nicht überschritten wird. Dafür führt das Langrangeverfahren den Lagrange Mutiplikator <math> \lambda </math> als eine Art Schattenpreis ein, den der Haushalt zahlen muss, wenn das Budget nicht eingehalten wird. Dies hat auch den Grund, warum für die richtige Interpretation von <math> \lambda </math> die Notation wichtig ist. Der Schattenpreis ist positiv. Sind die Konsumausgaben dementsprechend größer als das Budget, gilt <math> p_1x_1+p_2x_2>E </math> und dementsprechend <math> p_1x_1+p_2x_2-E>0 </math>. Da vor <math> \lambda </math> eine negatives Vorzeichen steht, wird von dem Nutzen etwas abgezogen, wenn die Konsumausgaben größer sind als das Budget. Gleichzeitig wird zum Nutzen etwas addiert, wenn die Konsumausgaben kleiner sind als das Budget. Im [[Haushaltsoptimum]] ist der Schattenpreis so gewählt, dass die Budgetrestriktion mit Gleichheit erfüllt ist. <math> \lambda </math> lässt sich berechnen, indem die Ausgerechneten optimalen Konsumniveaus in einer der beiden FOC Gleichungen eingesetzt und nach <math> \lambda </math> aufgelöst wird. <br>
+Die [[Lagrange#Langrangefunktion|Langrangefunktion]] unterstellt, dass für <math> \lambda </math> die Nebenbedingung erfüllt ist. Sie sucht also Wert <math> x^*_1 </math> und <math> x^*_2 </math>, für die das Budget nicht überschritten wird. Dafür führt das Langrangeverfahren den Lagrange Mutiplikator <math> \lambda </math> als eine Art Schattenpreis ein, den der Haushalt zahlen muss, wenn das Budget nicht eingehalten wird. Dies hat auch den Grund, warum für die richtige Interpretation von <math> \lambda </math> die Notation wichtig ist. Der Schattenpreis ist positiv. Sind die Konsumausgaben größer als das Budget, gilt <math> p_1x_1+p_2x_2>E </math> und dementsprechend <math> p_1x_1+p_2x_2-E>0 </math>. Da vor <math> \lambda </math> eine negatives Vorzeichen steht, wird von dem Nutzen etwas abgezogen, wenn die Konsumausgaben größer sind als das Budget. Gleichzeitig wird zum Nutzen etwas addiert, wenn die Konsumausgaben kleiner sind als das Budget. Im [[Haushaltsoptimum]] ist der Schattenpreis so gewählt, dass die Budgetrestriktion mit Gleichheit erfüllt ist. <math> \lambda </math> lässt sich berechnen, indem die Ausgerechneten optimalen Konsumniveaus in einer der beiden FOC Gleichungen eingesetzt und nach <math> \lambda </math> aufgelöst wird. <br>
 Es lässt sich außerdem zeigen, dass <math> \lambda </math> der Grenznutzen des Einkommens ist. Steigt das Einkommen, steigt auch das Nutzenniveau im Optimum um <math> \lambda </math> Einheiten. (Für den Beweis siehe [[https://www.dropbox.com/scl/fi/r08jdx96k34h0sezg6jdc/Derivation_of_the_meaning_of_Lambda.pdf?rlkey=sq0futxbzz539dlg5dispw990&dl=0|hier]])

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 ==Langrangefunktion==
 Die Lagrangefunktion wird aufgestellt, indem von der Nutzenfunktion ein zweiter Term abgezogen wird. Der zweite Term besteht aus der Budgetrestriktion, die nach null umgestellt und mit einer Variablen (dem Langrange Multiplikator) multipliziert wird. Die Langrangefunktion ist damit abhängig von <math> x_1 </math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>: <br>
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   <math> 0</math>≤<math display="inline">E-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}</math> (ii) <br>
 In beiden Fällen der Budgetrestriktion gilt die gleiche Intuition. Wenn der Haushalt mehr ausgibt als er mit seinem Budget E könnte, soll er dafür bestraft werden. Der Nutzen, gegeben durch die Nutzenfunktion), muss sich verringern, wenn er mehr ausgibt, als er kann. Im Fall (i) ist dies der Fall, wenn die Ungleichung positiv ist. Da <math> \lambda </math> immer positiv ist, muss vor das <math> \lambda </math> ein negatives Vorzeichen. Analog gilt die Intuition bei Fall (ii).

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 ==Langrangefunktion==
 Die Lagrangefunktion wird aufgestellt, indem von der Nutzenfunktion ein zweiter Term abgezogen wird. Der zweite Term besteht aus der Budgetrestriktion, die nach null umgestellt und mit einer Variablen (dem Langrange Multiplikator) multipliziert wird. Die Langrangefunktion ist damit abhängig von <math> x_1 </math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>: <br>
-  <math> \mathcal{L}(x_1,x_2, \lambda)=U(x_1,x_2)-\lambda(p_1x_1+p_2x_2-E) </math> <br>
+  <math> \mathcal{L}(x_1,x_2, \lambda)=U(x_1,x_2)-\lambda(p_1x_1+p_2x_2-E) </math> (I) <br>
-Für das Ergebnis vom optimalen <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ist es irrelevant, ob vor dem Komma ein + oder ein - steht. Es ist ebenfalls irrelevant, ob in der Nebenbedingung der linke oder der rechte Teil auf die andere Seite gebracht wird. Für [[Lagrange#Die Bedeutung von Lambda|die Bedeutung von Lambda]] hat dies jedoch durchaus Relevanz. Um allein das optimale Konsumniveau von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> auszurechnen, muss formal auf die genannten Dinge keine Rücksicht genommen werden. Um <math> \lambda </math> zu deuten, gilt es jedoch die obige Notation beizubehalten.
+ <math> \mathcal{L}(x_1,x_2, \lambda)=U(x_1,x_2)+\lambda(E-p_1x_1-p_2x_2) </math> (II) <br>
+Für die richtige Interpretation des Ergebnisses ist es durchaus relevant, ob vor dem <math> \lambda </math> ein + oder ein - steht. Merkhilfe bietet hier [[Lagrange#Die Bedeutung von Lambda|die Bedeutung von Lambda]]. Streng genommen ist die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetrestriktion|Budgetrestriktion]] eine Ungleichung. Es ist durchaus möglich weniger als das vollständige Budget auszugeben, daher lautet die Restriktion <math display="inline> p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}</math>≤<math display="inline">E</math>. Umgestellt nach null ergibt sich entweder <br>
-==Bedingungen erster Ordnung==
+ <math> p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}-E</math>≤<math display="inline">0</math> (i) <br>
-Die Langrangefunktion beschreibt das Maximierungsproblem in einer Art, die aufgrund des <math> \lambda </math> nur schwer grafisch vorstellbar ist. Die Vorgehensweise ist im ersten Schritt jedoch ähnlich zu einem simplen [[Maximieren|univariaten Maximierungsproblem]]. Es muss die Funktion nach den Variablen abgeleitet werden, für die der Nutzen maximiert werden soll. Die erste Ableitung muss gleich null sein (Bedingung erster Ordnung oder FOC=First order condition). Zudem muss weitergehend beachtet werden, dass die Budgetrestriktion eingehalten werden muss. Die FOCs stellen ein Gleichungssystem dar, das es zu lösen gilt. <br>
+  oder <br>
- <math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_1}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}-\lambda p_1 \stackrel{!}{=}0 </math> <br>
+ <math> 0</math>≤<math display="inline">E-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}</math> (ii) <br>
- <math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_2}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}-\lambda p_2 \stackrel{!}{=}0 </math> <br>
+In beiden Fällen der Budgetrestriktion gilt die gleiche Intuition. Wenn der Haushalt mehr ausgibt als er mit seinem Budget E könnte, soll er dafür bestraft werden. Der Nutzen, gegeben durch die Nutzenfunktion), muss sich verringern, wenn er mehr ausgibt, als er kann. Im Fall (i) ist dies der Fall, wenn die Ungleichung positiv ist. Da <math> \lambda </math> immer positiv ist, muss vor das <math> \lambda </math> ein negatives Vorzeichen. Analog gilt die Intuition bei Fall (ii).