Maximieren - Versionsgeschichte

Leitzing am 9. Oktober 2023 um 15:58 Uhr

2023-10-09T15:58:10Z

Okehne: /* MC Fragen */

2023-09-12T15:24:38Z

MC Fragen

Lobin: /* Gewinnfunktion */

2023-09-12T12:10:47Z

Gewinnfunktion

Lobin: /* Bedingung zweiter Ordnung */

2023-09-12T12:07:23Z

Bedingung zweiter Ordnung

Lobin: /* Bedingung zweiter Ordnung */

2023-09-12T12:03:02Z

Bedingung zweiter Ordnung

Lobin: /* Bedingung erster Ordnung */

2023-09-12T12:00:59Z

Bedingung erster Ordnung

Lobin: /* Maximieren */

2023-09-12T11:55:06Z

Maximieren

Lobin am 12. September 2023 um 11:49 Uhr

2023-09-12T11:49:50Z

Okehne: /* MC Fragen */

2023-09-11T17:14:40Z

MC Fragen

Okehne: /* MC Fragen */

2023-09-11T16:53:37Z

MC Fragen

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 [[Datei:Tiefpunkt3.png|300px|rahmenlos]] <br>
 <br clear=all>
-Ist die Steigung der ersten Ableitung (g'(x)) negativ, wird die Steigung der Funktion (g(x)) mit der Zeit immer kleiner. Das bedeutet, dass die Steigung der Funktion erst positiv ist, dann irgendwann gleich null ist, bis die Steigung negativ wird, was zur Folge hat das die Funktion fallend ist. <br>
+Ist die Steigung der ersten Ableitung (g'(x)) negativ, wird die Steigung der Funktion (g(x)) mit der Zeit immer kleiner. Das bedeutet, dass die Steigung der Funktion erst positiv ist, dann irgendwann gleich null ist, bis die Steigung negativ wird, was zur Folge hat das die Funktion fallend ist. Mathematisch formal ist es notwendig die Extremstellen auch auf die zweite Bedingung zu untersuchen. Zum einen, um herauszufinden welcher der beiden Fälle vorliegt und zum anderen, um andere mathematische Eigenschaften wie einen Sattelpunkt auszuschließen.
 ==Gewinnfunktion==

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 {Angenommen die Funktion <math> f(x)=3x^4+4x^3 </math> besitzt in <math> x=0 </math> ein Extrempunkt. Worum handelt es sich?
 |type="()"}
-+ Minimum.
+- Minimum.
 - Maximum.
-- Weder noch.
++ Weder noch.
 - Die Funktion besitzt in <math> x=0 </math> gar kein Extrempunkt.
 </quiz>

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 ==Gewinnfunktion==
-In der Mikroökonomie gilt es häufig eine Unternehmensentscheidung zu treffen, wie viel ein Unternehmen gewinnmaximal anbieten soll. Die Frage ist dementsprechend: Bei welcher Menge q ist der Gewinn maximal. Hierfür ist die [[Vergleich Gewinnmaximum bei unterschiedlichen Marktformen#Die Gewinnfunktion|Gewinnfunktion]] notwendig. <br>
+In der Mikroökonomie gilt es häufig eine Unternehmensentscheidung zu treffen. Wie viel soll ein Unternehmen gewinnmaximal anbieten (q)? Hierfür ist die [[Vergleich Gewinnmaximum bei unterschiedlichen Marktformen#Die Gewinnfunktion|Gewinnfunktion]] notwendig. <br>
 [[Datei:Gewinnfunktion.png|300px|rahmenlos]] <br>
 <br clear=all>

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 ==Bedingung zweiter Ordnung==
 Die Bedingung zweiter Ordnung (oder auch hinreichende Bedingung) lautet ergänzend zu der Bedingung erster Ordnung <math> f''(x)<0 </math> für einen Hochpunkt und <math> f''(x)>0 </math> für einen Tiefpunkt. <br>
-Die Bedingung zweiter Ordnung untersucht die Steigung der ersten Ableitung. Die Formeln lassen sich bereits mit den Abbildungen oben erläutern. Bei einem Hochpunkt ist die Steigung linksseitig vom Extrempunkt positiv und nähert sich null an. Nach dem Extrempunkt ist die Steigung negativ. Bei den Abbildungen unten sind die Formeln noch intuitiver erklärt. <br>
+Die Bedingung zweiter Ordnung untersucht die Steigung der ersten Ableitung. Die Formeln lassen sich bereits mit den Abbildungen oben erläutern. Bei einem Hochpunkt ist die Steigung linksseitig vom Extrempunkt positiv und nähert sich null an. Nach dem Extrempunkt ist die Steigung negativ. Die Abbildungen zeigen die Bedingung erster und zweiter Ordnung. <br>
 [[Datei:Hochpunkt2.png|300px|rahmenlos]]
 [[Datei:Tiefpunkt2.png|300px|rahmenlos]] <br clear=all>
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 [[Datei:Tiefpunkt3.png|300px|rahmenlos]] <br>
 <br clear=all>
-Ist die Steigung der ersten Ableitung (g'(x)) negativ, wird die Steigung der Funktion (g(x)) mit der Zeit immer kleiner. Die Steigung der Funktion ist erst positiv und wird immer kleiner, bis sie bei null liegt. In diesem Punkt wird die Steigung noch immer kleiner und daher negativ. <br>
+Ist die Steigung der ersten Ableitung (g'(x)) negativ, wird die Steigung der Funktion (g(x)) mit der Zeit immer kleiner. Das bedeutet, dass die Steigung der Funktion erst positiv ist, dann irgendwann gleich null ist, bis die Steigung negativ wird, was zur Folge hat das die Funktion fallend ist. <br>
-Mathematisch formal ist es notwendig die Extremstellen auch auf die zweite Bedingung zu untersuchen. Zum einen, um herauszufinden welcher der beiden Fälle vorliegt und zum anderen, um andere mathematische Eigenschaften wie einen Sattelpunkt auszuschließen. In der OMIK sind die Funktionen jedoch recht simpel, sodass häufig schon an der Funktion abgelesen werden kann, ob es sich um ein Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
+Mathematisch formal ist es notwendig die Extremstellen auch auf die zweite Bedingung zu untersuchen. Zum einen, um herauszufinden welcher der beiden Fälle vorliegt und zum anderen, um andere mathematische Eigenschaften wie einen Sattelpunkt auszuschließen.
 ==Gewinnfunktion==

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 ==Bedingung zweiter Ordnung==
 Die Bedingung zweiter Ordnung (oder auch hinreichende Bedingung) lautet ergänzend zu der Bedingung erster Ordnung <math> f''(x)<0 </math> für einen Hochpunkt und <math> f''(x)>0 </math> für einen Tiefpunkt. <br>
-Die Bedingung zweiter Ordnung untersucht die Steigung der ersten Ableitung. Die Formeln lassen sich bereits mit den Abbildungen oben erläutern. Bei einem Hochpunkt ist die Steigung linksseitig vom Extrempunkt positiv und nähert sich null an. Nach dem Extrempunkt ist die Steigung negativ und wird immer steiler. Bei den Abbildungen unten sind die Formeln noch intuitiver erklärt. <br>
+Die Bedingung zweiter Ordnung untersucht die Steigung der ersten Ableitung. Die Formeln lassen sich bereits mit den Abbildungen oben erläutern. Bei einem Hochpunkt ist die Steigung linksseitig vom Extrempunkt positiv und nähert sich null an. Nach dem Extrempunkt ist die Steigung negativ. Bei den Abbildungen unten sind die Formeln noch intuitiver erklärt. <br>
 [[Datei:Hochpunkt2.png|300px|rahmenlos]]
 [[Datei:Tiefpunkt2.png|300px|rahmenlos]] <br clear=all>

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 ==Bedingung erster Ordnung==
 Die Bedingung erster Ordnung (oder auch Notwendige Bedingung) lautet <math> f'(x)\overset{!}{=}0 </math> <br>
-Wenn bei einem Extrempunkt die Funktion erst steigt und dann fällt oder andersherum, muss es im Extremum einen Punkt geben, in dem die Funktion weder steigt noch fällt und eine Steigung von 0 hat. Die erste Ableitung wird auch Steigungsfunktion genannt. Sie gibt für den jeweiligen x-Wert als y-Wert die Steigung aus, die die f(x) Funktion in diesem Punkt hat. Bei <math> f(x)\overset{!}{=}0 </math> ist der Punkt gesucht, in dem die Steigung null ist. <br>
+Wenn bei einem Extrempunkt die Funktion erst steigt und dann fällt oder andersherum, muss es im Extremum einen Punkt geben, in dem die Funktion weder steigt noch fällt und eine Steigung von 0 hat. Die erste Ableitung beschreibt die Steigung der Funktion und wird daher auch Steigungsfunktion genannt. Sie bestimmt die Steigung der Funktion in jedem x-Wert. Bei <math> f(x)\overset{!}{=}0 </math> ist der Punkt gesucht, in dem die Steigung gleich null ist. <br>
 [[Datei:Hochpunkt1.png|300px|rahmenlos]]
 [[Datei:Tiefpunkt1.png|300px|rahmenlos]] <br>

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 ==Maximieren==
-Ein lokaler Hochpunkt ist ein Punkt auf einer Funktion, dessen x-Wert in seiner marginalen Umgebung, der höchste y-Wert zugeordnet wird. Wird in der Funktionsgleichung ein etwas kleinerer oder etwas größerer x-Wert eingesetzt, kommt immer ein kleinerer y-Wert raus als im lokalen Hochpunkt. Der Hochpunkt ist auch ein lokaler Hochpunkt, wenn dies nicht nur für die marginale Umgebung, sondern für alle <math> x \in \mathbb{R} </math> gilt. Vor einem Hochpunkt steigt dementsprechend die Funktion und nach dem Hochpunkt sinkt sie. <br>
+Ein lokaler Hochpunkt ist ein Punkt auf einer Funktion, dessen x-Wert in seiner lokalen Umgebung, der höchste y-Wert zugeordnet wird. Wird in der Funktionsgleichung ein etwas kleinerer oder etwas größerer x-Wert eingesetzt, kommt immer ein kleinerer y-Wert raus als im lokalen Optimum. Der Hochpunkt ist auch ein globaler Hochpunkt, wenn dies nicht nur für die marginale Umgebung, sondern für alle <math> x \in \mathbb{R} </math> gilt. Vor einem Hochpunkt steigt dementsprechend die Funktion und nach dem Hochpunkt sinkt sie. <br>
 Bei einem lokalen Tiefpunkt ist der y-Wert lokal der niedrigste und nicht der größte. <br>
 In der Analyse auf Extrempunkte ist die Steigung ein entscheidender Faktor. Hierfür werden zwei Bedingungen aufgestellt.

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−	Das Maximieren von Funktionen wird genutzt, um lokale und globale Extremstellen von Funktionen zu finden.	+	Das Maximieren von Funktionen wird genutzt, um lokale und globale Extremstellen (Maxima) von Funktionen zu finden.

	__TOC__		__TOC__

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 </quiz>
-<quiz display=simple shuffleanswers=true>
+<quiz display=simple shuffleanswers=false>
-{Die Funktion <math> f(x)=3x^4+4x^3 </math> besitzt in <math> x=-1 </math> ein Extrempunkt. Worum handelt es sich?
+{Angenommen die Funktion <math> f(x)=3x^4+4x^3 </math> besitzt in <math> x=0 </math> ein Extrempunkt. Worum handelt es sich?
 |type="()"}
-+ globales Minimum, die Funktion besitzt keinen x-Wert, bei dem y kleiner ist.
++ Minimum.
-- lokales Minimum, die Funktion besitzt einen x-Wert, bei dem y kleiner ist.
+- Maximum.
-- globales Maximum, die Funktion besitzt keinen x-Wert, bei dem y größer ist.
+- Weder noch.
-- globales Maximum, die Funktion besitzt einen x-Wert, bei dem y größer ist.
+- Die Funktion besitzt in <math> x=0 </math> gar kein Extrempunkt.
 </quiz>

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 </quiz>
 {Ein Unternehmen hat folgende Gewinnfunktion: <math> \pi=(100-Q)Q-(1000+5Q^2+10Q) </math>. Welche Menge sollte das Unternehmen gewinnmaximal wählen?
 |type="()"}