Nash Gleichgewicht - Versionsgeschichte

Okehne: /* In gemischten Strategien */

2024-01-23T11:27:54Z

In gemischten Strategien

Leitzing am 22. September 2023 um 19:05 Uhr

2023-09-22T19:05:53Z

Leitzing am 22. September 2023 um 18:56 Uhr

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Okehne: /* Nash Gleichgewicht und Pareto Effizienz */

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Nash Gleichgewicht und Pareto Effizienz

Okehne: /* Nash Gleichgewicht und Pareto Effizienz */

2023-09-11T12:54:45Z

Nash Gleichgewicht und Pareto Effizienz

Okehne: /* Teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht */

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Teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht

Okehne: /* IESDS */

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IESDS

Okehne: /* IESDS */

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IESDS

Okehne: /* Dominante Strategien */

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Dominante Strategien

Okehne: /* In reinen Strategien */

2023-09-11T12:50:31Z

In reinen Strategien

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 ===In gemischten Strategien===
-Ein Spieler sollte seine gemischte [[Strategie]] so wählen, dass sein Nutzen maximal ist. Im Beispiel eines "Schere, Stein, Papier"-Spiels sollte er die Wahrscheinlichkeiten, mit denen er die jeweiligen reinen Strategien spielt, so wählen, dass der andere Spieler keine dominante Strategie besitzt. Der Nutzen eines Gewinns entspricht 1 und der Nutzen einer Niederlage 0. Die Payoffs ergeben, dass ein rationaler Spieler eine gemischte Strategie <math> \sigma=(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) </math> spielen. Wenn Spieler 1 mit einer größeren Wahrscheinlichkeit Schere spielen würde, müsste Spieler 2 immer Papier spielen, damit sich sein erwarteter Payoff erhöht. Das führt wiederum dazu, dass Spieler 1 einen Anreiz hat abzuweichen. Nur bei <math> \sigma_1^*=(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) </math> und <math> \sigma_2^*=(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) </math> existiert in dem speziellen Anwendungsbeispiel kein Anreiz für einen der beiden Spieler abzuweichen. <math> (\sigma_1^*,\sigma_2^*) </math> ist ein Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien. <br>
+Ein Spieler sollte seine gemischte [[Spiele#Strategien|Strategie]] so wählen, dass sein Nutzen maximal ist. Im Beispiel eines "Schere, Stein, Papier"-Spiels sollte er die Wahrscheinlichkeiten, mit denen er die jeweiligen reinen Strategien spielt, so wählen, dass der andere Spieler keine dominante Strategie besitzt. Der Nutzen eines Gewinns entspricht 1 und der Nutzen einer Niederlage 0. Die Payoffs ergeben, dass ein rationaler Spieler eine gemischte Strategie <math> \sigma=(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) </math> spielen. Wenn Spieler 1 mit einer größeren Wahrscheinlichkeit Schere spielen würde, müsste Spieler 2 immer Papier spielen, damit sich sein erwarteter Payoff erhöht. Das führt wiederum dazu, dass Spieler 1 einen Anreiz hat abzuweichen. Nur bei <math> \sigma_1^*=(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) </math> und <math> \sigma_2^*=(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) </math> existiert in dem speziellen Anwendungsbeispiel kein Anreiz für einen der beiden Spieler abzuweichen. <math> (\sigma_1^*,\sigma_2^*) </math> ist ein Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien. <br>
 ==Beste Antwort==

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 ==Beste Antwort==
 Die Beste Antwort ist ein Konzept, bei dem untersucht wird welche Strategie eines Spielers die Beste Antwort auf die Strategie eines anderen Spielers ist. Die Beste Antwort von Spieler 1 auf die Strategie X ist Strategie 3, da dort der Payoff in der Spalte am größten ist (Zur Erinnerung: Spieler 1 ist der Zeilenspieler und kann bestimmen in welcher Zeile der Ausgang liegen wird). Spieler 2 betrachtet, bei welcher Strategie sein Payoff (der zweitgenannte) in jeder Zeile am größten ist. Wäre der Payoff in mehreren Spalten gleich groß, gibt es mehrere Beste Antworten. <br>
-Die Payoffs von (Strategie 1, Strategie X) lauten (3, 3). Ist dies ein Nash Gleichgewicht? Immerhin ist Strategie die Beste Antwort von Spieler 1 auf Strategie X. Tatsächlich hat Spieler 2 in (Strategie 1, Strategie X) einen Anreiz abzuweichen, denn wenn Spieler 1 Strategie 1 wählt, sollte Spieler 2 Strategie Z spielen. (Strategie1, Strategie Z) bietet für Spieler 1 wiederum den Anreiz auf Strategie 2 auszuweichen und so weiter. Nur der Ausgang, der für beide Spieler eine Beste Antwort bedeutet, hat keiner einen Anreiz abzuweichen. Fallen zwei Beste Antworten zusammen, ist der Ausgang ein [[Nash Gleichgewicht]]. <br>
+Die Payoffs von (Strategie 1, Strategie X) lauten (3, 3). Ist dies ein Nash Gleichgewicht? Immerhin ist die Strategie die Beste Antwort von Spieler 1 auf Strategie X. Tatsächlich hat Spieler 2 in (Strategie 1, Strategie X) einen Anreiz abzuweichen, denn wenn Spieler 1 Strategie 1 wählt, sollte Spieler 2 Strategie Z spielen. (Strategie1, Strategie Z) bietet für Spieler 1 wiederum den Anreiz auf Strategie 2 auszuweichen und so weiter. Nur der Ausgang, der für beide Spieler eine Beste Antwort bedeutet, hat keiner einen Anreiz abzuweichen. Fallen zwei Beste Antworten zusammen, ist der Ausgang ein [[Nash Gleichgewicht]]. <br>
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 ===In reinen Strategien===
-In dem Gefangenendilemma von unten ist das Nash Gleichgewicht NG=(Verrat, Verrat). Spieler 1 hat keinen Anreiz einseitig abzuweichen, wenn er allein durch seine Entscheidung zu keinem höheren Payoff gelangen kann. Da er nur bestimmen kann in welcher Zeile der Ausgang des Spiels liegen wird, muss geschaut werden, ob er ausgehend von der Entscheidung von Spieler 2 (Verrat) zu einem höheren Payoff gelangen kann. Wählt er statt Verrat doch Schweigen, hat er einen Payoff von -10, was geringer ist als -5. <br>
+In einem gegebenen Gefangenendilemma ist das Nash Gleichgewicht NG=(Verrat, Verrat). Spieler 1 hat keinen Anreiz einseitig abzuweichen, wenn er allein durch seine Entscheidung zu keinem höheren Payoff gelangen kann. Da er nur bestimmen kann in welcher Zeile der Ausgang des Spiels liegen wird, muss geschaut werden, ob er ausgehend von der Entscheidung von Spieler 2 (Verrat) zu einem höheren Payoff gelangen kann. Wählt er statt Verrat doch Schweigen, hat er einen Payoff von -10, was geringer ist als -5. <br>
 Ist ein Ausgang kein Nash Gleichgewicht, wird dieser von rationalen Spielern in der Form nie erreicht, da immer ein einseitiger Anreiz zum Abweichen vorliegt. <br>
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-(Schweigen, Verrat) bringt einen Payoff von (-10, 0). Spieler 1 kann sehr leicht besser gestellt werden. SPielt er zum Beispiel auch Verrat, hat er nicht mehr -10, sondern -5. Die Strategiekombination wäre (Verrat, Verrat). Dadurch wird jedoch Spieler 2 schlechter gestellt. Statt 0 hat er nun -5. (Schweigen, Verrat) ist somit eine Strategiekombination, von der aus keine Partei besser gestellt werden kann, ohne eine andere schlechter zu stellen. Es handelt sich um einen pareto effizienten Ausgang. Lediglich (Verrat, Verrat) ist nicht pareto effizient, da in (Schweigen, Schweigen) beide Spieler besser gestellt werden können. <br>
+(Schweigen, Verrat) bringt einen Payoff von (-10, 0). Spieler 1 kann sehr leicht bessergestellt werden. Spielt er zum Beispiel auch Verrat, hat er nicht mehr -10, sondern -5. Die Strategiekombination wäre (Verrat, Verrat). Dadurch wird jedoch Spieler 2 schlechter gestellt. Statt 0 hat er nun -5. (Schweigen, Verrat) ist somit eine Strategiekombination, von der aus keine Partei bessergestellt werden kann, ohne eine andere schlechter zu stellen. Es handelt sich um einen pareto effizienten Ausgang. Lediglich (Verrat, Verrat) ist nicht pareto effizient, da in (Schweigen, Schweigen) beide Spieler besser gestellt werden können. <br>
 Es ist deutlich geworden, dass der Begriff des Nash Gleichgewichts und der des Pareto Effizienz ganz andere Thematiken abdecken.

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 ==Nash Gleichgewicht und Pareto Effizienz==
-Nash Gleichgewichte sind nicht immer [[Effizienz#Pareto Effizienz|parteo effizient]]. Paretoeffizienz besteht, wenn keine Partei besser gestellt werden kann, ohne die andere schlechter zu stellen. Pareto effiziente Strategiekombinationen lassen sich sehr gut in der Normalform erkennen. Dafür soll wieder das Gefangenendillema vom Anfang dienen <br>
+Nash Gleichgewichte sind nicht immer [[Effizienz#Pareto Effizienz|pareto effizient]]. Paretoeffizienz besteht, wenn keine Partei bessergestellt werden kann, ohne die andere schlechter zu stellen. Pareto effiziente Strategiekombinationen lassen sich sehr gut in der Normalform erkennen. Dafür soll wieder das Gefangenendillema vom Anfang dienen <br>
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 (Schweigen, Verrat) bringt einen Payoff von (-10, 0). Spieler 1 kann sehr leicht besser gestellt werden. SPielt er zum Beispiel auch Verrat, hat er nicht mehr -10, sondern -5. Die Strategiekombination wäre (Verrat, Verrat). Dadurch wird jedoch Spieler 2 schlechter gestellt. Statt 0 hat er nun -5. (Schweigen, Verrat) ist somit eine Strategiekombination, von der aus keine Partei besser gestellt werden kann, ohne eine andere schlechter zu stellen. Es handelt sich um einen pareto effizienten Ausgang. Lediglich (Verrat, Verrat) ist nicht pareto effizient, da in (Schweigen, Schweigen) beide Spieler besser gestellt werden können. <br>
 Es ist deutlich geworden, dass der Begriff des Nash Gleichgewichts und der des Pareto Effizienz ganz andere Thematiken abdecken.
 ==MC Aufgaben==

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 ==Teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht==
-Ein Gleichgewicht ist teilspielperfekt, wenn es ein Nash Gleichgewicht in jedem Teilspiel ist. Hierbei wird das Konzept der Rückwärtsinduktion angewandt. Bei der Rückwärtsinduktion wird das sequenzielle Spiel rückwärts durchlaufen und untersucht, in welchem Entscheidungspunkt(Teilspiel) welcher Spieler wie handeln wird. Das wird für alle Entscheidungspunkte analysiert unabhängig, ob diese im Gleichgewicht erreicht werden oder nicht. <br>
+Ein Gleichgewicht ist teilspielperfekt, wenn es ein Nash Gleichgewicht in jedem Teilspiel ist. Hierbei wird das Konzept der Rückwärtsinduktion angewandt. Bei der Rückwärtsinduktion wird das sequenzielle Spiel rückwärts durchlaufen und untersucht, in welchem Entscheidungspunkt (Teilspiel) welcher Spieler wie handeln wird. Das wird für alle Entscheidungspunkte analysiert unabhängig, ob diese im Gleichgewicht erreicht werden oder nicht. <br>
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 In dem letzten Knotenpunkt, in dem ein Spieler sich entscheiden muss, entscheidet sich Spieler 2 zwischen C oder D. Der zweitgenannte Payoff ist der von Spieler 2. Im linken Knoten erhält er bei C 2 und bei D 3. Da 3>2 wählt er im ersten Fall D. Im rechten Knoten erhält er 4 bei C und 1 bei D. Hier wählt er C. Seine Strategie lautet: "Spiele D, wenn der linke Fall eintritt (Spieler 1 wählt A) und wähle C, wenn der zweite Fall eintritt (Spieler 1 wählt B)". <br>

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-Mit der selben Intution können die restlichen strikt dominierten Strategien eliminiert werden und der einzig rationale Ausgang ist (Strategie 1, Strategie Y). Bleibt nur eine Strategiekombination übrig, bildet sie immer ein [[Normalform#Nash Gleichgewicht|Nash Gleichgewicht]]. Es können jedoch nicht immer mit der Hilfe des IEDS alle Nash Gleichgewichte gefunden werden.
+Mit derselben Intuition können die restlichen strikt dominierten Strategien eliminiert werden und der einzig rationale Ausgang ist (Strategie 1, Strategie Y). Bleibt nur eine Strategiekombination übrig, bildet sie immer ein Nash Gleichgewicht. Es können jedoch nicht immer mit der Hilfe des IEDS alle Nash Gleichgewichte gefunden werden.
 ==Teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht==

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-Für Spieler 2 wird die Strategie X von der Strategie Y strikt dominiert (1<4; 4<5; 3<4). Unter der Annahme, dass alle Spieler rational sind, weiß auch Spieler 1, dass Spieler 2 niemals Strategie X wählen wird. Daher muss er die Payoffs in der Strategie X Spalte icht mehr betrachten. Wenn er dies tut, wird seine Strategie 3 von Strategie 2 strikt dominiert (0<2; 0<8). Dass Strategie 3 auch von Strategie 1 strikt dominiert wird, sei an dieser Stelle auch erwähnt. Es ergibt sich eine neue Spielmatrix, da Spieler 1 niemals Strategie 3 wählen wird. <br>
+Für Spieler 2 wird die Strategie X von der Strategie Y strikt dominiert (1<4; 4<5; 3<4). Unter der Annahme, dass alle Spieler rational sind, weiß auch Spieler 1, dass Spieler 2 niemals Strategie X wählen wird. Daher muss er die Payoffs in der Strategie X Spalte nicht mehr betrachten. Wenn er dies tut, wird seine Strategie 3 von Strategie 2 strikt dominiert (0<2; 0<8). Dass Strategie 3 auch von Strategie 1 strikt dominiert wird, sei an dieser Stelle auch erwähnt. Es ergibt sich eine neue Spielmatrix, da Spieler 1 niemals Strategie 3 wählen wird. <br>
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-Ist eine der beiden Strategien für Spieler 1 dominant, so ist diese Strategie immer besser. Sollte sich der Spieler 2 für die erste zweite Spalte entscheiden, bringt eine dominante Strategie genauso den größten Payoff der Spalte, wie wenn sich der Spieler zwei für die zweite Spalte entscheidet. In dem oben dargestellten Beispiel ist der Payoff in Spalte A größer, wenn sich Spieler 1 für Verrat entscheidet (-5>-10). Auch in Spalte B ist der Payoff von Verrat größer als der von Schweigen (0>-5). Egal wie sich der Spieler 2 entscheidet, Spieler 1 sollte immer Verrat spielen. Verrat ist eine dominante Strategie und Schweigen eine dominierte Strategie. Damit knüpft der Dominanzbegriff sehr sark an des Konzept der Besten Anwtort an. <br>
+Ist eine der beiden Strategien für Spieler 1 dominant, so ist diese Strategie immer besser. Sollte sich der Spieler 2 für die erste zweite Spalte entscheiden, bringt eine dominante Strategie genauso den größten Payoff der Spalte, wie wenn sich der Spieler zwei für die zweite Spalte entscheidet. In dem oben dargestellten Beispiel ist der Payoff in Spalte A größer, wenn sich Spieler 1 für Verrat entscheidet (-5>-10). Auch in Spalte B ist der Payoff von Verrat größer als der von Schweigen (0>-5). Egal wie sich der Spieler 2 entscheidet, Spieler 1 sollte immer Verrat spielen. Verrat ist eine dominante Strategie und Schweigen eine dominierte Strategie. Damit knüpft der Dominanzbegriff sehr stark an des Konzept der Besten Antwort an. <br>
-Es wird zwischen strikter dominanz und schwacher Dominanz unterschieden. Das oben dargestellte Beispiel stellt strikte Dominanz dar, denn jeder Payoff des Verrats ist strikt größer als der des Schweigens. Schwache Dominanz würde vorliegen, wenn die Payoffs größer oder gleich groß sind, solange mindestens ein Payoff strikt größer ist. <br>
+Es wird zwischen strikter Dominanz und schwacher Dominanz unterschieden. Das oben dargestellte Beispiel stellt strikte Dominanz dar, denn jeder Payoff des Verrats ist strikt größer als der des Schweigens. Schwache Dominanz würde vorliegen, wenn die Payoffs größer oder gleich groß sind, solange mindestens ein Payoff strikt größer ist. <br>
 Haben zwei Spieler eine dominante Strategie, spielen sie diese auch in einem der vorhandenen Nash Gleichgewichte. Nicht jede Strategie, die im Nash Gleichgewicht gespielt wird, ist jedoch auch eine dominante Strategie.