Intertemporale Entscheidung

Die Intertemporale Entscheidung betrachtet die Entscheidungsfindung eines Haushalts zwischen dem Konsum in mehreren Perioden. Beispiel: ein Zwei-Perioden Modell, in dem in beiden Perioden ein Budget von $M_{i}$ zur Verfügung steht.

Intertemporale Nutzenfunktion

Der Nutzen des Haushaltes ist von dem Konsumniveau der verschiedenen Perioden abhängig. Im Zwei-Perioden-Modell bedeutet das: $U(C_{0},C_{1})$. $C_{0}$ stellt das Konsumniveau in der derzeitigen Periode und $C_{1}$ das Konsumniveau der darauffolgenden Periode dar. Der Nutzen aus dem Konsum in der späteren Periode wird mit $\rho$ abdiskontiert. Der Diskontfaktor beschreibt die Neigung von Individuen den Nutzen zukünftiger Perioden schwächer zu bewerten als den Nutzen heutiger Perioden. Werden Konsumenten gefragt, ob sie lieber heute ein Mittagessen ausgegeben bekommen möchten oder lieber in 30 Jahren, entscheiden sich die meisten für ein heutiges Mittagessen. Der Diskontfaktor ist somit ein Hilfsmittel, um das Modell der Konsumentscheidung in der heutigen Periode realistischer zu gestalten.
$U(C_{0},C_{1})=u(C_{0})+{\frac {u(C_{1})}{1+\rho }}$ ,wobei $\rho <1$
Je größer $\rho$ ist, desto stärker wird die Zukunft abdiskontiert und desto stärker ist die Präferenz für den Gegenwartskonsum. Der Grenznutzen ist positiv und abnehmend.

Intertemporale Budgetrestriktion

Die intertemporale Budgetrestriktion beinhaltet alle Restriktionen über die verschiedenen Perioden hinweg. Der Haushalt hat in jeder Periode ein verfügbares Einkommen von $M_{t}$. Existiert in dem intertemporalen Modell ein Kapitalmarkt, hat der Haushalt die Möglichkeit einen Kredit aufzunehmen und damit Konsum in die heutige Periode zu verlagern oder zu sparen und somit einen Teil des Konsums in die nächste Periode zu verschieben.

Kein Kapitalmarkt

Existiert kein Kapitalmarkt, kann der Haushalt nur das Budget der jeweiligen Periode konsumieren. Die Nutzenmaximierung besteht in diesem Fall darin das gesamte Budget in der jeweiligen Periode zu konsumieren. Die Budgetrestriktion und Lösung der Maximierung lautet:
$C_{0}^{*}=M_{0}$
$C_{1}^{*}=M_{1}$

Mit Kapitalmarkt

Der Haushalt hat in beiden Perioden ein Einkommen, das es aufgrund des Kapitalmarktes in eine andere Periode transferieren kann. Mit einem Kapitalmarkt hat der Haushalt somit in der ersten Periode mehr Entscheidungsmöglichkeiten. Neben dem vollständigen Konsum kann er auch einen Teil sparen oder durch einen Kredit Budget aus der Zukunft nutzen. Die Ausgaben des Konsums und die Summe, die gespart wird, muss gleich dem verfügbaren Einkommen sein. Spart ein Haushalt, ist die Sparsumme positiv, nimmt er ein Kredit auf, ist die Sparsumme negativ.
Periode 0: $Budget=Konsumausgaben+Sparsumme$
(i) $M_{o}=p_{0}C_{0}+S$
In der zweiten Periode bleibt dem Haushalt nur der Konsum des gesamten Budget.
Periode 1: $Budget+verzinste\,Sparsumme=Konsumausgaben$
(ii) $M_{1}+(1+r)S=p_{1}C_{1}$
Zur Vereinfachung ist der Preis für ein Konsumgut auf 1 normiert und es existiert keine Inflation damit $p_{0}=p_{1}$ gilt
(i) nach S umgestellt ergibt $S=M_{0}-C_{0}$
In (ii) eingesetzt:
$M_{1}+(1+r)(M_{0}-C_{0})=C_{1}$
$M_{1}+(1+r)M_{0}=C_{1}+C_{0}(1+r)$
$M_{0}+{\frac {M_{1}}{1+r}}=C_{0}+{\frac {C_{1}}{1+r}}$
Das mit dem Zinssatz auf die heutige Periode abdiskontierte Budgets aller Perioden muss gleich den mit dem Zinssatz auf die heutige Periode abdiskontierten Konsumausgaben sein. Oder anders formuliert: Der Present Value des Budgets entspricht dem Present Value der Konsumausgaben.
Für eine grafische Darstellung der Budgetgeraden muss nach $C_{0}$ oder $C_{1}$ umgestellt werden.

Die Budgetrestriktion gilt für alle $r\geq 0$.
Der Ausstattungspunkt mit den gegebenen Einkommen der beiden Perioden $M_{0}$ und $M_{1}$ liegt auf der Budgetgerade (rechte Abbildung). Ausgehend von diesem Punkt kann der Haushalt entlang der Budgetgerade seinen Konsum zwischen den beiden Perioden verschieben. Steigt $M_{0}$ oder $M_{1}$, verschiebt sich die Budgetgerade nach außen und es kann mehr Budget zwischen den Perioden aufgeteilt werden. Bei einem Zinssatz $r=0$ verschiebt sie sich bei steigendem Einkommen parallel. Steigt der Zinssatz $r$, wird die Budgetgerade steiler. Bei einem größeren Zinssatz ist der Present Value des Einkommens der späteren Periode geringer. Würde der Haushalt lediglich in Periode 0 konsumieren, kann er dies bei einem höheren Zinssatz auf einem niedrigeren Niveau. Der $C_{0}$-Achsenabschnitt verringert sich ceteris paribus. Spart der Haushalt sein Budget jedoch vollständig, kann er bei einem steigenden Zinssatz nominal mehr Geld ausgeben als bei einem geringeren Zinssatz. Der $C_{1}$-Achsenabschnitt steigt.

Intertemporale Nutzenmaximierung

Die Nutzenmaximierung bei der Intertemporalen Konsumentscheidung funktioniert wie bei der Optimierung im Zwei-Güter-Modell. Grafisch liegt das Optimum im Tangentialpunkt der Indifferenzkurve und der intertemporalen Budgetgeraden.


Rechnerisch muss die Zielfunktion mit der Nebenbedingung maximiert werden. Eine Möglichkeit stellt das Langrangeverfahren dar. Die Lagrangefunktion lautet:
${\mathcal {L}}(C_{0},C_{1},\lambda )=U(C_{0},C_{1})+\lambda (M_{0}+{\frac {M_{1}}{1+r}}-C_{0}-{\frac {C_{1}}{1+r}})$
Je nachdem ob der Nutzenmaximale Konsumpunkt rechts oder links vom Ausstattungspunkt ist, ist der Sparbetrag positiv oder negativ. In der ersten Abbildung liegt der Ausstattungspunkt rechts vom Haushaltsoptimum. Der Haushalt konsumiert im Optimum in der Periode 0 weniger, als er mit seinem Budget $M_{0}$ könnte. Gleichzeitig konsumiert er in Periode 1 mehr als $M_{1}$ alleine ermöglicht (er spart einen Teil seines Einkommens in Periode 0). In der zweiten Abbildung liegt der Ausstattungspunkt links vom optimalen Bündel. Hier konsumiert der Haushalt durch einen Kredit in Periode 0 mehr, als das Budget $M_{0}$ alleine ermöglicht.

$\rho$ und $r$

Das oben errechnete Optimum lässt sich umstellen zu:
${\frac {u'(C_{0})}{u'(C_{1})}}={\frac {1+r}{1+\rho }}$
In der neuen Gleichung lässt sich erkennen, wie der Haushalt bei unterschiedlichen Diskontierungsfaktoren und unterschiedlichen Zinssätzen konsumieren sollte.
Für den Fall, dass $\rho$ größer als der Zinssatz $r$ ist, ist der Zähler kleiner als der Nenner und der Wert ist kleiner als eins. Demnach ist der Grenznutzen des Konsums in Periode 0 kleiner als der Grenznutzen des Konsums in Periode 1. Ein größerer Grenznutzen bedeutet, dass eine zusätzliche Einheit einen größeren zusätzlichen Nutzen stiftet, als bei einem geringeren Grenznutzen. Bei einer identischen Nutzenfunktion bedeutet ein größerer Grenznutzen ein geringeres Konsumniveau. Deshalb gilt $\rho >r$ => $C_{0}>C_{1}$. Inhaltlich bedeutet ein größeres $\rho$, dass der Zinssatz als Vorteil des Sparens geringer ist, als die Kosten des Sparens (Konsumverzicht).
Für den Fall $\rho =r$, ist die Gleichung erfüllt, wenn der Grenznutzen des Konsums in 0 und 1 gleich groß ist, weshalb gilt $\rho =r$ => $C_{0}=C_{1}$.
Aus $\rho <r$ folgt $C_{0}<C_{1}$.

MC Fragen

$U(C_{0},C_{1})=e^{C_{0}}+{\frac {5}{6}}e^{C_{1}}$ ist die Nutzenfunktion eines Haushalts. Angenommen der Haushalt kann zu einem Zinssatz von 20% Geld sparen oder einen Kredit aufnehmen. Wie viel wird der Haushalt in Periode 0 konsumieren, wenn er in beiden Perioden ein Einkommen von 200€ zur Verfügung hat?

	200€.
	Weniger als 200€.
	Mehr als 200€.
	Nicht genug Informationen, um eine Aussage treffen zu können.

Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

	Die Zeitpräferenzrate ist für alle Haushalte gleich.
	Bei positiver Zeitpräferenzrate gilt im intertemporalen Gleichgewicht immer $c_{t}>c_{t+1}$.
	Bei positivem Zinssatz wird im intertemporalen Gleichgewicht stets gespart.
	Durch das Vorhandensein eines Kapitalmarktes wird ein Haushalt niemals einen geringeren Nutzen erfahren als im Fall ohne Kapitalmarkt.

Wovon profitieren Haushalte, die im Gleichgewicht eine negative Sparquote haben nicht?

	Eine Erhöhung des Zinssatzes.
	Eine Erhöhung des Einkommens in Periode 1.
	Eine Reduzierung des Zinssatzes.
	Eine Erhöhung des Einkommens in Periode 0.