Maximieren: Unterschied zwischen den Versionen

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{Die Funktion <math> f(x)=3x^4+4x^3 </math> besitzt in <math> x=-1 </math> ein Extrempunkt. Worum handelt es sich?
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{Angenommen die Funktion <math> f(x)=3x^4+4x^3 </math> besitzt in <math> x=0 </math> ein Extrempunkt. Worum handelt es sich?
 
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+ globales Minimum, die Funktion besitzt keinen x-Wert, bei dem y kleiner ist.
+
+ Minimum.
- lokales Minimum, die Funktion besitzt einen x-Wert, bei dem y kleiner ist.
+
- Maximum.
- globales Maximum, die Funktion besitzt keinen x-Wert, bei dem y größer ist.
+
- Weder noch.
- globales Maximum, die Funktion besitzt einen x-Wert, bei dem y größer ist.
+
- Die Funktion besitzt in <math> x=0 </math> gar kein Extrempunkt.
 
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Version vom 11. September 2023, 19:14 Uhr

Das Maximieren von Funktionen wird genutzt, um lokale und globale Extremstellen von Funktionen zu finden.

Maximieren

Ein lokaler Hochpunkt ist ein Punkt auf einer Funktion, dessen x-Wert in seiner marginalen Umgebung, der höchste y-Wert zugeordnet wird. Wird in der Funktionsgleichung ein etwas kleinerer oder etwas größerer x-Wert eingesetzt, kommt immer ein kleinerer y-Wert raus als im lokalen Hochpunkt. Der Hochpunkt ist auch ein lokaler Hochpunkt, wenn dies nicht nur für die marginale Umgebung, sondern für alle gilt. Vor einem Hochpunkt steigt dementsprechend die Funktion und nach dem Hochpunkt sinkt sie.
Bei einem lokalen Tiefpunkt ist der y-Wert lokal der niedrigste und nicht der größte.
In der Analyse auf Extrempunkte ist die Steigung ein entscheidender Faktor. Hierfür werden zwei Bedingungen aufgestellt.

Bedingung erster Ordnung

Die Bedingung erster Ordnung (oder auch Notwendige Bedingung) lautet
Wenn bei einem Extrempunkt die Funktion erst steigt und dann fällt oder andersherum, muss es im Extremum einen Punkt geben, in dem die Funktion weder steigt noch fällt und eine Steigung von 0 hat. Die erste Ableitung wird auch Steigungsfunktion genannt. Sie gibt für den jeweiligen x-Wert als y-Wert die Steigung aus, die die f(x) Funktion in diesem Punkt hat. Bei ist der Punkt gesucht, in dem die Steigung null ist.
Hochpunkt1.png Tiefpunkt1.png

Im Extrempunkt, egal ob Hochpunkt oder Tiefpunkt, ist die Steigung der Funktion null. Eine Tangente, die die Steigung in dem Punkt beschreibt, ist eine horizontale Gerade. Ein Steigungsdreieck an der Tangente würde rechnerisch eine Steigung von null ergeben.
Die Bedingung erster Ordnung untersucht, ob ein Extrempunkt vorliegt.

Bedingung zweiter Ordnung

Die Bedingung zweiter Ordnung (oder auch hinreichende Bedingung) lautet ergänzend zu der Bedingung erster Ordnung für einen Hochpunkt und für einen Tiefpunkt.
Die Bedingung zweiter Ordnung untersucht die Steigung der ersten Ableitung. Die Formeln lassen sich bereits mit den Abbildungen oben erläutern. Bei einem Hochpunkt ist die Steigung linksseitig vom Extrempunkt positiv und nähert sich null an. Nach dem Extrempunkt ist die Steigung negativ und wird immer steiler. Bei den Abbildungen unten sind die Formeln noch intuitiver erklärt.
Hochpunkt2.png Tiefpunkt2.png
Hochpunkt3.png Tiefpunkt3.png

Ist die Steigung der ersten Ableitung (g'(x)) negativ, wird die Steigung der Funktion (g(x)) mit der Zeit immer kleiner. Die Steigung der Funktion ist erst positiv und wird immer kleiner, bis sie bei null liegt. In diesem Punkt wird die Steigung noch immer kleiner und daher negativ.
Mathematisch formal ist es notwendig die Extremstellen auch auf die zweite Bedingung zu untersuchen. Zum einen, um herauszufinden welcher der beiden Fälle vorliegt und zum anderen, um andere mathematische Eigenschaften wie einen Sattelpunkt auszuschließen. In der OMIK sind die Funktionen jedoch recht simpel, sodass häufig schon an der Funktion abgelesen werden kann, ob es sich um ein Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.

Gewinnfunktion

In der Mikroökonomie gilt es häufig eine Unternehmensentscheidung zu treffen, wie viel ein Unternehmen gewinnmaximal anbieten soll. Die Frage ist dementsprechend: Bei welcher Menge q ist der Gewinn maximal. Hierfür ist die Gewinnfunktion notwendig.
Gewinnfunktion.png

Die Gewinnfunktion ist in den meisten Fällen eine quadratische Funktion, die nach unten geöffnet ist. In der Frage, welche Menge gewinnmaximal ist, muss untersucht werden, zu welchem q-Wert der größte Gewinn zugeordnet werden kann. Um den Punkt rechnerisch zu bestimmen kann die erste Ableitung der Gewinnfunktion gebildet und berechnet werden, bei welchem q-Wert die erste Ableitung gleich null ist.

MC Fragen

Die Funktion besitzt in ein Extrempunkt. Worum handelt es sich?

lokales Minimum, die Funktion besitzt einen x-Wert, bei dem y kleiner ist.
globales Maximum, die Funktion besitzt keinen x-Wert, bei dem y größer ist.
globales Maximum, die Funktion besitzt einen x-Wert, bei dem y größer ist.
globales Minimum, die Funktion besitzt keinen x-Wert, bei dem y kleiner ist.


Ein Unternehmen hat folgende Gewinnfunktion: . Welche Menge sollte das Unternehmen gewinnmaximal wählen?

Q=4
Q=7,5
Q=3,5
Q=2


Angenommen die Funktion besitzt in ein Extrempunkt. Worum handelt es sich?

Minimum.
Maximum.
Weder noch.
Die Funktion besitzt in gar kein Extrempunkt.