Mathematische Eigenschaften von Funktionen

Definition

Eine Funktion ordnet einer unabhängigen Variable eines Definitionsbereichs (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D } ) genau einen Wert (abhängige Variable) der Zielmenge ($Z$) zu.
$D\to Z$ , $x\to y$

Funktionen

Funktionen können univariat oder auch multivariat sein. Der Unterschied besteht darin, wie viele unabhängige Variablen Teil der Funktionsgleichung sind.

Univariate Funktionen
Am bekanntesten sind sicherlich univariate Funktionen mit nur einer unabhängigen Variable. Eine unabhängige Variable wird so genannt, da sie von keinen weiteren Variablen abhängig ist.
Beispiel: In der Funktion $y(x)=15-2x^{2}$ ist $x$ von nichts abhängig. Für $x$ können alle Werte eingesetzt werden, sollte kein anderer Definitionsbereich festgelegt sein. y ist hingegen abhängig von x. Jenachdem welcher x Wert eingesetzt wird, ändert sich der Wert von y.
Eine Funktionsgleichung kann als eine Art Anleitung gelesen werden. Lautet die Funktion beispielsweise $y(x)=x^{2}+10$, wäre die Anleitung "Um den zum x zugehörigen y Wert zu erhalten, nehme den entsprechenden x-Wert, quadriere ihn und addiere 10 dazu". Ist x beispielsweise 2, ist y 14. Wird dies mit mehreren x Werten berechnet und die entsprechenden Werte in ein x-y-Diagramm eingezeichnet, entsteht ein Graph, der die Funktionsgleichung abbildet.

In dem Beispiel oben ist dies mit der Funktion $f(x)={\frac {1}{16}}x^{2}$ geschehen. Jedem x-Wert kann ein y-Wert zugeordnet werden.

Multivariate Funktionen
Multivariate Funktionen haben viele unabhängige Variablen. $f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n})$ ist eine Multivariate Funktion mit $n$ unabhängigen Variablen. Die Vorgehensweise ist identisch zu univariaten Funktionen. Zur grafischen Darstellung soll eine Bivriate Funktion ausreichen. In diesem Fall lautet die Funktion $U(C,F)=F^{\frac {2}{3}}C^{\frac {1}{3}}$. Für einen bestimmten Wert von C und von F kommt ein Wert für U aus. Ist C beispielsweise 1 und F 0,5, beträgt der Wert von U gerundet 0,63. Wird dies für alle Werte für C und F gemacht, ergibt sich eine grafische Abbildung der Funktion.


Im Kontext der Veranstaltung Mikroökonomie sind sowohl univariate als auch multivariate Funktionen relevant.

Steigung

Die Steigung einer Funktion kann punktuell (marginal) oder auch zwischen zwei Punkten ermittelt werden. Die Steigung ermittelt die Veränderung der abhängigen Variable relativ zur Veränderung der unabhängigen Variable. Angenommen die unabhängige Variable ist x und die abhängige Variable ist y, dann lässt sich die Steigung mittels
$Steigung={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$
berechnen. Ist die Steigung in einem Punkt gefragt, muss das $\Delta x$ gegen null streben. Dieses Vorgehen ist im Differenzenquotienten beschrieben und hat die erste Ableitung zur Folge. Die erste Ableitung gibt das Steigungsdreieck in einem marginalen Punkt an. In dem unten dargestellten Beispiel wird die Differenz zwischen den beiden Punkten $x=4$ und $x=8$ verringert, in dem der Punkt, der ursprünglich in $x=4$ lag, immer weiter Richtung $x=8$ verschoben wird, bis er auf diesem Punkt liegt ($\Delta x\to 0$).


Die Steigung in der linken Abbildung lässt sich durch ${\frac {4-1}{8-4}}=0,75$ berechnen. Für die Steigung der rechten Abbildung benötigt es die erste Ableitung. Die erste Ableitung einer Funktion wird auch Steigungsfunktion genannt, da der y-Wert der ersten Ableitung immer die Steigung in einem Punkt der ursprünglichen Funktion angibt. Wenn nun die Steigung in dem Punkt $x=8$ gefragt ist, muss $x=8$ in die erste Ableitung eingesetzt werden. Die Funktion lautet $f(x)={\frac {1}{16}}x^{2}$ und die erste Ableitung daher $f'(x)={\frac {1}{8}}x$. Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(8) } ergibt sich die Steigung von 1.

Konvex und Konkav

Das Krümmungsverhalten einer Funktion wird mit Konkavität bzw. Konvexität beschrieben. Eine konkave Funktion ist über ihren Funktionsverlauf rechtsgekrümmt, während eine konvexe Funktion linksgekrümmt ist. Ein Auto, das die Funktion als Straße entlangfährt, müsste immer links eingelenkt sei, wenn die Funktion konvex ist und es müsste rechts eingelenkt sein, wenn die Funktion konkav ist. Mathematisch korrekt bedeutet dies, dass die Steigung bei einer konvexen Funktion immer größer wird. Die Steigung einer konkaven Funktion wird immer kleiner. Wenn die Steigung zunimmt, ist die Funktion konvex und die zweite Ableitung muss positiv sein. sinkt die Steigung, wird sie immer kleiner und die zweite Funktion muss negativ sein.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\part^2f(x)}{\part^2 x}>0 \, \Rightarrow \, konvex }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\part^2f(x)}{\part^2 x}<0 \, \Rightarrow \, konkav }


In der Abbildung links ist erkennbar, dass die Funktion erst sehr steil fällt und immer flacher wird, bis die die Funktion steigt. Danach steigt sie immer stärker an und würde man eine Linie durch zwei Punkte auf der Funktion zeichnen, verläuft die Funktion darunter. Auf der der Abbildung rechts ist das Gegenteil zu sehen. Die Steigung der Funktion wird immer kleiner, bis sie negativ wird und dann fällt sie immer stärker ab.

MC Fragen

Welche der folgenden Funktionen hat keine positive Steigung?

	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle f(x)=-ln(x) } für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x>0 } .
	${\textstyle f(x)=e^{x}}$.
	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle f(x)=x^3 } für $x>0$.
	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle f(x)=-x^2 } für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x<0 } .

Welche der drei Abbildungen oben ist eine Funktion?

	Abbildung 1
	Abbildung 2
	Abbildung 3
	Keine der Abbildungen

welche der folgenden Funktionen ist konkav?

	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle f(x)=ln(x) }
	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle f(x)=e^{-x} }
	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle f(x)=e^x }
	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle f(x)=e^{{(-x)}^2} }