Inputeffizienz, Konsumeffizienz und Outputregel

Der erste Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik besagt, dass alle Konkurrenzmarktgleichgewichte pareto-effizient sind. Dies kann mittels Edgeworth-Box für den Handel auf der Konsumentenseite gezeigt werden. Im Weiteren soll gezeigt werden, dass der erste Hauptsatz auch für die Produktion im Wettbewerbsgleichgewicht, den Input in Wettbewerbsgleichgewichten, die Allokation der Güter und den Output in Wettbewerbsgleichgewichten gilt.

Effizienter Konsum-Konsumeffizienz

Die Edgeworth-Box hat gezeigt, dass Konsumenten effizient konsumieren, wenn ihre Grenzrate der Substitution der Grenzrate der Substitution der anderenKonsumenten/ des anderen Konsumenten entspricht. In diesem Punkt kann kein Konsument besser gestellt werden, ohne einen anderen Konsumenten schlechter zu stellen. Alle pareto effiziente Konsumpunkte liegen auf der Kontraktkurve. Für eine ausführliche Erklärung der Edgeworth-Box, siehe hier.
Es gilt:

Konsumeffizienz 

$GRS_{x_{1},x_{2}}^{1}=GRS_{x_{1},x_{2}}^{2}$ 

$GRS_{x_{1},x_{2}}^{1}={\frac {p_{1}}{p_{2}}}=GRS_{x_{1},x_{2}}^{2}$ 

Effiziente Allokation der Güter-Outputregel

Die Herleitungen der effizienten Produktion/Inputeffizienz zeigt, dass eine Volkswirtschaft in diesem Modell vor dem Trade-off zwischen der Produktion von Gut $x_{1}$ und der Produktion von Gut $x_{2}$ steht. Soll viel von dem Gut $x_{1}$ produziert werden, kann weniger von Gut $x_{2}$ produziert werden. Die beiden Güter stehen in einem Austauschverhältnis zueinander, dass verschiedene Ausmaße annehmen kann. Das Verhältnis kann beispielsweise linear sein. In diesem Fall kann für jedes Gut $x_{1}$ weniger immer eine konstant bleibende Menge $x_{2}$ mehr produziert werden. Es sind auch Austauschverhältnisse möglich, die nicht linear sind. In diesem Fall hängt die zusätzliche Menge, die von Gut $x_{2}$ produziert werden kann, immer mit der Menge von $x_{2}$ zusammen, die bereits produziert wird. Dieses Phänomen hat starke Bezüge zum abnehmenden Grenznutzen. Hier stiftet eine zusätzliche Einheit einen immer kleiner werdenden Nutzen, je mehr von diesem Gut bereits konsumiert wird. Im Kontext der Produktion bedeutet dies, dass immer weniger von einem Gut $x_{2}$ durch ein eingespartes Gut $x_{1}$ produziert werden kann, je mehr von diesem Gut bereits produziert wird. Ein solcher Fall ist in der Abbildung links dargestellt. Die effizienten Produktion hat in dem Beispiel gezeigt, dass wenn von $x_{1}$ 40 Einheiten produziert werden, von $x_{2}$ effizient 75 Einheiten produziert werden können. Sollen von $x_{1}$ 20 Einheiten produziert werden, können von $x_{2}$ nur 70 Einheiten produziert werden. Das selbe Pronzip gilt für $x_{1}=50$ und $y_{1}=60$. Die jeweiligen Kombiationen von $x_{1}-x_{2}$ können in ein entsprechendes Diagramm eingezeichnet werden. Dies wurde in dem Beispiel unter der Ausstattungsbox getan. Die Verbindungslinie aller effizienten Produktionsmengen ist die Transformationskurve. Die Transformationskurve hat eine negative Steigung und gibt in jedem einzelnen Punkt an, in welchen Verhältnis $x_{1}$ zu $x_{2}$ transformiert werden können. Gegeben einer Funktion kann die Grenzrate der Transformation (GRT), also die Rate der Transformation in der Grenzbetrachtung, durch die partielle Ableitung nach $x_{1}$ durch die partielle Ableitung nach $x_{2}$. Es kann mathematisch gezeigt werden, dass die GRT gleich dem Grenzkostenverhältnis ist.

$GRT_{x_{1},x_{2}}={\frac {MC_{1}}{MC_{2}}}={\frac {GK_{1}}{GK_{2}}}$

An dieser Stelle sei nochmal erwähnt, dass die Transformationskurve aus den effizienten Produktionsniveaus besteht. Entlang der Tranformationskurve existiert demnach immer die Inputeffizienz

Auf der Transformationskurve gilt überall: $GRTS_{L,K}^{1}=GRTS_{L,K}^{2}$

Die Ausführungen oben zeigen, wie ein Unternehmen (oder eine ganze Industrie) zwischen der Produktion zweier Güter wählen kann. Wie einfach der Wechsel von Produktion des Gutes $x_{2}$ zu Gut $x_{1}$ ist zeigt sich in der GRT. Jedoch stellt sich weiterhin die Frage, welche Aufteilung optimal ist. Recht intuitiv unter den Standradannehmen ist, dass die optimale Menge auf der Tranformationskurve liegt. Ein Unternehmen wird sehr wahrscheinlich so viele Güter wie mölglich produzieren und damit verkaufen wollen. Dass es jedoch auch für die Konsumenten in einer gesellschaftlichen Sichtweise optimal ist, wenn das Unternehmen auf der Transformationskurve produziert, zeigt die weitere Ausführung. Hierfür sollen Indifferenzkurven aus gesellschaftlicher Sicht modelliert werden. Unter den Annahmen über Präferenzen ist eine hohe Konsummenge besser, als eine leicht gerinigere. Die Gesellschaft versucht also als ganzes auf eine möglichst hohe Indifferenzkurve zu gelangen. Diese liegt im Tangentialpunkt der Indifferenzkurve mit der Transformationskurve, der in der Abbildung unten eingezeichnet ist. Es muss also gelten
$GRT=GRS$
Die vorherigen Ausführungen haben gezeigt, dass $GRT_{x_{1},x_{2}}={\frac {GK_{1}}{GK_{2}}}$ und $GRS_{x_{1},x_{2}}={\frac {p_{1}}{p_{2}}}$ bei einem effizienten Output gilt also:

Outputregel 

$GRT_{x_{1},x_{2}}=GRS_{x_{1},x_{2}}$
$GRT_{x_{1},x_{2}}={\frac {GK_{1}}{GK_{2}}}={\frac {p_{1}}{p_{2}}}=GRS_{x_{1},x_{2}}$ 

Das Preisverhältnis der beiden Güter muss gleich dem Grenzkostenverhältnis sein. Dies ergibt gerade im Kontext des perfekten Wettbewerbs Sinn, in dem der Preis eines Gutes gleich seinen Grenzkosten ist