Maximieren

Das Maximieren von Funktionen wird genutzt, um lokale und globale Extremstellen (Maxima) von Funktionen zu finden.

Maximieren

Ein lokaler Hochpunkt ist ein Punkt auf einer Funktion, dessen x-Wert in seiner lokalen Umgebung, der höchste y-Wert zugeordnet wird. Wird in der Funktionsgleichung ein etwas kleinerer oder etwas größerer x-Wert eingesetzt, kommt immer ein kleinerer y-Wert raus als im lokalen Optimum. Der Hochpunkt ist auch ein globaler Hochpunkt, wenn dies nicht nur für die marginale Umgebung, sondern für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt. Vor einem Hochpunkt steigt dementsprechend die Funktion und nach dem Hochpunkt sinkt sie.
Bei einem lokalen Tiefpunkt ist der y-Wert lokal der niedrigste und nicht der größte.
In der Analyse auf Extrempunkte ist die Steigung ein entscheidender Faktor. Hierfür werden zwei Bedingungen aufgestellt.

Bedingung erster Ordnung

Die Bedingung erster Ordnung (oder auch Notwendige Bedingung) lautet $f'(x){\overset {!}{=}}0$
Wenn bei einem Extrempunkt die Funktion erst steigt und dann fällt oder andersherum, muss es im Extremum einen Punkt geben, in dem die Funktion weder steigt noch fällt und eine Steigung von 0 hat. Die erste Ableitung beschreibt die Steigung der Funktion und wird daher auch Steigungsfunktion genannt. Sie bestimmt die Steigung der Funktion in jedem x-Wert. Bei $f(x){\overset {!}{=}}0$ ist der Punkt gesucht, in dem die Steigung gleich null ist.


Im Extrempunkt, egal ob Hochpunkt oder Tiefpunkt, ist die Steigung der Funktion null. Eine Tangente, die die Steigung in dem Punkt beschreibt, ist eine horizontale Gerade. Ein Steigungsdreieck an der Tangente würde rechnerisch eine Steigung von null ergeben.
Die Bedingung erster Ordnung untersucht, ob ein Extrempunkt vorliegt.

Bedingung zweiter Ordnung

Die Bedingung zweiter Ordnung (oder auch hinreichende Bedingung) lautet ergänzend zu der Bedingung erster Ordnung $f''(x)<0$ für einen Hochpunkt und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f''(x)>0 } für einen Tiefpunkt.
Die Bedingung zweiter Ordnung untersucht die Steigung der ersten Ableitung. Die Formeln lassen sich bereits mit den Abbildungen oben erläutern. Bei einem Hochpunkt ist die Steigung linksseitig vom Extrempunkt positiv und nähert sich null an. Nach dem Extrempunkt ist die Steigung negativ. Die Abbildungen zeigen die Bedingung erster und zweiter Ordnung.



Ist die Steigung der ersten Ableitung (g'(x)) negativ, wird die Steigung der Funktion (g(x)) mit der Zeit immer kleiner. Das bedeutet, dass die Steigung der Funktion erst positiv ist, dann irgendwann gleich null ist, bis die Steigung negativ wird, was zur Folge hat das die Funktion fallend ist. Mathematisch formal ist es notwendig die Extremstellen auch auf die zweite Bedingung zu untersuchen. Zum einen, um herauszufinden welcher der beiden Fälle vorliegt und zum anderen, um andere mathematische Eigenschaften wie einen Sattelpunkt auszuschließen.

Gewinnfunktion

In der Mikroökonomie gilt es häufig eine Unternehmensentscheidung zu treffen. Wie viel soll ein Unternehmen gewinnmaximal anbieten (q)? Hierfür ist die Gewinnfunktion notwendig.


Die Gewinnfunktion ist in den meisten Fällen eine quadratische Funktion, die nach unten geöffnet ist. In der Frage, welche Menge gewinnmaximal ist, muss untersucht werden, zu welchem q-Wert der größte Gewinn zugeordnet werden kann. Um den Punkt rechnerisch zu bestimmen kann die erste Ableitung der Gewinnfunktion gebildet und berechnet werden, bei welchem q-Wert die erste Ableitung gleich null ist.

MC Fragen

Die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=3x^4+4x^3 } besitzt in $x=-1$ ein Extrempunkt. Worum handelt es sich?

	globales Maximum, die Funktion besitzt einen x-Wert, bei dem y größer ist.
	lokales Minimum, die Funktion besitzt einen x-Wert, bei dem y kleiner ist.
	globales Maximum, die Funktion besitzt keinen x-Wert, bei dem y größer ist.
	globales Minimum, die Funktion besitzt keinen x-Wert, bei dem y kleiner ist.

Ein Unternehmen hat folgende Gewinnfunktion: $\pi =(100-Q)Q-(1000+5Q^{2}+10Q)$. Welche Menge sollte das Unternehmen gewinnmaximal wählen?

	Q=2
	Q=7,5
	Q=4
	Q=3,5

Angenommen die Funktion $f(x)=3x^{4}+4x^{3}$ besitzt in $x=0$ ein Extrempunkt. Worum handelt es sich?

	Minimum.
	Maximum.
	Weder noch.
	Die Funktion besitzt in $x=0$ gar kein Extrempunkt.