Präferenzen und Indifferenzkurven: Unterschied zwischen den Versionen
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Um herauszufinden, wie viele Einheiten des einen Gutes benötigt werden, um den Verlust von Einheiten des anderen Gutes zu kompensieren, müssen zwei Punkte auf der Indifferenzkurve miteinander verbunden werden. Damit das Nutenniveau konstant bleibt braucht es für <math> \Delta x_1 </math> Einheiten weniger <math> \Delta x_2 </math> Einheiten mehr. Umformuliert bedeutet dies, dass <math> \frac{\Delta x_2}{\Delta x_1} </math> Einheiten von <math> x_2 </math> benötigt sind, um eine Einheit von <math> x_1 </math> zu kompensieren. Entlang der Indifferenzkurve muss das Nutzenniveau konstant sein. Jegliche Veränderung von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> muss zum selben U führen. Das totale Differential des Nutzens beträgt dann null:<br> | Um herauszufinden, wie viele Einheiten des einen Gutes benötigt werden, um den Verlust von Einheiten des anderen Gutes zu kompensieren, müssen zwei Punkte auf der Indifferenzkurve miteinander verbunden werden. Damit das Nutenniveau konstant bleibt braucht es für <math> \Delta x_1 </math> Einheiten weniger <math> \Delta x_2 </math> Einheiten mehr. Umformuliert bedeutet dies, dass <math> \frac{\Delta x_2}{\Delta x_1} </math> Einheiten von <math> x_2 </math> benötigt sind, um eine Einheit von <math> x_1 </math> zu kompensieren. Entlang der Indifferenzkurve muss das Nutzenniveau konstant sein. Jegliche Veränderung von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> muss zum selben U führen. Das totale Differential des Nutzens beträgt dann null:<br> | ||
| − | <math> dU(x_1,x_2)=\frac{\part U(x_1,x_2}{\part x_1}dx_1+\frac{\part U(x_1,x_2}{\part x_2}dx_2=0 </math> <br> | + | <math> dU(x_1,x_2)=\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_1}dx_1+\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_2}dx_2=0 </math> <br> |
In der linken Abbildung ist die Veränderung eine numerische Zahl. In der rechten Abbildung soll die Veränderung in einem Punkt betrachtet werden. <math> dx_1 </math> und <math> dx_2 </math> soll gegen null streben. Das totale Differential ergibt umgestellt die GRS: <br> | In der linken Abbildung ist die Veränderung eine numerische Zahl. In der rechten Abbildung soll die Veränderung in einem Punkt betrachtet werden. <math> dx_1 </math> und <math> dx_2 </math> soll gegen null streben. Das totale Differential ergibt umgestellt die GRS: <br> | ||
| − | <math> GRS_{x_1,x_2}=-\frac{\frac{\part U(x_1,x_2}{\part x_1}}{\frac{\part U(x_1,x_2}{\part x_2}} </math> | + | <math> GRS_{x_1,x_2}=-\frac{\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_1}}{\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_2}} </math> |
Die GRS wird häufig im Betrag betrachtet. <br> | Die GRS wird häufig im Betrag betrachtet. <br> | ||
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Version vom 10. Oktober 2023, 18:54 Uhr
Die Präferenzen von Individuen bilden ihre Wünsche und Vorlieben ab. Diese Präferenzen werden durch eine Nutzenfunktionen beschrieben. Diese beschreibt den Nutzen den ein Individuum aus dem Konsum von Güterkombinationen erhält. Nutzenfunktionen zwischen Individuen können sich unterscheiden.
Präferenzen und Nutzenfunktion
Eine jede Marktteilnehmerin und ein jeder Marktteilnehmer verfügen über Präferenzen. Ein Mensch der Vegetarier ist, kauft zum Beispiel kein Fleisch. Für ein Filmabend gibt es Menschen, die lediglich salzige Snacks konsumieren, oder auch welche, für die nur süße Snacks in Frage kommen. Es gibt jedoch auch sicherlich Menschen, denen es egal ist welche Art der Snacks zu sich nehmen.
Um all diese Präferenzen abbilden zu können werden Nutzenfunktionen modelliert. Hierfür wird sich der Ordinalen Nutzentheorie und nicht der kardinalen Nutzentheorie bedient. Je nach Präferenzen sehen die Nutzenfunktionen unterschiedlich aus. In jedem Fall sind sie jedoch abhängig von jedem zu betrachteten Gut und der Anzahl der davon konsumierten Einheiten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle U(x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n}) }
. Der Einfachheit halber, und um die Nutzenfunktion grafisch darstellen zu können, beschränken wir uns auf den Zwei-Güter-Fall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle U(x_{1}, x_{2}) }
. Als Beispiel sollen uns die beiden Güter C und F dienen, die mit folgender Nutzenfunktion abgebildet werden sollen:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle U(F,C)=F^{1/3}*C^{2/3} }
Die Nutzenfunktion kann als normale bivariate Funktion gelesen werden. Anders als im univariaten Fall ist die Funktion von zwei Variablen abhängig.
Indifferenzkurven
Eine veränderte Möglichkeit der Darstellung von Nutzenfunktionen sind Indifferenzkurven. Wie der Name bereits aussagt, sind Konsumenten entlang dieser Kurve indifferent in der Konsumentscheidung. Sie erfahren aus den Güterkombinationen, die auf der Indifferenzkurve liegen einen konstant gleich großen Nutzen. Je nach Nutzenniveau liegen die Indifferenzkurven verschoben. Im Beispiel von oben sehen die Indifferenzkurven wie folgt aus:
In der Grafik oben sind verschiedene Farbverläufe zu sehen, die an verschobene konvexe Funktionen erinnern. Mathematisch erlangt man die Indifferenzkurven, in dem der Nutzen U konstant gehalten (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar{U} }
) und nach einer Variablen umgestellt wird (welche auf der horizontale Achse abgebildet werden soll). In der Nutzenfunktion von eben sieht das wie folgt aus:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \bar{U}=F^{1/3}*C^{2/3} }
|: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle F^{1/3} }
|Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (...)^{3/2} }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle C=(\frac{\bar{U}}{F^{1/3}})^{3/2} }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle C=\frac{\bar{U}^{3/2}}{F^{1/2}} }
Je nach Nutzenniveau ergibt sich für jeden F Wert einen anderen C Wert. In der untenstehenden Grafik wurden die Indifferenzkurven der ganzzahligen Nutzenniveaus von 1 bis 8 geplotet.
Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution
Die Grenzrate der Substitution (GRS) beschreibt das Austauschverhältnis, zu dem ein Konsument bereit ist eine marginale Einheit eines Gutes aufzugeben, um ein anderes Gut zu erhalten. Die Bereitschaft das eine Gut für das andere Gut aufzugeben, rührt von einem konstanten Nutzenniveau. Die GRS ist dementsprechend eine Rate in einem Punkt, zu der das Nutzenniveau konstant bleibt. Zur Veranschaulichung sollen die folgenden zwei Grafiken dienen:
Um herauszufinden, wie viele Einheiten des einen Gutes benötigt werden, um den Verlust von Einheiten des anderen Gutes zu kompensieren, müssen zwei Punkte auf der Indifferenzkurve miteinander verbunden werden. Damit das Nutenniveau konstant bleibt braucht es für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta x_1 }
Einheiten weniger Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta x_2 }
Einheiten mehr. Umformuliert bedeutet dies, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\Delta x_2}{\Delta x_1} }
Einheiten von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 }
benötigt sind, um eine Einheit von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
zu kompensieren. Entlang der Indifferenzkurve muss das Nutzenniveau konstant sein. Jegliche Veränderung von und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 }
muss zum selben U führen. Das totale Differential des Nutzens beträgt dann null:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle dU(x_1,x_2)=\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_1}dx_1+\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_2}dx_2=0 }
In der linken Abbildung ist die Veränderung eine numerische Zahl. In der rechten Abbildung soll die Veränderung in einem Punkt betrachtet werden. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle dx_1 }
und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle dx_2 }
soll gegen null streben. Das totale Differential ergibt umgestellt die GRS:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle GRS_{x_1,x_2}=-\frac{\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_1}}{\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_2}} }
Die GRS wird häufig im Betrag betrachtet.
Die rechte Abbildung verdeutlicht die abnehmende Grenzrate der Substitution. Die GRS ist sehr steil und wird immer flacher, je größer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
wird. Dies hängt mit dem abnehmenden Grenznutzen zusammen. Bei einem geringen Niveau von ist der Grenznutzen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
im Vergleich zum Grenznutzen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 }
groß. Es benötigt dementsprechend eine große Menge von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 }
, um eine Einheit weniger von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
zu kompensieren. Die GRS ist bei kleinem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
steiler, als bei einem gro0en Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 }
.
Beispiel: Bei einer Indifferenzkurve hat eine Tangente in einem Punkt A die Steigung -2. In diesem Punkt beträgt die somit -2 und der Konsument würde im Konsumpunkt A 2 marginale Einheiten von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 }
verlangen, um eine marginale Einheit von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
weniger zu kompensieren.
Indifferenzkurven der Güterarten
Die Indifferenzkurven der verschiedenen Güterarten unterscheiden sich je nach Präferenzen. Häufig wird zwischen den folgenden Güterarten und ihren Indifferenzkurven unterschieden:
Perfekte Substitute
Die Nutzenfunktion von Perfekten Substituten kann zum Beispiel wie folgt aussehen: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle U(x_{1},x_{2})=ax_{1}+bx_{2} }
, wobei a und b beliebige Konstanten sind. Indifferenzkurven von Perfekten Substituten weisen als Eigenschaft auf, dass sie die Achsen berühren und einen linearen Verlauf haben. Das bedeutet: sie haben eine konstante GRS, da der Grenznutzen beider Güter konstant ist. Wir sprechen auch von perfekten Substituten (i.w.S.) wenn nur die erste Eigenschaft erfüllt ist.
In der Abbildung gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_{3} > U_{2} > U_{1} }
Perfekte Komplemente
Die Nutzenfunktion von Perfekten Komplementen kann zum Beispiel wie folgt aussehen: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle U(x_{1},x_{2})=min\{ax_{1},bx_{2}\} }
, wobei a und b beliebige Konstanten sind. Grafisch sind die Indifferenzkurven in L Form, es wird auch häufig von Leontief Präferenzen gesprochen. Diese Güter stiften nur einen Nutzen, wenn sie in einem festen Verhältnis konsumiert werden. Klassische Beispiele sind Schuhe, Socken oder Handschuhe.
In der Abbildung gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_{3} > U_{2} > U_{1} }
Imperfekte Subtitute
Die Nutzenfunktion von Imperfekte Substitute, deren zentrale Eigenschaft ist, dass die Indifferenzkurven nicht die Achsen schneiden, kann zum Beispiel wie folgt aussehen: , wobei a und b beliebige Konstanten sind.
In der Abbildung gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_{3} > U_{2} > U_{1} }
MC Fragen
