Monotone Transformation: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Die monotone Transformation ist eine mathematische Operation, durch die Präferenzen einer Nutzenfunktion nicht verändert werden. Die monotone Transformation unterliegt der Annahme der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie| | + | Die monotone Transformation ist eine mathematische Operation, durch die Präferenzen einer Nutzenfunktion nicht verändert werden. Die monotone Transformation unterliegt der Annahme der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie|ordinalen Nutzentheorie]]. |
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| − | Die Nutzenfunktionen der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie|Ordinalen Nutzentheorie]] bringen Güterkombinationen in | + | Die Nutzenfunktionen der [[Ordinale und Kardinale Nutzentheorie#Ordinale Nutzentheorie|Ordinalen Nutzentheorie]] bringen Güterkombinationen in eine Rangfolge. Jede mathematische Operation, die ausgehend der Nutzenfunktion, die Präferenzen nicht verändert, ist eine monotone Transformation. <br> |
| − | ''Beispiel'': In der Marktforschung werden Konsumentinnen und Konsumenten gefragt, wie ihnen verschiedene Tiefkühlpizzen schmecken. Hierbei sollen sie die Pizza auf einer Skala bewerten. Welche Pizza einer jeweiligen Person eine bessere Bewertung bekommt, muss | + | ''Beispiel'': In der Marktforschung werden Konsumentinnen und Konsumenten gefragt, wie ihnen verschiedene Tiefkühlpizzen schmecken. Hierbei sollen sie die Pizza auf einer Skala bewerten. Welche Pizza einer jeweiligen Person eine bessere Bewertung bekommt, muss unabhängig davon sein, ob die Skala bis 5 oder bis 10 geht. <br> |
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Die Grafik oben stellt eine monotone Transformation im univariaten Fall dar. Entscheidend ist, dass <math> x_2 </math> bei beiden Nutzenfunktionen <math> U(x) </math> und <math> \hat{U}(x) </math> gegenüber <math> x_1 </math> ein höheres Nutzenniveau bringt und daher bevorzugt wird. | Die Grafik oben stellt eine monotone Transformation im univariaten Fall dar. Entscheidend ist, dass <math> x_2 </math> bei beiden Nutzenfunktionen <math> U(x) </math> und <math> \hat{U}(x) </math> gegenüber <math> x_1 </math> ein höheres Nutzenniveau bringt und daher bevorzugt wird. | ||
==Operationen== | ==Operationen== | ||
| − | Die | + | Die monotone Transformation bezieht sich auch auf die gesamte Nutzenfunktion. Ist der Nutzen beispielsweise abhängig von zwei Variablen, müssen die mathematischen Operationen auf die gesamte <math> U(x_1,x_2) </math> Funktion angewendet werden. <br> |
| − | ''Beispiel'': | + | ''Beispiel'': Lautet die Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=x_1+x_2 </math>, spiegelt eine Funktion <math> \tilde{U}(x_1,x_2)=2x_1+x_2 </math> nicht dieselben Präferenzen wider. Die Funktion <math> \hat{U}(x_1,x_2)=2x_1+2x_2 </math> verändert die Präferenzen hingegen nicht und wäre somit eine monotone Transformation. <br> |
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'''Addition und Subtraktion''': | '''Addition und Subtraktion''': | ||
| − | Von einer Nutzenfunktion kann eine Zahl abgezogen oder zu ihr addiert werden, ohne die Präferenzen zu verändern. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2)+b </math> bzw. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2)-b </math>mit <math> b \in \mathbb{R}^+ </math> <br> | + | Von einer Nutzenfunktion kann eine Zahl abgezogen oder zu ihr addiert werden, ohne die Präferenzen zu verändern. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2)+b </math> bzw. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2)-b </math> mit <math> b \in \mathbb{R}^+ </math> <br> |
'''Multiplikation und Division''': Wird eine Nutzenfunktion mit einer positiven Zahl multipliziert oder dividiert, werden weiterhin dieselben Präferenzen abgebildet. Der oben genannte Fall mit der Skala ist ein Beispiel, bei dem die Präferenzen unverändert sind. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2)*b </math> bzw. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2):b </math> mit <math> b \in \mathbb{R}^+ </math> <br> | '''Multiplikation und Division''': Wird eine Nutzenfunktion mit einer positiven Zahl multipliziert oder dividiert, werden weiterhin dieselben Präferenzen abgebildet. Der oben genannte Fall mit der Skala ist ein Beispiel, bei dem die Präferenzen unverändert sind. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2)*b </math> bzw. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2):b </math> mit <math> b \in \mathbb{R}^+ </math> <br> | ||
'''Logarithmus''': Wird der ln von einer Funktion gezogen, gilt dies auch als monotone Transformation. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=ln[U(x_1,x_2)] </math> <br> | '''Logarithmus''': Wird der ln von einer Funktion gezogen, gilt dies auch als monotone Transformation. <math> \hat{U}(x_1,x_2)=ln[U(x_1,x_2)] </math> <br> | ||
Aktuelle Version vom 17. November 2023, 12:49 Uhr
Definition
Die monotone Transformation ist eine mathematische Operation, durch die Präferenzen einer Nutzenfunktion nicht verändert werden. Die monotone Transformation unterliegt der Annahme der ordinalen Nutzentheorie.
Monotone Transormationen
Die Nutzenfunktionen der Ordinalen Nutzentheorie bringen Güterkombinationen in eine Rangfolge. Jede mathematische Operation, die ausgehend der Nutzenfunktion, die Präferenzen nicht verändert, ist eine monotone Transformation.
Beispiel: In der Marktforschung werden Konsumentinnen und Konsumenten gefragt, wie ihnen verschiedene Tiefkühlpizzen schmecken. Hierbei sollen sie die Pizza auf einer Skala bewerten. Welche Pizza einer jeweiligen Person eine bessere Bewertung bekommt, muss unabhängig davon sein, ob die Skala bis 5 oder bis 10 geht.
Die Grafik oben stellt eine monotone Transformation im univariaten Fall dar. Entscheidend ist, dass bei beiden Nutzenfunktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U(x) }
und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{U}(x) }
gegenüber Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
ein höheres Nutzenniveau bringt und daher bevorzugt wird.
Operationen
Die monotone Transformation bezieht sich auch auf die gesamte Nutzenfunktion. Ist der Nutzen beispielsweise abhängig von zwei Variablen, müssen die mathematischen Operationen auf die gesamte Funktion angewendet werden.
Beispiel: Lautet die Nutzenfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U(x_1,x_2)=x_1+x_2 }
, spiegelt eine Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde{U}(x_1,x_2)=2x_1+x_2 }
nicht dieselben Präferenzen wider. Die Funktion verändert die Präferenzen hingegen nicht und wäre somit eine monotone Transformation.
Addition und Subtraktion:
Von einer Nutzenfunktion kann eine Zahl abgezogen oder zu ihr addiert werden, ohne die Präferenzen zu verändern. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2)+b }
bzw. mit
Multiplikation und Division: Wird eine Nutzenfunktion mit einer positiven Zahl multipliziert oder dividiert, werden weiterhin dieselben Präferenzen abgebildet. Der oben genannte Fall mit der Skala ist ein Beispiel, bei dem die Präferenzen unverändert sind. bzw. mit
Logarithmus: Wird der ln von einer Funktion gezogen, gilt dies auch als monotone Transformation.
Potenz mit der Basis e: Die ganze Nutzenfunktion kann zu e hoch der Funktion umgeschrieben werden.
Potenz und Wurzel: Eine Nutzenfunktion kann mit einer positiven Zahl potenziert werden oder von ihr eine positive Wurzel gezogen werden. und mit
![{\displaystyle {\hat {U}}(x_{1},x_{2})=ln[U(x_{1},x_{2})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0385e019f2495143393c2d909767e73c874288e)
![{\displaystyle {\hat {U}}(x_{1},x_{2})=[U(x_{1},x_{2})]^{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33389dfce0ae4f8d9381079ce8e79b1a161275c4)
![{\displaystyle {\hat {U}}(x_{1},x_{2})={\sqrt[{b}]{U(x_{1},x_{2})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c4facb194dbfa1473b8a58c367b10849c332b41)
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