Axiome der Nutzentheorie

Konsumenten besitzen Präferenzen, die sie beispielsweise im Konsumverhalten aufweisen. Damit viele Modelle konsistent und plausibel sind, müssen grundlegende Annahmen über Präferenzen getroffen werden, die auch Axiome genannt werden. Im Weiteren muss zwischen $>$ und $\succ$ unterschieden werden. Ersteres zeigt an, dass die linke Seite größer ist als die rechte. Zweiteres gibt an, dass die linke Seite gegenüber der rechten präferiert wird.

Rationalität

Präferenzen sind rational, wenn sie vollständig und transitiv sind.

Vollständigkeit

Definition: für alle $x,y\in X$, muss $x\succsim y$ oder $y\succsim x$ (oder beides) gelten.
Die formale Schreibweise oben beschreibt die Annahme, dass Konsumenten von allen möglichen Auswahlmöglichkeiten (X) diese untereinander bewerten können. Das heißt ein Konsument präferiert beispielsweise ein Konsumgüterbündel x einem Bündel y oder andersherum. Alternativ kann ein Konsument auch indifferent zwischen den beiden Konsumgüterbündeln sein. In diesem Fall spielt es für den Konsumenten keine Rolle, ob er sich für x oder für y entscheidet. Vollständige Präferenzen schließen explizit den Fall aus, in dem sich ein Konsument zwischen zwei Bündeln nicht entscheiden kann.
Beispiel für vollständige Präferenzen: In einem Kino gibt es zusätzlich zu einer Kinokarte auch gratis ein Snack-Menü nach Wahl. Arun besucht dieses Kino und hat die Wahl zwischen einer kleinen Portion Popcorn mit einem halben Liter Cola (Konsumbündel x) und einer großen Portion Popcorn ohne Getränk (Konsumbündel y). Besitzt Arun vollständige Präferenzen, präferiert er Bündel x gegenüber dem Bündel y ($x\succsim y$), er präferiert Bündel y gegenüber dem Bündel x ($y\succsim x$) oder er ist indifferent ($x\sim y$).

Transitivität

Definition: Für alle $x,y,z\in X$ muss $x\succsim z$ gelten, wenn $x\succsim y$ und $y\succsim z$ gilt.
Transitivität sichert, dass die Konsumentenpräferenzen konsistent und somit rational sind. Ähnlichkeit besteht zu Größenverhältnissen: wenn Lisa größer ist als Anna und diese größer als Sarah, dann ist Lisa auch größer als Sarah. Nicht in allen Situationen halten vergleichende Beziehungen der Transitivitätsannahme stand. So bedeutet der Umstand, dass Schalke 04 gegen Borussia Dortmund gewonnen hat und Schalke gegen Bayern München verloren hat, noch lange nicht, dass Dortmund gegen die Bayern verliert.
Die mathematische Schreibweise oben beschreibt, dass die Güter als besser oder gleich wahrgenommen werden. Die Transitivitätsannahme hält auch für strikt präferierte Konsumgüterbündel. Gleichzeitig gilt die Annahme auch, wenn ein Konsument indifferent zwischen den verschiedenen Konsumgüterbündel ist:
Für alle $x,y,z\in X$ muss $x\succ z$ gelten, wenn $x\succ y$ und $y\succ z$ gilt.
Für alle $x,y,z\in X$ muss $x\sim z$ gelten, wenn $x\sim y$ und $y\sim z$ gilt.

Lokale Nicht Sättigung

Definition: für alle $x\in X$ und jedem $\epsilon >0$ existiert ein $y\in X$ für das $||y-x||\leq \epsilon$ und $y\succ x$ gilt.
Die mathematische Schreibweise der lokalen Sättigung beschreibt das Phänomen, dass unter der Annahme der lokalen Nichtsättigung ein y in der Nähe von x existiert, dass gegenüber x präferiert wird. Das $\epsilon$ ist hierbei der Abstand zwischen x und y, der betragsmäßig sehr klein sein soll ($||y-x||\leq \epsilon$). Dies lässt sich als eine Art Ball um den Punkt x verstehen. Kann durch minimale Veränderung des Konsumpunktes das Nutzenniveau erhöht werden, wird die Annahme der lokalen Nicht Sättigung nicht verletzt. Grafisch muss eine Indifferenzkurve nahe der alten Indifferenzkurve, auf der sich der Punkt x befindet, ein höheres Nutzenniveau darstellen, damit die Annahme nicht verletzt ist. Ein neuer Punkt y kann irgendwo auf dem gestrichelten Ball liegen. Egal ob die neue Indifferenzkurve oberhalb, unterhalb, rechts oder links der alten Indifferenzkurve verläuft, sobald sie ein höheres Nutzenniveau darstellt, sind die Präferenzen lokal nicht gesättigt. In dem linken Beispiel soll $U_{1}<U_{2}$ gelten. Ausgehend vom Punkt x bringt der Punkt y ein höheres Nutzenniveau, da es auf $U_{2}$ liegt. Auch in dem rechten Beispiel soll $U_{1}<U_{2}$ gelten. Erneut existiert ausgehend vom Punkt x ein Punkt y in der Nähe, der ein höheres Nutzenniveau bedeutet. Auch im rechten Beispiel ist die Annahme der lokal nicht gesättigten Präferenzen nicht verletzt, obwohl ein geringeres Konsumniveau einen höheren Nutzen bedeutet. Informal bedeutet die Annahme der lokalen nicht Sättigung "In der Nähre gibt es ein besseres Konsumbündel".

Monotonie

Monotonie: Wenn $x_{D}>x_{A}$ und $y_{D}\geq y_{A}$, dann muss $D\succ A$ gelten.
Die Monotonie besagt "Mehr ist besser". Sobald ein Konsumgüterbündel von einem der Güter mehr und von dem anderen mindestens gleich viel beinhaltet, muss dieses präferiert werden. Dies kann grafisch dargestellt werden. Angenommen die zu betrachtenden Konsumgüterbündel bestehen aus einer Menge des Gutes x und des Gutes y. Im Bündel A besitzt der Konsument eine Menge $x_{A}$ und eine Menge $y_{A}$. Neben A stehen noch die Bündel B, C und D zur Auswahl, die der Konsument ausgehend von A bewerten soll. Die Monotonie Annahme sagt aus, dass sobald der Konsument in einem neuen Bündel mehr von dem Gut x konsumiert und mindestens genauso viel von y, er dieses neue Bündel präferieren muss. Mehr von $x_{A}$ bedeutet der neue Punkt liegt im Koordinatensystem rechts davon (rote Fläche). Mindestens genauso viel als $y_{A}$ bedeutet genau $y_{A}$ oder oberhalb (blaue Fläche). Die Schnittmenge erfüllt beide Bedingungen (Fläche in lila). Jedes Bündel, das in der lila gefärbten Fläche liegt, muss gegenüber A präferiert werden. Über jedes andere Bündel lässt sich keine Aussage treffen, ob eben dieses gegenüber A präferiert wird. In der Abbildung unten sind Bündel B und C zwei, bei denen nicht gesagt werden kann, ob ein Konsument diese gegenüber A präferiert oder nicht. Bündel B verfügt über weniger x und Bündel C über weniger y als Bündel A.


In der rechten Abbildung sind Indiffernzkurven eingezeichnet. Jeder Punkt in dem Koordinatensystem liegt auf einer Indifferenzkurve. Punkt A liegt auf $U_{1}$ und Punkt D liegt auf $U_{2}$. Gilt $U_{2}>U_{1}$ ist die Monotonie Annahme nicht verletzt, gilt jedoch $U_{1}>U_{2}$, ist die Annahme verletzt. Es ist offensichtlich, dass die Monotonie ein Spezialfall der lokalen Nicht Sättigung darstellt. Bei der lokalen Nicht Sättigung reicht es, dass Bündel irgendwo in der Nähe besser bewertet werden. Bei der Monotonie wird festgehalten, wo diese "besseren" Bündel liegen dürfen. Das rechte Beispiel der lokalen Nicht Sättigung verletzt beispielsweise die Annahme der lokalen Nicht Sättigung nicht, jedoch die Annahme der Monotonie.

MC Fragen

Dass sich Indifferenzkurven nicht schneiden können ist auf welche der Annahmen zurückzuführen?

	Vollständigkeit
	Lokale Nicht Sättigung
	Monotonie
	Transitivität

Welche Annahme über Präferenzen ist in der Abbildung oben verletzt, wenn $U_{2}>U_{1}$ gilt?

	Transitivität
	Lokale Nicht Sättigung
	Vollständigkeit
	Monotonie

Welche Annahme über Präferenzen ist in der Abbildung oben verletzt, wenn $U_{1}<U_{2}<U_{3}<...$ gilt?

	Rationalität
	Transitivität
	Lokale Nicht Sättigung
	Vollständigkeit