Karush-Kuhn-Tucker (KKT)

Die Karush-Kuhn-Tucker Bedingungen sind ein notwendiges Optimalitätskriterium zur Bestimmung des Maximums/Minimums einer Zielfunktion mit Nebenbedingungen. Das KKT Verfahren ist ein allgemeinerer Lösungsansatz verglichen mit dem Lagrange Verfahren, da auch Randlösungen betrachtet werden.

Randlösungen

Das Lagrange Verfahren findet als Optimalitätsbedingung den Tangentialpunkt der Indifferenzkurve und der Budgetgeraden. In der Grafik unten wird das damit einhergehende Problem deutlich: Der Tangentialpunkt kann auch im negativen Bereich von einer der beiden Variablen sein. Dies liegt beispielweise an der Steigung der Budgetgeraden oder dem Verlauf der Indifferenzkurve. Im Falle der Nutzenmaximierung würde dies den Konsum einer negativen Menge bedeuten, was äußerst unrealistisch ist. Im grafischen Beispiel wäre das Ergebnis des Lagrange Verfahrens, dass der Konsument eine negative Menge von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 } konsumieren sollte. Da dies nicht möglich ist, wäre es nutzenmaximal einen möglichen Punkt (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 \geq 0 } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2\geq 0 } ) zu konsumieren, der auf einer möglichst hohen Indifferenzkurve liegt. In dem grafischen Fall liegt der Punkt aufgrund der Annahmen über die Präferenzen auf der Budgetgeraden. Die höchste Indifferenzkurve die erreicht wird führt zu einem Konsumniveau von $x_{1}=0$ (zweite Abbildung). Dies ist eine Randlösung. Das KKT Verfahren findet das Punkt sofort, ohne dass die Lösung vom Lagrange Verfahren händisch korrigiert werden muss.

Nebenbedingungen

Das KKT Verfahren betrachtet mehrere Nebenbedingungen, um eine Lösung für das Maximierungsproblem zu finden. Diese sind häufig die Budgetbedingung und die Nichtnegativitätsbedingung:

$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq E$ $\Leftrightarrow$ $E-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}\geq 0$ 

$x_{1}\geq 0$ 

$x_{2}\geq 0$ 

Die Nebenbedingungen werden jeweils mit einem Lagrangemultiplikator zu der Zielfunktion addiert:

${\mathcal {L}}=U(x_{1},x_{2})+\lambda _{1}(E-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2})+\lambda _{2}x_{1}+\lambda _{3}x_{2}$

Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen

Das KKT Verfahren nutzt mehrere Bedingungen, um die Lösung für das Problem zu finden:

FOC für alle zu maximierenden Variablen: 

$(i)\quad {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{1}}}{\stackrel {!}{=}}0$ 

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle  (ii) \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2}\stackrel{!}{=}0  }
 

Die Ungleichungen selbst mit der Nichtnegativitätsbedingung der Lagrangemultiplikatoren: 

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle  (iii) \quad E-p_1x_1-p_2x_2 \geq 0 }
;  Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle  \lambda_1 \geq 0}
 

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle   (iv) \quad x_1 \geq 0 }
; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle  \lambda_2 \geq 0}


$(v)\quad x_{2}\geq 0$; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle  \lambda_3 \geq 0}

Die Komplementaritätsbedingungen 

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle  (vi) \quad \lambda_1(E-p_1x_1-p_2x_2)=0 }
 

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle  (vii) \quad \lambda_2 x_2=0 }
 

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle  (viii) \quad \lambda_3 x_2=0 }
 

Die Lagrangemultiplikatoren können entweder null oder größer als null sein. Durch die Komplemen