Karush-Kuhn-Tucker (KKT): Unterschied zwischen den Versionen
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<math> (viii) \quad \lambda_3 x_2=0 </math> <br> | <math> (viii) \quad \lambda_3 x_2=0 </math> <br> | ||
| − | Die Lagrangemultiplikatoren können entweder null oder größer als null sein. Durch die | + | Die Lagrangemultiplikatoren können entweder null oder größer als null sein. Durch die Komplementaritätsbedingungen wird deutlich, dass die Nebenbedingung größer gleich null ist, wenn der Lagrangemultiplikator null ist und gleich null, wenn der Multiplikator größer als null ist. Ist die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt, ist sie "bindend" und wenn sie mit strikter Ungleichheit erfüllt ist, ist sie "nicht-bindend". In dem grafischen Beispiel von oben ist die Nebenbedingung <math> x_1 </math> mit Gleichheit erfüllt und der Multiplikator <math> \lambda_2 </math> wäre größer als null. <br> |
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| + | Zur Lösung des Problems werden die KKT Bedingungen herangezogen und die verschiedenen Fälle werden untersucht. Jeder der Lagrangemultiplikatoren kann entweder gleich null oder größer als null sein. Bei drei Lagrangemultiplikatoren würde das <math> 2^3 </math> Fälle bedeuten. | ||
==Beispiel== | ==Beispiel== | ||
| + | Es soll die Funktion <math> U(x_1,x_2)=x^2+xy+4y </math> auf Maxima untersucht werden. Hierbei sollen <math> x+y \leq 2 </math>, <math> x \geq 0 </math> und <math> y \geq 0 </math> erfüllt sein. Es ergibt sich folgende Funktion: <br> | ||
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| + | \mathcal{L}= x^2+xy+4y +\lambda_1(2-x-y)+\lambda_2x+\lambda_3y </math> <br> | ||
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| + | <math> (i) \quad 2x+y-\lambda_1+\lambda_2=0 </math> <br> | ||
| + | <math> (ii) \quad x+4-\lambda_1+\lambda_3=0 </math> <br> | ||
| + | <math> (iii) \quad 2-x-y \geq 0 </math>; <math> \lambda_1 \geq 0</math> <br> | ||
| + | <math> (iv) \quad x \geq 0 </math>; <math> \lambda_2 \geq 0</math><br> | ||
| + | <math> (v) \quad y \geq 0 </math>; <math> \lambda_3 \geq 0</math><br> | ||
| + | <math> (vi) \quad \lambda_1(2-x-y)=0 </math> <br> | ||
| + | <math> (vii) \quad \lambda_2 x=0 </math> <br> | ||
| + | <math> (viii) \quad \lambda_3 y=0 </math> <br> | ||
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| + | * <math> \lambda_1=0 </math>; <math> \lambda_2 </math> und <math> \lambda_3 </math> sind allgemein gehalten | ||
| + | In den KKT Bedingungen fällt überall <math> \lambda_1 </math> raus. Aus Gleichungen (i) und (ii) ergibt sich dann: <br> | ||
| + | <math> 2x+y+\lambda_2=0 </math> <br> | ||
| + | <math> x+4+\lambda_3=0 </math> <br> | ||
| + | Gerade aus der unteren Gleichung wird deutlich, dass diese nur erfüllt sein kann, wenn <math> x </math> und /oder <math> \lambda_3 </math> negativ sind, was durch (iv) und (v) ausgeschlossen wird. Da </math> \lambda_1=0 </math> zu mathematischen Fehlern führt, kann dies nie der Fall sein. Es muss also <math> \lambda_1>0 </math> gelten. Dies reduziert die weiteren möglichen Fälle, die untersucht werden müssen. <br> | ||
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| + | Aus den Gleichungen (vii-vii) folgt, dass <math> x=y=0 </math> folgen muss. Außerdem muss für Gleichung (vi) <math> 2-x-y=0 </math> erfüllt sein. Mit <math> x=y=0 </math> ergit sich <math> 2-0-0=0 </math> was ein mathematischer Fehler ist. Daher kann auch dieser Fal nicht korrekt sein. <br> | ||
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| + | *<math> \lambda_1>0 </math>; <math> \lambda_2>0 </math>; <math> \lambda_3=0 </math> <br> | ||
| + | Aus <math> \lambda_2>0 </math> folgt <math> x=0 </math> (vii). Außerderm ergibt sich durch <math> \lambda_1>0 </math> zusätzlich: <br> | ||
| + | (vi) <math> 2-x-y=0 </math> bzw. <math> 2-y=0 </math> <math> \Longrightarrow </math> <math> y=2 </math> <br> | ||
| + | Mit den Informationen ergibt sich <br> | ||
| + | (i) <math> 2-\lambda_1+\lambda_2=0 </math> <br> | ||
| + | (ii) <math> 4- \lambda_1=0 </math> <math> \Longrightarrow </math> <math> \lambda_1=4 </math> <br> | ||
| + | eingesetzt in (i) ergibt sich <math> \lambda_2=2 </math> <br> | ||
| + | <math> \Longrightarrow </math> die erste Lösung lautet: <math> (x,y)=(0,2) </math> mit <math> (\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)=(4,2,0) </math> <br> | ||
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| + | * <math> \lambda_1>0 </math>; <math> \lambda_2=0 </math>; <math> \lambda_3>0 </math> <br> | ||
==MC Fragen== | ==MC Fragen== | ||
Version vom 3. April 2024, 15:34 Uhr
Die Karush-Kuhn-Tucker Bedingungen sind ein notwendiges Optimalitätskriterium zur Bestimmung des Maximums/Minimums einer Zielfunktion mit Nebenbedingungen. Das KKT Verfahren ist ein allgemeinerer Lösungsansatz verglichen mit dem Lagrange Verfahren, da auch Randlösungen betrachtet werden.
Randlösungen
Das Lagrange Verfahren findet als Optimalitätsbedingung den Tangentialpunkt der Indifferenzkurve und der Budgetgeraden. In der Grafik unten wird das damit einhergehende Problem deutlich: Der Tangentialpunkt kann auch im negativen Bereich von einer der beiden Variablen sein. Dies liegt beispielweise an der Steigung der Budgetgeraden oder dem Verlauf der Indifferenzkurve. Im Falle der Nutzenmaximierung würde dies den Konsum einer negativen Menge bedeuten, was äußerst unrealistisch ist. Im grafischen Beispiel wäre das Ergebnis des Lagrange Verfahrens, dass der Konsument eine negative Menge von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
konsumieren sollte. Da dies nicht möglich ist, wäre es nutzenmaximal einen möglichen Punkt (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 \geq 0 }
und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2\geq 0 }
) zu konsumieren, der auf einer möglichst hohen Indifferenzkurve liegt. In dem grafischen Fall liegt der Punkt aufgrund der Annahmen über die Präferenzen auf der Budgetgeraden. Die höchste Indifferenzkurve die erreicht wird führt zu einem Konsumniveau von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1=0}
(zweite Abbildung). Dies ist eine Randlösung. Das KKT Verfahren findet das Punkt sofort, ohne dass die Lösung vom Lagrange Verfahren händisch korrigiert werden muss.
Nebenbedingungen
Das KKT Verfahren betrachtet mehrere Nebenbedingungen, um eine Lösung für das Maximierungsproblem zu finden. Diese sind häufig die Budgetbedingung und die Nichtnegativitätsbedingung:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_1x_1+p_2x_2 \leq E }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E-p_1x_1-p_2x_2 \geq 0 }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 \geq 0 }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 \geq 0 }
Die Nebenbedingungen werden jeweils mit einem Lagrangemultiplikator zu der Zielfunktion addiert:
Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen
Das KKT Verfahren nutzt mehrere Bedingungen, um die Lösung für das Problem zu finden:
FOC für alle zu maximierenden Variablen:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (i) \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1}\stackrel{!}{=}0 }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (ii) \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2}\stackrel{!}{=}0 }
Die Ungleichungen selbst mit der Nichtnegativitätsbedingung der Lagrangemultiplikatoren:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (iii) \quad E-p_1x_1-p_2x_2 \geq 0 } ; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_1 \geq 0}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (iv) \quad x_1 \geq 0 } ; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_2 \geq 0}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (v) \quad x_2 \geq 0 } ;
Die Komplementaritätsbedingungen
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (vi) \quad \lambda_1(E-p_1x_1-p_2x_2)=0 }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (vii) \quad \lambda_2 x_1=0 }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (viii) \quad \lambda_3 x_2=0 }
Die Lagrangemultiplikatoren können entweder null oder größer als null sein. Durch die Komplementaritätsbedingungen wird deutlich, dass die Nebenbedingung größer gleich null ist, wenn der Lagrangemultiplikator null ist und gleich null, wenn der Multiplikator größer als null ist. Ist die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt, ist sie "bindend" und wenn sie mit strikter Ungleichheit erfüllt ist, ist sie "nicht-bindend". In dem grafischen Beispiel von oben ist die Nebenbedingung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
mit Gleichheit erfüllt und der Multiplikator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_2 }
wäre größer als null.
Zur Lösung des Problems werden die KKT Bedingungen herangezogen und die verschiedenen Fälle werden untersucht. Jeder der Lagrangemultiplikatoren kann entweder gleich null oder größer als null sein. Bei drei Lagrangemultiplikatoren würde das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2^3 }
Fälle bedeuten.
Beispiel
Es soll die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U(x_1,x_2)=x^2+xy+4y }
auf Maxima untersucht werden. Hierbei sollen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x+y \leq 2 }
, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \geq 0 }
und erfüllt sein. Es ergibt sich folgende Funktion:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{L}= x^2+xy+4y +\lambda_1(2-x-y)+\lambda_2x+\lambda_3y }
Die KKT Bedingungen ergeben:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (i) \quad 2x+y-\lambda_1+\lambda_2=0 }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (ii) \quad x+4-\lambda_1+\lambda_3=0 }
; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_1 \geq 0}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (iv) \quad x \geq 0 }
; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_2 \geq 0}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (v)\quad y\geq 0}
; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_3 \geq 0}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (vi) \quad \lambda_1(2-x-y)=0 }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (vii) \quad \lambda_2 x=0 }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (viii) \quad \lambda_3 y=0 }
- Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \lambda _{1}=0} ; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_2 } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_3 } sind allgemein gehalten
In den KKT Bedingungen fällt überall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_1 }
raus. Aus Gleichungen (i) und (ii) ergibt sich dann:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x+y+\lambda_2=0 }
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x+4+\lambda _{3}=0}
Gerade aus der unteren Gleichung wird deutlich, dass diese nur erfüllt sein kann, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x }
und /oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_3 }
negativ sind, was durch (iv) und (v) ausgeschlossen wird. Da </math> \lambda_1=0 </math> zu mathematischen Fehlern führt, kann dies nie der Fall sein. Es muss also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_1>0 }
gelten. Dies reduziert die weiteren möglichen Fälle, die untersucht werden müssen.
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_1>0 }
; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_2>0 }
; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_3>0 }
Aus den Gleichungen (vii-vii) folgt, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=y=0 }
folgen muss. Außerdem muss für Gleichung (vi) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2-x-y=0 }
erfüllt sein. Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=y=0 }
ergit sich was ein mathematischer Fehler ist. Daher kann auch dieser Fal nicht korrekt sein.
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_1>0 }
; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_2>0 }
; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_3=0 }
Aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_2>0 }
folgt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=0 }
(vii). Außerderm ergibt sich durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_1>0 }
zusätzlich:
(vi) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2-x-y=0 }
bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2-y=0 }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Longrightarrow }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=2 }
Mit den Informationen ergibt sich
(i)
(ii) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4- \lambda_1=0 }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Longrightarrow }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_1=4 }
eingesetzt in (i) ergibt sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_2=2 }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Longrightarrow }
die erste Lösung lautet: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x,y)=(0,2) }
mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)=(4,2,0) }
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_1>0 }
; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_2=0 }
; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_3>0 }
