Karush-Kuhn-Tucker (KKT)

Die Karush-Kuhn-Tucker Bedingungen sind ein notwendiges Optimalitätskriterium zur Bestimmung des Extremums einer Zielfunktion mit Nebenbedingungen. Das KKT Verfahren ist ein allgemeinerer Lösungsansatz verglichen mit dem Lagrange Verfahren, da auch Randlösungen betrachtet werden.

Randlösungen

Das Lagrange Verfahren findet als Optimalitätsbedingung den Tangentialpunkt der Indifferenzkurve und der Budgetgeraden. In der Grafik unten wird das damit einhergehende Problem deutlich: Der Tangentialpunkt kann auch im negativen Bereich von einer der beiden Variablen sein. Dies liegt beispielweise an der Steigung der Budgetgeraden oder dem Verlauf der Indifferenzkurve. Im Falle der Nutzenmaximierung würde dies den Konsum einer negativen Menge bedeuten, was äußerst unrealistisch ist. Im grafischen Beispiel wäre das Ergebnis des Lagrange Verfahrens, dass der Konsument eine negative Menge von $x_{1}$ konsumieren sollte. Da dies nicht möglich ist, wäre es nutzenmaximal einen möglichen Punkt ($x_{1}\geq 0$ und $x_{2}\geq 0$) zu konsumieren, der auf einer möglichst hohen Indifferenzkurve liegt. In dem grafischen Fall liegt der Punkt aufgrund der Annahmen über die Präferenzen auf der Budgetgeraden. Die höchste Indifferenzkurve die erreicht wird führt zu einem Konsumniveau von $x_{1}=0$ (zweite Abbildung). Dies ist eine Randlösung. Das KKT Verfahren findet den Punkt sofort, ohne dass die Lösung vom Lagrange Verfahren händisch korrigiert werden muss.

Nebenbedingungen

Das KKT Verfahren betrachtet mehrere Nebenbedingungen, um eine Lösung für das Maximierungsproblem zu finden. Diese sind häufig die Budgetbedingung und die Nichtnegativitätsbedingung. Die Budgetbedingung ist identisch zum Lagrange Verfahren. Ein Konsument kann sein komplettes Budget oder weniger ausgaben. Neu sind die anderen Nichtnegativitätsbedingung, die im folgenden Beispiel sicherstellen, dass die konsumierten Mengen positiv sind:

$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq E$ $\Leftrightarrow$ $E-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}\geq 0$ 

$x_{1}\geq 0$ 

$x_{2}\geq 0$ 

Das Maximierungsproblem ergibt sich dann analog zum Lagrangeverfahren. Die Zielfunktion muss entweder maximiert oder minimiert werden und die Nebenbedingungen sollen gelten. In diesem Fall soll die Zielfunktion (Nutzenfunktion) maximiert werden:

$\max \limits _{x_{1},x_{2}}U(x_{1},x_{2})$   u.d.NB   $E-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}\geq 0$;    $x_{1}\geq 0$;    $x_{2}\geq 0$

Um das ganze Problem in eine Funktion zu schreiben, werden die Nebenbedingungen werden jeweils mit einem Lagrangemultiplikator zu der Zielfunktion addiert:

${\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},\lambda )=U(x_{1},x_{2})+\lambda _{1}(E-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2})+\lambda _{2}x_{1}+\lambda _{3}x_{2}$

Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen

Das KKT Verfahren nutzt mehrere Bedingungen, um die Lösung für das Problem zu finden:

FOC für alle Variablen, von denen die Zielfunktion abhängt: 

$(i)\quad {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{1}}}{\stackrel {!}{=}}0$ 

$(ii)\quad {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{2}}}{\stackrel {!}{=}}0$ 

Die Ungleichungen selbst mit der Nichtnegativitätsbedingung der Lagrangemultiplikatoren: 

$(iii)\quad E-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}\geq 0$;  $\lambda _{1}\geq 0$ 

$(iv)\quad x_{1}\geq 0$; $\lambda _{2}\geq 0$

$(v)\quad x_{2}\geq 0$; $\lambda _{3}\geq 0$

Die Komplementaritätsbedingungen 

$(vi)\quad \lambda _{1}(E-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2})=0$ 

$(vii)\quad \lambda _{2}x_{1}=0$ 

$(viii)\quad \lambda _{3}x_{2}=0$ 

Die Lagrangemultiplikatoren müssen im Optimum schwach positiv, also null oder größer als null, sein. Durch die Komplementaritätsbedingungen wird deutlich, dass die Nebenbedingung größer gleich null ist, wenn der Lagrangemultiplikator null ist und gleich null, wenn der Multiplikator größer als null ist. Ist die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt (gleich null), ist sie "bindend", wenn sie mit strikter Ungleichheit erfüllt ist, ist sie "nicht-bindend". Im grafischen Beispiel von oben ist die Nebenbedingung $x_{1}$ mit Gleichheit erfüllt und der Multiplikator $\lambda _{2}$ größer als null. Nur wenn der Tangentialpunkt auch gleichzeitig die Randlösung ist, sind sowohl der Lagrangemultiplikator, als auch die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt. In allen anderen Fällen ist der Multiplikator beispielweise größer null und die Nebenbedingung gleich null. Dies gilt natürlich auch andersherum. Ist die Nebenbedingung größer als null, ist der Multiplikator gleich null.
Als Beispiel soll $(vii)\quad \lambda _{2}x_{1}=0$ gelten. Wenn $x_{1}>0$ gilt, muss der Multiplikator $\lambda _{2}$ gleich null sein. Die gleiche Logik gilt auch für die Gleichung $(viii)$. Soll das Problem auf eine innere Lösung untersucht werden, so muss in dem vorliegenden Fall $\lambda _{2}=0$ und $\lambda _{3}=0$ gelten, da $\lambda _{2}$ und $\lambda _{3}$ nur beide gleichzeitig größer als 0 sein können, wenn von $x_{1}$ und $x_{2}$ jeweils nichts konsumiert würde.
Um die jeweiligen Randlösungen zu untersuchen müssen die Multiplikatoren $\lambda _{2}$ und $\lambda _{3}$ jweils getrennt voneinander gleich null gesetzt werden. Es gilt zu beachten, dass diese Logik so nur für das grafische Beispiel gilt. Es gibt durchaus auch andere Beispiele, bei denen Möglichkeiten nicht von vornherein ausgeschlossen werden können. Bei einer anderen Zielfunktion und anderen Nebenbedingungen kann zum Beispiel, nicht direkt gesagt werden, dass $\lambda _{1}>0$ gelten und die Budgetungleichung damit mit Gleichheit erfüllt sein muss.

Zur Lösung des Problems werden die KKT Bedingungen herangezogen und die verschiedenen Fälle werden untersucht. Jeder der Lagrangemultiplikatoren kann entweder gleich null oder größer als null sein. Bei drei Lagrangemultiplikatoren würde das $2^{3}$ Fälle bedeuten.

Beispiel

Es soll die Funktion $U(x_{1},x_{2})=x^{2}+xy+4y$ auf Maxima untersucht werden. Hierbei sollen $x+y\leq 2$, $x\geq 0$ und $y\geq 0$ erfüllt sein. Es ergibt sich folgende Funktion:
${\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},\lambda )=x^{2}+xy+4y+\lambda _{1}(2-x-y)+\lambda _{2}x+\lambda _{3}y$
Aufgrund der Übersichtlickeit kann das Beispiel hier [1] als pdf Dokument eingesehen werden.

MC Fragen

Für die folgenden Aufgaben sei immer folgende Lagrangefunktion gegeben:
${\mathcal {L}}(x,y,\lambda )=x+ln(y)+\lambda (E-x-y)+\alpha x+\beta y$

Was muss gelten, damit die Lösung des Maximierungsproblems eine Randlösung ist?

	a) Die Steigung der Budgetgeraden muss strikt kleiner als die GRS für $x,y\geq 0$ sein.
	b) Die Steigung der Budgetgeraden muss strikt größer als die GRS für $x,y\geq 0$ sein.
	c) Die Steigung der Budgetgeraden muss gleich die der GRS für $x,y\geq 0$ sein.
	d) Antwortmöglichkeiten a) und b) sind beide korrekt
	e) Antwortmöglichkeiten a) und c) sind korrekt

Welche Werte muss $\beta$ annehmen, damit alle KKT Bedingungen erfüllt sind?

	$\beta >0$
	$\beta$ kann alle Werte annehmen
	$\beta =0$
	$\beta <0$

Welcher der folgenden Bedingungen sorgt dafür, dass die Lösung eine innere Lösung ist?

	$\beta y=0$
	$\alpha x=0$
	Es gibt keine Innere Lösung
	$\lambda (E-x-y)=0$