Lagrange

Das Langrangeverfahren ist eine Möglichkeit Funktionen mit einer Nebenbedingung zu maximieren oder zu minimieren. In diesem Verfahren wird davon ausgegangen, dass die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt sein muss.

Das Problem

Es treten häufig Fragestellungen auf, wie ein Haushalt den Konsum so wählt, dass der Nutzen möglichst groß (maximiert) ist. Oder der Kostenminimale Produktionspunkt eines Unternehmens wird gesucht. Im Weiteren liegt der Fokus auf dem Maximierungsproblem.
Im Falle der Nutzenmaximierung soll der Nutzen möglichst groß sein. In einem Beispiel hat ein Haushalt die Möglichkeit Güter $x_{1}$ und $x_{2}$ zu konsumieren. Der Haushalt muss dementsprechend sein Nutzen in Bezug auf den Konsum von $x_{1}$ und $x_{2}$ maximieren: $\max \limits _{x_{1},x_{2}}U(x_{1},x_{2})$
Unter der Annahme der Monotonie ("Mehr ist besser"), maximiert der Haushalt seinen Nutzen, indem er möglichst viel von $x_{1}$ und $x_{2}$ konsumiert. Kann ein Haushalt sehr unendlich viel, von beiden Gütern konsumiert und Monotonie gilt, ist die Maximierungsaufgabe schon gelöst. In den meisten Fällen ist dies jedoch nicht möglich. Zum einen existieren nicht unendlich viele Einheiten der Güter (dies spielt in der Edgeworth-Box eine große Rolle) und zum anderen hat ein Haushalt auch nicht das Einkommen zur Verfügung, um sich unendlich viele Güter leisten zu können. Im Normalfall unterliegen Haushalte einer Budgetrestriktion. Die Budgetrestriktion ist in $p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=E$ beschrieben, wobei E das Budget darstellt. Die eigentliche Maximierungsaufgabe besteht dementsprechend darin den Nutzen zu maximieren und das Budget einzuhalten. (u.d.NB.=unter der Nebenbedingung)

$\max \limits _{x_{1},x_{2}}U(x_{1},x_{2})$ u.d.NB $p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=E$

Langrangefunktion

Die Lagrangefunktion wird aufgestellt, indem von der Nutzenfunktion ein zweiter Term abgezogen wird. Der zweite Term besteht aus der Budgetrestriktion, die nach null umgestellt und mit einer Variablen (dem Langrange Multiplikator) multipliziert wird. Die Langrangefunktion ist damit abhängig von $x_{1}$, $x_{2}$ und $\lambda$:

${\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},\lambda )=U(x_{1},x_{2})-\lambda (p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}-E)$ (I) 

${\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},\lambda )=U(x_{1},x_{2})+\lambda (E-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2})$ (II) 

Für die richtige Interpretation des Ergebnisses ist es durchaus relevant, ob vor dem $\lambda$ ein + oder ein - steht. Merkhilfe bietet hier die Bedeutung von Lambda. Streng genommen ist die Budgetrestriktion eine Ungleichung. Es ist durchaus möglich weniger als das vollständige Budget auszugeben, daher lautet die Restriktion ${\textstyle p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}}$≤${\textstyle E}$. Umgestellt nach null ergibt sich entweder

$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}-E$≤${\textstyle 0}$ (i) 

oder 

$0$≤${\textstyle E-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}}$ (ii) 

In beiden Fällen der Budgetrestriktion gilt die gleiche Intuition. Wenn der Haushalt mehr ausgibt als er mit seinem Budget E könnte, soll er dafür bestraft werden. Der Nutzen, gegeben durch die Nutzenfunktion), muss sich verringern, wenn er mehr ausgibt, als er kann. Im Fall (i) ist dies der Fall, wenn die Ungleichung positiv ist. Da $\lambda$ immer positiv ist, muss vor das $\lambda$ ein negatives Vorzeichen. Analog gilt die Intuition bei Fall (ii).

Bedingungen erster Ordnung

Die Langrangefunktion beschreibt das Maximierungsproblem in einer Art, die aufgrund des $\lambda$ nur schwer grafisch vorstellbar ist. Die Vorgehensweise ist im ersten Schritt jedoch ähnlich zu einem simplen univariaten Maximierungsproblem. Es muss die Funktion nach den Variablen abgeleitet werden, für die der Nutzen maximiert werden soll. Die erste Ableitung muss gleich null sein (Bedingung erster Ordnung oder FOC=First order condition). Zudem muss weitergehend beachtet werden, dass die Budgetrestriktion eingehalten werden muss. Die FOCs stellen ein Gleichungssystem dar, das es zu lösen gilt.

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{1}}}={\frac {\partial U(x_{1},x_{2})}{\partial x_{1}}}-\lambda p_{1}{\stackrel {!}{=}}0$ 

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{2}}}={\frac {\partial U(x_{1},x_{2})}{\partial x_{2}}}-\lambda p_{2}{\stackrel {!}{=}}0$ 

$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}-E{\stackrel {!}{=}}0$

Lösung des Maximierungsproblems

Die First order Conditions stellen ein Gleichungsystem dar. Es existieren drei unbekannte ($x_{1}$, $x_{2}$ und $\lambda$) und drei Gleichungen. Zum Lösen des Systems gibt es verschiedene Wege. Eine der ersten beiden Gleichungen kann nach $\lambda$ umgestellt und in die andere der oberen beiden Gleichungen eingesetzt werden. Es ist auch möglich die oberen beiden Gleichungen beide nach $\lambda$ umzustellen und anschließend gleichzusetzen. Es kann auch direkt die erste durch die zweite Gleichung dividiert werden.
Als Beispiel sollen die ersten beiden Gleichungen nach $\lambda$ ugestellt werden. Es ergibt sich:
$\lambda ={\frac {\partial U(x_{1},x_{2})}{\partial x_{1}}}:p_{1}$
$\lambda ={\frac {\partial U(x_{1},x_{2})}{\partial x_{2}}}:p_{2}$
Da $\lambda =\lambda$ ergibt sich:
${\frac {\partial U(x_{1},x_{2})}{\partial x_{1}}}:p_{1}={\frac {\partial U(x_{1},x_{2})}{\partial x_{2}}}:p_{2}$ oder weiter umgestellt

${\frac {\frac {\partial U(x_{1},x_{2})}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial U(x_{1},x_{2})}{\partial x_{2}}}}={\frac {p_{1}}{p_{2}}}$ 

Die linke Seite des Ausdrucks entspricht der GRS. Dieser Ausdruck kann wiederum nach $x_{1}$ oder $x_{2}$ umgestellt werden, welche beide im Grenznutzen stecken. Es ergibt sich beispielweise ein Ausdruck,$x_{1}(x_{2})$ , der abhängig von der anderen variable $x_{2}$ ist. Dieser lässt sich in die Budgetrestriktion einsetzen, die vorher $x_{1}$ und $x_{2}$ beinhaltete. Nach der Substitution ist in der Budgetrestriktion nur noch eine Unbekannte $x_{2}$ vorhanden, nach der umgestellt werden kann. Es ergibt sich beispielsweise mit der Nutzenfunktion $U(x_{1},x_{2})=x_{1}x_{2}$ folgende Gleichung:
${\frac {x_{2}}{x_{1}}}={\frac {p_{1}}{p_{2}}}$ umgestellt nach $x_{2}$ ergibt sich $x_{2}={\frac {p_{1}}{p_{2}}}x_{1}$.
Dieser Ausdruck kann in die Budgetrestriktion für $x_{2}$ eingesetzt werden:
$p_{1}x_{1}+p_{2}({\frac {p_{1}}{p_{2}}}x_{1})=E$
Nun kann für eine Lösung nach $x_{1}^{*}$ umgestellt werden. Das Ergebnis eingesetzt in $x_{2}={\frac {p_{1}}{p_{2}}}x_{1}$ ergibt das optimale Konsumniveau von $x_{2}^{*}$.

Die Bedeutung von Lambda

Die Langrangefunktion unterstellt, dass für $\lambda$ die Nebenbedingung erfüllt ist. Sie sucht also Wert $x_{1}^{*}$ und $x_{2}^{*}$, für die das Budget nicht überschritten wird. Dafür führt das Langrangeverfahren den Lagrange Mutiplikator $\lambda$ als eine Art Schattenpreis ein, den der Haushalt zahlen muss, wenn das Budget nicht eingehalten wird. Dies hat auch den Grund, warum für die richtige Interpretation von $\lambda$ die Notation wichtig ist. Der Schattenpreis ist positiv. Sind die Konsumausgaben größer als das Budget, gilt $p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}>E$ und dementsprechend $p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}-E>0$. Da vor $\lambda$ eine negatives Vorzeichen steht, wird von dem Nutzen etwas abgezogen, wenn die Konsumausgaben größer sind als das Budget. Gleichzeitig wird zum Nutzen etwas addiert, wenn die Konsumausgaben kleiner sind als das Budget. Im Haushaltsoptimum ist der Schattenpreis so gewählt, dass die Budgetrestriktion mit Gleichheit erfüllt ist. $\lambda$ lässt sich berechnen, indem die Ausgerechneten optimalen Konsumniveaus in einer der beiden FOC Gleichungen eingesetzt und nach $\lambda$ aufgelöst wird.

Es lässt sich außerdem zeigen, dass $\lambda$ der Grenznutzen des Einkommens ist. Steigt das Einkommen, steigt auch das Nutzenniveau im Optimum um $\lambda$ Einheiten. (Für den Beweis siehe [[1]])

MC Fragen

Welche Aussage muss basierend auf den FOCs des Lagrangeverfahrens immer stimmen? Ein Konsument konsumiert zwei Güter (A und B). Im optimalen Konsumpunkt...

	... entspricht der Grenznutzen von A dem Grenznutzen von B.
	... entspricht der Grenznutzen von A mal dem Preis von A dem Grenznutzen von B mal dem Preis von B.
	... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von A dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von B
	... entspricht das Verhältnis des Grenznutzens von A zum Preis von B dem Verhältnis des Grenznutzens von B zum Preis von A.

In welchem der Fälle ist das Lagrangeverfahren ohne Weiteres anwendbar?

	Wenn die Nutzenfunktion konvex ist.
	Wenn die Nutzenfunktion nicht differenzierbar ist.
	Wenn die Nebenbedingung nicht differenzierbar ist.
	Wenn im optimalen Punkt nicht das gesammte Budget ausgeben wird.

Welche der Aussagen ist wahr?

	Ungeachtet des Preisverhältnisses ist eine rechnerische Lösung des Lagrangeverfahrens mit negativen Mengen nicht möglich.
	Die Hinreichende Bedingung zur Überprüfung auf ein Maximum ist bei einem Nutzenmaximierung-Probem mathematisch korrekt nie notwendig, da es sich rein formal immer nur um ein Maximum handeln kann.
	Das Lagrangeverfahren ist auch mit meheren Nebenbedingungen möglich.
	Der Lagrangemutiplikator $\lambda$ hat keine Bedeutung.