Lagrange: Unterschied zwischen den Versionen
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==Das Problem== | ==Das Problem== | ||
| − | + | Es treten häufig Fragestellungen auf, wie ein Haushalt den Konsum so wählt, dass der Nutzen möglichst groß (maximiert) ist. Oder der Kostenminimale Produktionspunkt eines Unternehmens wird gesucht. Im Weiteren liegt der Fokus auf dem Maximierungsproblem. <br> | |
| − | Im Falle der | + | Im Falle der Nutzenmaximierung soll der Nutzen möglichst groß sein. In einem Beispiel hat ein Haushalt die Möglichkeit Güter <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> zu konsumieren. Der Haushalt muss dementsprechend sein Nutzen in Bezug auf den Konsum von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> maximieren: <math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> <br> |
| − | Unter der Annahme der [[Axiome der Nutzentheorie#Monotonie|Monotonie]] ("Mehr ist besser"), maximiert der Haushalt seinen Nutzen, indem er möglichst viel von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> konsumiert. Kann ein Haushalt sehr | + | Unter der Annahme der [[Axiome der Nutzentheorie#Monotonie|Monotonie]] ("Mehr ist besser"), maximiert der Haushalt seinen Nutzen, indem er möglichst viel von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> konsumiert. Kann ein Haushalt sehr unendlich viel, von beiden Gütern konsumiert und Monotonie gilt, ist die Maximierungsaufgabe schon gelöst. In den meisten Fällen ist dies jedoch nicht möglich. Zum einen existieren nicht unendlich viele Einheiten der Güter (dies spielt in der [[Edgeworth-Box]] eine große Rolle) und zum anderen hat ein Haushalt auch nicht das Einkommen zur Verfügung, um sich unendlich viele Güter leisten zu können. Im Normalfall unterliegen Haushalte einer [[Budgetrestriktion und Budgetgerade|Budgetrestriktion]]. Die Budgetrestriktion ist in <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math> beschrieben, wobei E das Budget darstellt. Die eigentliche Maximierungsaufgabe besteht dementsprechend darin den Nutzen zu maximieren und das Budget einzuhalten. (u.d.NB.=unter der Nebenbedingung)<br> |
<math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> u.d.NB <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math> | <math> \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) </math> u.d.NB <math> p_1x_1+p_2x_2=E </math> | ||
==Langrangefunktion== | ==Langrangefunktion== | ||
Die Lagrangefunktion wird aufgestellt, indem von der Nutzenfunktion ein zweiter Term abgezogen wird. Der zweite Term besteht aus der Budgetrestriktion, die nach null umgestellt und mit einer Variablen (dem Langrange Multiplikator) multipliziert wird. Die Langrangefunktion ist damit abhängig von <math> x_1 </math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>: <br> | Die Lagrangefunktion wird aufgestellt, indem von der Nutzenfunktion ein zweiter Term abgezogen wird. Der zweite Term besteht aus der Budgetrestriktion, die nach null umgestellt und mit einer Variablen (dem Langrange Multiplikator) multipliziert wird. Die Langrangefunktion ist damit abhängig von <math> x_1 </math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>: <br> | ||
| − | <math> \mathcal{L}(x_1,x_2, \lambda)=U(x_1,x_2)-\lambda(p_1x_1+p_2x_2-E) </math> <br> | + | <math> \mathcal{L}(x_1,x_2, \lambda)=U(x_1,x_2)-\lambda(p_1x_1+p_2x_2-E) </math> (I) <br> |
| − | + | <math> \mathcal{L}(x_1,x_2, \lambda)=U(x_1,x_2)+\lambda(E-p_1x_1-p_2x_2) </math> (II) <br> | |
| + | Für die richtige Interpretation des Ergebnisses ist es durchaus relevant, ob vor dem <math> \lambda </math> ein + oder ein - steht. Merkhilfe bietet hier [[Lagrange#Die Bedeutung von Lambda|die Bedeutung von Lambda]]. Streng genommen ist die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetrestriktion|Budgetrestriktion]] eine Ungleichung. Es ist durchaus möglich weniger als das vollständige Budget auszugeben, daher lautet die Restriktion <math display="inline> p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}</math>≤<math display="inline">E</math>. Umgestellt nach null ergibt sich entweder <br> | ||
| + | <math> p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}-E</math>≤<math display="inline">0</math> (i) <br> | ||
| + | oder <br> | ||
| + | <math> 0</math>≤<math display="inline">E-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}</math> (ii) <br> | ||
| + | In beiden Fällen der Budgetrestriktion gilt die gleiche Intuition. Wenn der Haushalt mehr ausgibt als er mit seinem Budget E könnte, soll er dafür bestraft werden. Der Nutzen, gegeben durch die Nutzenfunktion), muss sich verringern, wenn er mehr ausgibt, als er kann. Im Fall (i) ist dies der Fall, wenn die Ungleichung positiv ist. Da <math> \lambda </math> immer positiv ist, muss vor das <math> \lambda </math> ein negatives Vorzeichen. Analog gilt die Intuition bei Fall (ii). | ||
| − | == | + | ==Bedingungen erster Ordnung== |
| − | Die Langrangefunktion beschreibt das Maximierungsproblem in einer Art, die aufgrund des <math> \lambda </math> nur schwer grafisch vorstellbar ist. Die Vorgehensweise ist im ersten Schritt jedoch ähnlich zu einem simplen [[Maximieren|univariaten Maximierungsproblem]]. Es muss die Funktion nach den Variablen abgeleitet werden, für die der Nutzen maximiert werden soll. Die erste Ableitung muss gleich null sein (FOC=First order condition). Zudem muss weitergehend beachtet werden, dass die Budgetrestriktion eingehalten werden muss. Die FOCs | + | Die Langrangefunktion beschreibt das Maximierungsproblem in einer Art, die aufgrund des <math> \lambda </math> nur schwer grafisch vorstellbar ist. Die Vorgehensweise ist im ersten Schritt jedoch ähnlich zu einem simplen [[Maximieren|univariaten Maximierungsproblem]]. Es muss die Funktion nach den Variablen abgeleitet werden, für die der Nutzen maximiert werden soll. Die erste Ableitung muss gleich null sein (Bedingung erster Ordnung oder FOC=First order condition). Zudem muss weitergehend beachtet werden, dass die Budgetrestriktion eingehalten werden muss. Die FOCs stellen ein Gleichungssystem dar, das es zu lösen gilt. <br> |
| − | <math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_1}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}-\lambda p_1 \stackrel{!}{=}0 </math> <br> | + | <math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_1}=\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_1}-\lambda p_1 \stackrel{!}{=}0 </math> <br> |
| − | <math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_2}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}-\lambda p_2 \stackrel{!}{=}0 </math> <br> | + | <math> \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_2}=\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_2}-\lambda p_2 \stackrel{!}{=}0 </math> <br> |
<math> p_1x_1+p_2x_2-E \stackrel{!}{=}0 </math> | <math> p_1x_1+p_2x_2-E \stackrel{!}{=}0 </math> | ||
==Lösung des Maximierungsproblems== | ==Lösung des Maximierungsproblems== | ||
| − | Die [[Lagrange#FOC|First order Conditions]] stellen ein Gleichungsystem dar. Es existieren drei unbekannte (<math> x_1</math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>) und drei Gleichungen. Zum Lösen des Systems gibt es verschiedene Wege. Eine der ersten beiden Gleichungen kann nach <math> \lambda </math> umgestellt und in die andere der oberen beiden Gleichungen | + | Die [[Lagrange#FOC|First order Conditions]] stellen ein Gleichungsystem dar. Es existieren drei unbekannte (<math> x_1</math>, <math> x_2 </math> und <math> \lambda </math>) und drei Gleichungen. Zum Lösen des Systems gibt es verschiedene Wege. Eine der ersten beiden Gleichungen kann nach <math> \lambda </math> umgestellt und in die andere der oberen beiden Gleichungen eingesetzt werden. Es ist auch möglich die oberen beiden Gleichungen beide nach <math> \lambda </math> umzustellen und anschließend gleichzusetzen. Es kann auch direkt die erste durch die zweite Gleichung dividiert werden. <br> |
Als Beispiel sollen die ersten beiden Gleichungen nach <math> \lambda </math> ugestellt werden. Es ergibt sich: <br> | Als Beispiel sollen die ersten beiden Gleichungen nach <math> \lambda </math> ugestellt werden. Es ergibt sich: <br> | ||
| − | <math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1 </math> <br> | + | <math> \lambda=\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1 </math> <br> |
| − | <math> \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> <br> | + | <math> \lambda=\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> <br> |
Da <math> \lambda=\lambda </math> ergibt sich: <br> | Da <math> \lambda=\lambda </math> ergibt sich: <br> | ||
| − | <math> \frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> oder weiter umgestellt <br> | + | <math> \frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1=\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 </math> oder weiter umgestellt <br> |
| − | <math> \frac{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}}{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}}=\frac{p_1}{p_2} </math> <br> | + | <math> \frac{\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_1}}{\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_2}}=\frac{p_1}{p_2} </math> <br> |
| − | Die linke Seite des Ausdrucks entspricht der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution|GRS]]. Dieser Ausdruck kann wiederum nach <math> x_1 </math> oder <math> x_2 </math> umgestellt werden, welche beide im [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] stecken. Es ergibt sich beispielweise ein Ausdruck, <math> x_1 | + | Die linke Seite des Ausdrucks entspricht der [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution|GRS]]. Dieser Ausdruck kann wiederum nach <math> x_1 </math> oder <math> x_2 </math> umgestellt werden, welche beide im [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] stecken. Es ergibt sich beispielweise ein Ausdruck,<math> x_1(x_2) </math> , der abhängig von der anderen variable <math> x_2 </math> ist. Dieser lässt sich in die Budgetrestriktion einsetzen, die vorher <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> beinhaltete. Nach der Substitution ist in der Budgetrestriktion nur noch eine Unbekannte <math> x_2 </math> vorhanden, nach der umgestellt werden kann. Es ergibt sich beispielsweise mit der Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=x_1x_2 </math> folgende Gleichung: <br> |
<math> \frac{x_2}{x_1}=\frac{p_1}{p_2} </math> umgestellt nach <math> x_2 </math> ergibt sich <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math>. <br> | <math> \frac{x_2}{x_1}=\frac{p_1}{p_2} </math> umgestellt nach <math> x_2 </math> ergibt sich <math> x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 </math>. <br> | ||
Dieser Ausdruck kann in die Budgetrestriktion für <math> x_2 </math> eingesetzt werden: <br> | Dieser Ausdruck kann in die Budgetrestriktion für <math> x_2 </math> eingesetzt werden: <br> | ||
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| − | Die [[Lagrange#Langrangefunktion|Langrangefunktion]] unterstellt, dass für <math> \lambda </math> die Nebenbedingung erfüllt ist. Sie sucht also Wert <math> x^*_1 </math> und <math> x^*_2 </math>, für die das Budget nicht | + | Die [[Lagrange#Langrangefunktion|Langrangefunktion]] unterstellt, dass für <math> \lambda </math> die Nebenbedingung erfüllt ist. Sie sucht also Wert <math> x^*_1 </math> und <math> x^*_2 </math>, für die das Budget nicht überschritten wird. Dafür führt das Langrangeverfahren den Lagrange Mutiplikator <math> \lambda </math> als eine Art Schattenpreis ein, den der Haushalt zahlen muss, wenn das Budget nicht eingehalten wird. Dies hat auch den Grund, warum für die richtige Interpretation von <math> \lambda </math> die Notation wichtig ist. Der Schattenpreis ist positiv. Sind die Konsumausgaben größer als das Budget, gilt <math> p_1x_1+p_2x_2>E </math> und dementsprechend <math> p_1x_1+p_2x_2-E>0 </math>. Da vor <math> \lambda </math> eine negatives Vorzeichen steht, wird von dem Nutzen etwas abgezogen, wenn die Konsumausgaben größer sind als das Budget. Gleichzeitig wird zum Nutzen etwas addiert, wenn die Konsumausgaben kleiner sind als das Budget. Im [[Haushaltsoptimum]] ist der Schattenpreis so gewählt, dass die Budgetrestriktion mit Gleichheit erfüllt ist. <math> \lambda </math> lässt sich berechnen, indem die Ausgerechneten optimalen Konsumniveaus in einer der beiden FOC Gleichungen eingesetzt und nach <math> \lambda </math> aufgelöst wird. <br> |
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Es lässt sich außerdem zeigen, dass <math> \lambda </math> der Grenznutzen des Einkommens ist. Steigt das Einkommen, steigt auch das Nutzenniveau im Optimum um <math> \lambda </math> Einheiten. (Für den Beweis siehe [[https://www.dropbox.com/scl/fi/r08jdx96k34h0sezg6jdc/Derivation_of_the_meaning_of_Lambda.pdf?rlkey=sq0futxbzz539dlg5dispw990&dl=0|hier]]) | Es lässt sich außerdem zeigen, dass <math> \lambda </math> der Grenznutzen des Einkommens ist. Steigt das Einkommen, steigt auch das Nutzenniveau im Optimum um <math> \lambda </math> Einheiten. (Für den Beweis siehe [[https://www.dropbox.com/scl/fi/r08jdx96k34h0sezg6jdc/Derivation_of_the_meaning_of_Lambda.pdf?rlkey=sq0futxbzz539dlg5dispw990&dl=0|hier]]) | ||
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+ Wenn die Nutzenfunktion konvex ist. | + Wenn die Nutzenfunktion konvex ist. | ||
Aktuelle Version vom 7. Oktober 2024, 18:19 Uhr
Das Langrangeverfahren ist eine Möglichkeit Funktionen mit einer Nebenbedingung zu maximieren oder zu minimieren. In diesem Verfahren wird davon ausgegangen, dass die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt sein muss.
Das Problem
Es treten häufig Fragestellungen auf, wie ein Haushalt den Konsum so wählt, dass der Nutzen möglichst groß (maximiert) ist. Oder der Kostenminimale Produktionspunkt eines Unternehmens wird gesucht. Im Weiteren liegt der Fokus auf dem Maximierungsproblem.
Im Falle der Nutzenmaximierung soll der Nutzen möglichst groß sein. In einem Beispiel hat ein Haushalt die Möglichkeit Güter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 }
zu konsumieren. Der Haushalt muss dementsprechend sein Nutzen in Bezug auf den Konsum von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 }
maximieren: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) }
Unter der Annahme der Monotonie ("Mehr ist besser"), maximiert der Haushalt seinen Nutzen, indem er möglichst viel von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 }
konsumiert. Kann ein Haushalt sehr unendlich viel, von beiden Gütern konsumiert und Monotonie gilt, ist die Maximierungsaufgabe schon gelöst. In den meisten Fällen ist dies jedoch nicht möglich. Zum einen existieren nicht unendlich viele Einheiten der Güter (dies spielt in der Edgeworth-Box eine große Rolle) und zum anderen hat ein Haushalt auch nicht das Einkommen zur Verfügung, um sich unendlich viele Güter leisten zu können. Im Normalfall unterliegen Haushalte einer Budgetrestriktion. Die Budgetrestriktion ist in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_1x_1+p_2x_2=E }
beschrieben, wobei E das Budget darstellt. Die eigentliche Maximierungsaufgabe besteht dementsprechend darin den Nutzen zu maximieren und das Budget einzuhalten. (u.d.NB.=unter der Nebenbedingung)
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \max\limits_{x_1,x_2}U(x_1,x_2) }
u.d.NB Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_1x_1+p_2x_2=E }
Langrangefunktion
Die Lagrangefunktion wird aufgestellt, indem von der Nutzenfunktion ein zweiter Term abgezogen wird. Der zweite Term besteht aus der Budgetrestriktion, die nach null umgestellt und mit einer Variablen (dem Langrange Multiplikator) multipliziert wird. Die Langrangefunktion ist damit abhängig von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
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und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda }
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Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{L}(x_1,x_2, \lambda)=U(x_1,x_2)-\lambda(p_1x_1+p_2x_2-E) }
(I)
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{L}(x_1,x_2, \lambda)=U(x_1,x_2)+\lambda(E-p_1x_1-p_2x_2) }
(II)
Für die richtige Interpretation des Ergebnisses ist es durchaus relevant, ob vor dem ein + oder ein - steht. Merkhilfe bietet hier die Bedeutung von Lambda. Streng genommen ist die Budgetrestriktion eine Ungleichung. Es ist durchaus möglich weniger als das vollständige Budget auszugeben, daher lautet die Restriktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}}
≤Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle E}
. Umgestellt nach null ergibt sich entweder
≤Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle 0} (i)
oder
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} ≤Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle E-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}} (ii)
In beiden Fällen der Budgetrestriktion gilt die gleiche Intuition. Wenn der Haushalt mehr ausgibt als er mit seinem Budget E könnte, soll er dafür bestraft werden. Der Nutzen, gegeben durch die Nutzenfunktion), muss sich verringern, wenn er mehr ausgibt, als er kann. Im Fall (i) ist dies der Fall, wenn die Ungleichung positiv ist. Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda } immer positiv ist, muss vor das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda } ein negatives Vorzeichen. Analog gilt die Intuition bei Fall (ii).
Bedingungen erster Ordnung
Die Langrangefunktion beschreibt das Maximierungsproblem in einer Art, die aufgrund des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda }
nur schwer grafisch vorstellbar ist. Die Vorgehensweise ist im ersten Schritt jedoch ähnlich zu einem simplen univariaten Maximierungsproblem. Es muss die Funktion nach den Variablen abgeleitet werden, für die der Nutzen maximiert werden soll. Die erste Ableitung muss gleich null sein (Bedingung erster Ordnung oder FOC=First order condition). Zudem muss weitergehend beachtet werden, dass die Budgetrestriktion eingehalten werden muss. Die FOCs stellen ein Gleichungssystem dar, das es zu lösen gilt.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_1}=\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_1}-\lambda p_1 \stackrel{!}{=}0 }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_1x_1+p_2x_2-E \stackrel{!}{=}0 }
Lösung des Maximierungsproblems
Die First order Conditions stellen ein Gleichungsystem dar. Es existieren drei unbekannte (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1}
, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 }
und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda }
) und drei Gleichungen. Zum Lösen des Systems gibt es verschiedene Wege. Eine der ersten beiden Gleichungen kann nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda }
umgestellt und in die andere der oberen beiden Gleichungen eingesetzt werden. Es ist auch möglich die oberen beiden Gleichungen beide nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda }
umzustellen und anschließend gleichzusetzen. Es kann auch direkt die erste durch die zweite Gleichung dividiert werden.
Als Beispiel sollen die ersten beiden Gleichungen nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda }
ugestellt werden. Es ergibt sich:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda=\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1 }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda=\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 }
Da ergibt sich:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1=\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 }
oder weiter umgestellt
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_1}}{\frac{\part U(x_1,x_2)}{\part x_2}}=\frac{p_1}{p_2} }
Die linke Seite des Ausdrucks entspricht der GRS. Dieser Ausdruck kann wiederum nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 }
umgestellt werden, welche beide im Grenznutzen stecken. Es ergibt sich beispielweise ein Ausdruck,Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1(x_2) }
, der abhängig von der anderen variable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 }
ist. Dieser lässt sich in die Budgetrestriktion einsetzen, die vorher Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 }
beinhaltete. Nach der Substitution ist in der Budgetrestriktion nur noch eine Unbekannte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 }
vorhanden, nach der umgestellt werden kann. Es ergibt sich beispielsweise mit der Nutzenfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U(x_1,x_2)=x_1x_2 }
folgende Gleichung:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{x_2}{x_1}=\frac{p_1}{p_2} }
umgestellt nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 }
ergibt sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 }
.
Dieser Ausdruck kann in die Budgetrestriktion für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 }
eingesetzt werden:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_1x_1+p_2(\frac{p_1}{p_2}x_1)=E }
Nun kann für eine Lösung nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^*_1 }
umgestellt werden. Das Ergebnis eingesetzt in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2=\frac{p_1}{p_2}x_1 }
ergibt das optimale Konsumniveau von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^*_2 }
.
Die Bedeutung von Lambda
Die Langrangefunktion unterstellt, dass für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda }
die Nebenbedingung erfüllt ist. Sie sucht also Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^*_1 }
und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^*_2 }
, für die das Budget nicht überschritten wird. Dafür führt das Langrangeverfahren den Lagrange Mutiplikator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda }
als eine Art Schattenpreis ein, den der Haushalt zahlen muss, wenn das Budget nicht eingehalten wird. Dies hat auch den Grund, warum für die richtige Interpretation von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda }
die Notation wichtig ist. Der Schattenpreis ist positiv. Sind die Konsumausgaben größer als das Budget, gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_1x_1+p_2x_2>E }
und dementsprechend Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_1x_1+p_2x_2-E>0 }
. Da vor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda }
eine negatives Vorzeichen steht, wird von dem Nutzen etwas abgezogen, wenn die Konsumausgaben größer sind als das Budget. Gleichzeitig wird zum Nutzen etwas addiert, wenn die Konsumausgaben kleiner sind als das Budget. Im Haushaltsoptimum ist der Schattenpreis so gewählt, dass die Budgetrestriktion mit Gleichheit erfüllt ist. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda }
lässt sich berechnen, indem die Ausgerechneten optimalen Konsumniveaus in einer der beiden FOC Gleichungen eingesetzt und nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda }
aufgelöst wird.
Es lässt sich außerdem zeigen, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda } der Grenznutzen des Einkommens ist. Steigt das Einkommen, steigt auch das Nutzenniveau im Optimum um Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda } Einheiten. (Für den Beweis siehe [[1]])
MC Fragen
