Engelkurve: Unterschied zwischen den Versionen
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Es gilt zu beachten, dass die grafische Darstellung der Engelkurve in der <math> E(x) </math>-Form ist, die Ableitungen oben jedoch in der <math> x(E) </math>-Form. Daher ist die grafisch dargestellte Funktion konvex. Beginnend vom Ursprung steigt auch die Menge von <math> x_1 </math>, wenn E steigt. Für jede Einheit von E steigt <math> x_1 </math> weniger stark an. Eine inverse Darstellung der Engelkurve würde auch grafisch eine konkave Funktion ergeben, deren zweite Ableitung kleiner als null ist. | Es gilt zu beachten, dass die grafische Darstellung der Engelkurve in der <math> E(x) </math>-Form ist, die Ableitungen oben jedoch in der <math> x(E) </math>-Form. Daher ist die grafisch dargestellte Funktion konvex. Beginnend vom Ursprung steigt auch die Menge von <math> x_1 </math>, wenn E steigt. Für jede Einheit von E steigt <math> x_1 </math> weniger stark an. Eine inverse Darstellung der Engelkurve würde auch grafisch eine konkave Funktion ergeben, deren zweite Ableitung kleiner als null ist. | ||
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Die Nachfrage nach Gütern, die [[Güterarten|Homothetische Präferenzen]] nachweisen, steigt proportional zum Einkommen. Verdoppelt sich das Einkommen/Budget, dann verdoppelt sich auch die nutzenmaximale Menge dieses Gutes. <br> | Die Nachfrage nach Gütern, die [[Güterarten|Homothetische Präferenzen]] nachweisen, steigt proportional zum Einkommen. Verdoppelt sich das Einkommen/Budget, dann verdoppelt sich auch die nutzenmaximale Menge dieses Gutes. <br> | ||
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Die Engelkurve ist eine Ursprungsgerade, die eine konstante Steigung aufweist, welche nicht zwingend eins entsprechen muss. | Die Engelkurve ist eine Ursprungsgerade, die eine konstante Steigung aufweist, welche nicht zwingend eins entsprechen muss. | ||
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===Luxusgüter=== | ===Luxusgüter=== | ||
Die Nachfrage nach [[Güterarten|Luxusgütern]] steigt bei wachsendem Einkommen stärker an, als das Einkommen selbst. Verdoppelt sich das Budget/Einkommen, ist die nutzenmaximale Nachfrage nach diesem Gut mehr als doppelt so groß. <br> | Die Nachfrage nach [[Güterarten|Luxusgütern]] steigt bei wachsendem Einkommen stärker an, als das Einkommen selbst. Verdoppelt sich das Budget/Einkommen, ist die nutzenmaximale Nachfrage nach diesem Gut mehr als doppelt so groß. <br> | ||
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''Beispiel'': Für Christian sind Autos Luxusgüter. Er hat ein Auto und nach dem sich sein Einkommen verdoppelt hat, kauft er sich zwei weitere und hat drei Autos. <br> | ''Beispiel'': Für Christian sind Autos Luxusgüter. Er hat ein Auto und nach dem sich sein Einkommen verdoppelt hat, kauft er sich zwei weitere und hat drei Autos. <br> | ||
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Aktuelle Version vom 12. Dezember 2024, 10:37 Uhr
Definition
Die Engel-Kurve bildet die Effekte einer Einkommensvariation auf die individuelle Güternachfrage ab. Das heißt sie beschreibt den Zusammenhang zwischen der Güternachfrage Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 } beziehungsweise Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 } und dem Einkommen E. Sie stellt als Funktion die veränderte nutzenmaximale Nachfrage nach einem Gut bei variierendem Einkommen dar.
Die Engel-Kurve
Das Haushaltsoptimum stellt die optimale Nachfrage nach beiden Gütern da. Bei den Gütern Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 }
ergeben sich die beiden optimalen Nachfragen und . Die Nachfrage nach dem Gut ist abhängig von den beiden Preisen und dem Einkommen E. Verändert sich das Einkommen E, verschiebt sich die Budgetgerade parallel nach außen. Es entsteht ein neues Haushaltsoptimum mit einem höheren Nutzenniveau. Rechnerisch ergibt sich durch das Einsetzen des neuen Einkommens in die Nachfragefunktion die neue optimale Nachfrage nach .
Die Nachfragefunktion lässt sich nach E umstellen, sodass die neue Funktion von und den neuen Preisen abhängig ist . Diese Funktion gibt an welches Budget E nötig ist um ein bestimmtes Level von zu erreichen. Die neue Funktion ist die Funktionsgleichung der Engel-Kurve. Man beachte dabei, dass wie oft üblich in der Ökonomie, die endogene Variable () auf der X-Achse steht und sich die unabhängige Variable (E) auf der Y-Achse. Daher ergibt sich eine Funktionsgleichung für die Engelkurve (), die suggeriert, dass das Einkommen abhängig von der nachgefragten Menge ist. Tatsächlich ist die nachgefragte Menge abhängig von dem Einkommen, weshalb die Untersuchung welche Art Gut vorliegt, mit der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x(E)}
Funktion stattfindet.
Beispiel: Die Nachfrage nach Pizza (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
) lautet
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1(p_1,p_2,E)=\frac{E+p_2-p_1}{p_1} }
wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 }
das Gut Döner ist. Die Funktion nach E umgestellt ergibt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E=p_1x_1-p_2+p_1 }
. Angenommen Pizza kostet 1€ und Döner kostet 1€. Dann lautet die Funktion der Engel-Kurve Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E(x_1)=x_1 }
.
Bei dem vorliegenden Beispiel steigt auch die nutzenmaximale Nachfrage nach dem Gut Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
, wenn das Einkommen steigt. Dies ist in der Funktionsgleichung und der Abbildungen der Engelkurve und der Einkommens-Konsumkurve erkennbar.
Inferiore Güter
Die Nachfrage nach Inferioren Gütern sinkt bei steigendem Einkommen. Bei einem steigenden Budget verschiebt sich die Budgetgerade parallel nach außen. Je weiter die Budgetgerade vom Ursprung entfernt ist, desto größer ist das Budget/Einkommen. Bei Inferioren Gütern muss der Tangentialpunkt einen numerisch immer kleiner werdenden Wert annehmen als beim nächstkleineren Einkommen.
In dem Beispiel oben ist das Gut ein inferiores Gut und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
ein normales Gut. Je größer das Budget/Einkommen ist, desto weniger wird nutzenmaximal von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 }
nachgefragt. Die Steigung der Engelkurve dieses Gutes ist fallend.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\part x(E)}{\part E}<0 }
Normale Güter
Die Nachfrage nach Normalen Gütern steigt bei steigendem Einkommen. Bei ihnen muss der Tangentialpunkt im steigenden Einkommen einen numerisch immer größer werdenden Wert annehmen. Es muss gelten
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\part x(E)}{\part E}>0 }
Die Gleichung oben untersucht, wie sich die Steigung der Nachfragefunktion verhält. In diesem Fall ist die erste Ableitung größer als null, dementsprechend ist die Steigung positiv. Dies ist die marginale Untersuchung, wie sich die nachgefragte Menge bei einer Veränderung von E verhält. Im folgenden werden die drei Unterarten von normalen Gütern besprochen:
Notwendige Güter
Die Nachfrage nach Notwendigen Güter muss im steigenden Einkommen langsamer steigen als das Einkommen. Die Nachfrage nach ihnen steigt unterproportional. Das heißt, dass die Nachfrage immer zunimmt, wenn das Einkommen steigt, jedoch um einen immer kleiner werdenden Wert.
Beispiel: Zucker ist für Bettina ein notwendiges Gut. Verdoppelt sich das Einkommen von ihr, fragt sie auch mehr Zucker nach, jedoch weniger als doppelt so viel. Bei einem Einkommen von 10 fragt sie beispielsweise 20 Einheiten von Zucker nach und bei einem Einkommen von 20 fragt sie 30 Einheiten nach.
Es muss gelten:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\part x(E)}{\part E}>0 }
und
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\part^2 x(E)}{\part E^2}<0 }
Es gilt zu beachten, dass die grafische Darstellung der Engelkurve in der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E(x) }
-Form ist, die Ableitungen oben jedoch in der -Form. Daher ist die grafisch dargestellte Funktion konvex. Beginnend vom Ursprung steigt auch die Menge von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
, wenn E steigt. Für jede Einheit von E steigt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
weniger stark an. Eine inverse Darstellung der Engelkurve würde auch grafisch eine konkave Funktion ergeben, deren zweite Ableitung kleiner als null ist.
Homothetische Präferenzen
Die Nachfrage nach Gütern, die Homothetische Präferenzen nachweisen, steigt proportional zum Einkommen. Verdoppelt sich das Einkommen/Budget, dann verdoppelt sich auch die nutzenmaximale Menge dieses Gutes.
Es muss gelten:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\part x(E)}{\part E}>0 }
und
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\part^2 x(E)}{\part E^2}=0 }
Die Engelkurve ist eine Ursprungsgerade, die eine konstante Steigung aufweist, welche nicht zwingend eins entsprechen muss.
Luxusgüter
Die Nachfrage nach Luxusgütern steigt bei wachsendem Einkommen stärker an, als das Einkommen selbst. Verdoppelt sich das Budget/Einkommen, ist die nutzenmaximale Nachfrage nach diesem Gut mehr als doppelt so groß.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\part x(E)}{\part E}>0 }
und
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\part^2 x(E)}{\part E^2}>0 }
Beispiel: Für Christian sind Autos Luxusgüter. Er hat ein Auto und nach dem sich sein Einkommen verdoppelt hat, kauft er sich zwei weitere und hat drei Autos.
Die Engelkurve hat einen konkaven Verlauf. Ist die zweite Ableitung größer als null, ist die Funktion jedoch konvex. Dies liegt daran, dass die grafische Darstellung in der -Form ist, jedoch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x(E) }
zweimal nach E differenziert wird.
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