Präferenzen und Indifferenzkurven

Individuen zeigen in ihrem Konsumverhalten Präferenzen. Diese Präferenzen werden durch ihre Nutzenfunktionen definiert, diese beschreibt den Nutzen den ein Individuum aus dem Konsum von Güterkombinationen erhält. Bei einer gleichen Güterkombination und unterschiedlichen Konsumentenpräferenzen kann sich daher das Nutzenniveau zwischen Individuen unterscheiden.

Präferenzen und Nutzenfunktion

Eine jede Marktteilnehmerin und ein jeder Marktteilnehmer verfügen über Präferenzen. Ein Mensch der Vegetarier ist, kauft zum Beispiel kein Fleisch. Für ein Filmabend gibt es Menschen, die lediglich salzige Snacks konsumieren, oder auch welche, für die nur süße Snacks in Frage kommen. Es gibt jedoch auch sicherlich Menschen, denen es egal ist welche Art der Snacks zu sich nehmen.
Um all diese Präferenzen abbilden zu können werden Nutzenfunktionen modelliert. Hierfür wird sich der Ordinalen Nutzentheorie und nicht der kardinalen Nutzentheorie bedient. Je nach Präferenzen sehen die Nutzenfunktionen unterschiedlich aus. In jedem Fall sind sie jedoch abhängig von jedem zu betrachteten Gut und der Anzahl der davon konsumierten Einheiten ${\textstyle U(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n})}$. Der Einfachheit halber, und um die Nutzenfunktion grafisch darstellen zu können, beschränken wir uns auf den zwei-Güter-Fall. ${\textstyle U(x_{1},x_{2})}$. Als Beispiel sollen uns die beiden Güter C und F dienen, die mit folgender Nutzenfunktion abgebildet werden sollen:
${\textstyle U(F,C)=F^{1/3}*C^{2/3}}$
Die Nutzenfunktion kann als normale bivariate Funktion gelesen werden. Anders als im univariaten Fall ist die Funktion von zwei Variablen abhängig.

Indifferenzkurven

Eine veränderte Möglichkeit der Darstellung von Nutzenfunktionen sind Indifferenzkurven. Wie der Name bereits aussagt, sind Konsumenten entlang dieser Kurve indifferent in der Konsumentscheidung. Sie erfahren aus den Güterkombinationen, die auf der Indifferenzkurve liegen einen konstant gleich großen Nutzen. Je nach Nutzenniveau liegen die Indifferenzkurven verschoben. Im Beispiel von oben sehen die Indifferenzkurven wie folgt aus:


Was in der Grafik oben zu sehen ist sind verschiedene Farbverläufe, die an verschobene konvexe Funktionen erinnern. Mathematisch erlangt man die Indifferenzkurven, in dem der Nutzen U konstant gehalten (${\bar {U}}$) und nach einer Variablen umgestellt wird. In der Nutzenfunktion von eben sieht das wie folgt aus:
${\textstyle {\bar {U}}=F^{1/3}*C^{2/3}}$ |: ${\textstyle F^{1/3}}$
${\textstyle {\frac {\bar {U}}{F^{1/3}}}=C^{2/3}}$ |$(...)^{3/2}$
${\textstyle C=({\frac {\bar {U}}{F^{1/3}}})^{3/2}}$
${\textstyle C={\frac {{\bar {U}}^{3/2}}{F^{1/2}}}}$

Je nach Nutzenniveau ergibt sich für jeden F Wert einen anderen C Wert.

Die Steigung der Indifferenzkurve bzw. Grenzrate der Substitution

Entlang einer konvexen Indifferenzkurve verändert sich die Steigung der Indifferenzkurve. Für den weiteren Verlauf soll folgende Indifferenzkurven als Beispiel dienen:


Bei einem geringen $x_{1}$ Wert ist der $x_{2}$ Wert hoch. Das dazugehörige Konsumgüterbündel befindet sich nahe der $x_{2}$ Achse. Hier ist die Funktion stark fallend (betragsmäßig sehr steil). Je größer der $x_{1}$ Wert wird, desto weniger stark fällt die Funktion. Die Steigung der Indifferenzkurve nimmt betragsmäßig also ab.
Um die Steigung interpretieren zu könne muss die Bedeutung der Indifferenzkurve herangezogen werden. Entlang der Indifferenzkurve ist der Nutzen konstant. In dem marginal zu betrachtenden Punkt ist ein Konsument bereit die Güter im Verhältnis der Steigung auszutauschen, da er so seinen Nutzen behält. Ist die Steigung beispielsweise -2, ist er bereit eine marginale Einheit von x_{1} für zwei Einheiten von x_{2} zu tauschen. Je nach Position auf der Indifferenzkurve verändert sich auch das Verhältnis, das der Konsument verlangt. Die Steigung der Indifferenzkurve entspricht dem Verhältnis, zu dem ein Konsument bereit ist, die Güter zu tauschen (Austauschverhältnis). Dies wird auch Grenzrate der Substitution (GRS), beziehungsweise Marginal Rate of Substitution (MRS) genannt.
Mathematisch kann bei der Bestimmung des Haushaltsoptimums gezeigt werden, dass die GRS dem Grenznutzenverhältnis der beiden Gütern entspricht.
$GRS_{x_{1},x_{2}}={\frac {\frac {\partial U}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial U}{\partial x_{2}}}}$

Indifferenzkurven der Güterarten

Die Indifferenzkurven der verschiedenen Güterarten unterscheiden sich je nach Präferenzen. Häufig wird zwischen den folgenden Güterarten und ihren Indifferenzkurven unterschieden:

Perfekte Substitute
Die Nutzenfunktion von Perfekten Substituten kann zum Beispiel wie folgt aussehen: ${\textstyle U(x_{1},x_{2})=ax_{1}+bx_{2}}$, wobei a und b beliebige Konstanten sind. Indifferenzkurven von Perfekten Substituten weisen als Eigenschaft auf, dass sie die Achsen berühren und einen linearen Verlauf haben.


In der Abbildung gilt $U_{3}>U_{2}>U_{1}$

Perfekte Komplemente
Die Nutzenfunktion von Perfekten Komplementen kann zum Beispiel wie folgt aussehen: ${\textstyle U(x_{1},x_{2})=Min\{ax_{1},bx_{2}\}}$, wobei a und b beliebige Konstanten sind. Grafisch sind die Indifferenzkurven in L Form, es wird auch häufig von Leontief Präferenzen gesprochen.


In der Abbildung gilt $U_{3}>U_{2}>U_{1}$

Imperfekte Subtitute
Die Nutzenfunktion von Imperfekte Substitute kann zum Beispiel wie folgt aussehen: ${\textstyle U(x_{1},x_{2})=x_{1}^{a}*x_{2}^{b}}$, wobei a und b beliebige Konstanten sind.


In der Abbildung gilt $U_{3}>U_{2}>U_{1}$

MC Fragen

Wie könnte die Nutzenfunktion von Brigitte aussehen, wenn sie immer 3 Packungen Gummibärchen (G) mit einer Packung Chips (C) konsumiert?

	$U(G,C)=3G+C$.
	$U(G,C)=Min\{G,{\frac {1}{3}}C\}$.
	$U(G,C)=G*3C$.
	$U(G,C)=Min\{{\frac {1}{3}}G,C\}$.

Angenommen Peter hat folgende Nutzenfunktion $U(x,y)=x^{2}+2y$. Welche der folgenden Konsumbündel liegt nicht auf der selben Indifferenzkurve wie die restlichen?

	(x, y)=(2, 10).
	(x, y)=(0, 12).
	(x, y)=(4.75, 0.71875).
	(x, y)=(3, 7.5).
	(x, y)=(4, 8).

Philipp hat eine Nutzenfunktion $U(x,y)=x^{0,4}*y^{\frac {3}{5}}$. Welche Präferenzen bilden sie ab und welche Eigenschaften haben die Indifferenzkurven?

	Imperfekte Substitute, das Krümmungsverhalten ändert sich aufgrund der Exponenten.
	Perfekte Komplemente, alle Eigenschaften dieser Indifferenzkurven sind erfüllt.
	Imperfekte Substitute, sie berührt die Achsen nicht.
	Perfekte Substitute, das Krümmungsverhalten ändert sich aufgrund der Exponenten.
	Perfekte Substitute, sie berühren die Achsen.

Angenommen Sigmar hat folgende Nutzenfunktion: $U(x,y(x))=x^{0,5}*e^{y(x)}$. Wie lautet seine Grenzrate der Substitution ($GRS_{x,y}$)?

	$GRS_{x,y}={\frac {x^{0,5}}{e^{y(x)}}}$.
	$GRS_{x,y}={\frac {0,5x^{-0,5}*e^{y(x)}}{x^{0,5}*e^{y(x)}}}$.
	$GRS_{x,y}=y'(x)+{\frac {1}{2x}}$.
	$GRS_{x,y}={\frac {1}{2x}}$.