Karush-Kuhn-Tucker (KKT)

Die Karush-Kuhn-Tucker Bedingungen sind ein notwendiges Optimalitätskriterium zur Bestimmung des Maximums/Minimums einer Zielfunktion mit Nebenbedingungen. Das KKT Verfahren ist ein allgemeinerer Lösungsansatz verglichen mit dem Lagrange Verfahren, da auch Randlösungen betrachtet werden.

Randlösungen

Das Lagrange Verfahren findet als Optimalitätsbedingung den Tangentialpunkt der Indifferenzkurve und der Budgetgeraden. In der Grafik unten wird das damit einhergehende Problem deutlich: Der Tangentialpunkt kann auch im negativen Bereich von einer der beiden Variablen sein. Dies liegt beispielweise an der Steigung der Budgetgeraden oder dem Verlauf der Indifferenzkurve. Im Falle der Nutzenmaximierung würde dies den Konsum einer negativen Menge bedeuten, was äußerst unrealistisch ist. Im grafischen Beispiel wäre das Ergebnis des Lagrange Verfahrens, dass der Konsument eine negative Menge von $x_{1}$ konsumieren sollte. Da dies nicht möglich ist, wäre es nutzenmaximal einen möglichen Punkt ($x_{1}\geq 0$ und $x_{2}\geq 0$) zu konsumieren, der auf einer möglichst hohen Indifferenzkurve liegt. In dem grafischen Fall liegt der Punkt aufgrund der Annahmen über die Präferenzen auf der Budgetgeraden. Die höchste Indifferenzkurve die erreicht wird führt zu einem Konsumniveau von $x_{1}=0$ (zweite Abbildung). Dies ist eine Randlösung. Das KKT Verfahren findet den Punkt sofort, ohne dass die Lösung vom Lagrange Verfahren händisch korrigiert werden muss.

Nebenbedingungen

Das KKT Verfahren betrachtet mehrere Nebenbedingungen, um eine Lösung für das Maximierungsproblem zu finden. Diese sind häufig die Budgetbedingung und die Nichtnegativitätsbedingung:

$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq E$ $\Leftrightarrow$ $E-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}\geq 0$ 

$x_{1}\geq 0$ 

$x_{2}\geq 0$ 

Die Nebenbedingungen werden jeweils mit einem Lagrangemultiplikator zu der Zielfunktion addiert:

${\mathcal {L}}=U(x_{1},x_{2})+\lambda _{1}(E-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2})+\lambda _{2}x_{1}+\lambda _{3}x_{2}$

Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen

Das KKT Verfahren nutzt mehrere Bedingungen, um die Lösung für das Problem zu finden:

FOC für alle zu maximierenden Variablen: 

$(i)\quad {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{1}}}{\stackrel {!}{=}}0$ 

$(ii)\quad {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{2}}}{\stackrel {!}{=}}0$ 

Die Ungleichungen selbst mit der Nichtnegativitätsbedingung der Lagrangemultiplikatoren: 

$(iii)\quad E-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}\geq 0$;  $\lambda _{1}\geq 0$ 

$(iv)\quad x_{1}\geq 0$; $\lambda _{2}\geq 0$

$(v)\quad x_{2}\geq 0$; $\lambda _{3}\geq 0$

Die Komplementaritätsbedingungen 

$(vi)\quad \lambda _{1}(E-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2})=0$ 

$(vii)\quad \lambda _{2}x_{1}=0$ 

$(viii)\quad \lambda _{3}x_{2}=0$ 

Die Lagrangemultiplikatoren können entweder null oder größer als null sein. Durch die Komplementaritätsbedingungen wird deutlich, dass die Nebenbedingung größer gleich null ist, wenn der Lagrangemultiplikator null ist und gleich null, wenn der Multiplikator größer als null ist. Ist die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt, ist sie "bindend" und wenn sie mit strikter Ungleichheit erfüllt ist, ist sie "nicht-bindend". In dem grafischen Beispiel von oben ist die Nebenbedingung $x_{1}$ mit Gleichheit erfüllt und der Multiplikator $\lambda _{2}$ wäre größer als null. Nur wenn der Tangentialpunkt auch gleichzeitig die Randlösung ist, ist sowohl der Lagrangemultiplikator, als auch die Nebenbedingung mit Gleichheit null. In allen anderen Fällen ist der Multiplikator beispielweise größer null und die Nebenbedingung gleich null. Dies gilt natürlich auch andersherum. Ist die Nebenbedingung größer als null, ist der Multiplikator gleich null.
Als Beispiel soll $(vii)\quad \lambda _{2}x_{1}=0$ gelten. Wenn $x_{1}>0$ sein soll, ist der Multiplikator $\lambda _{2}$ auf jeden Fall gleich null. Das gleiche gilt auch für die Gleichung $(viii)$. Soll das Problem auf eine innere Lösung untersucht werden, so muss in dem vorliegenden Fall $\lambda _{2}=0$ und $\lambda _{3}=0$ gelten.
$\lambda _{2}$ und $\lambda _{3}$ können nur beide gleichzeitig größer als 0 sein, wenn von $x_{1}$ und $x_{2}$ jeweils nichts konsumiert werden soll.
Um die jeweiligen Randlösungen zu untersuchen müssen die Multiplikatoren $\lambda _{2}$ und $\lambda _{3}$ jweils getrennt voneinenader gleich null gesetzt werden. Es gilt zu beachten, dass diese Logik so nur für das grafische Beispiel gilt. Es gibt durchaus auch andere Beispiele, bei denen Möglichkeiten nicht von vornherein ausgeschlossen werden können. Dies kann zum Beispiel an der Zielfunktion liegen.

Zur Lösung des Problems werden die KKT Bedingungen herangezogen und die verschiedenen Fälle werden untersucht. Jeder der Lagrangemultiplikatoren kann entweder gleich null oder größer als null sein. Bei drei Lagrangemultiplikatoren würde das $2^{3}$ Fälle bedeuten.

Beispiel

Es soll die Funktion $U(x_{1},x_{2})=x^{2}+xy+4y$ auf Maxima untersucht werden. Hierbei sollen $x+y\leq 2$, $x\geq 0$ und $y\geq 0$ erfüllt sein. Es ergibt sich folgende Funktion:
${\mathcal {L}}=x^{2}+xy+4y+\lambda _{1}(2-x-y)+\lambda _{2}x+\lambda _{3}y$
Aufgrund der Übersichtlickeit kann das Beispiel hier [1] als pdf Dokument eingesehen werden.

MC Fragen

Für die folgenden Aufgaben sei immer folgende Lagrangefunktion gegeben:
${\mathcal {L}}=x+ln(y)+\lambda (E-x-y)+\alpha x+\beta y$

Was muss gelten, damit die Lösung des Maximierungsproblems eine Randlösung ist?

	a) Die Steigung der Budgetgeraden muss strikt kleiner als die GRS für $x,y\geq 0$ sein.
	b) Die Steigung der Budgetgeraden muss strikt größer als die GRS für $x,y\geq 0$ sein.
	c) Die Steigung der Budgetgeraden muss gleich die der GRS für $x,y\geq 0$ sein.
	d) Antwortmöglichkeiten a) und b) sind beide korrekt
	e) Antwortmöglichkeiten a) und c) sind korrekt
	f) Alle Antwortmöglichkeiten sind korrekt

Welche Werte muss $\beta$ annehmen, damit alle KKT Bedingungen erfüllt sind?

	$\beta$ kann alle Werte annehmen
	$\beta =0$
	$\beta >0$
	$\beta <0$

Welcher der folgenden Bedingungen sorgt dafür, dass die Lösung eine innere Lösung ist?

	$\lambda (E-x-y)=0$
	Es gibt keine Innere Lösung
	$\alpha x=0$
	$\beta y=0$