Erwartungswert und Varianz

Statistische Maßzahlen wie der Erwartungswert und die Varianz haben auch in der Mikroökonomie eine nicht unwichtige Bedeutung. Sie spielen zum Beispiel bei Entscheidungen unter Risiko eine Rolle.

Erwartungswert (Durchschnitt/Mittelwert)

Der Erwartungswert ist eine Maßzahl und beschreibt welche Beobachtung im Durchschnitt auftritt. Hierbei ist von wesentlicher Bedeutung, wie viele Beobachtungen möglich sind und wie wahrscheinlich sie sind. Wird Beispielsweise eine Münze geworfen, so lässt sich entweder Kopf oder Zahl beobachten. Der Münzwurf hat somit zwei Ausprägungen. Die Wahrscheinlichkeit für "Kopf" ist genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit für "Zahl" und beträgt jeweils 0,5. Bei einem Würfel gibt es in der Regel 6 Seiten, die von 1 bis 6 durchnummeriert sind. Es lassen sich also bis zu 6 verschiedene Fälle beobachten, wenn ein Würfel geworfen wird.
Der Erwartungswert betrachtet in allen Fällen, welche der n Ausprägungen im Durchschnitt auftritt. Bei einer Münze beträgt $n=2$. Wird die Münze einmal geworfen, so fällt mit Wahrscheinlichkeit 0,5 "Kopf" ($0$) und mit Wahrscheinlichkeit 0,5 "Zahl" ($1$). In 50 % der Fällen fällt $0$ und in 50 % der Fällen $1$. Im Durschnitt fällt demnach $0,5\cdot 0+0,5\cdot 1=0,5$.
Auf einen allgemeinen Fall lässt sich folgende Formel anwenden:

$E[X]=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\cdot p_{i}$ 

Die Ausprägung $x_{1}$ tritt mit Wahrscheinlichkeit $p_{1}$ auf, $x_{2}$ mit $p_{2}$ usw.

Varianz

Die Varianz (auch "Mittlere quadratische Streuung") ist eine Maßzahl die angibt, wie häufig, wie sehr Beobachtungen um den Mittelwert streuen. Um zu erklären was damit gemeint ist sollen die folgenden Grafiken als Beispiel dienen. Sowohl im roten, als auch im grünen Fall werden 150 Ausprägungen beobachtet. In beiden ist der Mittelwert die 4, was sich daran erkennen lässt, das der Balken bei 4 in beiden Balkendiagrammen am höchsten ist und die Werte alle nahe an der 4 liegen. Dies lässt sich jedoch auch an den Grafiken mit den Punkten erkenne: Die 4 scheint am nächsten an allen Punkten dran zu sein. Dennoch ist auch erkennbar, dass die Punkte im grünen Fall deutlich näher an der 4 liegen, als im roten Fall, bei dem die Punkte deutlich gestreuter erscheinen. Eben diese Streuung lässt sich in der Varianz berechnen. Hierfür wird über die Differenz zwischen dem Mittelwert und der einzelnen Ausprägung aufsummiert, nachdem sie quadriert wurde. Um die Varianz als Maßzahl besser mit anderen Varianzen zu vergleichen, werden die Summen durch die Anzahl der Beobachtungen geteilt.

$d^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$, wobei ${\bar {x}}$ der Mittelwert ist

In dem grafischen Beispiel wird ersichtlich, dass die Werte alle nahe an der vier liegen und die vier auch am wahrscheinlichsten ist. Es kann aber auch unter anderem Fälle geben, bei denen alle Ausprägungen gleich wahrscheinlich sind, bei einer Verteilung jedoch weitaus extremere Beobachtungen auftreten. Auch hier kann der Erwartungswert in beiden Verteilungen identisch und die Varianz unterschiedlich sein.
Angenommen die Dichtefunktionen sind die Wahrscheinlichkeiten von jeweils einer Lotterie. Wenn ein Konsument dazu aufgefordert wird für beide Lotterien eine Zahl zu nennen und abhängig von dem Ergebnis erhält er eine Auszahlung, dann sollte er in beiden Fällen die 4 auswählen. Wird er zusätzlich aufgefordert zwischen einer der beiden Lotterien zu wählen, dann sollte er die grüne Lotterie wählen, da dort die 4 wahrscheinlicher, bzw. die Varianz kleiner ist.

MC Fragen

Wenn zwei Lotterien einen identischen Erwartungswert haben, sind die beiden Lotterien auch gleich risikoreich.

	Wahr
	Falsch

Werden zu einer Auswertung immer mehr Beobachtungen hinzugefügt, so steigt der Erwartungswert immer an.

	Wahr
	Falsch

Ein Spieler wirft zwei Würfel, wie lautet die Wahrscheinlicheit, dass die Summe aus beiden Augenziffern 2 beträgt?

	${\frac {2}{36}}$
	${\frac {2}{6}}$
	${\frac {1}{6}}$
	${\frac {1}{36}}$