Monotone Transformation

Definition

Die monotone Transformation ist eine mathematische Operation, durch die Präferenzen einer Nutzenfunktion nicht verändert werden. Die monotone Transformation unterliegt der Annahme der Ordinalen Nutzentheorie.

Monotone Transormationen

Die Nutzenfunktionen der Ordinalen Nutzentheorie bringen Güterkombinationen in einer Rangfolge. Jede mathematische Opertaion, die ausgehend der Nutzenfunktion, die Präferenzen nicht verändert, ist eine monotone Transformation.
Beispiel: In der Marktforschung werden Konsumentinnen und Konsumenten gefragt, wie ihnen verschiedene Tiefkühlpizzen schmecken. Hierbei sollen sie die Pizza auf einer Skala bewerten. Welche Pizza einer jeweiligen Person eine bessere Bewertung bekommt, muss losgelöst davon sein, ob die Skala bis 5 oder bis 10 geht.


Die Grafik oben stellt eine monotone Transformation im univariaten Fall dar. Entscheidend ist, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 } bei beiden Nutzenfunktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U(x) } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{U}(x) } gegenüber $x_{1}$ ein höheres Nutzenniveau bringt und daher bevorzugt wird.

Operationen

Die Monotone Transformation bezieht sich auch auf die gesamte Nutzenfunktion. Ist der Nutzen beispielsweise abhängig von zwei Variablen, müssen die mathematischen Operationen auf die gesamte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U(x_1,x_2) } Funktion angwendet werden.
Beispiel: lautet die Nutzenfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U(x_1,x_2)=x_1+x_2 } , spiegelt eine Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde{U}(x_1,x_2)=2x_1+x_2 } nicht dieselben Präferenzen wider. Die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{U}(x_1,x_2)=2x_1+2x_2 } verändert die Präfernzen hingegen nicht und wäre somit eine monotone Transformation.

Addition und Subtraktion: Von einer Nutzenfunktion kann eine Zahl abgezogen oder zu ihr addiert werden, ohne die Präferenzen zu verändern. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{U}(x_1,x_2)=U(x_1,x_2)+/-b } mit b als reele Zahl.
Multiplikation und Division: