Lagrange

Das Langrangeverfahren ist eine Möglichkeit Funktionen mit einer Nebenbedingung zu maximieren oder zu minimieren. In diesem Verfahren wird davon ausgegangen, dass die Nebenbedingung mit Gleichheit erfüllt werden muss.

Das Problem

In der Gesellschaft treten häufig Fragestellungen auf, wie ein Haushalt den Konsum so wählt, dass der Nutzen möglichst groß ist. Es ist ebenfalls eine Fragestellung möglich, in der der Kostenminimale Produktionspunkt eines Unternehmens gesucht ist. Im Weiteren soll an vielen Stellen speziell auf das Maximierungsproblem eingegangen werden.
Im Falle der Nutzenmaxinierung soll der Nutzen möglichst groß sein. In einem Beispiel hat ein Haushalt die Möglichkeit Güter $x_{1}$ und $x_{2}$ zu konsumieren. Der Haushalt muss dementsprechend sein Nutzen in Bezug auf den Konsum von $x_{1}$ und $x_{2}$ maximieren: $\max \limits _{x_{1},x_{2}}U(x_{1},x_{2})$
Unter der Annahme der Monotonie ("Mehr ist besser"), maximiert der Haushalt seinen Nutzen, indem er möglichst viel von $x_{1}$ und $x_{2}$ konsumiert. Kann ein Haushalt sehr viel, wenn nicht sogar unendlich viel, von beiden Gütern konsumiert und Monotonie ist nicht verletzt, ist die Maximierungsaufgabe schon gelöst. In den meisten Fällen ist dies jedoch nicht möglich. Zum einen existieren nicht unendlich viele Einheiten der Güter (dies spielt gerade in der Edgeworth-Box eine große Rolle) und zum anderen hat ein Haushalt auch nicht unendlich viel Geld zur Verfügung, um sich unendlich viele Güter zu konsumieren. Im Normalfall unterliegen Haushalte dementsprechend einer Budgetrestriktion. Die Budgetrestriktion ist in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_1x_1+p_2x_2=E } beschrieben, wobei E das Budget darstellt. Die eigentliche Maximierungsaufgabe besteht dementsprechend darin den Nutzen zu maximieren und das Budget einzuhalten. (u.d.NB.=unter der Nebenbedingung)

$\max \limits _{x_{1},x_{2}}U(x_{1},x_{2})$ u.d.NB Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle  p_1x_1+p_2x_2=E }

Langrangefunktion

Die Lagrangefunktion wird aufgestellt, indem von der Nutzenfunktion ein zweiter Term abgezogen wird. Der zweite Term besteht aus der Budgetrestriktion, die nach null umgestellt und mit einer Variablen (dem Langrange Multiplikator) multipliziert wird. Die Langrangefunktion ist damit abhängig von $x_{1}$, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda } :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle  \mathcal{L}(x_1,x_2, \lambda)=U(x_1,x_2)-\lambda(p_1x_1+p_2x_2-E) }
 

Für das Ergebnis vom optimalen $x_{1}$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 } ist es irrelevant, ob vor dem Komma ein + oder ein - steht. Es ist ebenfalls irrelevant, ob in der Nebenbedingung der linke oder der rechte Teil auf die andere Seite gebracht wird. Für die Bedeutung von Lambda hat dies jedoch durchaus Relevanz. Um allein das optimale Konsumniveau von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 } auszurechnen, muss formal auf die genannten Dinge keine Rücksicht genommen werden. Um $\lambda$ zu deuten, gilt es jedoch die obige Notation beizubehalten.

FOC

Die Langrangefunktion beschreibt das Maximierungsproblem in einer Art, die aufgrund des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda } nur schwer grafisch vorstellbar ist. Die Vorgehensweise ist im ersten Schritt jedoch ähnlich zu einem simplen univariaten Maximierungsproblem. Es muss die Funktion nach den Variablen abgeleitet werden, für die der Nutzen maximiert werden soll. Die erste Ableitung muss gleich null sein (FOC=First order condition). Zudem muss weitergehend beachtet werden, dass die Budgetrestriktion eingehalten werden muss. Die FOCs und die nebenbedingung stellen ein Gleichungssystem dar, das es zu lösen gilt.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle  \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_1}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}-\lambda p_1 \stackrel{!}{=}0 }
 

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle  \frac{\part \mathcal{L}}{\part x_2}=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}-\lambda p_2 \stackrel{!}{=}0 }
 

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle  p_1x_1+p_2x_2-E \stackrel{!}{=}0 }

Lösung des Maximierungs-/Minimierungsproblems

Die First order Conditions stellen ein Gleichungsystem dar. Es existieren drei unbekannte (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1} , $x_{2}$ und $\lambda$) und drei Gleichungen. Zum Lösen des Systems gibt es verschiedene Wege. Eine der ersten beiden Gleichungen kann nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda } umgestellt und in die andere der oberen beiden Gleichungen substituiert werden. Es ist auch möglich die oberen beiden Gleichungen beide nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda } umzustellen und anschließend gleichzusetzen. Es kann auch direkt die erste durch die zweite Gleichung dividiert werden.
Als Beispiel sollen die ersten beiden Gleichungen nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda } ugestellt werden. Es ergibt sich:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}:p_1 }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda=\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}:p_2 }
Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda=\lambda } ergibt sich:
${\frac {U(x_{1},x_{2})}{\partial x_{1}}}:p_{1}={\frac {U(x_{1},x_{2})}{\partial x_{2}}}:p_{2}$ oder weiter umgestellt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle  \frac{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_1}}{\frac{U(x_1,x_2)}{\part x_2}}=\frac{p_1}{p_2} }
 

Die linke Seite des Ausdrucks entspricht der GRS. Dieser Ausdruck kann wiederum nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 } oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 } umgestellt werden, welche beide im Grenznutzen stecken. Es ergibt sich beispielweise ein Ausdruck, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1=... } , der abhängig von der anderen variable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 } ist (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1(x_2)=...} ). Dies lässt sich in die Budgetrestriktion einsetzen, die vorher $x_{1}$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 } beinhaltete. Nach der Substitution ist in der Budgetrestriktion nur noch eine Unbekannte $x_{2}$, nach die umgestellt werden kann. Es ergibt sich beispielweise mit der Nutzenfunktion $U(x_{1},x_{2})=x_{1}x_{2}$ folgende Gleichung:
${\frac {x_{2}}{x_{1}}}={\frac {p_{1}}{p_{2}}}$ umgestellt nach $x_{2}$ ergibt sich $x_{2}={\frac {p_{1}}{p_{2}}}x_{1}$.
Dieser Ausdruck kann in die Budgetrestriktion für $x_{2}$ eingesetzt werden:
$p_{1}x_{1}+p_{2}({\frac {p_{1}}{p_{2}}}x_{1})=E$
Nun kann für eine Lösung nach $x_{1}^{*}$ umgestellt werden. Das Ergebnis eingesetzt in $x_{2}={\frac {p_{1}}{p_{2}}}x_{1}$ ergibt das optimale Konsumniveau von $x_{2}^{*}$.

Die Bedeutung von Lambda

Die Langrangefunktion