Edgeworth-Box

Definition

Die Edgeworth-Box ist die grafische Darstellung einer geschlossenen Volkswirtschaft mit zwei Haushalten und zwei unterschiedlichen Gütern. Die Güter sind in ihrer Anzahl begrenzt.

Die Box

Die Box der Edgeworth-Box ist die grafische Darstellung, wie zwei begrenzte Güter zwischen zwei Haushalten aufgeteilt werden können. Die Menge des Haushaltes A ist hierbei abhängig wie viel der Haushalt B von diesem Gut konsumiert. Angenommen von einem Gut $x_{1}$ existieren 10 Einheiten. Wenn Haushalt B von den 10 Haushalten 7 konsumiert, kann Haushalt A nur noch 3 Einheiten kosnumieren.
$x_{1}^{A}=x_{1}^{max}-x_{1}^{B}=10-7$
Beziehungsweise $x_{1}^{max}=x_{1}^{A}+x_{1}^{B}$
Dasselbe gilt für das andere Gut $x_{2}$. Die beschriebenen Relationen der Konsummenge kann in einem Viereck dargstellt werden.

Die horizontale Gerade beschreibt die Menge von $x_{1}$. Je weiter rechts der Konsumpunkt liegt, desto mehr konsumiert A von diesem Gut und desto weniger B. Die vertikale Gerade beschreibt die Aufteilung des Gutes $x_{2}$. Je weiter oben der Konsumpunkt liegt, desto mehr konsumiert A von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 } und desto weniger B.

Präferenzen in der Edgeworth-Box

Haushalte weisen in ihrem Konsumverhalten Präferenzen auf. Die grafische Darstellung der Präferenzen erfolgt über Indifferenzkurven entlang derer das Nutzenniveau konstant ist.

Im Weiteren sollen nicht nur die Präferenzen eines Haushalts, sondern auch die Präfernzen eines zweiten Haushalts betrachtet werden. Um die Präferenzen in der Edgeworthbox darzustellen, wird das Kordinatensystems eines Haushalts um 180 Grad gedreht.

Werden die Koordinatensysteme des Haushalts A und des Haushalts B mit den jweiligen Präferenzne übereinandergelegt, entsteht die Edgeworth-Box. Anhand dieser wird deutlich, in welchen Punkten es effizint ist zu konsumieren. In der Edgeworth-Box gibt es unendlich viele Indifferenzkurven, von denen einige unte eingezeichnet sind. Einige Indifferenzkurven des Haushalts A tangieren jeweils eine Indifferenzkurve des Haushalts B.

Effiziente Allokation mit Anfangsausstattung

Die Edgeworthbox zeigt, dass es nutzenmaximierend und damit effizient ist, in einer geschlossenen Volkswirtschaft zu handeln, beziehungsweise zu tauschen. Um zu verstehen warum das so ist soll ein Szenario dienen, in dem beide Haushalte von Grund aus eine Anfangsausstattug haben, wie sie in dem Punkt A dargestellt ist. Haushalt A konsumiert zu einem Nutzenniveau, dass durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_A{3} } dargestellt werden kann und Haushalbt B zu einem Niveau von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_B^{2} } . Es gibt viele Möglichkeiten, um die effizienz zu steigern. Für den Anfang soll das Nutzenniveau von Haushalt A konstant gehalten werden. Sollte es zu einem Handel kommen, möchte der Haushalt A nach dem Handel nicht schlechter darstehen, als vor dem Handel. Solange sein altes Nutzenniveau erreicht wird, stimmt es jedem Tauschgeschäft zu. Bei einem Handel, der zum Punkt B führt, gibt Haushalt A von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 } ab und erhält dafür mehr von $x_{2}$. Haushalt A befindet sich durch den Handel weiterhin auf $U_{A}{3}$. Der Haushalt B befindet sich nun jedoch auf $U_{B}{3}$ und damit auf einem höheren Nutzenniveau. Durch den Handel ist es gelungen eine Partei besser zu stellen, ohne die andere schlechter zu stellen. Ausgehend von dem Ausstattungspunkt B existieren jedoch viele pareto effiziente Konsumpunkte, die durch einen Tausch erreicht werden können. Diese liegen alle zwischen $U_{A}^{3}$ und $U_{B}^{2}$.

Kontraktkurve

Die Kontraktkurve ist die Verbindungslinie aller Tangentialpunkte der Indifferenzkurven. Alle Punkte, die auf der Kontraktkurve liegen sind pareto effizient. Gegeben unterschiedlicher Anfangsausstattungen werden Tauschgeschäfte im Modell immer in einen Punkt auf der Kontraktkurve resultieren.

Marktgleichgewicht

Bisher ergab sich eine unendliche Menge von Gleichgewichtenszuständen entlang der Kontraktkurve. Nun stellt sich die Frage, welcher davon tatsächlich realisiert wird. Wird von einem speziellen Tauschprozess, dem Konkurrenzmarktgleichgewicht ausgegangen, entspricht dies genau einem ganz bestimmten Gleichgewicht und somit einem einzigen Punkt auf der Kontraktkurve in der Edgeworth-Box. Grafisch ist das Marktgleichgewicht ausgehend von dem Ausstatungspunkt E (Für A: ${\tilde {x_{1}}}^{A}$ und ${\tilde {x_{2}}}^{A}$) im Punkt B erkennbar. In diesem Punkt tangiert die Indifferenzkurve des Haushalts A die Indifferenzkurve des Haushalts B. Außerdem tangieren die beiden Indifferenzkurven eine Gerade, die durch das Preisverhältnis gekennzeichnet ist.
Der Punkt E lässt sich auch rechnerisch ermitteln. Hierfür dient das Lagrangeverfahren. Ziel ist den Nutzen zu maximieren unter der Nebenbedingung, dass der Haushalt durch den Ausstattungspunkt im Budget limitiert ist.
Die Budgetrestriktion: Die Budgetrestriktion gestaltet sich in den Ausgaben, wie bereits bekannt. Die Preise werden mit den Mengen multipliziert. Das Budget gestaltet sich anders. Faktisch hat der Haushalt keinen Geldbetrag zur Verfügung, den er ausgeben kann. Stattdessen hat er sein Ausstattungspunkt, das er eintauschen kann. Dies kann er zu den Preisen $p_{1}$ und $p_{2}$.
$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq p_{1}{\tilde {x_{1}}}^{A}+p_{2}{\tilde {x_{2}}}^{A}$
Die Langrange Funktion lautet nun
${\mathcal {L}}_{A}(x_{1},x_{2},\lambda )=U_{A}(x_{1},x_{2})+\lambda (p_{1}{\tilde {x_{1}}}^{A}+p_{2}-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2})$ Das Maximieren ergibt
${\frac {\frac {\partial U_{A}}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial U_{A}}{\partial x_{2}}}}=GRS^{A}={\frac {p_{1}}{p_{2}}}$
Das gleiche für Haushalt B ergibt
${\frac {\frac {\partial U_{B}}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial U_{B}}{\partial x_{2}}}}=GRS^{B}={\frac {p_{1}}{p_{2}}}$
Es muss also gelten
$GRS^{A}={\frac {p_{1}}{p_{2}}}=GRS^{B}$