Mathematische Eigenschaften von Funktionen

Definition

Eine Funktion ordnet einer unabhängigen Variable eines Definitionsbereichs ( $D$ ) genau einen Wert (abhängige Variable) der Zielmenge ( $Z$ ) zu.
$D\to Z$ , $x\to y$

Funktionen

Funktionen können univariat oder auch multivriat sein. Der Unterschied besteht darin, wie viele unabhängige Variablen Teil der Funktionsgleichung sind.

Univariate Funktionen
Am bekanntesten sind sicherlich univariate Funktionen mit nur einer unabhängigen Variable. Eine unabhängige Variable wird so genannt, da sie von keineren weiteren Variablen abhängig ist.
Beispiel: In der Funktion $y(x)=15-2x^{2}$ ist $x$ von nichts abhängig. Für $x$ können alle Werte eingesetzt werden, sollte kein anderer Definitionsbereich festgelegt sein. y ist hingegen abhängig von x. Jenachdem welcher x Wert eingesetzt wird, ändert sich der Wert von y.
Eine Funktionsgleichung kann als eine Art Anleitung gelesen werden. Lautet die Funktion beispielsweise $y(x)=x^{2}+10$ , wäre die Anleitung "Um den zum x zugehörigen y Wert zu erhalten, nehme den entsprechenden x-Wert, quadriere ihn und addiere 10 dazu". Ist x beispielsweise 2, ist y 14. Wird dies mit mehreren x Werten berechnet und die entsprechenden Werte in ein x-y-Diagramm eingezeichnet, entsteht ein Graph, der die Funktionsgleichung abbildet.

In dem Beispiel oben ist dies mit der Funktion $f(x)={\frac {1}{16}}x^{2}$ geschehen. Jedem x-Wert kann ein y-Wert zugeordnet werden.

Multivariate Funktionen
Multivariate Funktionen haben viele unabhängige Variablen. $f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n})$ ist eine Multivariate Funktion mit $n$ unabhängigen Variablen. Die Vorgehensweise ist identisch zu univariaten Funktionen. Zur grafischen Darstellung soll eine Bivriate Funktion ausreichen. In diesem Fall lautet die Funktion $U(C,F)=F^{\frac {2}{3}}C^{\frac {1}{3}}$ . Für einen bestimmten Wert von C und von F kommt ein Wert für U aus. Ist C beispielsweise 1 und F 0,5, beträgt der Wert von U gerundet 0,63. Wird dies für alle Werte für C und F gemacht, ergibt sich eine grafische Abbildung der Funktion.

Im Kontext der Veranstaltung Mikroökonomie sind sowohl univariate, als auch multivariate Funktionen relevant.