Edgeworth-Box

Definition

Die Edgeworth-Box ist die grafische Darstellung einer geschlossenen Tauschökonomie mit den Präferenzen zweier Haushalte und zwei unterschiedlichen Gütern. Die Güter sind in ihrer Anzahl begrenzt.

Die (Edgeworth-)Box

Die Box der Edgeworth-Box ist die grafische Darstellung, wie zwei begrenzte Güter zwischen zwei Haushalten aufgeteilt werden können. Beide Haushalte besitzen eine Anfangsausstattung der beiden Güter und diese können sie miteinander tauschen. Die konsumierte Menge des Haushaltes A ist hierbei abhängig von der konsumierten Menge von Haushalt B desselben Gutes. Angenommen von einem Gut $x_{1}$ existieren 10 Einheiten. Wenn Haushalt B von den 10 Haushalten 7 konsumiert, konsumiert Haushalt A 3 Einheiten .
$x_{1}^{A}=x_{1}^{max}-x_{1}^{B}=10-7$
Beziehungsweise $x_{1}^{max}=x_{1}^{A}+x_{1}^{B}$
Dasselbe gilt für das andere Gut $x_{2}$. Die beschriebenen Relationen der Konsummenge kann in einem Viereck dargstellt werden.

Die horizontale Gerade beschreibt die Menge von $x_{1}$. Je weiter rechts der Konsumpunkt liegt, desto mehr konsumiert A von diesem Gut und desto weniger B. Die vertikale Gerade beschreibt die Aufteilung des Gutes $x_{2}$. Je weiter oben der Konsumpunkt liegt, desto mehr konsumiert A von $x_{2}$ und desto weniger B.

Präferenzen in der Edgeworth-Box

Haushalte weisen in ihrem Konsumverhalten Präferenzen auf. Die grafische Darstellung der Präferenzen erfolgt über Indifferenzkurven entlang derer das Nutzenniveau konstant ist.

Im Weiteren sollen nicht nur die Präferenzen eines Haushalts, sondern auch die Präferenzen eines zweiten Haushalts betrachtet werden. Um die Präferenzen in der Edgeworthbox darzustellen, wird das Koordinatensystems eines Haushalts um 180 Grad gedreht.

Werden die Koordinatensysteme des Haushalts A und des Haushalts B mit den jeweiligen Präferenzen übereinandergelegt, entsteht die Edgeworth-Box. Anhand dieser wird deutlich, in welchen Punkten es effizient ist zu konsumieren. In der Edgeworth-Box gibt es unendlich viele Indifferenzkurven, von denen einige unten eingezeichnet sind. Einige Indifferenzkurven des Haushalts A tangieren jeweils eine Indifferenzkurve des Haushalts B. Diese tangential Punkte beschreiben effiziente Allokationen.

Effiziente Allokation mit Anfangsausstattung

Die Edgeworthbox zeigt, dass es nutzenmaximierend und damit effizient ist, in einer geschlossenen Volkswirtschaft zu handeln, beziehungsweise zu tauschen. Um zu verstehen warum das so ist soll ein Szenario dienen, in dem beide Haushalte von Grund aus eine Anfangsausstattug haben, wie sie in dem Punkt A dargestellt ist. Haushalt A's Anfangsausstattung würde zu einem Nutzenniveau von $U_{A}{3}$ führen und Haushalbt B zu einem Niveau von $U_{B}^{2}$. Es gibt viele Möglichkeiten, um die Effizienz zu steigern. Für den Anfang soll das Nutzenniveau von Haushalt A konstant gehalten werden. Sollte es zu einem Handel kommen, möchte der Haushalt A nach dem Handel nicht schlechter gestellt sein, als vor dem Handel. Solange sein altes Nutzenniveau erreicht wird, stimmt es jedem Tauschgeschäft zu. Bei einem Handel, der zum Punkt B führt, gibt Haushalt A von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 } ab und erhält dafür mehr von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 } . Haushalt A befindet sich durch den Handel weiterhin auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_A{3} } . Der Haushalt B befindet sich nun jedoch auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_B{3} } und damit auf einem höheren Nutzenniveau. Durch den Handel ist es gelungen eine Partei besser zu stellen, ohne die andere schlechter zu stellen. Ausgehend von dem Ausstattungspunkt A existieren jedoch viele pareto effiziente Konsumpunkte, die durch einen Tausch erreicht werden können. Diese liegen alle zwischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_A^{3} } und $U_{B}^{2}$.
Die effiziente Allokation innerhalb der Edgeworthbox zeigt, dass der Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik gilt.

Kontraktkurve

Die Kontraktkurve ist die Verbindungslinie aller Tangentialpunkte der Indifferenzkurven. Alle Punkte, die auf der Kontraktkurve liegen sind pareto effizient. Gegeben unterschiedlicher Anfangsausstattungen werden Tauschgeschäfte im Modell immer in einen Punkt auf der Kontraktkurve resultieren.

Marktgleichgewicht

Bisher ergab sich eine unendliche Menge von Gleichgewichtszuständen entlang der Kontraktkurve. Nun stellt sich die Frage, welcher davon tatsächlich realisiert wird. Wird von einem speziellen Tauschprozess, dem Konkurrenzmarktgleichgewicht ausgegangen, entspricht dies genau einem ganz bestimmten Gleichgewicht und somit einem einzigen Punkt auf der Kontraktkurve in der Edgeworth-Box. Grafisch ist das Marktgleichgewicht ausgehend von dem Ausstattungspunkt E (Für A: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde{x_1}^{A} } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde{x_2}^{A} } ) im Punkt B erkennbar. In diesem Punkt tangiert die Indifferenzkurve des Haushalts A die Indifferenzkurve des Haushalts B. Außerdem tangieren die beiden Indifferenzkurven eine Gerade, die durch das Preisverhältnis gekennzeichnet ist.
Der Punkt E lässt sich auch rechnerisch ermitteln. Hierfür dient das Lagrangeverfahren. Ziel ist den Nutzen zu maximieren unter der Nebenbedingung, dass der Haushalt durch den Ausstattungspunkt im Budget limitiert ist.
Die Budgetrestriktion: Die Budgetrestriktion gestaltet sich in den Ausgaben, wie bereits bekannt. Die Preise werden mit den Mengen multipliziert. Das Budget gestaltet sich anders. Faktisch hat der Haushalt keinen Geldbetrag zur Verfügung, den er ausgeben kann. Stattdessen hat er seine Anfangsausstattung, das er eintauschen kann. Dies kann er zu den Preisen $p_{1}$ und $p_{2}$.
$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq p_{1}{\tilde {x_{1}}}^{A}+p_{2}{\tilde {x_{2}}}^{A}$
Die Langrange Funktion lautet nun
${\mathcal {L}}_{A}(x_{1},x_{2},\lambda )=U_{A}(x_{1},x_{2})+\lambda (p_{1}{\tilde {x_{1}}}^{A}+p_{2}-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2})$ Das Maximieren ergibt
${\frac {\frac {\partial U_{A}}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial U_{A}}{\partial x_{2}}}}=GRS^{A}={\frac {p_{1}}{p_{2}}}$
Das gleiche für Haushalt B ergibt
${\frac {\frac {\partial U_{B}}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial U_{B}}{\partial x_{2}}}}=GRS^{B}={\frac {p_{1}}{p_{2}}}$
Es muss also gelten
$GRS^{A}={\frac {p_{1}}{p_{2}}}=GRS^{B}$

MC Fragen

Die ersten beiden Fragen beziehen sich auf folgende Edgeworthbox:

Bei Punkt B wissen wir, dass es eine Möglichkeit gibt, die Ressourcenverteilung durch Austausch zu verbessern, denn...

	...Person B ist bereit, für etwas mehr Weißwein auf eine Menge Rotwein zu verzichten, während Person A für etwas mehr Rotwein eine Menge Weißwein aufgeben würde.
	...Person A hat mehr Weißwein als Person B.
	...die derzeitige Allokation ist unfair.
	...Person B ist bereit, für etwas mehr Rotwein auf eine Menge Weißwein zu verzichten, während Person A für etwas mehr Weißwein eine Menge Rotwein aufgeben würde.

Ein Sprung von Punkt B zu Punkt A...

	...würde von Person B befürwortet werden und von Person A nicht.
	...würde von beiden Personen abgelehnt werden, da beide etwas aufgeben müssten.
	...würde von Person A befürwortet werden und von Person B nicht.
	...wäre pareto effizient, da die Allokation auf der Kontraktkurve liegt.

Welche Aussage trifft auf die oben abgebildete Edgeworthbox zu?

	Die Preis sind richtig, aber die Konsumenten haben noch nicht vorteilhaft gehandelt.
	Die Indifferenzkurven sind ungenau gezeichnet, so dass eine pareto-optimale Marktposition nicht darstellbar ist.
	Der Preis von $x_{2}$ ist relativ zum Preis von $x_{1}$ zu hoch.
	Der Preis von $x_{1}$ ist relativ zum Preis von $x_{2}$ zu hoch.