Engelkurve

Definition

Die Engel-Kurve bildet die Effekte einer Einkommensvariation auf die individuelle Güternachfrage ab. Das heißt sie beschreibt den Zusammenhang zwischen der Güternachfrage $x_{1}$ beziehungsweise $x_{2}$ und dem Einkommen E. Sie stellt als Funktion die veränderte nutzenmaximale Nachfrage nach einem Gut bei variierendem Einkommen dar.

Die Engel-Kurve

Das Haushaltsoptimum stellt die optimale Nachfrage nach beiden Gütern da. Bei den Gütern $x_{1}$ und $x_{2}$ ergeben sich die beiden optimalen Nachfragen $x_{1}(p_{1},p_{2},E)$ und $x_{2}(p_{1},p_{2},E)$. Die Nachfrage nach dem Gut $x_{1}$ ist abhängig von den beiden Preisen und dem Einkommen E. Verändert sich das Einkommen E, verschiebt sich die Budgetgerade parallel nach außen. Es entsteht ein neues Haushaltsoptimum mit einem höheren Nutzenniveau. Rechnerisch ergibt sich durch das Einsetzen des neuen Einkommens in die Nachfragefunktion die neue optimale Nachfrage nach $x_{1}$.
Die Nachfragefunktion lässt sich nach E umstellen, sodass die neue Funktion von $x_{1}$ und den neuen Preisen abhängig ist $E(p_{1},p_{2},x_{1})$. Diese Funktion gibt an welches Budget E nötig ist um ein bestimmtes Level von $x_{1}$ zu erreichen. Die neue Funktion ist die Funktionsgleichung der Engel-Kurve. Man beachte dabei, dass wie oft üblich in der Ökonomie, die endogene Variable ($x_{1}$) auf der X-Achse steht und sich die unabhängige Variable (E) auf der Y-Achse. Daher ergibt sich eine Funktionsgleichung für die Engelkurve ($E(x)$), die suggeriert, dass das Einkommen abhängig von der nachgefragten Menge ist. Tatsächlich ist die nachgefragte Menge abhängig von dem Einkommen, weshalb die Untersuchung welche Art Gut vorliegt, mit der $x(E)$ Funktion stattfindet.
Beispiel: Die Nachfrage nach Pizza ($x_{1}$) lautet
$x_{1}(p_{1},p_{2},E)={\frac {E+p_{2}-p_{1}}{p_{1}}}$
wobei $x_{2}$ das Gut Döner ist. Die Funktion nach E umgestellt ergibt $E=p_{1}x_{1}-p_{2}+p_{1}$. Angenommen Pizza kostet 1€ und Döner kostet 1€. Dann lautet die Funktion der Engel-Kurve $E(x_{1})=x_{1}$.


Bei dem vorliegenden Beispiel steigt auch die nutzenmaximale Nachfrage nach dem Gut $x_{1}$, wenn das Einkommen steigt. Dies ist in der Funktionsgleichung und der Abbildungen der Engelkurve und der Einkommens-Konsumkurve erkennbar.

Inferiore Güter

Die Nachfrage nach Inferioren Gütern sinkt bei steigendem Einkommen. Bei einem steigenden Budget verschiebt sich die Budgetgerade parallel nach außen. Je weiter die Budgetgerade vom Ursprung entfernt ist, desto größer ist das Budget/Einkommen. Bei Inferioren Gütern muss der Tangentialpunkt einen numerisch immer kleiner werdenden Wert annehmen als beim nächstkleineren Einkommen.


In dem Beispiel oben ist das Gut $x_{2}$ ein inferiores Gut und $x_{1}$ ein normales Gut. Je größer das Budget/Einkommen ist, desto weniger wird nutzenmaximal von $x_{2}$ nachgefragt. Die Steigung der Engelkurve dieses Gutes ist fallend.
${\frac {\partial x(E)}{\partial E}}<0$

Normale Güter

Die Nachfrage nach Normalen Gütern steigt bei steigendem Einkommen. Bei ihnen muss der Tangentialpunkt im steigenden Einkommen einen numerisch immer größer werdenden Wert annehmen. Es muss gelten
${\frac {\partial x(E)}{\partial E}}>0$

Die Gleichung oben untersucht, wie sich die Steigung der Nachfragefunktion verhält. In diesem Fall ist die erste Ableitung größer als null, dementsprechend ist die Steigung positiv. Dies ist die marginale Untersuchung, wie sich die nachgefragte Menge bei einer Veränderung von E verhält. Im folgenden werden die drei Unterarten von normalen Gütern besprochen:

Notwendige Güter

Die Nachfrage nach Notwendigen Güter muss im steigenden Einkommen langsamer steigen als das Einkommen. Die Nachfrage nach ihnen steigt unterproportional. Das heißt, dass die Nachfrage immer zunimmt, wenn das Einkommen steigt, jedoch um einen immer kleiner werdenden Wert.
Beispiel: Zucker ist für Bettina ein notwendiges Gut. Verdoppelt sich das Einkommen von ihr, fragt sie auch mehr Zucker nach, jedoch weniger als doppelt so viel. Bei einem Einkommen von 10 fragt sie beispielsweise 20 Einheiten von Zucker nach und bei einem Einkommen von 20 fragt sie 30 Einheiten nach.
Es muss gelten:
${\frac {\partial x(E)}{\partial E}}>0$
und
${\frac {\partial ^{2}x(E)}{\partial E^{2}}}<0$

Es gilt zu beachten, dass die grafische Darstellung der Engelkurve in der $E(x)$-Form ist, die Ableitungen oben jedoch in der $x(E)$-Form. Daher ist die grafisch dargestellte Funktion konvex. Beginnend vom Ursprung steigt auch die Menge von $x_{1}$, wenn E steigt. Für jede Einheit von E steigt $x_{1}$ weniger stark an. Eine inverse Darstellung der Engelkurve würde auch grafisch eine konkave Funktion ergeben, deren zweite Ableitung kleiner als null ist.

Homothetische Präferenzen

Die Nachfrage nach Gütern, die Homothetische Präferenzen nachweisen, steigt proportional zum Einkommen. Verdoppelt sich das Einkommen/Budget, dann verdoppelt sich auch die nutzenmaximale Menge dieses Gutes.
Es muss gelten:
${\frac {\partial x(E)}{\partial E}}>0$
und
${\frac {\partial ^{2}x(E)}{\partial E^{2}}}=0$

Die Engelkurve ist eine Ursprungsgerade, die eine konstante Steigung aufweist, welche nicht zwingend eins entsprechen muss.

Luxusgüter

Die Nachfrage nach Luxusgütern steigt bei wachsendem Einkommen stärker an, als das Einkommen selbst. Verdoppelt sich das Budget/Einkommen, ist die nutzenmaximale Nachfrage nach diesem Gut mehr als doppelt so groß.
${\frac {\partial x(E)}{\partial E}}>0$
und
${\frac {\partial ^{2}x(E)}{\partial E^{2}}}>0$
Beispiel: Für Christian sind Autos Luxusgüter. Er hat ein Auto und nach dem sich sein Einkommen verdoppelt hat, kauft er sich zwei weitere und hat drei Autos.

Die Engelkurve hat einen konkaven Verlauf. Ist die zweite Ableitung größer als null, ist die Funktion jedoch konvex. Dies liegt daran, dass die grafische Darstellung in der $E(x)$-Form ist, jedoch $x(E)$ zweimal nach E differenziert wird.

MC Fragen

Eine Engelkurve für ein Gut hat eine positive Steigung, wenn das Gut

	ein Giffen-Gut ist
	(nicht eindeutig)
	ein normales Gut ist
	ein inferiores Gut ist

Ein Konsument hat die Wahl zwischen den beiden Gütern $x_{1}$ und $x_{2}$. Angenommen er konsumiert im Optimum nur Gut $x_{1}$, wie lautet die Funktionsgleichung der Engelkurve dieses Gutes?

	$E(x_{1})=x_{1}+p_{1}$
	$E(x_{1})=x_{1}:p_{1}$
	$E(x_{1})=x_{1}-p_{1}$
	$E(x_{1})=x_{1}p_{1}$

Die Nachfrage nach einem Gut sei durch $x_{1}^{*}={\sqrt[{3}]{E+1}}$ beschrieben. Die Engelkurve $E(x_{1})$ hat ...

	...eine positive und abnehmende Steigung.
	...eine negative Steigung.
	...eine positive und zunehmende Steigung.
	...eine positive und konstante Steigung.