Extensivform

Die Extensivform ist eine Darstellungsform von Spielen.

Strategien

Ein Spieler hat mehrere Möglichkeiten, wie er in bestimmten Situationen entscheidet. Diese Möglichkeiten werden Strategien genannt. Ein Spieler entscheidet sich für eine Strategie ($s$) aus allen möglichen Strategien ($S$). Die mathematische Schreibweise lautet $s\in S$. Dies bedeutet, dass die gewählte Strategie eine der möglichen zur Auswahl stehenden Strategien war. Alle möglichen Strategien werden innerhalb einer geschwungenen Klammer dargestellt $S=\{s_{1},s_{2},s_{3},...\}$.
Beispiel: Beim bekannten "Schere Stein Papier" Spiel hat jeder Spieler drei Möglichkeiten, von denen er sich für eine entscheiden muss. Die Spieler wählen beide aus $s\in S$, wobei $S=\{Schere,Stein,Papier\}$.

Die Extensivform

Die Extensivform eines Spiels ist auch als Spielbaum bekannt. In jedem Knotenpunkt trifft ein Spieler eine Entscheidung. Ein Spieler trifft seine Wahl, die in einen der möglichen Punkte eine Stufe tiefer endet. In diesem Punkt trifft der zweite Spieler seine Entscheidung, die wiederum erneut in einen Entscheidungsknoten mündet. In dem unten grafisch dargestellten Beispiel hat jeder Spieler nur eine Entscheidung zu treffen, weshalb nach der Entscheidung von Spieler 2 die Payoffs feststehen. Der erstgenannte Payoff ist der des ersten Spielers und der Zweite der des Spieler 2's.

Teilspielperfektheit

Ein Gleichgewicht ist teilspielperfekt, wenn es ein Nash Gleichgewicht in jedem Teilspiel ist. Hierbei wird das Konzept der Rückwärtsinduktion angewandt. Bei der Rückwärtsinduktion wird das sequenzielle Spiel rückwärts durchlaufen und untersucht, in welchem Entscheidungspunkt(Teilspiel) welcher Spieler wie handeln wird. Das wird für alle Entscheidungspunkte analysiert unabhängig, ob diese im Gleichgewicht erreicht werden oder nicht.

In dem letzten Knotenpunkt, in dem ein Spieler sich entscheiden muss, entscheidet sich Spieler zwei zwischen C oder D. Der zweitgenannte Payoff ist der von Spieler 2. Im linken Knoten erhält er bei C 2 und bei D 3. Da 3>2 wählt er im ersten Fall D. Im rechten Knoten erhält er 4 bei C und 1 bei D. Hier wählt er C. Seine Strategie lautet: "Spiele D, wenn der linke Fall eintritt (Spieler 1 wählt A) und wähle C, wenn der zweite Fall eintritt (Spieler 1 wählt B)".
Spieler 1 weiß, dass das Resultat (A, D) lauten wird, sollte er sich für A entscheiden und (B, C), sollte er sich für B entscheiden. Bei (A, D) erhält er 2 und bei (B, C) erhält er 1. Daher entscheidet sich der rationale Spieler 1 für (A, D).
Das Teilspielperfekte Nash Gleichgewicht lautet:
$TSP\,Nash\,GG=(A,DC)$

Umwandlung in Normalform

Die Extensivform kann in die Normalform umgewandelt werden. Hierfür müssen alle reinen Strategien in die bekannte Matrix geschrieben werden. Spieler 1 hat lediglich die Strategien $S_{1}=\{A,B\}$. Die Strategien von Spieler 2 sind aufgrund der sequentiellen Form des Spiels anders, als bei simultanen Spielen. Die Strategien bestehen aus allen möglichen Antworten auf eine der Strategien von Spieler 1. Spieler 2 hat beispielsweise die Möglichkeit immer C zu spielen. Er hat aber auch die Möglichkeit nur C zu spielen, wenn er A von Spieler 1 beobachtet und sonst D. Alle möglichen Kombinationen von Spieler 2 lauten $S_{2}=\{CC,CD,DC,DD\}$
Die Payoffs lassen sich in der Extensivform ablesen. Für Spieler 2 ist entscheiden, ob der Spieler 1 A oder B spielt. Spielt Spieler 1 A, ist der erste Buchstabe von Spieler 2's Strategie relevant, spielt Spieler 2 B, der zweite Buchstabe. Muss beispielsweise der Payoff von (A, CD) ermittelt werden, kann der Spielbaum von oben entsprechend verfolgt werden. Spieler 1 wählt A, deshalb spielt Spieler 2 C. Der Payoff lautet (2, 2).
Es ergibt sich:

Nash Gleichgewicht

Ein Nash Gleichgewicht liegt für $(s_{1}^{*},s_{2}^{*})$ vor, wenn $U_{1}(s_{1}^{*},s_{2}^{*})\geq U_{1}(s_{i},s_{2}^{*})$ und $U_{2}(s_{1}^{*},s_{2}^{*})\geq U_{2}(s_{1}^{*},s_{i})$ für $s_{i}\in S$ gilt. Das bedeutet, dass es keine lohnenswerte Abweichung für die Spieler gibt, gegeben der Strategie des anderen Spielers.
In der Normalform lassen sich alle Nash Gleichgewichte eines sequenziellen Spiels mit der bekannten Methode finden (siehe dafür hier). In dem Beispiel von oben ergibt sich als Nash Gleichgewicht (A, DC).


Das teilspielperfekte Nash Gleichgewicht ist in dem vorliegenden Fall auch das einzige Nash Gleichgewicht. Jedes teilspielperfekte Nash Gleichgewicht ist zwar immer auch ein Nash Gleichgewicht, jedoch ist nicht jedes Nash Gleichgewicht auch immer teilspielperfekt. Hierfür soll ein zweites sequezielle Spiel dienen, bei dem lediglich ein Payoff geändert wurde (in Extensivform blau markiert).

Das Teilspielperfekte Nash Gleichgewicht lautet (B, DC) und die Nash Gleichgewichte sind NG=(B, CC), (B, DC). Dieses Beispiel zeigt, dass auch Nash Gleichgewichte existieren, die nicht teilspielperfekt sind. Dies liegt daran, dass sie zwar ein Nash Gleichgewicht des gesamten Spiels sind allerdings nicht jedes Teilspieles. (B, CC) würde implizieren, dass Spieler 2 C wählt, falls Spieler 1 A wählt. Dies ist aber in dem Sinne unrealistisch, da Spieler 2 für den Fall einen höheren Payoff erhält, wenn er D spielt.

Dominante Strategien

Eine Strategie dominiert eine andere Strategie, wenn sie einen höheren Payoff bietet unabhängig davon, welche Strategie der andere Spieler wählt. In sequenziellen Spielen können Strategien ebenfalls dominant sein. Dominiert eine Strategien alle anderen Strategien, muss die Strategie Teil des Gleichgewichts sein. Das Prinzip der Dominanz wird hier ausführlicher und mit Beispielen erläutert.

MC Fragen

Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

	Nicht jedes Nash-Gleichgewicht des Spiels in Normalform ist auch ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht des Spiels in extensiver Form.
	Nicht jedes teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht eines Spiels in extensiver Form ist auch ein Nash-Gleichgewicht des Spiels in Normalform.
	Nicht jedes Gleichgewicht in dominanten Strategien des Spiels in Normalform ist auch ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht des Spiels in extensiver Form.

Wie lautet das teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht des folgenden Spiels?

	(A, DD)
	(A, CD)
	(B, DC)
	(B, CC)
	(A, CC)
	(B, DD)

Welches Nash Gleichgewicht aus dem sequentiellen Spiel oben ist nicht teilspielperfekt?

	(B, CD)
	(B, DC)
	(B, DD)
	(A, CD)
	(A, DC)
	(A, DD)