Gradientenmethode

Die Gradientenmethode ist eine Methode zur Bestimmung eines Maximums/Minimus mit einer Nebenbedingung. Hierfür wird das Skalarprodukt zweier Vektoren gebildet. Der erste Vektor ist die Richtung der Budgetgeraden und der andere Vektor ist der Gradient des Nutzenfunktion, welcher in Richtung des steilsten Anstiegs zeigt. Die Gradientenmethode ist neben dem Lagrangeverfahren eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung eines Tangentialpunktes.

Gradient

Der Gradient ist ein Vektor, welcher in Richtung des steilsten Anstiegs zeigt. Er lässt sich bilden, indem eine multivariate Funktion partiell abgeleitet wird. Im Falle einer Nutzenfunktion mit zwei Konsumgütern $x_{1}$ und $x_{2}$ lässt sich der Gradient wie folgt bestimmen:

$\nabla =(\partial U(x_{1},x_{2})/\partial x_{1},\quad \partial U(x_{1},x_{2})/\partial x_{2})^{T}$ 

Je nach Konsumpunkt $(x_{1},x_{2})$ zeigt der Gradient in eine andere Richtung. Die partielle Ableitung nach $x_{1}$ eingesetzt an dem jeweiligen Punkt bestimmt, wie weit der Vektor in die $x_{1}$-Richtung geht. Die partielle Ableitung nach $x_{2}$ bestimmt für den jeweiligen Punkt, wie weit der Vektor in die $x_{2}$-Richtung verläuft.

Vektor der Budgetgeraden

Die Budgetgerade lässt sich in einen Vektor umschreiben. Für die $x_{1}$-Richtung lässt sich beispielsweise die Differenz von $x_{1}=0$ und $x^{max}$ nehmen. Für die $x_{2}$-Richtung kann wiederum die Differenz zwischen $x_{2}^{max}$ und $x_{2}=0$ herangezogen werden.
Es ergibt sich:

${\vec {v}}=(x_{1}^{max}-0,\quad 0-x_{2}^{max})^{T}=(x_{1}^{max},\quad -x_{2}^{max})^{T}$ 

Der Vektor ${\vec {v}}$ lässt sich in der Grafik unten erkennen. Es gilt zu beachten, dass der Vektor, anders als der Gradient, nicht variabel in $x_{1}$ und $x_{2}$ ist.

Tangentialpunkt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist gleich null, wenn die zwei Vektoren orthogonal zueinander verlaufen. Exakt diese Eigenschaft liegt im Tangentianlpunkt vor. Der Gradient verläuft im Tangentialpunkt der Indifferenzkurve und der Budgetgeraden orthogonal zu dem berechneten Vektor ${\vec {v}}$ Die Tangentialbedingung lässt sich somit auch durch das Skalarprodukt herleiten:

$\nabla U(x_{1},x_{2})^{T}\cdot {\vec {v}}{\stackrel {!}{=}}0$ 

Die daraus resultierende Relation zwischen $x_{1}$ und $x_{2}$ ist dieselbe, wie bei dem Lagrangeverfahren und kann in die Budgetrestriktion eingesetzt werden, um die optimale Nachfrage zu erhalten.

Beispiel

Die Nutzenfunktion lautet $U(x_{1},x_{2})=x_{1}\cdot x_{2}$. Die Preise lauten $p_{1}=2$ und $p_{2}=4$. Insgesamt steht ein Budget von 20 Euro zur Verfügung

Gradient

Der Gradient lautet $\nabla =(x_{2},\quad x_{1})^{T}$

Budgetvektor

Der Budgetvektor lautet ${\vec {v}}=({\frac {20}{2}},\quad -{\frac {20}{4}})^{T}=(10,\quad -5)^{T}$

Tangentialpunkt

Für den Tangentialpunkt muss das Skalarprodukt null sein: $(x_{2},\quad x_{1})\cdot (10,\quad -5)^{T}{\stackrel {!}{=}}0$
$10x_{2}-5x_{1}=0$
Die Tangentialbedingung lautet demenstprechend $x_{1}=2x_{2}$

Optimale Nachfrage

Die Tangentialbedingung kann in die Budgetrestriktion eingesetzt werden $2x_{1}+4x_{2}=20\quad \Leftrightarrow \quad 8x_{2}=20$
Die optimale Nachfrage lautet $(x_{1}^{*},x_{2}^{*})=(5,\quad 2.5)$

Die Bedeutung von $\lambda$

Die Gradientenmethode erlaubt die Bedeutung von $\lambda$ mit einem etwas anderem Ansatz zu erläutern.
Der Preisvektor ${\vec {p}}=(p_{1}\quad p_{2})^{T}$ verläuft orthogonal zu dem Budgetvektor.

$({\frac {E}{p_{1}}},\quad {\frac {E}{p_{2}}})\cdot (p_{1},\quad p_{2})^{T}=0$

Es lässt sich mathematisch zeigen, dass der Preisvektor multipliziert mit dem Grenznutzen des Einkommens identisch zu dem Gradienten der Nutzenfunktion ist. Wenn sich ein Konsument im Optimum $(x_{1}^{*},x_{2}^{*})$ befindet und von beiden Einheiten eine marginale Einheit mehr konsumiert, befindet er sich im selben Konsumpunkt, wenn er den Preisvektor mit dem Grenznutzen des Einkommens skaliert. Der Gradient selbst ist unabhängig von den Preisen und dem Einkommen und verändert sich daher auch nicht, wenn einer der Preise sich beispielsweise erhöht. Was dies bedeutet lässt sich sehr gut an einem Beispiel erkenne, bei dem die Nachfrage homogen im Grad null ist. Wenn sich die Preise und das Einkommen um den selben Faktor steigen, verändert sich die optimale Nachfrage des Konsumenten nicht. Auch eine grafische Darstellung sehe nach der Veränderung noch genauso aus, wie vorher. Dennoch hat sich der Preisvektor vergrößert. Der Gradient hat sich jedoch nicht verändert. Dies zeigt, dass der Grenznutzen des Einkommens ($\lambda$) kleiner geworden ist und der Preisvektor um einen geringeren Faktor skaliert wird. Bei hohen Preisen bringt eine zusätliche verfügbare Einheit des Einkommens einen geringeren zusätzlichen Nutzen, als wenn die Preise kleiner sind. Dies liegt daran, dass ein Konsument sich bei hohen Preisen weniger von einer Einheit des Einkommens kaufen kann, als bei niedrigen Preisen.

Mathematisch lässt sich diese Beziehung auch schon im Lagrangeverfahren erkennen. Die Bedingung erster Ordnungen für ein Gut i lautet
${\frac {\partial U(x)}{\partial x_{i}}}-\lambda p_{i}=0$ Daraus folgt ${\frac {\partial U(x)}{\partial x_{i}}}=\lambda p_{i}$,
was den einzelnen Einträgen der Vektoren entspricht. In den Grafiken unten wird nochmal gezeigt, dass der Gradient identisch zu dem skalierten Preisvektor ist.

MC Fragen

Welche der Aussagen ist wahr?

	Die Gradientenmethode führt immer zum selben Ergebnis wie das KKT Verfahren.
	Die Gradientenmethode kann auch immer Randlösungen finden.
	Die Gradientenmethode lässt sich nicht bei Maximierungsproblemen mit mehr als zwei Konsumgütern verwenden.
	Die Gradientenmethode führt immer zum selben Ergebnis wie das Lagrange Verfahren.

Gegeben sei folgende Nutzenfunktion $U(x_{1},x_{2})={\frac {1}{5}}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$
Wie lautet der Gradient dieser Nutzenfunktion?

	$\nabla =({\frac {2}{5}}x_{1}\quad +\quad 2x_{2})^{T}$
	$\nabla =({\frac {2}{5}}x_{1},\quad 2x_{2})^{T}$
	$\nabla =({\frac {1}{5}}x_{1}^{2},\quad x_{2}^{2})^{T}$
	$\nabla =({\frac {1}{5}}x_{1}^{2}\quad +\quad x_{2}^{2})^{T}$

Ein Haushalt konsumiert zwei Güter. Der Preis für das eine Gut lautet $p_{1}=4$ und der Preis für das andere $p_{2}=2$. Welcher der folgenden Vektoren lässt sich als Budgetvektor für die Gradientenmethode verwenden?

	${\vec {v}}=(2,\quad -4)^{T}$
	${\vec {v}}=(3,\quad 1)^{T}$
	${\vec {v}}=(1,\quad -3)^{T}$
	${\vec {v}}=(4,\quad 2)^{T}$