Haushaltsoptimum

Definition

Das Haushaltsoptimum ist die Konsumentscheidung eines Konsumenten, die er von allen möglichen am stärksten präferiert. Der Nutzen ist in diesem Punkt maximiert und ein höheres Niveau kann aufgrund der Budgetrestriktion nicht erreicht werden.

Das Haushaltsoptimum grafisch

Das Haushaltsoptimum liegt im Tangentialpunkt der Budgetgeraden und der Indifferenzkurve. Dies hängt mit den Axiomen der Nutzentheorie zusammen. Aufgrund der Monotonie/Lokale nicht Sättigung ist es für den Konsumenten gut von allem so viel zu konsumieren, wie nur möglich. Deshalb gilt $U_{1}<U_{2}<U_{3}$. Ständen nur die drei Indifferenzkurven zur Auswahl, würde der Konsument entlang der dritten Indifferenzkurve konsumieren. Er ist jedoch in seinem Budget limitiert. Er kann nicht unendlich viel für seinen Konsum ausgeben, wenn er nur eine Summe E zur Verfügung hat. Der Konsum unterhalb der Budgetgeraden ist genauso möglich, wie der Konsum auf der Budgetgerade. Der Konsum oberhalb der Budgetrestriktion ist nicht möglich, da hierfür ein größeres Budget nötig wäre.


Der nutzenmaximale Punkt kann nicht unterhalb der Budgetgeraden liegen. Befindet sich der aktuelle Konsumpunkt doch unterhalb der Budgetgeraden, erhöht sich der Nutzen, sobald der Konsument von mindestens einem der beiden Gütern mehr konsumiert. Dementsprechend muss im Optimum dieses Modells das gesamte Budget aufgebraucht werden. Wo genau das Optimum auf der Geraden liegt, hängt von dem Verlauf der Indifferenzkurven ab. Der Nutzen ist unter den Standardannahmen maximiert, wenn eine Indifferenzkurve die Budgetgerade tangiert. Jede Indifferenzkurve, die die Budgetgerade schneidet, bildet nicht das Maximum ab, da durch eine Änderung im Konsumverhalten ein höheres Nutzenniveau erreicht werden kann. Liegt der momentane Konsumpunkt beispielsweise mit Schnittpunkt der Budgetgeraden und auf der Indifferenzkurve $U_{1}$, kann noch die Indifferenzkurve $U_{2}$ erreicht werden. Ausgehend von diesem neuen Punkt liegt keine Indifferenzkurve im Budget, die ein höheres Nutzenniveau darstellt. Die Indifferenzkurve $U_{3}$ kann nicht erreicht werden.

Das Haushaltsoptimum rechnerisch

Das Haushaltsoptimum maximiert den Nutzen. Daher muss die Nutzenfunktion zunächst maximiert werden. Ähnlich zur grafischen Herangehensweise muss jedoch beachtet werden, dass durch das Budget eine Nebenbedingung besteht. Die Nutzenfunktion als Zielfunktion hat die Nebenbedingung, dass das Budget eingehalten werden muss. Zur Maximierung mit Nebenbedingung dient das Lagrangeverfahren. Alternativ kann auch die Gradientenmethode genutzt oder die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen aufgestellt werden. Jedes Verfahren bringt jedoch dasselbe Ergebnis, vorausgesetzt es existiert eine innere Lösung. Das Lagrangeverfahren bringt im zwei Güter Modell (x,y) folgende notwendige Bedingungen:
${\frac {\partial U(x,y)}{\partial x}}-{\mathcal {L}}p_{x}=0$
${\frac {\partial U(x,y)}{\partial y}}-{\mathcal {L}}p_{y}=0$
$p_{x}x+p_{y}y-E=0$
Nach umstellen der beiden ersten Gleichungen ergibt sich die Tangentialbedingung:
${\frac {\frac {\partial U(x,y)}{\partial x}}{\frac {\partial U(x,y)}{\partial y}}}={\frac {p_{x}}{p_{y}}}$
beziehungsweise
${\frac {MU_{x}}{MU_{y}}}=GRS_{x,y}={\frac {p_{x}}{p_{y}}}$
In der Tangentialbedingung wird erkennbar, dass sie unabhängig von dem Budget E ist. Sie ist gibt ein allgemeines Verhältnis an, dass für die beiden Grenznutzen immer gelten muss. Die Tangentialbedingung umgestellt ergibt
${\frac {MU_{x}}{p_{x}}}={\frac {MU_{y}}{y}}$
Der Grenznuten pro bezahlten Preis der beiden Güter muss im Optimum gleich sein.
Die Tangentialbedingung nach einem der beiden Güter umgestellt und in die dritte Gleichung eingesetzt ergibt die Nachfrage nach den beiden Gütern in Abhängigkeit von den Preisen und dem Budget.

Tangentialbedingung und Grenznutzen

Die Tangentialbedingung zeigt, ob ein Konsument optimal konsumiert oder nicht. Wenn die GRS nicht gleich dem Preisverhältnis ist, muss der Konsument sein Konsumverhalten ändern. Er muss sein Verhalten so ändern, dass die Gleichung erfüllt ist. Da die Preise fix sind, muss er die Grenznutzen so ändern, dass es passt. Ist das Preisverhältnis beispielsweise 2 und das Grenznutzenverhältnis nur 1, muss er das Grenznutzenverhältnis erhöhen. Da
$GRS_{x,y}={\frac {MU_{x}}{MU_{y}}}$
gilt, muss der Grenznutzen von x erhöht und/oder der Grenznutzen von y gesenkt werden. Wie das gelingt, wird aus den folgenden Grafiken deutlich:


Ausgehend vom abnehmenden Grenznutzen, sinkt der zusätzliche Nutzen, den eine Einheit mehr bringt. Der zusätzliche Nutzen einer zweiten Einheit ist größer als der zusätzliche Nutzen der achten Einheit. Dies ist der Grund, warum die Grenznutzenfunktion (rechte Grafik), fallend ist. Damit der Grenznutzen eines Gutes steigt, muss der Konsument weniger von diesem Gut konsumieren. Gilt
$GRS_{x,y}<{\frac {p_{x}}{p_{y}}}$ dann ist der Grenznutzen von x zu klein und der Grenznutzen von y zu groß. Das Konsumniveau von x muss sinken und das Konsumniveau von y zu steigen. Gilt die Ungleichung oben, liegt der derzeitige Konsumpunkt rechts vom Tangentialpunkt (ausgehend von einem x-y-Diagramm).

Homogenität der Nachfrage

Eine Funktion ist im Grad t homogen, wenn gilt $f({\mathcal {L}}x)={\mathcal {L}}^{t}f(x)$. In der Untersuchung, ob die Nachfrage nach einem Gut x homogen in den einzelnen abhängigen Variablen ist, kann dies auf die Nachfragefunktion angewendet werden.
Eine Nachfrage ist beispielsweise homogen im Einkommen, wenn $x(p_{x},p_{y},{\mathcal {L}}E)={\mathcal {L}}^{t}x(p_{x},p_{y},E)$ gilt.
Beispiel: Die Nachfrage nach dem Gut x sei $x(p_{x},p_{y},E)=p_{y}E-p_{x}E$. Zur Überprüfung auf Homogenität im Einkommen wird das Einkommen mit einem Faktor ${\mathcal {L}}$ versehen: $x(p_{x},p_{y},{\mathcal {L}}E)=p_{y}({\mathcal {L}}E)-p_{x}({\mathcal {L}}E)=(p_{y}E-p_{x}E){\mathcal {L}}$. Es gilt $x(p_{x},p_{y},{\mathcal {L}}E)={\mathcal {L}}^{1}x(p_{x},p_{y},E)$. Die Nachfrage nach x ist im Grad 1 homogen im Einkommen.

Hicks'sche und Marshall'sche Nachfrage

Das Verfahren, das oben geschildert wurde, ergibt die Marshall'sche Nachfrage. Es ist die nutzenmaximale Nachfrage nach einem Gut, bei gegebenem Einkommen ($x^{M}(p_{x},p_{y},E)$). Alternativ lässt sich auch die Kostenfunktion minimieren mit der Nebenbedingung das optimale Nutzenniveau $U^{*}$ zu erreichen.


Ziel ist den Nutzen beizubehalten mit einem möglichst minimalen Budget E. Die Budgetgerade muss linear verschoben werden, bis zum einen die Indifferenzkurve $I_{2}$ erreicht wird und zum anderen die Budgetgerade möglichst nahe am Ursprung liegt. Es ergibt sich ein Tangentialpunkt, der identisch zu dem aus der Vorgehensweise der Nutzenmaximierung ist. Rechnerisch ist die Vorgehensweise identisch zur Marschall'schen Nachfrage. Die Lagrangefunktion wird aufgestellt mit der Zielfunktion, der negativen Budgetrestriktion, und der Nebenbedingung, der Nutzenfunktion, die gleich $U^{*}$ sein muss. Das Maximieren nach x und y ergibt zusammen mit der Nebenbedingung drei notwendige Bedingungen. Nach Aufstellen der Tangentialbedingung und Einsetzen in die Nebenbedingung folgt eine Nachfrage nach beiden Gütern, die abhängig von den Preisen und dem Nutzenniveau $U^{*}$ ist ($x^{H}(p_{x},p_{y},U^{*})$.
Die beiden Nachfragen ergeben ceteris paribus dieselben Werte. Dies wird auch als Dualität verstanden:
$X(p_{x},p_{y},U^{*})=X(p_{x},p_{y},E(p_{x},p_{y},U^{*}))$

MC Fragen

Angenommen Sigmar erfährt in seinem aktuellen Nutzenniveau von Gummibärchen einen Grenznutzen von 3 und von Büchern einen Grenznutzen von 5. Angenommen eine Einheit Schokolade kostet 1€ und ein Buck kostet 2€ . Wie könnte Sigmar sein Nutzen erhöhen, wenn er bereits sein Budget vollständig ausgibt? (Sichtweise marginal)

	Sigmar sollte mehr Schokolade und weniger Bücher konsumieren.
	Sigmar sollte weniger Schokolade und weniger Bücher konsumieren.
	Sigmar sollte weniger Schokolade und mehr Bücher konsumieren.
	Sigmar sollte mehr Schokolade und mehr Bücher konsumieren.

Ein Konsument gibt für nur eins der beiden Güter Geld aus, welche der folgenden Möglichkeiten kann kein Grund hierfür sein?

	Der Konsument zieht aus dem einen Gut keinen Nutzen.
	Für den Konsumenten sind die Güter perfekte Substitute und die Preise unterscheiden sich. Der Konsument befindet sich in einer Randlösung.
	Der Konsument befindet sich nicht im Haushaltsoptimum.
	Die beiden Güter werden von dem Konsumenten als Imperfekte Substitute wahrgenommen und er befindet sich im Optimum.

Lisa hat ein Budget vonn 100 und eine Nutzenfunktion $U(x,y)=x^{2}+e^{y}$. Der Preis für x lautet 2 und y kostet 1 pro Einheit.

Wie lautet die nutzenmaximale Nachfrage nach y(Gerundet auf vier Nachkommastellen?