Extensivform: Unterschied zwischen den Versionen
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Aktuelle Version vom 31. August 2023, 14:51 Uhr
Die Extensivform ist eine Darstellungsform von Spielen.
Strategien
Ein Spieler hat mehrere Möglichkeiten, wie er in bestimmten Situationen entscheidet. Diese Möglichkeiten werden Strategien genannt. Ein Spieler entscheidet sich für eine Strategie (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s }
) aus allen möglichen Strategien (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S }
). Die mathematische Schreibweise lautet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s \in S }
. Dies bedeutet, dass die gewählte Strategie eine der möglichen zur Auswahl stehenden Strategien war. Alle möglichen Strategien werden innerhalb einer geschwungenen Klammer dargestellt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S=\{s_1,s_2,s_3,...\}}
.
Beispiel: Beim bekannten "Schere Stein Papier" Spiel hat jeder Spieler drei Möglichkeiten, von denen er sich für eine entscheiden muss. Die Spieler wählen beide aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s \in S}
, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S=\{Schere,Stein,Papier\}}
.
Die Extensivform
Die Extensivform eines Spiels ist auch als Spielbaum bekannt. In jedem Knotenpunkt trifft ein Spieler eine Entscheidung. Ein Spieler trifft seine Wahl, die in einen der möglichen Punkte eine Stufe tiefer endet. In diesem Punkt trifft der zweite Spieler seine Entscheidung, die wiederum erneut in einen Entscheidungsknoten mündet. In dem unten grafisch dargestellten Beispiel hat jeder Spieler nur eine Entscheidung zu treffen, weshalb nach der Entscheidung von Spieler 2 die Payoffs feststehen. Der erstgenannte Payoff ist der des ersten Spielers und der Zweite der des Spieler 2's.
Teilspielperfektheit
Ein Gleichgewicht ist teilspielperfekt, wenn es ein Nash Gleichgewicht in jedem Teilspiel ist. Hierbei wird das Konzept der Rückwärtsinduktion angewandt. Bei der Rückwärtsinduktion wird das sequenzielle Spiel rückwärts durchlaufen und untersucht, in welchem Entscheidungspunkt(Teilspiel) welcher Spieler wie handeln wird. Das wird für alle Entscheidungspunkte analysiert unabhängig, ob diese im Gleichgewicht erreicht werden oder nicht.
In dem letzten Knotenpunkt, in dem ein Spieler sich entscheiden muss, entscheidet sich Spieler zwei zwischen C oder D. Der zweitgenannte Payoff ist der von Spieler 2. Im linken Knoten erhält er bei C 2 und bei D 3. Da 3>2 wählt er im ersten Fall D. Im rechten Knoten erhält er 4 bei C und 1 bei D. Hier wählt er C. Seine Strategie lautet: "Spiele D, wenn der linke Fall eintritt (Spieler 1 wählt A) und wähle C, wenn der zweite Fall eintritt (Spieler 1 wählt B)".
Spieler 1 weiß, dass das Resultat (A, D) lauten wird, sollte er sich für A entscheiden und (B, C), sollte er sich für B entscheiden. Bei (A, D) erhält er 2 und bei (B, C) erhält er 1. Daher entscheidet sich der rationale Spieler 1 für (A, D).
Das Teilspielperfekte Nash Gleichgewicht lautet:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle TSP\,Nash\,GG=(A, DC) }
Umwandlung in Normalform
Die Extensivform kann in die Normalform umgewandelt werden. Hierfür müssen alle reinen Strategien in die bekannte Matrix geschrieben werden. Spieler 1 hat lediglich die Strategien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_1=\{A, B\} }
. Die Strategien von Spieler 2 sind aufgrund der sequentiellen Form des Spiels anders, als bei simultanen Spielen. Die Strategien bestehen aus allen möglichen Antworten auf eine der Strategien von Spieler 1. Spieler 2 hat beispielsweise die Möglichkeit immer C zu spielen. Er hat aber auch die Möglichkeit nur C zu spielen, wenn er A von Spieler 1 beobachtet und sonst D. Alle möglichen Kombinationen von Spieler 2 lauten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_2=\{CC, CD, DC, DD\} }
Die Payoffs lassen sich in der Extensivform ablesen. Für Spieler 2 ist entscheiden, ob der Spieler 1 A oder B spielt. Spielt Spieler 1 A, ist der erste Buchstabe von Spieler 2's Strategie relevant, spielt Spieler 2 B, der zweite Buchstabe. Muss beispielsweise der Payoff von (A, CD) ermittelt werden, kann der Spielbaum von oben entsprechend verfolgt werden. Spieler 1 wählt A, deshalb spielt Spieler 2 C. Der Payoff lautet (2, 2).
Es ergibt sich:
Nash Gleichgewicht
Ein Nash Gleichgewicht liegt für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (s_1^*,s_2^*) }
vor, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_1(s_1^*,s_2^*) \geq U_1(s_i,s_2^*) }
und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_2(s_1^*,s_2^*) \geq U_2(s_1^*,s_i) }
für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s_i \in S }
gilt. Das bedeutet, dass es keine lohnenswerte Abweichung für die Spieler gibt, gegeben der Strategie des anderen Spielers.
In der Normalform lassen sich alle Nash Gleichgewichte eines sequenziellen Spiels mit der bekannten Methode finden (siehe dafür hier). In dem Beispiel von oben ergibt sich als Nash Gleichgewicht (A, DC).
Das teilspielperfekte Nash Gleichgewicht ist in dem vorliegenden Fall auch das einzige Nash Gleichgewicht. Jedes teilspielperfekte Nash Gleichgewicht ist zwar immer auch ein Nash Gleichgewicht, jedoch ist nicht jedes Nash Gleichgewicht auch immer teilspielperfekt. Hierfür soll ein zweites sequezielle Spiel dienen, bei dem lediglich ein Payoff geändert wurde (in Extensivform blau markiert).
Das Teilspielperfekte Nash Gleichgewicht lautet (B, DC) und die Nash Gleichgewichte sind NG=(B, CC), (B, DC). Dieses Beispiel zeigt, dass auch Nash Gleichgewichte existieren, die nicht teilspielperfekt sind. Dies liegt daran, dass sie zwar ein Nash Gleichgewicht des gesamten Spiels sind allerdings nicht jedes Teilspieles. (B, CC) würde implizieren, dass Spieler 2 C wählt, falls Spieler 1 A wählt. Dies ist aber in dem Sinne unrealistisch, da Spieler 2 für den Fall einen höheren Payoff erhält, wenn er D spielt.
Dominante Strategien
Eine Strategie dominiert eine andere Strategie, wenn sie einen höheren Payoff bietet unabhängig davon, welche Strategie der andere Spieler wählt. In sequenziellen Spielen können Strategien ebenfalls dominant sein. Dominiert eine Strategien alle anderen Strategien, muss die Strategie Teil des Gleichgewichts sein. Das Prinzip der Dominanz wird hier ausführlicher und mit Beispielen erläutert.
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