Cobb-Douglas-Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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<math> \alpha + \beta >1 \Rightarrow </math> steigende Skalenerträge<br> | <math> \alpha + \beta >1 \Rightarrow </math> steigende Skalenerträge<br> | ||
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+ | Das Grenzrodukt einer Cobb-Douglas-Funktion lässt sich bestimmen, indem die Funktion nach einer der unabhängigen Variablen abgeleitet wird. Zur Veranschaulichung soll eine Cobb-Douglas-[[Produktionsfunktion und Isoquante|Produktionsfunktion]] dienen, die auf das [[marginale Sichtweise|Grenzprodukt]] der Arbeit untersucht wird. Die Funktion lautet <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math> <br> | ||
+ | Das Grenzprodukt der Arbeit lässt sich durch <math> \frac{\part F(K,L)}{\part K}=\alpha K{\alpha -1}L^{\beta} </math> berechnen. Das Grenzprodukt ist unter Annahme der nicht negativen Mengen immer dann positiv, wenn <math> \alpha </math> positiv, d.h. größer null ist. Das Grenprodukt ist zunehmend oder abnehmend. Das heißt jede weitere Einheit von K bringt entweder mehr oder weniger zusätzlichen Output als die Einheit zuvor. Ist die zweite partielle Ableitung nach K negativ, sinkt die Steigung und es liegt ein abnehmendes Grenzprodukt vor. Bei einer positiven zweiten partellen Ableitung ist das Grenzprodukt zunahmend. <br> | ||
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+ | Der Ausdruck oben ist negativ, wenn <math> \alpha </math> kleiner als 1 ist. Die Empirie zeigt, dass das Grenzprodukt häufig positiv und abnehmend ist. Hierfür muss für den Exponent gelten <math> 0<\alpha <1 </math>. <br> | ||
+ | Die Intuition bei [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Nutzenfunktionen]] und dem [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] ist analog. | ||
==Produktionselastizität== | ==Produktionselastizität== |
Version vom 18. September 2023, 14:52 Uhr
Cobb-Douglas-Funktionen sind Funktionen, die häufig als Nutzenfunktionen oder Produktionsfunktionen genutzt werden.
Aufbau der Cobb-Douglas-Funktionen
Cobb-Douglas-Funktionen haben einen typischen Aufbau, bei dem Variablen multiplikativ miteinander verknüpft sind und einen Exponenten haben.
mit
Für die Anwendung in der Mikro I genügen zwei Variablen. Zudem kann Parameter auch den Wert 1 annehmen, sodass sich ergibt. Dies kann dreidimensional dargestellt werden.
Charakterlich ist vorallem, dass die Variablen und miteinander multipliziert werden. Nimmt einer der beiden Werte null an, ist der z Wert null.
Skalenerträge
Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen haben den Vorteil, dass sie aufgrund ihres Aufbaus leicht auf Skalenerträge untersucht werden können. Für die Untersuchung auf Skalenerträge werden alle Inputfaktoren mit einem allgemeinen Faktor multipliziert. Sei die Produktionsfunktion beispielsweise , wird hieraus . Dieser Ausdruck wird mit verglichen. Es fällt auf, dass die beiden Ausdrücke identisch sind mit der Ausnahme des Ausdrucks. In dem einen Fall ist der Exponent und in dem anderen Fall . Ist die Summer der beiden Exponenten größer als 1 gilt
Es gilt:
steigende Skalenerträge
konstante Skalenerträge
fallende Skalenerträge
Grenzprodukt
Das Grenzrodukt einer Cobb-Douglas-Funktion lässt sich bestimmen, indem die Funktion nach einer der unabhängigen Variablen abgeleitet wird. Zur Veranschaulichung soll eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion dienen, die auf das Grenzprodukt der Arbeit untersucht wird. Die Funktion lautet
Das Grenzprodukt der Arbeit lässt sich durch berechnen. Das Grenzprodukt ist unter Annahme der nicht negativen Mengen immer dann positiv, wenn positiv, d.h. größer null ist. Das Grenprodukt ist zunehmend oder abnehmend. Das heißt jede weitere Einheit von K bringt entweder mehr oder weniger zusätzlichen Output als die Einheit zuvor. Ist die zweite partielle Ableitung nach K negativ, sinkt die Steigung und es liegt ein abnehmendes Grenzprodukt vor. Bei einer positiven zweiten partellen Ableitung ist das Grenzprodukt zunahmend.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\part^2 F(K,L)}{\part^2 K}=\alpha (1-\alpha)K^{\alpha -2}L^{\beta} }
Der Ausdruck oben ist negativ, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha }
kleiner als 1 ist. Die Empirie zeigt, dass das Grenzprodukt häufig positiv und abnehmend ist. Hierfür muss für den Exponent gelten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0<\alpha <1 }
.
Die Intuition bei Nutzenfunktionen und dem Grenznutzen ist analog.
Produktionselastizität
Die Exponenten der Cobb-Douglas Funktionen haben eine Bedeutung und sagen etwas über die dazugehörigen unabhängigen Variablen aus. Dies soll anhand einer Produktionsfunktion gezeigt werden. Hierfür soll untersucht werden, wie sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der beiden Inputfaktoren prozentual verändert. Im ersten Fall soll die Veränderung in K stattfinden.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_K=\frac{% \Delta Y}{% \Delta K} }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_K=\frac{\Delta Y /Y}{\Delta K / K}=\frac{\Delta Y}{\Delta K}\frac{K}{Y} }
mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta \to 0 }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_K=\frac{\part Y}{\part K}\frac{K}{Y} }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_K=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta}K^{1- \alpha}L^{-\beta} }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_K=\alpha K^0L^0 }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_K=\alpha }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_L=\beta }
Die Produktionselastizität, also die Frage wie stark sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der Inputfaktoren prozentual verändert lässt sich durch den jeweiligen Exponenten beantworten. Eine ähnliche Intuition gilt bei Cobb-Douglas-Nutzenfunktionen.
Maximum mit Nebenbedingung
Cobb-Douglas-Funktionen haben den Vorteil, dass sich aufgrund ihrer For allgemein eine Lösung für das Haushaltsoptimum bzw. das Produktionsoptimum aufstellen lässt. Hierfür soll eine Cobb Douglas-Funktion mit der Nebenbedingung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_xx+p_y=b }
. Zum Maximieren lässt sich die Lagrange Funktion aufstellen, oder es wird direkt die GRS bzw GRTS genutzt.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\frac{\part F}{\part x}}{\frac{\part F}{\part y}}=\frac{p_x}{p_y} }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\alpha x^{\alpha -1}y^{\beta}}{\beta x^{\alpha}y^{\beta -1}}=\frac{p_x}{p_y} }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}\frac{y}{x}=\frac{p_x}{p_y} }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=\frac{p_x}{p_y}\frac{\beta}{\alpha}x }
In die Nebenbedinung eingesetzt:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_xx+p_y(\frac{p_x}{p_y}\frac{\beta}{\alpha}x)=b }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_xx(1+\frac{\beta}{\alpha}=b }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^*=\frac{\alpha}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_x} }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y^*=\frac{\beta}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_y} }