Cobb-Douglas-Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Cobb-Douglas-Funktionen haben einen typischen Aufbau, bei dem Variablen multiplikativ miteinander verknüpft sind und einen Exponenten haben. <br> | + | Cobb-Douglas-Funktionen haben einen typischen Aufbau, bei dem Variablen multiplikativ miteinander verknüpft sind und einen Exponenten haben (unvollkommene Substitute). <br> |
<math> z(x_1,...,x_n)=b\prod\limits_{i = 0}^{n}x_i^{\alpha_i} </math> mit <math> b>0 </math> <br> | <math> z(x_1,...,x_n)=b\prod\limits_{i = 0}^{n}x_i^{\alpha_i} </math> mit <math> b>0 </math> <br> | ||
Für die Anwendung in der Mikro I genügen zwei Variablen. Zudem kann Parameter <math> b </math> auch den Wert 1 annehmen, sodass sich <math> z(x_1,x_2)=x_1^{\alpha}x_2^{\beta} </math> ergibt. Dies kann dreidimensional dargestellt werden. <br> | Für die Anwendung in der Mikro I genügen zwei Variablen. Zudem kann Parameter <math> b </math> auch den Wert 1 annehmen, sodass sich <math> z(x_1,x_2)=x_1^{\alpha}x_2^{\beta} </math> ergibt. Dies kann dreidimensional dargestellt werden. <br> | ||
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− | Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen haben | + | Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen haben viele Vorteile, zum Beispiel, dass sie aufgrund ihres Aufbaus leicht auf Skalenerträge untersucht werden können. Für die Untersuchung auf Skalenerträge werden alle Inputfaktoren mit einem allgemeinen Faktor <math> \lambda </math> multipliziert. Sei die Produktionsfunktion beispielsweise <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math>, wird hieraus <math> F(\lambda K, \lambda L)=(\lambda K)^{\alpha}(\lambda L)^{\beta}=\lambda^{\alpha}K^{\alpha}\lambda^{\beta}L^{\beta}=\lambda^{\alpha+\beta}K^{\alpha}L^{\beta} </math>. Dieser Ausdruck wird mit <math> \lambda F(K,L)=\lambda K^{\alpha}L^{\beta} </math> verglichen. Es fällt auf, dass die beiden Ausdrücke identisch sind mit der Ausnahme des Ausdrucks <math> \lambda^{\alpha+\beta}</math>. In dem einen Fall ist der Exponent <math> \alpha+\beta </math> und in dem anderen Fall <math> 1 </math>. Ist die Summer der beiden Exponenten größer als 1 gilt <math> F(\lambda K, \lambda L)>\lambda F(K,L) </math> und es liegen steigende Skalenerträge vor. <br> |
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− | Das | + | Das Grenzprodukt einer Cobb-Douglas-Funktion lässt sich bestimmen, indem die Funktion nach einer der unabhängigen Variablen abgeleitet wird. Zur Veranschaulichung soll eine Cobb-Douglas-[[Produktionsfunktion und Isoquante|Produktionsfunktion]] dienen, die auf das [[marginale Sichtweise|Grenzprodukt]] des kapitals untersucht wird. Die Funktion lautet <math> F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math> <br> |
− | Das Grenzprodukt | + | Das Grenzprodukt des kapitals lässt sich durch <math> \frac{\part F(K,L)}{\part K}=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta} </math> berechnen. Das Grenzprodukt ist zunehmend oder abnehmend. Das heißt jede weitere Einheit von K bringt entweder mehr oder weniger zusätzlichen Output als die Einheit zuvor. Ist die zweite partielle Ableitung nach K negativ, sinkt die Steigung und es liegt ein abnehmendes Grenzprodukt vor. Bei einer positiven zweiten partiellen Ableitung ist das Grenzprodukt zunehmend. <br> |
<math> \frac{\part^2 F(K,L)}{\part^2 K}=\alpha (1-\alpha)K^{\alpha -2}L^{\beta} </math> <br> | <math> \frac{\part^2 F(K,L)}{\part^2 K}=\alpha (1-\alpha)K^{\alpha -2}L^{\beta} </math> <br> | ||
− | Der Ausdruck oben ist negativ, wenn <math> \alpha </math> kleiner als 1 ist. Die Empirie zeigt, dass das Grenzprodukt häufig positiv und abnehmend ist. Hierfür muss für den Exponent gelten <math> 0<\alpha <1 </math>. <br> | + | Der Ausdruck oben ist negativ, wenn <math> \alpha </math> kleiner als 1 ist. Die Empirie zeigt, dass das Grenzprodukt häufig positiv und abnehmend ist. Hierfür muss für den Exponent gelten: <math> 0<\alpha <1 </math>. <br> |
Die Intuition bei [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Nutzenfunktionen]] und dem [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] ist analog. <br> | Die Intuition bei [[Präferenzen und Indifferenzkurven#Präferenzen und Nutzenfunktion|Nutzenfunktionen]] und dem [[Marginale Sichtweise#Grenznutzen|Grenznutzen]] ist analog. <br> | ||
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==Maximum mit Nebenbedingung== | ==Maximum mit Nebenbedingung== | ||
− | Cobb-Douglas-Funktionen haben den Vorteil, dass sich aufgrund ihrer | + | Cobb-Douglas-Funktionen haben den Vorteil, dass sich aufgrund ihrer Form allgemein eine Lösung für das [[Haushaltsoptimum]] bzw. das [[Produktionsoptimum]] aufstellen lässt. Hierfür soll eine Cobb Douglas-Funktion <math> F(x,y)=x^{\alpha}y^{\beta} </math> mit der Nebenbedingung <math> p_x x+p_y y=b </math>. Zum Maximieren lässt sich die [[Lagrange|Lagrange Funktion]] aufstellen, oder es wird direkt die GRS bzw. GRTS genutzt. <br> |
<math> \frac{\frac{\part F}{\part x}}{\frac{\part F}{\part y}}=\frac{p_x}{p_y} </math> <br> | <math> \frac{\frac{\part F}{\part x}}{\frac{\part F}{\part y}}=\frac{p_x}{p_y} </math> <br> | ||
<math> \frac{\alpha x^{\alpha -1}y^{\beta}}{\beta x^{\alpha}y^{\beta -1}}=\frac{p_x}{p_y} </math> <br> | <math> \frac{\alpha x^{\alpha -1}y^{\beta}}{\beta x^{\alpha}y^{\beta -1}}=\frac{p_x}{p_y} </math> <br> | ||
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<math> p_xx(1+\frac{\beta}{\alpha}=b </math> <br> | <math> p_xx(1+\frac{\beta}{\alpha}=b </math> <br> | ||
<math> p_xx(\frac{\alpha +\beta}{\alpha})=b </math> <br> | <math> p_xx(\frac{\alpha +\beta}{\alpha})=b </math> <br> | ||
− | <math> x^*=\frac{\alpha}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_x} </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> y^*=\frac{\beta}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_y} </math> | + | <math> x^*=\frac{\alpha}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_x} </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> y^*=\frac{\beta}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_y} </math> <br> |
+ | Die optimale Nachfrage der beiden Güter hängt nicht vom Preis des jeweiligen anderen Gutes ab. Es wird immer derselbe Anteil des Budgets für jedes Gut verwendet. | ||
==MC Fragen== | ==MC Fragen== | ||
+ | <quiz display=simple shuffleanswers=true> | ||
+ | {Welche der folgenden Nutzenfunktionen ist '''keine''' Cobb-Douglas-Nutzenfunktion? | ||
+ | |type="()"} | ||
+ | - <math> U(x,y)=2x^{1}y^{2} </math> | ||
+ | + <math> U(x,y)=x^{0,5}+y^{0,3} </math> | ||
+ | - <math> U(x,y)=(xy)^2 </math> | ||
+ | - <math> U(x,y)=(xy)^{0,5} </math> | ||
+ | </quiz> | ||
+ | |||
+ | <quiz display=simple shuffleanswers=true> | ||
+ | {Gegeben sei eine Nutzenfunktion <math> U(x,y)=x^2y^{0,5} </math> und eine Budgetrestriktion <math> 1000=2x+4y </math>. Wie lauten die nutzenmaximalen Nachfragen <math> x^* </math> und <math> y^* </math>? | ||
+ | |type="{}"} | ||
+ | <math> x^* </math> = { 400 } | ||
+ | <math> y^* </math> = { 50 } | ||
+ | </quiz> | ||
+ | |||
+ | <quiz display=simple shuffleanswers=true> | ||
+ | {Die Produktionselastizität <math> \alpha </math> bedeutet bei einer Produktionsfunktion <math> U(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} </math>, dass... | ||
+ | |type="()"} | ||
+ | - ...eine Erhöhung von K um eins eine Erhöhung des Outputs um <math> \alpha </math> bedeutet. | ||
+ | + ...eine Erhöhung von K um 1% den Output um <math> \alpha </math>% erhöht. | ||
+ | - ...eine Erhöhung von L um 1% den Output um <math> \alpha </math>% erhöht. | ||
+ | - ...eine Erhöhung von K um 1% erlaubt L um <math> \alpha </math> zu reduzieren, um weiterhin auf dem selben Outputniveau zu bleiben. | ||
+ | </quiz> |
Aktuelle Version vom 26. Januar 2024, 11:29 Uhr
Cobb-Douglas-Funktionen werden häufig als Nutzenfunktionen oder Produktionsfunktionen genutzt.
Aufbau der Cobb-Douglas-Funktionen
Cobb-Douglas-Funktionen haben einen typischen Aufbau, bei dem Variablen multiplikativ miteinander verknüpft sind und einen Exponenten haben (unvollkommene Substitute).
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z(x_1,...,x_n)=b\prod\limits_{i = 0}^{n}x_i^{\alpha_i} }
mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b>0 }
Für die Anwendung in der Mikro I genügen zwei Variablen. Zudem kann Parameter auch den Wert 1 annehmen, sodass sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z(x_1,x_2)=x_1^{\alpha}x_2^{\beta} }
ergibt. Dies kann dreidimensional dargestellt werden.
Ausschlaggebend ist vor allem, dass die Variablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 }
miteinander multipliziert werden. Nimmt einer der beiden Werte null an, ist der z Wert null.
Skalenerträge
Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen haben viele Vorteile, zum Beispiel, dass sie aufgrund ihres Aufbaus leicht auf Skalenerträge untersucht werden können. Für die Untersuchung auf Skalenerträge werden alle Inputfaktoren mit einem allgemeinen Faktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda }
multipliziert. Sei die Produktionsfunktion beispielsweise Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} }
, wird hieraus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(\lambda K, \lambda L)=(\lambda K)^{\alpha}(\lambda L)^{\beta}=\lambda^{\alpha}K^{\alpha}\lambda^{\beta}L^{\beta}=\lambda^{\alpha+\beta}K^{\alpha}L^{\beta} }
. Dieser Ausdruck wird mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda F(K,L)=\lambda K^{\alpha}L^{\beta} }
verglichen. Es fällt auf, dass die beiden Ausdrücke identisch sind mit der Ausnahme des Ausdrucks Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda^{\alpha+\beta}}
. In dem einen Fall ist der Exponent Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha+\beta }
und in dem anderen Fall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 }
. Ist die Summer der beiden Exponenten größer als 1 gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(\lambda K, \lambda L)>\lambda F(K,L) }
und es liegen steigende Skalenerträge vor.
Es gilt:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha + \beta >1 \Rightarrow }
steigende Skalenerträge
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha + \beta =1 \Rightarrow }
konstante Skalenerträge
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha + \beta <1 \Rightarrow }
fallende Skalenerträge
Grenzprodukt
Das Grenzprodukt einer Cobb-Douglas-Funktion lässt sich bestimmen, indem die Funktion nach einer der unabhängigen Variablen abgeleitet wird. Zur Veranschaulichung soll eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion dienen, die auf das Grenzprodukt des kapitals untersucht wird. Die Funktion lautet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta} }
Das Grenzprodukt des kapitals lässt sich durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\part F(K,L)}{\part K}=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta} }
berechnen. Das Grenzprodukt ist zunehmend oder abnehmend. Das heißt jede weitere Einheit von K bringt entweder mehr oder weniger zusätzlichen Output als die Einheit zuvor. Ist die zweite partielle Ableitung nach K negativ, sinkt die Steigung und es liegt ein abnehmendes Grenzprodukt vor. Bei einer positiven zweiten partiellen Ableitung ist das Grenzprodukt zunehmend.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\part^2 F(K,L)}{\part^2 K}=\alpha (1-\alpha)K^{\alpha -2}L^{\beta} }
Der Ausdruck oben ist negativ, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha }
kleiner als 1 ist. Die Empirie zeigt, dass das Grenzprodukt häufig positiv und abnehmend ist. Hierfür muss für den Exponent gelten: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0<\alpha <1 }
.
Die Intuition bei Nutzenfunktionen und dem Grenznutzen ist analog.
negatives Grenzprodukt/Grenznutzen bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha_i<0 }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\part F(.)}{\part x_i}>0 \Rightarrow }
positives Grenzprodukt/Grenznutzen bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha_i>0 }
abnehmendes Grenzprodukt/Grenznutzen bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha_i<1 }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\part^2 F(.)}{\part^2 x_i}>0 \Rightarrow }
zunehmendes Grenzprodukt/Grenznutzen bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha_i>1 }
Produktionselastizität
Die Exponenten der Cobb-Douglas Funktionen haben eine Bedeutung und sagen etwas über die dazugehörigen unabhängigen Variablen aus. Dies soll anhand einer Produktionsfunktion gezeigt werden. Hierfür soll untersucht werden, wie sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der beiden Inputfaktoren prozentual verändert. Im ersten Fall soll die Veränderung in K stattfinden.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_K=\frac{% \Delta Y}{% \Delta K} }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_K=\frac{\Delta Y /Y}{\Delta K / K}=\frac{\Delta Y}{\Delta K}\frac{K}{Y} }
mit
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_K=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta}\frac{K}{K^{\alpha}l^{\beta}} }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_K=\alpha K^0L^0 }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_L=\beta }
Die Produktionselastizität, also die Frage wie stark sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der Inputfaktoren prozentual verändert lässt sich durch den jeweiligen Exponenten beantworten. Eine ähnliche Intuition gilt bei Cobb-Douglas-Nutzenfunktionen.
Maximum mit Nebenbedingung
Cobb-Douglas-Funktionen haben den Vorteil, dass sich aufgrund ihrer Form allgemein eine Lösung für das Haushaltsoptimum bzw. das Produktionsoptimum aufstellen lässt. Hierfür soll eine Cobb Douglas-Funktion mit der Nebenbedingung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_x x+p_y y=b }
. Zum Maximieren lässt sich die Lagrange Funktion aufstellen, oder es wird direkt die GRS bzw. GRTS genutzt.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\frac{\part F}{\part x}}{\frac{\part F}{\part y}}=\frac{p_x}{p_y} }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}\frac{y}{x}=\frac{p_x}{p_y} }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=\frac{p_x}{p_y}\frac{\beta}{\alpha}x }
In die Nebenbedinung eingesetzt:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_xx+p_y(\frac{p_x}{p_y}\frac{\beta}{\alpha}x)=b }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_xx(1+\frac{\beta}{\alpha}=b }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^*=\frac{\alpha}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_x} }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Leftrightarrow }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y^*=\frac{\beta}{\alpha +\beta}\frac{E}{p_y} }
Die optimale Nachfrage der beiden Güter hängt nicht vom Preis des jeweiligen anderen Gutes ab. Es wird immer derselbe Anteil des Budgets für jedes Gut verwendet.
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