Gradientenmethode: Unterschied zwischen den Versionen
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<math> \nabla =(\partial U(x_1,x_2)/\partial x_1, \quad \partial U(x_1,x_2)/\partial x_2)^T </math> <br> | <math> \nabla =(\partial U(x_1,x_2)/\partial x_1, \quad \partial U(x_1,x_2)/\partial x_2)^T </math> <br> | ||
Je nach Konsumpunkt <math> (x_1,x_2) </math> zeigt der Gradient in eine andere Richtung. Die partielle Ableitung nach <math> x_1 </math> eingesetzt an dem jeweiligen Punkt bestimmt, wie weit der Vektor in die <math> x_1 </math>-Richtung geht. Die partielle Ableitung nach <math> x_2 </math> bestimmt für den jeweiligen Punkt, wie weit der Vektor in die <math> x_2 </math>-Richtung verläuft. <br> | Je nach Konsumpunkt <math> (x_1,x_2) </math> zeigt der Gradient in eine andere Richtung. Die partielle Ableitung nach <math> x_1 </math> eingesetzt an dem jeweiligen Punkt bestimmt, wie weit der Vektor in die <math> x_1 </math>-Richtung geht. Die partielle Ableitung nach <math> x_2 </math> bestimmt für den jeweiligen Punkt, wie weit der Vektor in die <math> x_2 </math>-Richtung verläuft. <br> | ||
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==Vektor der Budgetgeraden== | ==Vektor der Budgetgeraden== | ||
| − | Die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgerade]] lässt sich in einen Vektor umschreiben. Für die <math> x_1 </math>-Richtung lässt sich beispielsweise die Differenz von <math> x_1=0 </math> und <math> x^{max} </math> nehmen. Für die <math> x_2 </math>-Richtung kann wiederum die Differenz zwischen <math> x_2^{max} </math> und <math> | + | Die [[Budgetrestriktion und Budgetgerade#Budgetgerade|Budgetgerade]] lässt sich in einen Vektor umschreiben. Für die <math> x_1 </math>-Richtung lässt sich beispielsweise die Differenz von <math> x_1=0 </math> und <math> x^{max} </math> nehmen. Für die <math> x_2 </math>-Richtung kann wiederum die Differenz zwischen <math> x_2^{max} </math> und <math> x_2=0 </math> herangezogen werden. <br> |
Es ergibt sich: <br> | Es ergibt sich: <br> | ||
<math> \vec{v}=(x_1^{max}-0, \quad 0-x_2^{max})^T=(x_1^{max}, \quad -x_2^{max})^T </math> <br> | <math> \vec{v}=(x_1^{max}-0, \quad 0-x_2^{max})^T=(x_1^{max}, \quad -x_2^{max})^T </math> <br> | ||
| − | + | Der Vektor <math> \vec{v} </math> lässt sich in der Grafik unten erkennen. Es gilt zu beachten, dass der Vektor, anders als der Gradient, nicht variabel in <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> ist.<br> | |
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==Tangentialpunkt== | ==Tangentialpunkt== | ||
Version vom 4. April 2024, 14:40 Uhr
Die Gradientenmethode ist eine Methode zur Bestimmung eines Maximums/Minimus mit einer Nebenbedingung. Hierfür wird das Skalarprodukt zweier Vektoren gebildet. Der erste Vektor ist die Richtung der Budgetgeraden und der andere Vektor ist der Gradient des Nutzenfunktion, welcher in Richtung des steilsten Anstiegs zeigt. Die Gradientenmethode ist neben dem Lagrangeverfahren eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung eines Tangentialpunktes.
Gradient
Der Gradient ist ein Vektor, welcher in Richtung des steilsten Anstiegs zeigt. Er lässt sich bilden, indem eine multivariate Funktion partiell abgeleitet wird. Im Falle einer Nutzenfunktion mit zwei Konsumgütern Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
und lässt sich der Gradient wie folgt bestimmen:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla =(\partial U(x_1,x_2)/\partial x_1, \quad \partial U(x_1,x_2)/\partial x_2)^T }
Je nach Konsumpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_1,x_2) }
zeigt der Gradient in eine andere Richtung. Die partielle Ableitung nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
eingesetzt an dem jeweiligen Punkt bestimmt, wie weit der Vektor in die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
-Richtung geht. Die partielle Ableitung nach bestimmt für den jeweiligen Punkt, wie weit der Vektor in die -Richtung verläuft.
Vektor der Budgetgeraden
Die Budgetgerade lässt sich in einen Vektor umschreiben. Für die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
-Richtung lässt sich beispielsweise die Differenz von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1=0 }
und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^{max} }
nehmen. Für die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 }
-Richtung kann wiederum die Differenz zwischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2^{max} }
und herangezogen werden.
Es ergibt sich:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}=(x_1^{max}-0, \quad 0-x_2^{max})^T=(x_1^{max}, \quad -x_2^{max})^T }
Der Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v} }
lässt sich in der Grafik unten erkennen. Es gilt zu beachten, dass der Vektor, anders als der Gradient, nicht variabel in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 }
ist.
