Gradientenmethode: Unterschied zwischen den Versionen
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| + | <quiz display=simple shuffleanswers=true> | ||
| + | {Welche der Aussagen ist wahr? | ||
| + | |type="()"} | ||
| + | + Die Gradientenmethode führt immer zum selben Ergebnis wie das Lagrange Verfahren. | ||
| + | - Die Gradientenmethode kann auch immer Randlösungen finden. | ||
| + | - Die Gradientenmethode führt immer zum selben Ergebnis wie das KKT Verfahren. | ||
| + | - Die Gradientenmethode lässt sich nicht bei Maximierungsproblemen mit mehr als zwei Konsumgütern verwenden. | ||
| + | </quiz> | ||
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| + | <quiz display=simple shuffleanswers=true> | ||
| + | {Gegeben sei folgende Nutzenfunktion <math> U(x_1,x_2)=\frac{1}{5}x_1^2+x_2^2 </math> <br> | ||
| + | Wie lautet der Gradient dieser Nutzenfunktion? | ||
| + | |type="()"} | ||
| + | + <math> \nabla=(\frac{2}{5}x_1, \quad 2x_2)^T </math> | ||
| + | - <math> \nabla=(\frac{1}{5}x_1^2, \quad x_2^2)^T </math> | ||
| + | - <math> \nabla=(\frac{2}{5}x_1 \quad + \quad 2x_2)^T </math> | ||
| + | - <math> \nabla=(\frac{1}{5}x_1^2 \quad + \quad x_2^2)^T </math> | ||
| + | </quiz> | ||
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| + | <quiz display=simple shuffleanswers=true> | ||
| + | {Ein Haushalt konsumiert zwei Güter. Der Preis für das eine Gut lautet <math>p_1=4 </math> und der Preis für das andere <math> p_2=2</math>. Welcher der folgenden Vektoren lässt sich als Budgetvektor für die Gradientenmethode verwenden? | ||
| + | |type="()"} | ||
| + | + <math> \vec{v}=(2, \quad -4)^T </math> | ||
| + | - <math> \vec{v}=(4, \quad 2)^T </math> | ||
| + | - <math> \vec{v}=(1, \quad -3)^T </math> | ||
| + | - <math> \vec{v}=(3, \quad 1)^T </math> | ||
| + | </quiz> | ||
Aktuelle Version vom 5. April 2024, 16:50 Uhr
Die Gradientenmethode ist eine Methode zur Bestimmung eines Maximums/Minimus mit einer Nebenbedingung. Hierfür wird das Skalarprodukt zweier Vektoren gebildet. Der erste Vektor ist die Richtung der Budgetgeraden und der andere Vektor ist der Gradient des Nutzenfunktion, welcher in Richtung des steilsten Anstiegs zeigt. Die Gradientenmethode ist neben dem Lagrangeverfahren eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung eines Tangentialpunktes.
Gradient
Der Gradient ist ein Vektor, welcher in Richtung des steilsten Anstiegs zeigt. Er lässt sich bilden, indem eine multivariate Funktion partiell abgeleitet wird. Im Falle einer Nutzenfunktion mit zwei Konsumgütern Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 }
lässt sich der Gradient wie folgt bestimmen:
Je nach Konsumpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_1,x_2) }
zeigt der Gradient in eine andere Richtung. Die partielle Ableitung nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
eingesetzt an dem jeweiligen Punkt bestimmt, wie weit der Vektor in die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
-Richtung geht. Die partielle Ableitung nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 }
bestimmt für den jeweiligen Punkt, wie weit der Vektor in die -Richtung verläuft.
Vektor der Budgetgeraden
Die Budgetgerade lässt sich in einen Vektor umschreiben. Für die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
-Richtung lässt sich beispielsweise die Differenz von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1=0 }
und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^{max} }
nehmen. Für die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 }
-Richtung kann wiederum die Differenz zwischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2^{max} }
und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2=0 }
herangezogen werden.
Es ergibt sich:
Der Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v} }
lässt sich in der Grafik unten erkennen. Es gilt zu beachten, dass der Vektor, anders als der Gradient, nicht variabel in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 }
und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 }
ist.
Tangentialpunkt
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist gleich null, wenn die zwei Vektoren orthogonal zueinander verlaufen. Exakt diese Eigenschaft liegt im Tangentianlpunkt vor. Der Gradient verläuft im Tangentialpunkt der Indifferenzkurve und der Budgetgeraden orthogonal zu dem berechneten Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v} }
Die Tangentialbedingung lässt sich somit auch durch das Skalarprodukt herleiten:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla U(x_1,x_2)^T \cdot \vec{v} \stackrel{!}{=}0 }
Die daraus resultierende Relation zwischen und ist dieselbe, wie bei dem Lagrangeverfahren und kann in die Budgetrestriktion eingesetzt werden, um die optimale Nachfrage zu erhalten.
Beispiel
Die Nutzenfunktion lautet . Die Preise lauten und . Insgesamt steht ein Budget von 20 Euro zur Verfügung
Gradient
Der Gradient lautet
Budgetvektor
Der Budgetvektor lautet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}=(\frac{20}{2}, \quad -\frac{20}{4})^T=(10,\quad -5)^T }
Tangentialpunkt
Für den Tangentialpunkt muss das Skalarprodukt null sein: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_2, \quad x_1) \cdot (10,\quad -5)^T\stackrel{!}{=}0 }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 10x_2-5x_1=0 }
Die Tangentialbedingung lautet demenstprechend
Optimale Nachfrage
Die Tangentialbedingung kann in die Budgetrestriktion eingesetzt werden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x_1+4x_2=20 \quad \Leftrightarrow \quad 8x_2=20 }
Die optimale Nachfrage lautet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_1^*,x_2^*)=(5, \quad 2.5) }
Die Bedeutung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda }
Die Gradientenmethode erlaubt die Bedeutung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda }
mit einem etwas anderem Ansatz zu erläutern.
Der Preisvektor verläuft orthogonal zu dem Budgetvektor.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\frac{E}{p_1}, \quad \frac{E}{p_2}) \cdot (p_1, \quad p_2)^T=0 }
Es lässt sich mathematisch zeigen, dass der Preisvektor multipliziert mit dem Grenznutzen des Einkommens identisch zu dem Gradienten der Nutzenfunktion ist. Wenn sich ein Konsument im Optimum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_1^*,x_2^*) }
befindet und von beiden Einheiten eine marginale Einheit mehr konsumiert, befindet er sich im selben Konsumpunkt, wenn er den Preisvektor mit dem Grenznutzen des Einkommens skaliert. Der Gradient selbst ist unabhängig von den Preisen und dem Einkommen und verändert sich daher auch nicht, wenn einer der Preise sich beispielsweise erhöht. Was dies bedeutet lässt sich sehr gut an einem Beispiel erkenne, bei dem die Nachfrage homogen im Grad null ist. Wenn sich die Preise und das Einkommen um den selben Faktor steigen, verändert sich die optimale Nachfrage des Konsumenten nicht. Auch eine grafische Darstellung sehe nach der Veränderung noch genauso aus, wie vorher. Dennoch hat sich der Preisvektor vergrößert. Der Gradient hat sich jedoch nicht verändert. Dies zeigt, dass der Grenznutzen des Einkommens () kleiner geworden ist und der Preisvektor um einen geringeren Faktor skaliert wird. Bei hohen Preisen bringt eine zusätliche verfügbare Einheit des Einkommens einen geringeren zusätzlichen Nutzen, als wenn die Preise kleiner sind. Dies liegt daran, dass ein Konsument sich bei hohen Preisen weniger von einer Einheit des Einkommens kaufen kann, als bei niedrigen Preisen.
Mathematisch lässt sich diese Beziehung auch schon im Lagrangeverfahren erkennen. Die Bedingung erster Ordnungen für ein Gut i lautet
Daraus folgt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\partial U(x)}{\partial x_i}=\lambda p_i }
,
was den einzelnen Einträgen der Vektoren entspricht.
In den Grafiken unten wird nochmal gezeigt, dass der Gradient identisch zu dem skalierten Preisvektor ist.
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