Haushaltsoptimum: Unterschied zwischen den Versionen
Okehne (Diskussion | Beiträge) |
Okehne (Diskussion | Beiträge) |
||
| Zeile 8: | Zeile 8: | ||
[[Datei:Haushaltsoptimum.png|400px|rahmenlos]] <br> | [[Datei:Haushaltsoptimum.png|400px|rahmenlos]] <br> | ||
<br clear=all> | <br clear=all> | ||
| − | Indifferenzkurve | + | Der Nutzenmaximale Punkt kann nicht unterhalb der Budgetgeraden liegen. Befindet sich der aktuelle Konsumpunkt doch unterhalb der Budgetgeraden, erhöht sich der Nutzen sobald der Konsument von mindestens eins der beiden Gütern mehr konsumiert. Dementsprechend muss im Optimum dieses Modells das gesamte Budget aufgebraucht werden. Wo genau das Optimum auf der Geraden liegt, hängt von dem Verlauf der Indifferenzkurven ab. Der Nutzen ist unter den Standardannahmen maximiert, wenn eine Indifferenzkurve die Budgetgerade tangiert. Jede Indifferenzkruve, die die Budgetgerade schneidet, bildet nicht das Maximum ab, da durch eine Änderung im Konsumverhalten ein höheres Nutzenniveau erreicht werden kann. Liegt der momentane Konsumpunkt beispielsweise auf der Budgetgeraden und auf der Indifferenzkurve <math> I_1 </math>, kann noch die Indifferenzkurve <math> I_2 </math> erreicht werden. Ausgehend von diesem neuen Punkt kann keine Indifferenzkurve erreicht werden, die ein höheres Nutzenniveau darstellt. Die Indifferenzkurve <math> I_3 </math> ist in keiner Güterkombination im Rahmen des Budgets. |
==Das Haushaltsoptimum rechnerisch== | ==Das Haushaltsoptimum rechnerisch== | ||
| + | Rechnerisch muss die Nutzenfunktion maximiert werden. Ähnlich zur grafischen Herangehensweise muss jedoch beachtet werden, dass durch das Budget eine Nebenbedingung besteht. Die Nutzenfunktion als Zielfunktion hat die Nebenbedingung, dass das Budget eingehalten werden muss. Zur Maximierung mit Nebenbedingung dient das [[Lagrangeverfahren]]. Alternativ kann auch die [[Gradientenmethode]] genutzt oder die [[Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen]] aufgestellt werden. Jedes Verfahren bringt jedoch das selbe Ergebnis, vorrausgesetzt es existiert eine innere Lösung. Das Lagrangeverfahren bringt im zwei Güter Modell (x,y) folgende notwendige Bedingungen: <br> | ||
| + | <math> \frac{\part U(x,y)}{\part x}-\mathcal{L}p_x=0 </math> <br> | ||
| + | <math> \frac{\part U(x,y)}{\part y}-\mathcal{L}p_y=0 </math> <br> | ||
| + | <math> p_xx+p_yy-E=0 </math> <br> | ||
| + | Nach umstellen der beiden ersten Gleichungen ergibt sich die '''Tangentialbedingung''': <br> | ||
| + | <math> \frac{\frac{\part U(x,y)}{\part x}}{\frac{\part U(x,y)}{\part y}}=\frac{p_x}{p_y} </math> <br> | ||
| + | beziehungsweise <br> | ||
| + | <math> \frac{MU_x}{MU_y}=GRS_{x,y}=\frac{p_x}{p_y} </math> <br> | ||
| + | In der Tangentialbedingung wird erkennbar, dass sie unabhängig von dem Budget E ist. Sie ist gibt ein allgemeines Verhältnis an, dass für die beiden Grenznutzen immer gelten muss. Die Tangentialbedingung umgestellt ergibt <br> | ||
| + | <math> \frac{MU_x}{p_x}=\frac{MU_y}{y} </math> <br> | ||
| + | Der Grenznuten pro bezahlten Preis der beiden Gütern muss im Optimum gleich sein. <br> | ||
| + | Die Tangentialbedingung nach einem der beiden Gütern umgestellt und in die dritte Gleichung eingsetzt ergibt die Nachfrage nach den beiden Gütern in Abhängigkeit von den Preisen und dem Budget. | ||
| − | == | + | ==Hicks'sche und Marshall'sche Nachfrage== |
| + | Das Verfahren, das oben geschildert wurde, ergibt die Marshall'sche Nachfrage. Es ist die nutzenmaximale Nachfrage nach einem Gut, bei gegebenem Einkommen (<math> x^M(p_x,p_y,E)</math>). Alternativ lässt sich auch die Kostenfunktion minimieren mit der Nebenbedingung das optimale Nutzenniveau <math> U^* </math> zu erreichen. <br> | ||
| + | [[Datei:Hicks'scheNachfrage.png|400px|rahmenlos]] <br> | ||
| + | <br clear=all> | ||
| + | Ziel ist den Nutzen beizubehalten mit einem möglichst minimalen Budget E. Die Budgetgerade muss linear verschoben werden, bis zum einen die Indifferenzkurve <math> I_2 </math> erreicht wird und zum anderen die Budgetgerade möglichst nahe am Ursprung liegt. Es ergibt sich ein Tangentialpunkt, der identisch zu dem aus der Vorgehnsweise der Nutzenmaximierung ist. Rechnerisch ist die Vorgehensweise identisch zur Marschall'schen Nachfrage. Die Lagrangefunktion wird aufgesetllt mit der Zielfunktion, der negativen Budgetrestriktion, und der Nebenbedingung, der Nutzenfunktion, die gleich <math> U^* </math> sein muss. Das maximieren nach x und y ergibt zusammen mit der Nebenbedingung drei notwendige Bedingungen. Nach Aufstelllen der Tangentialbedingung und Einsetzen in die Nebenbedingung folgt eine Nachfrage nach beiden Gütern, die abhängig von den Preisen und dem Nutzenniveau <math> U^* </math> ist (<math> x^H(p_x,p_y,U^*)</math>. <br> | ||
| + | Die beiden Nachfragen ergeben ceteris paribus die selben Werte. Dies wird auch als Dualität verstanden: <br> | ||
| + | X(p_x,p_y,U^*)=X(p_x,p_y,E(p_x,p_y,U^*)) | ||
==MC Fragen== | ==MC Fragen== | ||
Version vom 12. Juli 2023, 14:48 Uhr
Definition
Das Haushaltsoptimum ist die Konsumentscheidung eines Konsumenten, die er von allen möglichen am stärksten präferiert. Der Nutzen ist in diesem Punkt maximiert und ein höheres Niveau kann aufgrund der Budgetrestriktion nicht erreicht werden.
Das Haushaltsoptimum grafisch
Das Haushaltsoptimum liegt im Tangentialpunkt der Budgetgeraden und der Indifferenzkurve. Dies hängt mit den Axiomen der Nutzentheorie zusammen. Aufgrund der Monotonie/Lokale nicht Sättigung ist es für den Kosnumenten von allem so viel zu konsumieren, wie nur irgendwie möglich. Deshalb gilt . Ständen nur die drei Indifferenzkurven zur Auswahl, würder der Konsument entlang der dritten Indifferenzkurve konsumieren. Er ist jedoch in seinem Budget limitiert. Er kann nicht unendlich viel für seinen Konsum ausgeben, wenn er nur eine Summe E zur Verfügung hat. Der Konsum unterhalb der Budgetgeraden ist genauso möglich, wie der Konsum auf der Budgetgerade. Der Konsum überhalb der Budgetrestriktion ist nicht möglich, da hierfür ein größeren Budget nötig wäre.
Der Nutzenmaximale Punkt kann nicht unterhalb der Budgetgeraden liegen. Befindet sich der aktuelle Konsumpunkt doch unterhalb der Budgetgeraden, erhöht sich der Nutzen sobald der Konsument von mindestens eins der beiden Gütern mehr konsumiert. Dementsprechend muss im Optimum dieses Modells das gesamte Budget aufgebraucht werden. Wo genau das Optimum auf der Geraden liegt, hängt von dem Verlauf der Indifferenzkurven ab. Der Nutzen ist unter den Standardannahmen maximiert, wenn eine Indifferenzkurve die Budgetgerade tangiert. Jede Indifferenzkruve, die die Budgetgerade schneidet, bildet nicht das Maximum ab, da durch eine Änderung im Konsumverhalten ein höheres Nutzenniveau erreicht werden kann. Liegt der momentane Konsumpunkt beispielsweise auf der Budgetgeraden und auf der Indifferenzkurve Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_1 }
, kann noch die Indifferenzkurve Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_2 }
erreicht werden. Ausgehend von diesem neuen Punkt kann keine Indifferenzkurve erreicht werden, die ein höheres Nutzenniveau darstellt. Die Indifferenzkurve Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_3 }
ist in keiner Güterkombination im Rahmen des Budgets.
Das Haushaltsoptimum rechnerisch
Rechnerisch muss die Nutzenfunktion maximiert werden. Ähnlich zur grafischen Herangehensweise muss jedoch beachtet werden, dass durch das Budget eine Nebenbedingung besteht. Die Nutzenfunktion als Zielfunktion hat die Nebenbedingung, dass das Budget eingehalten werden muss. Zur Maximierung mit Nebenbedingung dient das Lagrangeverfahren. Alternativ kann auch die Gradientenmethode genutzt oder die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen aufgestellt werden. Jedes Verfahren bringt jedoch das selbe Ergebnis, vorrausgesetzt es existiert eine innere Lösung. Das Lagrangeverfahren bringt im zwei Güter Modell (x,y) folgende notwendige Bedingungen:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\part U(x,y)}{\part y}-\mathcal{L}p_y=0 }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_xx+p_yy-E=0 }
Nach umstellen der beiden ersten Gleichungen ergibt sich die Tangentialbedingung:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\frac{\part U(x,y)}{\part x}}{\frac{\part U(x,y)}{\part y}}=\frac{p_x}{p_y} }
beziehungsweise
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{MU_x}{MU_y}=GRS_{x,y}=\frac{p_x}{p_y} }
In der Tangentialbedingung wird erkennbar, dass sie unabhängig von dem Budget E ist. Sie ist gibt ein allgemeines Verhältnis an, dass für die beiden Grenznutzen immer gelten muss. Die Tangentialbedingung umgestellt ergibt
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{MU_x}{p_x}=\frac{MU_y}{y} }
Der Grenznuten pro bezahlten Preis der beiden Gütern muss im Optimum gleich sein.
Die Tangentialbedingung nach einem der beiden Gütern umgestellt und in die dritte Gleichung eingsetzt ergibt die Nachfrage nach den beiden Gütern in Abhängigkeit von den Preisen und dem Budget.
Hicks'sche und Marshall'sche Nachfrage
Das Verfahren, das oben geschildert wurde, ergibt die Marshall'sche Nachfrage. Es ist die nutzenmaximale Nachfrage nach einem Gut, bei gegebenem Einkommen (). Alternativ lässt sich auch die Kostenfunktion minimieren mit der Nebenbedingung das optimale Nutzenniveau Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U^* }
zu erreichen.
Ziel ist den Nutzen beizubehalten mit einem möglichst minimalen Budget E. Die Budgetgerade muss linear verschoben werden, bis zum einen die Indifferenzkurve Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_2 }
erreicht wird und zum anderen die Budgetgerade möglichst nahe am Ursprung liegt. Es ergibt sich ein Tangentialpunkt, der identisch zu dem aus der Vorgehnsweise der Nutzenmaximierung ist. Rechnerisch ist die Vorgehensweise identisch zur Marschall'schen Nachfrage. Die Lagrangefunktion wird aufgesetllt mit der Zielfunktion, der negativen Budgetrestriktion, und der Nebenbedingung, der Nutzenfunktion, die gleich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U^* }
sein muss. Das maximieren nach x und y ergibt zusammen mit der Nebenbedingung drei notwendige Bedingungen. Nach Aufstelllen der Tangentialbedingung und Einsetzen in die Nebenbedingung folgt eine Nachfrage nach beiden Gütern, die abhängig von den Preisen und dem Nutzenniveau Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U^* }
ist (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^H(p_x,p_y,U^*)}
.
Die beiden Nachfragen ergeben ceteris paribus die selben Werte. Dies wird auch als Dualität verstanden:
X(p_x,p_y,U^*)=X(p_x,p_y,E(p_x,p_y,U^*))
MC Fragen
