Produktionsoptimum

Aus Mikroökonomie 1
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Das Produktionsoptimum ist der Punkt, in dem ein Unternehmen gegeben einer Produktionsfunktion und Kostenfunktion optimal produziert. Hierbei kann die Produktionsmenge gegeben eines vorhandenen Budgets maximiert oder die Kosten gegeben eines Outputniveaus minimiert werden. Das Unternehmen trifft die Entscheidung wie viel es der jeweiligen Inputs einsetzt.

Produktionsoptimum grafisch

Grafisch liegt das Produktionsoptimum im Tangentialpunkt der Isokostenkurve und der Isoquante. Für ein gegebenes Budget ist die Produktion mit Inputkombinationen, die Kosten unterhalb oder auf der Isokostenkurve erzeugen, zwar möglich führt allerdings nicht zur maximalen Produktionsmenge. Die Produktion oberhalb der Isokostenkurve ist nicht möglich. Bei einer effizienten Technologie bedeutet mehr Input auch mehr Output. Daher gilt . Solange die Isoquante die Isokostenkurve schneidet, ist dieselbe Outputmenge auch mit geringeren Kosten möglich. Erst sobald die Isoquante die Isokostenkurve tangiert, ist die Produktion optimal.
Produktionsoptimum.png

Der Punkt 1 () bringt ein Output von . Der Punkt 2 () bringt ebenfalls , liegt unterhalb der Isokostenkurve und ist somit mit geringeren Kosten verbunden. Nur der Punkt bringt ein Outputniveau, was durch keinen anderen Punkt auf oder unter der Isokostenkurve erreicht werden kann.

Kurze Frist

Die Bestimmung des Produktionsoptimums muss in der kurzen Frist und in der langen Frist separat erfolgen. In der kurzen Frist sind häufig ein oder auch mehrere Inputfaktoren nicht variabel. Typischerweise wird in der kurzen Frist davon ausgegangen, das Kapital nicht variabel ist. Das liegt daran, das Produktionshallen oder Maschinen schon erworben wurden. In dem unten skizzierten Beispiel ist in der kurzen Frist nicht variabel. Dementsprechend kann ein Unternehmen auch nur entlang des kurzfristigen Expansionspfades produzieren. Die Schnittpunkte des kurzfristigen Expansionspfades mit den Isoquanten bilden die kurzfristigen Produktionsoptima. Zu beachten ist, dass die eingezeichneten kurzfristigen Optima oberhalb der Isokostenkurve liegen, die die Isoquanten tangieren. Die jeweiligen Produktionsniveaus () bedeuten somit höhere Kosten in der kurzen Frist, als in der langen Frist. Erst in der langen Frist sind alle Produktionsfaktoren variable und die Tangentialpunkte sind erreichbar.
Produktionsoptimumkurzfristig.png

Kostenminimierung

Die Vorgehensweise der Kostenminimierung findet in zwei Schritten statt. Im Ersten Schritt werden für ein allgemeines Outputlevel die optimalen Faktornachfragen gesucht.

Das Ergebnis ist eine optimale Faktornachfrage nach und , die abhängig von den Inputpreisen und dem Produktionsniveau ist. Eingesetzt in die Kostenfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C(K,L) } ergibt sich eine Kostenfunktion, die nur noch abhängig von den Faktorpreisen (in der Regel konstant) und dem Produktionsniveau ist, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C(y) } .
Im zweiten Schritt wird der Gewinn mit der ausgerechneten Kostenfunktion maximiert.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \max_{y} \, \pi=\max_{y} \, py-C(y) }
Der Ansatz wird auch in den MC Fragen bis hierhin beschrieben. In der obigen Gleichung wird berechnet, bei welchem Outputniveau der Gewinn maximal ist. Das ausgerechnete Produktionsniveau führt eingesetzt in die allgemeinen optimalen Faktornachfragen zu den, in den Graphen oben eingezeichneten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K^* } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L^* } .

Gewinnmaximierung

Die Vorgehensweise der Gewinnmaximierung betrachtet, wann der Umsatz abzüglich der Kosten maximiert ist. Die Gewinnfunktion lautet

Die Gewinnfunktion nach den beiden Variablen K und L differenziert und umgestellt ergeben die optimalen Nachfragen.

MC Frage

Die folgenden Fragen bauen aufeinander auf. Bei falscher Beantwortung wird die richtige Antwort angezeigt.

Das Soziale Netzwerk Namens Y möchte kostenminimal produzieren. Zur Bereitsstellung (Produktion) ihres Produkts benötigt es Kapital (K) und Arbeiter (L). Angenommen der Zinssatz für Kapital sei 2 und der Stundenlohn sei 5. Wie lautet die Lagrange Funktion, mit der das Unternehmen die Inputs für ein allgemeines Produktionsniveau langfristig berechnet, wenn die Produktionsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y(K,L)=K^{\frac{1}{3}}L^{\frac{2}{3}} } lautet?

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \mathcal{L}(K, L, \lambda)=5K+2L+\lambda(y-K^{\frac{1}{3}}L^{\frac{2}{3}}) } .
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \mathcal{L}(K, L, \lambda)= K^{\frac{1}{3}}L^{\frac{2}{3}}+\lambda (2K+5L) } .
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \mathcal{L}(K, L, \lambda)= K^{\frac{1}{3}}L^{\frac{2}{3}}+\lambda (5K+2L) } ..
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \mathcal{L}(K, L, \lambda)=2K+5L+\lambda(y-K^{\frac{1}{3}}L^{\frac{2}{3}}) } .


Ausgehend von oben: Wie lautet die kostenminimale Inputnachfrage nach K und L für ein allgemeines y?

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle K(y)=(\frac{5}{4})^{\frac{2}{3}}y } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle L(y)=(\frac{4}{5})^{\frac{1}{3}}y } .
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle K(y)=(\frac{4}{5})^{\frac{3}{2}}y } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle L(y)=(\frac{5}{4})^{3}y } .
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle K(y)=(\frac{4}{5})^{\frac{2}{3}}y } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle L(y)=(\frac{5}{4})^{\frac{1}{3}}y } .
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle K(y)=(\frac{4}{5})^{\frac{1}{3}}y } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle L(y)=(\frac{5}{4})^{\frac{2}{3}}y } .


Ausgehend von oben: Wie lautet die Kostenfunktion, die für ein allgemeines y kostenminimal ist (gerundet auf 4 Nachkommastellen)?

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle C(y)=7,1353y } .
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle C(y)=3,1416y } .
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle C(y)=6,9624y } .
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle C(y)=2,7183y } .


Ausgehend von oben: Wie lautet die Gewinnfunktion, die variabel in y ist und pro Einheit 3€ einbringt?

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Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \Pi=3y-2,7183y } .
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \Pi=3y-6,9624y } .
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \Pi=3y-7,1353y } .