Cobb-Douglas-Funktionen

Cobb-Douglas-Funktionen werden häufig als Nutzenfunktionen oder Produktionsfunktionen genutzt.

Aufbau der Cobb-Douglas-Funktionen

Cobb-Douglas-Funktionen haben einen typischen Aufbau, bei dem Variablen multiplikativ miteinander verknüpft sind und einen Exponenten haben (unvollkommene Substitute).
$z(x_{1},...,x_{n})=b\prod \limits _{i=0}^{n}x_{i}^{\alpha _{i}}$ mit $b>0$
Für die Anwendung in der Mikro I genügen zwei Variablen. Zudem kann Parameter $b$ auch den Wert 1 annehmen, sodass sich $z(x_{1},x_{2})=x_{1}^{\alpha }x_{2}^{\beta }$ ergibt. Dies kann dreidimensional dargestellt werden.

Ausschlaggebend ist vor allem, dass die Variablen $x_{1}$ und $x_{2}$ miteinander multipliziert werden. Nimmt einer der beiden Werte null an, ist der z Wert null.

Skalenerträge

Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen haben viele Vorteile, zum Beispiel, dass sie aufgrund ihres Aufbaus leicht auf Skalenerträge untersucht werden können. Für die Untersuchung auf Skalenerträge werden alle Inputfaktoren mit einem allgemeinen Faktor $\lambda$ multipliziert. Sei die Produktionsfunktion beispielsweise $F(K,L)=K^{\alpha }L^{\beta }$, wird hieraus $F(\lambda K,\lambda L)=(\lambda K)^{\alpha }(\lambda L)^{\beta }=\lambda ^{\alpha }K^{\alpha }\lambda ^{\beta }L^{\beta }=\lambda ^{\alpha +\beta }K^{\alpha }L^{\beta }$. Dieser Ausdruck wird mit $\lambda F(K,L)=\lambda K^{\alpha }L^{\beta }$ verglichen. Es fällt auf, dass die beiden Ausdrücke identisch sind mit der Ausnahme des Ausdrucks $\lambda ^{\alpha +\beta }$. In dem einen Fall ist der Exponent $\alpha +\beta$ und in dem anderen Fall $1$. Ist die Summer der beiden Exponenten größer als 1 gilt $F(\lambda K,\lambda L)>\lambda F(K,L)$ und es liegen steigende Skalenerträge vor.
Es gilt:
$\alpha +\beta >1\Rightarrow$ steigende Skalenerträge
$\alpha +\beta =1\Rightarrow$ konstante Skalenerträge
$\alpha +\beta <1\Rightarrow$ fallende Skalenerträge

Grenzprodukt

Das Grenzprodukt einer Cobb-Douglas-Funktion lässt sich bestimmen, indem die Funktion nach einer der unabhängigen Variablen abgeleitet wird. Zur Veranschaulichung soll eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion dienen, die auf das Grenzprodukt des kapitals untersucht wird. Die Funktion lautet $F(K,L)=K^{\alpha }L^{\beta }$
Das Grenzprodukt des kapitals lässt sich durch ${\frac {\partial F(K,L)}{\partial K}}=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta }$ berechnen. Das Grenzprodukt ist zunehmend oder abnehmend. Das heißt jede weitere Einheit von K bringt entweder mehr oder weniger zusätzlichen Output als die Einheit zuvor. Ist die zweite partielle Ableitung nach K negativ, sinkt die Steigung und es liegt ein abnehmendes Grenzprodukt vor. Bei einer positiven zweiten partiellen Ableitung ist das Grenzprodukt zunehmend.
${\frac {\partial ^{2}F(K,L)}{\partial ^{2}K}}=\alpha (1-\alpha )K^{\alpha -2}L^{\beta }$
Der Ausdruck oben ist negativ, wenn $\alpha$ kleiner als 1 ist. Die Empirie zeigt, dass das Grenzprodukt häufig positiv und abnehmend ist. Hierfür muss für den Exponent gelten: $0<\alpha <1$.
Die Intuition bei Nutzenfunktionen und dem Grenznutzen ist analog.

${\frac {\partial F(.)}{\partial x_{i}}}<0\Rightarrow$ negatives Grenzprodukt/Grenznutzen bei $\alpha _{i}<0$
${\frac {\partial F(.)}{\partial x_{i}}}>0\Rightarrow$ positives Grenzprodukt/Grenznutzen bei $\alpha _{i}>0$

${\frac {\partial ^{2}F(.)}{\partial ^{2}x_{i}}}<0\Rightarrow$ abnehmendes Grenzprodukt/Grenznutzen bei $\alpha _{i}<1$
${\frac {\partial ^{2}F(.)}{\partial ^{2}x_{i}}}>0\Rightarrow$ zunehmendes Grenzprodukt/Grenznutzen bei $\alpha _{i}>1$

Produktionselastizität

Die Exponenten der Cobb-Douglas Funktionen haben eine Bedeutung und sagen etwas über die dazugehörigen unabhängigen Variablen aus. Dies soll anhand einer Produktionsfunktion gezeigt werden. Hierfür soll untersucht werden, wie sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der beiden Inputfaktoren prozentual verändert. Im ersten Fall soll die Veränderung in K stattfinden.
$\sigma _{K}={\frac {\%\Delta Y}{\%\Delta K}}$
$\sigma _{K}={\frac {\Delta Y/Y}{\Delta K/K}}={\frac {\Delta Y}{\Delta K}}{\frac {K}{Y}}$
mit $\Delta \to 0$
$\sigma _{K}={\frac {\partial Y}{\partial K}}{\frac {K}{Y}}$
$\sigma _{K}=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta }{\frac {K}{K^{\alpha }l^{\beta }}}$ $\sigma _{K}=\alpha K^{\alpha -1}L^{\beta }K^{1-\alpha }L^{-\beta }$
$\sigma _{K}=\alpha K^{0}L^{0}$
$\sigma _{K}=\alpha$ $\Leftrightarrow$ $\sigma _{L}=\beta$

Die Produktionselastizität, also die Frage wie stark sich der Output prozentual verändert, wenn sich einer der Inputfaktoren prozentual verändert lässt sich durch den jeweiligen Exponenten beantworten. Eine ähnliche Intuition gilt bei Cobb-Douglas-Nutzenfunktionen.

Maximum mit Nebenbedingung

Cobb-Douglas-Funktionen haben den Vorteil, dass sich aufgrund ihrer Form allgemein eine Lösung für das Haushaltsoptimum bzw. das Produktionsoptimum aufstellen lässt. Hierfür soll eine Cobb Douglas-Funktion $F(x,y)=x^{\alpha }y^{\beta }$ mit der Nebenbedingung $p_{x}x+p_{y}y=b$. Zum Maximieren lässt sich die Lagrange Funktion aufstellen, oder es wird direkt die GRS bzw. GRTS genutzt.
${\frac {\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial F}{\partial y}}}={\frac {p_{x}}{p_{y}}}$
${\frac {\alpha x^{\alpha -1}y^{\beta }}{\beta x^{\alpha }y^{\beta -1}}}={\frac {p_{x}}{p_{y}}}$
${\frac {\alpha }{\beta }}{\frac {y}{x}}={\frac {p_{x}}{p_{y}}}$
$y={\frac {p_{x}}{p_{y}}}{\frac {\beta }{\alpha }}x$
In die Nebenbedinung eingesetzt:
$p_{x}x+p_{y}({\frac {p_{x}}{p_{y}}}{\frac {\beta }{\alpha }}x)=b$
$p_{x}x(1+{\frac {\beta }{\alpha }}=b$
$p_{x}x({\frac {\alpha +\beta }{\alpha }})=b$
$x^{*}={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}{\frac {E}{p_{x}}}$ $\Leftrightarrow$ $y^{*}={\frac {\beta }{\alpha +\beta }}{\frac {E}{p_{y}}}$
Die optimale Nachfrage der beiden Güter hängt nicht vom Preis des jeweiligen anderen Gutes ab. Es wird immer derselbe Anteil des Budgets für jedes Gut verwendet.

MC Fragen

Welche der folgenden Nutzenfunktionen ist keine Cobb-Douglas-Nutzenfunktion?

	$U(x,y)=(xy)^{0,5}$
	$U(x,y)=(xy)^{2}$
	$U(x,y)=2x^{1}y^{2}$
	$U(x,y)=x^{0,5}+y^{0,3}$

Gegeben sei eine Nutzenfunktion $U(x,y)=x^{2}y^{0,5}$ und eine Budgetrestriktion $1000=2x+4y$. Wie lauten die nutzenmaximalen Nachfragen $x^{*}$ und $y^{*}$?

$x^{*}$ =

$y^{*}$ =

Die Produktionselastizität $\alpha$ bedeutet bei einer Produktionsfunktion $U(K,L)=K^{\alpha }L^{\beta }$, dass...

	...eine Erhöhung von K um eins eine Erhöhung des Outputs um $\alpha$ bedeutet.
	...eine Erhöhung von K um 1% erlaubt L um $\alpha$ zu reduzieren, um weiterhin auf dem selben Outputniveau zu bleiben.
	...eine Erhöhung von K um 1% den Output um $\alpha$% erhöht.
	...eine Erhöhung von L um 1% den Output um $\alpha$% erhöht.